ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ

ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ Μάριος Βαφειάδης Αν. Καθηγητής ΤΥΤΠ-ΑΠΘ Θεσσαλονίκη 008

I. ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ...4. ΓΕΝΙΚΑ...4. ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΤΩΝ ΟΡΓΑΝΩΝ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ...5 3. ΚΑΝΟΝΕΣ ΓΙΑ ΕΠΙΤΥΧΕΙΣ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ...6 II. Ε ΟΜΕΝΑ-ΒΑΣΕΙΣ Ε ΟΜΕΝΩΝ...7. ΓΕΝΙΚΑ...7. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΙΑΧΕΙΡΙΣΕΩΣ ΒΑΣΕΩΣ Ε ΟΜΕΝΩΝ...8 III. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ.... ΓΕΝΙΚΑ.... ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ... 3. ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ...3 4.ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ...5 5. ΝΟΜΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΣΤΟΥΣ Υ ΑΤΙΚΟΥΣ ΠΟΡΟΥΣ...8 6. ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ. ΕΛΕΓΧΟΣ ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑΣ ΤΩΝ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ...0 7. ΠΡΟΣ ΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ. ΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΟΡΙΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ..0 8. ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ... 9. ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΚΑΜΠΥΛΩΝ. ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ΚΑΙ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ...6 IV. ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΕΣ...7. ΕΙΣΑΓΩΓΗ...7. ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΤΩΝ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ...8 3. ΕΠΕΚΤΑΣΗ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΗΣ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΑΣ...30 4. ΑΝΑΛΥΣΗ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ...3 5. ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ / ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ...35 V. ΕΛΕΓΧΟΣ ΚΑΙ ΙΟΡΘΩΣΗ ΤΩΝ ΠΡΩΤΟΓΕΝΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ...37. ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΛΕΓΧΟΥ...37. Η ΜΕΘΟ ΟΣ ΤΗΣ ΙΠΛΗΣ ΑΘΡΟΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΜΠΥΛΗΣ....38 3. ΣΥΝΤΟΜΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΩΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΩΝ ΜΕΘΟ ΩΝ...39 VI. ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΤΥΧΑΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ...43 VII. ΠΡΟΧΩΡΗΜΕΝΕΣ ΓΕΩΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ...46. ΜΕΘΟ ΟΙ ΧΩΡΙΚΗΣ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ, ΒΕΛΤΙΣΤΗ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ...46. ΠΕΡΙΟΧΟΠΟΙΗΣΗ ΤΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ KRIGING...47 3. ΤΟ ΗΜΙΜΕΤΑΒΛΗΤΟΓΡΑΜΜΑ...48 4. ΣΗΜΕΙΑΚΟ KRIGING...50 5. ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΟΥ KRIGING ΣΤΑ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΑ Ε ΟΜΕΝΑ...54

3 II. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΠΟΛΥ ΙΑΣΤΑΤΕΣ ΜΕΘΟ ΟΥΣ...55. ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ...58. ΙΕΡΑΡΧΙΚΗ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ...6 3. ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΙΕΡΕΥΝΗΤΙΚΕΣ ΠΟΛΥ ΙΑΣΤΑΤΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ...64 ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΙ...67 ΟΡΙΣΜΟΙ...68 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ...7

4 I. ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ. ΓΕΝΙΚΑ Προκειµένου να γνωρίσουµε καλύτερα και να ποσοτικοποιήσουµε τις διάφορες µεταβλητές που περιγράφουν τα φυσικά φαινόµενα που µελετούµε κάνουµε µετρήσεις. Μέτρηση σηµαίνει σύγκριση της τιµής της µεταβλητής µε κάποιο πρότυπο ή κλίµακα που είναι παγκοσµίως αποδεκτά «σύστηµα µονάδων» για την συγκεκριµένη περίπτωση. Για παράδειγµα η ζύγηση ενός αντικειµένου αποτελεί σύγκριση του βάρους του αντικειµένου µε το πρότυπο βάρους kg που φυλάσσεται στο γραφείο µέτρων και σταθµών στο Παρίσι. Φυσικά, για να γίνονται πιο εύκολα οι µετρήσεις δεν καταφεύγουµε κάθε φορά απ ευθείας στα διάφορα πρότυπα, αλλά είτε χρησιµοποιούµε πιστά κατά το δυνατόν αντίγραφά τους είτε, αν αλογα και µε την φυσική µεταβλητή που θέλουµε να µετρήσουµε, χρησιµοποιούµε σύνθετες, έµµεσες µεθόδους και ειδικές διατάξεις που µας εξασφαλίζουν µεγαλύτερη ευκολία, ταχύτητα και ακόµη και ακρίβεια στις µετρήσεις. Τα πρώτα συστήµατα διατάξεις, µηχανισµοί µετρήσεων ήταν αποκλειστικά µηχανικά. Με την ανάπτυξη του ηλεκτρισµού επινοήθηκαν πολλά ηλεκτροµηχανικά συστήµατα και, µε την ανάπτυξη των ηλεκτρονικών και των ηλεκτρονικών υπολογιστών, υπάρχει η τάση για καθιέρωση µόνο ηλεκτρονικών συστηµάτων. Τα τελευταία έχουν σηµαντικά πλεονεκτήµατα έναντι των παλαιοτέρων συστηµάτων, όπως λιγότερα ή καθόλου κινούµενα µέρη, µικρότερες διαστάσεις και βάρος, ταχύτερη απόκριση, µεγαλύτερη ακρίβεια, αυτόµατη λειτουργία και ψηφιακή αποθήκευση ή τηλεµετάδοση δεδοµένων. Έχουν όµως και µια σηµαντική σειρά µειονεκτηµάτων όπως το µεγάλο κόστος κτήσεως τους όταν πρόκειται για νέα τεχνολογία, η ανάγκη τροφοδοσίας µε ηλεκτρικό ρεύµα, και κυρίως η µετατροπή του µετρούµενου µεγέθους σε ηλεκτρικά σήµατα, που σηµαίνει ότι χάνεται η άµεση εποπτεία της ποιότητας της µετρήσεως και απαιτούνται ειδικοί έλεγχοι και ρυθµίσεις του οργάνου. Έτσι σήµερα χρησιµοποιούνται ακόµη όλων των ειδών τα συστήµατα, αν και η τάση για επικράτηση των ηλεκτρονικών συστηµάτων είναι αδιαµφισβήτητη. α β γ Σταθµηγράφοι: α Πλήρως µηχανικός µε καταγραφή σε χαρτί, β Ηλεκτροµηχανικός µε ψηφιακό καταγραφέα, γ πλήρως ηλεκτρονικός-ψηφιακός

. ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΤΩΝ ΟΡΓΑΝΩΝ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ 5 Τα όργανα µετρήσεων διακρίνονται σε δύο µεγάλες κατηγορίες: α Απλά, για στιγµιαία µέτρηση και β Καταγραφικά, για καταγραφή διαδοχικών τιµών σε διάρκεια χρόνου. Τα πρώτα καλούνται «µεταβλητή που µετρείται»-µετρο, δηλαδή θερµόµετρο, βαρόµετρο, σταθµήµετρο κλπ. Και τα δεύτερα «µεταβλητή που µετρείται»-γράφος, δηλαδή θερµογράφος, βαρογράφος, σταθµηγράφος κλπ. Για όλα τα όργανα, µηχανικά, ηλεκτρονικά ή άλλα υπάρχουν κοινά αλλά και ιδιαίτερα χαρακτηριστικά που προσδιορίζουν την πραγµατική αξία του κάθε οργάνουν για καλής ποιότητας µετρήσεις και επηρεάζουν σηµαντικά και την αντίστοιχη εµπορική αξία του οργάνου. Στο κόστος των µετρήσεων µε συγκεκριµένη µέθοδο και όργανα θα πρέπει να έχει κανείς υπόψη του να συµπεριλαµβάνει όχι µόνο το εµπορικό κόστος κτήσεως, αλλά και το κόστος χρήσεως και την διάρκεια ζωής του οργάνου πραγµατική και πρακτική λόγω ενδεχόµενης τεχνικής απαξιώσεως. Περιληπτικά, τα διάφορα χαρακτηριστικά που πρέπει να ελέγχει κανείς κατά την επιλογή και προµήθεια οργάνων είναι τα ακόλουθα: Α. Ποιότητα µετρήσεων Ακρίβεια Accuracy. Πόσο κοντά είναι οι τιµές των µετρήσεων στην πραγµατική αλλά άγνωστη τιµή. Ακρίβεια Precso. ιασπορά των τιµών για µια σειρά µετρήσεων της αυτής τιµής ενός φυσικού µεγέθους. Λεπτοµέρεια Detal. Εξαρτάται από την κλίµακα µετρήσεως του οργάνου ή των αριθµό των σηµαντικών ψηφίων που παριστούν το αποτέλεσµα της µετρήσεως ιακριτότητα dscrmato. Χρονικό ή χωρικό διάστηµα ώστε δύο µετρήσεις να είναι ανεξάρτητες. Ταχύτητα Speed. Μέγιστος αριθµός µετρήσεων ανά µονάδα χρόνου. Σταθερότητα Stablty. Τα χαρακτηριστικά του οργάνου δεν παρουσιάζουν συστηµατικές αποκλίσεις µε τον χρόνο Ευαισθησία Sesblty. Η ελάχιστη µεταβολή στο µετρούµενο µέγεθος ώστε να ενεργοποιηθεί το όργανο µετρήσεως ή να αλλάξει η ένδειξη του. Αξιοπιστία Relablty. εν θα παρουσιάζονται τυχαίες αποκλίσεις ή συστηµατική αλλαγή των χαρακτηριστικών του οργάνου µε τον χρόνο. Επαναληψιµότητα Repeatablty Για την ίδια σειρά µετρήσεων κάτω από τις ίδιες ακριβώς συνθήκες δίνει τις ίδιες ακριβώς τιµές. Επαναληψιµότητα Reproductablty. Για την ίδια σειρά µετρήσεων κάτω από διαφορετικές συνθήκες δίνει τις ίδιες ακριβώς τιµές. Γραµµικότητα Learty. Η ευαισθησία, η ακρίβεια και γενικά όλα τα χαρακτηριστικά του οργάνου, καθώς και η κλίµακα στην απεικόνιση των τιµών που µετράει είναι σταθερές και ανεξάρτητες από την απόλυτη τιµή της µετρήσεως.

