Θεωρούµε στερεό σώµα που εκτελεί ως προς ένα αδρανειακό σύστηµα αναφοράς επίπεδη κίνηση.

Θεωρούµε στερεό σώµα που εκτελεί ως προς ένα αδρανειακό σύστηµα αναφοράς επίπεδη κίνηση. i) Εάν Κ είναι το στιγµιαίο κέντρο περιστροφής του στερεού κάποια στιγµή και C η αντίστοιχη θέση του κέντρου µάζας του, να δείξετε την σχέση: CK = " ( v C ) όπου η γωνιακή ταχύτητα του σώµατος και v C η ταχύτητα του κέντ ρου µάζας του την θεωρούµενη χρονική στιγµή. ii) Χρησιµοποιώντας την παραπάνω σχέση να βρείτε την θέση του στιγµιαίου κέντρου περιστροφής οµογενούς δίσκου ακτίνας R, ο οποί ος ήλθε σε επαφή µε λείο οριζόντιο δάπεδο έχοντας την στιγµή της επαφής του οριζόντια µεταφορική ταχύτητα v µε κατεύθυνση προς τα δεξιά και δεξιόστροφη περιστροφική κίνηση µε γωνιακή ταχύτητα, µέτρου ω =v /R. iii) Nα δείξετε ότι τα πέρατα των διανυσµάτων που εκφράζουν τις τα χύτητες των σηµείων της κατακόρυφης διαµέτρου του δίσκου βρίσ κονται επί ευθείας γραµµής που διέρχεται από το στιγµιαίο κέντρο περιστροφής του δίσκου. ΛΥΣΗ: i) Εάν η επίπεδη κίνηση του στερεού σώµατος εξετάζεται από ένα αδρανειακό σύστηµα αναφοράς, τότε η ταχύτητα v K του στιγµιαίου κέντρου περιστροφής K του στερεού ως προς το σύστηµα αυτό είναι µηδενική, δηλαδή θα έχουµε: = v K = v C + " CK ( " v C ) = - " " CK v C = - " CK [ ] (1) Xρησιµοποιώντας την διανυσµατική ταυτότητα: [ A ( B C )] = ( A " C ) B - ( A " B ) C

θα έχουµε: [ " ( " CK )] = ( #CK) - # CK = - CK () διότι ( " CK)= καθόσον τα διανύσµατα και CK είναι µεταξύ τους κάθετα. Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και () παίρνουµε: ( " v C ) = CK CK = " ( v C ) / (3) Σχήµα 1 ii) Όταν ο δίσκος αποκτήσει επαφή µε το οριζόντιο δάπεδο θα δέχεται το βάρος του και την αντίδραση του δαπέδου. Επειδή οι δύο αυτές δυνάµεις είναι κατα κόρυφες το κέντρο µάζας C του δίσκου θα έχει µηδενική επιτάχυνση κατά την οριζόντια διεύθυνση, που σηµαίνει ότι θα κινείται µε σταθερή ταχύτητα ίση µε v. Εξάλλου οι ροπές των δύο αυτών δυνάµεων περί το κεντρο µάζας του δίσ κου είναι µηδενικές, που σηµαίνει ότι µηδενική θα είναι και η γωνιακή επιτά χυνση του δίσκου, δηλαδή η γωνιακή του ταχύτητα θα µένει σταθερή και ίση Σχήµα µε. Όλα τα παραπάνω εγγυώνται ότι ο δίσκος δεν θα αλλάξει κινητική κα τάσταση όταν έλθει σε επαφή µε το δάπεδο, δηλαδή θα εκτελεί επίπεδη κίνηση που είναι επαλληλία µιας οµαλής οριζόντιας µεταφορικής κίνησης και µιας οµαλής περιστροφικής κίνησης. Εάν κατά την κίνηση αυτή υπάρχει σηµείο Κ

