Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούνης Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούνης Αρκετά τρόφιμα περιέχουν το ιχνοτοιχείο ελήνιο το οποίο, όταν προλαμβάνεται ε μικρές ποότητες ημερηίως, έχει ευεργετική επίδραη την υγεία Ένας φοιτητής του τμήματος Επιτήμης και Τεχνολογίας Τροφίμων του Γεωπονικού Πανεπιτημίου Αθηνών, το πλαίιο της πτυχιακής του εργαίας, πρέπει να μελετήει την ημερήια ποότητα εληνίου που προλαμβάνουν οι ενήλικες μέω της διατροφής τους ε δύο υγκεκριμένες περιοχές της χώρας, έτω Α και Β, όπου κατεξοχήν καταναλώνονται τρόφιμα τοπικής παραγωγής (η περιεκτικότητα των τροφίμων ε ελήνιο ποικίλει ανάλογα με την περιοχή παραγωγής τους Η ημερήια ποότητα εληνίου που προλαμβάνει ο άνθρωπος από τις τροφές είναι προφανώς τυχαία μεταβλητή και από τη βιβλιογραφία ο φοιτητής γνωρίζει ότι αυτή ακολουθεί κανονική κατανομή Δε γνωρίζει όμως τις τιμές των παραμέτρων της, τόο για την περιοχή Α όο και για την περιοχή Β και ειδικότερα για τους ενήλικες αυτών των περιοχών Δηλαδή, αν Χ η τυχαία μεταβλητή που εκφράζει την ημερήια ποότητα εληνίου που προλαμβάνουν από τη διατροφή τους οι ενήλικες την περιοχή Α και Υ η τυχαία μεταβλητή που εκφράζει την ημερήια ποότητα εληνίου που προλαμβάνουν από τη διατροφή τους οι ενήλικες την περιοχή Β, ο φοιτητής γνωρίζει ότι ~ N( μ, και Y ~ N( μ, όμως δε γνωρίζει τις τιμές των παραμέτρων τους, μ, και μ,, αντίτοιχα Για το κοπό αυτό, με μια τυχαία διαδικαία, επέλεξε 6 ενήλικες από κάθε περιοχή και για καθέναν υπολόγιε/μέτρηε (με κάποια μέθοδο την ημερήια ποότητα εληνίου που προλαμβάνει μέω της διατροφής του Μετά την επεξεργαία των δεδομένων που υγκέντρωε, προέκυψε ότι, η δειγματική μέη τιμή και η δειγματική τυπική απόκλιη για το δείγμα από την περιοχή Α, είναι x 75μgr και s 84μgr, και για το δείγμα από την περιοχή Β, είναι, y 87μ gr και s 9μgr Με βάη τα ευρήματα ε αυτά τα δύο τυχαία δείγματα, τι μπορεί να υμπεράνει ο φοιτητής για την άγνωτη μέη τιμή μ, δηλαδή, για τη μέη ημερήια ποότητα εληνίου που προλαμβάνουν οι ενήλικες την περιοχή Α, και για την, άγνωτη επίης, μέη τιμή μ, αλλά και για το πώς αυτές υγκρίνονται, δηλαδή, αν είναι ίες ή διαφέρουν και ποια είναι μεγαλύτερη (και πόο αν διαφέρουν Επίης, τι μπορεί να υμπεράνει για τις άγνωτες διαπορές και και για το πώς αυτές υγκρίνονται Αυτά τα ερωτήματα είναι τυπικά παραδείγματα ερωτημάτων τα οποία δίνει απαντήεις η Στατιτική Στην ενότητα αυτή, θα δούμε ( επιτέλους πώς, για παράδειγμα, ο φοιτητής μπορεί, με βάη τα ευρήματα το τυχαίο δείγμα από την περιοχή Α, να «πει κάτι» για τη μέη τιμή μ, της τυχαίας μεταβλητής Χ της οποίας δε γνωρίζει επακριβώς την κατανομή (γνωρίζει μόνο την οικογένεια κατανομών την οποία ανήκει ή τι μπορεί να πει για το αν οι μέες τιμές μ και μ είναι ίες ή διαφέρουν (και πόο και αντίτοιχα για τις διαπορές και Θα δούμε επίης, τι απαντήεις μπορεί να δώει ε αυτά τα ερωτήματα αν δε γνωρίζει ε ποια οικογένεια κατανομών ανήκει η κατανομή της τυχαίας μεταβλητής Χ (και της Υ Ένα από τα γενικότερα θέματα που τίθενται με τα ερωτήματα που απαχολούν το φοιτητή, είναι το εξής: πώς, με βάη ένα τυχαίο δείγμα από έναν πληθυμό του οποίου δε γνωρίζουμε την κατανομή (ή γνωρίζουμε μόνο ε ποια οικογένεια κατανομών αυτή ανήκει, μπορούμε να εκτιμήουμε μία ή περιότερες άγνωτες παραμέτρους του Εφόον θεωρούμε ότι το τυχαίο δείγμα που έχουμε τη διάθεή μας, είναι ένα αντιπροωπευτικό, των δυνατών τιμών του πληθυμού, δείγμα, είναι λογικό να Εργατήριο Μαθηματικών&Στατιτικής/Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos 9
Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούνης εκτιμήουμε τις άγνωτες παραμέτρους του μέω «κατάλληλων» τατιτικών υναρτήεων που θα κατακευάουμε, και θα μπορούμε (όπως έχουμε εξηγήει να υπολογίουμε από το δείγμα Για παράδειγμα, για να εκτιμήουμε την άγνωτη μέη τιμή, μ, ενός πληθυμού, ή αλλιώς, μιας τυχαίας μεταβλητής, έτω Χ, είναι λογικό να χρηιμοποιήουμε τη δειγματική μέη τιμή που είναι μια υνάρτηη του δείγματος και μπορεί να υπολογιθεί από αυτό Κάθε τατιτική υνάρτηη που χρηιμοποιείται για την εκτίμηη μιας άγνωτης παραμέτρου ενός πληθυμού ονομάζεται εκτιμήτρια υνάρτηη ή εκτιμήτρια (estmator της άγνωτης παραμέτρου Η τιμή της εκτιμήτριας για υγκεκριμένη πραγματοποίηη του τυχαίου δείγματος, ονομάζεται εκτίμηη (estmato της άγνωτης παραμέτρου Έτι, το παράδειγμά μας, αν ως εκτιμήτρια της άγνωτης μέης τιμής μ, της 6 τυχαίας μεταβλητής Χ, επιλέξουμε τη δειγματική μέη τιμή, τότε, η τιμή 6 x 75μgr της, για το υγκεκριμένο τυχαίο δείγμα που πήρε ο φοιτητής από την περιοχή Α, μπορεί να χρηιμοποιηθεί ως μια εκτίμηη της άγνωτης μέης τιμής μ της Χ, δηλαδή, της άγνωτης μέης ημερήιας ποότητας εληνίου που προλαμβάνουν οι ενήλικες την περιοχή Α μέω της διατροφής τους Αντίτοιχα, η 6 τιμή y 87μgr της δειγματικής μέης τιμής Y Y, μπορεί να χρηιμοποιηθεί 6 ως μια εκτίμηη της άγνωτης μέης τιμής μ Σημειακή εκτίμηη Η εκτίμηη μιας άγνωτης παραμέτρου ενός πληθυμού μέω της τιμής μιας εκτιμήτριας (για υγκεκριμένη πραγματοποίηη ενός τυχαίου δείγματος από τoν πληθυμό, ονομάζεται ημειακή εκτίμηη (pot estmato της παραμέτρου και η εκτιμήτρια, ονομάζεται ημειακή εκτιμήτρια (pot estmator Είναι προφανές, ότι από κάθε πραγματοποίηη του τυχαίου δείγματος, παίρνουμε μια διαφορετική (εν γένει ημειακή εκτίμηη της άγνωτης παραμέτρου του πληθυμού Έτι, αν ο φοιτητής έπαιρνε ένα άλλο τυχαίο δείγμα μεγέθους 6 από την περιοχή Α και εύρικε, για παράδειγμα, δειγματική μέη τιμή x 745μgr, αυτή θα ήταν μια άλλη ημειακή εκτίμηη της μέης τιμής μ του πληθυμού Επίης, αν ως εκτιμήτρια της άγνωτης πληθυμιακής μέης τιμής, ο φοιτητής δεν επέλεγε τη δειγματική μέη τιμή, αλλά κατακεύαζε μια άλλη τατιτική υνάρτηη, για παράδειγμα, την m + T max, δηλαδή, το ημιάθροιμα της μικρότερης και της μεγαλύτερης τιμής του δείγματος, προφανώς, θα έπαιρνε μια διαφορετική ημειακή εκτίμηη από αυτήν που πήρε, για την ίδια πραγματοποίηη του τυχαίου δείγματος, από τη δειγματική μέη τιμή Γεννώνται, επομένως, δύο εύλογα ερωτήματα α Υπάρχει κάποια μέθοδος για να καθορίζουμε/κατακευάζουμε εκτιμήτριες με βάη κάποια κριτήρια και όχι αυθαίρετα; β Ποιο είναι το «φάλμα της εκτίμηης» που κάνουμε, δηλαδή, πόο κοντά την πραγματική τιμή της παραμέτρου βρίκεται η τιμή της εκτιμήτριας που υπολογίζουμε από την πραγματοποίηη ενός τυχαίου δείγματος; Εργατήριο Μαθηματικών&Στατιτικής/Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos 9
Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούνης Σε ότι αφορά το πρώτο ερώτημα, η απάντηη (αφαλώς είναι ναι Μια πολύ γνωτή μέθοδος κατακευής εκτιμητριών είναι η μέθοδος μέγιτης πιθανοφάνειας (method of maxmum lkelhood που προτάθηκε από τον Roald A Fsher (9 Μια άλλη, επίης πολύ γνωτή μέθοδος/τεχνική εκτίμηης, είναι η μέθοδος των ροπών (method of momets που προτάθηκε από τον Karl Pearso (894 Επίης, για τις εκτιμήτριες έχουν οριθεί επιθυμητές ιδιότητες, ή αλλιώς, κριτήρια «καλής υμπεριφοράς» τους, όπως, αμεροληψία, υνέπεια και αποτελεματικότητα Ας δούμε αυτές τις τρεις ιδιότητες (τις μεθόδους εκτίμηης δε θα αναφερθούμε Ιδιότητες εκτιμητριών Είναι προφανές, ότι μια εκτιμήτρια μπορεί να χαρακτηριθεί «καλή» ή όχι, δηλαδή, μπορούμε να θεωρήουμε ότι έχει ή δεν έχει «καλές» ιδιότητες, ανάλογα με τη υμπεριφορά της ε επαναλαμβανόμενες δειγματοληψίες (από δείγμα ε δείγμα, η οποία περιγράφεται από την κατανομή της, ή αλλιώς, από τη δειγματοληπτική κατανομή Έτι, μια επιθυμητή/καλή ιδιότητα μιας εκτιμήτριας θα μπορούε να είναι η εξής: ε επαναλαμβανόμενες δειγματοληψίες, κατά μέο όρο να εκτιμά ωτά την άγνωτη παράμετρο, δηλαδή, ούτε να την υπερεκτιμά ούτε να την υποεκτιμά υτηματικά Η ιδιότητα αυτή ονομάζεται αμεροληψία (ubasedess Μια εκτιμήτρια, έτω θˆ, μιας παραμέτρου θ, ονομάζεται αμερόληπτη (ubased, αν η μέη τιμή της είναι ίη με την αληθή/πραγματική τιμή της παραμέτρου, δηλαδή, αν E [ ˆ] θ θ Στο Σχήμα-, η κατανομή (α είναι η κατανομή μιας εκτιμήτριας μιας παραμέτρου θ και η κατανομή (β είναι η κατανομή μιας άλλης εκτιμήτριας της ίδιας παραμέτρου θ Προφανώς, η (α είναι κατανομή αμερόληπτης εκτιμήτριας της παραμέτρου θ ενώ η (β, που είναι μετατοπιμένη προς τα αριτερά της αληθούς τιμής της θ, είναι κατανομή μη αμερόληπτης εκτιμήτριας της θ και τείνει να υποεκτιμά τη θ Σχήμα- Στο Σχήμα-, δίνουμε την έννοια της αμεροληψίας πιο παρατατικά Σκεφθείτε ότι ένας κοπευτής τοχεύει με βέλη προς ένα τόχο και θεωρείτε ότι ο τόχος είναι η αληθής/πραγματική τιμή μιας παραμέτρου θ και ο κοπευτής είναι η εκτιμήτρια Οι επαναλαμβανόμενες ρίψεις του βέλους, κατ αναλογία, αντιτοιχούν τις επαναλαμβανόμενες δειγματοληψίες και το ημείο πρόπτωης του βέλους, την εκτίμηη της θ, που φυικά εξαρτάται από τον κοπευτή (την εκτιμήτρια Εργατήριο Μαθηματικών&Στατιτικής/Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos 93
Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούνης Εργατήριο Μαθηματικών&Στατιτικής/Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos 94 Στην περίπτωη του κοπευτή-εκτιμήτριας (α, το ημείο πρόπτωης του βέλους (η εκτίμηη, τις επαναλαμβανόμενες ρίψεις (δειγματοληψίες, βρίκεται υτηματικά μακριά από το τόχο ε υγκεκριμένη περιοχή (πάνω δεξιά, ενώ την περίπτωη (β βρίκεται γύρω/κοντά το τόχο (την αληθή τιμή της παραμέτρου Σχήμα- Ας δούμε αν η δειγματική μέη τιμή,, είναι αμερόληπτη εκτιμήτρια της μέης τιμής, μ, ενός πληθυμού, δηλαδή, αν κατά μέο όρο εκτιμά ωτά τη μέη τιμή του πληθυμού Όπως έχουμε εξηγήει, ένα τυχαίο δείγμα από έναν πληθυμό που έχει μέη τιμή μ και διαπορά, υνίταται από ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές,,,, που είναι ιόνομες, δηλαδή, έχουν την ίδια κατανομή, αυτή του πληθυμού Επομένως, μ ] [ E και ] [ Var για κάθε,,, Έτι, μ μ μ μ μ + + + ( ( ] [ ] [ E E E E Επομένως, για οποιονδήποτε πληθυμό, με μέη τιμή μ και διαπορά, η δειγματική μέη τιμή (για οποιοδήποτε μέγεθος δείγματος είναι αμερόληπτη εκτιμήτρια της πληθυμιακής μέης τιμής μ Επίης, για οποιονδήποτε πληθυμό, με μέη τιμή μ και διαπορά, αποδεικνύεται ότι η δειγματική διαπορά S ( (για οποιοδήποτε μέγεθος δείγματος είναι μια αμερόληπτη εκτιμήτρια της πληθυμιακής διαποράς Πράγματι, E E S E ( ] [ + + E Var E E ] [ ( ( ( ( ] [ ] [ μ ( μ μ + Σημείωη-: Στην προηγούμενη απόδειξη χρηιμοποιήαμε τη γνωτή, από το Α Μέρος, χέη, ] [ ( ] [ ( E E Var, ή αλλιώς, ] [ μ E, καθώς και το ότι, για οποιονδήποτε πληθυμό με μέη τιμή μ και διαπορά, η διαπορά της
Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούνης δειγματικής μέης τιμής (για οποιοδήποτε μέγεθος δείγματος είναι ίη με,, δηλαδή, Var( Πράγματι, Var( Var Var Var( ( Σε αυτή την απόδειξη, χρηιμοποιήαμε και την ανεξαρτηία των ιόνομων τυχαίων μεταβλητών,,, (κεφθείτε ε ποιο ακριβώς ημείο της απόδειξης Σημείωη-: Αν ως εκτιμήτρια της διαποράς,, ενός πληθυμού χρηιμοποιήουμε τη τατιτική υνάρτηη S* (, εύκολα μπορεί να αποδειχθεί ότι, E[ S* ], δηλαδή, η S * δεν είναι αμερόληπτη εκτιμήτρια της διαποράς, αφού κατά μέο όρο υποεκτιμά τη Αυτός είναι και ο λόγος που την Περιγραφική Στατιτική, ως δειγματική διαπορά ορίαμε τη τατιτική υνάρτηη S ( και όχι την S *, που θα ήταν και πιο «λογικό» Σημείωη-3: Εύκολα μπορεί να αποδειχθεί (δείτε το ως άκηη ότι αν η μέη τιμή μ είναι γνωτή τότε η τατιτική υνάρτηη εκτιμήτρια της διαποράς ( μ είναι μια αμερόληπτη Η δειγματική μέη τιμή,, είναι, όπως αποδείξαμε, μια αμερόληπτη εκτιμήτρια της + πληθυμιακής μέης τιμής μ Όμως, και η τατιτική υνάρτηη T, αν χρηιμοποιηθεί ως εκτιμήτρια της πληθυμιακής μέης τιμής μ, θα την εκτιμά κατά μέο όρο ωτά, αφού, + E [ T ] E ( E[ ] + E[ ] ( μ + μ μ, δηλαδή, είναι και αυτή, μια αμερόληπτη εκτιμήτρια της μ Παρατηρείτε, επίης, ότι για οποιουδήποτε πραγματικούς αριθμούς α,,,,, με α, η τατιτική υνάρτηη T a, μπορεί να χρηιμοποιηθεί ως αμερόληπτη εκτιμήτρια της μέης τιμής μ, οποιουδήποτε πληθυμού (δείτε το ως μια απλή άκηη Άραγε, μεταξύ αμερόληπτων εκτιμητριών της ίδιας παραμέτρου ενός πληθυμού, έχει ημαία ποια θα επιλέξουμε ή μήπως δεν έχει; Η απάντηη είναι ότι έχει Η αμεροληψία δεν είναι η μόνη επιθυμητή ιδιότητα για μια εκτιμήτρια Δείτε το Σχήμα-3, τη υνάρτηη πυκνότητας μιας αμερόληπτης εκτιμήτριας ˆ θ, μιας παραμέτρου θ και τη υνάρτηη πυκνότητας μιας άλλης, αμερόληπτης, επίης, εκτιμήτριας ˆ θ, της ίδιας παραμέτρου θ Η εκτιμήτρια ˆ θ έχει προφανώς μικρότερη Εργατήριο Μαθηματικών&Στατιτικής/Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos 95
Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούνης διαπορά από την εκτιμήτρια ˆ θ Όπως φαίνεται από το χήμα, για οποιοδήποτε ε > 0, P ( θ ε ˆ θ ( ˆ θ + ε > P θ ε θ θ + ε, δηλαδή, η ˆ θ έχει μεγαλύτερη πιθανότητα από την ˆ θ, να πάρει τιμή που να βρίκεται ε απόταη το πολύ ε, από την αληθή τιμή της παραμέτρου θ Επομένως, η εκτιμήτρια ˆ θ υμπεριφέρεται καλύτερα από την ˆ θ γιατί έχει μικρότερη διαπορά Έτι, μια αμερόληπτη εκτιμήτρια, είναι επιθυμητό (δείτε και το Σχήμα-4 να έχει μικρή διαπορά (αυτό, τεκμηριώνεται και με την ανιότητα Chebyshev Μια αμερόληπτη εκτιμήτρια, ˆ θ, μιας παραμέτρου θ, ονομάζεται πιο αποτελεματική (more effcet από μια άλλη αμερόληπτη εκτιμήτρια, ˆ θ, της ίδιας παραμέτρου θ, αν Var ˆ θ < Var( ˆ ( θ Σχήμα-3 Σχήμα-4 Εύκολα μπορεί να αποδειχθεί ότι από όλες τις εκτιμήτριες της μέης τιμής, μ, ενός πληθυμού της μορφής, T για την οποία a, με α, τη μικρότερη διαπορά έχει αυτή α για κάθε,,,, δηλαδή, η δειγματική μέη τιμή Εργατήριο Μαθηματικών&Στατιτικής/Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos 96
Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούνης Προφανώς, είναι ενδιαφέρον και φυικά επιθυμητό, από όλες τις αμερόληπτες εκτιμήτριες μιας παραμέτρου να προδιορίουμε εκείνη με την ελάχιτη διαπορά, δηλαδή, να προδιορίουμε την αμερόληπτη εκτιμήτρια ελάχιτης διαποράς της παραμέτρου Όμως, για το αν και πώς μπορούμε να προδιορίουμε μια τέτοια εκτιμήτρια δε θα επεκταθούμε περιότερο Ολοκληρώνουμε αυτή τη ύντομη αναφορά ε κάποιες από τις επιθυμητές ιδιότητες των εκτιμητριών, με την ιδιότητα της υνέπειας (cosstecy η οποία κατατάεται τις ιδιότητες που αναφέρονται την αυμπτωτική υμπεριφορά των εκτιμητριών, δηλαδή, το πώς υμπεριφέρεται μια εκτιμήτρια όταν το μέγεθος του δείγματος αυξάνεται (θεωρητικά, όταν + Δε θα αναφερθούμε εκτενώς, ούτε θα δώουμε τον αυτηρό οριμό της υνέπειας Θα κάνουμε μόνο μια ύντομη αναφορά το νόημά της και θα δώουμε ένα παράδειγμα Όταν, προηγουμένως, αναφερθήκαμε την ιδιότητα της αποτελεματικότητας, προπαθήαμε να εξηγήουμε, γιατί είναι επιθυμητό να έχει μια αμερόληπτη εκτιμήτρια μικρή διαπορά Μπορεί να αποδειχθεί, ότι αν η διαπορά μιας αμερόληπτης εκτιμήτριας (ακριβέτερα, μια ακολουθίας αμερόληπτων εκτιμητριών υγκλίνει το μηδέν όταν το μέγεθος του δείγματος αυξάνεται ( +, τότε αυξάνεται η πιθανότητα η εκτίμηη να βρίκεται «κοντά» την τιμή της παραμέτρου Αυτή η ιδιότητα ονομάζεται υνέπεια Μια εκτιμήτρια ονομάζεται υνεπής (cosstet αν, καθώς αυξάνεται το μέγεθος του δείγματος, η εκτίμηη γίνεται καλύτερη/ακριβέτερη, δηλαδή, οι τιμές της εκτιμήτριας πληιάζουν (υγκλίνουν τοχατικά την τιμή της παραμέτρου Εύκολα μπορεί να αποδειχθεί ότι η δειγματική μέη τιμή είναι υνεπής εκτιμήτρια της πληθυμιακής μέης τιμής (αρκεί να θυμηθούμε ότι είναι αμερόληπτη εκτιμήτρια της πληθυμιακής μέης τιμής και ότι η διαπορά της,, τείνει το μηδέν όταν + και εφόον, φυικά, η πληθυμιακή διαπορά,, είναι πεπεραμένη Δηλαδή, όο αυξάνεται το μέγεθος του δείγματος, αυξάνεται η πιθανότητα οι τιμές της δειγματικής μέης τιμής,, να βρίκονται κοντά, να υγκλίνουν, την πληθυμιακή μέη τιμή, μ Σημειώνουμε, τέλος, ότι και η αμερόληπτη δειγματική διαπορά, S, είναι υνεπής εκτιμήτρια της πληθυμιακής διαποράς Ας δούμε τώρα, πώς μπορούμε να απαντήουμε το δεύτερο από τα δύο ερωτήματα που θέαμε την αρχή αυτής της ενότητας, δηλαδή, για το τι μπορούμε να πούμε για το φάλμα που κάνουμε, όταν εκτιμάμε μια άγνωτη παράμετρο ενός πληθυμού με βάη την πληροφορία που παίρνουμε από ένα τυχαίο δείγμα τιμών του Μια ημειακή εκτίμηη μιας άγνωτης παραμέτρου ενός πληθυμού, όπως είδαμε, είναι ένας υγκεκριμένος αριθμός (η υγκεκριμένη τιμή της εκτιμήτριας για μια υγκεκριμένη πραγματοποίηη ενός τυχαίου δείγματος από τον πληθυμό Όπως επίης είδαμε, με τις επιθυμητές ιδιότητες των εκτιμητριών, ουιατικά, ζητάμε, οι τιμές της εκτιμήτριας (ε επαναλαμβανόμενες δειγματοληψίες να βρίκονται, με μεγάλη πιθανότητα, κοντά την πραγματική/αληθή τιμή της παραμέτρου, δηλαδή, το φάλμα της εκτίμηης να είναι μικρό, με μεγάλη πιθανότητα Μπορούμε όμως, να κάνουμε κάτι ακόμη, ένα επιπλέον βήμα Με βάη, πάντα, την πληροφορία που παίρνουμε από ένα τυχαίο δείγμα, αντί να δίνουμε ένα μόνο αριθμό (μια ημειακή εκτίμηη ως εκτίμηη της άγνωτης παραμέτρου του πληθυμού, να δίνουμε ένα διάτημα εμπιτούνης, δηλαδή, ένα διάτημα το οποίο να περιέχει, με δεδομένη εμπιτούνη (πιθανότητα, την εκτιμώμενη παράμερο Μια τέτοια εκτίμηη λέγεται εκτίμηη διατήματος (terval estmato Εργατήριο Μαθηματικών&Στατιτικής/Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos 97
Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούνης Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούνης Ένα 00( - α % διάτημα εμπιτούνης (cofdece terval ( 0 < α <, για μια παράμετρο ενός πληθυμού, είναι ένα διάτημα που υπολογίζεται από ένα τυχαίο δείγμα από τον πληθυμό και έχει πιθανότητα α να περιέχει την πραγματική τιμή της παραμέτρου Η πιθανότητα α ονομάζεται υντελετής εμπιτούνης (cofdece coeffcet του διατήματος Έτι, κατακευάζοντας για μια άγνωτη παράμετρο ενός πληθυμού, ένα 00 ( α% διάτημα εμπιτούνης, δίνουμε ως εκτίμηή της, όχι έναν αριθμό (μια ημειακή εκτίμηη αλλά δύο αριθμούς που ορίζουν ένα διάτημα το οποίο περιέχει την άγνωτη παράμετρο με οριμένη πιθανότητα, ίη με α Η πιθανότητα αυτή ορίζεται, φυικά, να είναι μεγάλη (υνήθως, ίη με 090 ή 095 ή 098 ή 099 Διευκρινίζουμε και επιημαίνουμε, ότι λέγοντας, «το διάτημα εμπιτούνης υπολογίζεται από ένα τυχαίο δείγμα», εννοούμε ότι τα άκρα του είναι τατιτικές υναρτήεις (υναρτήεις του δείγματος που δεν περιέχουν άγνωτες παραμέτρους, δηλαδή, μπορεί να υπολογιθεί αποκλειτικά από το υγκεκριμένο δείγμα που, κάθε φορά, έχουμε τη διάθεή μας Είναι προφανές, ότι από πραγματοποίηη ε πραγματοποίηη του δείγματος, το διάτημα εμπιτούνης, εν γένει, μεταβάλλεται, είναι δηλαδή, τυχαία μεταβλητή Πριν εξηγήουμε πώς κατακευάζεται, ας δούμε πώς πρέπει να ερμηνεύεται ένα 00 ( α% διάτημα εμπιτούνης Σύμφωνα με τον οριμό που δώαμε προηγουμένως, ένα 00 ( α% διάτημα εμπιτούνης μιας παραμέτρου ενός πληθυμού, περιέχει την τιμή της παραμέτρου με πιθανότητα α Αυτό, ύμφωνα με την ερμηνεία της πιθανότητας ως οριακή χετική υχνότητα (οριμός της πιθανότητας κατά vo Mses, ημαίνει/έχει την έννοια ότι: ε μεγάλο αριθμό επαναλήψεων του πειράματος, «παίρνω ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους από τον πληθυμό και κατακευάζω για την άγνωτη παράμετρο ένα 00 ( α% διάτημα εμπιτούνης», ποοτό α των δειγμάτων, θα δώουν διάτημα που θα περιέχει την τιμή της παραμέτρου και ποοτό α των δειγμάτων θα δώουν διάτημα που δεν θα περιέχει την τιμή της παραμέτρου Βέβαια, όταν πάρουμε ένα υγκεκριμένο τυχαίο δείγμα, ποτέ δεν είματε βέβαιοι/δεν ξέρουμε αν το διάτημα εμπιτούνης που θα κατακευάουμε από αυτό, περιέχει/εγκλωβίζει ή όχι την τιμή της παραμέτρου (εκτός αν γνωρίζαμε την τιμή της παραμέτρου Αυτό, φυικά, δε μειώνει την αξία ενός διατήματος εμπιτούνης Η εμπιτούνη μας την εκτίμηη της παραμέτρου με αυτό, είναι ίη με α, είναι αφώς οριμένη και έχει την έννοια που εξηγήαμε προηγουμένως Ας δούμε και μια πιο παρατατική ερμηνεία της εκτίμηης με διάτημα εμπιτούνης που πιτεύουμε ότι θα βοηθήει την κατανόηη Σκεφθείτε ότι προπαθείτε, πετώντας ένα λάο, να «εγκλωβίετε» έναν πακτωμένο/ταθερό πάαλο (να περάετε τη θηλιά του λάου τον πάαλο Ο πάαλος αναπαριτά την παράμετρο που θέλετε να εκτιμήετε και η θηλιά του λάου το διάτημα εμπιτούνης Κάθε φορά που πετάτε το λάο προς τον πάαλο, ελπίζετε ότι θα καταφέρετε να τον «εγκλωβίετε» Όμως αυτό, κάποιες φορές Εργατήριο Μαθηματικών&Στατιτικής/Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos 98
Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούνης υμβαίνει και κάποιες όχι Κατ αναλογία, κάθε φορά που παίρνετε ένα τυχαίο δείγμα και κατακευάζετε από αυτό ένα διάτημα εμπιτούνης για να εκτιμήετε μια παράμετρο, ελπίζετε ότι θα «εγκλωβίετε» την παράμετρο το διάτημα που κατακευάατε, αλλά όπως υμβαίνει με τη θηλιά και τον πάαλο, κάποιες φορές επιτυγχάνετε και κάποιες αποτυγχάνετε Το ποοτό των «επιτυχιών» ας, ε επαναλαμβανόμενες δειγματοληψίες, είναι ο υντελετής εμπιτούνης Παρατήρηη: Κάποιος θα μπορούε να δώει την εξής ερμηνεία για ένα 00 ( α% διάτημα εμπιτούνης: η παράμετρος βρίκεται το υγκεκριμένο διάτημα που κατακευάαμε με πιθανότητα α Προφανώς μια τέτοια ερμηνεία δεν ευταθεί, είναι λάθος, γιατί η παράμετρος είναι, άγνωτη μεν, αλλά ταθερός αριθμός και επομένως ή ανήκει ή δεν ανήκει το υγκεκριμένο διάτημα (πιθανότητες αποδίδουμε τις τιμές τυχαίων μεταβλητών Ας δούμε τώρα, πώς μπορούμε να κατακευάουμε ένα 00 ( α% διάτημα εμπιτούνης για τη μέη τιμή, μ, ενός πληθυμού και τη υνέχεια για τη διαπορά του, 00(- α % Διατήματα Εμπιτούνης για τη μέη τιμή, μ, ενός πληθυμού Ως εκτιμήτρια της μέης τιμής μ θα χρηιμοποιήουμε τη δειγματική μέη τιμή, αφού όπως διαπιτώαμε τα προηγούμενα, έχει καλές ιδιότητες και επιπλέον, όπως είδαμε την ενότητα «Στατιτικές Συναρτήεις και Δειγματοληπτικές Κατανομές», υπάρχουν αποτελέματα της Θεωρίας Πιθανοτήτων και της Στατιτικής που μας δίνουν επακριβώς ή με ικανοποιητική προέγγιη την κατανομή της Για αυτές τις περιπτώεις (που γνωρίζουμε επακριβώς ή με ικανοποιητική προέγγιη την κατανομή της, ας δούμε πώς μπορούμε να κατακευάουμε ένα 00 ( α% διάτημα εμπιτούνης για την εκτίμηη της μέης τιμής μ ενός πληθυμού (α Ο πληθυμός ακολουθεί κανονική κατανομή με γνωτή διαπορά (και το μέγεθος του δείγματος οτιδήποτε, μικρό ή μεγάλο Έτω τυχαίο δείγμα,,,, μεγέθους (οτιδήποτε, μικρό ή μεγάλο, από έναν πληθυμό που ακολουθεί κανονική κατανομή με άγνωτη μέη τιμή μ (την οποία θέλουμε να εκτιμήουμε και με γνωτή διαπορά, δηλαδή, ~ N( μ,, για κάθε,,, Στην περίπτωη αυτή, γνωρίζουμε ότι η κατανομή της δειγματικής μέης τιμής, είναι κανονική με μέη τιμή μ και διαπορά, δηλαδή, γνωρίζουμε ότι, ~ N( μ, και επομένως, ( μ Z ~ N(0, Από το Α Μέρος, μάς είναι γνωτό ότι για την τυποποιημένη κανονική κατανομή μπορούμε να ορίουμε ένα υμμετρικό γύρω από τη μέη τιμή της (από το 0 διάτημα, το οποίο η Ζ παίρνει τιμές με δοθεία πιθανότητα α (θυμηθείτε πώς ορίζουμε και υμβολίζουμε ένα άνωα -ποοτιαίο ημείο την τυποποιημένη κανονική κατανομή Έτι, όπως φαίνεται και το Σχήμα-5, η Ζ παίρνει τιμές το υμμετρικό διάτημα z α, z ] με πιθανότητα α Δηλαδή, [ α P ( z Z α α zα Εργατήριο Μαθηματικών&Στατιτικής/Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos 99
Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούνης Σχήμα-5 Επομένως, ( μ P ( zα zα α Και επειδή, ( μ z α zα zα μ zα zα μ + zα z μ + z α α ( μ τα ενδεχόμενα, zα zα και zα μ + zα υμβαίνουν με την ίδια πιθανότητα, έτι, P ( zα μ + zα α Αυτό ημαίνει, ότι το τυχαίο διάτημα, ± zα, περιέχει τη μέη τιμή μ του πληθυμού με πιθανότητα α, και επομένως, για υγκεκριμένη πραγματοποίηη του τυχαίου δείγματος, μας δίνει ένα 00 ( α% διάτημα εμπιτούνης για τη μέη τιμή μ του πληθυμού Έτι, κάθε φορά που έχουμε τη διάθεή μας μια υγκεκριμένη πραγματοποίηη, x, x,, x, του τυχαίου δείγματος,,,, υπολογίζουμε την τιμή, x, της και αφού καθορίουμε έναν επιθυμητό υντελετή εμπιτούνης α, μπορούμε να κατακευάουμε ένα 00 ( α% διάτημα εμπιτούνης, αφού η διαπορά,, του πληθυμού μάς είναι γνωτή και η τιμή α z δίνεται από τον πίνακα της τυποποιημένης κανονικής κατανομής (με αντίτροφη ανάγνωη Κατακευάζοντας για τη μέη τιμή μ του πληθυμού, με βάη μια υγκεκριμένη πραγματοποίηη x, x,, x του τυχαίου δείγματος, ένα υγκεκριμένο 00 ( α% διάτημα εμπιτούνης, x ± zα, δεν είματε ποτέ βέβαιοι, όπως ήδη έχουμε εξηγήει, αν το διάτημα αυτό περιέχει ή όχι την άγνωτη μέη τιμή μ Γνωρίζουμε όμως, ότι η πιθανότητα να υμβεί αυτό είναι α και έχει την έννοια, όπως επίης εξηγήαμε, ότι αν επαναλάβουμε την προηγούμενη διαδικαία πολλές φορές, ποοτό α των δειγμάτων, θα δώουν Εργατήριο Μαθηματικών&Στατιτικής/Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos 00
Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούνης διάτημα που θα περιέχει τη μέη τιμή μ του πληθυμού και ποοτό α των δειγμάτων θα δώουν διάτημα που δε θα την περιέχει Στο Σχήμα-6, δείχνουμε πιο παρατατικά αυτό ακριβώς Θεωρείτε ότι επαναλάβαμε την προηγούμενη διαδικαία 80 φορές και κατακευάαμε (για υγκεκριμένο/γνωτό και υγκεκριμένο μέγεθος δείγματος, 80 διατήματα εμπιτούνης με 095 υντελετή εμπιτούνης το καθένα, x ± 96 Τα τέερα ( 0 05 80 4 από αυτά περιμένουμε να μην περιέχουν την πληθυμιακή μέη τιμή μ Στο χήμα φαίνονται κάποια από αυτά τα 80 διατήματα Παρατηρείτε ότι τα κέντρα των διατημάτων που δεν περιέχουν την μ (το χήμα φαίνονται από τα 4 που περιμένουμε, είναι αρκετά απομακρυμένα από το κέντρο της δειγματοληπτικής κατανομής (της κατανομής της Σχήμα-6 Παρατήρηη: Όπως φαίνεται και το Σχήμα-6, το μήκος, των 00 ( α% διατημάτων εμπιτούνης, x ± zα, από δείγμα ε δείγμα (του ιδίου μεγέθους δεν αλλάζει, παραμένει ταθερό και είναι ίο με zα Αυτό υμβαίνει γιατί τον τύπο αυτό (του μήκους του διατήματος υγκεκριμένου υντελετή εμπιτούνης δεν εμφανίζεται κάποια ποότητα που μεταβάλλεται από δείγμα ε δείγμα του ιδίου μεγέθους (η τυπική απόκλιη του πληθυμού,, είναι ένας μοναδικός/ταθερός αριθμός Περιθώριο φάλματος (marg of error Όταν εκτιμάμε τη μέη τιμή, μ, ενός πληθυμού με τη δειγματική μέη τιμή, το φάλμα της εκτίμηης (error of estmato που κάνουμε, για υγκεκριμένο κάθε φορά δείγμα, είναι μ x και προφανώς, από δείγμα ε δείγμα αυτό αλλάζει Είναι, δηλαδή, τυχαία μεταβλητή ( μ Δίνοντας ως εκτίμηη της πληθυμιακής μέης τιμής μ, ένα 00 ( α% διάτημα εμπιτούνης, x ± zα, ουιατικά δίνουμε, με προκαθοριμένη πιθανότητα, ίη με α, ένα περιθώριο φάλματος της Εργατήριο Μαθηματικών&Στατιτικής/Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos 0
Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούνης εκτίμηης, ίο με zα Αν και είναι προφανές τι εννοούμε με την όρο περιθώριο φάλματος, καθώς και γιατί, την περίπτωη που εξετάζουμε, αυτό είναι zα (με πιθανότητα α, ας δούμε πώς ορίζεται και πώς τα προηγούμενα προκύπτουν πιο «φορμαλιτικά» Ως περιθώριο φάλματος (marg of error της εκτίμηης της πληθυμιακής μέης τιμής, μ, από τη δειγματική μέη τιμή, ορίζουμε το μέγιτο φάλμα, με πιθανότητα α, που μπορεί να κάνουμε, δηλαδή, ένα θετικό αριθμό d, τέτοιον ώτε, P ( μ d α Επομένως, ιοδύναμα, έχουμε, P ( d μ d α ή d d P ( Z α d Δηλαδή, zα d zα Έτι, εκτιμώντας την άγνωτη μέη τιμή μ με ένα, για παράδειγμα, 95% διάτημα εμπιτούνης, το περιθώριο φάλματος, με πιθανότητα 095, είναι 96 Δηλαδή, η δειγματική μέη τιμή, με πιθανότητα 095, βρίκεται ε απόταη το πολύ ίη με 96 (αριτερά ή δεξιά από την πληθυμιακή μέη τιμή Σημείωη: Όπως διαπιτώαμε, η τυπική απόκλιη,, της δειγματικής μέης τιμής, υνδέεται άμεα με το φάλμα της εκτίμηης της πληθυμιακής μέης τιμής από τη δειγματική μέη τιμή Έτι εξηγείται, γιατί η τυπική απόκλιη, ονομάθηκε τυπικό φάλμα (stadard error Εμπιτούνη vs ακρίβεια και επιλογή μεγέθους δείγματος Είναι φανερό, ότι όο μεγαλύτερο υντελετή εμπιτούνης ορίζουμε, δηλαδή, όο μεγαλύτερη θέλουμε να είναι η πιθανότητα, το διάτημα που θα κατακευάουμε να περιέχει την πληθυμιακή μέη τιμή, τόο το μήκος/εύρος του διατήματος, έτω l, γίνεται μεγαλύτερο Επομένως, αυξάνοντας το υντελετή εμπιτούνης, αυξάνεται το περιθώριο φάλματος, ή αλλιώς, μειώνεται η ακρίβεια της εκτίμηης Παρατηρείτε τον τύπο που δίνει το διάτημα εμπιτούνης Το μήκος/εύρος του διατήματος είναι, l zα d δηλαδή, καθορίζεται από το περιθώριο φάλματος Αν αυξήουμε το υντελετή εμπιτούνης, α, η τιμή z α θα μεγαλώει γιατί είναι αύξουα υνάρτηη του α (ή αλλιώς, φθίνουα υνάρτηη του α και επειδή το είναι ταθερό/μοναδικό για τον πληθυμό και το είναι καθοριμένο, το περιθώριο φάλματος και επομένως το μήκος του διατήματος, αναπόφευκτα, θα μεγαλώει και θα χάουμε ε ακρίβεια Εργατήριο Μαθηματικών&Στατιτικής/Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos 0
Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούνης Εφόον, όταν απαιτούμε μεγαλύτερη εμπιτούνη αυξάνεται το περιθώριο φάλματος (χάνουμε ε ακρίβεια, για να ελέγξουμε και τα δύο αυτά μεγέθη, μπορούμε να κάνουμε το εξής Στη φάη χεδιαμού της έρευνας, δηλαδή, πριν πάρουμε το δείγμα, καθορίζουμε, τόο το επιθυμητό επίπεδο εμπιτούνης, α, όο και το ανεκτό περιθώριο φάλματος, d Έτι, χρηιμοποιώντας τον τύπο, d zα λύνουμε ως προς το μέγεθος του δείγματος, zα z ή α d l και με αυτόν τρόπο βρίκουμε το απαιτούμενο μέγεθος δείγματος, για να πετύχουμε, το επιθυμητό επίπεδο εμπιτούνης, το ανεκτό περιθώριο φάλματος Πριν υνεχίουμε με άλλες περιπτώεις υπολογιμού διατημάτων εμπιτούνης, ας δούμε ένα παράδειγμα Παράδειγμα-: Μια αυτόματη μηχανή υκευάζει καλαμπόκι ε τουβάλια των 5kgr Το βάρος του καλαμποκιού που υκευάζεται ανά τουβάλι είναι τυχαία μεταβλητή, έτω Χ, η οποία, ύμφωνα με τον κατακευατή της μηχανής, ακολουθεί κανονική κατανομή με διαπορά 5 Kgr Ο υπεύθυνος παραγωγής αμφιβάλλει για το μέο βάρος του καλαμποκιού που υκευάζεται ανά τουβάλι και προκειμένου να το εκτιμήει, επέλεξε τυχαία 5 τουβάλια από την παραγωγή μιας ημέρας, τα ζύγιε και βρήκε ότι έχουν μέο βάρος, 4 8kgr Με βάη την πληροφορία από το τυχαίο δείγμα που πήρε ο υπεύθυνος παραγωγής, τι μπορούμε να υμπεράνουμε για το μέο βάρος του καλαμποκιού που υκευάζεται ανά τουβάλι από τη μηχανή; Ως μια εκτίμηη (ημειακή της μέης τιμής μ, της τυχαίας μεταβλητής Χ μπορούμε, προφανώς, να χρηιμοποιήουμε τη δειγματική μέη τιμή, x 4 8kgr, και να υμπεράνουμε ότι η τιμή της μ είναι περίπου ίη με 48kgr Βέβαια, ένα άλλο τυχαίο δείγμα του ιδίου μεγέθους δεν περιμένουμε να δώει ακριβώς την ίδια εκτίμηη, μπορεί να δώει 5kgr, ή 5kgr ή 45kgr ή κάποια άλλη εκτίμηη Γνωρίζουμε όμως ότι η δειγματική μέη τιμή έχει καλές ιδιότητες, όπως, ότι ε επαναλαμβανόμενες δειγματοληψίες κατά μέο όρο εκτιμά ωτά τη μ και ότι όο αυξάνεται το μέγεθος του δείγματος, παίρνει τιμές κοντά την πραγματική τιμή της μ, με μεγάλη πιθανότητα Μπορούμε επιπλέον να κατακευάουμε ένα διάτημα εμπιτούνης με ικανοποιητική εμπιτούνη, για παράδειγμα 095, δηλαδή ένα διάτημα το οποίο με πιθανότητα 095 να περιέχει την πραγματική τιμή της μέης τιμής, μ Επειδή το δείγμα μας προέρχεται από κανονικό πληθυμό με γνωτή διαπορά, 5 kgr, ένα 95% διάτημα εμπιτούνης για τη μέη τιμή, μ, της τυχαίας μεταβλητής Χ, δηλαδή, για το μέο βάρος του καλαμποκιού που υκευάζεται ανά τουβάλι από τη μηχανή, είναι, 5 5 x ± z005 ή 48 ± z 0 05 ή 4 8 ± 96 ή 4 8 ± 0 76 5 5 Μπορούμε, επομένως, να υμπεράνουμε ότι το διάτημα [ 404, 556] περιέχει, με πιθανότητα 095, το πραγματικό μέο βάρος του καλαμποκιού που υκευάζεται ανά τουβάλι από τη μηχανή Το περιθώριο φάλματος της εκτίμηης, με πιθανότητα 095, είναι 076kgr Εργατήριο Μαθηματικών&Στατιτικής/Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos 03
Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούνης Αν θέλουμε να έχουμε μεγαλύτερη εμπιτούνη την εκτίμηή μας για το μέο βάρος του καλαμποκιού που υκευάζεται ανά τουβάλι από τη μηχανή, ας πούμε 099, κατακευάζουμε από το ίδιο δείγμα ένα 99% διάτημα εμπιτούνης Αυτό είναι, 5 5 x ± z00 ή 48 ± z 0 005 ή 4 8 ± 58 ή 4 8 ± 5 5 Συνεπώς, τώρα μπορούμε να υμπεράνουμε ότι το διάτημα [ 38, 58] περιέχει, με πιθανότητα 099, το πραγματικό μέο βάρος του καλαμποκιού που υκευάζεται ανά τουβάλι από τη μηχανή Όμως, το περιθώριο φάλματος αυτής της εκτίμηης, με πιθανότητα 099, είναι kgr, δηλαδή, μεγάλωε και επομένως χάαμε ε ακρίβεια εκτίμηης Παρατηρείτε ότι το μήκος του 99% διατήματος εμπιτούνης είναι kgr kgr ενώ του 95% διατήματος εμπιτούνης είναι, 076kgr 5kgr (δείτε και το Σχήμα-7 Σχήμα-7 Αν θέλουμε η εμπιτούνη την εκτίμηή μας για το μέο βάρος του καλαμποκιού που υκευάζεται ανά τουβάλι από τη μηχανή να είναι 099, και το φάλμα της εκτίμηης να είναι, για παράδειγμα, το πολύ ± 05kgr, δηλαδή, το περιθώριο φάλματος με πιθανότητα 099 να είναι d 0 5kgr (καθοριμένο εκ των προτέρων, τότε το απαιτούμενο μέγεθος του δείγματος που πρέπει να επιλέξουμε είναι, zα 5 z0005 60 d 05 Στις περιπτώεις που ακολουθούν, δίνουμε μόνο τους τύπους των διατημάτων εμπιτούνης Η μέθοδος που εφαρμόζουμε για να κατακευάουμε αυτά τα διατήματα εμπιτούνης, είναι ανάλογη με αυτήν που εφαρμόαμε προηγουμένως Φυικά, αξιοποιούμε τα αντίτοιχα, κατά περίπτωη, αποτελέματα των Πιθανοτήτων και της Στατιτικής για τις δειγματοληπτικές κατανομές, που αναφέραμε την ενότητα «Στατιτικές Συναρτήεις και Δειγματοληπτικές Κατανομές» (για δείγματα από κανονική κατανομή ή για μεγάλα δείγματα Σημειώνουμε επίης, ότι όα προηγουμένως αναφέραμε για το πώς επηρεάζεται η ακρίβεια της εκτίμηης από το επίπεδο εμπιτούνης, ιχύουν και τις περιπτώεις που ακολουθούν Μόνο οι χετικοί τύποι αλλάζουν (β Ο πληθυμός ακολουθεί κανονική κατανομή με άγνωτη διαπορά (και το μέγεθος του δείγματος οτιδήποτε, μικρό ή μεγάλο Στην προηγούμενη περίπτωη υπολογίαμε τον τύπο που δίνει ένα 00 ( α% διάτημα εμπιτούνης για τη μέη τιμή, μ, ενός κανονικού πληθυμού του οποίου γνωρίζουμε τη διαπορά, Όμως, ε πρακτικά προβλήματα, η διαπορά του πληθυμού, υνήθως, δεν είναι γνωτή Έτω, λοιπόν, τυχαίο δείγμα,,,,, μεγέθους (οτιδήποτε, μικρό ή μεγάλο, από έναν πληθυμό που ακολουθεί κανονική κατανομή με άγνωτη μέη τιμή μ (την οποία θέλουμε να εκτιμήουμε και με άγνωτη διαπορά Στην περίπτωη αυτή, εκτιμάμε την άγνωτη πληθυμιακή διαπορά,, από την Εργατήριο Μαθηματικών&Στατιτικής/Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos 04
