ΚΑΝΟΝΙΚΟΤΗΤΑ ΠΙΝΑΚΩΝ ΚΑΙ ΣΥΓΓΕΝΕΙΣ ΑΠΟΣΤΑΣΕΙΣ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΟΤΗΤΑ ΠΙΝΑΚΩΝ ΚΑΙ ΣΥΓΓΕΝΕΙΣ ΑΠΟΣΤΑΣΕΙΣ Μιχαήλ Ο Ροκίδης ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΑΘΗΝΑ 00

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΟΤΗΤΑ ΠΙΝΑΚΩΝ ΚΑΙ ΣΥΓΓΕΝΕΙΣ ΑΠΟΣΤΑΣΕΙΣ Μιχαήλ Ο Ροκίδης ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Τριμελής Επιτροπή Ιωάννης Μαρουλάς, Καθηγητής ΕΜΠ Σωτήριος Καρανάσιος, Καθηγητής ΕΜΠ Παναγιώτης Ψαρράκος, Αναπλ Καθηγητής ΕΜΠ (επιβλέπων) ΑΘΗΝΑ 00

Στη μνήμη του συνάδελφου, φίλου και δασκάλου Κώστα Στεφανουδάκη

ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Στo πλαίσιo της συγγραφής της παρούσας διπλωματικής εργασίας θα ήθελα να ευχαριστήσω θερμά τον επιβλέποντα καθηγητή κ Π Ψαρράκο, Αναπληρωτή Καθηγητή ΕΜΠ, τόσο για την υπόδειξη του θέματος όσο και για τη συνεχή παρακολούθηση, καθοδήγηση, ενθάρρυνση και υπομονή κατά της διάρκεια της σύνταξής της Είμαι ευγνώμων και θέλω να εκφράσω τις ευχαριστίες μου και προς τους κκ Ι Μαρουλά, Καθηγητή ΕΜΠ, και Σ Καρανάσιο, Καθηγητή ΕΜΠ, για την ενεργή συμμετοχή στην τριμελή συμβουλευτική επιτροπή Ευχαριστώ τους γονείς μου, Οδυσσέα και Δέσποινα Ροκίδη για την ηθική υποστήριξή τους όλα αυτά τα χρόνια Πάνω απ όλα εκφράζω την ευγνωμοσύνη μου στους δασκάλους μου, κκ Μ Ευστρατίου, Μ Καραμεσίνη, Χ Αργυρό, Ε Τσάκωνα, Χ Δέδε, Κ Σουσάνη και ιδιαιτέρως στον Κ Στεφανουδάκη, για τις γνώσεις που μου έδωσαν, αλλά κυρίως για την πίστη τους στις δυνατότητες μου

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Περιεχόμενα σελ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΙ 5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ: Γενικές Έννοιες 9 Ειδικές Μορφές Πινάκων 9 Διανυσματικές Νόρμες Νόρμες Πινάκων 4 3 Ίχνος Πίνακα 7 4 Παραγοντοποίηση QR 8 5 Παραγοντοποίηση Ιδιαζουσών Τιμών (SVD) 9 6 Αριθμητικό Πεδίο Αριθμητική Ακτίνα 33 7 Διαταραχές Ιδιοτιμών 34 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΕΥΤΕΡΟ: Κανονικοί Πίνακες 37 Η έννοια του κανονικού πίνακα 37 Κανονικότητα και Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα 4 3 Κανονικότητα και Ερμιτιανοί Αντιερμιτιανοί Πίνακες 44 4 Κανονικότητα και Φάσμα Πίνακα 48 5 Κανονικότητα και Πολική Παραγοντοποίηση 50 6 Κανονικότητα και Ιδιάζουσες Τιμές 54 7 Κανονικότητα και Εσωτερικό Γινόμενο 59 8 Λοιπές συνθήκες κανονικότητας 6 9 Παραδείγματα 70 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΡΙΤΟ: Αποστάσεις Από την Κανονικότητα 77 3 Μέτρα Κανονικότητας 77 3 Σύγκριση Μέτρων Κανονικότητας 80 33 Σύγκριση Μέτρων Κανονικότητας Διαγωνοποιήσιμου Πίνακα 97 34 Παραδείγματα 04 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΕΤΑΡΤΟ: Απομάκρυνση Από την Κανονικότητα του Herc 4 Δυνάμεις Πινάκων 4 Κατά Προσέγγιση Λύσεις Γραμμικών Συστημάτων 3 43 Φασματική Μεταβολή Μεταβολή Ιδιοτιμών 4 44 Αριθμητικό Πεδίο () ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 7 ΚΑΝΟΝΙΚΟΤΗΤΑ ΠΙΝΑΚΩΝ ΚΑΙ ΣΥΓΓΕΝΕΙΣ ΑΠΟΣΤΑΣΕΙΣ 9

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 0 ΚΑΝΟΝΙΚΟΤΗΤΑ ΠΙΝΑΚΩΝ ΚΑΙ ΣΥΓΓΕΝΕΙΣ ΑΠΟΣΤΑΣΕΙΣ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η συγγραφή της παρούσας διπλωματικής εργασίας με τίτλο Κανονικότητα Πινάκων και Συγγενείς Αποστάσεις πραγματοποιήθηκε στο πλαίσιο του Μεταπτυχιακού Προγράμματος «Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες» της Σχολής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών του ΕΜ Πολυτεχνείου Πέραν του τυπικού μέρους, αποτελεί μια πρώτη προσπάθεια δημιουργίας γνωστικού υποβάθρου, αλλά και κινήτρου, για την περαιτέρω έρευνα της περιοχής των κανονικών πινάκων και του βαθμού που η απόσταση από την κανονικότητα επηρεάζει τη συμπεριφορά ενός (τυχαίου) τετραγωνικού πίνακα Η επιλογή του θέματος έγινε με κριτήριο το προσωπικό ενδιαφέρον και κυρίως την προοπτική που ανοίγεται από μια ειδική μορφή πινάκων, όπως οι κανονικοί πίνακες Με τους πίνακες αυτούς, όπως επίσης και τις αποστάσεις τυχαίων πινάκων από την κανονικότητα, έχουν ασχοληθεί κατά καιρούς πολλοί μαθηματικοί όπως οι P Herc (96), PJ Eberle (96), G Lozou (969), R Kress, HL de Vres και R Wegma (974), Ruhe (975), L Elser και MHC Paardekooper (987), R Groe, CR Johso, EM Sa και H Wolkowcz (987), B upett και J Zemaek (990), και L Elser και KhD Ikramov (998) Η επιστημονική τους έρευνα αποτέλεσε το ερέθισμα για την σύνταξη της εργασίας αυτής, η οποία με τη σειρά της επιδιώκει μια πλήρη και αυτόνομη παρουσίαση (στο βαθμό του δυνατού) της συγκεκριμένης περιοχής Ειδικότερα, το πρώτο κεφάλαιο έχει βοηθητικό χαρακτήρα Επικεντρώνεται αρχικά στις έννοιες των ερμιτιανών, αντιερμιτιανών, ορθομοναδιαίων, κανονικών, στοχαστικών, διπλά στοχαστικών και εκθετικών πινάκων, καθώς επίσης και στο Θεώρημα του Schur, ένα πολύ εύχρηστο εργαλείο για την διαγωνοποίηση πινάκων (Παράγραφος ) Κατόπιν γίνεται αναφορά στις διανυσματικές νόρμες, στις νόρμες πινάκων και στο ίχνος πίνακα, που θα χρησιμοποιηθούν ευρύτατα στα επόμενα κεφάλαια (Παράγραφοι και 3) Ακολουθούν οι παραγοντοποιήσεις QR, ιδιαζουσών τιμών και πολική, όπως και ο ψευδοαντίστροφος (Moore Perose) (Παράγραφοι 4 και 5) Υπενθυμίζονται οι ορισμοί του αριθμητικού πεδίου και της αριθμητικής ακτίνας, καθώς το ελλειπτικό θεώρημα και το Θεώρημα Toepltz Hausdorf (Παράγραφος 6) Στο τέλος του κεφαλαίου αναφέρονται οι διαταραχές των ιδιοτιμών και το Θεώρημα Bauer ke (Παράγραφος 7) Στο δεύτερο κεφάλαιο, εξετάζεται εκτενέστερα η έννοια του κανονικού πίνακα, βασιζόμενη στη δημοσίευση των R Groe, CR Johso, EM Sa και H Wolkowcz με τίτλο Normal Matrces στο περιοδικό Lear lgebra ad ts pplcatos, 87 (987) 3 5 Αναφέρονται εβδομήντα επτά ικανές και αναγκαίες συνθήκες κανονικότητας Αναλυτικότερα, στην Παράγραφο αναφέρονται έντεκα συνθήκες βασισμένες στον ορισμό του κανονικού πίνακα Στην Παράγραφο, ακολουθούν επτά συνθήκες που συσχετίζονται με τις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα ενός πίνακα ΚΑΝΟΝΙΚΟΤΗΤΑ ΠΙΝΑΚΩΝ ΚΑΙ ΣΥΓΓΕΝΕΙΣ ΑΠΟΣΤΑΣΕΙΣ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στη συνέχεια, και συγκεκριμένα στην Παράγραφο 3, αποδεικνύονται δεκατέσσερις συνθήκες κανονικότητας βασισμένες στην ανάλυση ενός πίνακα σε ερμιτιανό και αντιερμιτιανό μέρος Από την περιγραφή αυτή δεν θα μπορούσε να λείψει ο συνδυασμός κανονικότητας και φάσματος πίνακα (Παράγραφος 4) και συγκεκριμένα τρεις συνθήκες, όπως και ο συνδυασμός κανονικότητας και πολικής παραγοντοποίησης (Παράγραφος 5) με δεκαπέντε συνθήκες Στην Παράγραφο 6 χρησιμοποιούμε την έννοια του πίνακα και των ιδιαζουσών τιμών του για να περιγράψουμε δώδεκα συνθήκες κανονικότητας Εδώ αναφέρεται και αποδεικνύεται το Συμπλεκτικό Θεώρημα Cauchy Στην Παράγραφο 7, επεξεργαζόμαστε πέντε συνθήκες κανονικότητας και εσωτερικού γινομένου και στην Παράγραφο 8 αναφέρονται έντεκα επιπλέον γενικευμένες συνθήκες βασισμένες στην δημοσίευση των L Elser και KhD Ikramov με τίτλο Normal Matrces: update στο περιοδικό Lear lgebra ad ts pplcatos, 85 (998) 9 303 Το κεφάλαιο τελειώνει με παραδείγματα για τις βασικότερες συνθήκες κανονικότητας, ώστε να γίνουν κατανοητές οι έννοιες Το τρίτο κεφάλαιο βασίζεται στην δημοσίευση των L Elser και MHC Paardekooper με τίτλο O Measures of Noormalty of Matrces στο περιοδικό Lear lgebra ad ts pplcatos 9 (987) 07 4 και χωρίζεται σε τέσσερις υποπαραγράφους Στην Παράγραφο 3 ορίζονται έντεκα μέτρα κανονικότητας, ή όπως αναφέρονται στην δημοσίευση, αποστάσεις από την κανονικότητα Τα μέτρα αυτά θα μας φανούν χρήσιμα στην Παράγραφο 3 όπου θα τα συγκρίνουμε μεταξύ τους με δεκαέξι ανισότητες Στην παράγραφο αυτή αναφέρονται και αποδεικνύονται το Θεώρημα Kress De Vres Wegma, το Θεώρημα Brkhoff και το Θεώρημα Hoffma Weladt, τα οποία χρησιμοποιούνται για τις αποδείξεις των δεκαέξι ανισοτήτων Στην συνέχεια, και συγκεκριμένα στην Παράγραφο 33, αναφέρονται πέντε νέες ανισότητες για διαγωνοποιήσιμους πίνακες Όπως και πριν, επικουρικά αναφέρονται και αποδεικνύονται, η ανισότητα Katorovch, η ανισότητα και το Θεώρημα Smth Το κεφάλαιο κλείνει με παραδείγματα, στην Παράγραφο 34, από τα μέτρα κανονικότητας και από τις βασικότερες ανισότητες Στο τέταρτο και τελευταίο κεφάλαιο εστιάζουμε στην απομάκρυνση από την κανονικότητα κατά Herc και στην ανισότητα 3 που βασίζεται στην δημοσίευση του P Herc με τίτλο Bouds for Iterates, Iverses, Spectral Varato ad elds of Values of No Normal Matrces, στο περιοδικό Numersche Mathematk, 4 (96) 4 40 Αρχικά ορίζονται οι εκθετικοί πίνακες (Παράγραφο 4), όπως και οι βασικές τους ιδιότητες, και στη συνέχεια (Παράγραφο 4), περιγράφονται οι προσεγγιστικές λύσεις γραμμικών συστημάτων Στην επόμενη παράγραφο (Παράγραφος 43) ορίζονται η φασματική μεταβολή και η μεταβολή ιδιοτιμών, δύο έννοιες που συσχετίζουν τις ιδιοτιμές δύο διαφορετικών πινάκων Στη συνέχεια δίνονται φράγματα για την φασματική μεταβολή και για την μεταβολή ιδιοτιμών, καθώς επίσης και παραδείγματα για την καλύτερη κατανόηση τους Στην τελευταία παράγραφο 44, μελετάμε την απόσταση του αριθμητικού πεδίου από την κυρτή θήκη των ιδιοτιμών και την απομάκρυνση από την κανονικότητα, με τη χρήση της ΚΑΝΟΝΙΚΟΤΗΤΑ ΠΙΝΑΚΩΝ ΚΑΙ ΣΥΓΓΕΝΕΙΣ ΑΠΟΣΤΑΣΕΙΣ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ robeous νόρμας Αναφέρεται δύο πολύ σημαντικά Θεωρήματα 44 και 44 που μας βοηθούν να κατανοήσουμε ότι το αριθμητικό πεδίο ενός πίνακα περιέχεται στην κυρτή θήκη των ιδιοτιμών, η οποία είναι έλλειψη με εστίες δύο από αυτές και μικρό ημιάξονα το ένα δεύτερο της απομάκρυνσης μεγίστου αθροίσματος γραμμών p Τελειώνοντας, πρέπει να αναφερθεί πώς, οι κανονικοί πίνακες μπορούν να επεκταθούν σε κανονικούς τελεστές σε απειροδιάστατους χώρους Hlbert και σε κανονικά στοιχεία σε C Άλγεβρες Μιχαήλ Ο Ροκίδης Δεκέμβριος 00 ΚΑΝΟΝΙΚΟΤΗΤΑ ΠΙΝΑΚΩΝ ΚΑΙ ΣΥΓΓΕΝΕΙΣ ΑΠΟΣΤΑΣΕΙΣ 3

