Εκθετική Συνάρτηση. 1) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: 2) Υπολογίστε τις συντεταγμένες της τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων

Σχετικά έγγραφα
Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. iv) f(x)= v) f(x)= ln(x 2-4) vi) f(x) =, v) f(x) = 6 x 5. vi) vii) f(x) = ln(x 2-2) viii) f(x) = lnx 2.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 3 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8 ΙΟΥΝΙΟΥ 2009

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Β κύκλος

Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [ <

1 ο Διαγώνισμα (με χρήση μικροϋπολογιστή) ΜΕΡΟΣ Β. Ερώτηση Β1 Ανάλυση. Η παράγωγος f μιας συνάρτησης f δίνεται από τον τύπο f (x)=e x -2x 2.

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Α ΜΕΡΟΣ

Εμβαδά. 1) Με βάση το παρακάτω διάγραμμα όπου το εμβαδόν των περιοχών είναι Α1=8 και Α2=2, να. 2) Να εκφράσετε το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE

Ημερομηνία: Πέμπτη 5 Ιανουαρίου 2017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Β ΜΕΡΟΣ

1 ο Τεστ προετοιμασίας Θέμα 1 ο

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Τρίτη 10 Απριλίου 2018 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ (ΜΕΧΡΙ ΚΑΙ ΡΥΘΜΟ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ)

Ασκήσεις Επανάληψης Γ Λυκείου

ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE Θ.Μ.Τ. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 1. α) Να λύσετε την εξίσωση : 2 2 2x. β) Αν α είναι η ϑετική εξίσωσης του ερωτήµατος (α), να λύσετε την ανίσωση : 1 x < α.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8 ΙΟΥΝΙΟΥ 2009

o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση

Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [ <

Επαναληπτικές Ασκήσεις Bac (μαθηματικά 3 περιόδων) 1) Να λυθούν χωρίς τη χρήση μικροϋπολογιστή οι εξισώσεις:

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ

5.1. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο 1ο Ανάλυση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ

lim lim lim f (x) δ) lim lim lim lim 1- x 1- lim lim lim lim lim Ερωτήσεις ανάπτυξης

Ερωτήσεις αντιστοίχισης

20 επαναληπτικά θέματα

Διαφορικός Λογισμός. Κεφάλαιο Συναρτήσεις. Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. 1. Τι ονομάζουμε συνάρτηση;

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο Διαφορικός Λογισμός (Νο 8γ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Π. Δ. ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Θ.Rolle Θ.Μ.T. Συνέπειες Θ.Μ.Τ

Ασκήσεις στις συναρτήσεις, όρια και παράγωγο

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Κεφάλαιο 4ο: Ερωτήσεις του τύπου Σωστό - Λάθος. 1. Στο σχήμα 23 δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; α) Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η τιμή της f στο χ 0 =2 να είναι 1.

ερµηνεύσετε τα αποτελέσµατα του ερωτήµατος (α).

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Να εξετάσετε αν είναι ίσες οι συναρτήσεις f, g όταν: x x 2 x x. x x g x. ln x ln x 1 και

ΘΕΜΑΤΑΚΙΑ ΓΕΝΙΚΑ. x 0. 2 x

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΑΚΡΟΤΑΤΑ-ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ B ΛΥΚΕΙΟΥ

ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

lim είναι πραγµατικοί αριθµοί, τότε η f είναι συνεχής στο x 0. β) Να εξετάσετε τη συνέχεια της συνάρτησης f (x) =

Θέματα Πανελλαδικών στις Παραγώγους. Εφαπτομένη

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3.1 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

1. Δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x)= 3 x με x R.

x R, να δείξετε ότι: i)

I.3 ΔΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4. [ ] z, w. 3 f x, x 1,3 όπου 3 μιγαδικοί των οποίων οι εικόνες

2.0. , κ R, η γραφική παράσταση της οποίας διέρχεται από το σημείο Ρ=(1,1). Να βρεθεί η τιμή του αριθμού κ.

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Β κύκλος

ΘΕΜΑ 151 ο. x -f(t) 2f(x)+f (x)= 2 e dt και f(0) = 0.

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2017 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

1. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = 2x + β διέρχεται από το σημείο Α( 1, 2). Να βρείτε τον αριθμό β.

