ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (Κεφάλαιο ) ΘΕΜΑ Α 1. α) Απόλυτη συχότητα οομάζεται ο φυσικός αριθμός που μας δείχει πόσες φορές εμφαίζεται η τιμή x της εξεταζόμεης μεταβλητής Χ στο σύολο τω παρατηρήσεω. β) Σχετική συχότητα f της τιμής x ορίζουμε το πηλίκο της συχότητας με το μέγεθος του δείγματος, δηλαδή f, 1,,...,. γ). Αφού 0 0 10f 1 για 1,,...,.. 1 1... f1f... f... 1.. α) Οι αθροιστικές σχετικές συχότητες F, εκφράζου το ποσοστό τω παρατηρήσεω που είαι μικρότερες ή ίσες της τιμής x. β) Ισχύει f1 f f3 f4 f1ff3f4 1 0,1 1 3 4 134 10 Οπότε f 1 0,1, f 0,, f 3 0,3 και f 4 0, 4 3 15 Επίσης f3 0,3 50 και 4 f40,450 0. και 1f10,150 5, f0, 50 10 Α c το πλάτος της κλάσης τότε το αώτερο όριο της πρώτης κλάσης θα είαι 0c c. Το κατώτερο όριο της δεύτερης κλάσης θα είαι και αυτό c άρα το αώτερο όριο της δεύτερης κλάσης θα είαι c. Θα έχουμε c c 3c 6 6 c 4 Με όλα τα παραπάω ο πίακας συμπληρώεται ως εξής: Σελίδα 1 από 9
κλάσεις x f [0, 4 ) 5 0,1 [ 4,8) 6 10 0, [ 8, 1) 10 15 0,3 [ 1,16 ) 14 0 0,4 ΣΥΝΟΛΟ 50 1 3. α) Λάθος, β) Σωστό, γ) Σωστό, δ) Λάθος, ε) Σωστό, στ) Λάθος, ζ) Λάθος ΘΕΜΑ Β α) Αφού το εύρος του δείγματος είαι R 96 3 και το πλήθος 40, τότε οι κλάσεις R 3 είαι 6.Το πλάτος τω κλάσεω θα είαι c 3,83 4. Α θεωρήσουμε ως 6 αρχή της πρώτης κλάσης το 6, θα έχουμε το επόμεο πίακα....,... x N f f% F F% 6,10 8 0,05 5 0,05 5 10,14 1 4 6 0,1 10 0,15 15 14,18 16 10 16 0,5 5 0,40 40 18, 0 4 0 0,1 10 0,50 50,6 4 1 3 0,3 30 0,80 80 6,30 8 8 40 0, 0 1 100 Σύολο 40 1 100 Σελίδα από 9
β) Το ιστόγραμμα και το πολύγωο συχοτήτω είαι το παρακάτω σχήμα. Για το πολύγωο συχοτήτω παίρουμε δύο υποθετικές κλάσεις μία στη αρχή και μία στο τέλος με συχότητα μηδέ. Εώουμε τα μέσα τω άω βάσεω τω ορθογωίω του ιστογράμματος συχοτήτω. γ) 1 ος Τρόπος Από το συμπληρωμέο πίακα παρατηρούμε ότι το 50% τω παρατηρήσεω έχου τιμή κάτω από. Οπότε η διάμεσος είαι δ=. ος Τρόπος Η διάμεσος θα έχει αθροιστική συχότητα F 50%.Κατασκευάζουμε το πολύγωο τω αθροιστικώ σχετικώ συχοτήτω και από το σημείο Α (50% τω παρατηρήσεω) φέρουμε ΑΒ//Οx και στη συέχεια τη ΒΓ Οx. Τότε, στο σημείο Γ ατιστοιχεί η διάμεσος δ τω παρατηρήσεω. Δηλαδή δ=. Σελίδα 3 από 9
δ) Γωρίζουμε ότι οι παρατηρήσεις κάθε κλάσεις είαι ομοιόμορφα καταεμημέες. Επειδή το πλήθος τω παρατηρήσεω της 4 ης κλάσης 18, είαι 4 4, θεωρούμε ότι το πλήθος τω 4 ημερώ αδείας αυτής της κλάσης που είαι τουλάχιστο 0 είαι. Άρα, το πλήθος τω εργαζομέω που δικαιούται τουλάχιστο 0 ημέρες αδείας είαι ίσο με: 4 5 6 1 8 εργαζόμεοι. ε) Το ποσοστό τω εργαζομέω που δικαιούται από 10 έως και 4 ημέρες αδείας αήκου στις κλάσεις 10,14,14,18,18, και στο μισό της,6, οπότε είαι 1 0,3 0,3 1, ff3f4 f5 0,10, 50,1 0, 45 0, 6. Άρα το 60% τω εργαζομέω δικαιούται από 10 έως και 4 ημέρες αδείας. Σελίδα 4 από 9