ΕΙΣΑΓΩΓΗ 4 ΚΑΝΟΝΙΚΟΤΗΤΑ ΠΙΝΑΚΩΝ ΚΑΙ ΣΥΓΓΕΝΕΙΣ ΑΠΟΣΤΑΣΕΙΣ

ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΙ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΙ Σώμα πραγματικών αριθμών Σώμα μιγαδικών αριθμών Σώμα (συνήθως ή ) Σώμα πραγματικών διανυσμάτων συντεταγμένων Σώμα μιγαδικών διανυσμάτων συντεταγμένων Σώμα πραγματικών πινάκων Σώμα μιγαδικών πινάκων, B b κα Πίνακες μιγαδικοί ή πραγματικοί, Μηδενικός πίνακας I, I Μοναδιαίος πίνακας Αντίστροφος του πίνακα Α Πίνακας με τα συζυγή στοιχεία του Α Ανάστροφος του πίνακα Α, Αναστροφοσυζυγής του πίνακα Α Ψευδοαντίστροφος (Moore Perose) του πίνακα Α H Ερμιτιανό μέρος του πίνακα Α K Αντιερμιτιανό μέρος του πίνακα Α ad Συμπληρωματικός (προσαρτημένος) πίνακας r Εκθετικός πίνακας U, V, W Ορθομοναδιαίος πίνακας x, yz, Διάνυσμα στήλη Τετραγωνική ρίζα θετικά ημιορισμένου πίνακα tr Ίχνος πίνακα Α T Άνω τριγωνικός πίνακας D Διαγώνιος πίνακας dag,,, Διαγώνιος πίνακας, με κύρια διαγώνιο τις ιδιοτιμές t e Εκθετικός πίνακας P I uu uu Πίνακας Hauseholder rak Βαθμός (τάξη) πίνακα Φάσμα πίνακα Φασματική ακτίνα Ιδιοτιμή πίνακα Re Πραγματικό μέρος Im Φανταστικό μέρος ΚΑΝΟΝΙΚΟΤΗΤΑ ΠΙΝΑΚΩΝ ΚΑΙ ΣΥΓΓΕΝΕΙΣ ΑΠΟΣΤΑΣΕΙΣ 5

ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΙ Ιδιάζουσα τιμή πίνακα Α E Πίνακας διαταραχής \ Ιδιοτιμή διαταραγμένου πίνακα 0 0 Πίνακας p r Αριθμητικό πεδίο πίνακα Α Αριθμητική ακτίνα πίνακα Α p Πολυώνυμο βαθμού p I Co W spa x Κυρτή θήκη Παραγόμενος χώρος από το διάνυσμα x W Το ορθογώνιο συμπλήρωμα του W k uv, Ευθύ άθροισμα Ευθύ γινόμενο (Kroeker)! Ανάπτυγμα k! k! Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων u, v, Διανυσματική νόρμα, νόρμα πινάκων διανυσματική νόρμα, νόρμα μεγίστου αθροίσματος στηλών πίνακα διανυσματική νόρμα, ευκλείδεια (φασματική) νόρμα πίνακα robeous νόρμα πίνακα διανυσματική νόρμα, νόρμα μεγίστου αθροίσματος γραμμών πίνακα dag,,, max axs oreted νόρμα, προσανατολισμένη κατά,, άξονα νόρμα Δείκτης κατάστασης πίνακα, τυχαίας νόρμας Δείκτης κατάστασης πίνακα, ευκλείδειας νόρμας Δείκτης κατάστασης πίνακα, robeous νόρμας x y Δείκτης κατάστασης ιδιοτιμής λ y x C, Αντιμεταθετής του πίνακα Α Αποστάσεις από την κανονικότητα ως προς 3, 9 Αποστάσεις από την κανονικότητα ως προς 3, Απομάκρυνση κατά Herc ως προς 3, Απομάκρυνση κατά Herc ως προς Απομάκρυνση κατά Herc ως προς 6 ΚΑΝΟΝΙΚΟΤΗΤΑ ΠΙΝΑΚΩΝ ΚΑΙ ΣΥΓΓΕΝΕΙΣ ΑΠΟΣΤΑΣΕΙΣ

ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΙ maxm B s s B Φασματική μεταβολή του Β σε σχέση με τον Α, m max p p Μεταβολή ιδιοτιμών του Β σε σχέση με τον Α,, Έλλειψη με εστίες, και μικρό άξονα α ΚΑΝΟΝΙΚΟΤΗΤΑ ΠΙΝΑΚΩΝ ΚΑΙ ΣΥΓΓΕΝΕΙΣ ΑΠΟΣΤΑΣΕΙΣ 7

ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΙ 8 ΚΑΝΟΝΙΚΟΤΗΤΑ ΠΙΝΑΚΩΝ ΚΑΙ ΣΥΓΓΕΝΕΙΣ ΑΠΟΣΤΑΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ: ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ Γενικές Έννοιες Σκοπός του πρώτου κεφαλαίου της εργασίας είναι να αναφερθούν περεταίρω βασικές έννοιες και αποτελέσματα, τόσο της Γραμμικής Άλγεβρας, όσο και της Ανάλυσης (Λογισμού) Πινάκων Οι στοιχειώδεις έννοιες και αποτελέσματα της Γραμμικής Άλγεβρας, για τις οποίες ο αναγνώστης μπορεί να ανατρέξει σε ένα οποιοδήποτε βιβλίο Γραμμικής Άλγεβρας προπτυχιακού επιπέδου, έχουν παραληφθεί Ειδικές Μορφές Πινάκων Ξεκινώντας το κεφάλαιο αυτό, σημειώνουμε ότι θα ασχοληθούμε με τετραγωνικούς πίνακες και πως συμβολίζουμε το σύνολο των μιγαδικών τετραγωνικών πινάκων το σύνολο Το σύνολο των πραγματικών τετραγωνικών πινάκων θα συμβολίζεται με Ορισμός (Ερμιτιανός Πίνακας) Ο πίνακας ισχύει: λέγεται ερμιτιανός αν, όπου ο αναστροφοσυζυγής Αν, τότε ο πίνακας Α λέγεται συμμετρικός αν ισχύει: Σε κάθε περίπτωση ο πίνακας Α καλείται αυτοσυζυγής Ορισμός (Αντιερμιτιανός Πίνακας) Ο πίνακας αν ισχύει: λέγεται αντιερμιτιανός Αν, τότε ο πίνακας Α λέγεται αντισυμμετρικός αν ισχύει: Παρατήρηση Κάθε ερμιτιανός πίνακας Α έχει τα στοιχεία της κύριας διαγωνίου πραγματικούς αριθμούς και κάθε ζεύγος συμμετρικών ως προς την κύρια διαγώνιο, συζυγείς Δηλαδή και,,,,, Αν ο Α είναι συμμετρικός τότε ο Α έχει τα στοιχεία της κύριας διαγωνίου πραγματικούς αριθμούς και κάθε ζεύγος συμμετρικών ως προς την κύρια διαγώνιο, ίσο Δηλαδή και,,,,, ΚΑΝΟΝΙΚΟΤΗΤΑ ΠΙΝΑΚΩΝ ΚΑΙ ΣΥΓΓΕΝΕΙΣ ΑΠΟΣΤΑΣΕΙΣ 9

