Άσκηση Α, Β ατιστρέψιµοι πίακες µε ΑΒ=Α, ΒΑ=Β είξτε ότι ος τρόπος Α = Α Α = ( Α Β) Α = Α Β Α Α = Α Οµοίως Α = Α Β = Α ( Β Α) = Α Β Α ος τρόπος Α =Α Α= ( Α Β) Α=Α ( Β Α ) =Α Β=Α Οµοίως Α =Α, Β =Β Β =Β Β =Β Άσκηση Α, Β ατιστρέψιµοι πίακες µε ΑΒ=ΒΑ είξτε ότι: Α Β =Β Α, Α Β=ΒΑ ΑΒ=ΒΑ ( ΑΒ) Β = ( ΒΑ) Β Α( ΒΒ ) =Β( ΑΒ ) ΑΙ=Β( ΑΒ ) Α=Β( ΑΒ ) Β Α=Β [ Β( ΑΒ )] Β Α= ( Β Β)( ΑΒ ) Β Α=Ι( ΑΒ ) Β Α=ΑΒ β) Οµοίως Άσκηση 3 4 3 4 Α Α τετραγωικός x πίακας και Α +Α +Α +Α+Ι =Ο, τότε Α =Α ος τρόπος 3 ( Α Α Α Ι ) Α 4 3 Ι = Α Α Α Α= Α 3 ( Α Α Α Ι ) 3 Άρα υπάρχει ο Α και είαι Α = Α Α Α Ι ος τρόπος 4 3 4 3 Α +Α +Α +Α+Ι =Ο (Α-Ι )(Α +Α +Α +Α+Ι )=(Α-Ι ) Ο Α Α =Ι Α Ι =Ο Α =Ι Α =Α 4 5 5 4 4 Α Α=Ι Άσκηση 4 είξτε ότι ο Χ= επαληθεύει τη αριθµός 4 Αποδεικύω αρχικά τη σχέση Χ = 4Ι Άρα: 4Κ+ Κ Χ + Χ=Ο, όπου Κ περιττός 4Κ+ Κ Χ + Χ= 4 Κ Κ ( ) ( ) Χ Χ + Χ= Κ Κ ( 4 Ι ) Χ + 4 Χ= Κ Κ 4 Χ + 4 Χ=Ο Στέφαος Ι Καραβάς, Μαθηµατικός (ΜΕd),Επίκουρος Καθηγητής ΑΕΝ Οιουσσώ
Έστω Άσκηση 5 3 Α= Να υπολογισθού οι πίακες: Α, Α Ο = f Α =Α + α Α + 4 β Ι, µε α, β R, δείξτε ότι β) Α ( ) 4 6 49 α β 7 β) 9 + = Άρα Α = 7Ι, ( ) ( ) ( ) 4 6 f ( Α ) =Α + α Α + 4β Ι Α = Α = 7 Ι = 7 Ι = 7 Ι ( ) = 7 Ι + α 7 Ι + 4 β Ι = 7 + α 7 Ι + 4 β Ι =Ο 3 3 3 9 9 7 + α 7 + 4 β = 7 + α 7 + β = 49 α+ β = 7 Άσκηση 6 Έστω Α και Α = Α Να λυθεί στο η εξίσωση: Χ+Α=Χ Α Λύση Α = Α Α Α=Ο Α Α Ι +Ι =Ι ( Α Ι ) =Ι ο πίακας ( Α Ι ) είαι ατιστρέψιµος και ( Α Ι ) =Α Ι Χ+Α=Χ Α Α=Χ Α Α =Χ (Α Ι ) Χ=Α Α Ι =Α Α Ι =Α Α Ι = Α Α=Α ( ) ( ) Άσκηση 7 Να βρεθεί α υπάρχει, το ουδέτερο στοιχείο ως προς το πολλαπλασιασµό πιάκω a * της µορφής a, a Z x * Έστω I = x µε x Z το ουδέτερο στοιχείο Τότε a x a a x = a, άρα ax a ax = a, άρα x= Άρα I = ουδέτερο στοιχείο από δεξιά x a a ax a Επίσης = x a a, άρα ax = a, άρα x= Συεπώς το I = είαι το ουδέτερο στοιχείο και από αριστερά, άρα είαι το ουδέτερο στοιχείο Στέφαος Ι Καραβάς, Μαθηµατικός (ΜΕd),Επίκουρος Καθηγητής ΑΕΝ Οιουσσώ
Άσκηση 8 a Α A a = όπου a R, α δειχθεί ότι A = όπου N a Ότα =, είαι A = =Α Έστω ότι η προς απόδειξη σχέση ισχύει για = κ, δηλαδή έστω ότι κa A κ = 3 Θα δειχθεί ότι η προς απόδειξη σχέση ισχύει για = κ+ Πράγµατι: κ+ κ κa a ( κ+ ) a A = A Α= = Από τα βήµατα,, 3 και τα γωστά από τη επαγωγή, έχοµε ότι η προς απόδειξη σχέση ισχύει για κάθε φυσικό αριθµό Είαι Να υπολογισθεί ο πίακας =, Άσκηση 9 5 =, 3 3 = Ισχυρίζοµαι ότι:, = N Ότα =, είαι = Έστω ότι η προς απόδειξη σχέση ισχύει για = κ, δηλαδή έστω ότι κ κ = 3 Θα δειχθεί ότι η προς απόδειξη σχέση ισχύει για = κ+ Πράγµατι: κ+ κ κ κ+ = = = Από τα βήµατα,, 3 και τα γωστά από τη επαγωγή, έχουµε ότι η προς απόδειξη σχέση ισχύει για κάθε φυσικό αριθµό Άρα 5 5 = Στέφαος Ι Καραβάς, Μαθηµατικός (ΜΕd),Επίκουρος Καθηγητής ΑΕΝ Οιουσσώ 3