και δεν είναι παραγωγίσιμη σε αυτό, σχολικό βιβλίο σελ. 99 Α3. Ορισμός σελ. 73 Α4. α) Λ β) Σ γ) Λ δ) Σ ε) Σ , δηλαδή αρκεί x 1 x

Απαντήσεις στις ασκήσεις του κεφαλαίου 4 του βιβλίου Χημική Κινητική του ΕΑΠ

Κεφάλαιο 2ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ

ii) f(x)= iv) f(x)= ii) f(x)= x iv) f(x)= 2x x ii) f(x)= iv) f(x)= x) f(x)= 2ln x ln x να έχει πεδίο ορισμού το R.

5.1 ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ

x y Ax By Εξίσωση Κύκλου Έστω Oxy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και C ο κύκλος με κέντρο το σημείο Εφαπτομένη Κύκλου Η εφαπτομένη του κύκλου

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. 3. Μια μπάλα πέφτει από την κορυφή ενός πυργου. Το ύψος στο οποίο βρίσκετε μετά από t sec δίνεται από τη συνάρτηση f () x 75 3

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ~ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ

********* Β ομάδα Κυρτότητα Σημεία καμπής*********

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ. ( ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο )

Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

να είναι παραγωγίσιμη Να ισχύει ότι f Αν μια από τις τρεις παραπάνω συνθήκες δεν ισχύουν τότε δεν ισχύει και το θεώρημα Rolle.

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

1. Η διαδικασία, με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σ ένα ακριβώς στοιχείο ενός άλλου συνόλου Β είναι συνάρτηση.

ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Το Θεώρημα και το Πόρισμα ισχύουν σε διαστήματα και όχι σε ένωση διαστημάτων.

Λύκειο Παραλιμνίου Σχολική Χρονιά Γενικές ασκήσεις επανάληψης Γ κατ

Μέρος A Χωρίς Υπολογιστή

ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

Η f(x) y είναι συνεχής στο [0, 2α], σαν διαφορά των συνεχών f(x) και y = 8αx 8α 2

1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α. ΜΟΝΑΔΕΣ Β. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΩΝ ΚΡΕΜΑΣΤΑΣ ΙΩΑΝΝΗΣ

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

6 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 51.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ (παράγραφοι 3.1 έως και 3.5) Α. Να αποδείξετε τις παρακάτω ταυτότητες:

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΑΣΟΛΟΓΙΑΣ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ Πότε μια συνάρτηση λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της?

2. α) Να διατάξετε από το μικρότερο στο μεγαλύτερο τους παρακάτω αριθμούς: x2 )

και είναι παραγωγισιμη στο σημειο αυτό, τότε : f ( x 0

I.3 ΔΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ

2018 Φάση 1 ιαγωνίσµατα Προετοιµασίας ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Γ' Γενικού Λυκείου. Θετικών Σπουδών / Σπουδών Οικονοµίας & Πληροφορικής

ΔΙΔΑΚΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ. στην ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 5 ο

= x + στο σηµείο της που

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου Επαναληπτικές ασκήσεις

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΚΑΙ ΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΑΥΤΗΣ. x 0 για κάθε xεr και για την συνάρτηση g ισχύει i. Να βρείτε

Ι. Πραγματικές ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ πραγματικής μεταβλητής (έως και ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ)

Επαναληπτικά Θέματα Μαθηματικών Γ Λυκείου Κατεύθυνσης

Συνοπτική θεωρία - Τι να προσέχουμε Ασκήσεις Θέματα από Πανελλαδικές. γ) g( x) e 2. ln( x 1) 3. x x. ζ) ( x) ln(9 x2) ια) ( ) ln x 1

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ (Α κύκλος)

Ερωτήσεις ανάπτυξης. 2. ** Να βρείτε το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο ορίζεται καθεμιά από τις παρακάτω συναρτήσεις: α) f (x) = 2 +

16 Ασύμπτωτες. όπως φαίνεται στα παρακάτω σχήματα. 1. Κατακόρυφη ασύμπτωτη. Η ευθεία x = x0

f(x 2) 5 x 1 α) Να αποδείξετε ότι: i) f (3) = 5 και ii) f (3) = 6 x 2 f(x)

Transcript:

1 Εκθετική Συνάρτηση 1) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: α) 5-4 f()=e β) 5-1 f()=3e γ) f()= 3- -4 δ) f()= 3- e -1 ) Υπολογίστε τις συντεταγμένες της τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων -1 f()=e και g()=e. 3) Να βρεθούν τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f()=(4- )e - με τους άξονες. Ομοίως για την συνάρτηση f()=(3-)e. 4) Να βρεθεί η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f() στο σημείο με συντεταγμένες (0,f(0)), όταν: α) γ) f() 3e και 0=1, (y=-6+9) β) f() e 3 και 0=0, (y=+1) δ) f() f() 3 e και 0=0, (y=e3+e3) 4 e και 0=- (y=+5) ε) 1-4 5- f()=3e και 0= 5 (y=-6+18) ς) f()= 3- και 0=0. 5) Υπολογίστε τις συντεταγμένες της τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f()=e και g()=e, καθώς και την εφαπτόμενη της κάθε μιας, στο κοινό τους σημείο. 6) Υπολογίστε τις συντεταγμένες της τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων -+1 f()=e και 6- g()=e, καθώς και την εφαπτόμενη της κάθε μιας, στο κοινό τους σημείο. 7) Δίνεται η συνάρτηση f()=a e b, όπου f(0)=4 και f (0)=-. Να δειχτεί ότι f()= 4e. 1-8) Δίνονται οι συναρτήσεις f()=e - και g()= 1. Δείξτε ότι έχουν κοινή εφαπτομένη στο e σημείο με τετμημένη 0=1.

9) Ποια από τις επόμενες συναρτήσεις έχει την γραφική παράσταση του σχήματος; a) f()=e -1 - b) f()=-e + c) f()=e Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. 10) Το διάγραμμα δείχνει την γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f() (μαύρη) και τις παραγώγου της f () (κόκκινη). Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης στα σημεία: A(-1,f(- 1)), B(0,f(0)), C(1,f(1)) και D(,f()). f() y 6 5 4 3 1-8 -7-6 -5-4 -3 - -1 0 1 3 4 5 6 7 8-1 - f'() -3-4 -5-6 (A: y=-4-1, B: y=-, C: y=-1, D: y=-4) 11) Οι δύο γραφικές παραστάσεις Α και Β σε ποιες από τις συναρτήσεις f1()=3e -, f()=4-e, f3()=3e, f4()=+e - αντιστοιχούν;

3 Α Β 1) Ποια από τις παρακάτω συναρτήσεις έχει την γραφική παράσταση του σχήματος; a) f()=e - +1 b) f()=e +1 c) f()=-e 13) Δίνεται η συνάρτηση f()=a 10 b. Να βρεθούν τα a, b αν f(0) = 4 and f() = 4000. 14) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f() = Ae B και της παραγώγου της f () φαίνονται στο παρακάτω σχήμα. Να βρεθούν τα Α, Β.

4 y 0 f() f ' () 10-15 -10-5 0 5 10 15 (A = 4, B = ½) 15) Να λυθεί η εξίσωση: + e = 1 e.. 16) Δίνονται οι συναρτήσεις f()=e 1- και g()= e 1-. α) Να βρεθεί το Π.Ο τους. β) Τα κοινά σημεία τομής τους. γ) Οι εφαπτόμενες στα κοινά σημεία τους. 17) Ο πληθυσμός μιας αποικίας βακτηριδίων δίνεται από τον τύπο N(t)=N0e ct, όπου το t είναι ο χρόνος σε λεπτά και N(t) ο πληθυσμός σε χιλιάδες. N0 α) Αν γνωρίζουμε ότι όταν t=5 min ο πληθυσμός είναι t 5 να δείξετε ότι N(t)=N0. β) Αν Ν0= χιλιάδες και το N(t)= 1 της χιλιάδας να βρεθεί το t. 8 18) Η θερμοκρασία ενός υγρού μέσα σε ένα δοχείο δίνεται από τον τύπο T(t)=T0e ct, όπου t ο χρόνος που έχει περάσει σε ώρες και T(t) η θερμοκρασία στο τέλος του χρόνου t σε βαθμούς Κελσίου. T0 α) Αν γνωρίζουμε ότι όταν t=3h η θερμοκρασία είναι 6 β) Αν γνωρίζουμε ότι T0=36 0 C και T(t)=1 0 C να βρεθεί το t. t 3 να δειχθεί ότι T(t)=T0 6.

