ΧΡΗΣΗ ΑΚΟΛΟΥΘΙΩΝ ΣΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Ι ίεται η συεχής συάρτηση f : R Να δείξετε ότι f = ΛΥΣΗ R µε τη ιδιότητα αf α = f + α α+, α Η αρχική γράφεται: α f α α + = f + Έστω g = f +.Τότε: g g Η () α ( α ) =α ( α ) g g () α 3 ( α ) =α ( α ) g g () 3 α 3 4 ( α ) =α ( α ) g g () α g α =α g α Με πολλαπλασιασµό κατά µέλη g =α g α lim g = lim α g lim α = g = + + + g = f = =α α ()
ΘΕΜΑ ΙΙ, Έστω η συάρτηση f + ηµ =, = i) Βρείτε τη παράγωγο f, για κάθε R ii) Να εξετάσετε α η f είαι συεχής στο = iii) Να δείξετε ότι για κάθε ΛΥΣΗ i) Έχουµε για f = + ηµ συ ε> η fδε είαι αύξουσα στο ( ε, ε ) + ηµ ηµ f f lim = lim = lim+ ηµ = lim + =, ηµ ω ω=, Άρα f + ηµ συ =, = ii) Για τη συέχεια της f θα κάουµε χρήση ακολουθίες. Έστω =, π Ν, Οι οποίες έχου όριο το δηλαδή, y y =, π Ν π+ f( ) = + πηµ π συπ= = f( y ) ( ) ( ) ( ) = + π+π π ηµ π+π συ π+π = + = 3 Οπότε δε υπάρχει το όριο της f, ότα.
iii) Για τις ακολουθίες ( ),( y ) < < <ε, από κάποιο και έπειτα π π+ π f = + πηµ ( π) συπ= < π f = + ( π+π) ηµ ( π+π) συ( π+π ) = 3> π π+ Άρα η f δε διατηρεί σταθερό πρόσηµο στο ( ε, ε ). Έτσι η f δε είαι αύξουσα στο ( ε, ε ). ΘΕΜΑ ΙΙΙ Μπορεί µια συάρτηση συεχής σε έα διάστηµα, α µη έχει στο άκρο του διαστήµατος τοπικό ακρότατο; ΑΠΑΝΤΗΣΗ: ΝΑΙ, Έστω f συ > =, = Η fείαι συεχής στο [,+ ) και δε παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο. Έστω = π, y = π+π, Ν f > π π f = < π+π π+π Αυτό σηµαίει ότι η f παίρει «κοτά» στο άπειρες θετικές και αρητικές τιµές οπότε το f = δε είαι τοπικό ακρότατο. 3
ΘΕΜΑ 5 Υπάρχου στάσιµα σηµεία εσωτερικά εός διαστήµατος, στα οποία µια συεχής και παραγωγίσιµη συάρτηση σε αυτά α µη παρουσιάζει ακρότατο ούτε σηµείο καµπής, αλλά α έχει οριζότια εφαπτοµέη. ΑΠΑΝΤΗΣΗ: ΝΑΙ, Έστω f ηµ =, = ηµ t= f f ηµ t lim = lim = lim ηµ lim =, t + t Άρα f =, οπότε το σηµείο είαι στάσιµο σηµείο. ηµ t t t Η απόδειξη ότι στο = η fδε παρουσιάζει ακρότατο είαι άµεση συέπεια του γεγοότος ότι όσο και α πλησιάσουµε το σηµείο υπάρχου τόσο αρητικές όσο και θετικές τιµές της f. Έστω = 4 π+π, y = 4π π, y f = > 4π+π f( y) = f = < 4π π 4π π Για τη εφαπτοµέη στο = y f = f ( ) y= f y= Άρα ο άξοας. Ο άξοας τέµει τη (στο σηµείο C f σε αριθµήσιµο πλήθος σηµείω, οσοδήποτε κοτά στο,κ Ν ). Άρα σε καέα διάστηµα (,ε ) ή (,) κπ ε µε ε> η fδε στρέφει τα κοίλα άω ή κάτω. Εποµέως το = δε µπορεί α είαι θέση σηµείου καµπής µε οριζότια εφαπτοµέη. 4
ΘΕΜΑ 6 Έστω f : R ατίστροφη της ΑΠΟ ΕΙΞΗ: Rµια ατιστρέψιµη και συεχής συάρτηση. Να αποδειχθεί ότι η f είαι συεχής. Έστω y f ([ α, β] ) D( f ) και ακολουθία ( y ) Ν, y f ([, ]) y y. Α = f ( y ), f ( y ) = θα δείξω. Έστω ότι η ( ) δε συγκλίει στο ε.. Τότε ε> : α ισχύει α β και Θεωρούµε τη υπακολουθία Ν της ( ) Ν, για τη οποία για κάθε ισχύει ε. Η υπακολουθία στο [, ] α β είαι φραγµέη και από το θεώρηµα Bolzano Weierstass, προκύπτει ότι έχει µια συγκλίουσα υπακολουθία. Έστω ( y ) η συγκλίουσα υπακολουθία της ( ). Ν Α y, fσυεχής. Όµως f y Ν λόγου, τότε θα ισχύει f( y ) f () αφού η είαι υπακολουθία της f ( ) = ( y ) και y y f( ) Εποµέως f f( ) () Άρα (),() f( ) f Ν = άτοπο αφού η f " ". Ν = 5