του δίσκου που έχει µηδενική ταχύτητα, θα πρέπει σύµφωνα µε την (3) να ισχύει η σχέση: ( v ) / CK = " CK = v "µ # / z CK = ( R) z = R z (4) όπου z το µοναδιαίο διάνυσµα της κατακόρυφης διεύθυνσης (σχ. ). Από την (4) προκύπτει ότι το στιγµιαίο κέντρο περιστροφής του δίσκου βρίσκεται στην προς τα κάτω προέκταση της ακτίνας του CA, σε απόσταση R από το κέντρο µάζας του. iii) Η ταχύτητά v B του ανώτατου σηµείου Β του δίσκου έχει µέτρο: v B = v + R = v + v / = 3v / το δε µέτρο της ταχύτητας v A του σηµείου επαφής A του δίσκου µε το οριζόν τιο δάπεδο είναι: v A = v - R = v - v / = v / Θεωρούµε την ευθεία που συνδέει τα πέρατα των διανυσµάτων v A, v B και έστω Κ το σηµείο τοµής της ευθείας αυτής µε την προέκταση της CA (σχ. ). Από τα σχηµατιζόµενα όµοια τρίγωνα θα έχουµε: v B B K = v A A K 3v / R + C K = v / C K - R 3 R + C K = 1 C K - R 3C K - 3R = R + C K C K = R δηλαδή το σηµείο Κ συµπίπτει µε το στιγµιαίο κέντρο περιστροφής Κ. Ας λάβουµε τώρα ένα τυχαίο σηµείο της κατακόρυφης διαµέτρου ΑΒ, λογουχάρη το σηµείο Μ βρίσκεται πάνω από το C σε απόσταση x από αυτό και ας φέρουµε από το Μ το κάθετο επί την ΑΒ διάνυσµα M M που περατώνεται στο σηµείο Μ της ευθείας ΒΑ (σχ. ). Από τα σχήµατιζόµενα όµοια τρίγωνα θα έχουµε: M M R + x = v B 3R M M = v R + x B 3R M M = v + v x R = v + " x = v M = 3v ( R + x) 3R δήλαδή το διάνυσµα M M εκφράζει την ταχύτητα του σηµείου Μ, που σηµαί νει ότι τα πέρατα των διανύσµάτων των ταχυτήτων όλων των σηµείων της

διαµέτρου ΒΑ του δίσκου βρίσκονται επί της ίδιας ευθείας, που η προέκτασή της διέρχεται από το στιγµιαίο κέντρο περιστροφής Κ. P.M. fysikos Θεωρούµε στερεό σώµα µάζας m, το οποίο µπορεί να στρέφεται περί σταθερό οριζόντιο άξονα που τέµνει το κατακόρυ φο επίπεδο κίνησης του κέντρου µάζας του C στο σηµείο Ο. Εξασκού µε στο σώµα δύναµη βραχείας διάρκειας, της οποίας ο φορέας είναι κάθετος στην ΟC και την τέµνει στο σηµείο Κ. Το σηµείο Κ ονοµάζε ται κέντρο κρούσεως του σώµατος, εφ όσον η απόστασή του r Κ από το C είναι τέτοια, ώστε κατά τον χρόνο δράσεως της δύναµης ο άξο νας περιστροφής να µην εξασκεί δύναµη στο σώµα. i) Eάν r Ο είναι η απόσταση του Ο από το C και Ι C η ροπή αδράνειας του σώµατος ως προς άξονα που διέρχεται από το C και είναι παράλ ληλος µε τον άξονα περιστροφής, να δείξετε την σχέση: r r O = I C / m ii) Eάν µετά την δράση της δύναµης η µέγιστη γωνιακή απόκλιση του σώµατος από την θέση ευσταθούς ισορροπίας του είναι φ, να δέξετε ότι το µέτρο της ώθησης της δύναµης δίνεται από την σχέση: $ = r O m"µ # ' & ) % ( mgr O I C + mr O iii) Nα δείξετε ότι η γωνιακή επιτάχυνση " * του σώµατος την στιγµή που αρχίζει η επαναφορά του στην αρχική του θέση έχει µέτρο που ικανοποιεί την σχέση: " * = mgr # $µ% I # όπου Ι Κ η ροπή αδράνειας του σώµατος ως προς άξονα που διέρχεται από το Κ και είναι παράλληλος στον άξονα περιστροφής του. ΛΥΣΗ: i) Kατά τον πολύ µικρο χρόνο Δt (Δt ) που ενεργεί επί τoυ σώµατος η δύναµη κρούσεως F, το σώµα δέχεται ακόµη το βάρος του w, ενώ απαίτησή µας είναι η δύναµη από τον άξονα περιστροφής να είναι µήδενική. Εφαρµό ζοντας για το κέντρο µάζας C του σώµατος και κατά την οριζόντια διεύθυνση, το θεώρηµα ώθησης-ορµής παίρνουµε την σχέση: m v = + F t mv = (1) όπου v η ταχύτητα του κέντρου µάζας C αµέσως µετά την κρούση και η ώθηση της δύναµης F. Όµως κατά τον χρόνο Δt ισχύει για τo σώµα ο νόµος µεταβολής της στροφορµής, που µας επιτρέπει να γράψουµε την σχέση:

L t = " F = OK # F + mr O ) I O (1) = OK " F #t #t ( - ) = OK " F + mr O ) ( v ) () = OK " m όπου F η ροπή της δύναµης κρούσεως F περί τον άξονα περιστροφής του σώµατος. Η διανυσµατική σχέση () µετατρέπεται σε σχέση µέτρων της µορφής: + mr O ) = m( OK)v "µ (# / ) + mr O ) = m( r O + r K )r O I C + mr O = mr O + mr O r K r r O = I C / m (3) Σχήµα 3 Σχήµα 4 ii) Εφαρµόζοντας για το σώµα το θεώρηµα διατήρησης της µηχανικής ενέργει ας κάτα την περιστροφή του από την κατακόρυφη θέση στην θέση της µέγιστης γωνιακής εκτροπής του φ, παίρνουµε: I O + mr O ) = mgr O ( 1 - "#$% ) = mg r O - r O "#$% +mr O ) v (1) r = 4mgr µ # " & O % ( O $ ' +mr O ) m r = 4mgr "µ $ # ' O & ) O % ( = 4m3 3 gr O I C + mr "µ $ # ' $ & ) = mr O % O "µ # ' & ) ( % ( mgr O I C + mr O (4) iii) Ο θεµελιώδης νόµος της στροφικής κίνησης εφαρµοζόµεµος για το σώµα την στιγµή που αρχίζει να κινείται προς την αρχική του θέση, δίνει: (3) I O " * = mgr O #µ$ + mr O ) " * = mgr O #µ$

I C + m I $ C # m & (' * = mg I C *µ+ " r K % mr 1 + I C # ) " mr K ( mr K + I C ) " * = mgr # $µ% I K " * = mgr # $µ% $ & (' * = g)µ* % r + " * = mgr # $µ% / I K (5) όπου " * η ζητούµενη γωνιακή επιτάχυνση του σώµατος την στιγµή που αρχί ζει να κινείται από την θέση µέγιστης εκτροπής προς την αρχική του θέση. P.M. fysikos Το άκρο Α µιας οµογενούς λεπτής ράβδου ΑΒ µά ζας m και µήκους L, είναι αρθρωµένο επί οριζονίου δαπέδου ενώ το άλλο άκρο της Β εφάπτεται λείου κεκλιµένου επιπέδου γωνίας κλίσε ως φ ως προς τον ορίζοντα, όπως φαίνεται στο σχήµα (5). Το κεκλιµένο επίπεδο κίνειται επί του δαπέδου µε σταθερή ταχύτητα v πλησιάζοντας προς την άρθρωση Α. Να εκφράσετε σε συνάρτηση µε την γωνία κλίσεως θ της ράβδου ως προς τον ορίζοντα, το µέτρο της δύναµης επαφής που δέχεται στο άκρο της Β. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας και η ροπή αδράνειας Ι=mL /3 της ράβδου ως προς άξονα κάθετο στην ράβδο και διερχόµενο από το άκρο της. ΛΥΣΗ: Eξετάζουµε το σύστηµα κάποια στιγµή που η γωνία κλίσεως της ράβδου ΑΒ µε το οριζόντιο δάπεδο είναι θ. Εάν κατά την στιγµή αυτή x είναι το διάνυσµα θέσεως του άκρου Μ του κινούµενου κεκλιµένου επιπέδου, ως προς το σταθερό σηµείο Α, τότε από το τρίγωνο ΑΜΒ µε εφαρµογή του νόµου των ηµιτόνων παίρνουµε την σχέση: x µ (" - #) = L µ $ - " x = Lµ ( " - # ) µ" (1) Σχηµα 5 Eπειδή το κεκλιµένο επίπεδο πλησιάζει προς το σηµείο Α η απόσταση x µειώ νεται χρονικά, οπότε για το µέτρο της ταχύτητας v θα έχουµε:

