Πακέτο Επιχειρησιακά Μαθηµατικά #038 www.maths.gr, www.facebook.com/maths.gr, maths@maths.gr Ιδιαίτερα Μαθήµατα, τηλ.: 6979210251 Ιδιαίτερα Μαθήµατα, Λυµένες Ασκήσεις Βοήθεια στη λύση εργασιών Μεγιστοποίηση κέρδους & ελαστικότητα ζήτησης Ασκήσεις : Επιχειρησιακά Μαθηµατικά Μεγιστοποίηση κέρδους & ελαστικότητα ζήτησης www.maths.gr, www.facebook.com/maths.gr, maths@maths.gr Ιδιαίτερα Μαθήµατα, τηλ.: 6979210251 Έστω ότι η συνάρτηση ζήτησης είναι: 18 Q+ 2 P 980 Eνώ το οριακό µόστος είναι ΜC 36 Q, και τα πάγια έξοδα είναι FC 10 (a) Για ποιο επίπεδο παραγωγής ο µονοπωλητής µεγιστοποιεί τα κέρδη του; (β) Υπολογίστε την ελαστικότητα ζήτησης ως προς την τιµή στο σηµείο που µεγιστοποιούνται τα κέρδ\ η ΛΥΣΗ (a) 18 Q+ 2 P 980 P 9 Q+ 490 Επίσης ισχύει ότι: TR P Q TR 9 Q 2 + 490 Q Γνωρίζουµε ακόµη ότι TC MC dq + FC 1
TC 36 Q dq+ 10 TC 18 Q 2 + 10 Από τον ορισµό του κέρδους έχουµε: Π TR TC Π 27 Q 2 + 490 Q 10 Κανόνας Πρώτης Παραγώγου: Π 54 Q+ 490 54 Q+ 490 0 Q 245 27 Q 9.074 Κανόνας εύτερης Παραγώγου: Π 245-54 27 Π 245 < 0, άρα έχουµε µέγιστο κέρδος ίσο µε: 27 Π 245 27 59755 27 2213.1 2
www.maths.gr, www.facebook.com/maths.gr, maths@maths.gr (β) 18 Q+ 2 P 980 P 490 Q(P) 9 9 Άρα: Q ( P) -1 9 3
Από τον ορισµό της ελαστικότητας: P Q [ Q ( P) ] P P 490 Όµως από το (α) βρίσκουµε ότι: P 9 Q+ 490 P 1225 3 Συνεπώς η ελαστικότητα στο σηµείο µεγίστου κέρδους είναι: -5-5. www.maths.gr, www.facebook.com/maths.gr, maths@maths.gr Ασκήσεις : Επιχειρησιακά Μαθηµατικά Μεγιστοποίηση κέρδους & ελαστικότητα ζήτησης www.maths.gr, www.facebook.com/maths.gr, maths@maths.gr Ιδιαίτερα Μαθήµατα, τηλ.: 6979210251 Έστω ότι η συνάρτηση ζήτησης είναι: 14 Q+ 2 P 1100 Eνώ το οριακό µόστος είναι ΜC 36 Q, και τα πάγια έξοδα είναι FC 14 (a) Για ποιο επίπεδο παραγωγής ο µονοπωλητής µεγιστοποιεί τα κέρδη του; (β) Υπολογίστε την ελαστικότητα ζήτησης ως προς την τιµή στο σηµείο που µεγιστοποιούνται τα κέρδ\ η ΛΥΣΗ (a) 14 Q+ 2 P 1100 4
P 7 Q+ 550 Επίσης ισχύει ότι: TR P Q TR 7 Q 2 + 550 Q Γνωρίζουµε ακόµη ότι TC MC dq + FC TC 36 Q dq+ 14 TC 18 Q 2 + 14 Από τον ορισµό του κέρδους έχουµε: Π TR TC Π 25 Q 2 + 550 Q 14 Κανόνας Πρώτης Παραγώγου: Π 50 Q+ 550 50 Q+ 550 0 Q 11 Q 11. Κανόνας εύτερης Παραγώγου: Π ( 11) -50 Π ( 11) Π( 11 ) 3011 3011. < 0, άρα έχουµε µέγιστο κέρδος ίσο µε: 5
www.maths.gr, www.facebook.com/maths.gr, maths@maths.gr (β) 14 Q+ 2 P 1100 P 550 Q(P) 7 7 Άρα: Q ( P) -1 7 6
Από τον ορισµό της ελαστικότητας: P Q [ Q ( P) ] P P 550 Όµως από το (α) βρίσκουµε ότι: P 7 Q+ 550 P 473 Συνεπώς η ελαστικότητα στο σηµείο µεγίστου κέρδους είναι: -43 7-6.1429 www.maths.gr, www.facebook.com/maths.gr, maths@maths.gr Ασκήσεις : Επιχειρησιακά Μαθηµατικά Μεγιστοποίηση κέρδους & ελαστικότητα ζήτησης www.maths.gr, www.facebook.com/maths.gr, maths@maths.gr Ιδιαίτερα Μαθήµατα, τηλ.: 6979210251 Έστω ότι η συνάρτηση ζήτησης είναι: 10 Q+ 6 P 580 Eνώ το οριακό µόστος είναι ΜC 34 Q, και τα πάγια έξοδα είναι FC 23 (a) Για ποιο επίπεδο παραγωγής ο µονοπωλητής µεγιστοποιεί τα κέρδη του; (β) Υπολογίστε την ελαστικότητα ζήτησης ως προς την τιµή στο σηµείο που µεγιστοποιούνται τα κέρδ\ η ΛΥΣΗ (a) 10 Q+ 6 P 580 7