Έστω Άσκηση συα ηµα Α= ηµα συα Να υπολογισθεί ο Α, όπου N συ α ηµ α ηµα συα συ α ηµ α Α =Α Α= = ηµα συα συ α ηµ α ηµ α συ α Ισχυρίζοµαι ότι συ ( ηµα ( ) Α = ηµα ( ) συ ( Για = ισχύει Πράγµατι είαι συα ηµα Α = =Α ηµα συα Έστω ότι η προς απόδειξη σχέση ισχύει για = κ, δηλαδή έστω ότι κ συ ( κα ) ηµ ( κα ) Α = ηµ ( κα ) συ ( κα ) 3 Θα δειχθεί ότι η προς απόδειξη σχέση ισχύει για = κ+ ηλαδή θα κ+ συ [( κ+ ) α] ηµ [( κ+ ) α] δειχθεί ότι Α = ηµ [( κ+ ) α] συ[( κ+ ) α] Πράγµατι: κ+ κ συ ( κα ) ηµ ( κα ) συα ηµα Α =Α Α= = ηµ ( κα ) συ ( κα ) ηµα συα συ ( κα ) συα ηµ ( κα ) ηµα συ ( κα ) ηµ ( + ηµ ( κα ) συα = = ηµ ( κα ) συα ηµα συ ( κα ) ηµα ηµ ( κα ) + συ ( κα ) συα συ ( κα + ηµ ( κα+ ηµ ( κα+ συ ( κα+ συ [( κ+ ) α] ηµ [( κ+ ) α] = ηµ [( κ+ ) α] συ[( κ+ ) α] Από τα βήµατα,, 3 και τα γωστά από τη επαγωγή, έχουµε ότι η προς απόδειξη σχέση ισχύει για κάθε φυσικό αριθµό Άσκηση x+ y 3ω = λ Να λυθεί το σύστηµα: x+ 6y ω = 3λ x y + 7ω = 3λ 3 λ 3 λ 3λ+ 3λ+ 6 3λ 5 λ 5 λ 5 λ + + 7 3λ 4 λ 4 λ λ Στέφαος Ι Καραβάς, Μαθηµατικός (ΜΕd),Επίκουρος Καθηγητής ΑΕΝ Οιουσσώ 4
Ότα λ λ, το σύστηµα είαι αδύατο 5 x+ ω = 5 Ότα λ=, τότε 5 αόριστο το σύστηµα y+ 5ω = Άσκηση x+ y= 3 Να λυθεί µε τη µέθοδο επαυξηµέου πίακα το σύστηµα: x+ 5y= λ 7x + 9y = λ x+ y = 3 Το σύστηµα γράφεται ως εξής: x+ 5y λ= Άρα 7x + 9y λ = 3 3 3 3 5 3 6 3 6 7 9 6 6 6 3 Ότα λ=, τότε ( x, y ) = (, ) Ότα λ το σύστηµα είαι αδύατο Άσκηση 3 x+ y+ λω= Να λυθεί µε τη µέθοδο επαυξηµέου πίακα το σύστηµα: x+ λ y+ 8ω = 3 λ λ λ λ 8 3 λ 4 8 λ λ 4 ( λ 4) Ότα λ 4 λ 4, το σύστηµα γράφεται και είαι αόριστο x+ y+ λω= ( λ 4) y ( λ 4) ω= Ότα λ 4= λ = 4, το σύστηµα είαι αδύατο διότι η δεύτερη γραµµή γράφεται Να λυθεί µε το σύστηµα: Άσκηση 4 ( a 3) x y= x ( a 4) y= x + y = 3 a Στέφαος Ι Καραβάς, Μαθηµατικός (ΜΕd),Επίκουρος Καθηγητής ΑΕΝ Οιουσσώ 5
Είαι D= ( a ) ( a 6) Ότα D a και α 6, το σύστηµα είαι αδύατο Ότα D= a= α=6 Για a=, το σύστηµα γίεται: x y= x+ y= x= y, y R x+ y= Για α=6, το σύστηµα γίεται: 3x y= x y= Επειδή Γ3, το σύστηµα γράφεται x+ 3y= 3 3x y= DX DY, οπότε ( x, y) =, x y= D D Άσκηση 5 λ x+ µ y= Να λυθεί µε το σύστηµα: µ x+ λ y= λ + µ Είαι D= ( λ µ )( λ + µ ) Ότα D λ ± µ, τότε Ότα λ = µ, το σύστηµα γράφεται: Ότα λ = µ, το σύστηµα γράφεται: µ λ DX DY λ + µ λ µ λ + µ ( x, y) =,, = D D ( λ µ )( λ + µ ) ( λ µ )( λ + µ ) λx+ λ y= λx+ λ y= λ+ λ λx λ y= λx λ y= Στέφαος Ι Καραβάς, Μαθηµατικός (ΜΕd),Επίκουρος Καθηγητής ΑΕΝ Οιουσσώ 6