ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΘΕΜΑ ο : Έστω, C με Re( ) και Re( ) Αν f() ( )( )( )( ) και f(i ) 6 8i, τότε να αποδείξετε ότι: α) f( i ) 6 + 8i β) ( )( )( )( ) + + + + 60 γ) 3 και 7 ΛΥΣΗ α) ( )( )( )( ) f (i) i i i i ( )( )( )( ) ( i )( i )( i )( i ) f( i) i i i i ( i )( i )( i )( i ) ( i )( i )( i )( i ) ( i )( i )( i )( i ) f (i) 6 8i 6 + 8i β) ( )( )( )( ) + + + + ( )( )( )( ) i i i i ( )( )( )( )( )( )( )( ) i + i i + i i + i i + i -3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ( )( )( )( ) ( )( )( )( ) i i i i + i + i + i + i ( )( )( )( ) ( )( )( )( ) i i i i i i i i ( )( ) f (i)f ( i) 6 8i 6 + 8i 6 + 8 096 + 6 60 γ) + Re( ) ( ) () Έχουμε: + Re( ) () ( )( )( )( ) f (i) i i i i ( i )( i ) ( i )( i ) Όμως: (), ( ) i( + ) i( + ) + + + i i + i i ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) 6 i 6 + + i + + f (i) 6 8i Άρα έχουμε: ( )( ) ( )( ) + 6 6 8 8 ( )( ) 8 + 8 + + 7 9 7 + 9 3-3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΘΕΜΑ ο : Δίνεται η παράσταση f() ( 3 + i) + 0i 0i. Να αποδείξετε ότι: α) Το ευρύτερο υποσύνολο του C στο οποίο ορίζεται η παράσταση f() είναι το C R β) + 0i 0i γ) f() δ) Ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών, για τους οποίους ισχύει f() 6, είναι υπερβολή, της οποίας να βρείτε την εξίσωση. ΛΥΣΗ α) Έστω + yi,,y R και M(, y) η εικόνα του στο επίπεδο. Για να ορίζεται η παράσταση f αρκεί + 0i 0i 0 Εξετάζουμε λοιπόν για ποιους μιγαδικούς αριθμούς ισχύει + 0i 0i 0 + 0i 0i 0 + 0i 0i + (y+ 0)i + (y 0)i + (y+ 0) + (y 0) + y + 0y + 00 + y 0y + 00 0y 0y 0y 0 y 0 Άρα, για να ορίζεται η παράσταση f αρκεί y 0, δηλαδή C R β) Από την τριγωνική ανισότητα έχουμε: + για κάθε, οπότε για + 0i και 0i έχουμε: C, + 0i 0i ( + 0i) +( 0i) γ) Για κάθε C είναι: + 0i 0i οπότε για κάθε C R είναι: + 0i 0i () Έχουμε λοιπόν: ( 3 + i) ( 3 + i) 3 + i f() + 0i 0i + 0i 0i + 0i 0i -3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 () + 0i 0i + 0i 0i δ) ( 3 + i) 3 + i f() 6 + 0i 0i 6 + 0i 0i 6 (α) 0i 0i 0i 0i + 0i 0i + + 6 + 0i 0i ( 0 0i ) ( 0 + 0i ) (ΜΕ) (ΜΕ), όπου Μ η εικόνα του μιγαδικού αριθμού, Ε(0, 0) και Ε(0,0) Παρατηρούμε ότι η απόλυτη τιμή της διαφοράς των αποστάσεων της εικόνας Μ του μιγαδικού αριθμού από τα σταθερά σημεία Ε, Ε είναι α σταθερή και μικρότερη του (ΕΕ) 0. Επομένως, ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών είναι η υπερβολή με εστίες τα σημεία Ε(0, 0) και Ε(0,0), άρα γ 0 Επιπλέον είναι α α 6, οπότε β γ α β 00 36 β 6 β 8 και η εξίσωση της υπερβολής είναι: y y α β 36 6 ΘΕΜΑ 3ο : Δίνονται τρεις μιγαδικοί αριθμοί,w,u με 3, w, u 5 και + w + u 0, οι οποίοι έχουν εικόνες τα σημεία Α, Β, Γ αντίστοιχα. α) Να αποδείξετε ότι 6 + 9w 0 β) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΟΑΒ είναι ορθογώνιο, όπου Ο είναι η αρχή των αξόνων. γ) Να βρείτε τα μήκη των πλευρών του τριγώνου ΑΒΓ με κορυφές τις εικόνες των μιγαδικών,w,u ΛΥΣΗ α) Από την υπόθεση έχουμε: 9 3 9 9 () 6 w w 6 ww 6 w w () 5 u 5 u 5 uu 5 u u (3) -3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 Επίσης έχουμε: u ( + w ) () + w + u 0 + w + u 0 (5) Η σχέση (5) με βάση τις σχέσεις (), () και (3) γράφεται: 9 6 5 9 6 5 + + 0 + 0 w u w +w 9w( + w) + 6( + w) 5w 0 9w + 9w + 6 + 6w 5w 0 6 + 9w 0 (6) β) Αρκεί να αποδείξουμε ότι: (OA) + (OB) (AB) + w w Είναι όμως: w ( w)( w) + ww (w + w) (6) 6 9w 6 9w 6 + 9 5 5 ( AB) w + + w Επομένως έχουμε: ( AB) w 5 (OA) + (OB) + w 9 + 6 5 w ( Α B) οπότε το τρίγωνο OABείναι ορθογώνιο. γ) Αρκεί να βρούμε ακόμα τους αριθμούς u και w u, που είναι αντίστοιχα τα μήκη των πλευρών ΑΓ και ΒΓ, αφού ήδη έχουμε αποδείξει ότι (AB) w 5 () u + w (+ w)(+ w) + ww + (w + w) + w + (w + w) (6) 9w 6 6 9w 36 + 6 + 36 6 5 + w + + + w Επομένως έχουμε: ( A Γ ) u 5 3-3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 5

