Êàçàíñêèé ôåäå àëüíûé óíèâå ñèòåò A.È. Åãî îâ, Ð. Ê. Ìóõà ëßìîâ, Ò. Í. Ïàíê àòüåâà ÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÀËÜÍÛÅ ÓÐÀÂÍÅÍÈSS ÄËSS ÈÍÆÅÍÅÐÍÛÕ ÍÀÏÐÀÂËÅÍÈÉ Ìåòîäè åñêîå ïîñîáèå Êàçàíü - 2013
ÓÄÊ 517.91 Ïå àòàåòñß ïî å åíè Ðåäàêöèîííî-èçäàòåëüñêîãî ñîâåòà Èíñòèòóòà ôèçèêè Êàçàíñêîãî ôåäå àëüíîãî óíèâå ñèòåòà Ðåöåíçåíòû: Êàíäèäàò ôèç.-ìàò. íàóê, äîöåíò ÊÔÓ Ñî íåâà Â.À., Êàíäèäàò ôèç.-ìàò. íàóê, äîöåíò ÊÔÓ Äàè åâ Ð.À. A.È. Åãî îâ, Ð. Ê. Ìóõà ëßìîâ, Ò. Í. Ïàíê àòüåâà Äèôôå åíöèàëüíûå ó àâíåíèß äëß èíæåíå íûõ íàï àâëåíèé. Êàçàíü: ÊÔÓ, 2013. - 52 ñ. Â ñáî íèêå ï åäñòàâëåíû çàäà è ïî îñíîâíûì òåìàì êó ñà "Äèôôå- åíöèàëüíûå ó àâíåíèß", èòàåìîãî â Èíñòèòóòå ôèçèêè ÊÔÓ. c Êàçàíñêèé Ôåäå àëüíûé óíèâå ñèòåò, 2013 2
Ñîäå æàíèå 1. Ó àâíåíèß c àçäåëß ùèìèñß ïå åìåííûìè 6 2. Îäíî îäíûå ó àâíåíèß (òèï I) 8 3. Îäíî îäíûå ó àâíåíèß (òèï II) 10 4. Ëèíåéíûå ó àâíåíèß ïå âîãî ïî ßäêà 12 5. Ó àâíåíèß, ï èâîäßùèåñß ê ëèíåéíûì 14 6. Ó àâíåíèß â ïîëíûõ äèôôå åíöèàëàõ 17 7. Ó àâíåíèß, íå àç å ííûå îòíîñèòåëüíî ï îèçâîäíîé 19 8. Ó àâíåíèß, äîïóñêà ùèå ïîíèæåíèå ïî ßäêà 21 9. Íåîäíî îäíûå ëèíåéíûå ó àâíåíèß (òèï I) 24 10. Íåîäíî îäíûå ëèíåéíûå ó àâíåíèß (òèï II) 28 11. Íåîäíî îäíûå ëèíåéíûå ó àâíåíèß (òèï III) 29 12. Íåîäíî îäíûå ëèíåéíûå ó àâíåíèß (òèï IV) 31 13. Ëèíåéíàß çàâèñèìîñòü ôóíêöèé (x R) 32 14. Ìåòîä âà èàöèè ïîñòîßííûõ 34 15. Ëèíåéíûå îäíî îäíûå ó àâíåíèß ñ ïå åìåííûìè êî ôôèöèåíòàìè 37 3
16. Ëèíåéíûå îäíî îäíûå ñèñòåìû ïå âîãî ïî ßäêà ñ ïîñòîßííûìè êî ôôèöèåíòàìè. Ôàçîâûå ïî ò åòû 39 17. Ëèíåéíûå íåîäíî îäíûå ñèñòåìû äèôôå åíöèàëüíûõ ó àâíåíèé ïå âîãî ïî ßäêà ñ ïîñòîßííûìè êî ôôèöèåíòàìè 45 18. Ëèíåéíûå ó àâíåíèß â àñòíûõ ï îèçâîäíûõ ïå âîãî ïî ßäêà. Çàäà à Êî è 48 4
Ââåäåíèå. Ï åäëàãàåìûé ñáî íèê çàäà ñîäå æèò 18 òèïîâûõ çàäàíèé (ïî 25 âà- èàíòîâ â êàæäîì) è ïîëíîñòü àäàïòè îâàí ê ïîò åáíîñòßì êó ñà "Äèôôå åíöèàëüíûå ó àâíåíèß", èòàåìîãî ñòóäåíòàì èíæåíå íûõ íàï àâëåíèé â Èíñòèòóòå ôèçèêè ÊÔÓ. Êàæäûé àçäåë ï åäâà ßåòñß ê àòêèì òåî åòè- åñêèì âñòóïëåíèåì è àçáî îì òèïîâûõ ï èìå îâ. Ðåêîìåíäóåìàß ëèòå àòó à: 1. Ð.À. Äàè åâ, À.. Äàíü èí. Äèôôå åíöèàëüíûå ó àâíåíèß. Êàçàíü: Èçä. ÊÃÓ, 2009. 2. Ð.Ê. Ìóõà ëßìîâ, Ò.Í. Ïàíê àòüåâà. Îáûêíîâåííûå äèôôå åíöèàëüíûå ó àâíåíèß ïå âîãî ïî ßäêà. Êàçàíü: Èçä. ÊÃÓ, 2009. 3. Ð.Ê. Ìóõà ëßìîâ, Ò.Í. Ïàíê àòüåâà. Îáûêíîâåííûå äèôôå åíöèàëüíûå ó àâíåíèß âûñ èõ ïî ßäêîâ. Êàçàíü: Èçä. ÊÃÓ, 2009. 4. Ð.Ê. Ìóõà ëßìîâ, Ò.Í. Ïàíê àòüåâà. Ñèñòåìû îáûêíîâåííûõ äèôôå- åíöèàëüíûõ ó àâíåíèé. Êàçàíü: Èçä. ÊÔÓ, 2013. 5. Ôèëèïïîâ À.Ô. Ñáî íèê çàäà ïî îáûêíîâåííûì äèôôå åíöèàëüíûì ó àâíåíèßì. Ì.; Èæåâñê: Èçä. ÐÕÄ, 2000. 6. Ôèëèïïîâ À.Ô. Ââåäåíèå â òåî è äèôôå åíöèàëüíûõ ó àâíåíèé. Ì.: Åäèòî èàë ÓÐÑÑ, 2004. 5
1. Ó àâíåíèß c àçäåëß ùèìèñß ïå åìåííûìè. Ó àâíåíèß ñ àçäåëß ùèìèñß ïå åìåííûìè ìîãóò áûòü çàïèñàíû â ë áîì èç ñëåäó ùèõ âèäîâ: y = f(x)g(y), M(x)N(y)dx + P (x)q(y)dy =0. Ïå åã óïïè îâàâ äîëæíûì îá àçîì ñëàãàåìûå è ìíîæèòåëè, ìîæíî äîáèòüñß òîãî, òî â îäíó àñòü ó àâíåíèß áóäåò âõîäèòü òîëüêî ïå åìåííàß y, âî âòî ó àñòü òîëüêî ïå åìåííàß x. Ïîñëå òîãî ó àâíåíèå èíòåã è óåòñß. Ï èìå. Ðå èòü ó àâíåíèå xydx +(x +1)dy =0. Ðå åíèå. Ðàçäåëßß ïå åìåííûå, ìû ï èõîäèì ê ó àâíåíè dy y = xdx x +1, êîòî îå ëåãêî èíòåã è óåòñß: y = C(x +1)e x îáùåå å åíèå. Ï è äåëåíèè îáåèõ àñòåé ó àâíåíèß íà y(x +1) ìîãëè áûòü ïîòå ßíû êî íè y =0è x = 1. Î åâèäíî, òî y =0 å åíèå, ïîëó àåìîå èç îáùåãî å åíèß ï è C =0. Íåïîñ åäñòâåííîé ïîäñòàíîâêîé â èñõîäíîå ó àâíåíèå ìîæíî óáåäèòüñß, òî x = 1 åñòü äîïîëíèòåëüíîå å åíèå. Îòâåò: y = C(x +1)e x, x = 1. 1. (e 2x +5)dy + ye 2x dx =0; 2. 6xdx 6ydy =3x 2 ydy 2xy 2 dx; 3. x 5+y 2 dx + y 4+x 2 dy =0; 4. y sin xdx +cosxdy =0; 6
5. y(4 + e x )dy e x dx =0; 6. y 4 x 2 + xy 2 + x =0; 7. 2dx 2ydy = xydy 2y 2 dx; 8. x 2 dy +sin 2 ydx =0; 9. 5+y 2 + yy 1 x 2 =0; 10. 2xdx 3y 2 dy =6x 2 y 2 dy 2xy 3 dx; 11. y ln y + xy =0; 12. (1 + e x )y = ye x ; 13. y 1 x 2 + xy 2 + x =0; 14. 2x 2 dx y 2 dy =2x 3 y 2 dy x 2 y 3 dx; 15. y(1 + ln y)+xy =0; 16. (3 + e x )y y = e x ; 17. 3+y 2 + 1 x 2 yy =0; 18. xdx ydy = yx 2 dy xy 2 dx; 19. 5+y 2 dx +4(x 2 y + y)dy =0; 20. 10 y dx =10 2x dy; 21. 3(x 2 y + y)dy + 2+y 2 dx =0; 22. dx 4ydy =2xydy y 2 dx; 7
23. y e x sin y =1; 24. xdx + y 2 dy =3x 2 y 2 dy 2xy 3 dx; 25. x 3+y 2 dx +(2+x 2 )dy =0. 2. Îäíî îäíûå ó àâíåíèß (òèï I). Îäíî îäíûå ó àâíåíèß ìîãóò áûòü çàïèñàíû ñëåäó ùèì îá àçîì: y = f ( y x), èëè M(x, y)dx +N(x, y)dy =0, ãäå M(x, y) è N(x, y) - îäíî îäíûå ôóíêöèè îäíîé è òîé æå ñòåïåíè. òîáû å èòü òàêîå ó àâíåíèå, íåîáõîäèìî ñäåëàòü çàìåíó y = x t(x), ïîñëå åãî ìû ï èõîäèì ê ó àâíåíè ñ àçäåëß ùèìèñß ïå åìåííûìè. Ï èìå. Ðå èòü ó àâíåíèå xy y = x tg y x. Ðå åíèå. Ïîëîæèì y = x t(x). Òîãäà y = t x + t. Ïîäñòàâëßß y, y â ó àâíåíèå, ïîëó èì x 2 t = x tg t. Ðàçäåëßß ïå åìåííûå è èíòåã è óß, ï èõîäèì ê îáùåìó å åíè sin t = Cx. Äåëàåì îá àòíó çàìåíó: sin y x = Cx. Â ï îöåññå íàõîæäåíèß îáùåãî å åíèß áûëî ï îèçâåäåíî äåëåíèå íà x tg t, òî åñòü ìîãëè áûòü ïîòå ßíû êî íè y = kπx (k Z) è x =0. Ïå âîå å åíèå ïîëó àåòñß èç îáùåãî å åíèß ï è C =0, âòî îå íå ßâëßåòñß å åíèåì èñõîäíîãî ó àâíåíèß. Îòâåò: sin y x = Cx. 1. y = x2 +2xy 5y 2 ; 2x 2 6xy 8
