ΔΙΑΙΣΘΗΤΙΚΗ ΑΣΑΦΗΣ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΕΙΚΟΝΑΣ

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Διπλωματική εργασία: ΔΙΑΙΣΘΗΤΙΚΗ ΑΣΑΦΗΣ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΕΙΚΟΝΑΣ Ψαθάς Νικόλαος :4950 Επιβλέπων καθηγητής : Σεργιάδης Γεώργιος Θεσσαλονίκη, Οκτώβριος 2009

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1... 8 1.1 Διάρθρωση της εργασίας... 9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2... 11 2.1 Εισαγωγή... 11 2.2 Βασικοί ορισμοί... 11 2.3 Τελεστές ασαφών συνόλων... 13 2.3.1 Ασαφές συμπλήρωμα... 13 2.3.1.1 Τυπικό ασαφές συμπλήρωμα... 13 2.3.1.2 Ασαφή συμπλήρωμα Sugeno... 14 2.3.1.3 Ασαφή συμπλήρωμα Yager... 14 2.3.2 Ασαφής Τομή... 14 2.3.2.1 Τυπική ασαφής τομή... 14 2.3.3 Ασαφής ένωση... 15 2.3.3.1 Τυπική ασαφής ένωση... 15 2.4 Ασαφή μέτρα Απόστασης... 15 2.4.1 Απόσταση Hamming... 15 2.4.2 Κανονικοποιημένη απόσταση Hamming... 16 2.4.3 Ευκλείδεια απόσταση... 16 2.4.4 Kανονικοποιημένη ευκλείδεια απόσταση... 16 2.5 Δείκτες ασάφειας... 16 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3... 18 3.1 Βασικοί ορισμοί και ορολογία... 18 3.2 Πράξεις και σχέσεις στα IFS... 19 3.2.1 Διαισθητικό ασαφές συμπλήρωμα... 19 3.2.2 Διαισθητική ασαφής ένωση... 19 3.2.3 Διαισθητική ασαφής τομή... 19 3.2.4 Διαισθητικός τελεστής αποδόμησης... 20 3.3 Διαισθητικά μέτρα απόστασης... 20 3.3.1 Aπόσταση Hamming... 20 3.3.2 Kανονικοποιημένη απόσταση Hamming... 20 3.3.3 Ευκλείδεια απόσταση... 20 3.3.4 Kανονικοποιημένη ευκλείδεια απόσταση... 21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4... 22 4.1 Εισαγωγικά... 22 2

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 4.2 Αξιώματα εντροπίας... 22 4.2.1 Αξιώματα Burillo, Bustince... 22 4.2.2 Αξιώματα Smidt, Kacprzyk... 23 4.2.3 Αξιώματα Hung, Yang... 23 4.2.4 Αξιώματα Vlachos Sergiadis... 24 4.3 Διαισθητικά μέτρα εντροπίας... 25 4.3.1 Μέτρα Burillo, Bustince... 25 4.3.2 Μέτρο εντροπίας Szmidt και Kacprzyk... 26 4.3.3 Μέτρο εντροπίας Hung, Huan... 26 4.3.4 Μέτρο Εντροπίας Vlachos και Sergiadis... 27 4.3.5 Μέτρο εντροπίας Ηung και Yang... 27 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5... 29 5.1 Ασαφή ιστογράμματα και ευριστική μέθοδος... 30 5.2 Αναλυτική προσέγγιση στη διαισθητική ασαφοποίηση... 33 5.2.1 Διαισθητικές Ασαφείς γεννήτριες... 33 5.2.2 Αρχή της μέγιστης διαισθητικής ασαφούς εντροπίας... 34 5.3 Μέθοδοι διαισθητικής αποασαφοποίησης... 35 5.3.1 Διαισθητική αποασαφοποίηση μεγίστου δείκτη ασάφειας... 37 5.3.2 Παραμετρική Διαισθητική Αποασαφοποίηση... 37 5.3.3 Γενικευμένη διαισθητική αποασαφοποίηση με χρήση του αθροιστικού ιστογράμματος... 38 5.3.4 Εφαρμογές των αποασαφοποιητών... 39 5.4 Διπαραμετρική διαισθητική ασαφοποίηση-αποασαφοποίηση... 40 5.5 Διαισθητική ασαφής εντροπία... 42 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6... 44 6.1 Ελαχιστοποίηση του δείκτη ασάφειας... 44 6.2 Διαισθητικός ασαφής τελεστής έντασης αντίθεσης... 46 6.3 Ασαφής υπερβολική εξισορρόπηση ιστογράμματος... 49 6.4 Διαισθητική ασαφής υπερβολική εξισορρόπηση ιστογράμματος... 49 6.5 Εξισορρόπηση ιστογράμματος διστακτικότητας... 50 6.5.1 Διαισθητικό ασαφές ιστόγραμμα... 50 6.5.2 Εξισορρόπηση ιστογράμματος διστακτικότητας... 54 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7... 57 7.1 Ετερο-εντροπική κατάτμηση εικόνας... 58 7.2 Εντροπικοί διαισθητικοί ασαφείς C μέσοι... 61 7.2.1 Διαισθητικοί ασαφείς μέσοι (IFCM)... 62 3

