. Επίλυση γραμμικού συστήματος με χρήση αντιστρόφου Πρόταση Θεωρούμε ένα τετραγωνικό γραμμικό σύστημα (δηλαδή ο αριθμός των εξισώσεων είναι ίσος με τον αριθμό των αγνώστων) AX=B (S). Αν ο πίνακας Α είναι αντιστρέψιμος τότε η λύση του συστήματος (S) δίνεται από τη σχέση X=A Απόδειξη Θεωρούμε ένα τετραγωνικό γραμμικό σύστημα AX=B (S). Αν ο πίνακας Α είναι αντιστρέψιμος τότε υπάρχει ο αντίστροφος σύστημα (S) με αυτόν έχουμε A και πολλαπλασιάζοντας αριστερά το AX=B (S) A A X=A B I X=A B X=A B I X=A B X=A B 7 (S) 5 7 (S). 5 Να λυθεί το σύστημα. Αυτό με τη μορφή πινάκων γράφεται 7 AX=B (S) με A, X, B Παρατηρούμε. ότι ο πίνακας Α είναι 5 αντιστρέψιμος αφού έχει ορίζουσα μη μηδενική και είναι ίση με A 0. Ο 5 5 αντίστροφος του Α είναι ο A οπότε από την προηγούμενη πρόταση η λύση του συστήματος δίνεται από τη σχέση 5 7 / X=A B X X 9 9 / δηλαδή η λύση του συστήματος είναι η /, 9 /.. Επίλυση γραμμικού συστήματος με τον κανόνα του Cramer. Ο κανόνας του Cramer εφαρμόζεται μόνο σε τετραγωνικά γραμμικά συστήματα δηλαδή σε αυτά που ο αριθμός των εξισώσεων είναι ίσος με τον αριθμό των αγνώστων ή με άλλα λόγια για συστήματα της μορφής AX=B (S) Τότε έχουμε το ακόλουθο συμπερασμα. Πρόταση Θεωρούμε το n n σύστημα AX=B (S) det(a) 0 τότε το σύστημα (S) έχει μοναδική λύση την n,, n όπου A,... n οι ορίζουσες που προκύπτουν αν στην ορίζουσα του Α αντικαταστήσουμε την πρώτη στήλη, δεύτερη,...,n-oστή στήλη αντίστοιχα και βάλουμε στη θέση της τη στήλη των σταθερών όρων. Αν det(a) 0 τότε το σύστημα είναι είτε αδύνατο είτε αόριστο. Ειδικά για n= έχουμε ότι Πρόταση Θεωρούμε το σύστημα AX=B (S) B
det(a) 0 τότε το σύστημα (S) έχει μοναδική λύση την A A,, A A όπου A οι ορίζουσες που προκύπτουν αν στην ορίζουσα του Α αντικαταστήσουμε την πρώτη στήλη, δεύτερη στήλη αντίστοιχα και βάλουμε στη θέση της τη στήλη των σταθερών όρων. Αν det(a) 0 τότε διακρίνουμε δύο περιπτώσεις: i) Aν κάποια από τις ορίζουσες A είναι μη μηδενική τότε το σύστημα δεν έχει λύσεις και το σύστημα είναι αδύνατο. ii) Αν A A 0 τότε το σύστημα έχει άπειρες λύσεις. Ειδικά για n= έχουμε ότι Πρόταση Θεωρούμε το σύστημα AX=B (S) det(a) 0 τότε το σύστημα (S) έχει μοναδική λύση την,,, όπου A οι ορίζουσες που προκύπτουν αν στην ορίζουσα του Α αντικαταστήσουμε την πρώτη στήλη, δεύτερη, τρίτη στήλη αντίστοιχα και βάλουμε στη θέση της τη στήλη των σταθερών όρων. Γεωμετρικά τα τρία επίπεδα (κάθε εξίσωση παριστάνει ένα επίπεδο) τέμνονται σε ένα σημείο P. Αν det(a) 0 τότε διακρίνουμε δύο περιπτώσεις: i) Aν όλοι οι υποπίνακες του πίνακα Α έχουν ορίζουσα μηδενική και όλοι οι υποορίζουσες πρώτης τάξης (δηλαδή τα στοιχεία του πίνακα) είναι μη μηδενικά) a d a d τουλάχιστον μία). Σχηματίζω τις ορίζουσες ορίζουσες Δ, Δ. a d a d Αν Δ,ή Δ μη μηδενικές τότε το σύστημα είναι αδύνατο. ii) Aν όλοι οι υποπίνακες του πίνακα Α έχουν ορίζουσα μηδενική και όλοι οι υπο-