6 Β. Ποιότητα Οργάνου. Αυτοπροστασία Self Protecto Αυτόµατη ρύθµιση Auto Rage / Self Calbrato Κατανάλωση ενέργειας Power Cosumpto Κατανάλωση αναλωσίµων Cosumables Ευκολία συντηρήσεως Servceablty Αντοχή Resstace, Weather proof, Water Proof Ποιότητα και αντοχή στην γήρανση των υλικών του Qualty of costructo materals Γ. Πρακτικότητα Απλότητα χειρισµού Οθόνη και µενού πληροφοριών ΣυνδεσιµότηταCoectvty Πρόσθετος εξοπλισµός υποστηρίξεως Τεχνική υποστήριξη και εξυπηρέτηση Ευκολία, ταχύτητα, κόστος προµήθειας ανταλλακτικών ιάρκεια συσκευής ή αισθητήρων 3. ΚΑΝΟΝΕΣ ΓΙΑ ΕΠΙΤΥΧΕΙΣ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ Γνώση του φυσικού µεγέθους Γνώση των µεθοδολογιών µετρήσεων Εµπειρία µετρήσεων Προτίµηση σε δοκιµασµένη τεχνολογία Οργάνωση µετρήσεων Τεχνική υποστήριξη Πολλαπλά όργανα µετρήσεων

7 II. Ε ΟΜΕΝΑ-ΒΑΣΕΙΣ Ε ΟΜΕΝΩΝ. ΓΕΝΙΚΑ Ως δεδοµένα Data εννοούµε κάθε πληροφορία, που αφορά ένα συγκεκριµένο αντικείµενο υλικό η ιδεατό, που έχει κάποια χρησιµότητα και µπορεί να χρησιµοποιηθεί για κάποιο σκοπό. Τα δεδοµένα µπορεί να είναι αριθµοί, λέξεις, εικόνες, ήχοι, οµάδες από αριθµούς, λέξεις, εικόνες, ήχους ή συνδυασµοί των παραπάνω. Σαν παράδειγµα αναφέρουµε τα τεχνικά χαρακτηριστικά ενός αυτοκινήτου, την φωτογραφία του τον ήχο της µηχανής του. Τα δεδοµένα µπορεί να είναι απλά µία λέξη, ένας αριθµός, σύνθετα πολλές λέξεις, πολλοί αριθµοί, στατικά στον χώρο και τον χρόνο µία µοναδική τιµή ή σειρές διαδοχικών τιµών στον χώρο και τον χρόνο χρονοσειρές. Μια Βάση εδοµένων Database, DB είναι µια οργανωµένη συλλογή δεδοµένων που αφορά ένα συγκεκριµένο θέµα, αντικείµενο ή σκοπό. Για παράδειγµα, ο τηλεφωνικός κατάλογος του ΟΤΕ, είναι µία βάση δεδοµένων που αφορά όλους τους αριθµούς τηλεφώνου των συνδροµητών του ΟΤΕ. Βάση δεδοµένων επίσης αποτελεί και το προσωπικό σηµειωµατάριο µας ή ο προσωπικός τηλεφωνικός κατάλογός µας. Άλλα παραδείγµατα βάσεων δεδοµένων αποτελούν τα λευκώµατα γραµµατοσήµων, το λεύκωµα φωτογραφιών από ένα γάµο ή τις διακοπές. Ένα Σύστηµα ιαχειρίσεως Βάσεως εδοµένων Database Maagemet System, DBMS είναι ένα σύστηµα, µέθοδος ή µηχανισµός, που µας επιτρέπει να διαµορφώνουµε µία βάση δεδοµένων, δηλαδή να προσδιορίζουµε τον τρόπο αποθηκεύσεως των δεδοµένων, τις µεταξύ τους διασυνδέσεις, και τους διάφορους χειρισµούς που µπορούµε να κάνουµε στα δεδοµένα. Οι πιο σηµαντικές λειτουργίες µιας βάσεως δεδοµένων είναι αυτές που µας επιτρέπουν να αποθηκεύουµε δεδοµένα Εισαγωγή δεδοµένων στην βάση δεδοµένων και να τα ανακτούµε πάλι στην πλέον κατάλληλη µορφή Εξαγωγή δεδοµένων, για να τα χρησιµοποιήσουµε. Στην περίπτωση ενός προσωπικού τηλεφωνικού καταλόγου, για παράδειγµα, η µορφή ευρετηρίου που έχει µας βοηθά να εντοπίσουµε το όνοµα, για το οποίο αναζητούµε τον αριθµό τηλεφώνου. Η εισαγωγή των δεδοµένων στοιχείων: όνοµα, διεύθυνση αριθµό τηλεφώνου γίνεται µε απλή γραφή, µε µολύβι, το ένα έπειτα από το άλλο, και η εξαγωγή των στοιχείων γίνεται µε απλή ανάγνωση. Όσο ο αριθµός των δεδοµένων και η πολυπλοκότητα που παρουσιάζουν αυξάνει, τόσο µεγαλύτερες γίνονται και οι απαιτήσεις για τη βάση δεδοµένων και το σύστηµα διαχειρίσεώς της. εν είναι µόνο ο απαιτούµενος χώρος για τη διαφύλαξη των δεδοµένων που αυξάνει, αλλά και οι ταχύτητα µε την οποία πρέπει να λειτουργεί το σύστηµα ώστε οι χρόνοι αναζητήσεως και ανακτήσεως των δεδοµένων να είναι πρακτικά περιορισµένοι. Ακόµη, αυτή καθ εαυτή η δυνατότητα να µπορεί κανείς να εντοπίσει εύκολα τα δεδοµένα που ζητά, µέσα σε πλήθος άλλων δεδοµένων, και η ασφάλεια που απαιτείται ώστε τα δεδοµένα να µην έχουν φόβο ούτε να αλλοιωθούν, ούτε και να συγχέονται µε άλλα, αυξάνει δραµατικά µε την αύξηση του όγκου των δεδοµένων. Άλλοι παράγοντες που αφορούν τη λειτουργία µιας βάσεως δεδοµένων είναι η ασφάλεια σε αθέλητη ή σκόπιµη αλλοίωση κάποιων δεδοµένων, ο περιορισµός στην πρόσβαση κάποιων προσώπων «κλείδωµα της βάσεως», η δυνατότητα για περιοδική τακτοποίηση και εκκαθάριση των δεδοµένων κλπ.

8 Είναι φανερό ότι για µεγάλο αριθµό ποικιλίας δεδοµένων, για µεγάλο πλήθος δεδοµένων, για δεδοµένα που απαιτούν συχνή πρόσβαση και αλλαγές, τα παραδοσιακά συστήµατα οργανώσεως µε βιβλία καταχωρήσεων και εγγραφές µε το χέρι γίνονται δύσχρηστα, αργά και ευαίσθητα σε λάθη. Αντίθετα τα ηλεκτρονικά συστήµατα αρχειοθετήσεως που σήµερα σχεδόν αποκλειστικά βασίζονται σε ηλεκτρονικούς υπολογιστές, παρακάµπτουν άνετα όλες αυτές τις δυσκολίες ενώ προσφέρουν επιπλέον δυνατότητες για αυτοµατοποιηµένη επεξεργασία και ανάλυση των δεδοµένων και παραγωγή νέων δεδοµένων και εκθέσεων διαφόρων τύπων. Οι τρόποι οργανώσεως των δεδοµένων οµές δεδοµένων, η διαµόρφωση και οι αρχές λειτουργίας των βάσεων δεδοµένων, η θεωρία και µεθοδολογία των συστηµάτων διαχειρίσεως των βάσεων δεδοµένων έχει αναπτυχθεί εξαιρετικά τα τελευταία χρόνια και σήµερα αποτελεί ένα ιδιαίτερο κλάδο της επιστήµης της πληροφορικής, τα «Συστήµατα Βάσεως εδοµένων». Ένας ακόµη νέος τοµέας έχει προκύψει από τον συνδυασµό της Αυτοµατοποιηµένης Σχεδιάσεως Computer Aded Desg, CAD και της χαρτογραφίας Mappg, µε βάσεις δεδοµένων τα Γεωγραφικά Συστήµατα Πληροφοριών ΓΣΠ ή Γεωπληροφοριακά Συστήµατα Geographcal Iformato Systems, GIS. Τα ΓΣΠ επιτρέπουν τη διαχείριση γεωγραφικών πληροφοριών, δηλαδή πληροφοριών που έχουν σαν χαρακτηριστικά την εξάρτηση τους από γεωγραφικές συντεταγµένες και περιοχές του χώρου, καθώς και το ότι είναι πολυεπίπεδες ή διαστρωµατωµένες, δηλαδή για την ίδια περιοχή ή σηµείο στο χώρο υπάρχει µία επαλληλία πληροφοριών που έχουν έννοια είτε σαν ανεξάρτητες µεταξύ τους πληροφορίες είτε σε συνδυασµό, ανάλογα µε το επιδιωκόµενο κάθε φορά αποτέλεσµα. Για παράδειγµα ένα γεωφυσικός χάρτης της Ελλάδας που περιλαµβάνει και τα όρια διοικητικής διαιρέσεως σε διαµερίσµατα και νοµούς, τις πόλεις και το οδικό δίκτυο. Το ανάγλυφο του εδάφους, τα όρια των νοµών, οι πόλεις και το οδικό δίκτυο αποτελούν ξεχωριστές πληροφορίες που, προκειµένου για κοινό χάρτη, θα µπορούσαν να σχεδιαστούν σε διαφορετικά διαφανή φύλλα επίπεδα ή στρώµατα, layers και ανάλογα µε το τι θέλουµε, να χρησιµοποιήσουµε ένα µόνο ή να µπορούµε να συνδυάσουµε δύο ή περισσότερα φύλλα. Π.χ. το ανάγλυφο µε το οδικό δίκτυο.. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΙΑΧΕΙΡΙΣΕΩΣ ΒΑΣΕΩΣ Ε ΟΜΕΝΩΝ Στην αρχή οι βάσεις δεδοµένων είχαν σαν απαίτηση απλά και µόνο την αποθήκευση απλών δεδοµένων. Στην περίπτωση αυτή, ο γενικός τρόπος αποθηκεύσεως είναι η δηµιουργία ενός αρχείου όπου καταχωρούνται τα δεδοµένα το ένα µετά από το άλλο και ξεχωρίζουν µεταξύ τους είτε µε κάποιο διακριτικό σηµάδι, π.χ. κενό διάστηµα ή κόµµα, είτε διότι καταλαµβάνουν αυστηρά προκαθορισµένο χώρο, π.χ. δύο ή τέσσαρες θέσεις µνήµης ψηφιολέξεις, bytes. Αν οι ανεξάρτητες πληροφορίες συντίθενται από δύο ή περισσότερες απλές πληροφορίες π.χ. όνοµα, επώνυµο, αριθµός τηλεφώνου, τότε κάθε τέτοια οµάδα αποτελεί ένα πεδίο feld στο αρχείο ή την βάση δεδοµένων. Στην πρώτη περίπτωση έχουµε ένα απλό αρχείο σειράς, όπου για να φθάσουµε µέχρι τη ζητούµενη πληροφορία πρέπει να διατρέξουµε όλες τις προηγούµενες από την αρχή του αρχείου πρόσβαση σειράς, seral access. Στην δεύτερη περίπτωση, αν γνωρίζουµε τον αριθµό θέσεως της πληροφορίας µπορούµε να έχουµε άµεση πρόσβαση σ αυτήν άµεση ή τυχαία πρόσβαση, radom access. Η έννοια «τυχαία» εννοείται εδώ ως «µε ελεύθερη βούληση». Προκειµένου να είναι ταχεία η πρόσβαση σε συγκεκριµένες πληροφορίες στα αρχεία, οι πληροφορίες πρέπει να είναι ταξινοµηµένες µε κάποια σειρά, κάποιο κριτήριο, και