2. xy =4 2x 2 + y 2 + y; 3. 3y = y2 x 2 +10y x + 10; 4. xy = 3y3 +14yx 2 2y 2 +7x 2 ; 5. xy = xe y x + y; 6. y = x2 + xy 3y 2 ; x 2 4xy 7. xy =2 3x 2 + y 2 + y; 8. y = y2 x 2 +8y x + 12; 9. xy = 3y3 +6yx 2 2y 2 +3x 2 ; 10. xy = x cos 2 y x + y; 11. y = x2 +2xy y 2 2x 2 2xy ; 12. xy =3 2x 2 + y 2 + y; 13. y = y2 x 2 +6y x +6; 14. xy = 8yx2 +3y 3 2y 2 +4x 2 ; 15. xy = y ln y x + y; 16. y = x2 + xy 5y 2 ; x 2 6xy 17. xy =4 x 2 + y 2 + y; 18. 2y = y2 x 2 +8y x +8; 9
19. xy = 10x2 y +3y 3 2y 2 +5x 2 ; 20. xy = x tg y x + y; 21. y = x2 +3xy y 2 2x 2 2xy ; 22. xy =3 x 2 + y 2 + y; 23. 4y = y2 x 2 +10y x +5; 24. xy = 12x2 y +3y 3 2y 2 +6x 2 ; 25. xy = yx + y. 3. Îäíî îäíûå ó àâíåíèß (òèï II). Ó àâíåíèå âèäà ( ) y a1 x + b 1 y + c 1 = f a 2 x + b 2 y + c 2 ìîæåò áûòü ï èâåäåíî ê îäíî îäíîìó ïå åíîñîì íà àëà êîî äèíàò â òî êó ïå åñå åíèß ï ßìûõ a 1 x + b 1 y + c 1 =0, a 2 x + b 2 y + c 2 =0. Åñëè òè ï ßìûå íå ïå åñåêà òñß, òî a 1 x + b 1 y = k(a 2 x + b 2 y) è ó àâíåíèå ï åîá åòàåò âèä y = f(ax + by). Çàìåíà ax + by = t(x) (èëè ax + by + c = t(x)) ïîçâîëßåò ïå åìåííûå àçäåëèòü è ó àâíåíèå ï îèíòåã è îâàòü. Ï èìå. Ðå èòü ó àâíåíèå y = 2x 4y +6 x + y 3. Ðå åíèå. Íåò óäíî óñòàíîâèòü, òî òî êà O 1 (1; 2) åñòü òî êà ïå åñå åíèß ï ßìûõ 2x 4y +6 = 0, x + y 3=0. Ïîñëå ïå åõîäà ê íîâûì 10
ïå åìåííûì X = x 1, Y = y 2, ãäå Y = Y (X), ó àâíåíèå ñòàíîâèòñß îäíî îäíûì, Y = 2X 4Y X + Y, è ìîæåò áûòü å åíî ñïîñîáîì, îïèñàííûì â ï åäûäóùåì àçäåëå. 1. y = x +7y 8 9x y 8 ; 2. y = 3. y = x +3y +4 3x 6 ; 3y +3 2x + y 1 ; 4. y = x +2y 3 4x y 3 ; 5. y = x 2y +3 2x 2 ; 6. y = x +8y 9 10x y 9 ; 7. y = 2x +3y 5 ; 5x 5 8. y = 4y 8 3x +2y 7 ; 9. y = x +3y 4 5x y 4 ; 10. y = y 2x +3 ; x 1 11. y = x +2y 3 ; x 1 12. y = 3x +2y 1 ; x +1 13. y = x +4y 5 6x y 5 ; 11
14. y = x + y +2 x +1 ; 15. y = 2x + y 3 4x 4 ; 16. y = 2x + y 3 2x 4 ; 17. y = y 2x +2y 2 ; 18. y = x +5y 6 7x y 6 ; 19. y = x + y 4 x 2 ; 20. y = 2x + y 1 2x 2 ; 21. y = 3y 2x +1 ; 3x +3 22. y = 3y 3 3x +2y 5 ; 23. y = 2x + y +2 4x +2y 1 ; 24. y = x y +1 2x 2y 3 ; 25. y = 3x +2y +2 6x +4y 2. 4. Ëèíåéíûå ó àâíåíèß ïå âîãî ïî ßäêà. Ó àâíåíèå âèäà y + a(x)y = b(x) íàçûâàåòñß ëèíåéíûì. Åãî å åíèå ìîæåò áûòü ïîëó åíî ìåòîäîì âà èàöèè ïîñòîßííîé. 12
Ï èìå. Ðå èòü ó àâíåíèå y 2 x y =2x3. Ðå åíèå. Ñíà àëà íàéä ì å åíèå ñîîòâåòñòâó ùåãî îäíî îäíîãî ó àâíåíèß y 2 x y = 0. Ïå åìåííûå çäåñü ëåãêî àçäåëß òñß, è ïîñëå èíòåã è îâàíèß ïîëó àåì îáùåå å åíèå y = C x 2. Çàìåíèì â òîì å åíèè C íà C(x) è ïîäñòàâèì y = C(x) x 2 â èñõîäíîå ó àâíåíèå: C (x) x 2 + C(x) 2x 2 x C(x) x2 =2x 3,C (x) =2x, C(x) =x 2 + C. Îòâåò: y =(x 2 + C)x 2. 1. y + y x = 2 x3,y(1) = 1; 2. y y cos x = sin 2x, y(0) = 3; 3. y +2xy = xe x2,y(0) = 1; 4. xy + y =lnx, y(1) = 1; 5. y 3x 2 y =3x 2,y(0) = 1; 6. y + 3y x = 2 x3,y(1) = 1; 7. y + y tg x =cosx, y(0) = 1; 8. y xy = x 3,y(0) = 1; 9. xy + y =sinx, y(π) =1/π; 10. x 2 y +(1 2x)y = x 2 e 1/x,y(1) = e; 11. y + y x =3x, y( 1) = 1; 12. y y ctg x =sinx, y(π/2) = 1; 13
13. y +4xy = e 2x2 sin x, y(0) = 1; 14. xy + y = e x,y(0) = 1; 15. (x 2 +1)y 2xy =(x 2 +1) 2,y(1) = 3; 16. y + 4y x = 1 x4,y(1) = 2; 17. y + y sin x =sin2x, y(π/2) = 2; 18. y 2xy = e x2 +x,y(1) = e 2 ; 19. xy + y =cosx, y(π) =1/π; 20. (x +1)y 2y = e x (x +1) 3,y(0) = 1; 21. y y x =2x2,y(1) = 1; 22. y +2y tg x =cos 2 x, y(0) = 1; 23. y +2xy =cosxe x2,y(0) = 2; 24. xy y = x 2 ln x, y(1) = 1; 25. y + 2y x 2 =3x2 e 2/x,y(1) = e 2. 5. Ó àâíåíèß, ï èâîäßùèåñß ê ëèíåéíûì. Ê òàêèì ó àâíåíèßì îòíîñèòñß ó àâíåíèå Áå íóëëè y + a(x)y = b(x)y n (n 1). Çàìåíà z(x) =y 1 n ï èâîäèò òî ó àâíåíèå ê ëèíåéíîìó, êîòî îå å- àåòñß ñïîñîáîì, èçëîæåííûì â ï åäûäóùåì àçäåëå. 14
Ï èìå 1. Ðå èòü ó àâíåíèå y +2y = y 2 e x. Ðå åíèå. Ðàçäåëèâ îáå àñòè íà y 2 (y =0 äîïîëíèòåëüíîå å åíèå) è ñäåëàâ çàìåíó z =1/y, ïîëó èì z 2z = e x. Ìåòîäîì âà èàöèè ïîñòîßííîé ï èõîäèì ê å åíè z(x) =e x (1 + Ce x ), y =1/(e x (1 + Ce x )). Îòâåò: y =1/(e x (1 + Ce x )), y =0. Íåêîòî ûå ó àâíåíèß ï èâîäßòñß ê ëèíåéíûì, åñëè ïîìåíßòü ìåñòàìè èñêîìó ôóíêöè è å à ãóìåíò. Ï èìå 2. Ðå èòü ó àâíåíèå (x + y 2 )y = y. Ðå åíèå. Ïå åïè åì åãî â âèäå (x + y 2 )dy = ydx. Ðàçäåëèâ îáå àñòè ó àâíåíèß íà ydy (y =0 äîïîëíèòåëüíîå å åíèå), ìû ïîëó èì ëèíåéíîå ó àâíåíèå x y x/y = y, å åíèåì êîòî îãî ßâëßåòñß ôóíêöèß x(y) =y 2 +Cy. Îòâåò: x = y 2 + Cy, y =0. 1. e y2 (1 2xyy )=y ; 2. xe y y e y =2x 2 ; 3. xy + y = xy 2 ; 4. x 3 dy = y 2 (x 2 +2e 1/y )dx; 5. xy +2y =2 y cos x; 6. y +(2x 4y 2 )y =0; 7. y cos y +3x 2 sin y = e x3 ; 8. y y tg x = 2 3 y4 sin x; 9. 2yxdy =(1 e y2 sin x)dx; 15