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 7.2.2 Διαισθητικοί ασαφείς μέσοι με αυτόματη επιλογή της παραμέτρου λ (E-IFCM) 62 7.2.3 Πειραματική αξιολόγηση... 63 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8... 64 8.1 Ανίχνευση ακμών με χρήση διαισθητικών ασαφών συνόλων... 64 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9... 69 9.1 Μαστογραφίας... 69 9.2 Υπερβολική εξισορρόπηση ιστογράμματος (IFHH)... 70 9.2.1 Πειραματική αξιολόγηση... 73 9.3 Διαισθητική ένταση αντίθεσης(ifci)... 74 9.3.1 Πειραματική αξιολόγηση... 76 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10... 79 10.1 Matlab... 79 Περιγραφή γραφικού περιβάλλοντος... 80 10.2.1 Εκκίνηση της εφαρμογής... 82 10.2.2 Ξεκινώντας... 82 10.2.3 Ανοίγοντας μία εικόνα... 83 10.2.4 Κλείσιμο εφαρμογής... 83 10.3 Επεξεργασία εικόνων... 84 10.3.1 Ασαφές Ιστόγραμμα... 84 10.3.2 Συνιστώσες συμμετοχής από τη μέθοδο της μεγιστοποίησης διαισθητικής ασαφούς εντροπίας... 84 10.3.3 Διαισθητική αποασαφοποίηση... 85 10.3.4 Διπαραμετρική διαισθητική ασαφοποίηση-αποασαφοποίηση... 85 10.3.5 Μεγιστοποίηση διαισθητικής ασαφούς εντροπίας με διαφορετικά μέτρα εντροπίας 85 10.3.6 Ισοστάθμιση ιστογράμματος... 86 10.3.7 Διαισθητική ασαφής ένταση αντίθεσης... 86 10.3.8 Ελαχιστοποίηση της ασάφειας... 86 10.3.9 Υπερβολική εξισορρόπηση ιστογράμματος... 87 10.3.10 Εξισορρόπηση Ιστογράμματος Διστακτικότητας... 87 10.3.11 Ετερο-εντροπική κατάτμηση εικόνας... 88 10.3.12 Κατάτμηση με χρήση ασαφών c μέσων... 88 10.3.13 Ανίχνευση ακμών οδηγούμενη από διστακτικότητα... 88 10.3.14 Υπερβολική εξισορρόπηση ιστογράμματος (IFHH)... 89 10.3.15 Διαισθητική ασαφής ένταση αντίθεσης (IFCI)... 89 4