5 Q 290 P 3 3 Επίσης ισχύει ότι: TR P Q 5 290 TR 3 Q2 3 Q Γνωρίζουµε ακόµη ότι TC MC dq + FC TC 34 Q dq+ 23 TC 17 Q 2 + 23 Από τον ορισµό του κέρδους έχουµε: Π TR TC 56 290 Π 3 Q2 3 Q 23 Κανόνας Πρώτης Παραγώγου: 112 Q 290 Π 3 3 112 Q 3 Q 145 56 Q 2.589 290 0 3 Κανόνας εύτερης Παραγώγου: Π 145-112 56 3 Π 145 < 0, άρα έχουµε µέγιστο κέρδος ίσο µε: 56 Π 145 56 17161 168 102.15 8
www.maths.gr, www.facebook.com/maths.gr, maths@maths.gr (β) 10 Q+ 6 P 580 3 P Q(P) 58 5 Άρα: 9
-3 Q ( P) 5 Από τον ορισµό της ελαστικότητας: P Q [ Q ( P) ] 3 P 3 P 290 Όµως από το (α) βρίσκουµε ότι: 5 Q 290 P 3 3 P 15515 168 Συνεπώς η ελαστικότητα στο σηµείο µεγίστου κέρδους είναι: -107 5-21.400 www.maths.gr, www.facebook.com/maths.gr, maths@maths.gr Ασκήσεις : Επιχειρησιακά Μαθηµατικά Μεγιστοποίηση κέρδους & ελαστικότητα ζήτησης www.maths.gr, www.facebook.com/maths.gr, maths@maths.gr Ιδιαίτερα Μαθήµατα, τηλ.: 6979210251 Έστω ότι η συνάρτηση ζήτησης είναι: 18 Q+ 4 P 1540 Eνώ το οριακό µόστος είναι ΜC 28 Q, και τα πάγια έξοδα είναι FC 24 (a) Για ποιο επίπεδο παραγωγής ο µονοπωλητής µεγιστοποιεί τα κέρδη του; (β) Υπολογίστε την ελαστικότητα ζήτησης ως προς την τιµή στο σηµείο που µεγιστοποιούνται τα κέρδ\ η 10
ΛΥΣΗ (a) 18 Q+ 4 P 1540 9 Q P 385 2 Επίσης ισχύει ότι: TR P Q 9 TR 2 Q2 385 Q Γνωρίζουµε ακόµη ότι TC MC dq + FC TC 28 Q dq+ 24 TC 14 Q 2 + 24 Από τον ορισµό του κέρδους έχουµε: Π TR TC 37 Π 2 Q2 385 Q 24 Κανόνας Πρώτης Παραγώγου: Π 37 Q+ 385 37 Q+ 385 0 Q 385 37 Q 10.41 Κανόνας εύτερης Παραγώγου: Π 385-37 37 Π 385 < 0, άρα έχουµε µέγιστο κέρδος ίσο µε: 37 Π 385 37 11
146449 74 1979.0 www.maths.gr, www.facebook.com/maths.gr, maths@maths.gr (β) 18 Q+ 4 P 1540 12
2 P 770 Q(P) 9 9 Άρα: Q ( P) -2 9 Από τον ορισµό της ελαστικότητας: P Q [ Q ( P) ] P P 385 Όµως από το (α) βρίσκουµε ότι: 9 Q P 385 2 P 25025 74 Συνεπώς η ελαστικότητα στο σηµείο µεγίστου κέρδους είναι: -65 9-7.2222 www.maths.gr, www.facebook.com/maths.gr, maths@maths.gr Ασκήσεις : Επιχειρησιακά Μαθηµατικά Μεγιστοποίηση κέρδους & ελαστικότητα ζήτησης www.maths.gr, www.facebook.com/maths.gr, maths@maths.gr Ιδιαίτερα Μαθήµατα, τηλ.: 6979210251 Έστω ότι η συνάρτηση ζήτησης είναι: 10 Q+ 6 P 1420 Eνώ το οριακό µόστος είναι ΜC 38 Q, και τα πάγια έξοδα είναι FC 19 13
(a) Για ποιο επίπεδο παραγωγής ο µονοπωλητής µεγιστοποιεί τα κέρδη του; (β) Υπολογίστε την ελαστικότητα ζήτησης ως προς την τιµή στο σηµείο που µεγιστοποιούνται τα κέρδ\ η ΛΥΣΗ (a) 10 Q+ 6 P 1420 5 Q 710 P 3 3 Επίσης ισχύει ότι: TR P Q 5 710 TR 3 Q2 3 Q Γνωρίζουµε ακόµη ότι TC MC dq + FC TC 38 Q dq+ 19 TC 19 Q 2 + 19 Από τον ορισµό του κέρδους έχουµε: Π TR TC 62 710 Π 3 Q2 3 Q 19 Κανόνας Πρώτης Παραγώγου: 124 Q 710 Π 3 3 124 Q 3 Q 355 62 Q 5.726 710 0 3 Κανόνας εύτερης Παραγώγου: Π 355-124 62 3 14
Π 355 < 0, άρα έχουµε µέγιστο κέρδος ίσο µε: 62 Π 355 62 122491 186 658.55 www.maths.gr, www.facebook.com/maths.gr, maths@maths.gr (β) 15
10 Q+ 6 P 1420 3 P Q(P) 142 5 Άρα: Q ( P) -3 5 Από τον ορισµό της ελαστικότητας: P Q [ Q ( P) ] 3 P 3 P 710 Όµως από το (α) βρίσκουµε ότι: 5 Q 710 P 3 3 P 42245 186 Συνεπώς η ελαστικότητα στο σηµείο µεγίστου κέρδους είναι: -119 5-23.800 www.maths.gr, www.facebook.com/maths.gr, maths@maths.gr 16