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 () w u + w ( + w)( + w) + ww + (w + w) + w + (w + w) 9w 6 6 9w 9 + 6 + 9 6 73 + w + + + w Επομένως έχουμε: ( ΒΓ ) w u 73 ΘΕΜΑ ο : Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς, w, οι οποίοι ικανοποιούν τις σχέσεις: i α i () α w( i) i α 0 (), όπου α R και 0 < α α) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών β) Να αποδείξετε ότι οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών w ανήκουν σε κύκλο, του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα. γ) Να αποδείξετε ότι ο αριθμός v w με w + w, είναι φανταστικός δ) Αν, είναι δυο μιγαδικοί αριθμοί με εικόνες αντίστοιχα στο επίπεδο τα σημεία Α, Β, οι οποίοι ικανοποιούν τη σχέση () και w είναι ένας μιγαδικός αριθμός με εικόνα στο επίπεδο το σημείο Γ, ο οποίος ικανοποιεί τη σχέση (), τότε να αποδείξετε ότι: ΛΥΣΗ α) (ΓΑ) 3 3 (ΓΒ) i i α i α i α i α α i α ( α )( i α i) α ( i)( i) ( α i)( α i) α ( i)( i) + + + α i α i α i α + α i α i α i α i α α i α α α ( ) ( ) 0 α < α α α α α (3) Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών είναι ο κύκλος με κέντρο το σημείο Ο (0,0) και ακτίνα ρ α β) Έχουμε: Είναι i (3) i + α w( i) i α 0 w( i) i + α w i i ( i) w + w + w + i i i i, γιατί αν i από τη σχέση () προκύπτει () α άτοπο. i -3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 6

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 Από τη σχέση () έχουμε: (+ i) (+ i) + i i w w w w i i i i i () w w w α i Άρα οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών w ανήκουν στον κύκλο, ο οποίος έχει κέντρο το σημείο Ο (0,0) και ακτίνα ρ α γ) Αρκεί να αποδείξουμε ότι v v Από τις σχέσεις (3) και (5) έχουμε: α α α α w α ww α w w v Άρα ο αριθμός α α α w w w w w + w + w + w α α α + + w w (5) w w w w w v + w+ w+ + w w w v w + w είναι φανταστικός δ) (ΓΑ) w και (ΓΒ) w Για τους μιγαδικούς αριθμούς w, από τριγωνική ανισότητα έχουμε: w w+ w + (6) Αν στη σχέση (6) θέσουμε, όπου το έχουμε: w w+( ) w + w w w + α α w α+ αα (ΓΑ) 3α (7) Ομοίως για τους μιγαδικούς αριθμούς w, έχουμε: α w 3αα (ΓΒ) 3α, οπότε 3α (ΓΒ) α (8) -3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 7

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 Πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη τις σχέσεις (7) και (8) έχουμε: α (ΓΑ) 3α (ΓΑ) 3 3α (ΓΒ) α 3 (ΓΒ) ΘΕΜΑ 5ο : Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς w και, για τους οποίους ισχύει ότι: 5 w 80 + 5w 6 i Οι εικόνες Κ() των μιγαδικών αριθμών στο μιγαδικό επίπεδο είναι τα κέντρα των κύκλων εκείνων που εφάπτονται εσωτερικά του κύκλου C :( Ε, ), όπου ( ) διέρχονται από το σημείο Ε(,0) Ε,0 και Να βρείτε: α) Το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών w στο μιγαδικό επίπεδο. β) Το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών στο μιγαδικό επίπεδο. γ) Την ελάχιστη τιμή του μέτρου w δ) Τους μιγαδικούς,, 3, από τους μιγαδικούς αριθμούς, που οι εικόνες τους είναι κορυφές τετραγώνου με πλευρές παράλληλες προς τους άξονες και yy ΛΥΣΗ α) Έστω w+ yi,, y R, τότε έχουμε: 5 w 80 + 5w 6 i 5 + yi 80 + 5( + yi) 6 i ( ) ( ) ( ) ( ) 5 + yi 80 + 5 6 + 5y i 5( y ) 80 5 6 5y + + + 5 + 5y 80 + 5 60 + 36 + 5y 0y + 60 + 0y 360 0 + y 6 0 Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών w στο μιγαδικό επίπεδο είναι η ευθεία ε :+ y 6 0 β) Αν Δ είναι το σημείο επαφής ενός κύκλου κέντρου Κ() με τον κύκλο C, τότε ισχύει: ( ΚΕ) ( ΚΔ) (), με ( ) ΚΔ < Επειδή (ΚΔ) (ΚΕ) η σχέση () ισοδύναμα γράφεται: ( ΚΕ) ( ΚΕ ) ( ΚΕ) + ( ΚΕ) και ( ) ΕΕ < Άρα ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Κ, που είναι οι εικόνες των μιγαδικών στο επίπεδο είναι έλλειψη με εστίες τα σημεία Ε(,0), Ε(,0) και μεγάλο άξονα ΑΑ με (ΑΑ) α, οπότε α γ ( ΕΕ) γ και β α γ β 3-3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 8

