Τυτότητες ( ± ) ± ( ± ) ± ± ( ± ) m (γ) γ γγ - (-)() - (-)( ) - (-)( - - - - ) Α. Βσικές γώσεις ()( - ) ()( - - - - - - ) ΜΟΝΟ ΓΙΑ ΠΕΡΙΤΤΟ. γ --γ-γ [(-) (-γ) (γ-) ] γ -γ (γ)[(-) (-γ) (γ-) ] Αισώσεις. Οι θετικοί κι τίστροφοι ριθµοί έου άθροισµ.: γι κάθε >0.. Οι ρητικοί κι τίστροφοι ριθµοί έου άθροισµ -.: γι κάθε <0.. Οι περιττές δυάµεις άισω ριθµώ είι οµοιοτρόπως άισες: Α, ε IR < < θετικός κέριος. (Προσοή!! Αυτό ισύει γι τις άρτιες δυάµεις µόο, θετικοί ριθµοί) 4. Οι τίστροφοι οµόσηµω ριθµώ είι τιστρόφως άισοι π ότι υτοί.: Α, θετικοί κι οι δύο ή ρητικοί ριθµοί κι οι δύο, µε < τότε > Απόλυτ - Ρίζες. Η πόλυτη τιµή εός θετικού ριθµού είι ο ίδιος ο ριθµός.. Η πόλυτη τιµή εός ρητικού ριθµού είι ο τίθετος ριθµός.. 0 γι κάθε πργµτικό ριθµό. 4. κι γι κάθε πργµτικό ριθµό 5. γι κάθε πργµτικό ριθµό 6. θ θ θ, θ 0 7. θ θ ή -θ, θ 0 8. θ θ ή - θ, θ 0 9. ± γι οποιουσδήποτε πργµτικούς ριθµούς,. (Η ιδιότητ υτή ισύει κι γι µιγδικούς ριθµούς, κι γι διύσµτ.) 0. Η πόστση δύο ριθµώ πάω σε έ άξο είι ίση µε τη πόλυτη τιµή της διφοράς τους. Α, δύο πργµτικοί ριθµοί τότε : d (, ).., ε IR κι θετικός κέριος.
., θετικός ή 0 κι θετικός κέριος. µ µ., θετικός ή 0 κι, µ θετικοί κέριοι. µ µ µ 4. ( ), εir κι, µ θετικοί κέριοι. Τριώυµο Τριώυµο είι κάθε πράστση που µπορεί πάρει τη µορφή γ. Ρίζες του τριωύµου είι οι τιµές του γι τις οποίες η τιµή του γ είι 0. Α > 0Το τριώυµο έει δύο ρίζες άισες τις, κι ποδεικύετι ότι µπορεί πάρει τη µορφή: f ( ) γ ( )( ). Α 0.Το τριώυµο έει µί διπλή ρίζ τη κι ποδεικύετι ό τι µπορεί πάρει τη µορφή : f ( ) γ. Α < 0.Το τριώυµο έει τη µορφή 4 f ( ) γ Α < 0.Το τριώυµο έει µιγδικές ρίζες τις i i Πρόσηµο τριωύµου η περίπτωση: >0 κι > 0 Τιµές του - Πρόσηµο του γ - 0 ετερόσηµο του 0 η περίπτωση: >0 κι < 0 Τιµές του - Πρόσηµο του γ - 0 ετερόσηµο του 0 - η περίπτωση: 0 κι > 0 γ 0 γι κάθε πργµτικό ριθµό. (:)Μηδείζει µόο γι 4 η περίπτωση: 0 κι < 0 γ 0 γι κάθε πργµτικό ριθµό. (:)Μηδείζει µόο γι 5 η περίπτωση: <0 κι > 0
Το τριώυµο δε έει ρίζ κι ισύει: γ>0 γι κάθε πργµτικό ριθµό. ( ) 6 η περίπτωση: <0 κι < 0 Το τριώυµο δε έει ρίζ κι ισύει: γ<0 γι κάθε πργµτικό ριθµό. ( ) Προσοή!!. Α γι κάθε τιµή του : γ 0 τότε: <0 οπότε το τριώυµο γ είι γι κάθε τιµή του δηλδή: ( γ)>0 γι κάθε τιµή του. Ισύει γ 0 γι κάθε πργµτικό ριθµό κι µόο ισύει: 0 κι <0. Ισύει γ<0 γι κάθε πργµτικό ριθµό κι µόο ισύει: <0 κι <0 4. Ισύει γ 0 γι κάθε πργµτικό ριθµό κι µόο ισύει: 0 κι >0 5. Ισύει γ>0 γι κάθε πργµτικό ριθµό κι µόο ισύει: <0 κι >0 6. Το τριώυµο γ διτηρεί στθερό πρόσηµο γι κάθε πργµτικό ριθµό κι µόο ισύει: <0. Πολυώυµ. Πολυώυµο είι κάθε πράστση που µπορεί πάρει τη µορφή: Ρ() - -. 