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ: ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Αντίστοιχα αν ο πίνακας Α είναι αντιερμιτιανός, τότε έχει τα στοιχεία της κύριας διαγωνίου φανταστικούς αριθμούς και κάθε ζεύγος συμμετρικών ως προς την κύρια διαγώνιο, αντίθετους και συζυγείς Δηλαδή και,,,,, Αν ο Α είναι αντισυμμετρικός τότε ο Α έχει τα στοιχεία της κύριας διαγωνίου φανταστικούς αριθμούς και κάθε ζεύγος συμμετρικών ως προς την κύρια διαγώνιο, αντίθετο Δηλαδή, και,,,,, Πρόταση (Ιδιότητες Ερμιτιανού Πίνακα) 3 B B 4 5 Αν B B 6 Κάθε πίνακας, τότε οι πίνακες,,, μπορεί να γραφεί ως εξής:, είναι ερμιτιανοί H K, όπου H το ερμιτιανό μέρος και K το αντιερμιτιανό μέρος Συνεπώς ο πίνακας K είναι ερμιτιανός Θεώρημα Οι ιδιοτιμές ενός ερμιτιανού πίνακα είναι πραγματικές, ενώ οι ιδιοτιμές ενός αντιερμιτιανού πίνακα είναι μιγαδικές Θεώρημα Τα ιδιοδιανύσματα ενός ερμιτιανού πίνακα που αντιστοιχούν σε διαφορετικές ιδιοτιμές, είναι κάθετα μεταξύ τους Ορισμός 3 (Ορθομοναδιαίος Πίνακας) Ο πίνακας λέγεται ορθομοναδιαίος (ή μοναδιαίος) αν ισχύει: Αν ο πίνακας, τότε ο πίνακας Α λέγεται ορθογώνιος αν ισχύει: Θεώρημα 3 Οι ιδιοτιμές ενός ορθομοναδιαίου πίνακα έχουν μέτρο Θεώρημα 4 Τα ιδιοδιανύσματα ενός ορθομοναδιαίου πίνακα που αντιστοιχούν σε διαφορετικές ιδιοτιμές, είναι κάθετα μεταξύ τους Θεώρημα 5 (Schur) Για κάθε υπάρχει ορθομοναδιαίος πίνακας P τέτοιος ώστε PPT, όπου ο Τ είναι άνω τριγωνικός πίνακας 0 ΚΑΝΟΝΙΚΟΤΗΤΑ ΠΙΝΑΚΩΝ ΚΑΙ ΣΥΓΓΕΝΕΙΣ ΑΠΟΣΤΑΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ: ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Έστω x ιδιοδιάνυσμα του Α που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή, με (μοναδιαίο) Από το x παράγουμε μία ορθοκανονική βάση του x, u, u,, u U u u P x U είναι ορθομοναδιαίος I U x 0 είναι ορθογώνιο προς τα u,,,, Συνεπώς,, και θεωρούμε τον πίνακα x x, έστω η Ο πίνακας PP και επειδή το διάνυσμα x x x x P P x U x U x U U U U x x x U x U, U x U U 0 U U αφού x x και U x Τα διανύσματα x U δεν είναι μηδενικά Για τον πίνακα 0 U U που έχει τις ιδιοτιμές 3 την ίδια ακριβώς διαδικασία, και προκύπτει ένας ώστε,,,, επαναλαμβάνουμε πίνακας τέτοιος Q όπου ο x U 0 U U Q Q U U είναι ένα πίνακας με ιδιοτιμές τις 3 3, 4,, 0 Ορίζουμε τον ορθομοναδιαίο πίνακα 0 Q Επαγωγικά, ορίζουμε τους πίνακες Q,, 3 Q και τους ορθομοναδιαίους P3,, P με, Q Q 0 x U U U και P I 0 0 Q, 3,, Τελικά προκύπτει ότι τριγωνικός PP T, όπου P PP P και ο πίνακας Τ είναι άνω Πόρισμα (Διαγωνοποίηση Ερμιτιανών Πινάκων) Για κάθε Α ερμιτιανό πίνακα με ιδιοτιμές,,,, υπάρχει ορθομοναδιαίος πίνακας Ρ έτσι ώστε PP D όπου D dag,,, ΚΑΝΟΝΙΚΟΤΗΤΑ ΠΙΝΑΚΩΝ ΚΑΙ ΣΥΓΓΕΝΕΙΣ ΑΠΟΣΤΑΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ: ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Προκύπτει άμεσα από το Θεώρημα του Schur Παρατήρηση Τα διαγώνια στοιχεία του Τ είναι οι ιδιοτιμές του Α Ωστόσο οι στήλες του Ρ, εκτός της πρώτης, δεν είναι εν γένει ιδιοδιανύσματα του Α Αυτές ονομάζονται διανύσματα Schur Παρατήρηση 3 Σύμφωνα με το Θεώρημα 6 και την Παρατήρηση μπορούμε να θεωρήσουμε ότι κάθε μιγαδικός πίνακας μπορεί να αναλυθεί ως άθροισμα ενός διαγώνιου πίνακα D με στοιχεία της ιδιοτιμές του και ενός αυστηρά άνω τριγωνικού πίνακα M, δηλαδή D M Ορισμός 4 (Κανονικός Πίνακας) Ένας πίνακας (ormal) όταν ικανοποιεί την σχέση: καλείται κανονικός Ένας πίνακας καλείται κανονικός αν και μόνο αν t t Παρατήρηση 4 Οι ερμιτιανοί, οι αντιερμιτιανοί και οι ορθομοναδιαίοι πίνακες είναι κανονικοί Στο παρακάτω σχήμα μπορούμε να διακρίνουμε τους πραγματικούς κανονικούς πίνακες, Συμμετρικοί Ιδιοτιμές στο Ορθογώνιοι Ιδιοτιμές μέτρου Αντισυμμετρικοί Ιδιοτιμές στο Κανονικοί Πραγματικοί Πίνακες και στο επόμενο τους μιγαδικούς κανονικούς πίνακες Ερμιτιανοί Ιδιοτιμές στο Ορθομοναδιαίοι Ιδιοτιμές μέτρου Αντιερμιτιανοί Ιδιοτιμές στο Κανονικοί Μιγαδικοί Πίνακες ΚΑΝΟΝΙΚΟΤΗΤΑ ΠΙΝΑΚΩΝ ΚΑΙ ΣΥΓΓΕΝΕΙΣ ΑΠΟΣΤΑΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ: ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Ορισμός 5 (Στοχαστικός Πίνακας) Ένας μη αρνητικός πίνακας στοχαστικός αν το άθροισμα σε κάθε γραμμή του (ή στήλη) είναι λέγεται Ορισμός 6 (Διπλά Στοχαστικός Πίνακας) Ένας μη αρνητικός πίνακας λέγεται διπλά στοχαστικός αν οι πίνακες και είναι στοχαστικοί Δηλαδή, αν το άθροισμα κάθε γραμμής αλλά και στήλης του πίνακα Α είναι Πρόταση Τα σύνολα των στοχαστικών και των διπλά στοχαστικών πινάκων είναι κυρτά και συμπαγή Ορισμός 7 (Συνάρτηση Πίνακα που Ορίζεται με Δυναμοσειρά) Έστω f μία συνάρτηση η οποία αναπαρίσταται με δυναμοσειρά ως προς λ, κέντρου 0 και ακτίνας σύγκλισης ρ Τότε έχουμε: f Αν Α είναι ένας μιγαδικός (ή πραγματικός) πίνακας του οποίου κάθε ιδιοτιμή λ ικανοποιεί την σχέση, τότε ορίζουμε: f t Αν η συνάρτηση f t e είναι αναλυτική για κάθε t, συνεπώς έχει μία αναπαράσταση με δυναμοσειρά, δηλαδή e t k k k t k k 0! Αν τώρα Α είναι ένας πίνακας κατ αντιστοιχία προς την συνάρτηση t έχουμε για την συνάρτηση e, του πίνακα Α t e θα e t k k k t k k 0! Αν Α είναι ένας πίνακας, ο e πίνακας ορίζεται ως εξής: e I!!! Επιπλέον, είναι e e e, όταν B B B B ΚΑΝΟΝΙΚΟΤΗΤΑ ΠΙΝΑΚΩΝ ΚΑΙ ΣΥΓΓΕΝΕΙΣ ΑΠΟΣΤΑΣΕΙΣ 3

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ: ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Διανυσματικές Νόρμες Νόρμες Πινάκων Ένα από τα σημαντικότερα εργαλεία των μαθηματικών αποτελούν οι διανυσματικές νόρμες και οι νόρμες πινάκων Στο κεφάλαιο αυτό θα δώσουμε αναφορά σ αυτές, με δεδομένο ότι αποτελούν ένα ιδιαιτέρα χρήσιμο εργαλείο έρευνας για την γραμμική άλγεβρα και για τους πίνακες Ορισμός (Διανυσματική Νόρμα) Έστω V ένας διανυσματικός χώρος επί ενός σώματος :V :x x 0 (= ή ) Μία απεικόνιση ονομάζεται διανυσματική νόρμα (orm), αν ικανοποιεί τις επόμενες ιδιότητες: x 0, για κάθε x V, x 0 και 0 0 Για κάθε, x V ισχύει: x x 3 Για κάθε xy, V ισχύει: x y x y (τριγωνική ανισότητα) x x Επειδή ο (και ο ) είναι διανυσματικοί χώροι διάσταση, το μέγεθος ενός x x πίνακα ( )μπορεί να μετρηθεί με την χρήση μιας διανυσματικής νόρμας x x επί του ( ) Επιπλέον, ο (και ο ) δεν είναι ένας διανυσματικός χώρος μεγάλης διάστασης ( ), αλλά επιπλέων έχει μεταξύ των στοιχείων του μία πράξη πολλαπλασιασμού που καθιστά μία εκτίμηση που να συνδέει το μέγεθος του B με τα μεγέθη των και B Ορισμός (Νόρμα Πινάκων) Μία συνάρτηση x 0 x : :, x x ονομάζεται νόρμα πινάκων, αν για κάθε B, ( ) ικανοποιεί τα επόμενα τέσσερα αξιώματα: 0 και 0 αν και μόνο αν c c, με c 3 B B, Τριγωνική Ανισότητα 4 B B, Υποπολλαπλασιαστικότητα Παρατήρηση Οι ιδιότητες 3 είναι ίδιες με τις ιδιότητες της διανυσματικής x x νόρμας Άρα μια διανυσματική νόρμα ορισμένη επί του (ή ) μπορεί να θεωρηθεί σαν διανυσματικό χώρο διάσταση, που ικανοποιεί τα Αξιώματα 3 και ονομάζεται Γενικευμένη Νόρμα Πινάκων Αν επιπλέων που ικανοποιεί το Αξίωμα 4 ονομάζεται Νόρμα Πινάκων 4 ΚΑΝΟΝΙΚΟΤΗΤΑ ΠΙΝΑΚΩΝ ΚΑΙ ΣΥΓΓΕΝΕΙΣ ΑΠΟΣΤΑΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ: ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Γνωστές νόρμες πινάκων είναι οι νόρμες,,,, που θα αναφέρουμε αναλυτικά στην συνέχεια Ορισμός 3 (Νόρμα Μεγίστου Αθροίσματος Στηλών ) Για κάθε τετραγωνικό πίνακα, η νόρμα μεγίστου αθροίσματος στηλών ορίζεται ως εξής: Η νόρμα μεγίστου αθροίσματος στηλών, επάγεται από την διανυσματική νόρμα Ορισμός 4 (Νόρμα Μεγίστου Αθροίσματος Γραμμών ) Για κάθε τετραγωνικό πίνακα, η νόρμα μεγίστου αθροίσματος γραμμών ορίζεται ως εξής: Η νόρμα μεγίστου αθροίσματος γραμμών, επάγεται από την διανυσματική νόρμα Ορισμός 5 (Ευκλείδεια ή Φασματική Νόρμα ) Για κάθε τετραγωνικό πίνακα, η Ευκλείδεια νόρμα ορίζεται ως εξής: x0 x x max xx Η Ευκλείδεια νόρμα, επάγεται από την διανυσματική νόρμα Παρατήρηση Η Ευκλείδεια νόρμα, όπως θα δούμε και στην Παράγραφο 5 ορίζεται και ως την μέγιστη ιδιάζουσα τιμή του πίνακα Δηλαδή max : Ορισμός 6 (robeous Νόρμα, η robeous νόρμα ορίζεται ως εξής: ) Για κάθε τετραγωνικό πίνακα, ΚΑΝΟΝΙΚΟΤΗΤΑ ΠΙΝΑΚΩΝ ΚΑΙ ΣΥΓΓΕΝΕΙΣ ΑΠΟΣΤΑΣΕΙΣ 5