9 εναλλακτικά ή επιπλέον να υπάρχουν βοηθητικοί πίνακες µε συνοπτικές πληροφορίες ευρετήρια, dex για το που βρίσκεται τι. Τέλος όταν υπάρχουν πολλές διαφορετικές πληροφορίες που κατά περίπτωση συνδυάζονται µε τον ένα ή τον άλλο τρόπο, τότε αυτές καταχωρούνται σε διαφορετικά αρχεία ή περιοχές του αρχείου της βάσεως και µπορούν να συνδυαστούν µε βάση κάποιες λογικές επιλογές που προσδιορίζει ο ενδιαφερόµενος χρήστης της βάσεως. Στην περίπτωση αυτή σηµαντικό ρόλο στην οργάνωση αλλά και στην αξιοποίηση της πληροφορίας παίζουν οι σχέσεις relatos που θα ορισθούν µεταξύ των διαφόρων κατηγοριών πληροφοριών. Μια βάση δεδοµένων αυτού του τύπου, που επιτρέπει τον συνδυασµό πληροφοριών µε διάφορες σχέσεις καλείται σχεσιακή βάση δεδοµένων relatoal database και αντίστοιχα το σύστηµα για τη διαχείριση της βάσεως σύστηµα διαχειρίσεως σχεσιακής βάσεως δεδοµένων relatoal database maagemet system, RDBMS. Αυτά αποτελούν σήµερα και τα πλέον διαδεδοµένα συστήµατα βάσεων δεδοµένων. Η εξέλιξη του προγραµµατισµού και των δυνατοτήτων των υπολογιστών, οδήγησε στα αντικείµενα objects και το αντικειµενοστραφή προγραµµατισµό object oreted programmg που είναι εξέλιξη των ενοτήτων προγράµµατος modules και του δοµηµένου προγραµµατισµού structured programmg. Ένα αντικείµενο είναι µια ιδεατή οντότητα που όπως και ένα υλικό ή πραγµατικό αντικείµενο έχει αφ ενός κάποια χαρακτηριστικά και ιδιότητες και αφ ετέρου κάποιες λειτουργίες και αντιδράσεις σε εξωτερικές προκλήσεις. Το πλέον χαρακτηριστικό, αλλά όχι και µοναδικό, παράδειγµα αντικειµένου σε υπολογιστή είναι τα γνωστά παράθυρα wdows, παλαιότερα γνωστά ως πλαίσια frames, όπως αυτά λειτουργούν στο οµώνυµο λειτουργικό σύστηµα. Ένα παράθυρο προσδιορίζεται από τις πληροφορίες data που ορίζουν τον τύπο, την θέση, τις διαστάσεις του, το χρώµα του κλπ. Και επιπλέον περιλαµβάνει καθορισµένες λειτουργίες που ενεργοποιούνται σαν αντίδραση ή απάντηση σε προκαθορισµένους χειρισµούς του πληκτρολογίου ή του ποντικιού. Η ιδέα του αντικειµένου, αποτελεί µια ελκυστική εξέλιξη της ιδέας του πεδίου για τις βάσεις δεδοµένων. Μέσα στα πεδία µπορεί κανείς να αποθηκεύσει µόνο στατικά δεδοµένα. Όλες οι σχέσεις µεταξύ των δεδοµένων, καθώς και οι διάφορες δυνατές επεξεργασίες που µπορούν αυτά να υποστούν πρέπει να ορισθούν εξωτερικά. Αυτό πολλές φορές δηµιουργεί προβλήµατα, διότι εκτός από την δυσκολία αυτή καθ εαυτή του ορισµού αυτών των σχέσεων και επεξεργασιών που συνήθως απαιτεί κάποια επιπλέον προγράµµατα, υπάρχει και ο φόβος να χρησιµοποιηθούν εκ παραδροµής σχέσεις και επεξεργασίες σε συγκεκριµένα δεδοµένα που δεν είναι επιτρεπτές ή δεν έχουν έστω νόηµα. Για παράδειγµα ως µηνιαία τιµή της βροχής σε µία περιοχή ορίζουµε το άθροισµα των ηµερησίων τιµών της βροχής του συγκεκριµένου µήνα, ενώ ως µηνιαία τιµή της θερµοκρασίας σε µία περιοχή ορίζουµε την µέση τιµή των µέσων ηµερησίων τιµών της θερµοκρασίας του συγκεκριµένου µήνα. Σε µία συνηθισµένη βάση δεδοµένων, τόσο τα ηµερήσια ύψη βροχής, όσο και οι µέσες ηµερήσιες θερµοκρασίες καταχωρούνται κατά τον ίδιο τρόπο. Αν κανείς δεν προσέξει, όταν επεξεργάζεται ταυτόχρονα βροχές και θερµοκρασίες µπορεί πολύ απλά να κάνει λάθος,. Η τελευταία εξέλιξη στις βάσεις δεδοµένων είναι λοιπόν οι αντικειµενοστραφείς βάσεις δεδοµένων object oreted databases όπου οι καταχωρηµένες πληροφορίες δεν είναι απλά πεδία, αλλά αντικείµενα, σύµφωνα µε τα παραπάνω. Άλλες εξελίξεις στις βάσεις δεδοµένων, σηµαντικές αλλά πλέον απλές στη σύλληψη είναι οι διανεµηµένες βάσεις δεδοµένων dstrbuted databases και οι τεχνολογία πελάτουπαροχέα clet-server techology. Στην πρώτη περίπτωση η βάση δεδοµένων είναι φυσικά

0 διανεµηµένη σε πολλούς υπολογιστές, και διαφορετικές τοποθεσίες, ενώ από άποψη χρήσης και πληροφορικής εµφανίζεται σαν µια ενιαία βάση. Τέτοιες βάσεις χρησιµοποιούνται σήµερα σε τράπεζες, νοσοκοµειακά συστήµατα και µεγάλες πολυεθνικές επιχειρήσεις όπου οι πληροφορίες ανανεώνονται συνεχώς από διάφορα σηµεία και πρέπει να µπορούν να προσεγγισθούν και να αξιοποιηθούν από κάθε σηµείο του συστήµατος που µπορεί να καλύπτει περιοχή τόσο µεγάλη όσο ολόκληρος ο πλανήτης µας. Στη δεύτερη περίπτωση απλά αποµονώνεται η καθ αυτό βάση από τους χρήστες της, έτσι ώστε να είναι ασφαλέστερη και πρακτικότερη η χρήση της από πολλούς χρήστες ταυτόχρονα.

III. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. ΓΕΝΙΚΑ Η Στατιστική είναι η Επιστήµη που µελετά την συλλογή, ταξινόµηση, ανάλυση και παρουσίαση αριθµητικών δεδοµένων µε στόχο την εξαγωγή γενικών συµπερασµάτων από ένα µεγάλο συνήθως σύνολο λεπτοµερειών. Το ξεκίνηµα της Στατιστικής ιστορικά δεν είναι µε ακρίβεια γνωστό, φαίνεται όµως ότι συνδέεται µε την δηµιουργία οργανωµένων κρατών µε κεντρική διοίκηση. Το όνοµά της αυτό καθ εαυτό «Στατιστική» ετυµολογικά προέρχεται από τη λέξη «Status» που στα λατινικά σηµαίνει κράτος. Οι στατιστικές αναλύσεις που ενδιέφεραν τα κράτη στα αρχαία χρόνια βέβαια, ήταν περισσότερο συγγενείς µε τη σηµερινή ηµογραφία. Η αρχές της σηµερινής επιστήµης της Στατιστικής είναι αρκετά πιο πρόσφατες, πριν από δύο περίπου αιώνες. Η στατιστική βοηθήθηκε πολύ στην ανάπτυξή της από την πρόοδο των µαθηµατικών και, κατά την τελευταία τριακονταετία, από την πρόοδο των ηλεκτρονικών υπολογιστών και της πληροφορικής. Ταυτόχρονα οι νέες µέθοδοι υψηλής τεχνολογίας για τη συλλογή στοιχείων αύξησαν τις απαιτήσεις για ανάλυση µεγάλου αριθµού και ποικιλίας δεδοµένων. Η Στατιστική σαν επιστήµη ανήκει στην περιοχή των Μαθηµατικών. Είναι όµως και «Τέχνη», αφού η επιλογή των καταλληλότερων µεθόδων δεν µπορεί να γίνει πάντοτε µε αντικειµενικά κριτήρια ή µε βάση αυστηρές διαδικασίες, αλλά πολλές φορές είναι αποτέλεσµα εµπειρίας αν όχι και διαισθήσεως. Πολλές µέθοδοι που χρησιµοποιούνται αποδοτικά για πολλά χρόνια και που οδηγούν σε αξιόπιστα συµπεράσµατα δεν είναι ακόµη πλήρως θεωρητικά τεκµηριωµένες. Σε κάθε περίπτωση η γνώση των µεθόδων, της θεωρητικής αναλύσεως και τεκµηριώσεώς των όταν αυτή υπάρχει, και οι αυστηρές διαδικασίες εφαρµογής των είναι απαραίτητες προκειµένου να ληφθούν αποτελέσµατα αντιπροσωπευτικά και χωρίς σφάλµατα. Η κακή χρήση των διαφόρων µεθόδων, η κατάχρηση της στατιστικής, και η κακή συλλογή δεδοµένων δίνει άχρηστα και επικίνδυνα αποτελέσµατα που οδηγούν σε εσφαλµένες εκτιµήσεις και συµπεράσµατα ή απατηλές εικόνες της πραγµατικότητας. Ανάλογα µε το αντικείµενο των αναλύσεων και τον επιδιωκόµενο σκοπό, διακρίνουµε τους ακόλουθους µεγάλους τοµείς στη Στατιστική: Θεωρία πιθανοτήτων / Τυχαίες µεταβλητές και κατανοµές πιθανότητας /Νόµοι και κατανοµές πιθανότητας Βασική Στατιστική / ιερευνητική Στατιστική Ανάλυση της διασποράς / Θεωρία σφαλµάτων / ιαστήµατα εµπιστοσύνης Προσαρµογή Καµπυλών, Παλινδρόµηση και Συσχέτιση Θεωρία ειγµατοληψίας Έλεγχοι υποθέσεων και σηµαντικότητας Μη παραµετρικές µέθοδοι Ανάλυση Χρονοσειρών Χωρική Στατιστική / Πολυδιάστατη ανάλυση

. ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Ορισµένες από τις µεταβλητές που περιγράφουν φυσικά φαινόµενα µπορούν να εκφρασθούν σαν συνάρτηση περιορισµένου αριθµού άλλων µεταβλητών, κατά τρόπο ώστε αν είναι γνωστές οι τιµές των δεύτερων να προσδιορίζονται µε ακρίβεια και οι τιµές των πρώτων. Για παράδειγµα η µέση ταχύτητα σε ένα αγωγό, V, που είναι συνάρτηση της παροχής και της διατοµής του αγωγού: Q V S Οι µεταβλητές αυτές και οι σχέσεις που τις συνδέουν καλούνται προσδιοριστικές. Υπάρχουν όµως και µεταβλητές που εξαρτώνται από ένα πολύ µεγάλο πλήθος άλλων µεταβλητών, έτσι ώστε να είναι πρακτικά αδύνατο να διερευνηθεί ο τρόπος εξαρτήσεώς των από αυτές και να καταστρωθεί µία προσδιοριστική σχέση µεταξύ των. Σ'αυτή την περίπτωση δεν είναι δυνατόν να προβλέψουµε την τιµή τους µε ακρίβεια και για τον λόγο αυτό τις ονοµάζουµε τυχαίες µεταβλητές. Οι τυχαίες µεταβλητές υπακούουν συνήθως σε ορισµένους µαθηµατικούς - στατιστικούς νόµους, που τους ονοµάζουµε νόµους της "τύχης". Παράδειγµα τυχαίας µεταβλητής είναι το ύψος βροχής που εξαρτάται από χιλιάδες µετεωρολογικούς παράγοντες της ατµόσφαιρας της Γης. Όταν οι τυχαίες µεταβλητές παρουσιάζουν κάποια αλληλουχία ή δοµή στον χρόνο ή τον χώρο, τις αποκαλούµε στοχαστικές µεταβλητές. Παράδειγµα η παροχή ενός ποταµού στον χρόνο. Το αν µία µεταβλητή και τα σχετικά προβλήµατα θα αντιµετωπισθούν ως προσδιοριστικά ή στοχαστικά εξαρτάται από την κρίση του µελετητού σύµφωνα µε τις δυνατότητές του για µετρήσεις, ανάλυση και υπολογισµό. Μία µεγάλη κατηγορία προβληµάτων των Υδατικών Πόρων και του Περβάλλοντος έχει επικρατήσει να θεωρούνται πιθανολογικά ή στοχαστικά. Οι τυχαίες µεταβλητές, και οι στοχαστικές συναρτήσεις, συµβολίζονται συνήθως µε ένα κεφαλαίο γράµµα, π.χ., Y, Qt. Εάν µια τυχαία µεταβλητή παίρνει πεπερασµένο ή άπειρο αριθµήσιµο πλήθος τιµών, καλείται απαριθµητή ή "διακριτή τυχαία µεταβλητή, ενώ εάν παίρνει άπειρο µη αριθµήσιµο πλήθος τιµών, καλείται συνεχής τυχαία µεταβλητή. Οι τυχαίες µεταβλητές που εκφράζουν διάφορα χαρακτηριστικά του περιβάλλοντος είναι γενικά συνεχείς, όµως για να γίνει δυνατή η επεξεργασία τους από τους ψηφιακούς υπολογιστές τις µετατρέπουµε σε διακριτές. Κάνουµε δηλαδή τη λεγοµένη διακριτοποίηση των µεταβλητών.

3 3. ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Η Θεωρία Πιθανοτήτων ασχολείται µε τους µέσους όρους µαζικών φαινοµένων που συµβαίνουν διαδοχικά ή συγχρόνως, όπως η κατανοµή ταχυτήτων σε τυρβώδη ροή και οι βροχοπτώσεις. Παρατηρήθηκε οτι σε τέτοιες περιπτώσεις µερικοί µέσοι όροι τείνουν προς µία σταθερή τιµή όταν ο αριθµός των παρατηρήσεων αυξάνει. Ο σκοπός της Θεωρίας πιθανοτήτων είναι να περιγράψει και να προβλέψει τέτοιους µέσους όρους και αυτό γίνεται επισυνάπτοντας πιθανότητες σε διάφορα γεγονότα. Γεγονός είναι το αποτέλεσµα µιας πειραµατικής µετρήσεως ή παρατηρήσεως της τυχαίας µεταβλητής. Ένα σύνολο γεγονότων συνθέτει ένα δείγµα. Η πιθανότητα να πραγµατοποιηθεί ένα γεγονός, εκφράζει τον λόγο των ευνοϊκών ενδεχοµένων προς το σύνολο των δυνατών ενδεχοµένων. Η πιθανότητα δηλαδή δίνει το µέτρο της σχετικής συχνότητας µε την οποία παρατηρείται ένα ενδεχόµενο όταν γίνουν πολλές παρατηρήσεις. Από τα παραπάνω προκύπτει ότι η πιθανότητα ενός γεγονότος α είναι ένας θετικός αριθµός Ρα µικρότερος ή ίσος της µονάδας. Όταν η πιθανότητα είναι τότε πρόκειται για το βέβαιο γεγονός, δηλαδή αυτό που πραγµατοποιείται 00%. Αξιωµατικός ορισµός της Πιθανότητας Υπάρχουν πολλοί ορισµοί της πιθανότητας που βασίζονται στο τι εκφράζει η πιθανότητα. Ο καλύτερος όµως ορισµός είναι ο αξιωµατικός ορισµός της πιθανότητας που βασίζεται στα τρία επόµενα αξιώµατα, και επιτρέπει τη µαθηµατική δόµηση της θεωρίας των πιθανοτήτων: Αξίωµα. Η πιθανότητα PA ενός ενδεχοµένου Α είναι ένας θετικός αριθµός που χαρακτηρίζει το ενδεχόµενο αυτό: PA 0 Αξίωµα. Η πιθανότητα του βεβαίου ενδεχοµένου ισούται µε : PS Αξίωµα 3. Εάν τα ενδεχόµενα Α και Β είναι ασυµβίβαστα µεταξύ τους τότε: PA+BPA+PB Ο υπολογισµός των πιθανοτήτων ενός ενδεχοµένου στην πράξη γίνεται είτε µε βάση τον λόγο των ευνοϊκών ενδεχοµένων προς το σύνολο των δυνατών ενδεχοµένων, εάν ο συνολικός αριθµός ενδεχοµένων είναι γνωστός και τα διαφορετικά ενδεχόµενα θεωρούνται ισοπιθανά. Εάν ο αριθµός των δυνατών ενδεχοµένων είναι άγνωστος ή άπειρος, τότε ο υπολογισµός των πιθανοτήτων ενός ενδεχοµένου γίνεται µε βάση τη σχετική συχνότητα, χρησιµοποιώντας τον µεγαλύτερο δυνατό αριθµό παρατηρήσεων.

4 Πιθανότητες υπό συνθήκη Εάν εξαρτήσουµε την πιθανότητα επισυµβάσεως ενός ενδεχοµένου B από την αντίστοιχη πιθανότητα ενός άλλου ενδεχοµένου A τότε έχουµε την πιθανότητα υπό συνθήκη ή δεσµευµένη πιθανότητα: PB A «Η πιθανότητα του Β όταν Α», δηλαδή η πιθανότητα να συµβεί το Β µε την προϋπόθεση οτι έχει συµβεί το Α. Σ αυτήν την περίπτωση δεν ενδιαφέρει η συνολική πιθανότητα του Β αλλά µόνο εκείνο το ποσοστό της κοινής πιθανότητας να συµβεί το Α και το Β, και φυσικά η πιθανότητα να συµβεί το Α: Το θεώρηµα του Bayes Ο Thomas BAYES ήταν Άγγλος κληρικός του 8 ου αιώνα που µελέτησε τον τρόπο µε τον οπoίο αλλάζουν οι πιθανότητες καθώς αυξάνει η διαθέσιµη πληροφορία. Η εξίσωση A,BPB APA δηλώνει ότι η πιθανότητα να πραγµατοποιηθούν το ενδεχόµενο Α και το ενδεχόµενο Β ταυτόχρονα ισούται µε την πιθανότητα να πραγµατοποιηθεί το ενδεχόµενο Α επί την πιθανότητα να συµβεί το Β, δοθέντος ότι το Α έχει πραγµατοποιηθεί. Το ίδιο ισχύει προφανώς αν τα Α και Β ανταλλάξουν θέσεις: PA,BPA BPΒ Οπότε προκύπτει ότι: PA,BPA BPΒ PB APΑ Που µπορεί να γραφεί ως A P B P B A P A B P Αποδεικνύεται οτι εάν Α είναι ένα γεγονός που αν συµβεί, τότε πραγµατοποιείται οπωσδήποτε και ένα από τα ασυµβίβαστα µεταξύ τους γεγονότα Β, Β,..., Β τότε: + + + B A P B P B A P B P B A P B P B A P B P A P... Ο συνδυασµός των δύο τελευταίων εξισώσεων δίνει την εξίσωση που είναι γνωστή ως «θεώρηµα του Bayes»: B A P B P B P B A P A B P Το θεώρηµα αυτό εκφράζει τη σχέση µεταξύ των δεσµευµένων πιθανοτήτων και των ανεξάρτητων πιθανοτήτων., Α P A B P Α, Β P A P B A P A B P