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 Επομένως η εξίσωση της έλλειψης είναι y C: + 3 γ) Έστω Κ() και Μ(w) οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών, w στο μιγαδικό επίπεδο, τότε είναι w (KM) (KH) (ΓΖ), όπου ΚΗ (ε) και Γ εκείνο το σημείο της έλλειψης C, στο οποίο η εφαπτομένη της είναι παράλληλη προς την ευθεία ε και απέχει από αυτή τη μικρότερη απόσταση. Εύρεση του Γ: Έστω Γ(, y ) σημείο της έλλειψης C, τότε ισχύει: y + () 3 Η εξίσωση της εφαπτομένης ε στο σημείο Γ είναι: yy ε : + 3 y 0 3 3 ε //ε λ ε λ ε y () y Από την () έχουμε: 9 + ± 3 Για είναι y 3 3, άρα Γ, -3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 9

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 3 3 Για είναι y, άρα Γ, Οι εφαπτόμενες της έλλειψης C, στα σημεία της Γ και Γ είναι παράλληλες προς την ευθεία ε και 3 3 + 6 6 5 0 d( Γ, ε) d( Γ,ε) 5 + 5 5 + 5 Δηλαδή d( Γ, ε) < d( Γ, ε), άρα το ζητούμενο σημείο Γ είναι το Γ 5 w (KM) (KH) (ΓΖ) d( Γ,ε) 5 Άρα η ελάχιστη τιμή του μέτρου w είναι 5 5 δ) Έστω τα σημεία Μ, Μ, Μ 3, Μ της έλλειψης C, που είναι οι εικόνες των μιγαδικών,,, 3 αντίστοιχα, με + y i,, y > 0, ώστε το τετράπλευρο Μ Μ Μ 3 Μ να είναι τετράγωνο με πλευρές παράλληλες προς τους άξονες και yy Λόγω των συμμετριών ισχύει:, 3 και Μ Μ Μ Μ ( ) ( ),y > 0 ( ) y i y (3) y + (), γιατί το σημείο Μ (C) 3 Από τη λύση του συστήματος των εξισώσεων (3) και () προκύπτει ότι: y, γιατί, y > 0 7 Άρα οι ζητούμενοι μιγαδικοί αριθμοί είναι: i 7 ( + ), ( i), ( i) και ( + i) 7 3 7 7 ΘΕΜΑ 6ο : Έστω οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις f,g: R R, οι οποίες ικανοποιούν τη σχέση: f () + g () f () + g (), για κάθε R () ( ) -3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 και οι μιγαδικοί αριθμοί f()+g()i α) Αν f() και g() 3, τότε: i) Να αποδείξετε ότι οι εικόνες των μιγαδικών κινούνται σε κύκλο του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα. ii) Να βρείτε την ελάχιστη και τη μέγιστη τιμή του αθροίσματος f () + g () β) Αν υπάρχει α R ώστε α + i, τότε: 0 0 i) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης Α α α ii) Να βρείτε τις συναρτήσεις f,g ΛΥΣΗ α) i) Για κάθε R είναι: ( f ()+g () ) f () + g () f()f () + g()g () f () + g () f () f() + g () g() 0 ( ) ( ) ( f() ) + ( g() ) 0 ( f() ) ( g() ) c + () Για από τη σχέση () έχουμε: f() + g() c ( ) ( ) ( ) 3 + c c 5 Άρα, για κάθε R ισχύει: f() + g() 5 ( ) ( ) που σημαίνει ότι οι εικόνες των μιγαδικών ακτίνα ρ 5 κινούνται σε κύκλο με κέντρο Κ (, ) ii) Για κάθε μιγαδικό αριθμό ισχύει f () + g (), οπότε το άθροισμα f () + g () λαμβάνει την ελάχιστη (μέγιστη) τιμή του, όταν το μέτρο του λαμβάνει την ελάχιστη (μέγιστη) τιμή. Η ελάχιστη τιμή του είναι ίση με: ( ΟΑ) ( ΑΚ ) ( ΟΚ) 5 Η μέγιστη τιμή του είναι ίση με: ( ΟΒ) ( ΒΚ) + ( ΟΚ) 5+ Επομένως η ελάχιστη τιμή του αθροίσματος είναι: m ( 5 ) 9 0 και η μέγιστη τιμή του είναι: και -3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 Μ ( 5 + ) 9 + 0 β) i) και οπότε Α 0 0 0 006 006 006 α + + ( i) ( i) (i) 0 0 006 006 006 α ( i) ( i) ( i) ii) Για α έχουμε: και η σχέση () γίνεται: α + i f(α) α f(α) + g(α)i f(α) + g(α)i + i g(α) ( ) ( ) f(α) + g(α) c ( ) ( ) + c c 0 Άρα, για κάθε R ισχύει: f() + g() 0 Επομένως: ( ) ( ) f(), R και g(), R ΘΕΜΑ 7ο : Έστω f() +, όπου μιγαδικός αριθμός με 0 α) Να βρείτε τους μιγαδικούς αριθμούς και, για τους οποίους ισχύει f() και στη + συνέχεια να αποδείξετε ότι οι εικόνες των μιγαδικών, και στο 3 3 μιγαδικό επίπεδο είναι κορυφές ισοπλεύρου τριγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο με κέντρο Ο(0, 0) και ακτίνα ρ β) Αν f() R και C R, τότε: ( + ) i) Να βρείτε το όριο ( h ) h + lim ln h