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ: ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Ορισμός 7 (Νόρμα Αθροίσματος Στοιχείων πίνακα, η νόρμα αθροίσματος στοιχείων ορίζεται ως εξής: p ) Για κάθε τετραγωνικό p, Ορισμός 8 Έστω μία διανυσματική νόρμα επί του την συνάρτηση Ορίζουμε επί του x : 0 : max x max x x 0 x Η συνάρτηση αυτή είναι καλά ορισμένη, επειδή η x είναι συνεχής συνάρτηση ως B= είναι συμπαγές προς x και το σύνολο x : x Θεώρημα Η συνάρτηση που ορίσαμε προηγούμενος, στον Ορισμό 8 είναι μία νόρμα πινάκων επί του Επιπλέον ισχύει ότι x x, για κάθε και για κάθε x Ορισμός 9 Έστω ένας τετραγωνικός πίνακας Η ποσότητα, αν ο είναι αντιστρέψιμος,, διαφορετικά ονομάζεται δείκτης κατάστασης (codto umber) του πίνακα Α Παρατήρηση 3 Ο δείκτης κατάστασης ενός τετραγωνικού πίνακα παίρνει τιμές μεγαλύτερες ή ίσες με το ένα Δηλαδή, I Παρατήρηση 4 Αν ο δείκτης κατάστασης ενός τετραγωνικού πίνακα είναι μικρός, δηλαδή πλησίον του ένα, λέμε ότι ο πίνακας Α έχει καλή κατάσταση Αν ο πίνακας Α είναι μεγάλος λέμε τότε ότι ο πίνακας έχει κακή κατάσταση και αν έχει δείκτη κατάστασης ένα θα λέμε πως έχει ιδανική κατάσταση Πίνακες με ιδανική κατάσταση είναι οι ορθομοναδιαίοι πίνακες Πρόταση Έστω ένας τετραγωνικός αντιστρέψιμος πίνακας Τότε ισχύει 6 ΚΑΝΟΝΙΚΟΤΗΤΑ ΠΙΝΑΚΩΝ ΚΑΙ ΣΥΓΓΕΝΕΙΣ ΑΠΟΣΤΑΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ: ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Έστω ότι ο αντιστρέψιμος πίνακας Α έχει δείκτη κατάστασης και ο αντίστροφος του, Άρα Πρόταση Έστω οι τετραγωνικοί αντιστρέψιμοι πίνακες B, Τότε ισχύει B B Έστω ότι ο αντιστρέψιμοι πίνακες Α, Β έχουν δείκτη κατάστασης B B B B B B B B 3 Ίχνος Πίνακα Ορισμός 3 (Ίχνος Πίνακα) Έστω ένας πίνακας Α Ονομάζουμε ίχνος του πίνακα και συμβολίζουμε με tr το άθροισμα των στοιχείων της κύριας διαγωνίου, δηλαδή τον αριθμό tr Πρόταση 3 (Ιδιότητες Ίχνους Πίνακα) tr B tr tr B,, Γραμμικότητα: tr B tr B k k 3 Γενικότερα tr p tr, όπου p 4 tr tr p μία οποιαδήποτε μετάθεση 5 Αν δύο πίνακες Bείναι, όμοιοι τότε έχουν ίσα ίχνη, δηλαδή υπάρχει αντι- στρέψιμος πίνακας P τέτοιος ώστε B P Pκαι tr B tr P P tr ΚΑΝΟΝΙΚΟΤΗΤΑ ΠΙΝΑΚΩΝ ΚΑΙ ΣΥΓΓΕΝΕΙΣ ΑΠΟΣΤΑΣΕΙΣ 7

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ: ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 4 Παραγοντοποίηση Πίνακα QR Η παραγοντοποίηση QR έχει δύο μορφές Την απλή παραγοντοποίηση QR και την πλήρη παραγοντοποίηση QR Ξεκινώντας με την απλή παραγοντοποίηση QR έχουμε Θεώρημα 4 (Απλή Παραγοντοποίηση QR) Αν u u u,,, ένας m μιγαδικός πίνακας με στήλες γραμμικά ανεξάρτητα διανύσματα, τότε ο Α μπορεί να γραφεί ως γινόμενο πινάκων της μορφής QR, όπου ο Q ένας m ορθομοναδιαίος πίνακας με στήλες τα ορθοκανονικά διανύσματα, δηλαδή Q q, q,, q, όπου q, q,, q τα ορθοκανονικοποιημένα διανύσματα κατά την μέθοδο Gram Schmdt, και R ένας αντιστρέψιμος άνω τριγωνικός πίνακας με στοιχεία τους συντελεστές της ορθοκανονικοποίησης αυτής, δηλαδή R u, q u, q u, q 0 u, q u, q 0 0 u, q Για την πλήρη παραγοντοποίηση QR αρχικά θα δώσουμε τον παρακάτω ορισμό Ορισμός 4 (Πίνακα Householder ή Πίνακα Αντανάκλασης) Έστω ένα διάνυσμα u Ο μιγαδικός πίνακας P I uu καλείται πίνακας uu Householder (Αντανάκλασης), ενώ το διάνυσμα u λέγεται διάνυσμα Householder που αντιστοιχεί στον πίνακα Ρ Θεώρημα 4 (Πλήρης Παραγοντοποίησης QR) Αν u u u,,, ένας m μιγαδικός πίνακας με στήλες γραμμικός ανεξάρτητα διανύσματα, τότε ο Α μπορεί να γραφτεί ως γινόμενο πινάκων της μορφής QR όπου ο Q ένας ορθομοναδιαίος πίνακας της μορφής Im 0 I 0 0 Q P 0 P m 0 P 3 0 P 8 ΚΑΝΟΝΙΚΟΤΗΤΑ ΠΙΝΑΚΩΝ ΚΑΙ ΣΥΓΓΕΝΕΙΣ ΑΠΟΣΤΑΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ: ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ όπου P,,,, m, πίνακες Hauseholder (ανάκλασης) και R ένας m άνω τριγωνικός πίνακας της μορφής 0 0 0 I 0 I 0 0 m R 0 0 0 P 0 P m 0 P 3 0 P 0 0 0 0 0 0 0 0 Παρατήρηση 4 Στην περίπτωση των τετραγωνικών πινάκων η απλή παραγοντοποίηση QR και η πλήρης παραγοντοπίηση QR ταυτίζονται Ακόμα πρέπει να σημειωθεί ότι η ορθοκανονικοποίηση Gram Schmds μπορεί να οδήγηση σε πλήρη παραγοντοποίηση QR αρκεί να επεκτείνουμε το ορθοκανονικό σύστημα m q, q,, qm σε ορθοκανονική βάση του και να προσθέσουμε m μηδενικές γραμμές στο κάτω μέρος τοθ πίνακα R Στην περίπτωση αυτή η παραγοντοποίηση QR δεν είναι μοναδική 5 Παραγοντοποίηση Ιδιαζουσών Τιμών (SVD) Η παραγοντοποίηση ιδιαζουσών τιμών είναι γνωστή και ως Sgular Values Decomposto Εμείς θα χρησιμοποιούμε την ονομασία SVD για την παραγοντοποίηση αυτή Ορισμός 5 (Ιδιάζουσες Τιμές Πίνακα) Έστω ένας τετραγωνικός πίνακας Ονομάζουμε ιδιάζουσα τιμή με,,,, του πίνακα Α την τιμή,,,,, όπου,,,, ε ίναι οι ιδιοτιμές του πίνακα Οι ιδιάζουσες τιμές συνήθως διατάσσονται σε φθίνουσα σειρά, δηλαδή 0 Θεώρημα 5 Αν Α είναι m μιγαδικός πίνακας, τότε υπάρχουν ορθομοναδιαίοι mm πίνακες U u u u και V v v v m τέτοιοι ώστε ΚΑΝΟΝΙΚΟΤΗΤΑ ΠΙΝΑΚΩΝ ΚΑΙ ΣΥΓΓΕΝΕΙΣ ΑΠΟΣΤΑΣΕΙΣ 9

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ: ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ,,, 0 0 0 0 0 0 Udag m m, V U V U V 0 0 r 0 όπου m και rak r m, 0 0 0 0 0, οι ιδιάζουσες τιμές του πίνακα, με, Παρατήρηση 5 Από το Θεώρημα 5 είναι φανερό πώς η Ευκλείδεια νόρμα είναι ίση με την μέγιστη ιδιάζουσα τιμή Δηλαδή, Ακόμα η νόρμα robeous του πίνακα Α μπορεί να γραφτεί ως εξής, m m,, Θεώρημα 5 Έστω B, δύο πλήρως συνεχείς τελεστές, σε ένα χώρο Hlbert H Αν,,, B B και ισχύουν είναι οι ιδιοτιμές των τελεστών, B B, B B αντίστοιχα, τότε για κάθε δύο μη αρνητικούς ακεραίους m m m, () () m m Έστω x, y δύο πλήρως ορθοκανονικά σύνολα, τέτοια ώστε x και x, με,, B By y Έστω B WH η πολική παραγοντοποίηση του πίνακα B, όπου ο πίνακας Η είναι η μή αρνητική τετραγωνική ρίζα του B B και ο πίνακας W είναι μερικά ισομετρικός Για κάθε z H, έχουμε ότι Hz, z W Bz, z Wz, WzB Bz z, 30 ΚΑΝΟΝΙΚΟΤΗΤΑ ΠΙΝΑΚΩΝ ΚΑΙ ΣΥΓΓΕΝΕΙΣ ΑΠΟΣΤΑΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ: ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Αν για το z έχουμε z, zw, x 0 με 0 m ισχύει ότι, Άρα, τελικά θα έχουμε και Wz, Wz Wz m m και BBzz, m Hz, z Wz, Wz B Bz, z m z, y 0 με 0 τότε Αν τώρα εφαρμόσουμε το mmum και το maxmum θα έχουμε το συμπέρασμα Η σχέση () αποδεικνύεται όμοια Πόρισμα 5 Έστω οι πίνακας B, ιδιάζουσες τιμές του, με και,,, 0 Τότε θα ισχύει B B οι (3) B B (4) Ορισμός 5 (Πολική Παραγοντοποίηση Πίνακα) Κάθε τετραγωνικός πίνακας γράφεται VP, όπου V ορθομοναδιαίος και Ρ ερμιτιανός, με P P P ή PV Παρατήρηση 5 Κάθε m μορφή, με PV μιγαδικός πίνακας P P P U V U U UV U U UV PW, μπορεί να γραφτεί στην όπου ο πίνακας PUU είναι ερμιτιανός, θετικά ημιορισμένος και rak P rak, ενώ ο πίνακας W UV είναι ορθομοναδιαίος Δηλαδή έχουμε την πολική παραγοντοποίηση πίνακα Αν τώρα ο μιγαδικός πίνακας είναι τετραγωνικός, τότε θα ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις ΚΑΝΟΝΙΚΟΤΗΤΑ ΠΙΝΑΚΩΝ ΚΑΙ ΣΥΓΓΕΝΕΙΣ ΑΠΟΣΤΑΣΕΙΣ 3