5 19) Οι ετήσιες πωλήσεις ενός προϊόντος δίνονται από τον τύπο P()=P0e c όπου το παριστάνει τα έτη που το προϊόν μπήκε στην αγορά και το P() το πλήθος των πωλήσεων σε χιλιάδες. α) Αν γνωρίζουμε ότι στο τέλος του ου έτους οι πωλήσεις ήταν 3 P0, να δειχθεί ότι: 3 P()=P0 β) Αν Ρ0=4 χιλιάδες και P()=9 χιλιάδες να υπολογισθεί το. 0) Να αντιστοιχίσετε τις συναρτήσεις: f1()=-e, f()=+e -, f3()=e -1, f4()=e + με τις παρακάτω γραφικές παραστάσεις: Α Β Γ Δ

6 Ασκήσεις με χρήση μικροϋπολογιστή. 1) Σε μια καλλιέργεια 15000 μικροβίων κατά την διάρκεια ενός πειράματος αν ρίξουμε μια συγκεκριμένη ουσία τα μικρόβια εξοντώνονται σε 7,5 ώρες. Ο πληθυσμός κατά την διάρκεια αυτών των 7,5 ωρών δίνεται από τον τύπο: f()=(a-b)e 0,5, όπου το f() παριστάνει τις χιλιάδες των μικροβίων μετά ακριβώς από ώρες που εισάγεται η ουσία με 0 7,5. α) Να βρεθούν τα a, b. β) Αν a=15 και b= τότε i) Να υπολογισθεί ο πληθυσμός των μικροβίων μετά την 1 η, 5 η και 7 η ώρα. ii) Να βρεθεί με την βοήθεια του υπολογιστή μέχρι πότε ο αριθμός των μικροβίων αυξάνεται και πότε αρχίζει και μειώνεται καθώς και πότε γίνεται μέγιστος και ποια είναι η μέγιστη τιμή του. iii) Πότε ο πληθυσμός γίνεται 30000; ) Η συγκέντρωση ενός αναβολικού στο αίμα ενός αθλητή δίνεται από τον τύπο: f()=-α(-1) e +, 0 όπου είναι οι μήνες μετά την λήψη του αναβολικού και f() η ποσότητα που ανιχνεύεται στο αίμα μετά μήνες. Η παραπάνω ουσία (το αναβολικό) σε κανονικές συνθήκες δεν ανιχνεύεται στο αίμα. α) Να βρεθεί το α. Στα επόμενα ερωτήματα το α να ληφθεί ίσο με. β) Να βρεθεί για πόσο χρόνο η συγκέντρωση του αναβολικού αυξάνεται στο αίμα και πότε αρχίζει να ελαττώνεται. γ) Αν είναι γνωστό ότι η επιτρεπόμενη ποσότητα στον οργανισμό για συμμετοχή σε αγώνες είναι μέχρι και 0,5 να βρεθεί ποια χρονικά διαστήματα μπορεί να λάβει μέρος στους αγώνες ο αθλητής. δ) Μετά από πόσο χρόνο δεν θα υπάρχει η παραπάνω ουσία στο αίμα του; 3) Κάποιος κατέθεσε στην τράπεζα ένα ποσό το οποίο μεταβάλλεται σύμφωνα με τον τύπο f(t)=4000 1,1 t 6 α) Τι ποσό κατέθεσε στην τράπεζα;, όπου t 0 ο χρόνος σε έτη και το f(t) σε ευρώ.