10. dy = yx(e x2 2lny)dx; 11. 2(x + y 4 )y = y; 12. xy sh y +chy =4x 3 ; 13. y +2xy =2xy 3 ; 14. dy = y 2 x(1 + x 2 e 1/y )dx; 15. 2yx cos y 2 dy =(lnx sin y 2 )dx; 16. y =(2y 3 + x)y ; 17. 3y y +1 4x(y +1) 3/2 =2xe x2 ; 18. 2y +3ycos x = y 1 e 3sinx ; 19. 2xdy + y 3 (1 + x 2 e 1/y2 )dx =0; 20. dy =(y 2 ch x 2y cth x)dx; 21. y(xy y) =2y ; 22. y tg y +lncosy = e x ; 23. xy y = y 2 ln x; 24. 2y 2 dx +(x + e 1/y )dy =0; 25. (xy + y)y + y 2 =0. 16
6. Ó àâíåíèß â ïîëíûõ äèôôå åíöèàëàõ. Ó àâíåíèå P (x, y)dx + Q(x, y)dy =0 íàçûâàåòñß ó àâíåíèåì â ïîëíûõ äèôôå åíöèàëàõ, åñëè åãî ëåâàß àñòü ßâëßåòñß ïîëíûì äèôôå åíöèàëîì íåêîòî îé ôóíêöèè U(x, y): du = P (x, y)dx + Q(x, y)dy. Ýòî èìååò ìåñòî ï è âî âñåõ òî êàõ (x; y), â êîòî ûõ P y = Q x P 2 (x, y)+q 2 (x, y) 0. ( ) Ôóíêöèß U(x, y) íàõîäèòñß ïî ôî ìóëå U(x, y) = x x 0 P (x, y)dx + y y 0 Q(x 0,y)dy, ãäå òî êà M(x 0,y 0 ) òàêæå óäîâëåòâî ßåò óñëîâè ( ). Ðå åíèå èìååò íåßâíûé âèä U(x, y) =C. Ï èìå. Ðå èòü ó àâíåíèå xy 2 dx +(x 2 y +1)dy =0. Ðå åíèå. Î åâèäíî, (xy2 ) = (x2 y +1). Íàõîäèì ôóíêöè y x U(x, y) = x Îòâåò: x 2 y 2 /2+y = C. 0 xy 2 dx + y 0 dy = x 2 y 2 /2+y. 1. (2x + y 2 )dx +(2yx + y 2 )dy =0; 2. (e x y + y 2 )dx +(e x +2yx)dy =0; 17
3. (y 2 y ) ( dx + 2yx + 1 ) dy =0; x 2 x 4. (sin y +2xy)dx +(x cos y + x 2 )dy =0; 5. (y 2 +lnx)dx +(2yx ln y)dy =0; 6. (3x 2 + y)dx +(x +2y)dy =0; 7. (e x y 2 +3x 2 y)dx +(2ye x + x 3 )dy =0; ) ( 8. (y y2 dx + x + 2y ) dy =0; x 2 x 9. ( y 2 sin y x 2 ) ( cos y ) dx + x +2yx dy =0; 10. (y 3 +cosx)dx +(3y 2 x + e y )dy =0; 11. (2x +3x 2 y 2 )dx +(2yx 3 +1)dy =0; 12. (2xy +3x 2 )dx +(e y + x 2 )dy =0; 13. 2xy 2 dx + (2yx 2 1y ) dy =0; 2 14. (y 2 y sin x)dx +(cosx +2yx)dy =0; 15. e y dx +(cosy + xe y )dy =0; 16. (y +2xy 3 )dx +(x +3y 2 x 2 +2y)dy =0; 17. (e y +2xy 2 )dx +(e y x +2yx 2 )dy =0; ( 18. y 3 + 2x ) ) dx + (3y 2 x x2 dy =0; y y 2 19. ( y sin x ) ( dx + x cos x y y 2 ) dy =0; 18
20. (e y y sin x)dx +(e y x +cosx)dy =0; 21. (3x 2 + y)dx +(3y 2 + x)dy =0; 22. (e y + y)dx +(xe y + x +2y)dy =0; ( 23. y 1 ) ( dx + x 1 ) dy =0; x 2 y xy 2 24. (y 2 cos x + y)dx +(2y sin x + x)dy =0; 25. (e x y + y 2 cos x)dx +(e x +2y sin x)dy =0. 7. Ó àâíåíèß, íå àç å ííûå îòíîñèòåëüíî ï îèçâîäíîé. Ó àâíåíèß F (x, y, y )=0 å à òñß àçëè íûìè ñïîñîáàìè: 1. Ðàç å èâ ó àâíåíèå îòíîñèòåëüíî y, ìû ïîëó èì îäíî èëè íåñêîëüêî ó àâíåíèé y = f(x, y), êîòî ûå áóäåì å àòü èçâåñòíûìè íàì ìåòîäàìè; 2. Åñëè ó àâíåíèå F (x, y, y ) = 0 óäà òñß ï åäñòàâèòü â âèäå y = f(x, y ), òî ââîäß ïà àìåò p = dy dx = y, ïîëó èì y = f(x, p). Âçßâ îò îáåèõ àñòåé òîãî àâåíñòâà ïîëíûé äèôôå åíöèàë, dy = f xdx + f pdp = pdx, ìû ï èõîäèì ê ó àâíåíè P (x, p)dx + Q(x, p)dp =0. Ðå åíèå òîãî ó àâíåíèß ìîæíî ïîëó èòü ëèáî â âèäå x = x(p, C), è òîãäà îáùåå å åíèå èñõîäíîãî ó àâíåíèß çàïèñûâàåòñß â ïà àìåò è åñêîé ôî ìå: y = f(x(p, C),p), x = x(p, C), ëèáî â âèäå p = p(x, C) ñ îáùèì å åíèåì y = f(x, p(x, C)); 3. Ó àâíåíèß âèäà x = f(y, y ) å à òñß àíàëîãè íûì îá àçîì. Ï èìå. Ðå èòü ó àâíåíèå y = xy +4 y. 19
Ðå åíèå. Ïîëîæèì y = p 0. Òîãäà y = xp +4 p, dy = pdx xdp +2p 1/2 dp = pdx, x p + x 2p = p 3/2 - ëèíåéíîå ó àâíåíèå. Ìåòîäîì âà èàöèè ïîñòîßííîé ïîëó àåì x =(lnp + C)p 1/2. Ï è äåëåíèè íà p ìîæåò áûòü ïîòå ßíî å åíèå y =0. Îòâåò: x =(lnp + C)p 1/2,y= p(4 ln p C); y =0. 1. x = y 2 + y ; 2. y =(y 1)e y ; 3. 2y 2 (y xy )=1; 4. (y 2 2y )x 2 = y 2 x 2 ; 5. x = y y 2 +1; 6. y =ln(1+y 2 ); 7. xy y =lny ; 8. cos(xy x) =1; 9. x(2y 2 1) = y ; 10. y =2y 2 + y 3 ; 11. xy 2y = y 2 ; 12. y 2 2xy =1 x 2 ; 13. y (x ln y )=1; 14. y = y cos y +siny ; 20
15. 2xy y = y 3 ; 16. arcsin 1 y 2 = x; 17. x = y 3 +2y ; 18. y = 2 3 (y +1) 3/2 2(y +1) 1/2 ; 19. y 2 =3(xy y); 20. x 2 y 2 2xy = y 2 1; 21. y = xy 2 2y 3 ; 22. 2x y/y =(lny +lny ); 23. xy (y +2)=y; 24. 4x 2 y 2 4xyy + y 2 =4; 25. y = xy + e y. 8. Ó àâíåíèß, äîïóñêà ùèå ïîíèæåíèå ïî ßäêà. Ðàññìîò èì 3 òèïà òàêèõ ó àâíåíèé: 1. Åñëè ó àâíåíèå èìååò âèä F (x, y (k),y (k+1),..., y (n) )=0, òî åãî ïî ßäîê ìîæíî ïîíèçèòü, ââîäß íîâó ïå åìåííó z(x) =y (k) ; 2. Åñëè ó àâíåíèå èìååò âèä F (y, y,..., y (n) )=0, òî åãî ïî ßäîê ïîíèæàåòñß çàìåíîé y x = z(y). Òîãäà, y xx = z y z è òàê äàëåå; 3. Åñëè ó àâíåíèå íå ìåíßåòñß ï è çàìåíå y ky, y ky,..., y (n) ky (n), òî åñòü ßâëßåòñß îäíî îäíûì, òî åãî ïî ßäîê ïîíèæàåòñß ïîäñòàíîâêîé y = y z(x). 21