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ: ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Udag,,, U m m, όπου τα ιδιοδιανύσματα u, u,, u του, ονομάζονται αριστερά ιδιοδιανύσματα του Α Και, Vdag,,, V m m, όπου τα ιδιοδιανύσματα v, v,, v του, ονομάζονται δεξιά ιδιοδιανύσματα του Α Παρατήρηση 53 (Αντιστρόφος ως προς SVD) Αν ο τετραγωνικός πίνακας Α είναι αντιστρέψιμος τότε ο αντίστροφος του -, με την βοήθεια της παραγοντοποίησης SVD μπορεί να γραφτεί ως εξής,,,,, Vdag U V U Ορισμός 53 (Ψευδοαντίστροφος Πίνακας, Moore Perose) Έστω ένας πίνακας Α με παραμετροποίηση SVD, όπου U,V ορθομοναδιαίοι πίνακες, ώστε m 0 0 0 0 0 0 U V UV 0 0 r 0 0 0 0 0, με rak r, και,, ιδιάζουσες τιμές του Α Ορίζουμε ως (Moore Perose) ψευδοαντίστροφο του πίνακα Α, τον m πίνακα 0 0 0 0 0 0 V U V U 0 0 r 0 0 0 0 0 Πρόταση 5 (Ιδιότητες Ψευδοαντίστροφου Πίνακα) Γενικά, ισχύουν: 3 Οι πίνακες και είναι ερμιτιανοί 3 ΚΑΝΟΝΙΚΟΤΗΤΑ ΠΙΝΑΚΩΝ ΚΑΙ ΣΥΓΓΕΝΕΙΣ ΑΠΟΣΤΑΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ: ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 6 Αριθμητικό Πεδίο Αριθμητική Ακτίνα Ορισμός 6 (Αριθμητικό Πεδίο Πίνακα) Έστω ένας τετραγωνικός πίνακας Α Ονομάζουμε Αριθμητικό πεδίο (Numercal Rage ή eld of Values) του πίνακα και συμβολίζουμε με το σύνολο :, x x x x x Ορισμός 6 (Αριθμητική Ακτίνα Πίνακα) Έστω ένας τετραγωνικός πίνακας Α Ονομάζουμε αριθμητικό ακτίνα (umercal radous) του πίνακα και συμβολίζουμε με r το σύνολο max : r z z Πρόταση 6 (Συμπάγεια) Για κάθε τετραγωνικό πίνακα, το αριθμητικό πεδίο είναι ένα συμπαγές υποσύνολο του Πρόταση 6 Για κάθε τετραγωνικό πίνακα και, ισχύουν και I Πρόταση 63 Για κάθε τετραγωνικό πίνακα, ισχύουν H Re και K Im όπου το Im περιλαμβάνει την φανταστική μονάδα Ορισμός 63 (Φάσμα Πίνακα) Έστω ένας τετραγωνικός πίνακας Α Ονομάζουμε Φάσμα του πίνακα, το σύνολο των ιδιοτιμών του και το συμβολίζουμε Δηλαδή I :det 0 Πρόταση 64 Για κάθε τετραγωνικό πίνακα, το φάσμα, περιέχεται στο αριθμητικό πεδίο Δηλαδή Πρόταση 65 (Υποπροσθετικότητα) Για κάθε τετραγωνικούς πίνακες, B ισχύει B B ΚΑΝΟΝΙΚΟΤΗΤΑ ΠΙΝΑΚΩΝ ΚΑΙ ΣΥΓΓΕΝΕΙΣ ΑΠΟΣΤΑΣΕΙΣ 33

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ: ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Πρόταση 66 Για κάθε ισχύει τετραγωνικούς πίνακες, U, και U ορθομοναδιαίο, U U Π ρόταση 67 (Κανονικότητα) Για κάθε κανονικό πίνακα του πεδίο είναι ίσο με την κυρτή θήκη των ιδιοτιμών, δηλαδή Co το αριθμητικό Πρόταση 68 Αν ένα πίνακας πεδίο είναι κλειστό ευθύγραμμο του τμήμα με άκρα την ελάχιστη και μέγιστη ιδιοτιμή είναι ερμιτιανός, τότε το αριθμητικό του Π ρόταση 69 (Ελλειπτικό Θεώρημα) Έστω ένας τετραγωνικός πίνακας με ιδιοτιμές, Το αριθμητικό πεδίο του είναι ένας ελλειπτικός δίσκος με εστίες, και μικρό άξονα ίσο με tr Π ρόταση 60 (Θεώρημα Topltz Hausdorff) Για κάθε τετραγωνικό πίνακα είναι κυρτό, το αριθμητικό πεδίο 7 Διαταραχές Ιδιοτιμών Ορισμός 7 Έστω ένας πίνακα πίνακα E τέτοιον ώστε Ονομάζουμε πίνακα διαταραχής ένα E Θ εώρημα 7 (Bauer ke) Αν Q είναι ένας τυχαίος αντιστρέψιμος πίνακας, \ ισχύει τότε για κάθε Q I Q Q EQ Ορισμός 7 Έστω ένας πίνακας, λ μία ιδιοτιμή του και xy, τα αντίστοιχα δεξιά και αριστερά ιδιοδιανύσματα της ιδιοτιμής Ονομάζουμε δείκτη κατάστασης της ιδιοτιμής λ, τον ακόλουθο συντελεστή x y y x Ο δείκτης κατάστασης ιδιοτιμής αποτελεί ένα μέτρο ευαισθησίας της ιδιοτιμής αυτής 34 ΚΑΝΟΝΙΚΟΤΗΤΑ ΠΙΝΑΚΩΝ ΚΑΙ ΣΥΓΓΕΝΕΙΣ ΑΠΟΣΤΑΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ: ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Πρόταση 7 Έστω ένας κανονικός πίνακας με ιδιοτιμές,,, Αν είναι μία ιδιοτιμή του πίνακα E, τό ει ιδιοτιμή τέτοια ώστε E τε υπάρχ Θεώρημα 7 Έστω ότι ο πίνακας είναι διαγωνοποιήσιμος με και dag,,, dag,,, ma QQ Θεωρούμ ε επίσης μία νόρμα που ικανοποι εί τη σχέση x, για κάθε διαγώνιο πίνακα Τότε για κάθε ιδιοτιμή του πίνακα, υπάρχει μία ιδιοτιμή τέτοια ώστε Q E, που Q ο δείκτης κατάστασης του πίνακα Q ό Παρατήρηση 7 Το Θεώρημα 7 παρουσιάζεται συχνά στη βιβλιογραφία ως το Θεώρημα Bauer ke αντί του Θεωρήματος 7 ΚΑΝΟΝΙΚΟΤΗΤΑ ΠΙΝΑΚΩΝ ΚΑΙ ΣΥΓΓΕΝΕΙΣ ΑΠΟΣΤΑΣΕΙΣ 35

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ: ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 36 ΚΑΝΟΝΙΚΟΤΗΤΑ ΠΙΝΑΚΩΝ ΚΑΙ ΣΥΓΓΕΝΕΙΣ ΑΠΟΣΤΑΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΕΥΤΕΡΟ: ΚΑΝΟΝΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΕΥΤΕΡΟ Κανονικοί Πίνακες Στο κεφάλαιο αυτό θα εξετάσουμε εκτενέστερα την έννοια του κανονικού πίνακα Θα συνδυάσουμε τους κανονικούς πίνακες με τις ιδιοτιμές και με τα ιδιοδιανύσματα, με τους ερμιτιανούς και με τους αντιερμιτιανούς πίνακες, με το φάσμα του πίνακα, με την πολική παραγοντοποίηση, με τις ιδιάζουσες τιμές πίνακα, με την παραγοντοποίηση ιδιαζουσών τιμών, καθώς επίσης με το εσωτερικό γινόμενο και με τις νόρμες διανυσμάτων και πινάκων Θα ακολουθήσουν εβδομήντα οκτώ συνθήκες κανονικότητας με τις οποίες θα συνδυάσουμε όλα τα παραπάνω Η έννοια του κανονικού πίνακα Όπως αναφέραμε στο πρώτο κεφάλαιο και στον Ορισμό 6, κανονικός ονομάζεται ένας τετραγωνικός πίνακας που αντιμετατίθεται με τον αναστροφοσυζυγή του, δηλαδή Η έννοια λοιπόν του κανονικού πίνακα θα συνδυαστεί με τις ακόλουθες συνθήκες Συνθήκη Ο Α είναι κανονικός αν και μόνο αν ο 0 είναι κανονικός για κάθε πολυώνυμο p 0 Αν ο είναι κανονικός, τότε για κάθε πολυώνυμο p ισχύει p I p p 0I 0I 0I 0I p p, δηλαδή ο πίνακας p είναι κανονικός Το αντίστροφο είναι προφανές Συνθήκη Ένας αντιστρέψιμος πίνακας ο είναι κανονικός είναι κανονικός αν και μόνο αν Αν ο είναι αντιστρέψιμος κανονικός πίνακας Τότε ισχύει ΚΑΝΟΝΙΚΟΤΗΤΑ ΠΙΝΑΚΩΝ ΚΑΙ ΣΥΓΓΕΝΕΙΣ ΑΠΟΣΤΑΣΕΙΣ 37