7 β) Το ποσό αυξάνεται ή μειώνεται με την πάροδο του χρόνου; Δικαιολογείστε την απάντησή σας. γ) Πόσο θα είναι το ποσό μετά από 18 χρόνια; δ) Μέσα σε ποια χρονιά θα ξεπεράσει το ποσό τα 5500 ; ε) Πόσο τοις εκατό είναι η αύξηση του ποσού τον 6 ο χρόνο σε σχέση με το αρχικό ποσό; Απαντήσεις: α) 4000 γ) 7086,4 δ) 10 η ε) 1% 4) Ο πληθυσμός μιας χώρας μεταβάλλεται σύμφωνα με τον τύπο f(t)=ca t όπου t είναι ο χρόνος σε έτη με t=0 την 1 η Ιανουαρίου 1990, το δε f(t) υπολογίζεται σε εκατομμύρια. Την 1 η Ιανουαρίου 1990 ο πληθυσμός ήταν 49 εκατομμύρια, ενώ την 1 η Ιανουαρίου 1995 ο πληθυσμός ήταν 63 εκατομμύρια. α) Να υπολογισθούν το c και το a. Έστω c=49 και a=1.011. β) Να δειχθεί ότι ο πληθυσμός αυξάνεται με την πάροδο του χρόνου. γ) Σε πόσο χρόνο από την 1-1-1990 ο πληθυσμός θα φτάσει τα 500 εκατομμύρια; δ) Στις 1 Ιουλίου 010 ο πληθυσμός ήταν περίπου 311 500 000. Λειτουργεί σωστά το μοντέλο; Απαντήσεις: α) c=49, a=1.011 β) f (t)>0 γ) t=63,7 έτη δ) ναι, f(0,5)=311,6 10 49,9(e -1) 5) Α) Σε ένα δέντρο αναπτύσσονται παράσιτα σύμφωνα με τον τύπο n()= όπου 10 10 4e +e το είναι ο χρόνος σε μέρες από την στιγμή που άρχισαν να εμφανίζονται τα παράσιτα και n() ο πληθυσμός τους σε χιλιάδες μετά από μέρες από την εμφάνισή τους. α) Να βρεθεί ο πληθυσμός τους i) την 3 η ώρα αφότου εμφανίστηκαν ii) την 5 η ώρα αφότου εμφανίστηκαν και iii) σε μια μέρα αφού εμφανίστηκαν. (Τα αποτελέσματα να στρογγυλευτούν στην πλησιέστερη μονάδα). β) Ο αριθμός των παράσιτων αυξάνεται ή μειώνεται με την πάροδο του χρόνου και γιατί; γ) Να υπολογισθεί το lim n(), ποια η έννοιά του; δ) Αν στο δέντρο ο πληθυσμός των παράσιτων ξεπεράσει τον αριθμό των 1 400 το δέντρο ξεραίνεται. Από την στιγμή που εγκαθίσταται ο πληθυσμός (=0) πόσες ώρες περνάνε για να ξεραθεί το δέντρο; (1 ημέρα = 4 ώρες) Β) Το δέντρο ραντίζεται 16,1 ώρες μετά την εμφάνιση των παρασίτων. Ο πληθυσμός των παρασίτων (σε χιλιάδες) που απομένει μετά από μέρες από το ράντισμα δίνεται από τον τύπο k()=-ln(+0,199), όπου k() ο πληθυσμός τους σε χιλιάδες.

8 α) Πόσος ήταν ο πληθυσμός την ώρα της έναρξης του ραντίσματος; β) Μετά από πόσο χρόνο από την έναρξη του ραντίσματος του ραντίσματος τα παράσιτα θα εξολοθρευθούν; γ) Από την στιγμή που εμφανίστηκε τα παράσιτα πόσος χρόνος πέρασε μέχρι την εξαφάνισή τους; Απάντηση: Α) α) 6-16-9980 β) n ()>0 (με τον υπολογιστή) γ) 1 475, δ) 3,9 ώρες Β) α) 1614 β) 0,801 μέρες ή 19, ώρες γ) 35,3 ώρες 6) Ένα ποσό s αν μείνει στην τράπεζα n χρόνια με επιτόκιο 4% γίνεται b, όπου b=s (1.04) n (1). Α) Μετά από πόσα χρόνια το ποσό αυτό θα διπλασιαστεί; (17,67) Β) Αν καταθέσουμε 100 για 1 χρόνια πόσος θα γίνει ο λογαριασμός μας μετά το τέλος του 1 ου χρόνου; (160,1) Τα αποτελέσματα να στρογγυλοποιηθούν στο πλησιέστερο εκατοστό. Γ) Ο τύπος (1) να γραφεί στη μορφή b=ke a n Τα αποτελέσματα να στρογγυλοποιηθούν στο πλησιέστερο χιλιοστό. (k=s, a=0,039) Δ) Αν θεωρήσουμε το b ως συνάρτηση του n, να δειχθεί ότι η b(n) είναι μια αύξουσα συνάρτηση. 7) Το δηλητήριο ενός θανατηφόρου σκορπιού μέσα στο σώμα συμπεριφέρεται σύμφωνα με 50 τον τύπο P(t) = 4+e -10(t-1) όπου t είναι ο χρόνος σε ώρες και P(t) τα σωματίδια του δηλητηρίου σε χιλιάδες. α) Ο αριθμός των σωματιδίων με την πάροδο του χρόνου αυξάνεται ή ελαττώνεται; β) Να γίνει η γραφική παράσταση της Ρ(t) με τιμές για τον άξονα των y από -1 έως 15. γ) Να υπολογισθεί το lim P(t). Δώστε μια εξήγηση για το αποτέλεσμα. (5/) t δ) Ο θάνατος επέρχεται όταν ο αριθμός των σωματιδίων του δηλητήριου φθάσει τις 1000. Ποια χρονική στιγμή επέρχεται ο θάνατος από την ώρα που θα τσιμπηθεί ένα άτομο από σκορπιό; (1,18) 8) Χρησιμοποιείστε τον υπολογιστή για τους υπολογισμούς στα ερωτήματα a), c) και d).

