ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ o α Α Τι ονοµάζουµε εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων, β Μονάδες 4 Β Να αποδείξετε ότι το εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων είναι ίσο µε το άθροισµα των γινοµένων των οµώνυµων συντεταγµένων τους Μονάδες 9 Γ Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση α Ένα διάνυσµα και µία ευθεία, αν έχουν τον ίδιο συντελεστή διεύθυνσης είναι παράλληλα β Αν det (,β) α είναι η ορίζουσα των διανυσµάτων ισχύει η ισοδυναµία: α // β det ( α,β) α, β, τότε γ Αν α, β είναι θετικοί ακέραιοι, τότε πάντα ισχύει: α β [α, β] (α, β) όπου [α, β] είναι το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των α, β και (α, β) είναι ο µέγιστος κοινός διαιρέτης των α, β δ Η εξίσωση x + + Ax + B +Γ 0 µε Α +Β 4Γ >0 παριστάνει κύκλο µε κέντρο A B K, Μονάδες 8 Στη Στήλη Α δίνονται εξισώσεις κωνικών τοµών και στη Στήλη Β εξισώσεις εφαπτοµένων κωνικών τοµών στο σηµείο επαφής (x, ) Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράµµα της Στήλης Α και δίπλα σε κάθε γράµµα, τον αριθµό της Στήλης Β που αντιστοιχεί πάντα στη σωστή εξίσωση εφαπτοµένης
Στήλη Α Στήλη Β α x + ρ p(x + x ) β x α γ px δ x α + β xx + ρ 3 xx + β 4 xx + 5 6 xx ρ xx Μονάδες 4 ΘΕΜΑ ο Α Να αποδείξετε ότι το γινόµενο δύο περιττών ακεραίων αριθµών είναι περιττός ακέραιος αριθµός Μονάδες 5 α ( α + ) Β Να αποδείξετε ότι αν ο α είναι ακέραιος, τότε και ο ακέραιος είναι Μονάδες 0 α ( α + ) Γ Αν ο α είναι περιττός ακέραιος, να αποδείξετε ότι ο επίσης περιττός ακέραιος είναι Μονάδες 0 ΘΕΜΑ 3ο ίνεται η παραβολή 4x Νρείτε: Α την εστία και τη διευθετούσα της παραβολής Μονάδες 6 Β τις ευθείες που διέρχονται από την εστία της παραβολής και απέχουν από την αρχή των αξόνων απόσταση ίση µε Μονάδες 0 Γ την εξίσωση της εφαπτοµένης της παραβολής που είναι παράλληλη στην ευθεία x Μονάδες 9
ΘΕΜΑ 4ο ίνεται η εξίσωση x + xσυνθ ηµθ 0, 0 θ<π Α Να αποδείξετε ότι για κάθε θ η εξίσωση αυτή παριστάνει κύκλο, του οποίου να προσδιορίσετε το κέντρο και την ακτίνα Moνάδες 9 Β Αν π θ σηµείο Μ(,), νρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης του κύκλου στο Μονάδες 9 Γ Να αποδείξετε ότι για τις διάφορες τιµές του θ τα κέντρα των παραπάνω κύκλων βρίσκονται σε κύκλο µε κέντρο Ο(0,0) και ακτίνα ρ Μονάδες 7 3