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΕΥΤΕΡΟ: ΚΑΝΟΝΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Άρα, δηλαδή ο είναι κανονικός Αντίστροφα, αν ο είναι κανονικός, τότε από το ευθύ θα είναι κανονικός και ο πίνακας Συνθήκη 3 Ένας αντιστρέψιμος πίνακας ο είναι ορθομοναδιαίος είναι κανονικός αν και μόνο αν Πράγματι αν ο Α είναι αντιστρέψιμος και κανονικός, τότε και II I II I Άρα I Αντίστροφα, αν ο είναι ορθομοναδιαίος, τότε, και δηλαδή ο πίνακας Α είναι κανονικός, Συνθήκη 4 Ένας αντιστρέψιμος πίνακας είναι κανονικός αν και μόνο αν Αν ο Α είναι κανονικός πίνακας τότε I Αντίστροφα, αν I, δηλαδή ο πίνακας Α είναι κανονικός Συνθήκη 5 Ένας αντιστρέψιμος πίνακας ο Α αντιμετατίθεται με τον πίνακα είναι κανονικός αν και μόνο αν Αν ο πίνακας Α είναι κανονικός τότε 38 ΚΑΝΟΝΙΚΟΤΗΤΑ ΠΙΝΑΚΩΝ ΚΑΙ ΣΥΓΓΕΝΕΙΣ ΑΠΟΣΤΑΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΕΥΤΕΡΟ: ΚΑΝΟΝΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ και I I Άρα, τότε Αντίστροφα, αν ισχύει I, δηλαδή ο πίνακας Α είναι κανονικός Συνθήκη 6 Ο πίνακας είναι κανονικός αν και μόνο αν ο πίνακας U U είναι κανονικός για οποιοδήποτε ορθομοναδιαίο πίνακα U Αν ο πίνακας Α είναι κανονικός, τότε έχουμε και U U U U U UU U U IU U U U U U U U UU U U IU U U U U Άρα U UU U U U U U, δηλαδή ο πίνακας U U είναι κανονικός Αντίστροφα, αν ισχύει U UU U U U U U, τότε U UU U U UU U U U U U UU UU UU UU, δηλαδή ο πίνακας Α είναι κανονικός Συνθήκη 7 Ο πίνακας που ισχύει είναι κανονικός αν και μόνο αν, στην περίπτωση ΚΑΝΟΝΙΚΟΤΗΤΑ ΠΙΝΑΚΩΝ ΚΑΙ ΣΥΓΓΕΝΕΙΣ ΑΠΟΣΤΑΣΕΙΣ 39

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΕΥΤΕΡΟ: ΚΑΝΟΝΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ U U B B B, 0 B για κάποιο ορθομοναδιαίο U με B τετραγωνικό τότε υποχρεωτικά B 0 Έστω ότι ο πίνακας Α είναι κανονικός Τότε και ο κανονικός, από τη Συνθήκη 6, με Άρα έχουμε B U U 0 U U B B B B B B 0 B είναι BB B B B 0 B 0 B B B B 0 B B 0 B B B B B B B B B B BB BB B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B 0 Αντίστροφα, αν U U B B 0 0 B, τότε BB B 0 B 0 B B 0 B 0 B και B 0 B 0 B B B 0 B 0 B B BB B B U U U U U U U U, Άρα 6 40 ΚΑΝΟΝΙΚΟΤΗΤΑ ΠΙΝΑΚΩΝ ΚΑΙ ΣΥΓΓΕΝΕΙΣ ΑΠΟΣΤΑΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΕΥΤΕΡΟ: ΚΑΝΟΝΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ δηλαδή ο πίνακας Α είναι κανονικός Συνθήκη 8 Ο πίνακας είναι κανονικός αν και μόνο αν για κάθε αναλλοίωτο υπόχωρο του Α, W, και ο W είναι αναλλοίωτος υπόχωρος του Α Η συνθήκη αυτή αποτελεί γεωμετρική επιβεβαίωση της Συνθήκης 6, αν θεωρήσουμε τον πίνακα U U B B 0 0 B Συνθήκη 9 Ο πίνακας είναι κανονικός αν και μόνο αν για κάθε ιδιοδιάνυσμα x του Α, το ορθογώνιο συμπλήρωμα x είναι αναλλοίωτος υπόχωρος του Α Είναι άμεση συνέπεια της Συνθήκης 7, αν θεωρήσουμε W spa x Συνθήκη 0 Ο πίνακας είναι κανονικός αν και μόνο αν υπάρχει ορθομοναδιαίος πίνακας U και διαγώνιος πίνακας D τέτοιοι ώστε U U D Από το Θεώρημα 6 του Schur έχουμε T U U UTU, όπου ο πίνακας U είναι ορθομοναδιαίος και ο Τ είναι άνω τριγωνικός Αν ο Α είναι κανονικός, δηλαδή, τότε TT U UU U U U U U U UU U T T Από τη Συνθήκη 9, ο Τ είναι διαγώνιος, αφού θα περιέχει κάθετα ιδιοδιανύσματα Αντίστροφα, αφού ο D είναι διαγώνιος, DD D D Επομένως, UDU UD U UDU UD U UDD U UD DU Συνθήκη Ο πίνακας B ισχύει ότι, είναι κανονικός αν και μόνο αν για κάθε πίνακα B B B B Αν ο Α είναι κανονικός πίνακας, τότε χωρίς βλάβη της γενικότητας μπορούμε να θεωρήσουμε ότι ο U U D διαγώνιος πίνακας, για κάποιο ορθομοναδιαίο πίνακα U Τότε ισχύει DB BD D B BD ΚΑΝΟΝΙΚΟΤΗΤΑ ΠΙΝΑΚΩΝ ΚΑΙ ΣΥΓΓΕΝΕΙΣ ΑΠΟΣΤΑΣΕΙΣ 4

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΕΥΤΕΡΟ: ΚΑΝΟΝΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Πράγματι, αν 0 0 0 0 D, τότε 0 0 D 0 0 0 0, 0 0 και για B, έχουμε 0 0 0 0 0 0 0 0 DB 0 0 0 0 BD Αντίστροφα, αν ισχύει B B B B δηλαδή ο Α είναι κανονικός, τότε για B έχουμε, Κανονικότητα και Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Συνεχίζοντας τις εκτιμήσεις για την κανονικότητα ενός πίνακα, θα συσχετίσουμε την έννοια αυτή με τις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανίσματα του με την βοήθεια των συνθηκών που ακολουθούν Συνθήκη Ο πίνακας είναι κανονικός αν και μόνο αν κάθε ιδιοδιάνυσμα x του, είναι ιδιοδιάνυσμα και του Αν ο πίνακας Α είναι κανονικός τότε U U D και U U D για κάποιον διαγώνιο πίνακα D και για κάποιο ορθομοναδιαίο U Όμως ο D και ο D είναι ίσοι πίνακες με διαγώνιο τις ιδιοτιμές τους Άρα έχουν τα ίδια ιδιοδιανύσματα x Αντίστροφα Έστω u, κανονικοποιημένο διάνυσμα που βρίσκεται στην πρώτη x στήλη του πίνακα U Ο πίνακας Α γράφεται U U B και έχει τα ίδια ιδιοδιανύσματα με τον πίνακα, που γράφεται U U B ο οποίος από την 7 είναι κανονικός Συνθήκη Ο πίνακας είναι κανονικός αν και μόνο αν υπάρχει ορθοκανονική βάση στον που αποτελείται από τα ιδιοδιανύσματα του Α Προκύπτει άμεσα από τη Συνθήκη 4 ΚΑΝΟΝΙΚΟΤΗΤΑ ΠΙΝΑΚΩΝ ΚΑΙ ΣΥΓΓΕΝΕΙΣ ΑΠΟΣΤΑΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΕΥΤΕΡΟ: ΚΑΝΟΝΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Συνθήκη 3 Ο πίνακας είναι κανονικός αν και μόνο αν ο Α είναι διαγωνοποιήσιμος και τα ιδιοδιανυσμάτα του, που προέρχονται από διακεκριμένες ιδιοτιμές, είναι ορθογώνια Είναι ισοδύναμη με τη Συνθήκη Συνθήκη 4 Ο πίνακας ένας πίνακας με E E, 0 είναι κανονικός αν και μόνο αν υπάρχουν E, όπου E E EE για και E I,,, τέτοια ώστε ο πίνακάς Α μπορεί να γραφεί ως Αφού ο Α είναι κανονικός, μπορούμε να θεωρήσουμε,,, τις ιδιοτιμές x, x,, x, και E xx Κάθε πίνακας E ικανοποιεί τις σχέσεις E E E, EE 0 για και E I Αντίστροφα, έστω E, E,, E πίνακες που ικανοποιούν τις σχέσεις E E E, EE 0 για και πίνακας E είναι κανονικός E I Τότε επαληθεύεται με πράξεις ότι ο Συνθήκη 5 Ο πίνακας είναι κανονικός αν και μόνο αν υπάρχουν διακεκριμένοι,,, τέτοιοι ώστε ο πίνακάς Α να μπορεί να γραφτεί ως P, όπου κάθε P είναι ένας πίνακας ορθογώνιας προβολής με P P P, PP 0 για και P I Οι ορθογώνιες προβολές 4, και άρα ισχύει P, P,, P ικανοποιούν τις προϋποθέσεις της Συνθήκης Συνθήκη 6 Ο πίνακας είναι κανονικός αν και μόνο αν υπάρχει p πολυώνυμο p τέτοιο ώστε Χωρίς βλάβη της γενικότητας μπορούμε να θεωρήσουμε από τη Συνθήκη 0 ότι dag,,, Διαλέγουμε πολυώνυμο παρεμβολής τάξης το πολύ, που ικανοποιεί τη σχέση p,,,, Άρα p ΚΑΝΟΝΙΚΟΤΗΤΑ ΠΙΝΑΚΩΝ ΚΑΙ ΣΥΓΓΕΝΕΙΣ ΑΠΟΣΤΑΣΕΙΣ 43

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΕΥΤΕΡΟ: ΚΑΝΟΝΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Αντίστροφα, αν Τότε p 0I 0 και 0 Άρα δηλαδή ο πίνακας Α είναι κανονικός, Συνθήκη 7 Ο Α είναι κανονικός αν και μόνο αν ο Α αντιμετατίθεται με κανονικούς πίνακες με διακεκριμένες ιδιοτιμές : Υποθέτουμε ότι ο κανονικός πίνακας Α είναι ισοδύναμος με ένα διαγώνιο πίνακα D (ορισμός 0) Τότε ο D αντιμετατίθεται με έναν κανονικό πίνακα Ν με διακεκριμένες ιδιοτιμές, δηλαδή D N N D Αντίστροφα, αν ισχύει N N, με Ν κανονικό πίνακα με διακεκριμένες p N Άρα από τον ορισμό ιδιοτιμές, τότε θα υπάρχει πολυώνυμο p τέτοιο ώστε ο Α είναι κανονικός 3 Κανονικότητα και Ερμιτιανό Αντιερμιτιανό Μέρος Πίνακα Όπως είδαμε και στο πρώτο κεφάλαιο και συγκεκριμένα στην Παράγραφο, κάθε τετραγωνικός πίνακας μπορεί να αναλυθεί ως εξής H K, όπου H το ερμιτιανό μέρος και K το αντιερμιτιανό μέρος Οι ακόλουθες συνθήκες θα συνδυάσουν ερμιτιανούς και αντιερμιτιανούς πίνακες με την κανονικότητα, καθώς και με την ανάλυση της προηγούμενης μορφής Συνθήκη 3 Ο πίνακας είναι κανονικός αν και μόνο αν ο Α αντιμετατίθεται με ερμιτιανούς πίνακες με διακεκριμένες ιδιοτιμές Οι ερμιτιανοί πίνακες είναι κανονικοί, άρα ισχύει από τη Συνθήκη 7 Συνθήκη 3 Ο πίνακας είναι κανονικός αν και μόνο αν ο πίνακας είναι ημιορισμένος 44 ΚΑΝΟΝΙΚΟΤΗΤΑ ΠΙΝΑΚΩΝ ΚΑΙ ΣΥΓΓΕΝΕΙΣ ΑΠΟΣΤΑΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΕΥΤΕΡΟ: ΚΑΝΟΝΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Αν ο Α είναι κανονικός, τότε 0 Άρα ο είναι ημιορισμένος Αντίστροφα, αν οι πίνακες και είναι θετικά ημιορισμένοι με ίχνη τα tr και tr Όμως ο μοναδικός ημιορισμένος πίνακας με ίχνος 0 είναι ο μηδενικός Επομένως 0, δηλαδή ο πίνακας Α είναι κανονικός Συνθήκη 33 Ο πίνακας είναι κανονικός αν και μόνο αν HK KH Ισχύει ότι HK KH 4 4 Αντίστροφα, έχουμε HK KH 4 4, δηλαδή ο πίνακας Α είναι κανονικός Συνθήκη 34 Ο πίνακας είναι κανονικός αν και μόνο αν H H Ισχύει ότι H και H Αφού H H, Αντίστροφα, αν H H δηλαδή ο πίνακας Α είναι κανονικός Συνθήκη 35 Ο πίνακας H H H H H είναι κανονικός αν και μόνο αν Ισχύει ότι ΚΑΝΟΝΙΚΟΤΗΤΑ ΠΙΝΑΚΩΝ ΚΑΙ ΣΥΓΓΕΝΕΙΣ ΑΠΟΣΤΑΣΕΙΣ 45