9 Δύο κοντάρια ύψους 3 μέτρων το καθένα είναι τοποθετημένα έτσι ώστε να απέχουν μεταξύ τους 8 μέτρα. Μεταξύ των κορυφών των κονταριών κρέμεται ένα σχοινί. Η κατάσταση αυτή παρουσιάζεται στο παραπάνω σχήμα. Η καμπύλη που σχηματίζεται από το σχοινί δίνεται από την εξίσωση y=c(e +e - ), όπου c ένας πραγματικός αριθμός. a) Δείξτε ότι c=0,055 με ακρίβεια τριών δεκαδικών ψηφίων. b) Υπολογίστε το μικρότερο ύψος του σχοινιού πάνω από το έδαφος. c) Δύο σημεία πάνω στο σχοινί απέχουν μέτρα από το έδαφος. Προσδιορίστε την απόσταση μεταξύ αυτών των δύο σημείων. d) Πόσο μακρύ είναι το σχοινί; Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον τύπο: b L f d a 1 ( ( )). 9) Σ ένα μικρό νησί του Ειρηνικού τον 18 ο αιώνα οι Άγγλοι άποικοι εισήγαγαν μερικά ζευγάρια λαγών, ώστε να μπορούν να εξασκούνται στο αγαπημένο τους σπορ το κυνήγι. Η κατάσταση γρήγορα τέθηκε εκτός ελέγχου λόγω ανυπαρξίας αρπακτικών στο νησί. Ο αριθμός των λαγών αύξανε σύμφωνα με τον τύπο: Ρ()=3000-990e a, όπου είναι ο χρόνος σε έτη. Ο χρόνος 0 είναι η χρονιά που έγινε η εισαγωγή των λαγών στο νησί και P() είναι ο αριθμός των λαγών ως συνάρτηση του χρόνου, το δε a είναι μια σταθερά. α) Πόσους λαγούς εισήγαγαν οι Άγγλοι στο νησί; (10) β) Να υπολογισθεί το a με 6 δεκαδικά ψηφία αν γνωρίζουμε ότι στο τέλος της τετάρτης χρονιάς υπήρχαν 1439 λαγοί. (-0.16487) γ) Μετά από πόσα χρόνια ο αριθμός των λαγών θα είναι 000; (6.74)

10 δ) Μετά από 5 χρόνια ποιος θα είναι ο αριθμός των λαγών στο νησί; (948) ε) Μετά από πάρα πολλά χρόνια πόσοι θα είναι οι λαγοί στο νησί; ( lim Ρ()=3000 ) 10) Οι ετήσιες πωλήσεις μιας εταιρείας ενός νέου προϊόντος σε χιλιάδες δίνεται από τον τύπο - 5 V()=3 (1- e ), 0 όπου είναι ο χρόνος σε έτη από την στιγμή που εμφανίστηκε το προϊόν. α) Να υπολογισθεί ο αριθμός των προϊόντων που πουλήθηκαν το 1 ο το ο και το 3 ο έτος. Ποιο είναι το είδος της μονοτονίας της συνάρτησης; (δικαιολόγηση) β) Μετά από πόσο καιρό η εταιρεία θα πουλήσει 990 προϊόντα; () γ) Να υπολογισθεί το lim V(). Ποια η σημασία του αποτελέσματος για τις πωλήσεις; 0 δ) Να σχεδιασθεί η γραφική παράσταση της V() μαζί με την ευθεία y=3. 11) Υπολογίσθηκε ότι το μοντέλο που δίνει τον αριθμό των συσκευών DVD στα γαλλικά 80 νοικοκυριά δίνεται από τη συνάρτηση f(t) = -t 1+me τοις εκατό) το έτος 1998+t. όπου t 0 και το f(t) είναι το ποσοστό (επί α) Να βρεθεί η τιμή του m, αν γνωρίζουμε ότι το ποσοστό των νοικοκυριών το 1998 με DVD ήταν 0,8%. (99) β) Πως μεταβάλλεται η συνάρτηση f(t);(γν, αύξουσα) γ) Να υπολογιστεί το ποσοστό των νοικοκυριών το 011 και το 01 με προσέγγιση δύο δεκαδικών ψηφίων. (79,98%-79,99%) δ) Στο βάθος του χρόνου πόσο θα είναι το ποσοστό των νοικοκυριών που θα έχουν DVD; (80% με όριο)