αμερόληπτη δειγματική διαπορά τυχαία μεταβλητή, S Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούνης ( μ T, S ( και επειδή γνωρίζουμε ότι η όπου, S S, ακολουθεί την t-κατανομή με βαθμούς ελευθερίας, δηλαδή, ότι, ( μ T ~ t, S εργαζόμενοι όπως την περίπτωη (α, εύκολα μπορούμε να αποδείξουμε ότι, το τυχαίο διάτημα, S ± t ; α, περιέχει τη μέη τιμή μ του πληθυμού με πιθανότητα α, και επομένως, για υγκεκριμένη πραγματοποίηη του τυχαίου δείγματος, μας δίνει ένα 00 ( α% διάτημα εμπιτούνης για τη μέη τιμή μ του πληθυμού Υπενθυμίζουμε, ότι με t ; α υμβολίζουμε το άνω α -ποοτιαίο ημείο της t- κατανομής με βαθμούς ελευθερίας, το οποίο δίνεται, για διάφορες τιμές του α και του, από χετικό πίνακα (δείτε και το Σχήμα-8 Σχήμα-8 S Παρατηρείτε, ότι το τυχαίο διάτημα ± t ; α, από δείγμα ε δείγμα (του ιδίου μεγέθους, μεταβάλλεται, εν γένει, όχι μόνο ως προς την τιμή της δειγματικής μέης τιμής,, αλλά και ως προς την τιμή της δειγματικής τυπικής απόκλιης S Δηλαδή, το μήκος/εύρος, S l t ; α, των 00 ( α% διατημάτων εμπιτούνης που κατακευάζουμε είναι τυχαία μεταβλητή αφού από δείγμα ε δείγμα μεταβάλλεται (ενώ την περίπτωη (α, όπως είδαμε, είναι ταθερό Έτι, και ο προδιοριμός κατάλληλου μεγέθους δείγματος, για να πετύχουμε προκαθοριμένο περιθώριο φάλματος (τον επιθυμητό υντελετή εμπιτούνης, δε μπορεί να γίνει όπως την περίπτωη (α Λύη το πρόβλημα αυτό έχει δώει ο Charles Ste (945, με μια διαδικαία διταδιακής δειγματοληψίας (Ste s two-stage scheme, όμως, δε θα επεκταθούμε περιότερο Ας επανέλθουμε τώρα τα ερωτήματα που απαχολούν το φοιτητή (το ειαγωγικό παράδειγμα της ενότητας Εργατήριο Μαθηματικών&Στατιτικής/Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos 05
Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούνης Παράδειγμα-: Το τυχαίο δείγμα, μεγέθους 6, που πήρε ο φοιτητής από την περιοχή Α, προέρχεται από κανονικό πληθυμό με άγνωτη μέη τιμή, μ, και άγνωτη διαπορά, Δηλαδή, για την τυχαία μεταβλητή, Χ, που εκφράζει την ημερήια ποότητα εληνίου που προλαμβάνουν από τη διατροφή τους οι ενήλικες την περιοχή Α, έχουμε ~ N( μ, Επειδή, η δειγματική μέη τιμή και η δειγματική τυπική απόκλιη είναι, αντίτοιχα, x 75μgr και s 84μgr, ένα 95% διάτημα εμπιτούνης για την άγνωτη μέη ημερήια ποότητα εληνίου που προλαμβάνουν από τη διατροφή τους οι ενήλικες την περιοχή Α, μ, είναι, 84 84 75 ± t 5;0 05 ή 75 ± 3 ή 75 ± 4 475 6 6 Επομένως, μπορούμε να υμπεράνουμε ότι, με πιθανότητα 095, το διάτημα [ 705, 7948] περιέχει την άγνωτη μέη ημερήια ποότητα εληνίου που προλαμβάνουν από τη διατροφή τους οι ενήλικες την περιοχή Α, μ Το εύρος αυτού του διατήματος είναι ίο με 4 475 μgr Αν θέλουμε, για τον ίδιο υντελετή εμπιτούνης, καλύτερη ακρίβεια (διάτημα μικρότερου εύρους πρέπει να πάρουμε μεγαλύτερου μεγέθους δείγμα Για να υπολογίουμε το μέγεθος του δείγματος που απαιτείται για να πετύχουμε, ε δεδομένο επίπεδο εμπιτούνης, ένα προκαθοριμένο ανεκτό εύρος για το διάτημα εμπιτούνης, μπορούμε να εφαρμόουμε τη διαδικαία διταδιακής δειγματοληψίας Ste Βέβαια, όπως εξηγήαμε τα προηγούμενα, μπορούμε να βελτιώουμε την ακρίβεια της εκτίμηης αν από το ίδιο δείγμα, κατακευάουμε ένα διάτημα εμπιτούνης με μικρότερο υντελετή εμπιτούνης, για παράδειγμα, 090 Πράγματι, το 90% διάτημα εμπιτούνης που παίρνουμε από το υγκεκριμένο δείγμα, είναι, 84 84 75 ± t 5;0 05 ή 75 ± 753 ή 75 ± 3 68 6 6 και το εύρος τώρα είναι μικρότερο (είναι ίο με 368μgr Εργαζόμενοι με τον ίδιο τρόπο, μπορούμε να δώουμε εκτίμηη με διάτημα εμπιτούνης και για τη μέη ημερήια ποότητα εληνίου που προλαμβάνουν από τη διατροφή τους οι ενήλικες την περιοχή Β, μ (δείτε το ως άκηη (γ Ο πληθυμός ακολουθεί οποιαδήποτε κατανομή με γνωτή διαπορά και το μέγεθος του δείγματος μεγάλο Αν το δείγμα,,,, προέρχεται από πληθυμό που ακολουθεί οποιαδήποτε κατανομή, με μέη τιμή μ και διαπορά, τότε, όπως είδαμε το Α Μέρος (ΚΟΘ, για μεγάλο μέγεθος δείγματος (εν γένει, 30, ~ N( μ, κατά προέγγιη Επομένως, την περίπτωη αυτή, για υγκεκριμένη πραγματοποίηη, x, x,, x, του τυχαίου δείγματος,,,, ένα 00 ( α% διάτημα εμπιτούνης για τη μέη τιμή μ του πληθυμού, όπως την περίπτωη (α, δίνεται από τον τύπο, x ± zα Βέβαια, επειδή η κατανομή της δεν είναι κανονική αλλά προεγγίζεται ικανοποιητικά από την κανονική, το διάτημα x ± zα είναι υντελετή Εργατήριο Μαθηματικών&Στατιτικής/Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos 06
Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούνης εμπιτούνης α μόνο κατά προέγγιη Δηλαδή, έχει πιθανότητα περίπου α, να περιέχει την άγνωτη πληθυμιακή μέη τιμή μ (δ Ο πληθυμός ακολουθεί οποιαδήποτε κατανομή με άγνωτη διαπορά και το μέγεθος του δείγματος μεγάλο Αν το δείγμα,,,, προέρχεται από πληθυμό που ακολουθεί οποιαδήποτε κατανομή, με μέη τιμή μ και διαπορά, τότε, για μεγάλο μέγεθος δείγματος (εν γένει, 30, ( μ ~ N(0, κατά προέγγιη S Επομένως, την περίπτωη αυτή, για υγκεκριμένη πραγματοποίηη, x, x,, x, του τυχαίου δείγματος,,,, ένα 00 ( α% διάτημα εμπιτούνης για τη μέη τιμή μ του πληθυμού, δίνεται από τον τύπο, s x ± zα s Βέβαια, όπως και την περίπτωη (γ, το διάτημα x ± zα είναι υντελετή εμπιτούνης α μόνο κατά προέγγιη Δηλαδή, έχει πιθανότητα περίπου α, να περιέχει την άγνωτη πληθυμιακή μέη τιμή μ Για διευκόλυνή μας, υνοψίζουμε όλες τις προηγούμενες περιπτώεις, τον πίνακα που ακολουθεί 00(- α % Διατήματα Εμπιτούνης για τη μέη τιμή, μ, ενός πληθυμού από ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους 00 ( α % Δ Ε Κατανομή του Διαπορά Μέγεθος για τη μέη τιμή, μ, πληθυμού του πληθυμού ( του δείγματος ( του πληθυμού Κανονική Γνωτή Οτιδήποτε ± zα Οποιαδήποτε Γνωτή Μεγάλο ( S ± zα Οποιαδήποτε Άγνωτη Μεγάλο ( S ± t ; α (3 Κανονική Άγνωτη Οτιδήποτε Όχι Κανονική Γνωτή ή Άγνωτη Μικρό? Σημείωη: α Είναι προφανές, όμως το επιημαίνουμε, ότι ε κάθε περίπτωη το δείγμα θεωρείται τυχαίο β Για μεγάλο δείγμα από κανονική κατανομή με άγνωτη διαπορά, μπορεί να εφαρμοθεί ή ο τύπος ( ή ο τύπος (3 αφού την περίπτωη αυτή δίνουν ίδιο διάτημα (για μεγάλα, t ; α zα Όμως, για μικρό δείγμα από κανονική κατανομή με άγνωτη διαπορά, το διάτημα (3 αποτελεί μοναδική επιλογή μας γ Ο τύπος (3 (περίπτωη (β, παρότι πρέπει να εφαρμόζεται με την προϋπόθεη ότι ο πληθυμός είναι κανονικός, εντούτοις, έχει διαπιτωθεί, ότι την πράξη δίνει καλά αποτελέματα ακόμη και όταν ο πληθυμός δεν είναι κανονικός Δηλαδή, η πιθανότητα το διάτημα αυτό να περιέχει την πληθυμιακή μέη τιμή δεν απέχει πολύ από α Αρκεί βέβαια, η κατανομή του πληθυμού να μην απέχει δραματικά από την κανονική (οβαρή αυμμετρία, πολυκόρυφη, κτλ και το δείγμα να μην είναι πολύ μικρό Εργατήριο Μαθηματικών&Στατιτικής/Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos 07
Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούνης 00(- α % Διάτημα Εμπιτούνης για τη διαπορά,, ενός κανονικού πληθυμού Έτω,,, τυχαίο δείγμα από κανονικό πληθυμό, δηλαδή, ~ N( μ, για κάθε,,, Όπως αναφέραμε την ενότητα «Στατιτικές Συναρτήεις και Δειγματοληπτικές Κατανομές», για οποιοδήποτε μέγεθος δείγματος, ( S ~ χ, όπου, S (, η αμερόληπτη δειγματική διαπορά Επομένως (δείτε και το Σχήμα-9, ( S P ( χ ; α χ ; α α ή, ιοδύναμα, P S S α χ α χ ; ; α Σχήμα-9 Αυτό ημαίνει ότι, για υγκεκριμένη πραγματοποίηη, δείγματος,,,, το διάτημα, x, x,, x, του τυχαίου s, s χ ; α χ ; α είναι ένα 00 ( α% διάτημα εμπιτούνης για τη διαπορά,, του πληθυμού Προφανώς, ένα 00 ( α% διάτημα εμπιτούνης για την τυπική απόκλιη,, του πληθυμού είναι, s, s χ ; α χ ; α Υπενθυμίζουμε, ότι με χ ; α και χ ; α υμβολίζουμε, αντίτοιχα, το άνω α και το άνω α ποοτιαίο ημείο της κατανομής χ τα οποία δίνονται, για διάφορες τιμές του α και του, από χετικό πίνακα (δείτε και το Σχήμα-9 Εργατήριο Μαθηματικών&Στατιτικής/Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos 08
Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούνης Παράδειγμα-(υνέχεια: Επειδή για την τυχαία μεταβλητή, Χ, που εκφράζει την ημερήια ποότητα εληνίου που προλαμβάνουν από τη διατροφή τους οι ενήλικες την περιοχή Α, έχουμε ότι, ~ N( μ, και η δειγματική τυπική απόκλιη είναι s 84μgr, ένα 95% διάτημα εμπιτούνης για την άγνωτη διαπορά,, της Χ, είναι το διάτημα, 5 5 5 5 84, 84 ή χ5;005 χ 84, 84 ή [ 385, 690] 5;0975 7488 66 Επομένως, μπορούμε να υμπεράνουμε ότι, με πιθανότητα 095, το διάτημα [ 385, 690] περιέχει την άγνωτη διαπορά,, της Χ Επίης, μπορούμε να υμπεράνουμε ότι, με πιθανότητα 095, το διάτημα [ 385, 690] ή [ 6, 3], περιέχει την άγνωτη τυπική απόκλιη,, της Χ Ως άκηη, μπορείτε να κατακευάετε ένα 99% διάτημα εμπιτούνης για την άγνωτη διαπορά,, της Υ Σημείωη: Το διάτημα εμπιτούνης που δώαμε για τη διαπορά ενός κανονικού πληθυμού, όπως είδαμε, κατακευάθηκε «αδιαφορώντας» για τη μέη τιμή του πληθυμού, μ Αν η μέη τιμή του πληθυμού, μ, είναι γνωτή, χρηιμοποιώντας την τυχαία μεταβλητή, S, όπου, S ( μ ( S S (αντί την, με ανάλογο τρόπο (επειδή, ~ χ προκύπτει ότι, για υγκεκριμένη πραγματοποίηη, x, x,, x, του τυχαίου δείγματος,,,, το διάτημα, s, s χ ; α χ ; α είναι ένα 00 ( α% διάτημα εμπιτούνης για τη διαπορά,, του πληθυμού 00(- α % Διάτημα Εμπιτούνης για τη μέη τιμή, p, της κατανομής Beroull Αν,,,, τυχαίο δείγμα από πληθυμό που ακολουθεί κατανομή Beroull με παράμετρο p (πιθανότητα επιτυχίας, δηλαδή, με μέη τιμή μ p και διαπορά + + + p ( p, η τυχαία μεταβλητή, δηλαδή, η δειγματική μέη τιμή, η οποία προφανώς εκφράζει το ποοτό των επιτυχιών το δείγμα Pˆ, για μεγάλα, προεγγίζεται ικανοποιητικά από την κανονική κατανομή με μέη τιμή p p ( p και διαπορά (ΚΟΘ Δηλαδή, για μεγάλα,έχουμε, + + + p p Pˆ ( ~ N p,, κατά προέγγιη Η προέγγιη αυτή είναι ικανοποιητική αν p > 5 και ( p > 5 ή p ( p 0 (θυμηθείτε ότι το πόο μεγάλο πρέπει να είναι το, την περίπτωη αυτή, εξαρτάται και από το p Εργατήριο Μαθηματικών&Στατιτικής/Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos 09
Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούνης Επομένως, κατά προέγγιη, έχουμε, Pˆ p P ( zα zα α p ( p και χρηιμοποιώντας ως εκτιμήτρια της άγνωτης διαποράς p ( p, την Pˆ ( Pˆ, εύκολα προκύπτει ότι το διάτημα, Pˆ P Pˆ ( ˆ ± z α είναι ένα κατά προέγγιη 00 ( α% διάτημα εμπιτούνης για την παράμετρο p (ποοτό τον πληθυμό Έτι, για υγκεκριμένη πραγματοποίηη, x,, x, x, του τυχαίου δείγματος x + x + + x,,,, με ποοτό επιτυχιών το δείγμα pˆ, το διάτημα, pˆ ( pˆ pˆ ± z α είναι ένα κατά προέγγιη 00 ( α% διάτημα εμπιτούνης για το ποοτό p τον πληθυμό, εφόον, pˆ > 5 και ( pˆ > 5 Σημείωη: Αν το μέγεθος του δείγματος δεν είναι μεγάλο, η κανονική προέγγιη που χρηιμοποιήαμε δε μπορεί να εφαρμοθεί Στην περίπτωη αυτή, μπορεί να χρηιμοποιηθεί η ακριβής κατανομή της τατιτικής υνάρτηης ˆ + + P ~ B(, p Όμως, την πράξη, ε προβλήματα εκτίμηης ποοτού, υνήθως, δεν αντιμετωπίζουμε πρόβλημα μικρών δειγμάτων Ας δούμε ένα παράδειγμα Παράδειγμα-3: Ένας ερευνητής, προκειμένου να εκτιμήει το ποοτό των ατόμων ε έναν πληθυμό που έχει ομάδα αίματος Α, επέλεξε με βάη ένα χέδιο τυχαίας δειγματοληψίας 00 άτομα από τον πληθυμό αυτό, και βρήκε ότι ομάδα αίματος Α, έχουν τα 89 Προφανώς, πρόκειται για δειγματοληψία από έναν πληθυμό Beroull με παράμετρο p (μέη τιμή, την οποία ο ερευνητής θέλει να εκτιμήει με βάη ένα τυχαίο δείγμα,,,, 00, μεγέθους 00 Η τιμή της δειγματικής μέης τιμής (δειγματικού ποοτού, ˆ + + + 00 P, για τη υγκεκριμένη πραγματοποίηη του 00 89 δείγματος είναι, p ˆ 0 445 και επειδή, pˆ 00 0445 89 > 5 και 00 pˆ ( pˆ ( pˆ 00 0555 > 5, το διάτημα, pˆ ± z α ή 0445 0555 0445 ± z 0 05 ή 0445 ± 96 0 035 ή 0 445 ± 0 0686, είναι ένα κατά 00 προέγγιη 95% διάτημα εμπιτούνης για την παράμετρο p (ποοτό τον πληθυμό Εργατήριο Μαθηματικών&Στατιτικής/Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos 0
Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούνης Επομένως, με πιθανότητα 095, το διάτημα [ 0376, 054] περιέχει το ποοτό των ατόμων τον πληθυμό που έχει ομάδα αίματος Α pˆ ( pˆ Παρατήρηη: Το εύρος, zα, ενός 00 ( α% διατήματος εμπιτούνης για το ποοτό p, προφανώς δεν είναι ταθερό από δείγμα ε δείγμα Όμως, για p ˆ, το γινόμενο pˆ ( pˆ γίνεται μέγιτο και επομένως το περιθώριο φάλματος της εκτίμηης με πιθανότητα α είναι ίο με z 4 α Εύκολα προκύπτει ότι, αν προκαθορίουμε ένα ανεκτό περιθώριο φάλματος, d, με πιθανότητα α, τότε, για την εκτίμηη του ποοτού τον πληθυμό, απαιτείται μέγεθος δείγματος, zα 4 d Αν έχουμε βάιμους λόγους να πιτεύουμε ότι το άγνωτο πληθυμιακό ποοτό είναι περίπου ίο με κάποια τιμή, έτω p *, τότε, το απαιτούμενο μέγεθος δείγματος είναι, zα * ( * p p d Έτι, αν το παράδειγμά μας, θέλουμε το φάλμα της εκτίμηης, με πιθανότητα 095, να μην ξεπερνά, για παράδειγμα, το 003, τότε πρέπει να πάρουμε δείγμα μεγέθους, 96 067 068 4 003 Αν εκτιμάμε/θεωρούμε ότι το ποοτό τον πληθυμό είναι περίπου 040, τότε, το απαιτούμενο μέγεθος δείγματος είναι, p * ( p * zα d 96 040 060 003 05 Συχνά, απαιτείται να εκτιμήουμε τη διαφορά των μέων τιμών δύο πληθυμών ή το λόγο των διαπορών τους Για παράδειγμα, ε μια μελέτη