v = - dx dt (1) v = L"# ( $ - % ) &µ$ µ" v = - d $ Lµ " - # ' & ) dt %& () = - L*+, ( " - # ) µ" ' d% * ), d ( dt+ dt = v"µ# L$%& # - - - d# /. dt1 () Eξάλλου η ράβδος ΑΒ εκτελεί περιστροφική κίνηση υπό την επίδραση του βάρους της w, της δύναµης επαφής F από το κεκλιµένο επίπεδο και της δύνα µης Q από την άρθρωση Α. Εφαρµόζοντας για την ράβδο τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης παίρνουµε την σχέση: " (A ) = I A $ # FL - mg L ml µ" = 3 d " dt F = mgµ" + ml 3 d " dt (3) Παραγωγίζοντας την () ως προς τον χρόνο t παίρνουµε: [ ] d v"µ# -"µ # - = - dt L $%& # - d dt = - v"µ#"µ # - L $%& # - ' - d * ), = - v"µ#"µ # - ( dt+ L $%& # - v"µ# L$%& # - = - v "µ #"µ # - () ' d * ), ( dt+ L 3 $%& 3 # - (4) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3) και (4) παίρνουµε: F = mgµ" F = mgµ" - mv µ #µ # - " 3L $%& 3 # - " - mv µ # $% # - " 3L &'( # - " P.M. fysikos Οµογενής ράβδος σταθερής διατοµής σε όλο το µήκος της µεταφέρεται µε την βοήθεια ενός τρακτέρ στο οποίο έχει δεθεί η µια άκρη λεπτού σχοινιού, του οποίου η άλλη άκρη είναι στερεωµένη στην ακρη Β της ράβδου, όπως φαίνεται στο σχήµα (6). Κατά την µεταφορά της ράβδου η άκρη της Α ολισθαίνει επί οριζον τίου εδάφους µε το οποίο η ράβδος παρουσιάζει συντελεστή τριβής ολισθήσεως n. Εάν το τρακτέρ κινείται στο έδαφος µε σταθερή επιτά χυνση a, τότε η µεν ράβδος έχει κλίση θ ως προς την οριζόντια διεύ θυνση, ενώ η αντίστοιχη κλίση του σχοινιού είναι φ>θ. Να βρεθεί η

σχέση µεταξύ των γωνιών φ, θ και του µέτρου της επιτάχυνσης του τρακτέρ. ΛΥΣΗ: Kατά την κίνησή της η ράβδος ΑΒ δέχεται το βάρος της W, την δύνα µη επαφής από το έδαφος που αναλύεται στην τριβή ολισθήσεως T και στην κάθετη αντίδραση N και τέλος την τάση F του σχοινιού που αναλύεται σε οριζόντια συνιστώσα F x και σε κατακόρυφη συνιστώσα F y. Επειδή η ράβδος εκτελεί µεταφορική κίνηση το αλγεβρικό άθροισµα των ροπών των δυνάµεων αυτών περί το κέντρο µάζας της C είναι µηδενικό, δηλαδή ισχύει η σχέση: " (C) = FLµ (" - #) - NL$%&# - TLµ# = Fµ (" - #) - N$%&# - nnµ# = Fµ (" - #) = N ( $%&# + nµ# ) (1) Σχήµα 6 Όµως το κέντρο µάζας της ράβδου επιταχύνεται κατά την οριζόντια διεύθυνση µε επιτάχυνση a, οπότε σύµφωνα µε τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα θα έχουµε την σχέση: F x - T = ma F"#$ - nn = ma () Eξάλλου κατά την κατακόρυφη διεύθυνση το κέντρο µάζας της ράβδου ισορροπεί, οπότε θα ισxύει η σχέση: N + F y - W = N = mg - Fµ" (3) Συνδυάζοντας τις σχέσεις () και (3) παίρνουµε: F"#$ - n( mg - F%µ$ ) = ma F"#$ + nf%µ$ = ma + nmg F ("#$ + n%µ$ ) = m( a + ng) F = m( a + ng) "#$ + n%µ$ (4) Aκόµη η (3) λόγω της (4) γράφεται: N = mg - m ( a + ng )µ" #$%" + nµ" (5)