0. µε, -,.,, 0 στθεροί πργµτικοί ριθµοί κι µετλητή µε τιµές πργµτικούς ριθµούς. Το πολυώυµο Ρ() έει ρίζ το ριθµό ρ κι µόο Ρ(ρ)0 κι µόο έει πράγοτ το -ρ δηλδή Ρ()(ρ)π(). Α Ρ(), Q() δύο πολυώυµ µε Q() 0 τότε υπάρου δύο πολυώυµ π() κι υ() ώστε : Ρ() Q()π()υ(). Τ πολυώυµ π() κι υ() ρίσκοτι κάοτς τη διίρεση Ρ() : Q() Πρόοδοι Αριθµητική πρόοδος οοµάζετι η κολουθί ριθµώ,,,..,,. στη οποί κάθε όρος προκύπτει πό το προηγούµεο προσθέτοτς το ίδιο ριθµό, (διφορά), ω. Ισύου: (-)ω.. ( ) [ ( ) ω] Γεωµετρική πρόοδος οοµάζετι η κολουθί ριθµώ,,,..,,. στη οποί κάθε όρος προκύπτει πό το προηγούµεο πολλπλσιάζοτς το ίδιο µη µηδεικό ριθµό, (λόγος), λ. Ισύου: λ -.. Λογάριθµοι λ λ όσο λ
Ορισµός του e: lim,78888459045560874757 e Η συάρτηση e µε πργµτικό ριθµό είι γησίως ύξουσ στο IR κι φυσικά έει θετικές τιµές. Η συάρτηση ορίζετι στο IR, όσο > 0. Α 0<< είι γησίως φθίουσ. Α > είι γησίως ύξουσ. Α είι στθερή. Έει τιµές θετικές. Ο επέριος λογάριθµος ln, >0 κι η τίστροφη συάρτηση της εκθετικής e, ε IR. lny e y, µε >0 κι yεir. Η συάρτηση ln είι γησίως ύξουσ στο (0, ) κι έει σύολο τιµώ το (-, ) IR. Κάθε πργµτικός ριθµός µπορεί γρφεί ως λογάριθµος: ε IR τότε: lne ln ΑΛΛΑΓΗ ΒΑΣΗΣ σε λογάριθµο: log a ln a εκθέτης εκθέτη ln( άσης ) ΑΛΛΑΓΗ ΒΑΣΗΣ σε εκθετική συάρτηση : ( ση ) e εκδικός λογάριθµος λέγετι ο λογάριθµος που έει άση το 0: log y 0 y ln Αλλγή άσης: log ln0 Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΩΝ. ln0. lne. lne 4. e ln 5. ln(y)lnlny 6. ln k kln 7. ln ln ln y y ΟΡΙΑ ΛΟΓΑΡΙΘΜΩΝ lim ln lim ln οµοίως κι γι το log. 0 ΟΡΙΑ ΕΚΘΕΤΙΚΗΣ. >: lim 0, lim. 0<<: lim, lim 0 Τριγωοµετρί Η τριγωοµετρί είι δύο πράγµτ: Οι τύποι κι ο.. Βσικοί τριγωοµετρικοί τύποι κι ριθµοί. ηµ συ ή ηµ -συ ή συ -ηµ, γι κάθε ε IR. ηµ, συ, γι κάθε ε IR ηµ. γι ε IR - συ συ 4. π κπ, : κέριος κ σφ γι ε IR - { κπ,κ : κέριος} ηµ 5. σφ 6. () σφ (-σφ) (Ο τόος δηλώει πράγωγο) 7. ηµ ηµ συ συ συ ηµ - ηµ συ 4
8. Τύποι ποτετργωισµού : ηµ συ συ συ 9. ηµ συ 0. ηµ( ± ) ηµσυ ± συηµ, συ( ± )συσυ m ηµηµ ±, ( ± ) m. Νόµος ηµιτόω: Σε κάθε τρίγωο ΑΒΓ µε R τη κτί του γ περιγεγρµµέου του κύκλου ισύει: R ηµ Α ηµ Β ηµ Γ. Νόµος συηµιτόω: Σε κάθε τρίγωο ΑΒΓ ισύου οι σέσεις: γ -γ συα, γ -γ συβ, γ - συγ. Πολικές συτετγµέες σηµείου Μ(, ψ) στο επίπεδο Οψ. Α ΟΜρ 0 κι γωί ΟΜ ω (0 ο ω<60 ο ) τότε: ρ συω κι ψ ψ ρ ηµω ω συτελεστής διεύθυσης της ΟΜ, όσο 0. 4. Πίκς τριγωοµετρικώ ριθµώ: Γωί ω 0 ο 45 ο 60 ο ηµω συω ω σφω 5