για την περιεκτικότητα των ζαχαρότευτλων ε άκχαρα, πρέπει να εκτιμήουμε πόο διαφέρει η μέη περιεκτικότητα ε άκχαρα μιας ποικιλίας ζαχαρότευτλων από τη μέη περιεκτικότητα μιας άλλης ποικιλίας ζαχαρότευτλων Μια ερευνητική ομάδα πρέπει να εκτιμήει πόο διαφέρει η μέη μείωη της υτολικής πίεης όταν χρηιμοποιείται το φαρμακευτικό κεύαμα Α από τη μέη μείωη της υτολικής πίεης όταν χρηιμοποιείται ένα άλλο φαρμακευτικό κεύαμα Β Ο φοιτητής, το ειαγωγικό παράδειγμα αυτής της ενότητας, ενδιαφέρεται να εκτιμήει πόο διαφέρει η μέη ημερήια ποότητα εληνίου που προλαμβάνουν οι ενήλικες μέω της διατροφής τους τις δύο περιοχές Α και Β Το τμήμα ποιοτικού ελέγχου μιας παραγωγικής μονάδας ενδιαφέρεται να εκτιμήει πόο διαφέρει το ποοτό των ελαττωματικών προϊόντων που παράγονται από τη γραμμή παραγωγής Α από το ποοτό των ελαττωματικών προϊόντων που παράγονται από τη γραμμή παραγωγής Β Ο μηχανικός παραγωγής μιας βιομηχανίας τροφίμων πρέπει να εκτιμήει το λόγο της μεταβλητότητας (διαποράς της ποότητας αναψυκτικού που εμφιαλώνεται από τη Εργατήριο Μαθηματικών&Στατιτικής/Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos
Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούνης μηχανή εμφιάλωης Α προς τη μεταβλητότητα της ποότητας που εμφιαλώνεται από τη μηχανή εμφιάλωης Β Ας δούμε λοιπόν πώς μπορούμε να κατακευάουμε διατήματα εμπιτούνης για την εκτίμηη της διαφοράς των μέων τιμών ή του λόγου των διαπορών δύο πληθυμών 00(- α % Διατήματα Εμπιτούνης για τη διαφορά, μ - μ, των μέων τιμών δύο πληθυμών Για να κατακευάουμε ένα 00 ( α% διάτημα εμπιτούνης για τη διαφορά των μέων τιμών δύο πληθυμών, εργαζόματε όπως εργαθήκαμε τα προηγούμενα για την κατακευή ενός 00 ( α% διατήματος εμπιτούνης για τη μέη τιμή ενός πληθυμού Με μια, βέβαια, διαφορά Αντί για ένα δείγμα, χρηιμοποιούμε δύο, ένα από κάθε πληθυμό Ας δούμε ένα παράδειγμα που δόθηκε από τον Studet (την εργαία The probable error of a mea, Bometrka, 6, -5, 908 Παράδειγμα-4: Σε δέκα αθενείς που πάχουν από αϋπνία δόθηκε μια φαρμακευτική αγωγή, έτω Α, και για καθέναν καταγράφηκε η παράταη του ύπνου (ε ώρες Στους ίδιους αθενείς δόθηκε και μια άλλη φαρμακευτική αγωγή, έτω Β, και επίης καταγράφηκε η παράταη του ύπνου για κάθε αθενή (ε ώρες Ας υμβολίουμε με Χ την τυχαία μεταβλητή που εκφράζει την παράταη του ύπνου ε ώρες όταν οι αθενείς παίρνουν τη φαρμακευτική αγωγή Α και με Υ την τυχαία μεταβλητή που εκφράζει την παράταη του ύπνου ε ώρες όταν οι αθενείς παίρνουν τη φαρμακευτική αγωγή Β Στον πίνακα που ακολουθεί φαίνονται τα δεδομένα που υγκεντρώθηκαν Αύξων αριθμός αθενούς ( Παράταη ύπνου (ε ώρες υπό τη φαρμακευτική αγωγή Α ( x Παράταη ύπνου (ε ώρες υπό τη φαρμακευτική αγωγή Β ( y 3 4 5 6 7 8 9 0 9 08 0-0 44 55 6 46 34 07-6 -0 - -0 34 37 08 00 0 Αν μ η μέη τιμή της τυχαίας μεταβλητής Χ, δηλαδή, η μέη παράταη του ύπνου αθενών που πάχουν από αϋπνία όταν παίρνουν την αγωγή Α και μ η μέη τιμή της τυχαίας μεταβλητής Υ, δηλαδή, η μέη παράταη του ύπνου αθενών που πάχουν από αϋπνία όταν παίρνουν την αγωγή Β, το ζητούμενο είναι να κατακευάουμε, από τα τυχαία δείγματα,,, 0 και Y, Y,, Y0, ένα 00 ( α% διάτημα εμπιτούνης για τη μέη τιμή, μ μ, της διαφοράς Y των τυχαίων μεταβλητών Χ και Υ Είναι εύλογο, ως εκτιμήτρια της διαφοράς μ μ, να χρηιμοποιήουμε τη διαφορά Y των αντίτοιχων δειγματικών μέων τιμών, όμως, δε μπορούμε να αξιοποιήουμε τα χετικά αποτελέματα της Θεωρίας Πιθανοτήτων και της Στατιτικής για την κατανομή της Y που παρουιάαμε την ενότητα «Στατιτικές Συναρτήεις και Δειγματοληπτικές Κατανομές» γιατί τα δύο δείγματα δεν έχουν ληφθεί το ένα ανεξάρτητα από το άλλο Βέβαια, τα ζεύγη (, Y, (, Y,,( 0, Y0 είναι μεταξύ τους ανεξάρτητα αφού αναφέρονται ε διαφορετικούς αθενείς τυχαία επιλεγμένους, όμως τα και Y εντός του ίδιου ζεύγους δεν είναι ανεξάρτητα (δε μπορούν να θεωρηθούν ανεξάρτητα αφού αναφέρονται τον ίδιο αθενή Εργατήριο Μαθηματικών&Στατιτικής/Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos
Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούνης Για να κατακευάουμε, επομένως, ένα 00 ( α% διάτημα εμπιτούνης για τη διαφορά των μέων τιμών δύο πληθυμών από δύο δείγματα, ένα από κάθε πληθυμό, πρέπει να διακρίνουμε την περίπτωη που τα δύο δείγματα έχουν ληφθεί ανεξάρτητα από την περίπτωη που τα δύο δείγματα δεν έχουν ληφθεί ανεξάρτητα Εξαρτημένα δείγματα ή δείγματα από ζευγαρωτές παρατηρήεις (Depedet samples, pared samples, matched samples Έτω ότι από κάθε δειγματοληπτική ή πειραματική μονάδα παίρνουμε ένα ζεύγος παρατηρήεων, Y,,,,, δηλαδή, έτω ότι από τα δύο δείγματα (,,, και Y, Y,, Y δημιουργούνται ζεύγη παρατηρήεων, (, Y, (, Y,,(, Y, τα οποία είναι μεταξύ τους ανεξάρτητα, όμως τα και Y εντός του ίδιου ζεύγους δεν είναι ανεξάρτητα Στην επόμενη ενότητα (Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεων αλλά και την Ανάλυη Διαποράς θα εξηγήουμε πολύ αναλυτικά ε ποιες περιπτώεις (και γιατί ενδείκνυται να εργαζόματε με τέτοια δείγματα (από ζευγαρωτές παρατηρήεις αλλά και πώς/με ποια κριτήρια πρέπει να δημιουργούνται τα ζεύγη Στο ημείο αυτό αναφέρουμε μόνο ότι ένα ζεύγος παρατηρήεων μπορεί να ληφθεί από την ίδια πειραματική ή δειγματοληπτική μονάδα πριν και μετά από κάποια επέμβαη ή υπό δύο διαφορετικές επεμβάεις ε κάποια χρονική απόταη (όπως το προηγούμενο παράδειγμα, αλλά και από δύο όμοιες ή χεδόν όμοιες μονάδες Παίρνοντας για κάθε ζεύγος (, Y τη διαφορά D Y (η οποία το παράδειγμά μας εκφράζει τη διαφορά των επιδράεων των δύο φαρμάκων τον αθενή, δημιουργούμε ένα τυχαίο δείγμα, D, D,, D, το οποίο μπορούμε να θεωρήουμε ότι προέρχεται από ένα (θεωρητικό πληθυμό, τον πληθυμό των διαφορών, με μέη τιμή μ D μ μ, όπου μ η μέη τιμή της Χ και μ η μέη τιμή της Υ και επομένως, για την κατακευή ενός 00 ( α% διατήματος εμπιτούνης για τη μέη τιμή μ D μ μ μπορούμε να εφαρμόουμε ό,τι αναφέραμε, κατά περίπτωη, για την κατακευή ενός 00 ( α% διατήματος εμπιτούνης για τη μέη τιμή ενός πληθυμού από ένα δείγμα Έτι, αν για παράδειγμα, θεωρήουμε ότι ο πληθυμός των διαφορών είναι κανονικός με άγνωτη διαπορά D, και μέη τιμή μ D μ μ την οποία θέλουμε να εκτιμήουμε με ένα 00 ( α% διάτημα εμπιτούνης από ένα τυχαίο δείγμα D, D,, D, τότε με βάη όα αναφέραμε τα προηγούμενα, το διάτημα S D D ± t ; α όπου, D Y και S D ( D D η μέη τιμή και η αμερόληπτη διαπορά του δείγματος των διαφορών αντίτοιχα, είναι ένα 00 ( α% διάτημα εμπιτούνης για τη μέη τιμή μ D του πληθυμού των διαφορών δηλαδή για τη διαφορά μ μ Επομένως, για υγκεκριμένη πραγματοποίηη ( x, y, ( x, y,,( x, y των, Y, (, Y,,(, Y, το διάτημα, ( Εργατήριο Μαθηματικών&Στατιτικής/Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos 3