Λόγω των (4) και (5) η () γράφεται: m( a + ng)µ " - # $%&" + nµ" ' = mg - m ( a + ng )µ" * ), $%&# + nµ# () $%&" + nµ" +, ( a + ng)µ " - # [ µ" ] $%&# + nµ# = g ( $%&" + nµ" ) - a + ng ( a+ng) µ ("-# )+µ" $%&#+nµ# a + ng = [ ] = g ( $%&"+nµ" )( $%&#+nµ# ) ("#& + n%µ& ) + %µ$ ("#& + n%µ& ) g "#$ + n%µ$ %µ $ - & (6) H (6) αποτελεί την ζητούµενη σχέση. P.M. fysikos O τροχός του σχήµατος (7) έχει ακτίνα R και µπορεί να στρέφεται περί σταθερό οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το κέντρο του Ο. Ένας νεαρός µάζας m είναι καθισµένος στο ανώτατο σηµείο Α της περιφέρειας του τροχού και κάποια στιγµή δέχεται ελαφρά οριζόντια ώθηση µε αποτέλεσµα ο τροχός να αρχίσει περιστρε φόµενος. Εάν ο συντελεστής οριακής τριβής µεταξύ του νεαρού και του τροχού είναι µ=1, να βρείτε σε ποία θέση επίκειται η ολίσθηση του νεαρού επί της περιφέρειας του τροχού. Δίνεται η ροπή άδράνει ας Ι O =mr του συστήµατος τροχός-νεαρός ως προς τον άξονα περισ τροφής του τροχού. ΛΥΣΗ: Eξετάζουµε το σύστηµα τροχός-νεαρός την στιγµή που επίκειται η ολίσθηση του νεαρού πάνω στην περιφέρεια του τροχού. Την στιγµή αυτή η µόνη εξωτερική ροπή, περί το κέντρο Ο του τροχού, που δέχεται το σύστηµα είναι η αντίστοιχη ροπή του βάρους w του νεαρού και συµφωνα µε τον θεµε λιώδη νόµο της στροφικής κίνησης θα έχουµε την σχέση: " (O) = I O $ # mgrµ" = mr $ # " = g#µ$ / R (1) όπου " η γωνιακή επιτάχυνση του συστήµατος και φ η γωνία της επιβατικής ακτίνας του νεαρού µε την κατακόρυφη διεύθυνση. Εξάλλου ο νεαρός µέχρις ότου αρχίσει η ολίσθησή του δέχεται το βάρος του w που αναλύεται στην ακτι νική συνιστώσα w r και την εφαπτοµενική συνιστώσα w e, καθώς και την δύνα µη επαφής από τον τροχό που αναλύεται στην στατική τριβή T και στην κάθε τη αντίδραση N (σχ. 7). Εφάρµόζοντας για τον νεαρό τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα κατά την ακτινική και εφαπτοµενική διέυθυνση της τροχιάς του την στιγµή που επίκειται η ολίσθησή του, παίρνουµε τις σχέσεις: w r - N = mv / R# $ w e - T = mr " % mg"#$ - N = m %R mg&µ$ - µn = mr %' / R ( ) * µ =1

N = mg"#$ - mr% mg&µ$ - N = mr %' ( ) * () Σχήµα 7 όπου η αντίστοιχη γωνιακή ταχύτητα του συστήµατος. Η δεύτερη εκ των (), λόγω της πρώτης και της (1) δίνει: mgµ" - ( mg#$%" - mr& ) = mgµ" / gµ" / - g#$%" + R& = (3) Όµως η µηχανική ενέργεια του συστήµατος από την στιγµή της εκκίνησής του µέχρι την στιγµή που αρχίζει η ολίσθηση του νεαρού διατηρείται σταθερή, οπό τε θα έχουµε: mgr + = mgr"#$ + I O % / mgr( 1 - "#$ ) = mr % / g( 1 - "#$) = R% (4) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3) και (4) παίρνουµε: gµ" / - g#$%" + g( 1 - #$%") = µ" - 4#$%" + = 1 - "# $ = 4"#$ - 1 - "# $ = ( 4"#$ - ) 17"# $ - 16"#$ + 3 = (5) H (5) είναι εξίσωση δεύτερου βαθµού ως προς συνφ και έχει δύο ρίζες θετικές και µικρότερες της µοναδος. Δεκτή είναι η µεγαλύτερη ρίζα, που αντιστοιχεί στην µικρόρερη τιµή της φ. P.M. fysikos