5 4.ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Για µία τυχαία µεταβλητή ορίζεται:. Η συνάρτηση ή κατανοµή πιθανότητας, που είναι µία θετική συνάρτηση : α ιακριτή µεταβλητή: f x P x όπου k,,3 k k µε f 0, f β Συνεχής µεταβλητή: f x P x x k k x k µε f x 0 και f x dx. Η αθροιστική συνάρτηση κατανοµής ή απλώς συνάρτηση κατανοµής, που είναι µία θετική µη φθίνουσα συνάρτηση : α ιακριτή µεταβλητή: F P x P x < x P x k a P x < x P x a b µε f 0, f x k k b x k k k β Συνεχής µεταβλητή: F P x P < x f u du P a< < b f u du µε f x 0 και b a f x dx x Τέλος ισχύει οτι : df x f x dx

6 Παράµετροι κατανοµών Η µαθηµατική ελπίδα ή αναµενόµενη τιµή ή µέση τιµή µίας διακριτής τυχαίας µεταβλητής ορίζεται ως : E Χ και µίας συνεχούς τυχαίας µεταβλητής ως : x P x E Χ xf x dx Στην ειδική περίπτωση που όλες οι πιθανότητες είναι ίσες έχουµε : E Χ x + x + x 3 +... + x Η µέση τιµή είναι η ροπή πρώτης τάξεως της τυχαίας µεταβλητής και συµβολίζεται µε m ή x. Γενικά η ροπή k τάξεως µιας τυχαίας µεταβλητής ορίζεται ως: k k E x µ x f x dx και έχουµε και τις κεντροβαρικές ροπές k τάξεως: k E k xµ µ k xµ k f x dx Η ροπή µ καλείται διασπορά και η τετραγωνική ρίζα της τυπική απόκλιση : E [ xµ Var x µ ] E [ x µ ] Var x σ Η µέση τιµή και η τυπική απόκλιση αποτελούν τα κύρια χαρακτηριστικά µίας τυχαίας µεταβλητής και µε τη βοήθεια τους ορίζουµε την αντίστοιχη αδιάστατη τυχαία µεταβλητή που καλείται τυποποιηµένη ή ανηγµένη τυχαία µεταβλητή: µ * σ * * * προκύπτει οτι E 0 και Var σ Μεταξύ δύο τυχαίων µεταβλητών ορίζεται η συνδιασπορά ή συµµεταβλητότητα ή συνδιακύµανση που είναι : σ ΧΥ Cov, Y E[ Y Y ] και ο συντελεστής συσχετίσεως:

7 σ ΧΥ ρ ΧΥ, ρ ΧΥ σ Χ συ Όταν ρ 0 λέγουµε οτι οι Χ και Υ είναι ασυσχέτιστες ή ορθογώνιες. * Όταν αναφερόµαστε στον συντελεστή συσχετίσεως, γενικά εννοούµε τον συντελεστή γραµµικής συσχετίσεως, δηλαδή αυτόν που εκφράζει κατά πόσο µπορούν δύο µεταβλητές να συνδεθούν µεταξύ των µε κάποια γραµµική σχέση. Είναι δυνατόν δύο µεταβλητές να είναι γραµµικά ασυσχέτιστες, αλλά να υπάρχει απόλυτη σχέση µεταξύ των άλλης µορφής, όπως για παράδειγµα όταν τα ζεύγη τιµών των δύο µεταβλητών αποτελούν σηµεία της περιφέρειας ενός κύκλου.

5. ΝΟΜΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΣΤΟΥΣ Υ ΑΤΙΚΟΥΣ ΠΟΡΟΥΣ 8 Έχει παρατηρηθεί οτι ορισµένες κατηγορίες τυχαίων µεταβλητών ακολουθούν καθορισµένους νόµους πιθανοτήτων. Οι κυριότεροι από αυτούς τους νόµους παρουσιάζονται στον σχετικό πίνακα. Στη συνέχεια θα επιµείνουµε περισσότερο στους νόµους του GAUSS και του GUMBEL που είναι οι απλούστεροι και περισσότερο χρησιµοποιούµενοι. ΟΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ. Κανονική κατανοµή Gauss. ις εκθετική κατανοµή Gumbel 3. Λογοκανονική κατανοµή Logormal, Galto 4. Κατανοµή Posso 5. Οµοιόµορφη κατανοµή 6. Οι ακραίες κατανοµές 7. Κατανοµή χ 8. Κατανοµή F Sedecor-Fsher 9. Κατανοµή t του Studet 0. υωνυµική κατανοµή. Κατανοµή Pearso ΙΙΙ. Κατανοµή βήτα 3. Κατανοµή Beroull 4. Εκθετική κατανοµή Κανονική κατανοµή ή κατανοµή Gauss. Οι τυχαίες µεταβλητές που περιγράφουν τις µέσες τιµές φυσικών µεγεθών π.χ. οι ετήσιες παροχές ή τα ετήσια ύψη βροχής κατανέµονται στατιστικά σύµφωνα µε το νόµο του Gauss. Η συνάρτηση πυκνότητας της κατανοµής αυτής είναι: f z e π z /

9 και η αθροιστική συνάρτηση κατανοµής : F z π e u / du + π 0 e u / du όπου z m u : η ανηγµένη µεταβλητή µε µέση τιµή m και τυπική απόκλιση σ. σ Η δις-εκθετική κατανοµή ή κατανοµή Gumbel. Ο νόµος αυτός συγκαταλέγεται στην οµάδα των ακραίων κατανοµών διότι περιγράφει ικανοποιητικά τις κατανοµές των ακραίων τιµών τυχαίων µεταβλητών π.χ. µέγιστες ετήσιες βροχοπτώσεις. Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας είναι : f y e y e e y και η αθροιστική συνάρτηση κατανοµής F y e e y όπου y ax-b, α.8s - και b m - 0.45s Εάν γνωρίζουµε τη συνάρτηση κατανοµής µιας τυχαίας µεταβλητής µπορούµε να υπολογίσουµε ποία πιθανότητα έχει αυτή να πάρει µία ορισµένη τιµή ή για ορισµένη πιθανότητα ποία τιµή θα πάρει. Στην Υδρολογία, αλλά και σε άλλες επιστήµες της Γής, οι πιθανότητες αναφέρονται συνήθως στην περίοδο επαναφοράς, δηλαδή κάθε πόσα έτη πρέπει κατά µέσο όρο να αναµένουµε οτι η τυχαία µεταβλητή θα υπερβεί µία ορισµένη τιµή. Έτσι έχουµε: F x ή F x T T ανάλογα µε το εάν η υπέρβαση γίνει προς τα ελάχιστα ή προς τα µέγιστα. Τ είναι η περίοδος επαναφοράς σε έτη. Παράδειγµα: για ένα δείγµα βροχής διάρκειας 5' µε m 4.0 και s.5 : a 0.85, b 3.33 και από το νόµο του Gumbel προκύπτει H Τ0 6.0 mm.

6. ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ. ΕΛΕΓΧΟΣ ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑΣ ΤΩΝ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ. 0 Στην Στατιστική γενικά και το Περιβάλλον ιδιαιτέρως γνωρίζουµε τις τυχαίες µεταβλητές από ένα περιορισµένο σύνολο τιµών τους που αποτελεί ένα δείγµα. Αγνοούµε και τις κατανοµές αυτών των τυχαίων µεταβλητών και τις παραµέτρους των κατανοµών αυτών. Συνήθως έχουµε µετρήσεις µερικών δεκαετιών και ζητούµε να υπολογίσουµε τις τιµές των µεταβλητών για περιόδους επαναφοράς εκατονταετίας ή χιλιετίας, προκειµένου για φαινόµενα που εξελίσσονται στον χρόνο, ή σηµειακές µετρήσεις σε λίγα σηµεία µίας περιοχής πολλών τετραγωνικών χιλιοµέτρων, προκειµένου για φαινόµενα που εξελίσσονται στον χώρο. Επιπλέον οι παρατηρήσεις που συνθέτουν το δείγµα µας περιέχουν γενικά διάφορα σφάλµατα τυχαία ή συστηµατικά. Το πρώτο πράγµα που πρέπει να κάνει κανείς όταν πρόκειται να επεξεργασθεί περιβαλλοντικά δεδοµένα είναι να ελέγξει την αξιοπιστία τους, εξετάζοντας την προέλευση τους και τις συνθήκες κάτω από τις οποίες έχουν µετρηθεί. Αυτό δεν είναι πάντοτε εύκολο. 7. ΠΡΟΣ ΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ. ΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΟΡΙΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ Όταν διαθέτουµε ένα αξιόπιστο δείγµα µε µετρήσεις επί 0 έως 30 έτη τουλάχιστον, επιδιώκουµε να προσαρµόσουµε στο δείγµα µία γνωστή συνάρτηση κατανοµής ώστε να µπορούµε να κάνουµε αργότερα στατιστικές εκτιµήσεις και προβλέψεις. Η εκλογή σε πρώτη φάση της κατανοµής είναι αυθαίρετη και µόνος οδηγός µπορεί να είναι η πείρα. Οι πραγµατικές παράµετροι της τυχαίας µεταβλητής είναι άγνωστες, έτσι αναγκαστικά θα εργασθούµε µε τις "δειγµατικές παραµέτρους" : M x+ x + x +... + x δειγµατική µέση τιµή ˆ 3 Sˆ x x δειγµατική διασπορά όπου: Cov ˆ xy x x y y δειγµατική συνδιασπορά x x µέση τιµή Επειδή οι δειγµατικές παράµετροι είναι περισσότερο ή λιγότερο ακριβείς και αντιπροσωπευτικές για τις πραγµατικές παραµέτρους σε σχέση και µε το µέγεθος του δείγµατος συνηθίζεται να συνοδεύονται από ένα διάστηµα εµπιστοσύνης που αντιστοιχεί σε ένα βαθµό εµπιστοσύνης. Π.χ. για τιµή µέγιστου ύψους βροχής h δίδεται και µία τιµή h' έτσι ώστε h - h' < h< h + h' για ένα βαθµό εµπιστοσύνης α%. ηλαδή στα α% των περιπτώσεων το h' θα βρίσκεται µέσα στο διάστηµα [h - h'], [h + h']. Για τις διάφορες κατανοµές υπάρχουν στα εξειδικευµένα βιβλία σχετικοί πίνακες και διαγράµµατα που διευκολύνουν τον υπολογισµό.