Ï èìå 1. Ðå èòü ó àâíåíèå x 2 y = y 2. Ðå åíèå. Ïîëîæèì y = z(x). Òîãäà ó àâíåíèå ï èìåò âèä x 2 z = z 2, dz z = dx 2 x, 1 2 z = 1 x + C 1, z = y x = 1+C 1 x, y = x 1 C 1 C1 2 ln C 1 x +1 + C 2, C 1 0. Åñëè æå C 1 =0, òî z = y = x, y = x 2 /2+C. Â ï îöåññå àçäåëåíèß ïå åìåííûõ ï îèçî ëî äåëåíèå îáåèõ àñòåé ó àâíåíèß íà x 2 z 2. Äîïîëíèòåëüíîå å åíèå âîçíèêàåò ï è z =0, y = C. Îòâåò: y = x C 1 1 C 2 1 ln C 1 x +1 + C 2, C 1 0; y = x 2 /2+C ; y = C. Ï èìå 2. Ðå èòü ó àâíåíèå yy +1=y 2. Ðå åíèå. Â ó àâíåíèå íå âõîäèò x, ïî òîìó, ïîëîæèâ y x = z(y), y xx = z y z, ïîëó èì y z yz +1=z 2 dz. Ðàçäåëèì ïå åìåííûå 2 z 2 1 = 2dy y è ï îèíòåã è óåì ïå âûé àç: ln z 2 1 =ln C 1 y 2, z = ± C 1 y 2 +1=y x. dy Ñíîâà àçäåëèì ïå åìåííûå: ±dx = C1 y 2 +1. Èíòåã è óß ï è C 1 > 0, ïîëó èì y = ± 1 C1 sh( C 1 x + C 2 ). Â ñëó àå C 1 < 0 å åíèå èìååò âèä y = ± 1 C1 sin( C 1 x + C 2 ). Ï è àçäåëåíèè ïå åìåííûõ ìîãëè áûòü ïîòå ßíû å åíèß z = ±1, y x = ±1, y = ±x + C. Îòâåò: y = ± 1 C1 sh( C 1 x + C 2 ), y = ± 1 C1 sin( C 1 x + C 2 ), y = ±x + C. Ï èìå 3. Ðå èòü ó àâíåíèå xyy xy 2 = yy. Ðå åíèå. Íåò óäíî âèäåòü, òî òî îäíî îäíîå ó àâíåíèå. Çàìåíà y = yz ï èâîäèò åãî ê âèäó xz = z. Ðå åíèå ïîñëåäíåãî ó àâíåíèß åñòü z = C 1 x = y /y, îòêóäà y = C 2 e C 1x 2. Îòâåò: y = C 2 e C 1x 2. 22
1. xy = y,y(1) = 2, y (1) = 1, y (1) = 0; 2. y 3 y +1=0,y(1) = 1, y (1) = 1; 3. xy y = xy 2 + yy,y(1) = 1, y (1) = 1; 4. y = y ctg x, y(π/2) = 1, y (π/2) = 0, y (π/2) = 1; 5. y =2sin 3 y cos y, y(1) = π/2, y (1) = 1; 6. y y =3y 2 x 2,y(2) = 6, y (2) = 1; 7. x 3 y + x 2 y =1,y(1) = 1, y (1) = 2, y (1) = 1; 8. y 3 y = y 4 16, y(0) = 2 2,y (0) = 2; 9. (y y y 2 )x 2 = y 2,y(2) = 1, y (2) = 2; 10. y th 7x =7y,y(1) = 0, y (1) = 7 ch 7, y (1) = 49 sh 7; 11. y +50sinycos 3 y =0,y(0) = 0, y (0) = 5; 12. y y + y 2 tg 2 x =0,y(π/4) = 1, y (π/4) = 1; 13. xy + y +2x =0,y(1) = 1, y (1) = 1, y (1) = 1; 14. y =18y 3,y(1) = 1, y (1) = 3; 15. y y y 2 = y 2 e x + y y, y(1) = 1, y (1) = e; 16. y (sin x +1)=y cos x, y(0) = 1, y (0) = 1, y (0) = 1; 17. y = 2y 2 tg y, y(0) = 0, y (0) = 1; 18. x 2 y y = y 2,y(1) = 2, y (1) = 1; 23
19. xy + y = x, y(1) = 1, y (1) = 1, y (1) = 1; 20. y 3 y +4=0,y(0) = 1, y (0) = 2; 21. y y y 2 = 3x 2 y 2,y(2) = 8, y (2) = 1; 22. y tg x = y +1,y(π/6) = 3/2, y (π/6) = 3/2+π/6, y (π/6) = 1; 23. y 3 y =4(y 4 1), y(0) = 2,y (0) = 2; 24. y y + y 2 ctg 2 x =0,y(π/4) = 1, y (π/4) = 1; 25. x(y y y 2 )=2xy 2 y y, y(2) = 1, y (2) = 2. 9. Íåîäíî îäíûå ëèíåéíûå ó àâíåíèß ñ ïîñòîßííûìè êî ôôèöèåíòàìè (òèï I). Ðå åíèå íåîäíî îäíîãî ëèíåéíîãî ó àâíåíèß ñ ïîñòîßííûìè êî ôôèöèåíòàìè L[y] =f(x), ãäå L[y] =a 0 y (n) + a 1 y (n 1) +... + a n 1 y + a n y (a i const, i = 1,n), åñòü ñóììà îáùåãî å åíèß ñîîòâåòñòâó ùåãî îäíî îäíîãî ó àâíåíèß L[y] =0è àñòíîãî å åíèß íåîäíî îäíîãî ó àâíåíèß. Åñëè èñêàòü å åíèå îäíî îäíîãî ó àâíåíèß â âèäå y = e λx, òî ìû ï èä ì ê õà àêòå èñòè åñêîìó ó àâíåíè a 0 λ n + a 1 λ n 1 +... + a n 1 λ + a n = 0, è â ñëó àå ï îñòûõ åãî êî íåé îáùåå å åíèå L[y] =0åñòü ëèíåéíàß n êîìáèíàöèß àñòíûõ å åíèé: y = C i e λix (C i const, i = 1,n). i=1 Åñëè äåéñòâèòåëüíûé êî åíü λ s èìååò ê àòíîñòü m s 1, òî åìó â îáùåì å åíèè îòâå àåò m s àñòíûõ å åíèé e λ sx,xe λ sx,..., x m s 1 e λ sx. 24
Êîìïëåêñíî ñîï ßæ ííîé ïà å λ s = α + iβ, λ s = α iβ ê àòíîñòè m s 1 â îáùåì å åíèè îòâå à ò 2m s àñòíûõ å åíèé òàêîãî âèäà e αx cos βx, xe αx cos βx,..., x m s 1 e αx cos βx, e αx sin βx, xe αx sin βx,..., x ms 1 e αx sin βx. àñòíîå å åíèå ó àâíåíèß L[y] =f(x) â ï åäëàãàåìûõ ï èìå àõ íàõîäèòñß â çàâèñèìîñòè îò ñò óêòó û ôóíêöèè f(x). Åñëè f(x) =P m (x)e αx, ãäå P m (x) =b 0 x m +... + b m 1 x + b m, òî àñòíîå å åíèå èùåòñß â âèäå y(x) =x r Q m (x)e αx, ãäå r 0 ê àòíîñòü èñëà α ñ åäè êî íåé õà àêòå èñòè åñêîãî ó àâíåíèß, Q m (x) ìíîãî ëåí ñòåïåíè m ñ íåîï åäåë ííûìè êî ôôèöèåíòàìè, êîòî ûå íàõîäßòñß ïîñëå ïîäñòàíîâêè àñòíîãî å åíèß â èñõîäíîå ó àâíåíèå è ï è àâíèâàíèß êî ôôèöèåíòîâ ï è îäèíàêîâûõ ñòåïåíßõ x. Åñëè f(x) =e αx [P k (x)cosβx + Q s (x)sinβx], òî àñòíîå å åíèå èùåòñß â âèäå y(x) =x r e αx [P m (x)cosβx + Q m (x)sinβx], ãäå m = max(k; s), r ê àòíîñòü êî íß õà àêòå èñòè åñêîãî ó àâíåíèß, ñîâïàäà ùåãî ñ α + iβ. Ìíîãî ëåíû P m (x), Q m (x) âõîäßò â y(x) ñ íåîï åäåë ííûìè êî ôôèöèåíòàìè, êîòî ûå íàõîäßòñß ïîñëå ïîäñòàíîâêè y(x) â L[y] =f(x). Ï èìå 1. Ðå èòü ó àâíåíèå y +2y 3y = xe x. Ðå åíèå. Õà àêòå èñòè åñêîå ó àâíåíèå λ 2 +2λ 3=0èìååò äâà êî íß λ 1 = 3, λ 2 = 1, òàê òî îáùåå å åíèå îäíî îäíîãî ó àâíåíèß åñòü y(x) =C 1 e 3x + C 2 e x. àñòíîå å åíèå äëß L[y] =xe x âûáè àåòñß â âèäå y = x(ax + b)e x. Ïîñëå ïîäñòàíîâêè åãî â èñõîäíîå ó àâíåíèå, íàõîäèì a =1/8, b = 1/16. 25
( 1 Îòâåò: y = C 1 e 3x + C 2 e x + 8 x2 1 ) 16 x e x. Ï èìå 2. Ðå èòü ó àâíåíèå y 6y +13y = e 3x sin 2x. Ðå åíèå. Õà àêòå èñòè åñêîå ó àâíåíèå λ 2 6λ +13=0 èìååò äâà êîìïëåêñíî ñîï ßæ ííûõ êî íß: λ 1 =3+2i, λ 2 =3 2i, è, ñëåäîâàòåëüíî, îáùåå å åíèå L[y] =0òàêîâî: y(x) =C 1 e 3x cos 2x + C 2 e 3x sin 2x. àñòíîå å åíèå äëß L[y] =e 3x sin 2x âûáè àåòñß â âèäå y = xe 3x [a cos 2x + b sin 2x], è ïîñëå íåîáõîäèìûõ âû èñëåíèé, ïîëó èì a = 1/4, b =0. Îòâåò: y = C 1 e 3x cos 2x + C 2 e 3x sin 2x 1 4 xe3x cos 2x. Ï èìå 3. Ðå èòü ó àâíåíèå y 4y +8y = e 2x +sin2x. Ðå åíèå. Õà àêòå èñòè åñêîå ó àâíåíèå λ 2 4λ +8=0 èìååò êî íè: λ 1 =2+2i, λ 2 =2 2i, òàê òî îáùåå å åíèå îäíî îäíîãî ó àâíåíèß ìîæíî çàïèñàòü òàê: y(x) = C 1 e 2x cos 2x + C 2 e 2x sin 2x. Ï àâàß àñòü èñõîäíîãî ó àâíåíèß - ñìå àííîãî òèïà, ïî òîìó åãî àñòíîå å åíèå åñòü ñóììà àñòíûõ å åíèé ó àâíåíèé L[y] =e 2x, y 1 = 1 4 e2x, è L[y] =sin2x, y 2 = 1 10 cos 2x + 1 sin 2x. 20 Îòâåò: y = C 1 e 2x cos 2x + C 2 e 2x sin 2x + 1 4 e2x + 1 10 cos 2x + 1 sin 2x. 20 1. y 3y +2y = x 2 ; 2. y (4) +2y + y = x +1; 3. y + y =12x 2 + x 1; 4. y (4) 4y = x 2; 5. y +3y +2y = x 2 + x; 6. y (4) +4y +4y = x 1; 26
