Τµ. Επιστήµης των Υλικών
εσµευµένες Πιθανότητες Εστω (Ω, A, P) ένας πιθανοθεωρητικός χώρος. Αξιωµατικός Ορισµός της Πιθανότητας (Kolmogorov) Θεωρούµε (Ω, A) έναν µετρήσιµο χώρο. Ενα πιθανοθεωρητικό µέτρο (ή µια πιθανότητα) P είναι µια συνολοσυνάρτηση, P : A R, µε τις εξής ιδιότητες, 1 A A, P(A) 0. 2 P(Ω) = 1. 3 Αν A 1, A 2,... γεγονότα ανά δύο ξένα µεταξύ τους (δηλ. A i A j =, i j), τότε P( i=1a i) = i=1 P(Ai). Οταν συµβαίνει κάποιο γεγονός A, τότε P(A) > 0. Ποια είναι η πιθανότητα να συµβεί ένα γεγονός B, όταν γνωρίζουµε (δηλ. είµαστε ϐέβαιοι) ότι συµβαίνει το γεγονός A; P(B A) συµβολίζεται ως η πιθανότητα να συµβεί το γεγονός Β, δοθέντος ότι συµβαίνει το γεγονός Α (δεσµευµένη πιθανότητα) Ορισµός P(B A) = P(A B) P(A), όπου P(A) > 0.
εσµευµένες Πιθανότητες Πρόταση Η συνολοσυνάρτηση P( A) είναι ένα µέτρο πιθανότητας, δηλαδή ισχύουν τα αξιώµατα του Kolmogorov 1 B A, P(B A) 0. 2 P(Ω A) = 1. 3 Αν B 1, B 2,... γεγονότα ανά δύο ξένα µεταξύ τους (δηλ. B i B j =, i j), τότε P( i=1b i A) = i=1 P(Bi A). Παράδειγµα 1 Μία δίτεκνη οικογένεια λαµβάνεται στην τύχη από ένα καθορισµένο σύνολο τέτοιων οικογενειών. 1 Ποια είναι η πιθανότητα να πάρουµε παιδί του ίδιου γένους; 2 Ποια είναι η πιθανότητα να πάρουµε παιδί του ίδιου γένους όταν γνωρίζουµε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα κορίτσι;
εσµευµένες Πιθανότητες Πολλαπλασιαστικό Θεώρηµα Εστω ότι συµβαίνουν τα γεγονότα A 1, A 2,...,A n, µε P( n 1 j=1 A j) > 0, τότε P( n j=1 A j) = P(A 1 )P(A 2 A 1 )P(A 3 A 1 A 2 )...P(A n n 1 j=1 A j) Απόδειξη. (Επαγωγικά) n = 2, P(A 1 A 2) = P(A 1)P(A 2 A 1) (ισχύει εξ ορισµού.) Υποθέτω ότι ισχύει για n = k, ϑα δείξω ότι ισχύει για n = k + 1. n = k, P( k j=1 Aj) = P(A1)P(A2 A1)P(A3 A1 A2)...P(A k k 1 j=1 Aj) n = k + 1, P( k+1 j=1 Aj) = P(( k j=1 Aj) A k+1) = P(A k+1 k j=1 Aj)P( k j=1 Aj) = P(A 1)P(A 2 A 1)P(A 3 A 1 A 2)...P(A k k 1 j=1 Aj)P(A k+1 k j=1 Aj). Παράδειγµα 2 Από µια κληρωτίδα που περιέχει 10 πανοµοιότυπα σφαιρίδια, εκτός του ότι 5 είναι µαύρα, 3 είναι κόκκινα και 2 είναι λευκά, 4 σφαιρίδια λαµβάνονται στην τύχη. Ποια είναι η πιθανότητα το 1ο σφαιρίδιο να είναι µαύρο, το 2ο να είναι κόκκινο, το 3ο λευκό και το 4ο µαύρο;
εσµευµένες Πιθανότητες Ορισµός Τα σύνολα A 1, A 2,...,A n,... αποτελούν µια διαµέριση του συνόλου Ω, εάν αυτά είναι ξένα µεταξύ τους ανά δύο (δηλ. A i A j =, i j) και Θεώρηµα Ολικής Πιθανότητας (Θ.Ο.Π.) j=1aj = Ω. Εστω {A j, j = 1, 2,...} µια διαµέριση του δειγµατοχώρου Ω, τότε για κάθε σύνολο Β του δειγµατοχώρου ισχύει η σχέση Θεώρηµα Bayes P(B) = P(A j)p(b A j). Υπό τις προϋποθέσεις του Θ.Ο.Π. και εφ οσον P(B) > 0, j=1 P(A j B) = P(Aj)P(B Aj) P(B), j = 1, 2,..., όπου P(A j) ονοµάζεται εκ των προτέρων πιθανότητα και P(A j B) ονοµάζεται εκ των υστέρων πιθανότητα.