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΕΥΤΕΡΟ: ΚΑΝΟΝΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ H H H Αντίστροφα, έχουμε H H H 4 δηλαδή ο πίνακας Α είναι κανονικός, Συνθήκη 36 Ο πίνακας είναι κανονικός αν και μόνο αν K K Ισχύει ότι K και K Αφού K K Αντίστροφα, έχουμε, K K δηλαδή ο πίνακας Α είναι κανονικός Συνθήκη 37 Ο πίνακας αν K K K K K είναι κανονικός αν και μόνο Ισχύει ότι K K K K Αντίστροφα, αν K K K, τότε, 4 δηλαδή ο πίνακας Α είναι κανονικός Συνθήκη 38 Έστω ότι ο πίνακας H έχει διακεκριμένες ιδιοτιμές Ο πίνακας είναι κανονικός αν και μόνο αν κάθε ιδιοδιάνυσμα του H είναι ιδιοδιάνυσμα του K 46 ΚΑΝΟΝΙΚΟΤΗΤΑ ΠΙΝΑΚΩΝ ΚΑΙ ΣΥΓΓΕΝΕΙΣ ΑΠΟΣΤΑΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΕΥΤΕΡΟ: ΚΑΝΟΝΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Αν ο πίνακας Α είναι κανονικός τότε από τη Συνθήκη 33, HK KH, και αφού ο H έχει διακεκριμένες ιδιοτιμές, ο K έχει τα ίδια ιδιοδιανύσματα με τον H Αντίστροφα, αν κάθε ιδιοδιάνυσμα του H είναι ιδιοδιάνυσμα του K, αν και μόνο αν ο H έχει διακεκριμένες ιδιοτιμές, τότε αντιμετατίθενται, οπότε από τη Συνθήκη ο πίνακας Α είναι κανονικός Συνθήκη 39 Έστω ότι ο πίνακας K έχει διακεκριμένες ιδιοτιμές Ο πίνακας είναι κανονικός αν και μόνο αν κάθε ιδιοδιάνυσμα του K είναι ιδιοδιάνυσμα του H Συνθήκη 30 Έστω ότι ο πίνακας H έχει διακεκριμένες ιδιοτιμές Ο πίνακας είναι κανονικός αν και μόνο αν κάθε ιδιοδιάνυσμα του H είναι ιδιοδιάνυσμα του Α Συνθήκη 3 Έστω ότι ο πίνακας Α έχει διακεκριμένες ιδιοτιμές Ο πίνακας είναι κανονικός αν και μόνο αν κάθε ιδιοδιάνυσμα του Α είναι ιδιοδιάνυσμα του H Συνθήκη 3 Έστω ότι ο πίνακας K έχει διακεκριμένες ιδιοτιμές Ο πίνακας είναι κανονικός αν και μόνο αν κάθε ιδιοδιάνυσμα του H είναι ιδιοδιάνυσμα του Α Συνθήκη 33 Έστω ότι ο πίνακας Α έχει διακεκριμένες ιδιοτιμές Ο πίνακας είναι κανονικός αν και μόνο αν κάθε ιδιοδιάνυσμα του Α είναι ιδιοδιάνυσμα του K Οι Συνθήκες 39 33, αποδεικνύονται όμοια με τη Συνθήκη 38 Συνθήκη 34 Ο πίνακας (Καρτεσιανή) γραφή του Α ισχύει Έχουμε ότι είναι κανονικός αν και μόνο αν στην Toepltz H K ή H K 4 4 4 Όμοια για H K ΚΑΝΟΝΙΚΟΤΗΤΑ ΠΙΝΑΚΩΝ ΚΑΙ ΣΥΓΓΕΝΕΙΣ ΑΠΟΣΤΑΣΕΙΣ 47

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΕΥΤΕΡΟ: ΚΑΝΟΝΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Αντίστροφα, αν H K, τότε 4 Όμοια για H K 4 Κανονικότητα και Φάσμα Πίνακα Γνωρίζουμε ότι το φάσμα του πίνακα Α, και, το σύνολο των ιδιοτιμών ενός πίνακα Α, δηλαδή H,, K,, τα φάσματα των H και K αντίστοιχα Με τη βοήθεια αυτών θα δείξουμε τις ακόλουθες Συνθήκες Συνθήκη 4 Ο πίνακας είναι κανονικός αν και μόνο αν υπάρχει κατάλληλη διάταξη των ιδιοτιμών του πραγματικού και του φανταστικού μέρους του Α τέτοια ώστε :,, Χωρίς βλάβη της γενικότητας θεωρούμε ότι οι πίνακες Α, H, K είναι διαγώνιοι από τη Συνθήκη 0, οπότε υπάρχει κατάλληλη διάταξη των ιδιοτιμών του Α, του και του, ώστε να ισχύει ότι :,, H K Συνθήκη 4 Ο πίνακας Re,, είναι κανονικός αν και μόνο αν Αν ο πίνακας Α είναι κανονικός προκύπτει άμεσα από τη Συνθήκη 4 Το αντίστροφο προκύπτει από τη Συνθήκη 43 που ακολουθεί, όπως φαίνεται στο αντίστροφο της Συνθήκης 43 Συνθήκη 43 Ο πίνακας Im,, είναι κανονικός αν και μόνο αν Αν ο Α είναι κανονικός, τότε προκύπτει άμεσα από τη Συνθήκη 4 Αντίστροφα, η Συνθήκη 43 συνεπάγεται τη Συνθήκη 4 Πράγματι, υποθέτουμε H K, και η διαγωνοποίηση του H θα είναι 48 ΚΑΝΟΝΙΚΟΤΗΤΑ ΠΙΝΑΚΩΝ ΚΑΙ ΣΥΓΓΕΝΕΙΣ ΑΠΟΣΤΑΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΕΥΤΕΡΟ: ΚΑΝΟΝΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ H U DU Άρα U U DU K U, όπου UKUερμιτιανός Επιπλέον, με μεταφορά της μορφής I, μπορούμε να θεωρήσουμε ότι οι διακεκριμένες ιδιοτιμές του H είναι 0 Χωρίς βλάβη της γενικότητας, μπορούμε να θεωρήσουμε ότι ο πίνακας I 0 K K 0 D K K, όπου κ η πολλαπλότητα της ιδιοτιμής του H Έστω ιδιοζεύγος του Α με 0, x0 Re 0 Τότε για x 0 x x είναι 0 x K K x x 0 0 D x K K x x 0 x K Kx x x x x x x x 0 D x K K x K K x Όμως, x x xdx x x x xdx K K x, K K x x xxdx, x x K K x και x x x 0 Τώρα xdx x x x Dx x x και άρα x 0 x 0 Πράγματι, αν x 0, τότε x x που είναι άτοπο Άρα το άθροισμα όλων των χώρων των ιδιοτιμών του Α με πραγματικό μέρος y αποτελούνται από ιδιοδιανίσματα της μορφής 0, με y Ο διανυσματικός χώρος V είναι αναλλοίωτος για τον Α και για τον Πράγματι, H ΚΑΝΟΝΙΚΟΤΗΤΑ ΠΙΝΑΚΩΝ ΚΑΙ ΣΥΓΓΕΝΕΙΣ ΑΠΟΣΤΑΣΕΙΣ 49

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΕΥΤΕΡΟ: ΚΑΝΟΝΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ x V, x V Hx Kx V, x V H xv, xv Άρα είναι αναλλοίωτος υπόχωρος για τον K και άρα K 0 K K 0 K 0 αφού ο Κ είναι αντιερμιτιανός Δηλαδή K 0 K, όπου K διαγώνιος Αφού K K K κανονικός και υπάρχει ορθομοναδιαίος V τέτοιος ώστε ο πίνακας VKV διαγώνιος Πράγματι, V 0 V 0 V 0 0V 0 V 0K K V 0 0 0 0 0 D 0 0 K K 0 I 0 VK 0 D, KV K κμε K VK αντιερμιτιανό Άρα χωρίς βλάβη της γενικότητας, θεωρούμε ότι ο KV K είναι διαγώνιος Επαγωγικά, μπορούμε να συνεχίσουμε και για τις υπόλοιπες διαστάσεις 5 Κανονικότητα και Πολική Παραγοντοποίηση Όπως αναφέραμε και στο πρώτο κεφάλαιο, και συγκεκριμένα στον Ορισμό 5, η πολική παραγοντοποίηση ενός πίνακα VP, όπου V ορθομοναδιαίος και Ρ ερμιτιανός, θα αποτελέσει το βασικό συστατικό για τις παρακάτω Συνθήκες κανονικότητας Συνθήκη 5 Ο πίνακας είναι κανονικός αν και μόνο αν VP PV Αν Α κανονικός, δηλαδή, τότε PP P PP PP PV PP PV PP PV VP PV Αντίστροφα, αν VP PV όπου V, Ρ κανονικοί πίνακες που αντιμετατίθενται, τότε με απλές πράξεις επαληθεύεται ότι και ο Α είναι κανονικός Συνθήκη 5 Ο πίνακας είναι κανονικός αν και μόνο αν V V 50 ΚΑΝΟΝΙΚΟΤΗΤΑ ΠΙΝΑΚΩΝ ΚΑΙ ΣΥΓΓΕΝΕΙΣ ΑΠΟΣΤΑΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΕΥΤΕΡΟ: ΚΑΝΟΝΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Ισχύει ότι Άρα V V και V PPV VPV V VP P VPV Αντίστροφα, αν ισχύει V V, τότε VPV VVP V VPV V VVP PV VP Άρα ο Α είναι κανονικός από τη Συνθήκη 5 Συνθήκη 53 Ο πίνακας είναι κανονικός αν και μόνο αν P P Ισχύει ότι 3 P PP P PPP P και 3 P PPP P Άρα P P Αντίστροφα, αν P P, τότε VPP PVP VPPP PVPP VPP PVP Τότε VP PV, αφού P ερμιτιανος Άρα από τη Συνθήκη 5 ο πίνακας Α είναι κανονικός Συνθήκη 54 Έστω ότι ο πίνακας V έχει διακεκριμένες ιδιοτιμές Ο πίνακας είναι κανονικός αν και μόνο αν κάθε ιδιοδιάνυσμα του V είναι ιδιοδιάνυσμα του Ρ Ισχύει από τη Συνθήκη 5 Συνθήκη 55 Έστω ότι ο πίνακας Ρ έχει διακεκριμένες ιδιοτιμές Ο πίνακας είναι κανονικός αν και μόνο αν κάθε ιδιοδιάνυσμα του Ρ είναι ιδιοδιάνυσμα του V Ισχύει από τη Συνθήκη 5 ΚΑΝΟΝΙΚΟΤΗΤΑ ΠΙΝΑΚΩΝ ΚΑΙ ΣΥΓΓΕΝΕΙΣ ΑΠΟΣΤΑΣΕΙΣ 5