7. y y =3x 2 2x +1; 8. y (4) + y = x; 9. y 5y +6y = x 2 + x +1; 10. y (4) 3y +3y y = x 3; 11. y y =6x +5; 12. y (4) 9y = x +1; 13. y 13y +12y = x 2 1; 14. y (4) 6y +9y =3x 1; 15. y 4y = x 2 + x; 16. y (4) +3y =6x +1; 17. y 4y +4y = x 2 ; 18. y (4) +5y +4y = x +1; 19. y +2y = x 2 x; 20. y (4) y =2x 3; 21. y + y 2y = x 2 x; 22. y (4) y 6y = x +1; 23. y 16y = x 2 2x 1; 24. y (4) +5y =6x 1; 25. y 5y +4y = x 2 x 2. 27
10. Íåîäíî îäíûå ëèíåéíûå ó àâíåíèß ñ ïîñòîßííûìè êî ôôèöèåíòàìè (òèï II). 1. y y 2y =(6x 11)e x ; 2. y +9y +20y =(5x +1)e 5x ; 3. y +2y 3y =(4x +3)e x ; 4. y +6y +9y =(8x + 12)e x ; 5. y 7y +12y =(3x +6)e 3x ; 6. y + y 6y =(4x +2)e 2x ; 7. y 13y +12y =(12x +4)e x ; 8. y 7y +6y =(5x +2)e x ; 9. y +5y +4y =(8x 2)e x ; 10. y +4y +3y =4(1 x)e x ; 11. y +2y 15y =(6 3x)e 3x ; 12. y +3y +2y =(1 2x)e x ; 13. y 2y 3y =(4x 7)e x ; 14. y 6y +9y =4xe x ; 15. y + y 12y =(4x +2)e 4x ; 16. y 4y +3y = 3xe x ; 28
17. y +4y +4y =(8x + 12)e x ; 18. y + y 2y =(6x +5)e x ; 19. y +7y +12y =(8x +4)e 4x ; 20. y 3y +2y =(4x +9)e 2x ; 21. y 3y 4y =2xe x ; 22. y +2y + y =(4x +6)e 2x ; 23. y +7y +6y =(36x +6)e 6x ; 24. y 4y +4y =(x 1)e x ; 25. y 2y 15y =(10 5x)e 5x. 11. Íåîäíî îäíûå ëèíåéíûå ó àâíåíèß ñ ïîñòîßííûìè êî ôôèöèåíòàìè (òèï III). 1. y 6y +10y = e 3x sin 2x; 2. y +2y +2y = e x cos 3x; 3. y 4y +8y = e 2x (4 cos x 3sinx); 4. y +6y +10y =3e 3x cos 2x; 5. y +2y +5y = 2e x sin x; 6. y + y =2cosx 3sinx; 7. y +6y +13y = e 3x cos 4x; 29
8. y 4y +20y =4e 2x sin 3x; 9. y +2y +10y = e x cos 2x; 10. y +6y +34y =2e 3x sin 2x; 11. y +4y =2cos5x +3sin5x; 12. y 4y +5y =4e 2x sin x; 13. y 2y +10y = e x sin 2x; 14. y 6y +13y = e 3x cos x; 15. y +9y =18cos6x; 16. y +4y +13y =2e 2x sin x; 17. y +2y +17y = e x cos 3x; 18. y +4y +20y =6e 2x cos 3x; 19. y +16y =4sin2x; 20. y 2y +2y = e x (2 cos 2x +sin2x); 21. y +4y +8y =2e 2x cos x; 22. y 2y +17y = e x sin 2x; 23. y 4y +13y =3e 2x sin x; 24. y 6y +34y =4e 3x cos 2x; 25. y +25y =5sin4x. 30
12. Íåîäíî îäíûå ëèíåéíûå ó àâíåíèß ñ ïîñòîßííûìè êî ôôèöèåíòàìè (òèï IV). 1. y y =4e x +6cosx +10sinx; 2. y + 100y =20sin10x 30 cos 10x 200e 10x ; 3. y 4y =12e 2x 2cos2x +4sin2x; 4. y +81y =9sin9x +3cos9x + 162e 9x ; 5. y 9y =3e 3x +cos3x +sin3x; 6. y +64y =16sin8x 16 cos 8x 64e 8x ; 7. y 16y =12e 4x +16cos4x 16 sin 4x; 8. y +49y = 98e 7x + 7(cos 7x +2sin7x); 9. y 25y = 50e 5x + 25(cos 5x +sin5x); 10. y +36y =36e 6x 12 cos 6x +24sin6x; 11. y 36y =36e 6x 72(cos 6x +sin6x); 12. y +25y =50e 5x +20cos5x 10 sin 5x; 13. y 49y =14e 7x 49(cos 7x +sin7x); 14. y +16y = 16e 4x +16cos4x; 15. y 64y = 128 cos 8x 64e 8x ; 16. y +9y = 18e 3x +9cos3x 18 sin 3x; 31
17. y 81y = 162e 9x +81sin9x; 18. y +4y =4e 2x +32cos2x 8sin2x; 19. y 100y =20e 10x + 100 cos 10x; 20. y + y =2e x +2sinx 6cosx; 21. y y = 4e x +12cosx 10 sin x; 22. y 4y =6e 2x +12cos2x 4sin2x; 23. y 16y = 24e 4x 16 cos 4x +16sin4x; 24. y 25y =50e 5x + 25(cos 5x sin 5x); 25. y 36y =36e 6x + 36(cos 6x +sin6x). 13. Ëèíåéíàß çàâèñèìîñòü ôóíêöèé (x R). Ðàññìîò èì ñèñòåìó ãëàäêèõ ôóíêöèé {y 1 (x),y 2 (x),..., y n (x)}. Èìå ò ìåñòî ñëåäó ùèå óòâå æäåíèß: 1) åñëè ôóíêöèè y 1 (x),y 2 (x),..., y n (x), x [a; b] ëèíåéíî çàâèñèìû, òî íà îò åçêå [a; b] îï åäåëèòåëü Â îíñêîãî y 1 (x) y 2 (x)... y n (x) y 1(x) y 2(x)... y n(x) W (y 1,y 2,..., y n )= y (n 1) 1 (x) y (n 1) 2 (x)... y n (n 1) (x) òîæäåñòâåííî àâåí íóë ; 2) åñëè îï åäåëèòåëü Â îíñêîãî îòëè åí îò íóëß íà [a; b], òî ñèñòåìà ôóíêöèé {y 1 (x),y 2 (x),..., y n (x)} ëèíåéíî íåçàâèñèìà íà òîì îò åçêå. 32
Ï èìå. Óñòàíîâèòü, ßâëß òñß ëè ôóíêöèè {x, e x,xe x } ëèíåéíî çàâèñèìûìè íà x R. Ðå åíèå. Âû èñëèì îï åäåëèòåëü Â îíñêîãî x e x xe x W = 1 e x (1 + x)e x =(x 2)e 2x 0 ï è x R. 0 e x (2 + x)e x Îòâåò: Ôóíêöèè {x, e x,xe x } ëèíåéíî íåçàâèñèìû íà x R. 1. cos 2x, sin 2 x, 1; 2. 1, x 2 +2x, 3x 2 1, x+4; 3. x, e x,xe x ; 4. 2lnx, ln 5x, 1; 5. 1, sin x, cos x; 6. 1, x,x 2 ; 7. 2 x, 3 x, 6 x ; 8. ln x 2, ln 2x, 7; 9. sin x, sin(2 + x), cos(x 5); 10. x, x 3,x 3 ; 11. e 3x,e 2x,e x ; 12. ln 2x 2, ln 6x, 1; 33