εσµευµένες Πιθανότητες Παράδειγµα 3 Ενας ϕοιτητής γράφεται ως πρωτοετής στο τµ. Επιστήµης των Υλικών. Η πιθανότητα να πάρει υποτροφία είναι 0.30. Αν πάρει υποτροφία η πιθανότητα να πάρει πτυχίο στα 5 χρόνια είναι 0.85 και αν δεν πάρει υποτροφία είναι µόνο 0.45. 1 Να ϐρεθεί η πιθανότητα να πάρει πτυχίο ο ϕοιτητής στα 5 χρόνια. 2 Αν ο ϕοιτητής πήρε το πτυχίο του στα 5 χρόνια, ποια είναι η πιθανότητα να έχει πάρει υποτροφία; Παράδειγµα 4 Κατά την εξέταση ενός ασθενούς υπάρχει η υποψία ότι αυτός πάσχει από µία από τις 3 ασθένειες A 1 ή A 2 ή A 3. Υποθέτουµε ότι, υπό ορισµένες συνθήκες, το 50% του πληθυσµού πάσχουν από την ασθένεια A 1, 25% από την ασθένεια A 2 και 25% από την ασθένεια A 3. Για καλύτερη διάγνωση ο ασθενής υποβάλλεται σε ορισµένο τεστ του οποίου το αποτέλεσµα είναι ϑετικό µε 25% στην περίπτωση της ασθένειας A 1, 50% στην περίπτωση της ασθένειας A 2 και 90% στην περίπτωση της ασθένειας A 3. Ποια είναι η πιθανότητα ο ασθενής να µην έχει την ασθένεια A 1, παρ όλο ότι το παραπάνω τεστ είναι ϑετικό.
Ανεξάρτητα Γεγονότα Ορισµός Αν P(B A) = P(B), τότε τα γεγονότα Α και Β ονοµάζονται ανεξάρτητα. Παράδειγµα 5 Εστω µια κάλπη που περιέχει 10 πανοµοιότυπα σφαιρίδια, όπου τα 7 είναι µαύρα και τα 3 είναι άσπρα, λαµβάνω δύο σφαιρίδια, (i) χωρίς επανατοποθέτηση και (ii) µε επανατοποθέτηση. Ορίζω τα εξής γεγονότα, M 1 = {Το 1ο σφαιρίδιο είναι µαύρο.} M 2 = {Το 2ο σφαιρίδιο είναι µαύρο.} A 1 = {Το 1ο σφαιρίδιο είναι άσπρο.} A 2 = {Το 2ο σφαιρίδιο είναι άσπρο.} Είναι τα γεγονότα M 1 και M 2 ανεξάρτητα µεταξύ τους;
Ανεξάρτητα Γεγονότα Ορισµός Εστω (Ω,A, P) ένας πιθανοθεωρητικός χώρος και γεγονότα A 1, A 2,...,A n A, τα οποία ϑα ονοµάζονται ανεξάρτητα µεταξύ τους, αν για οποιαδήποτε k γεγονότα από αυτά, A i1, A i2,...,a ik ισχύει η σχέση, P(A i1 ) P(A i2 )... P(A ik ) = P(A i1 )P(A i2 )...P(A ik ), k = 1, 2,...,n. Παρατήρηση A 1, A 2, A 3 ανεξάρτητα γεγονότα, εάν P(A 1 A 2 A 3 ) = P(A 1 )P(A 2 )P(A 3 ) P(A 1 A 2 ) = P(A 1 )P(A 2 ) P(A 1 A 3 ) = P(A 1 )P(A 3 ) P(A 2 A 3 ) = P(A 2 )P(A 3 ). Αν έχουµε, δηλ., n γεγονότα πρέπει να πάρουµε 2 n n 1 σχέσεις. Ορισµός Τα γεγονότα A 1, A 2,...,A n καλούνται ανεξάρτητα κατά Ϲεύγη αν