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ o Α Ονοµάζουµε εσωτερικό γινόµενο δύο µη µηδενικών διανυσµάτων α και β και το συµβολίζουµε µε α β τον πραγµατικό αριθµό: α β α β συνφ όπου φ η γωνία των διανυσµάτων α και β Αν α 0 ή β 0 τότε ορίζουµε α β 0 Β Έστω α(x,ψ) και β(x,ψ ) Με αρχή το Ο παίρνουµε τα διανύσµατα OA α και OB β Από τον νόµο των συνηµιτόνων στο τρίγωνο OAB έχουµε: (AB) (OA) + (OB) (OA)(OB)συνAÔB Όµως είναι: (ΑΒ) (x - x ) +(ψ - ψ ) (ΟΑ) x +ψ και (ΟΒ) x +ψ Εποµένως έχουµε διαδοχικά: (x - x ) +(ψ - ψ ) x +ψ +x +ψ - (ΟΑ)(ΟΒ) συνaôb ή µετά από πράξεις: x x +ψ ψ +(ΟΑ)(ΟΒ) συνaôb και επειδή: (ΟΑ)(ΟΒ) συν(aôb) α β Προκύπτει τελικά ότι: x x +ψ ψ Γ γ δ Σ Λ Λ Σ Στήλη Α Στήλη Β α β 3 γ δ 6 4
ΘΕΜΑ o Α Έστω α κ+ και β λ+ µε κ,λ Ζ δύο περιττοί ακέραιοι αριθµοί Τότε: α β (κ+)(λ+) 4κλ+κ+λ+ (κλ+κ+λ)+ ρ+ όπου ρ κλ+κ+λ ακέραιος αριθµός Άρα το γινόµενο α β περιττός αριθµός Β (i) (ii) Αν α άρτιος ακέραιος αριθµός, [ δηλαδή α ] λ µε λ Ζ τότε έχουµε: α(α + ) λ(4λ + ) λ(4λ + ) λ(4λ + ) Z Αν α περιττός ακέραιος αριθµός, δηλαδή α λ+ µε λ Ζ τότε έχουµε: α(α + ) (λ + ) [(λ + ) + ] (λ + ) [ 4λ + 4λ + + ] (λ + ) [ 4λ + 4λ + ] [(λ + )(λ + λ + ) ] (λ + )(λ + λ + ) Z () Γ Από το συµπέρασµα () του ερωτήµατος Β έχουµε ότι: α (α + ) (λ+)(λ +λ+) (λ+)[(λ +λ)+] (λ+)(ρ+) : περιττός ακέραιος λόγω του ερωτήµατος Α µε ρ λ +λ Ζ ΘΕΜΑ 3o A Η εξίσωση 4x γράφεται x, οπότε είναι ρ Έτσι η εστία Ε ρ ρ έχει συντεταγµένες E,0 ή Ε(,0) Η διευθετούσα είναι x ή x - B Το σύνολο των ευθειών που διέρχονται από την εστία Ε(,0) περιγράφεται από τις εξισώσεις: (η λ ): - 0 λ(x-) λx - λ λx + (-) - λ 0, λ IR (ε): x d(0, ε) άρα η (ε) δεν είναι λύση Αναζητούµε έτσι λ IR ώστε 5
d(0,η ) λ 4λ (λ λ 0 + ( ) 0 λ λ + ( ) + ) λ Έτσι προκύπτουν δύο ευθείες: α) Για λ : x - β) Για λ - : -x + λ ή λ - Γ Αν (ε ) η ζητούµενη ευθεία και Α(x, ) το σηµείο επαφής της (ε ) µε την παραβολή, η (ε ) έχει τη µορφή: ρ(x + x ) ή (x + x ) Επειδή 0 η τελευταία γράφεται x x + ΘΕΜΑ 4o Άρα ο συντελεστής διεύθυνσης προκύπτει λ Λόγω της παραλληλίας µε την x - πρέπει: λ Όµως Α(x, ) είναι σηµείο της παραβολής, οπότε 4x 4x x Τελικά η ζητούµενη εξίσωση είναι: (x + ) x + Α Η δοσµένη εξίσωση γράφεται: (x - xσυνθ) + ( - ηµθ) ή (x - xσυνθ + συν θ) + ( - ηµθ + ηµ θ) ή (x - συνθ) + ( - ηµθ) () Η τελευταία όµως παριστάνει κύκλο µε κέντρο Κ(συνθ, ηµθ) ρ και ακτίνα Β Από την εξίσωση () για θ π, προκύπτει ο κύκλος: (x - 0) + ( - ) του οποίου το κέντρο είναι Κ(0,) M K Είναι: λ ΚΜ Επειδή η εφαπτοµένη ευθεία στο Μ x M x K 0 είναι κάθετη στην ευθεία ΚΜ, προκύπτει ότι θα έχει συντελεστή διεύθυνσης λ - και εξίσωση: - -(x - ) Άρα - x +3 6
Γ Οι συντεταγµένες x, των κέντρων των παραπάνω κύκλων είναι: x συνθ, ηµθ Έτσι προκύπτει x + συν θ + ηµ θ ή x + Άρα τα κέντρα αυτά βρίσκονται στον κύκλο µε κέντρο Ο(0,0) ρ και ακτίνα 7