13. 1, cos 2 x, sin 2x; 14. 1, x 2 x +3, 2x 2 + x, 2x 4; 15. 3 x, 4 x, 6 x ; 16. ln 2x 3, ln x 2, 4; 17. cos x, cos(3 + x), sin(x 2); 18. x, x, 2x + x ; 19. sh x, ch x, 2+e x ; 20. ln(x +1), ln(x +1) 2, 2; 21. 1, arctg x, arcctg x; 22. x, x +1, x +2; 23. 1+x, x, x 2 1; 24. e x+1,e x+2,e x+3 ; 25. e x +shx, ch x, e x + e x. 14. Ìåòîä âà èàöèè ïîñòîßííûõ. Ðå èòü íåîäíî îäíîå ëèíåéíîå ó àâíåíèå ñ ïîñòîßííûìè êî ôôèöèåíòàìè L[y] =a 0 y (n) + a 1 y (n 1) +... + a n 1 y + a n y = f(x), x [a; b] ìîæíî ìåòîäîì âà èàöèè ïîñòîßííûõ, ñóòü êîòî îãî ñîñòîèò â ñëåäó ùåì: íàõîäèì îáùåå å åíèå ñîîòâåòñòâó ùåãî îäíî îäíîãî ó àâíåíèß L[y] =0: 34
y = i=1 n C i y i, ãäå {y i (x)} i=1,n ëèíåéíî íåçàâèñèìàß ñèñòåìà àñòíûõ å åíèé (ôóíäàìåíòàëüíàß ñèñòåìà å åíèé). Îáùåå å åíèå èñõîäíîãî ó àâíåíèß èùåì â âèäå y = C i (x)y i, íàëàãàß íà C i ñëåäó ùèå n óñëîâèß: n C i(x)y i =0, i=1 i=1 n C i(x)y i =0,..., i=1 n i=1 C i(x)y (n 2) i =0, n i=1 C i(x)y (n 1) i = f(x)( ) Íåîäíî îäíàß àëãåá àè åñêàß ñèñòåìà ( ) c îï åäåëèòåëåì W [y 1,..., y n ] 0 èìååò åäèíñòâåííîå å åíèå {C 1(x),..., C n(x)}, èç êîòî îãî ñëåäóåò C i (x) = C i (x)dx + C i (i = 1,n). Ï èìå. Ðå èòü ó àâíåíèå y 2y + y = e x /x. Ðå åíèå. Îáùåå å åíèå îäíî îäíîãî ó àâíåíèß ïîëó àåòñß îáû íûì ñïîñîáîì y = C 1 e x + C 2 xe x. Ïîëîæèì y = C 1 (x)e x + C 2 (x)xe x è ñîñòàâèì ñèñòåìó ( ): C 1e x + C 2xe x =0, C 1e x + C 2(1 + x)e x = e x /x. Å å åíèå åñòü C 1 = 1, C 2 =1/x. Ñëåäîâàòåëüíî, C 1 = x + C 1, C 2 =ln x + C 2. Îòâåò: y = C 1 e x + C 2 xe x xe x + xe x ln x. 1. y + π 2 y = π 2 cos 1 πx, y(0) = 3, y (0) = 0; 2. y 3y +2y = e x (1 + e x ) 1,y(0) = 0, y (0) = 0; 3. y +16y =32cos 3 4x, y(0) = 1, y (0) = 0; 4. y +2y + y =6e x x +1,y(0) = 1, y (0) = 0; 35
5. y 3y +2y =ln(e x +1),y(0) = 1, y (0) = 0; 6. y +4y =4ctg2x, y(π/4) = 3, y (π/4) = 2; 7. y 6y +8y = 4(2 + e 2x ) 1,y(0) = 1 + 3 ln 3, y (0) = 10 ln 3; 8. y + y =2cos 3 x, y(0) = 1, y (0) = 0; 9. y 4y +4y = e 2x (x +1) 1/2,y(0) = 0, y (0) = 1; 10. y +6y +8y =ln(e 2x +1),y(0) = 1, y (0) = 0; 11. y + y =sin 1 x, y(π/2) = 1, y (π/2) = π/2; 12. y +2y 3y = 4e 3x (1 + e 2x ) 1,y(0) = 0, y (0) = 0; 13. y +25y =50sin 3 5x, y(π/10) = 1, y (π/10) = 0. 14. y +6y +9y = e 3x 2x +1,y(0) = 0, y (0) = 2; 15. y +3y +2y =ln(e x +1),y(0) = 0, y (0) = 1; 16. y +9y =9cos 1 3x, y(0) = 1, y (0) = 0; 17. y y = e x (2 + e x ) 1,y(0) = ln 27, y (0) = ln 9 1; 18. y + y =2sin 3 x, y(π/2) = 1, y (π/2) = π/2; 19. y 2y + y =3e x (x +2) 1/2,y(1) = 1, y (1) = 0; 20. y 6y +8y =ln(e 2x +1),y(0) = ln 2, y (0) = 0; 21. y 4y +5y = e 2x cos 1 x, y(0) = 1, y (0) = 1; 22. y 2y + y = e x /x 2,y(1) = 0, y (1) = e; 36
23. y + y 6y =5e 2x (e 2x +9) 1,y(0) = ln 10/18, y (0) = ln 10/9; 24. y +2y +10y =3e x sin 1 3x, y(π/6) = 0, y (π/6) = 1; 25. y +10y +25y = e 5x (x 2 2x +4) 1,y(0) = 0, y (0) = 1. 15. Ëèíåéíûå îäíî îäíûå ó àâíåíèß ñ ïå åìåííûìè êî ôôèöèåíòàìè. Ðàññìîò èì äèôôå åíöèàëüíûå ó àâíåíèß âòî îãî ïî ßäêà âèäà a 0 (x)y + a 1 (x)y + a 2 (x)y =0. Åñëè èçâåñòíî àñòíîå å åíèå y 1 (x) òîãî ó àâíåíèß, òî åãî ïî ßäîê ìîæåò áûòü ïîíèæåí ëèáî çàìåíîé y(x) =y 1 (x) z(x), ëèáî ñ ïîìîùü ôî ìóëû Îñò îã àäñêîãî-ëèóâèëëß y 1 y W = = C y 1 y 1 e p(x)dx, ãäå p(x) = a 1(x) a 0 (x). Ï èìå. Ðå èòü ó àâíåíèå x(x 1)y xy + y =0, åñëè èçâåñòíî àñòíîå å åíèå y 1 = x. Ðå åíèå. 1) Ïîäñòàíîâêà y(x) = x z(x) ï èâîäèò ê ó àâíåíè x(x 1)z +(x 2)z =0, ïî ßäîê êîòî îãî ïîíèæàåòñß çàìåíîé z = u(x): x(x 1)u +(x 2)u = 0. Ðàçäåëßß ïå åìåííûå è èíòåã è óß, ïîëó èì u = C 1(x 1) x 2 = z, îòêóäà z = C 1 (ln x +1/x) +C 2, a y = xz = C 1 (x ln x +1)+C 2 x. 37
2) Âîñïîëüçóåìñß ôî ìóëîé Îñò îã àäñêîãî-ëèóâèëëß: x y W = = C 1 y 1 e dx x 1. Ðàñê ûâàß îï åäåëèòåëü, ìû ï èõîäèì ê ó àâíåíè y y x = C 1(x 1), x èíòåã è îâàíèå êîòî îãî äà ò òîò æå åçóëüòàò: y = C 1 (x ln x +1)+C 2 x. Îòâåò: y = C 1 (ln x +1/x)+C 2 x. 1. x(x +4)y (2x +4)y +2y =0,y 1 = x 2 ; 2. xy (x +1)y 2(x 1)y =0,y 1 = e 2x ; 3. y y tg x +2y =0,y 1 =sinx; 4. (e x +1)y 2y e x y =0,y 1 = e x 1; 5. x(x 1)y xy + y =0,y 1 = x; 6. xy (2x +1)y +(x +1)y =0,y 1 = e x ; 7. 2x(x +2)y +(2 x)y + y =0,y 1 = x 2; 8. (x 2 +1)y 2y =0,y 1 = x 2 +1; 9. x(x 2 +6)y 4(x 2 +3)y +6xy =0,y 1 = x 3 ; 10. x(2x +1)y +2(x +1)y 2y =0,y 1 = x +1; 11. xy (2x +1)y +2y =0,y 1 = e 2x ; 12. x 2 y 2xy +2y =0,y 1 = x; 13. y +4xy +(4x 2 +2)y =0,y 1 = e x2 ; 38
14. y x 2 ln x xy + y =0,y 1 = x; 15. xy +2y xy =0,y 1 = x 1 e x ; 16. x 2 (x +1)y 2y =0,y 1 =1+x 1 ; 17. (2x +1)y +4xy 4y =0,y 1 = x; 18. (x 2 1)y +(x 3)y y =0,y 1 = x 3; 19. (2x +1)y +(4x 2)y 8y =0,y 1 = x 2 +1/4; 20. x(x +1)y +(x +2)y y =0,y 1 = x +2; 21. (2x 2 +3x)y 6(x +1)y +6y =0,y 1 = x +1; 22. (2x 2 + x)y +2(1 2x 2 )y 4(x +1)y =0,y 1 = e 2x ; 23. x 2 y +3xy 3y =0,y 1 = x; 24. xy +(2 2x)y +(x 2)y =0,y 1 = e x ; 25. x 2 y 2y =0,y 1 = x 2. 16. Ëèíåéíûå îäíî îäíûå ñèñòåìû ïå âîãî ïî ßäêà ñ ïîñòîßííûìè êî ôôèöèåíòàìè. Ôàçîâûå ïî ò åòû. Ðàññìîò èì ñèñòåìû îáûêíîâåííûõ äèôôå åíöèàëüíûõ ó àâíåíèé ï îñòåé åãî âèäà ẋ = a 11 x + a 12 y ẏ = a 21 x + a 22 y, 39