Παραδείγµατα Παράδειγµα 6 ιαθέτουµε τρία δοχεία U 1, U 2 και U 3. Το 1ο δοχείο περιέχει 5 µαύρα και 5 άσπρα σφαιρίδια, το 2ο δοχείο περιέχει 4 µαύρα και 8 άσπρα σφαιρίδια και το 3ο δοχείο περιέχει 8 µαύρα και 6 άσπρα σφαιρίδια. Ρίχνω ένα Ϲάρι. Αν έρθει η πλευρά «1», τότε ϐγάζω 2 σφαιρίδια από το U 1, αν έρθουν οι πλευρές «2» ή «3» ϐγάζω 3 σφαιρίδια από το U 2, ενώ αν έρθουν οι πλευρές «4» ή «5» ή «6» ϐγάζω 4 σφαιρίδια από το U 3. 1 Αν ϱίξω το Ϲάρι µία ϕορά, ποια είναι η πιθανότητα να ϐγάλω ακριβώς 2 µαύρα σφαιρίδια; 2 Αν ϱίξω το Ϲάρι για δεύτερη ϕορά, ποια είναι η πιθανότητα και την πρώτη και τη δεύτερη ϕορά να πάρω 2 µαύρα σφαιρίδια;
Παραδείγµατα Παράδειγµα 7 Ενα Ϲευγάρι (άντρας και γυναίκα) ϑέλει να πάει διακοπές σε ένα ελληνικό νησί. Τελικά καταλήγουν να πάνε σε ένα από τα παρακάτω, ή Σκιάθο ή Ζάκυνθο ή Πάρο (µε την ίδια πιθανότητα). Αν επιλέξουν τη Σκιάθο, η πιθανότητα να τσακωθούν µεταξύ τους κατά τη διάρκεια των διακοπών είναι 20%. Αν επιλέξουν τη Ζάκυνθο αυτή η πιθανότητα γίνεται 30%, ενώ αν πάνε στην Πάρο η πιθανότητα να τσακωθούν είναι 40%. 1 Ποια είναι η πιθανότητα, για το Ϲευγάρι, να τσακωθούν µεταξύ τους κατά τη διάρκεια των διακοπών; 2 Ποια είναι η πιθανότητα να πάνε για διακοπές στη Ζάκυνθο ή στην Πάρο, όταν είναι γνωστό ότι δεν πρόκειται να τσακωθούν;
Παραδείγµατα Παράδειγµα 8 Μέσα σε ένα δοχείο υπάρχουν 4 µαύρα και 6 άσπρα σφαιρίδια. Ρίχνω 3 νοµίσµατα ταυτόχρονα, και ϐγάζουµε τόσα σφαιρίδια από το δοχείο, όσα και το πλήθος των κορώνων από την ϱίψη των 3 νοµισµάτων. 1 Ποια είναι η πιθανότητα να ϐγάλω ένα µαύρο σφαιρίδιο από το δοχείο όταν η δειγµατοληψία γίνεται (i) µε επανάθεση, (ii) χωρίς επανάθεση. 2 Αν γνωρίζω ότι έχω ϐγάλει ένα µαύρο σφαιρίδιο από το δοχείο, ποια είναι η πιθανότητα κατά την ϱίψη των τριών νοµισµάτων να έχω 2 κορώνες, όταν η δειγµατοληψία γίνεται χωρίς επανάθεση.