ii) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( ) ( + ) 0 t f() t ( f() ) ρίζα ως προς t στο διάστημα ( 0, ) + 0 t t έχει μία ακριβώς γ) Αν f(), C, τότε: i) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών στο μιγαδικό επίπεδο. -3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ii) Να βρείτε την ελάχιστη τιμή του όπου, δύο από τους μιγαδικούς του 5 5 (γ. i) ερωτήματος με Im( ) Im( ) < 0 5 ΛΥΣΗ α) f() + + + 0 () ± i 3 ± 3 i Άρα + 3 i και 3 i () + 3 3 3 ( + ) 3 3 ( ) ( ) () 3 () 3 + + ( 8) γιατί, + και ( ) ( ) + + Ισχύει: 3 και 3 3 3 Άρα οι εικόνες των μιγαδικών, και στο μιγαδικό επίπεδο είναι κορυφές ισοπλεύρου 3 τριγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο με κέντρο Ο(0, 0) και ακτίνα ρ β) i) Έχουμε: ( ) f () R f () f () + + + + ( ) ( ) + + + + ( ) ( ) ( )( ) 0 0 0 ή 0 ή R R ή (3) ii) lim ( ln( h + ) h) h h lim ( ln( + ) ln e ) h + h + h h h + lim ln lim ln lim ln t, h + h + e h + + e e t 0 h h h h t + τότε lim + 0 e e h + e e γιατί αν θέσουμε -3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ( ) ( ) 0 (t ) f() + t f () + 0 t t ( ) ( ) 3 03 (t ) f() + + t f() 0 () Θεωρούμε τη συνάρτηση 03 3 g(t) t ( f ()) + (t ) (f () + ), t [ 0, ] Η συνάρτηση g είναι συνεχής στο διάστημα [ 0,] ως άθροισμα συνεχών και g(0) g() < 0, γιατί g(0) 8 (f () + ) < 0 και Από το (β) ερώτημα έχουμε ότι: 03 g() ( f()) > 0, λόγω της (5). f() R και C R Ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Bolano, άρα στο διάστημα ( 0, ) η εξίσωση g(t)0, λόγω της () είναι ισοδύναμη με την ( t ) ( f() + ) t 0( f() ) εξίσωση + 0, t t οπότε η δοθείσα εξίσωση έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο ( 0, ). Η g είναι γνησίως αύξουσα στο ( 0, ), επειδή 0 g (t) 03t ( f ()) + 3(t ) (f () + ) > 0 για κάθε t (0,), άρα η ρίζα αυτή είναι μοναδική. γ) i) Έστω + yi, 0 f() + + + ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + + + + + 6 ( ) + yi ( ) + + 0 y + 0 y Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών στο μιγαδικό επίπεδο είναι η ισοσκελής υπερβολή c:y με αβ και γ, που έχει εστίες τα σημεία Ε ( 0, ) και ( 0, ) ( ) και από την (3) έχουμε ότι δηλαδή ( ) Ε και κορυφές τα σημεία Α 0, και Α 0, f() + +, f() R f () f (), όμως f() + και f ()... και επειδή C R τελικά ισχύει < f () < (5) -3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ii) Im( ) Im( ) < 0 5 Άρα οι εικόνες των, στο επίπεδο θα βρίσκονται σε διαφορετικό κλάδο της υπερβολής 5 c:y Αν Κ, Λ οι εικόνες των, αντιστοίχως, τότε έχουμε: 5 5 ( ) ( ) ΚΛ ΑΑ Άρα η ελάχιστη τιμή του είναι η 5 ΘΕΜΑ 8ο : Έστω η συνάρτηση f: R R, η οποία ικανοποιεί τις σχέσεις: f() e, για κάθε R () f()f( ), για κάθε R () α) Να βρείτε το f(0) και να αποδείξετε ότι f() e, R f() β) Θεωρούμε επίσης τη συνάρτηση g(), ( 0, + ) i) Nα μελετήσετε τη συνάρτηση g ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. ii) Nα βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης g iii) Aν για τους θετικούς αριθμούς α, β, γ ισχύει lnα + lnβ + lnγ, να αποδείξετε ότι β+γ α+γ α+β 3 αe + βe + γe 3e ΛΥΣΗ α) Για 0 από τις σχέσεις () και () αντίστοιχα έχουμε: f(0) και f (0) Άρα f(0) Επίσης, αν θέσουμε όπου το, από τη σχέση () έχουμε: -3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 5

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 () f( ) e f() e f() e Από τις σχέσεις () και (3) έχουμε: f() e, R β) i) Για κάθε ( 0, ) + είναι: g() Η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο ( 0, + ), με e, R (3) e e ( )e g() ( )e g() 0 0 ( )e g() > 0 > 0 > Το πρόσημο της g() καθώς η μονοτονία και τα ακρότατα της g φαίνονται στον παρακάτω πίνακα. Η συνάρτηση g είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα ( 0,] Η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα [, + ) Η συνάρτηση g παρουσιάζει ελάχιστο στο με ελάχιστη τιμή g() e ii) lim g () lim e 0 + 0 + + + e + (e ) lim g() lim + + D.L.H lim lim e + + + () Η συνάρτηση g είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο διάστημα Δ ( 0, ], άρα g( Δ ) g(), lim g() ) [ e, + ) + 0 Άρα το σύνολο τιμών της συνάρτησης g είναι: g Δ g Δ g Δ e, + iii) 0 0 + g() 0 + g() Η συνάρτηση g είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο διάστημα Δ [, + ), άρα g( Δ ) g(), lim g() ) [ e, + ) + e ελάχιστο ( ) ( ) ( ) [ ) -3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 6