ãäå x = x(t), y = y(t), t [a; b], a ij const (i, j =1;2). àñòíûì å åíèåì ñèñòåìû íàçûâàåòñß ñòîëáåö Z = x(t) y(t), ñîñòîßùèé èç ôóíêöèé x(t), y(t), îá àùà ùèõ ñèñòåìó â òîæäåñòâî. Îáùåå å åíèå ñèñòåìû åñòü ëèíåéíàß êîìáèíàöèß äâóõ ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ àñòíûõ å åíèé (ÔÑÐ): Z = C 1 Z 1 + C 2 Z 2. àñòíûå å åíèß ñèñòåìû èùóòñß â âèäå Z = γ 1 e λt, ãäå γ 1, γ 2 - γ 2 êîíñòàíòû, ïîäëåæàùèå îï åäåëåíè. Ïîäñòàâèâ Z â èñõîäíó ñèñòåìó, ìû ï èõîäèì ê àëãåá àè åñêîé ñèñòåìå (a 11 λ)γ 1 + a 12 γ 2 =0 a 11 γ 1 +(a 22 λ)γ 2 =0, îï åäåëèòåëü êîòî îé (λ) =0(õà àêòå èñòè åñêîå ó àâíåíèå ñèñòåìû). Ïîñëå íàõîæäåíèß êî íåé õà àêòå èñòè åñêîãî ó àâíåíèß, âû èñëß òñß ñîîòâåòñòâó ùèå êàæäîìó êî í êî ôôèöèåíòû γ 1, γ 2. Âîçìîæíû ñëåäó ùèå ñëó àè: 1) Âñå êî íè õà àêòå èñòè åñêîãî ó àâíåíèß âåùåñòâåííû è ï îñòû. Òîãäà îáùåå å åíèå ñèñòåìû åñòü Z = 2) Ê àòíûå êî íè λ 1 = λ 2 : Z = γ 11 γ 21 γ 11 γ 21 e λ 1t + e λ 1t + γ 12 γ 22 γ 12 t γ 22 t e λ 2t ; e λ 1t. 40
 äàííîì ñëó àå, àñòíîå å åíèå íàäî ñ àçó èñêàòü â âèäå Z = γ 1 t γ 2 t e λ 1t. Ïîäñòàâëßß åãî â ñèñòåìó äèôôå åíöèàëüíûõ ó àâíåíèé è ï è àâíèâàß êî- ôôèöèåíòû ï è îäèíàêîâûõ ñòåïåíßõ t, ìû íàéä ì îáà å åíèß ÔÑÐ ; 3) Ïà à êîìïëåêñíî ñîï ßæ ííûõ êî íåé λ 1,2 = a ± ib. Ýòîé ïà å îòâå àåò (êàê è â ïóíêòå 1)) å åíèå Z = γ 11 + iγ 12 e (a+ib)t = γ 11 e at cos bt γ 12 e at sin bt γ 21 + iγ 22 γ 21 γ 22 + +i γ 12 e at cos bt + γ 11 e at sin bt γ 22 γ 21, âåùåñòâåííàß è ìíèìàß àñòü êîòî îãî è îá àçóåò ÔÑÐ. Äàëåå, ñèñòåìû äèôôå åíöèàëüíûõ ó àâíåíèé, àññìàò èâàåìûå â äàííîì àçäåëå, äîïóñêà ò íóëåâîå å åíèå, óñòîé èâîñòü êîòî îãî ïî Ëßïóíîâó ï è t èëë ñò è óåòñß ôàçîâûì ïî ò åòîì ( èñ. 1-7). Ñò åëêè íà èñóíêàõ óêàçûâà ò íàï àâëåíèå äâèæåíèß òî åê ïî ò àåêòî èè ï è âîç- àñòàíèè t.  çàâèñèìîñòè îò íàáî à õà àêòå èñòè åñêèõ êî íåé, ôàçîâûå ïî ò åòû áûâà ò ñëåäó ùèõ òèïîâ: 1) âåùåñòâåííûå λ 1 λ 2, λ 1 < 0, λ 2 < 0 óñòîé èâûé óçåë ( èñ. 1); 2) âåùåñòâåííûå λ 1 λ 2, λ 1 > 0, λ 2 > 0 íåóñòîé èâûé óçåë (àíàëîãè íî èñ. 1, íî ñò åëêè íàï àâëåíû îò íà àëà êîî äèíàò); 3) âåùåñòâåííûå λ 1 è λ 2, λ 1 < 0, λ 2 > 0 ñåäëî ( èñ. 2); 41
4) êîìïëåêñíàß ïà à λ 1,2 = a ± ib (b 0): α) a =0 öåíò ( èñ. 3); β) a<0 óñòîé èâûé ôîêóñ ( èñ. 4); γ) a>0 íåóñòîé èâûé ôîêóñ ( èñ. 4, ñò åëêè â ä óãó ñòî îíó); 5) âåùåñòâåííûé ê àòíûé êî åíü λ 1 = λ 2 : α) λ 1 < 0 óñòîé èâûé óçåë (âîçìîæíû äâà ñëó àß: äèê èòè åñêèé è âû îæäåííûé óçåë, èñ. 5 è 6, ñîîòâåòñòâåííî); β) λ 1 > 0 íåóñòîé èâûé óçåë ( èñ. 5 è 6, ñò åëêè íàï àâëåíû îò íà àëà êîî äèíàò); a 11 a 12 6) Åñëè =0, òî λ 1 =0. Ï è λ 2 0ôàçîâûé ïî ò åò ï åäñòàâëßåò a 21 a 22 ñîáîé ñåìåéñòâà ïà àëëåëüíûõ ï ßìûõ (λ 2 > 0, λ 2 < 0) è íóëåâîå å åíèå ßâëßåòñß íåóñòîé èâûì ( èñ. 7). y y x y x x Ðèñ. 1: Óñòîé èâûé óçåë. Ðèñ. 2: Ñåäëî. Ðèñ. 3: Öåíò. 42
y y y x x x Ðèñ. 4: Ôîêóñ. Ðèñ. 5: Äèê èòè åñêèé óçåë. Ðèñ. 6: Âû îæäåííûé óçåë. y x Ðèñ. 7: Ñåìåéñòâî ïà àëëåëüíûõ ï ßìûõ. Ï èìå. Ðå èòü ñèñòåìó ó àâíåíèé è óêàçàòü å ôàçîâûé ïî ò åò ẋ =2x + y ẏ = x +4y. Ðå åíèå. Õà àêòå èñòè åñêîå ó àâíåíèå èìååò êî åíü λ =3ê àòíîñòè äâà. Â òîì ñëó àå å åíèå ñèñòåìû èùåì â âèäå Z = γ 11 + γ 12 t e 3t. γ 21 + γ 22 t Ïîäñòàâëßß òî å åíèå â ñèñòåìó è ï è àâíèâàß êî ôôèöèåíòû ï è îäèíàêîâûõ ñòåïåíßõ t, ïîëó èì: γ 21 = γ 11, γ 22 = γ 12. Ïîëàãàß γ 11 =1,γ 12 =0, çàòåì γ 11 =0,γ 12 =1, ìû ï èõîäèì ê å åíè. 43
Îòâåò: x = C 1 1 y 1 íåóñòîé èâûé âû îæäåííûé óçåë. e 3t + C 2 t 1+t e 3t. Ôàçîâûé ïî ò åò 1. ẋ = 5x +2y, ẏ = 4x + y; 2. ẋ = x +2y, ẏ = x +4y; 3. ẋ = x 5y, ẏ = x y; 4. ẋ = 2x + y, ẏ = x 2y; 5. ẋ = 2x +2y, ẏ =2x + y; 6. ẋ = 3x + y, ẏ = 2x y; 7. ẋ = x +4y, ẏ = 2x 5y; 8. ẋ =2x +4y, ẏ = 2x 2y; 9. ẋ = x + y, ẏ = 2x +3y; 10. ẋ =4x 2y, ẏ = x + y; 11. ẋ =3x +13y, ẏ = x 3y; 12. ẋ = 5x +5y, ẏ = 2x + y; 13. ẋ = 5x +4y, ẏ = 2x + y; 14. ẋ = x 2y, ẏ = x +3y; 15. ẋ = x +4y, ẏ = x 2y; 16. ẋ =4x +4y, ẏ = 5x 4y; 44
17. ẋ =2x + y, ẏ = x +2y; 18. ẋ = x + y, ẏ = 2x 3y; 19. ẋ = x 2y, ẏ = x 3y; 20. ẋ = x +4y, ẏ = 3x +6y; 21. ẋ =4x +10y, ẏ = 2x 4y; 22. ẋ = x y, ẏ = x + y; 23. ẋ = x + y, ẏ =4x 2y; 24. ẋ = x +5y, ẏ = 2x 5y; 25. ẋ = 5x 2y, ẏ =4x + y. 17. Ëèíåéíûå íåîäíî îäíûå ñèñòåìû äèôôå åíöèàëüíûõ ó àâíåíèé ïå âîãî ïî ßäêà ñ ïîñòîßííûìè êî- ôôèöèåíòàìè. Îáùåå å åíèå íåîäíî îäíûõ ñèñòåì ẋ = a 11 x + a 12 y + f 1 (t) ẏ = a 21 x + a 22 y + f 2 (t) åñòü ñóììà îáùåãî å åíèß ñîîòâåòñòâó ùåé îäíî îäíîé ñèñòåìû è àñòíîãî å åíèß íåîäíî îäíîé ñèñòåìû, êîòî îå ñò îèòñß, èñõîäß èç êîíê åòíîãî âèäà ôóíêöèé f 1 (t) è f 2 (t). Ðàññìîò èì ñëåäó ùèå ñëó àè: 45