Για την κανονική κατανοµή υπολογίζεται εύκολα οτι : Για: M Sˆ x M + Sˆ α 68.7% M Sˆ x M + Sˆ α 95.45% M 3 Sˆ x M + 3Sˆ α 99.73% Υπάρχουν, τέλος, διάφοροι µέθοδοι ελέγχου, οι οποίες µπορούν να µας πληροφορήσουν ποία από τις κατανοµές που προεκλέξαµε ταιριάζει καλύτερα στα δεδοµένα µας.

8. ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ Ορισµός και ιδιότητες των εκτιµητριών Έστω τυχαίες µεταβλητές Χ, Χ, Χ 3,, Χ που προέρχονται από τον ίδιο πληθυσµό και ακολουθούν τον νόµο κατανοµής Fx, θ. Η παράµετρος θ µπορεί να εκτιµηθεί µε τη βοήθεια της συναρτήσεως: gχ, Χ, Χ 3,, Χ. H g είναι η εκτιµήτρια της παραµέτρου θ. Κάθε τιµή της g θα είναι µια εκτίµηση της παραµέτρου θ. Αυτή η εκτιµήτρια καλείται αµερόληπτη ή αβίαστη εάν: Ε[gΧ, Χ, Χ 3,, Χ ]θ ηλαδή δεν υπάρχει συστηµατικό σφάλµα για κανένα Η εκτιµήτρια είναι συγκλίνουσα ή ορθή εάν: Var[gΧ, Χ, Χ 3,, Χ ] 0 Ε[g] θ όταν όταν Εάν ισχύουν τα παραπάνω, αυτό σηµαίνει ότι η εκτίµηση τείνει κατά τη µέση τετραγωνική τιµή προς την τιµή που θέλουµε να εκτιµήσουµε. Η εκτιµήτρια καλείται απολύτως ορθή όταν είναι ορθή και αµερόληπτη. Η αποτελεσµατικότητα µιας εκτιµήτριας βασίζεται στη διακύµανση της. Όσο περισσότερο η διακύµανση είναι µικρή, τόσο πιο αποτελεσµατική είναι η εκτιµήτρια. Εκτιµήτρια της µέσης τιµής Ζητούµε την εκτίµηση της µέσης τιµής m ενός πληθυσµού µε τη βοήθεια ενός δείγµατος µεγέθους από αυτόν τον πληθυσµό. Οι τιµές x, x, x 3,, x που παρατηρούνται στο δείγµα είναι οι τιµές των τυχαίων µεταβλητών Χ, Χ, Χ 3,, Χ που έχουν τις ίδιες χαρακτηριστικές τιµές. Η εκτιµήτρια της m: Η Mˆ Mˆ είναι λοιπόν µια αβίαστη εκτιµήτρια. E[ Mˆ ] E[ ] E m Var Mˆ ˆ E M m E x E m Επειδή οι τυχαίες µεταβλητές Χ ι είναι ανεξάρτητες και έχουν την ίδια διακύµανση σ :

3 σ m E M Var ˆ Η εκτιµήτρια Mˆ είναι λοιπόν απολύτως ορθή Εάν οι τυχαίες µεταβλητές Χ ι ακολουθούν της κανονική κατανοµή, τότε, λόγω της σταθερότητας της κανονικής κατανοµής, µπορούµε να βεβαιώσουµε ότι και η M θα ακολουθεί την κανονική κατανοµή. Η σ m M / ˆ ακολουθεί την ανηγµένη κανονική κατανοµή. Αυτό ισχύει και για τυχαίες µεταβλητές Χ ι που δεν ακολουθούν της κανονική κατανοµή, υπό την προϋπόθεση ότι το είναι αρκετά µεγάλο. Συνέπεια του κεντρικού θεωρήµατος. Εκτιµήτρια της ιασποράς. Η εκτίµηση της διασποράς του πληθυσµού γίνεται µε τη βοήθεια της εκτιµήτριας: ˆ m σ ˆ σ m E m E σ E Πρόκειται λοιπόν για µια αβίαστη εκτιµήτρια. + 4 σ m σ m E σ m E σ Var Επειδή οι τυχαίες µεταβλητές Χ ι είναι ανεξάρτητες: [ ] 4 4 σ m E m E m E σ Var j j j + [ ] [ ] 4 4 4 4 - µ µ σ σ µ σ Var + Η εκτιµήτρια σ είναι λοιπόν απολύτως ορθή.

4 Στην πραγµατικότητα όµως σπάνια το θέµα τίθεται όπως παραπάνω διότι η m είναι γενικά άγνωστη και εκτιµάται µε τη βοήθεια της εκτιµήτριας: M ˆ Οπότε και η εκτιµήτρια της διασποράς γίνεται: S ˆ E E S E ] ˆ [ [ ] m σ E Var E + + για κάθε I [ ] ˆ ] ˆ [ ] [ m σ M E M Var E + + Από όπου η τιµή: ] ˆ [ σ m σ m σ S E + + Αυτή η εκτιµήτρια είναι λοιπόν µεροληπτική, και έτσι προτιµούµε την: ˆ S Η διακύµανση αυτής της εκτιµήτριας είναι: 4 3 ] ˆ [ µ µ S Var Η εκτιµήτρια ˆ S είναι λοιπόν απολύτως ορθή και όταν ] ˆ [ ] [ ] ˆ [ 4 σ Var µ µ S Var Εκτιµήτρια της συνδιασποράς Έστω µια πρώτη εκτιµήτρια:, ˆ Y Y Y ov C Η µαθηµατική της ελπίδα είναι:

5 ] [ ], ˆ [ Y E Y E Y Cov E y x m m Y Cov Y E +, [ ] [ ] y x y x j j m m m m Y Cov Y Y E Y E Y E, ˆ + +,,, ], ˆ [ Y Cov m m m m Y Cov m m Y Cov Y Cov E y x y x y x + Επειδή αυτή η εκτιµήτρια είναι µεροληπτική προτιµούµε την:, ˆ Y Y Y ov C

9. ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΚΑΜΠΥΛΩΝ. ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ΚΑΙ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ 6 Όταν διαθέτουµε ένα σύνολο τιµών µιας συναρτήσεως για αντίστοιχες τιµές της µεταβλητής, µε µία µέθοδο παρεµβολής και ίσως παρεκβολής, µπορούµε να κατασκευάσουµε µία συνεχή καµπύλη για να υπολογίζουµε άµεσα τις ενδιάµεσες ή τις ακραίες τιµές της συναρτήσεως. Όταν όµως οι τιµές που διαθέτουµε προέρχονται από µετρήσεις οπωσδήποτε περιέχουν ένα µικρό ή µεγάλο σφάλµα και η καµπύλη που προκύπτει γίνεται εξαιρετικά ανώµαλη, είναι δε φανερό οτι δεν είναι πλέον αντιπροσωπευτική της άγνωστης συναρτήσεως. Π.χ. οι καµπύλες Q Qh που υπολογίζονται πειραµατικά στο εργαστήριο. Στην περίπτωση αυτή διαλέγουµε µία καµπύλη, την καµπύλη παλινδροµήσεως, που φαίνεται να ταιριάζει µε τη µακροσκοπική µορφή της διατάξεως των δεδοµένων µας και την προσαρµόζουµε σε αυτά. Η προτιµότερη καµπύλη είναι η ευθεία y αx + β για ευνόητους λόγους. Εάν είναι φανερό οτι είναι ακατάλληλη, τότε µπορούµε να "γραµµικοποιήσουµε" τις µεταβλητές, δηλαδή να κάνουµε κατάλληλη αλλαγή µεταβλητής, όπως u logy ή u y κλπ. Οι συντελεστές α και β µπορούν να υπολογιστούν εύκολα µε τη µέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων, που ελαχιστοποιεί τη µέση τετραγωνική απόκλιση των δεδοµένων από την ευθεία παλινδροµήσεως. a b x y x x x y y x x x Για να έχει νόηµα η προσαρµογή της καµπύλης παλινδροµήσεως θα πρέπει ο συντελεστής συσχετίσεως ρ xy x x y

7 IV. ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΕΣ. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ένα σύνολο διαδοχικών δεδοµένων αποτελεί µια σειρά. εδοµένα που σχηµατίζουν σειρές προέρχονται γενικά από την καταγραφή της τιµής µιας µεταβλητής κατά την εξέλιξή της. Χρονοσειρά είναι η καταγραφή της τιµής µίας µεταβλητής που εξελίσσεται στον χρόνο. Εάν η καταγραφή είναι συνεχής τότε σχηµατίζεται συνεχής χρονοσειρά. Οι συνεχείς χρονοσειρές προκύπτουν από αναλογικά καταγραφικά όργανα µετρήσεων Μηχανικοί βροχογράφοι, σταθµηγράφοι, θερµογράφοι κ.λ.π.. Είναι δυνατόν όµως η καταγραφή των τιµών να γίνεται µόνο σε ορισµένες χρονικές στιγµές οπότε έχουµε διακριτή χρονοσειρά διακριτή στον χρόνο. Αυτή είναι η συνηθέστερη περίπτωση. Οι σειρές αυτές προκύπτουν είτε από µετρήσεις παρατηρητών ηµερήσιες, ωριαίες µε απλά όργανα: σταθµήµετρα, βροχόµετρα, θερµόµετρα κ.λ.π., είτε από τα σύγχρονα αυτόµατα ψηφιακά όργανα µετρήσεως όπως ηλεκτροµηχανικά βροχόµετρα, ηλεκτρονικά θερµόµετρα κ.λ.π. Αδρανή,00% 0,00% 8,00% Ποσοστό % 6,00% 4,00%,00% 0,00% 4 7 0 3 6 9 5 8 3 34 37 40 43 εβδοµάδες Χρονοσειρά του ποσοστού % αδρανών υλικών στα απορρίµµατα της Θεσσαλονίκης στην διάρκεια ενός έτους Επειδή για οποιαδήποτε µαθηµατική επεξεργασία µίας χρονοσειράς είναι απαραίτητη η ύπαρξη διακριτών τιµών, οι συνεχείς χρονοσειρές µετατρέπονται τελικά και αυτές σε διακριτές µε δειγµατοληψία τιµών επάνω στη συνεχή καταγραφή.