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 lnα + lnβ + lnγ ln(αβγ) αβγ e () Επομένως e g( α ) e, α α β e g( β ) e και β g( α)g( β ) + g( β)g( γ ) + g( γ)g( α) 3e e g( γ ) e γ γ α β β γ γ α e e e e e e + + 3e α β β γ γ α α + β β+ γ γ+ α γ e + α e + β e αβγ 3e () β + γ γ+ α α+ β α e + β e + γ e 3e e β+ γ γ+α α+β 3 α e + β e + γ e 3e ΘΕΜΑ 9ο : Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f :R Rμε f(r) R, οποία ικανοποιεί τη σχέση: συν f() + f() για κάθε R () α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφή της. β) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία. f() γ) Να υπολογίσετε το όριο lim π δ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f () ημ έχει μοναδική λύση στο διάστημα,0 ΛΥΣΗ α) Έστω, R με f( ) f( ), τότε έχουμε: συνf( ) συνf( ) συν f( ) συν f( ) () f ( ) f ( ) (3) Προσθέτοντας κατά μέλη τις σχέσεις () και (3) έχουμε: () + συν + συν f ( ) f ( ) f( ) f( ) Άρα η συνάρτηση f είναι, οπότε αντιστρέφεται. Από υπόθεση γνωρίζουμε ότι το σύνολο τιμών της συνάρτησης f είναι το R, επομένως το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f Για να ορίσουμε τη συνάρτηση είναι το R f Ισχύει η ισοδυναμία: f() y f (y) απομένει να βρούμε τον τύπο της -3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 7

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 οπότε η σχέση () ισοδύναμα γράφεται: συν y+ y f (y) ή f (y) y+ συν y Άρα η αντίστροφη συνάρτηση της f είναι: f :R R με f () + συν β) Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R, άρα και η συνάρτηση συνf() είναι παραγωγίσιμη στο R, ως σύνθεση παραγωγισίμων συναρτήσεων, όπως επίσης και η συνάρτηση Παραγωγίζοντας λοιπόν και τα δύο μέλη της σχέσης () έχουμε: συνf() ( συνf() )+ f () συνf()ημf()f () + f () ( συνf()ημf() ) f () f () ημf()συνf() Για κάθε R είναι: ος τρόπος: ημf() συνf() ημf() συνf() ημf()συνf() ημf()συνf() ημf()συνf() ημf()συνf() 0 ος τρόπος: οπότε: ημf()συνf() > 0 ημf()συνf() 3+ ημf()συνf() 3 + ημ f() + συν f() ημf()συνf() 3+ ( ημf() συνf() ) > 0 f () > 0, για κάθε R Επομένως η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο R συν f() γ) Για 0 έχουμε: Όμως: Άρα: f (0) f () 0 f() f() f() lim lim f () f() 0 f() ημf() συνf() ημ0 συν0 lim f() -3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 8

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 δ) Θεωρούμε τη συνάρτηση h() f () ημ + συν ημ, R Η συνάρτηση h είναι συνεχής στο διάστημα συναρτήσεων. π + π h h(0) < 0 < 0 π,0, ως πράξεις συνεχών Άρα ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του Θεωρήματος Bolano, οπότε η εξίσωση h() 0 έχει π μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα,0 π Για κάθε, 0 είναι: h() ημσυν συν συν + ( ημ συν ) > 0 > 0 > 0 π Άρα η συνάρτηση h είναι γνησίως αύξουσα στο,0, οπότε η ρίζα είναι μοναδική. ΘΕΜΑ 0ο : Έστω η συνεχής συνάρτηση f: [ 0,+ ) R με f(0) 0, η οποία είναι παραγωγίσιμη στο α με α > 0 και ικανοποιεί τις σχέσεις: f(y) f()f(y) για κάθε, y > 0 () f() 0 για κάθε > 0 () Α) Να αποδείξετε ότι: α) f() f για κάθε > 0 f() και ( ) β) f() 0 για κάθε 0 γ) η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο ( 0,+ ) με f () αf (α) για κάθε > 0 f() f(α) Β) Αν η ευθεία ε : α y+ α 0 είναι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Μα,f ( ( α) ),να βρείτε τον τύπο της f. ΛΥΣΗ Α) α) Για y και > 0 από τη σχέση () έχουμε: ( ) f ( ) f ()f () f () f ()f () f () f () 0 f () (3) Για > 0 και y από τη σχέση () έχουμε: (3) () f ( ) f ()f ( ) f () f ()f ( ) f ()f ( ) f ( ) () f() () -3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 9