ΘΕΜΑ 7 Έστω f γησίως µοότοη και " " στο [, ] α β. Α η fπαίρει µέγιστη Μ και ελάχιστη τιµή mστο [ α, β ], α δείξετε ότι η f συεχής στο [, ] ΑΠΟ ΕΙΞΗ: Έστω η f, τότε f( α ) = m, f( β ) =Μ. Α ( α, β) θα δείξω Έστω ε> y y y lim f = f = y. ε< < +ε τότε f y ε < f ( y ) < f ( y +ε ) < <, = f ( y ε ), = f ( y +ε ) Α επιλέξουµε min{, } δ< +δ οπότε δ ε = τότε ( δ ) < ( +δ) f f f f Άρα ( δ, +δ ) το f ( f( ),f ) α β. οπότε η f συεχής συάρτηση. ΘΕΩΡΗΜΑ (συέχειας) Έστω X και Y δύο τοπολογικοί χώροι και Φ : X Y. Τότε τα εξής είαι ισοδύαµα. α) Η Φ συεχής πατού στο X. β) Για κάθε ( ) f( ) f n n µε Ν n n γ) Για κάθε α Χ και κάθε γειτοιά Vτου Φ α, υπάρχει γειτοιά Uτου α, έτσι ώστε Φ( U) V. δ) Για κάθε Gαοιχτό υποσύολο του Yτο φ ( G) είαι αοιχτό υποσύολο του Χ. ε) Για κάθε F κλειστό υποσύολο του Yτο φ ( F) είαι κλειστό υποσύολο του Χ. στ) Για κάθε υποσύολο Α του Χ φ Α φ Α 6
ΘΕΜΑ 9, Έστω f + ηµ =, = i) Να δείξετε ότι η f είαι παραγωγίσιµη στο R. ii) Να βρείτε τη f, f και α δείξετε ότι η f δε είαι συεχής στο. iii) Να δείξετε ότι δε υπάρχει διάστηµα ( δ, δ ), δ> ώστε η f α είαι αύξουσα. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ ( f ) Α fπαραγωγίσιµη και f ( ξ ) >, Για α ισχύει κάτι τέτοιο πρέπει η f συεχής στο ξ. ΛΥΣΗ i) Είαι f = + 4 ηµ συ,. ξ < δε έπεται η f αύξουσα (ή φθίουσα). + ηµ ηµ f f lim lim lim lim = = + ηµ = + = = + =, Αφού,α t= 4, ii) Άρα f + ηµ συ =, = lim f = lim + 4 ηµ συ, f = > lim + 4 ηµ = + 4 = Η συάρτηση g = συ δε έχει όριο στο διότι α +, Ν έχουµε, y. Τότε: g = συ π = = π, y = π π+, 7
π g( y) = συ π+ = άρα η g δε έχει όριο στο οπότε και η f δε έχει όριο στο. iii) Έχουµε f > Θα δείξουµε ότι η f δε είαι αύξουσα κοτά στο (χρειάζεται συέχεια της f ). Υπάρχει Ν (αρκετά µεγάλο) : = > = > 3 = π π π π+ π+π+ δ> > > 3 > δ. Τότε < f( ) και f( ) < f( ) f 3 Άρα η f δε είαι στο ( δ, δ ). ΘΕΜΑ Έστω α (,) και συάρτηση f : R R Να δειχθεί ότι ΛΥΣΗ Επειδή f lim =. µε lim f = και f f( α ) lim =. f f( α ) f( α) f( α ) lim = θα είαι και lim =, α 3 f α f α lim =,, α f α f α lim =, α Έτσι για κάθε ε >, δ> : : < <δ α ισχύει κ κ f α f α κ α <ε κ=,,..., Ν. Σηµείωση: Τα ε { ε ε ε } { } min,,..., προηγούµεω ορίω εά εκφραστού µε ε και δ. Επειδή lim f = για κάθε ακολουθία ( α ) µε Εποµέως για Έτσι α =α είαι f f f α = lim + lim f α =. + δ δ δ δ όλω τω min,,..., lim f α =. α θα είαι + 8
Όµως είαι 3 f f α f α f α f α f α f f( α ) α α = 3 4 3 f α f α f α f α +α +... +α 3 α α +α +α + 3 f f α f α f α f α f α f α f α +α +α +... +α α α α Άρα 3 f f( α) f( α) f( α ) f α f α +α +α + f α α lim < + f α f α +... +α α { } α lim ε +αε +... +α ε = lim +α+α... +α ε = lim ε= α + + + α = lim ε + α Α εκλέξουµε ε = ( α) ε f α < lim ( α) ε= lim ( α ) ε=ε + α + αφού α < α Άρα ε> δ> : : < <δ α ισχύει: f f <ε lim = 9