8 Οι διακριτές χρονοσειρές µπορεί να έχουν σταθερό βήµα, δηλαδή χρονική απόσταση µεταξύ των διαδοχικών τιµών, ή τυχαίο, µεταβλητό. Όταν το βήµα δεν είναι σταθερό είναι απαραίτητο η χρονοσειρά να είναι διπλή: τιµές - αντίστοιχος χρόνος. Αυτό είναι προφανώς επιβαρυντικό για την αποθήκευση και παράσταση της σειράς είτε σε πίνακα είτε σε διάγραµµα και δυσχεραίνει και τη µαθηµατική επεξεργασία της σειράς. Για τον σκοπό αυτό επιδιώκεται σε κάθε σειρά να αποκατασταθεί σταθερό βήµα είτε µε συµπλήρωση είτε µε παρεµβολή στη σειρά.. ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΤΩΝ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ Το σπουδαιότερο ιδιαίτερο χαρακτηριστικό των χρονοσειρών, σε σχέση µε κάθε άλλη συλλογή µετρήσεων ή δειγµατοληψία, είναι η διάταξη των τιµών σε µία χρονική κλίµακα και η εξάρτηση της τιµής τους από την χρονική στιγµή της µετρήσεως. Αυτή η εξάρτηση µπορεί να είναι απόλυτη και να είναι δυνατή η έκφραση της από µία συνάρτηση του τύπου ft, οπότε η σειρά είναι προσδιοριστική. Η εξάρτηση όµως από τον χρόνο µπορεί να εκφράζεται κυρίως στην εξάρτηση από µια ή περισσότερες προηγούµενες τιµές x t αx t- + βx t- +...+ ε δηλαδή να εκφράζεται στη µνήµη ή εµµονή σε ένα κατά τα άλλα τυχαίο σύνολο τιµών. Μία χρονοσειρά µπορεί να αντιπροσωπεύει:. πρωτογενείς στιγµιαίες µετρήσεις: στιγµιαία παροχή. αθροιστικές τιµές: ηµερήσιο ή µηνιαίο ύψος βροχής 3. ακραίες τιµές: µέγιστη ή ελάχιστη θερµοκρασία 4. µέσες τιµές: µέση θερµοκρασία 5. ειδικές τιµές: διεύθυνση ανέµου σε µοίρες 0 ο - 360 ο ή σε διευθύνσεις Β, ΒΑ, Α κ.λ.π. Μια σειρά µπορεί να είναι ψηφιακή εάν οι τιµές εκφράζονται σε ασυνεχή βήµατα πεπερασµένα τον αριθµό διαστήµατα ή κλάσεις ή ακόµη δυαδική εάν οι µόνες δυνατές τιµές είναι το 0 και το ή -, 0 και.

9 0 00 80 60 40 0 0 3 4 5 6 7 8 9 0 Συνεχής ιακριτή Ψηφιακή υαδική Εκτός από τα παραπάνω χαρακτηριστικά των χρονοσειρών που αφορούν κυρίως την παρατήρηση, µέτρηση και καταγραφή δειγµατοληψία της µεταβλητής που δηµιουργεί τη σειρά, κάθε χρονοσειρά παρουσιάζει και ορισµένα χαρακτηριστικά που αφορούν το φαινόµενο το οποίο αντιπροσωπεύει. Αυτά είναι: ιαλείψεις: Απουσία τιµών για κάποιο χρονικό διάστηµα. Το πλέον χαρακτηριστικό παράδειγµα είναι η βροχή. Σε χρονικό βήµα µικρότερο από τον µήνα είναι ένα τελείως ασυνεχές φαινόµενο. Τοπικές ανωµαλίες: Κάποιες εξαιρετικά µεγάλες ή εξαιρετικά µικρές τιµές, σε σχέση µε τις γειτονικές, που εµφανίζονται σπάνια και ακανόνιστα. Μπορεί να οφείλονται σε λάθος µετρήσεις ή να παριστούν κάποιο εξαιρετικό γεγονός. 3 Τάσεις: Όταν η µέση τιµή που λαµβάνεται σε περιορισµένο χρονικό διάστηµα περιορισµένο αριθµό τιµών δεν είναι σταθερή αλλά για διαδοχικά διαστήµατα παρουσιάζει αύξηση ή µείωση ή ακόµη χαρακτηριστικές αυξοµειώσεις. 4 Περιοδικότητες: Κανονικές κυκλικές ηµιτονοειδείς ή συνηµιτονοειδείς διακυµάνσεις, σαφώς προσδιοριστικού χαρακτήρα. 5 Εποχικότητα: ιακυµάνσεις που δεν είναι κυκλικές αλλά ωστόσο µε σαφές χρονικό βήµα. 6 Κανονικότητα: Η διακύµανση γύρω από τη µέση τιµή ακολουθεί την κανονική κατανοµή.

30 7 Στατικότητα: Τα στατιστικά χαρακτηριστικά της σειράς παραµένουν αναλλοίωτα στον χρόνο. Συνήθως περιοριζόµαστε στη λεγόµενη στατικότητα β τάξεως δηλαδή η µέση τιµή και η τυπική απόκλιση να είναι σταθερή. 8 Εργοδικότητα: Αν θεωρηθεί ότι µία χρονοσειρά αποτελεί µία πραγµατοποίηση της τυχαίας µεταβλητής που παριστά, τότε θα µπορούσαν να υπάρξουν και άλλες πραγµατοποιήσεις, ταυτόχρονες, ή σε διαφορετικούς χρόνους, της ίδιας µεταβλητής. Εργοδικότητα υπάρχει όταν τα στατιστικά χαρακτηριστικά παραµένουν τα ίδια σε όλες τις δυνατές πραγµατοποιήσεις της σειράς. Ο αυστηρός έλεγχος της εργοδικότητας είναι γενικά αδύνατος, και για τον λόγο αυτό δεχόµαστε συνήθως ως εργοδική µία σειρά που είναι στατική β τάξεως. 3. ΕΠΕΚΤΑΣΗ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΗΣ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΑΣ Κατ επέκταση των παραπάνω µία χρονοσειρά µπορεί να αναφέρεται σε µία µεταβλητή που εξελίσσεται στον χώρο, σε µία ή περισσότερες διαστάσεις, π.χ. gx, hx, y, qx, y, z ή ακόµη στον χώρο και τον χρόνο: gx,t, hx,y,t, qx,y,z,t. Όταν η ανεξάρτητη µεταβλητή είναι µία, π.χ. χρόνος t ή απόσταση x για την ανάλυση και σύνθεση της χρονοσειράς εφαρµόζονται πέρα από τις µεθόδους της κλασσικής στατιστικής και ειδικές µέθοδοι που αξιοποιούν την εξάρτηση των τιµών της µεταβλητής από τον χρόνο για την εξαγωγή επιπλέον συµπερασµάτων σχετικά µε τη µεταβλητή και το φαινόµενο που αυτή παριστά. Μιλούµε για ανάλυση της «δοµής» της µεταβλητής στον χρόνο. Όταν η υπό µελέτη µεταβλητή εξελίσσεται σε περισσότερες διαστάσεις στον χώρο, τότε εφαρµόζονται επιπλέον µέθοδοι που είτε είναι επέκταση των µεθόδων για «µονοδιάστατη» ανάλυση είτε είναι καθαρά «πολυδιάστατες», «χωρικές» ή «χωροχρονικές» µέθοδοι που στοχεύουν στην ανάλυση και αξιοποίηση αντίστοιχα των πολυδιάστατων χαρακτηριστικών ή της χωρικής και χωροχρονικής δοµής της µεταβλητής. Στους Υδατικούς Πόρους για λόγους καθαρά εποπτικούς αναφερόµαστε στις ακόλουθες τρεις κατηγορίες µεθοδολογίας:. Στατιστική ανάλυση τυχαίες µεταβλητές. Στοχαστική ανάλυση ή Ανάλυση Χρονοσειρών χρονοσειρές

3 3. Πολυδιάστατη, γεωστατιστική και χωρική ανάλυση χωρικές, χωροχρονικές σειρές και οµάδες µεταβλητών Οι µέθοδοι που εφαρµόζονται είναι καθαρά µαθηµατικές και δεν εξετάζονται καθόλου τα φυσικά χαρακτηριστικά και οι φυσικές σχέσεις των διαφόρων µεταβλητών µεταξύ τους, παρά µόνο τα στατιστικά πιθανολογικά χαρακτηριστικά και η στοχαστική δοµή τους στον χώρο και τον χρόνο. Οι µέθοδοι αυτοί συνιστούν την Στοχαστική Μεθοδολογία. Η Προσδιοριστική Μεθοδολογία από την άλλη πλευρά είναι αυτή που ασχολείται µε τα φυσικά χαρακτηριστικά των φαινοµένων που προσπαθεί να περιγράψει και να αποδώσει µε προσδιοριστικές σχέσεις χωρίς καµία τυχαιότητα. 4. ΑΝΑΛΥΣΗ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ Η ανάλυση µιας χρονοσειράς έχει τους εξής στόχους:. Τον προσδιορισµό των χαρακτηριστικών της που µε τη σειρά τους προσδιορίζουν κάποιο φαινόµενο. Τα χαρακτηριστικά αυτά συνιστούν την πληροφορία για το συγκεκριµένο φαινόµενο.. Εκτός από την πληροφορία που είναι χρήσιµη µία χρονοσειρά µπορεί να περιέχει και παρεµβολές από άλλα φαινόµενα ή εντελώς τυχαίες διαταράξεις που συνιστούν τον θόρυβο της χρονοσειράς. Όταν ο θόρυβος είναι έντονος τότε µπορεί να είναι δυσχερής ή αδύνατη η εξαγωγή της πληροφορίας. Είναι συνεπώς ενδιαφέρουσα η ανάλυση και κατόπιν εξάλειψη του θορύβου, όσο αυτό είναι δυνατόν. 3. Το σύνολο πληροφορία + θόρυβος που σχηµατίζουν την χρονοσειρά αντιπροσωπεύεται συνήθως από ένα µεγάλο πλήθος τιµών. Με τα στοιχεία που προέκυψαν από την ανάλυση της χρονοσειράς επιδιώκεται να σχηµατιστεί ένα µοντέλο της χρονοσειράς σε µορφή εξισώσεως ικανό να αναπαράγει χρονοσειρές µε τα ίδια χαρακτηριστικά. Αυτό αποτελεί αφ ενός συµπύκνωση της πληροφορίας και αφ ετέρου δίνει τη δυνατότητα παραγωγής συνθετικών σειρών είτε για επέκταση της αρχικής είτε έλεγχο όλων των δυνατών πραγµατοποιήσεων της χρονοσειράς. Όταν αντιµετωπίζεται η ανάλυση µιας χρονοσειράς, είναι συνήθως γνωστά από την θεωρία ή την εµπειρία του αναλυτή ορισµένα χαρακτηριστικά της σειράς. Για παράδειγµα, γνωρίζουµε ότι µία σειρά ηµερησίων υψών βροχής από πεδινή περιοχή στην Ελλάδα, θα είναι µία σειρά