1) ïóñòü f 1 = P k (t)e γt,f 2 = Q s (t)e γt, ãäå P k (t), Q s (t) ìíîãî ëåíû ñîîòâåòñòâó ùèõ ñòåïåíåé. Òîãäà àñòíîå å åíèå èùåòñß â âèäå x(t) =M m+r (t)e γt, y(t) = N m+r (t)e γt, ãäå M m+r (t), N m+r (t) ìíîãî ëåíû ñòåïåíè m + r c íåîï åäåë ííûìè êî ôôèöèåíòàìè, êîòî ûå íàõîäßòñß ïîñëå ïîäñòàíîâêè òîãî å åíèß â èñõîäíó ñèñòåìó, m = max(k; s), r ê àòíîñòü èñëà γ ñ åäè êî íåé õà àêòå èñòè åñêîãî ó àâíåíèß; 2) åñëè f 1 (t) =P 1,m1 (t)e at cos bt + P 2,m2 (t)e at sin bt, f 2 (t) =P 3,m3 (t)e at cos bt + P 4,m4 (t)e at sin bt, òî àñòíîå å åíèå èùåì â âèäå x(t) =Q 1,m+r (t)e at cos bt + Q 2,m+r (t)e at sin bt, y(t) =Q 3,m+r (t)e at cos bt + Q 4,m+r (t)e at sin bt. Çäåñü Q k,m+r (t) (k = 1, 4) ìíîãî ëåíû ñòåïåíè m + r ñ êî ôôèöèåíòàìè, ïîäëåæàùèìè îï åäåëåíè, m = max(m 1 ; m 2 ; m 3 ; m 4 ), r ê àòíîñòü èñëà a + ib ñ åäè êî íåé õà àêòå èñòè åñêîãî ó àâíåíèß; 3) åñëè ôóíêöèè f 1 (t), f 2 (t) àçíî îäíû (â íèõ åàëèçó òñß ïóíêòû 1) è 2) îäíîâ åìåííî), òî àñòíîå å åíèå ñèñòåìû åñòü ñóììà àñòíûõ å åíèé, îòâå à ùèõ êàæäîìó èç ñîîòâåòñòâó ùèõ ïóíêòîâ. Ï èìå. Ðå èòü ñèñòåìó ẋ =2x 4y ẏ = x 3y +3e t. Ðå åíèå. Îáùåå å åíèå ñîîòâåòñòâó ùåé îäíî îäíîé ñèñòåìû, ïîëó åííîå èçâåñòíûì ñïîñîáîì, åñòü x = C 1 e 2t +4C 2 e t,y= C 1 e 2t + C 2 e t. 46
àñòíîå å åíèå èùåì â âèäå x =(at + b)e t, y =(ct + d)e t. Ïîäñòàâëßß åãî â èñõîäíó ñèñòåìó è ï è àâíèâàß êî ôôèöèåíòû ï è îäèíàêîâûõ ñòåïåíßõ t, ïîëó èì a = 4, b =0, d =1, c = 1. Îòâåò: x = C 1 e 2t +4C 2 e t 4te t, y = C 1 e 2t + C 2 e t (t 1)e t. 1. ẋ =2x y, ẏ = x +2y +5sint. 2. ẋ =3x 4y + e 2t, ẏ = x 2y 3e 2t. 3. ẋ = x y +8t, ẏ =5x y. 4. ẋ =4x 3y +sint, ẏ =2x y 2cost. 5. ẋ =5x 3y +2e 3t, ẏ = x + y 5e 3t. 6. ẋ = x +2y +16te t, ẏ =2x 2y. 7. ẋ =2x 3y, ẏ = x 2y +2sint. 8. ẋ =2x + y +2e t, ẏ = x +2y. 9. ẋ =2x +3y +5t, ẏ =3x +2y. 10. ẋ = x +2y, ẏ = x 5cost. 11. ẋ =2x y, ẏ = x +2e t. 12. ẋ =2x y, ẏ = 2x + y +18t. 13. ẋ = 2x y +3sint, ẏ = 4x 5y. 14. ẋ =2x 4y, ẏ = x 3y +3e t. 15. ẋ =2x +4y 8t, ẏ =3x +6y. 47
16. ẋ = y 10 sin t, ẏ =2x + y. 17. ẋ = x + y + e t, ẏ =3x y. 18. ẋ = y +2e t, ẏ = x + t. 19. ẋ =2x +4y +sint, ẏ =3x +6y +cost. 20. ẋ =4x + y e 2t, ẏ = 2x + y. 21. ẋ =3x 5y + t, ẏ = x y. 22. ẋ =3x +2y +cost, ẏ = x +2y. 23. ẋ = x + y, ẏ = 2x +3y 2(t +1)e t. 24. ẋ =6x +6y +2t, ẏ = 4x 4y. 25. ẋ = 3x + y e t, ẏ = 4x + y. 18. Ëèíåéíûå ó àâíåíèß â àñòíûõ ï îèçâîäíûõ ïå âîãî ïî ßäêà. Çàäà à Êî è. Ðàññìîò èì íåîäíî îäíîå äèôôå åíöèàëüíîå ó àâíåíèå â àñòíûõ ï îèçâîäíûõ ïå âîãî ïî ßäêà a 1 (x, y, z) z x + a 2(x, y, z) z y = b(x, y, z) ( ) Åãî å åíèåì íàçûâàåòñß äèôôå åíöè óåìàß ôóíêöèß z = z(x, y), îá àùà- ùàß ó àâíåíèå â òîæäåñòâî. òîáû å èòü ó àâíåíèå, íàäî çàïèñàòü ñîîòâåòñòâó ùó ñèñòåìó îáûêíîâåííûõ äèôôå åíöèàëüíûõ ó àâíåíèé â ñèììåò è íîé ôî ìå dx a 1 = 48
dy = dz è íàéòè äâà íåçàâèñèìûõ ïå âûõ èíòåã àëà ϕ 1 (x, y, z) = C 1, a 2 b ϕ 2 (x, y, z) =C 2. Òîãäà å åíèå íà åãî ó àâíåíèß çàïèñûâàåòñß â íåßâíîé ôî ìå F (ϕ 1 (x, y, z),ϕ 2 (x, y, z))=0, ãäå F ï îèçâîëüíàß äèôôå åíöè óåìàß ôóíêöèß, çàâèñßùàß îò ëåâûõ àñòåé ïå âûõ èíòåã àëîâ. òîáû å èòü çàäà ó Êî è, òî åñòü íàéòè ïîâå õíîñòü z = z(x, y), óäîâëåòâî ß ùó ó àâíåíè ( ) è ïå åõîäßùó å åç ëèíè x = x(t), y = y(t), z = z(t), íåîáõîäèìî â îáà ïå âûõ èíòåã àëà ïîäñòàâèòü x(t), y(t), z(t): ϕ 1 (x(t), y(t), z(t)) Φ 1 (t) =C 1,ϕ 2 (x(t), y(t), z(t)) Φ 2 (t) =C 2, çàòåì èñêë èòü t èç ñîîòíî åíèé Φ 1 (t) =C 1, Φ 2 (t) =C 2, ïîëó èâ ï è òîì Φ(C 1,C 2 )=0, è, íàêîíåö, çàìåíèòü â ïîñëåäíåì âû àæåíèè C 1 è C 2 ëåâûìè àñòßìè íà èõ ïå âûõ èíòåã àëîâ. Èñêîìîå å åíèå ïîëó àåòñß â íåßâíîì âèäå Φ(ϕ 1 (x, y, z),ϕ 2 (x, y, z)) = 0. Ï èìå. Ðå èòü çàäà ó Êî è äëß ó àâíåíèß tg x z z +y x y z = x 3. = z, y = x, Ðå åíèå. Ñîîòâåòñòâó ùàß ñèñòåìà îáûêíîâåííûõ äèôôå åíöèàëüíûõ ó àâíåíèé, dx tg x = dy y = dz sin x, äà ò äâà ïå âûõ èíòåã àëà = C 1, z y z y = C 2, òàê òî îáùåå å åíèå ó àâíåíèß ìîæíî çàïèñàòü â íåßâíîì âèäå ( ) sin x F y, z =0. y Ïå åõîäß ê çàäà å Êî è, ï åäñòàâèì ëèíè, å åç êîòî ó äîëæíà ï îéòè èñêîìàß ïîâå õíîñòü, â ïà àìåò è åñêîé ôî ìå: x = t, y = t, z = t 3. Ïîäñòàâëßß òè âû àæåíèß â ïå âûå èíòåã àëû, ïîëó èì: sin t/t = C 1, t 2 = C 2. Ïîñëå èñêë åíèß t, ìû ï èõîäèì ê ñîîòíî åíè C 1 C2 =sin C 2, 49
z êîòî îå è äà ò èñêîìîå å åíèå z z Îòâåò: sin x =sin y3 y. sin x =sin y3 1. xz x + yz y = z xy, x =2,z= y 2 +1; 2. xz x yz y =2z, x =3,z= y; 3. y 2 z x + xyz y = x, x =0,z= y 2 ; 4. yzz x + xzz y = xy, x =1,y 2 + z 2 =1; 5. (y +2z 2 )z x 2x 2 zz y = x 2,y= x 2,x= z; 6. yz x xz y = y 2 x 2,y=1,z= x 2 1; 7. xz x +(y + x 2 )z y = z, x =2,z= y 4; 8. z x ctg x + yz y = z, y =3x, z = x 3 ; 9. xz x + yz y = z x 2 y 2,y= 2, z= x x 2 ; 10. y 2 z x + yzz y = z 2,x y =0,x yz =2; 11. zz x xyz y =2zx, x + y =2,yz=1; z y. 12. (x z)z x +(y z)z y =2z, x y =2,z+2x =1; 13. yz x + xz y = y 2 + x 2,x=2,z=1+2y +3y 2 ; 14. z x cos 2 x + yz y = z, y = x, z = x 2 ; 15. xz x + yz y =2xy, y = x, z = x 2 ; 16. xy 3 z x + x 2 z 2 z y = y 3 z, x = z 3,y= z 2 ; 50
17. zz x +(z 2 x 2 )z y = x, y = x 2,z=2x; 18. (y z)z x +(z x)z y = x y, y = z, z = x; 19. xz x yz y = z 2 (x 3y), x=1,zy+1=0; 20. y 2 z x x 2 z y = x 2 + y 2,y=1,z= x 2 ; 21. xz x + yz y =2z, x =1,z= y; 22. z x tg x + yz y = z, y = x, z = x 3 ; 23. xz x +(xz + y)z y = z, x + y =2z, xz =1; 24. xz x yz y = x y, x =2,z= y 2 +4; 25. xz x + zz y = y, y =2z, x +2y = z 2. 51