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 β) Η συνάρτηση f είναι συνεχής και δεν μηδενίζεται στο διάστημα ( 0,+ ), άρα διατηρεί σταθερό πρόσημο στο ( 0,+ ) και επειδή f() > 0 συμπεραίνουμε ότι : f() > 0 για κάθε ( 0,+ ) (5) Από την υπόθεση είναι f(0) 0, οπότε τελικά έχουμε f() 0 για κάθε 0 f() f(α) γ) Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο α > 0, οπότε ισχύει lim f (α) α α Για να είναι η f παραγωγίσιμη στο ( 0, + ), αρκεί να αποδείξουμε ότι είναι παραγωγίσιμη σε τυχαίο ( 0, + ) o Έστω ( 0, + ), τότε για κάθε ( 0,+ ) όταν το o το h α και έχουμε o h με o θέτουμε o με h > 0, οπότε α ( h ) ( h o o o ) o ( h α α α ) f() f( o ) f f ( ) f ( ) f f ( ) f αf( ) h o h α o α o α ( ) (6) () () o (h o α) o f(h)f () f(h) α f( o) α α f( o) f(α) α f( o) f(h) f(α) o h α o h α f(α) o h α α f( ) α f( ) lim f (α) f (α), αφού o o h α o o α f( o ) f(α) σταθερά. o f(h) f(α) h α (6) lim h α f (α) Επομένως f() f( ) α f( ) f(h) f(α) h α o o lim lim o f(α) o h α o α f( ) f(h) f(α) α f( ) h α o o lim lim f (α) h α f(α) o h α of(α) Άρα η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε κάθε ( 0, + ) οπότε είναι παραγωγίσιμη στο ( 0,+ ) με Για κάθε ( 0, + ) είναι: αf( o) o με f() o f(α), f(α) o α f() f () f (α) f(α) () α f() f() α f (α) f () f (α) (7) f(α) f() f(α) -3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 Β) Μ( α,f (α)) ( ε) α α f(α) + α 0 α α f(α) α f(α) f(α) α α f(α), α > 0 (9) α (8) Από τις σχέσεις (7), (8) και (9) έχουμε: α f() α f () f() α f() f () f() ( nf() ) ( n) (5) nf() n + c nf() n + c, > 0 (0) Για α από τη σχέση (0) έχουμε: (8) nf(α) n α + c n α n α + c c 0 Επομένως από τη σχέση (0) έχουμε: nf () n f (), > 0 Επειδή η συνάρτηση f είναι ορισμένη και συνεχής στο 0 με f(0) 0, συμπεραίνουμε ότι: f(), 0 ΘΕΜΑ ο : Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f:r R, η οποία για κάθε R ικανοποιεί τη σχέση f(α)<f ()<f(β) (), όπου α, β R με α β > 0 (). Να αποδείξετε ότι: α) Η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα. β) Η συνάρτηση g() f() f(α) είναι γνησίως αύξουσα και ότι f(α) < f(β) γ) Η εξίσωση f() 0 έχει μια ακριβώς λύση στο ( β, α ) δ) Υπάρχουν,,3 R τέτοια, ώστε να ισχύει ΛΥΣΗ f(β) f(α ) f( β) + β f() f() f() 3 α) Η συνάρτηση f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. στο [ α, β ], αφού είναι παραγωγίσιμη στο R, άρα θα υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (α, β) τέτοιο, ώστε Από τη σχέση () έχουμε: f(β) f(α) f(ξ) β α -3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 f(β) f(α) f(ξ) < f(β) < f(β) β α α β β α () Από τις σχέσεις (3) και () έχουμε: f(β) f(α) < f(β) f(α) < 0 f(α) > 0 (5) Από τις σχέσεις () και (5) έχουμε: f() > f(α) > 0 για κάθε R Άρα η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο R β) ος τρόπος: () f(β) f(α) f ( ξ ) f(β) f(α) β α Από τη σχέση () έχουμε: f(β) f( α ) < f ( ξ) f(α) < f(β) f(α) f(α) < f(β) f(α) < ος τρόπος: Η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο R με g() f () f(α) (6) Από τις σχέσεις () και (6) έχουμε: g() > 0 για κάθε R Άρα η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα στο R (3) Ισχύει: g α< β g(α) < g(β) f(α) α f(α) < f(β) βf(α) () f(β) f(α) +(β α )f(α) < f(β) f(α) < f(β) f(α) < γ) α > 0 α > 0 α β > 0 β < < 0 < α β > β < Η συνάρτηση f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. στο [ β, α], αφού είναι παραγωγίσιμη f(α) f( β) στο R, άρα θα υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ( β, α) τέτοιο, ώστε f(ξ ) α+ β Από τη σχέση () έχουμε: f(α) f( β) f(α) < f (ξ ) f(α) < αf(α) + βf(α) f( α ) < f( β) α+ β (7) -3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 () αf(α) (β f( ) f( β) αf(α) f( β) + ) α < < Από τις σχέσεις (5) και (7) έχουμε: Έχουμε: αf(α) > 0 άρα f( β) > 0, οπότε f( β) < 0 (8) Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [ β, α], αφού είναι παραγωγίσιμη στο R. f( β)f(α) < 0, λόγω των σχέσεων (5) και (8) Επομένως η συνάρτηση f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θεωρήματος Bolano στο διάστημα [ β, α ], άρα θα υπάρχει ένα ρ ( β, α) και μάλιστα μοναδικό, αφού η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα, τέτοιο ώστε f(ρ) 0 (9) δ) β < ρ < α < β Η συνάρτηση f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. σε καθένα από τα διαστήματα άρα θα υπάρχει ένα τουλάχιστον: ( β, ρ) τέτοιο, ώστε (ρ, α) τέτοιο, ώστε [ β, ρ ], [ ρ, α ] και [ ρ, β ] (9) f() > f(ρ) f( β) f( β) 0 f( β) f() f() ρ +β ρ ( β) ρ+β f() (9) f( ) > f(α ) f (ρ ) f (α ) 0 f (α ) f ( ) f ( ) α ρ α ρ α ρ f ( ) (9) f( 3 ) > f(β ) f (ρ ) f (β ) 0 f (β ) 3 (ρ, β) τέτοιο, ώστε f ( 3) f ( 3) β ρ β ρ β ρ f ( 3) () f(β ) f (α ) f ( β) + (β ρ) + (α ρ) + ( ρ+β) α+ 3β β f ( ) f ( ) f ( ) 3 ΘΕΜΑ o : Έστω η συνεχής συνάρτηση f:,+ R, η οποία είναι παραγωγίσιμη στο, +, π π έχει σύνολο τιμών f ( A ), και ικανοποιεί τη σχέση ( ) ημ f(), () + α) Να αποδείξετε ότι f(),, + + + ( ) β) Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφή της. γ) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τις ασύμπτωτες. ΛΥΣΗ -3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 α) Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα,+ και η συνάρτηση ημ στο R, άρα η συνάρτηση ημf() είναι παραγωγίσιμη στο,+, ως σύνθεση παραγωγισίμων. Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο ( ) ( ) +,,+, άρα παραγωγίζοντας και τα δύο μέλη της σχέσης () για κάθε Για κάθε, + έχουμε: ()( + ) ( + ) + (+ ) [ ημf() ] συνf()f () + συνf()f () συνf()f () ( + ) ( + ) ημ f() + συν f() συν f() ημ f() + συν f() συν f() ( + ) ( + ), + είναι: π π <f() <, οπότε συνf() > 0 () Από τις σχέσεις (3) και () έχουμε: συνf() + + (5) Από τις σχέσεις () και (5) έχουμε: + f() f() + (+ ) ( + ) +,, + β) Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο,+ και f() 0 > για κάθε, +, οπότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο Η συνάρτηση f είναι και έχει σύνολο τιμών,+, άρα είναι και, επομένως αντιστρέφεται. π π y, υπάρχει μοναδικό, + τέτοιο, ώστε Άρα για κάθε π π y, η σχέση () γράφεται: () () (3) π π f(a),, επομένως για κάθε f() y f (y) -3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 Επομένως: ημy ημy + ημy ( ημy) ημy + ημy ημy ημy ημy f (y) π π f :, R με f ημ () ημ γ) Η συνάρτηση f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο είναι το διάστημα f( A) f, limf() + και επειδή ( ) π lim f() +,+, άρα το σύνολο τιμών της f π π f A, συμπεραίνουμε ότι Επομένως η γραφική παράσταση C της συνάρτησης f έχει οριζόντια ασύμπτωτη στο + την f π ευθεία (ε) : y Επειδή η f είναι συνεχής στο,+ για 0,+ ισχύει lim f() f( 0) R, που σημαίνει 0 ότι η γραφική παράσταση C της συνάρτησης f δεν έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη. Σημείωση: Η γραφική παράσταση C f της συνάρτησης f φαίνεται στο διπλανό σχήμα. f ΘΕΜΑ 3o : Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f:r R, που έχει σημείο καμπής το O(0,0) και της οποίας η γραφική παράσταση φαίνεται στο διπλανό σχήμα. α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g() f() β) Με δεδομένο ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης g έχει ασύμπτωτες, να τις βρείτε. γ) Να μελετήσετε τη συνάρτησης g ως προς τη μονοτονία, τα ακρότατα και να χαράξετε τη γραφική της παράσταση δ) Αν η συνάρτηση f είναι πολυωνυμική 3 ου βαθμού, τότε: i) Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς κ, λ και τον -3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 5