ΘΕΜΑ Γ Α. α) Αφού στη Α ομάδα αυξάοται οι βαθμοί κατά 3 μοάδες, θα έχομε: x x 3 15, s s 1, Αφού στη B ομάδα αυξάοται οι βαθμοί κατά 30%, θα έχομε: x x 1, 3 15, 6, s s 1,3 s 1, 1,3 1,56 β) Έστω t, 1,,..., οι βαθμολογίες τω μαθητώ της Α ομάδας για τις οποίες ισχύει x 1 και s 1,. Τα τετράγωα τω βαθμολογιώ δίοται από το τύπο y t, 1,,,. Η μέση τιμή αυτώ τω βαθμολογιώ είαι y Από το τύπο που δίεται έχουμε: 1 t t t t t 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 s t s y s yx y s x y s x 1, 1 145, 44 Β. α) έχουμε το παρακάτω σχήμα Σελίδα 5 από 9
και το πίακα...,... x N f f% F F%,6 4 10 10 0,0 0 0,0 0 6,10 8 8 18 0,16 16 0,36 36 10,14 1 1 30 0,4 4 0,60 60 14,18 16 6 36 0,1 1 0,7 7 18, 0 14 50 0,8 8 1 100 Σύολο 50 1 100 Σελίδα 6 από 9
β) Τα τρίγωα και είαι όμοια άρα έχουμε 5036 x 14 x x,3 άρα 1,3 6036 1410 4 4 Το εύρος R 0 Η μέση τιμή xx xx x 410 8811166 014 50 50 1 1 3 3 4 4 5 5 x 1, 48 γ) Από το τύπο o 360 έχουμε 10 50 o 1 o 0 1 360 360 7, 1 50 o 3 o 0 3 360 360 86, 4, 8 50 o o 0 360 360 57, 6, 6 50 o 4 o 0 4 360 360 43,, 14 5 360 360 100,8 50 o 5 o 0 Σελίδα 7 από 9
ΘΕΜΑ Δ α) Οι παρατηρήσεις της μεταβλητής X ακολουθού καοική καταομή. Γωρίζουμε ότι α έχουμε καοική καταομή τότε η τυπική απόκλιση έχει τις παρακάτω ιδιότητες όπως φαίοται στο σχήμα 100% 95% Το,5% είαι το ποσοστό τω παρατηρήσεω που έχου τιμή μικρότερη από το x s, άρα x s 6. Το 15,85% τω παρατηρήσεω αήκει στα διαστήματα x3s,x s και x s,x 3s. Επειδή όμως το 6<9, τότε το διάστημα (9,11) θα είαι το xs,x 3s, οπότε θα έχουμε: x s 9 x 9 s x 9 s x8. x 3s 11 9s3s11 s s1 β) Από το α) ερώτημα βρήκαμε ότι x 8,s 1άρα θα έχουμε: Σελίδα 8 από 9
Σχήμα 1 Στο διάστημα (7,9) έχουμε το 68% τω παρατηρήσεω (Σχήμα 1), άρα α το μέγεθος του 68 13600 δείγματος τότε θα έχουμε 136 68 13600 00 100 68 γ) Το ποσοστό τω παρατηρήσεω που βρίσκοται στο διάστημα 7,10 είαι 68% 13,5% 81,5% (βλέπε σχήμα 1) 81, 5 81, 5 00 163 100 100 δ) Θεωρούμε τις τιμές z, 1,,, με z c1x, 1,,,, οπότε από τη εφαρμογή 3 σελίδα 99 του σχολικού βιβλίου θα έχουμε μέση τιμή z c1x 8c 1, 1 και τυπική απόκλιση s c s c1 c,. z 1 x 1 1 Οι τιμές τω παρατηρήσεω y, 1,,, προκύπτου από τη σχέση y z c με μέση τιμή y 10 και τυπική απόκλιση sy, οπότε από τη εφαρμογή 3 σελίδα 99 του σχολικού βιβλίου θα έχουμε 1 1 y z c 10 8c c, 3 και y z 1 s s c, 4 Η 4 3 10 8c c 1610 c 6 Σελίδα 9 από 9