3 θετικών τιµών από το 0 έως περίπου τα 500 mm. Εάν αντίστοιχα πρόκειται για κάποιο ηλεκτρικό σήµα, π.χ. τάση σε κάποιο ρευµατολήπτη συνδεδεµένο στο δίκτυο της ΕΗ είναι αναµενόµενη κυκλική περιοδικότητα ~ 50 Hz. Τα περισσότερα όµως χαρακτηριστικά της κάθε χρονοσειράς είναι εκ των προτέρων άγνωστα και επιπλέον µπορεί να µην τα υποπτευόµαστε καν. Για τον λόγο αυτό η ανάλυση πρέπει να γίνει βήµα-βήµα. Τα αποτελέσµατα κάθε βήµατος προσδιορίζουν τους ελέγχους και αναλύσεις που θα γίνουν στη συνέχεια. Τα κύρια βήµατα είναι τα ακόλουθα: Σχεδίαση της χρονοσειράς. Η γραφική παράσταση της σειράς δίνει τη δυνατότητα για άµεση αντίληψη, έστω και χονδρικά, των χαρακτηριστικών της τάσεις, ακραία, περιοδικότητες κ.λ.π. καθώς και τον εντοπισµό εξαιρετικών τιµών που γενικά χάνονται µέσα στο πλήθος αριθµών όταν η χρονοσειρά παριστάνεται από ένα πίνακα τιµών. ιερευνητική στατιστική ανάλυση Γίνεται προσδιορισµός της µέσης τιµής, τυπικής αποκλίσεως, ακραίων τιµών και πλάτους τιµών. Σε πλέον προχωρηµένη διερευνητική ανάλυση υπολογίζονται και επιπλέον στατιστικές παράµετροι και επιχειρείται η προσαρµογή σε κάποιο νόµο πιθανοτήτων. 3 Έλεγχος και αφαίρεση της τάσεως Αναζητούµε κυρίως τη γραµµική τάση ου βαθµού, που εκφράζεται από την ευθεία παλινδροµήσεως. Εάν δεν είναι ικανοποιητική ή εάν υπάρχουν πληροφορίες ότι µπορεί να υπάρχει σηµαντική τάση άλλης µορφής Μη γραµµική τότε αντίστοιχα προσδιορίζεται η κατάλληλη καµπύλη. 4 Εξοµάλυνση της σειράς Με φίλτρα που συνήθως έχουν τη µορφή απλών κινητών µέσων ή σταθµισµένων κινητών µέσων απαλείφονται οι µεγάλες και απότοµες διακυµάνσεις ώστε να φανεί η κύρια πορεία της σειράς και ενδεχοµένως κάποια περιοδικά εποχικά χαρακτηριστικά της.

33 5 Κανονικοποίηση της σειράς Προκειµένου να µπορεί να γίνει σύγκριση και επεξεργασία διαφορετικών σειρών, όταν το κύριο ενδιαφέρον είναι η µεταβολές στον χρόνο και όχι οι τιµές της µεταβλητής, κάθε χρονοσειρά µπορεί να κανονικοποιηθεί µε βάση τη µέση τιµή και την τυπική απόκλισή της, δηλαδή να µετατραπεί σε µία σειρά µε µέση τιµή ίση µε 0 και τυπική απόκλιση ίση µε. Αυτό γίνεται αν όλες οι τιµές της σειράς αντικατασταθούν από τις αντίστοιχες τυποποιηµένες ή ανηγµένες τιµές. 6 Ανάλυση φάσµατος Κάθε χρονοσειρά µπορεί να θεωρηθεί ότι συντίθεται από ή περιέχει έναν αριθµό τριγωνοµετρικών σειρών ηµιτονοειδείς ή συν ηµιτονοειδείς σειρές. Οι σειρές αυτές εκφράζουν αυστηρά περιοδικά φαινόµενα και είναι προσδιοριστικές: ft A cos ωt + φ Υ Κ Α Κ cos kθ - φ κ Η ανάλυση φάσµατος φασµατική ανάλυση επιδιώκει να προσδιορίσει τον συνδυασµό των σειρών ηµιτόνου και συνηµιτόνου, µε τα αντίστοιχα πλάτη και τη διαφορά φάσεως κάθε σειράς, που είναι πολλαπλάσιας συχνότητας της βασικής περιόδου της χρονοσειράς αρµονικές, έτσι ώστε το άθροισµα τους να αναπαράγει πιστά τη χρονοσειρά. Εάν η σειρά προέρχεται από προσδιοριστικό περιοδικό φαινόµενο τότε κάποια ή κάποιες αρµονικές θα παρουσιάζουν µεγάλη συγκέντρωση ισχύος, δηλαδή σαφώς µεγαλύτερο πλάτος από τις άλλες αρµονικές, και θα ξεχωρίσουν. Εάν ένας µεγάλος αριθµός αρµονικών παρουσιάζουν λίγο-πολύ το ίδιο πλάτος η ισχύς είναι οµοιόµορφα κατανεµηµένη, τότε το πιθανότερο είναι να µην υπάρχουν πραγµατικές περιοδικότητες αλλά αυτές να προκύπτουν σαν αποτέλεσµα των µαθηµατικών µεθόδων για τη φασµατική ανάλυση των χρονοσειρών. 7 Ανάλυση αυτοσυσχετίσεως Η ανάλυση αυτοσυσχετίσεως δίνει και αυτή µια εικόνα του περιοδικού χαρακτήρα της χρονοσειράς. Συσχετίζεται η χρονοσειρά µε τον εαυτό της αφού µετατεθεί κατά,,3, κλπ χρονικά βήµατα. Σε κάθε µετάθεση υπολογίζεται ο συντελεστής αυτοσυσχετίσεως. Το σύνολο των συντελεστών αυτοσυσχετίσεως σχηµατίζει τη συνάρτηση

34 αυτοσυσχετίσεως της χρονοσειράς, που δίνει τον συντελεστή αυτοσυσχετίσεως σε συνάρτηση του χρονικού βήµατος. ρ τ Ε Ε x x x E x t t t+ τ t+ τ 8 Ειδικές αναλύσεις α Ανάλυση Markov Είναι ένας ιδιαίτερος τρόπος υπολογισµού της συσχετίσεως µεταξύ διαδοχικών τιµών της χρονοσειράς, όπου διακρίνονται δύο µόνο καταστάσεις που δε µπορούν να συµβούν ταυτοχρόνως: 0,, δηλαδή υπολογίζεται η σχέση διαδοχικών τιµών της σειράς που έχει µετατραπεί σε ψηφιακή-δυαδική. Η εµφάνιση της µιας ή της άλλης καταστάσεως καθώς και η µετάβαση από τη µια κατάσταση στην άλλη, προσδιορίζουν το βασικό στοχαστικό χαρακτήρα της µεταβλητής. Μία αλυσίδα MARKOV ης τάξεως είναι η διαδοχή δύο τιµών που µπορεί να παρουσιάζει µία από τις ακόλουθες καταστάσεις: 00 0 0 Αντιστοίχως µία αλυσίδα MARKOV ας τάξεως περιλαµβάνει διαδοχή τριών τιµών κοκ.: 000 00 00 0 00 0 0 Για τη βροχή ενδιαφέρον παρουσιάζει κυρίως η διαδοχή δύο ηµερών που σχετίζεται µε τα µήκη των "ξηρών" και των "υγρών" περιόδων, δηλαδή των συνεχών χρονικών διαστηµάτων χωρίς καθόλου βροχή ή µε "συνεχόµενη" βροχή. β Ανάλυση διαστηµάτων Σε ορισµένες περιπτώσεις, όπως για παράδειγµα στη µελέτη της ξηρασίας, δεν έχουν σηµασία οι αριθµητικές τιµές της µεταβλητής που σχηµατίζει χρονοσειρά, αλλά τα χρονικά διαστήµατα που οι τιµές αυτές είναι επάνω ή κάτω από κάποιο όριο που καλείται κατώφλι:

35 γ Συνδυασµένη ανάλυση µε άλλες σειρές. Εκτός από τις αναλύσεις που αφορούν µια και µοναδική χρονοσειρά κάθε φορά, υπάρχουν και µέθοδοι που διασταυρώνουν τις χρονοσειρές µε στόχο να προσδιορίσουν κοινά χαρακτηριστικά της πορείας τους στον χρόνο. 5. ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ / ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ.. Υδρολογικές και Μετεωρολογικές σειρές, κατακρηµνίσεις, παροχές, θερµοκρασίες, πίεση, ηλιοφάνεια στον χρόνο και τον χώρο. Ηλεκτροµαγνητικά κύµατα υψηλών συχνοτήτων 3. Οµιλία, ήχος 4. Οικονοµικά µεγέθη 5. Βιολογικές σειρές ηλεκτροκαρδιογραφήµατα, εγκεφαλογραφήµατα, άλλες αναλύσεις 6. Πειραµατικές µετρήσεις 7. Μετρήσεις συγκοινωνιακών έργων.

36 Το υδρογράφηµα είναι η χρονοσειρά του µεγέθους «παροχή» ή «στάθµη» σταθµηγράφηµα σε ένα σηµείο ενός υδατορρεύµατος