ορίζουσες πρώτης τάξης (δηλαδή τα στοιχεία του πίνακα) είναι μη μηδενικά) a d a d τουλάχιστον μία). Σχηματίζω τις ορίζουσες ορίζουσες Δ, Δ. a d a d Αν Δ Δ 0 τότε το σύστημα έχει άπειρες λύσεις και είναι αόριστο. Το μειονέκτημα αυτής της μεθόδου αυτής είναι ότι λειτουργεί μόνο με τετραγωνικά συστήματα. Επίσης ο κανόνας του Cramer δεν είναι αποδοτική μέθοδος λύσης ενός συστήματος επειδή απαιτούνται πολλές πράξεις για τον υπολογισμό πολλών οριζουσών μεγάλης τάξης. 4 Να λυθεί το σύστημα 4 4 4 με τον κανόνα του Cramer. 4. Αυτό με τη μορφή πινάκων γράφεται 4 4 ισοδύναμα AX=B (S) με A 4 X και B Αρχικά. 4 υπολογίζουμε την ορίζουσα του πίνακα Α και έχουμε 4 4 A 4 ( ) ( ) 60 0. Επομένως το σύστημα έχει 4 4 4 μοναδική λύση την,, () 4 4 4 όπου A 4 4 ( ) ( ) 80 4 4 4 4 A 4 60 και 4 4 4 4 4 4 A 4 ( ) 4 60 Επομένως με αντικατάσταση στη σχέση () η μοναδική λύση του συστήματος είναι η A 80 A 60 A 60,, =. A 60 A 60 A 60 Μεθοδολογία μετασχηματισμού πίνακα σε ανηγμένο κλιμακωτό Αν η πρώτη γραμμή και το στοιχείο στη πρώτη στήλη είναι μη μηδενικό την κρατάμε αλλιώς εντοπίζουμε την πρώτη μη μηδενική στήλη και μεταφέρουμε
στην πρώτη γραμμή εκείνη τη γραμμή με το μη μηδενικό στοιχείο της στήλης, Μετατρέπουμε το πρώτο μη μηδενικό στοιχείο της πρώτης γραμμής σε, Δημιουργούμε με κατάλληλες γραμμοπράξεις μηδενικά σε όλα τα στοιχεία που βρίσκονται στη στήλη κάτω από το της πρώτης γραμμής, Στη συνέχεια κάνουμε τα προηγούμενα βήματα για τις επόμενες γραμμές και Δημιουργούμε μηδενικά σε όλα τα στοιχεία που βρίσκονται σε κάθε στήλη που περιέχει το κάθε γραμμής. Με τη βοήθεια του κλιμακωτού πίνακα μπορούμε να ορίσουμε ξανά το βαθμό του πίνακα ως εξής: Ορισμός Ονομάζουμε βαθμό ή τάξη ενός πίνακα το πλήθος των μη μηδενικών γραμμών του κλιμακωτού (ή ανηγμένου κλιμακωτού) πίνακα του Α και το συμβολίζουμε με r(a) ή rank(a). Προφανώς ο βαθμός ενός m n πίνακα Α ικανοποιεί τη σχέση rank(a) min{m,n}. Για να βρούμε τον βαθμό ενός πίνακα εφαρμόζουμε γραμμοπράξεις και φτάνουμε ισοδύναμα σε κλιμακωτό πίνακα. Τότε το πλήθος των μη μηδενικών του γραμμών ισούται με την τάξη του πίνακα Α. Πρόταση Θεωρούμε το γραμμικό σύστημα AX=B (S). Το σύστημα (S) είναι συμβιβαστό δηλαδή έχει λύσεις αν και μόνο αν rank(a) rank(a B), δηλαδή αν και μόνο αν η τάξη του πίνακα Α είναι ίση με την τάξη του επαυξημένου του. Αν λοιπόν rank(a) rank(a B), το σύστημα (S) δεν έχει λύσεις. Πρόταση Θεωρούμε το γραμμικό σύστημα AX=B (S) με σύστημα έχει m εξισώσεις και n αγνώστους. Τότε ισχύουν τα ακόλουθα: Αν rank(a) rank(a B) n τότε το σύστημα έχει μοναδική λύση. A M (K) δηλαδή το Αν rank(a) rank(a B) k n τότε το σύστημα έχει άπειρες λύσεις και το σύστημα είναι αόριστο με n-k ελεύθερους άγνωστους που σημαίνει ότι βρίσκουμε τους k αγνώστους συναρτήσει των άλλων n-k αγνώστων Ισχύει πάντα rank(a) rank(a B) k n. Επιπλέον για να υπολογίσω το βαθμό του πίνακα Α αρκεί να υπολογίζω την τάξη του επαυξημένου πίνακα. Μετά η τάξη του Α προοκύπτει από τον επαυξημένο πίνακα αν διαγράψω την τελευταία στήλη των σταθερών. mn Θεωρούμε τον πίνακα Α με A=. Να βρεθεί η τάξη του πίνακα Α.
Θεωρούμε τον πίνακα Α με A=. Εκτελούμε γραμμοπράξεις ώστε να γίνει Γ Γ Γ Γ Γ Γ ανηγμένος κλιμακωτός και έχουμε A= 0 4 5 0 0 Επομένως η τάξη του πίνακα είναι ίση με. Θεωρούμε τον πίνακα Α με A=. Να βρεθεί η τάξη του πίνακα Α. 6 Θεωρούμε τον πίνακα Α με A=. Εκτελούμε γραμμοπράξεις ώστε να γίνει 6 Γ Γ Γ Γ Γ Γ ανηγμένος κλομακωτός και έχουμε A= 0 4 5. 60 0 0 Επομένως η τάξη του πίνακα είναι ίση με.