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 τύπο της συνάρτησης f ii) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f και τον άξονα ΛΥΣΗ α) Για να ορίζεται η συνάρτηση g πρέπει και αρκεί f() 0 f() 0 και 0 και Άρα το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g είναι το σύνολο Α R {, 0, } g β) Από τη γραφική παράσταση C της συνάρτησης f, προκύπτει ότι: f lim f (), οπότε lim g () lim 0 f() lim f () +, οπότε lim g () lim 0 + + f() + Επομένως η ευθεία y 0 είναι οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης C g της συνάρτησης g και στο και στο + lim f () lim f () 0 και f()<0 για <, οπότε 0 και f()>0 για >, οπότε g lim () lim f() lim g () lim + f() + + Επομένως η ευθεία είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης C g της της συνάρτησης g ( ) limf () 0 limf () 0 0 και f()>0 για (,0) 0 και f()<0 για (0, ), οπότε, οπότε g + lim () lim 0 0 f() lim g () lim f() 0 + 0 + Επομένως η ευθεία 0 είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης C g της της συνάρτησης g ( ) limf () limf () 0 και f()<0 για (0, ) 0 και f()>0 για >, οπότε, οπότε g lim () lim f() lim g () lim + f() + + Επομένως η ευθεία είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης C g της -3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 6

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 της συνάρτησης g ( ) ( ) Για την εύρεση μιας κατακόρυφης ασύμπτωτης, ως γνωστόν, αρκεί ένα τουλάχιστον από τα δύο πλευρικά όρια να είναι + ή. Εδώ ο υπολογισμός και των δύο πλευρικών ορίων, σε κάθε περίπτωση, έγινε γιατί μας είναι απαραίτητα για την χάραξη της γραφικής παράστασης, που ζητείται στο επόμενο ερώτημα. g έχουμε γ) Για κάθε Α R {, 0, } f () g () () f() f () Από τη σχέση () συμπεραίνουμε ότι η συνάρτηση g, σε κάθε διάστημα που ορίζεται, έχει το αντίθετο πρόσημο από αυτό που έχει η συνάρτηση f, άρα οι συναρτήσεις g και f έχουν αντίθετο είδος μονοτονίας σε κάθε διάστημα. Επομένως: Η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα (, κ], άρα η συνάρτηση g είναι γνησίως φθίνουσα σε καθένα από τα διαστήματα (, ) και (, κ] Η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα [ κ, λ ], άρα η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα σε καθένα από τα διαστήματα [ κ,0) και ( 0,λ ] Η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα [ λ, + ), άρα η συνάρτηση g είναι γνησίως φθίνουσα σε καθένα από τα διαστήματα [ λ,) και (,+ ) Έτσι έχουμε τον παρακάτω πίνακα: Η συνάρτηση g στο 0 Η συνάρτηση g στο κ παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο με τιμή λ παρουσιάζει τοπικό μέγιστο με τιμή g (κ) f (κ) 3 g (λ) f (λ) 3 Η γραφική παράσταση C g της συνάρτησης g, είναι: -3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 7

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 δ) i) H συνάρτηση f είναι πολυωνυμική 3 ου βαθμού και έχει τρεις ρίζες, τους αριθμούς, 0,, άρα είναι της μορφής: Για κάθε R είναι: Άρα: Άρα: 3 ( ) ( ) f() α( + )( ) α α, R f() α(3 ) 3 f() 0α( 3 ) 0 ± ± 3 3 3 3 κ και 3 3 λ 3 3 3 3 f(κ) 3f 3α 3 3 3 3 8 3 8 3 6 3 7 9 3 α + 3 α 3 α α 9 3 9 6 3 6 9 3 3 f() ( ), R 6 ii) Tο εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f και τον άξονα είναι: 0 Ε f () d f ()d f ()d 0 3-3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 8

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 0 9 3 3 9 3 3 ( ) d ( ) d 6 6 0 0 9 3 9 3 6 6 0 9 3 9 3 ( 0 + 8) ( 8 0) 6 6 9 3 9 3 8 9 3 9 3 ( ) 6 6 6-3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 9