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΕΥΤΕΡΟ: ΚΑΝΟΝΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Συνθήκη 56 Έστω ότι ο πίνακας V έχει διακεκριμένες ιδιοτιμές Ο πίνακας είναι κανονικός αν και μόνο αν κάθε ιδιοδιάνυσμα του V είναι ιδιοδιάνυσμα του Α Ισχύει από τη Συνθήκη 5 Συνθήκη 57 Έστω ότι ο πίνακας Α έχει διακεκριμένες ιδιοτιμές Ο πίνακας είναι κανονικός αν και μόνο αν κάθε ιδιοδιάνυσμα του Α είναι ιδιοδιάνυσμα του V Ισχύει από τη Συνθήκη 5 Συνθήκη 58 Έστω ότι ο πίνακας Ρ έχει διακεκριμένες ιδιοτιμές Ο πίνακας είναι κανονικός αν και μόνο αν κάθε ιδιοδιάνυσμα του Ρ είναι ιδιοδιάνυσμα του Α Ισχύει από τη Συνθήκη 53 Συνθήκη 59 Έστω ότι ο πίνακας Α έχει διακεκριμένες ιδιοτιμές Ο πίνακας είναι κανονικός αν και μόνο αν κάθε ιδιοδιάνυσμα του Α είναι ιδιοδιάνυσμα του Ρ Ισχύει από τη Συνθήκη 53 Όπως γνωρίζουμε από την Παράγραφο 6 και τον Ορισμό 63, το φάσμα πινάκων πολικής παραγοντοποίησης των πινάκων V και P είναι το ακόλουθο, V u u και P,,,, Με την βοήθεια αυτών έχουμε τις ακόλουθες Συνθήκες κανονικότητας Συνθήκη 50 Ο πίνακας είναι κανονικός αν και μόνο αν υπάρχει κατάλληλη διάταξη των ιδιοτιμών του V και του Ρ τέτοια ώστε Όμοια με τη Συνθήκη 4 u :, Συνθήκη 5 Έστω ότι ο πίνακας Α είναι αντιστρέψιμος Ο πίνακας κανονικός αν και μόνο αν το σύνολο των μέτρων των ιδιοτιμών του Α είναι,, είναι 5 ΚΑΝΟΝΙΚΟΤΗΤΑ ΠΙΝΑΚΩΝ ΚΑΙ ΣΥΓΓΕΝΕΙΣ ΑΠΟΣΤΑΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΕΥΤΕΡΟ: ΚΑΝΟΝΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Όμοια με τη Συνθήκη 4 Συνθήκη 5 Έστω ότι ο πίνακας Α είναι αντιστρέψιμος Ο πίνακας είναι κανονικός αν και μόνο αν το σύνολο των ορισμάτων των ιδιοτιμών του Α είναι u,,u Όμοια με τη Συνθήκη 43 Συνθήκη 53 Ο πίνακας είναι κανονικός αν και μόνο αν Αν ο Α είναι κανονικός, τότε έχουμε Αντίστροφα, αν, τότε, δηλαδή ο πίνακας Α είναι κανονικός Συνθήκη 54 Ο πίνακας είναι κανονικός αν και μόνο αν ο Α αντιμετατίθεται με τον πίνακα, Υποθέτουμε ότι έχουμε τον ορθομοναδιαίο μετασχηματισμό, δηλαδή U U Θεωρούμε την αντιμετάθεση C,, όπου C U CU Έστω C ένας μη μηδενικός πίνακας Χωρίς βλάβη της γενικότητας, θεωρούμε ότι ο C είναι της μορφής όπου C C 0 0 0 C 0 C, 0 0 Cmm είναι τετραγωνικοί υποπίνακες που αντιστοιχούν στις διακεκριμένες ιδιοτιμές του C, C, C,, m C Προφανώς, m αφού trc 0 Αντίστροφα, αν ο Α και ο C αντιμετατίθενται, τότε υποθέτουμε ότι ο C έχει την ίδια μορφή με τον Α, και mm ΚΑΝΟΝΙΚΟΤΗΤΑ ΠΙΝΑΚΩΝ ΚΑΙ ΣΥΓΓΕΝΕΙΣ ΑΠΟΣΤΑΣΕΙΣ 53

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΕΥΤΕΡΟ: ΚΑΝΟΝΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Τότε C,, με trc 0 για,,, m αφού C C C Cmm Συνθήκη 55 Ο πίνακας αντιμετατίθεται με τον ή και 0 C που είναι άτοπο, είναι κανονικός αν και μόνο αν ο Α Ο Α αντιμετατίθεται με κάθε πολυώνυμο της μορφής ή αντιμετατίθεται με το πολυώνυμο ή Συνθήκη 5 Άρα ο Α, που ισχύει από τη 6 Κανονικότητα και Ιδιάζουσες Τιμές Η έννοια της κανονικότητας μπορεί να επεκταθεί και στις ιδιοτιμές του πίνακα, δηλαδή στις ιδιάζουσες τιμές του πίνακα σύμφωνα με τις ακόλουθες συνθήκες Για τη Συνθήκη 6 που ακολουθεί, θα χρειαστούμε τις δύο ακόλουθες προτάσεις Πρόταση 6 (Θεώρημα Raylegh Rtz) Έστω ένας ερμιτιανός πίνακας και έστω,,, οι ιδιοτιμές του, με τη διάταξη Τότε ισχύει ότι m max με x x x x x x, για κάθε max xx m m m x0 xx x xx x x και max max max x x xx x0 xx xx Έστω τέτοιος ώστε Αφού κάθε στοιχείο ερμιτιανός πίνακας Τότε θα υπάρχει ορθομοναδιαίος πίνακας U UU, με dag,,, Για κάθε x έχουμε, x x xu Ux Ux Ux Ux Ux είναι μη αρνητικό θα έχουμε, Ux xx Ux max Ux m 54 ΚΑΝΟΝΙΚΟΤΗΤΑ ΠΙΝΑΚΩΝ ΚΑΙ ΣΥΓΓΕΝΕΙΣ ΑΠΟΣΤΑΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΕΥΤΕΡΟ: ΚΑΝΟΝΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Όμως, αφού ο πίνακας U είναι ορθομοναδιαίος, θα έχουμε ότι, Ux x xx, και άρα x x xx xx xx xx m max Αν x είναι το ιδιοδιάνυσμα που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή, τότε ισχύει ότι x x x x x x Όμοια αν x είναι το ιδιοδιάνυσμα που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή, τότε ισχύει ότι x x x x x x xx Αν τώρα θεωρήσουμε x 0 θα έχουμε, και αν x είναι το ιδιοδιάνυσμα xx xx που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή θα είναι xx x x x x Τελικά για x 0 θα έχουμε xx x x x x, με x x xx xx Άρα max xx max xx x0 xx xx xx Όμοια αποδεικνύεται για το ότι m m xx x0 xx xx Πρόταση 6 (Συμπλεκτικό Θεώρημα Cauchy) Κάθε διαγώνιο στοιχείο ενός ερμιτιανού πίνακα, βρίσκεται μεταξύ της ελάχιστης και της μέγιστης ιδιοτιμής του Η πρόταση αυτή είναι άμεση συνέπεια της Πρότασης 6 Συνθήκη 6 Ο πίνακας είναι κανονικός αν και μόνο αν υπάρχει κατάλληλη διάταξη των ιδιοτιμών του Α και του Α τέτοια ώστε :,, Αν ο Α κανονικός, μπορούμε να υποθέσουμε ότι από τη Συνθήκη 0 ότι είναι διαγώνιος, οπότε ισχύει Αντίστροφα, έστω μέγιστη ιδιοτιμή του :,, και είναι 0 Άρα η Υποθέτουμε ότι ο Α είναι κάτω τριγωνικός με ΚΑΝΟΝΙΚΟΤΗΤΑ ΠΙΝΑΚΩΝ ΚΑΙ ΣΥΓΓΕΝΕΙΣ ΑΠΟΣΤΑΣΕΙΣ 55

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΕΥΤΕΡΟ: ΚΑΝΟΝΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ κύρια διαγώνιο,, Εξετάζουμε πιθανές περιπτώσεις για τα υπόλοιπα στοιχεία της πρώτης γραμμής του πίνακα Α Αν υπάρχει a 0 στοιχείο του Α, για, τότε το στοιχείο του είναι μεγαλύτερο από τον μεγαλύτερο από το που συνεπάγεται ότι η μεγαλύτερη ιδιοτιμή του είναι από την πρόταση 6 (Συμπλεκτικό Θεώρημα Cauchy) Άρα 0 και Επαγωγικά, θα έχουμε ότι ο Α είναι διαγώνιος αν και μόνο αν,,, Άρα ο πίνακας Α είναι κανονικός Συνθήκη 6 Ο πίνακας είναι κανονικός αν και μόνο αν υπάρχει κατάλληλη διάταξη των ιδιοτιμών του Α και του Α και ab, τέτοια ώστε a b a b :, Αν ο Α κανονικός, προκύπτουν άμεσα από τη Συνθήκη 6 Το αντίστροφο προκύπτει από τη Συνθήκη 9 Συνθήκη 63 Ο πίνακας είναι κανονικός αν και μόνο αν υπάρχουν a, a, b, b, c, c με cc 0 τέτοια ώστε aa b b c c a a b b c c :, Αν ο πίνακας Α είναι κανονικός, οι σχέσεις των ιδιοτιμών προκύπτουν άμεσα από τη Συνθήκη 6 Το αντίστροφα προκύπτει από τη Συνθήκη 9 Συνθήκη 64 Ο πίνακας b b, c, c και cc 0 τέτοια ώστε είναι κανονικός αν και μόνο αν υπάρχουν a a aa b b c c a a b b c c :,, Αν ο πίνακας Α είναι κανονικός, οι σχέσεις των ιδιοτιμών προκύπτουν άμεσα από τη Συνθήκη 6 56 ΚΑΝΟΝΙΚΟΤΗΤΑ ΠΙΝΑΚΩΝ ΚΑΙ ΣΥΓΓΕΝΕΙΣ ΑΠΟΣΤΑΣΕΙΣ