πάνω και ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΕΙΚΟΝΩΝ Κατάλογος εικόνων Σχήμα 1: Αναπαράσταση του διαισθητικού ασαφούς πλαισίου επεξεργασίας εικόνας... 9 Σχήμα 2: Αναπαράσταση ασαφούς συνόλου... 12 Σχήμα 3: Συνάρτηση συμμετοχής(κόκκινη γραμμή) για p=3 και για p=5(μπλέ γραμμή)... 30 Σχήμα 4 Αναπαράσταση κοινού ιστογράμματος και ασαφούς ιστογράμματος για p=3 και p=9 31 Σχήμα 5: (α)συνάρτηση συμμετοχής(κόκκινη γραμμή) και μη-συμμετοχής(μπλέ γραμμή) για p=3 και κ=0.2 (β) αντίστοιχος βαθμός διστακτικότητας (γ) Συνάρτηση συμμετοχής(κόκκινη γραμμή) και μη-συμμετοχής(μπλέ γραμμή) για p=3 και κ=0.9 (δ) αντίστοιχος βαθμός διστακτικότητας... 32 Σχήμα 6: (α)συνάρτηση συμμετοχής(κόκκινη γραμμή) και μη-συμμετοχής(μπλέ γραμμή) για p=9 και κ=0.2 (β) αντίστοιχος βαθμός διστακτικότητας (γ) Συνάρτηση συμμετοχής(κόκκινη γραμμή) και μη-συμμετοχής(μπλέ γραμμή) για p=9 και κ=0.9 (δ) αντίστοιχος βαθμός διστακτικότητας... 32 Σχήμα 7: (α) αρχική εικόνα (β) βέλτιστες συνιστώσες συμμετοχής (γ) βέλτιστες συνιστώσες μησυμμετοχής (δ) βέλτιστες συνιστώσες διστακτικότητας (ε) καμπύλη διαισθητικής ασαφούς εντροπίας (στ) βέλτιστη συνάρτηση συμμετοχής(μπλε γραμμή), μη-συμμετοχής(κόκκινη γραμμή),διστακτικότητας(πράσινη γραμμή)... 36 Σχήμα 8: (α) Αρχική εικόνα. Εικόνες που λαμβάνονται (β) με την τεχνική της διαισθητικής αποασαφοποίησης μεγίστου δείκτη ασάφειας, (γ), της μονοπαραμετρικής διαισθητικής ασαφοποίησης, (δ)της γενικευμένης διαισθητική αποασαφοποίησης με χρήση του αθροιστικού ιστογράμματος... 39 Σχήμα 9:(α),(γ) Αρχική εικόνα. Εικόνες που παράγονται (β),(γ) με χρήση της μεθόδου της διπαραμετρικής διαισθητικής αποασαφοποίησης... 41 Σχήμα 10 (α) Αρχική εικόνα και το αποτέλεσμα που λαμβάνεται (β) με την μέθοδο της εξισορρόπησης ιστογράμματος. Εικόνες που παράγονται με εφαρμογή του διαισθητικού ασαφές πλαισίου με βελτιστοποίηση της διαισθητικής ασαφούς εντροπίας (γ) ΕΕΕΕΕΕU (δ) EEEEEE U (ε) EEEEEEU (στ) ΕΕΕΕΕΕΕΕ... 42 Σχήμα 11: Υπερεκτεθειμένη αρχική εικόνα και το αποτέλεσμα που λαμβάνεται (β) με την μέθοδο της εξισορρόπησης ιστογράμματος. Εικόνες που παράγονται με εφαρμογή του διαισθητικού ασαφές πλαισίου με βελτιστοποίηση της διαισθητικής ασαφούς εντροπίας (γ) ΕΕΕΕΕΕU (δ) EEEEEE U (ε) EEEEEEU (στ) ΕΕΕΕΕΕΕΕ... 43 Σχήμα 12: Ασαφή συνάρτηση συμμετοχής για (α) gggggggg = 222222U,gggg = 1111,FFFF = 22U (β) gggggggg = 222222U,gggg = 222222,FFFF = 22... 46 Σχήμα 13: Εφαρμογή του τελεστή U σε τυπικές συναρτήσεις φωτεινότητας(μπλε γραμμή) (α) συμμετοχής (β) μη συμμετοχής (γ) διστακτικότητας για m=0.5 (κόκκινη γραμμή) και για m=2(πράσινη γραμμή)... 46 Σχήμα 14: (α)αρχική εικόνα, εικόνα ενισχυμένης αντίθεσης (β) με την μέθοδο της διαισθητικής ασαφούς έντασης αντίθεσης για m=1.5 και μία επανάληψη, με την μέθοδο της ασαφούς ένταση αντίθεση αντίθεσης με gggggggg = 222222U,Fe=2 (γ) gggg = 1111U και (δ) gggg = 222222... 48 Σχήμα 15: Εξάρτηση των συναρτήσεων από την παράμετρο β (α)συμμετοχής, (β)μησυμμετοχής, (δ)διστακτικότητας με β=2 και β=5... 49 Σχήμα 16 Αρχική εικόνα.εικόνες επεξεργασμένες με την μέθοδο της ασαφούς υπερβολικής εξισορρόπησης ιστογράμματος για (β) β=0.5 (γ) β=1 (δ) β=2. Εικόνες με χρήση της διαισθητικής ασαφούς επέκτασης (ε)β=0.5 (στ) β=1 (ζ)β=2... 51 5

ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΕΙΚΟΝΩΝ Σχήμα 17 (α) Αρχική εικόνα.(β)κανονικοποιημένο σύνηθες ιστόγραμμα της αρχικής εικόνας,(γ)καμπύλη της διαισθητικής ασαφούς εντροπίας που χρησιμοποιείται κατά την αρχή της μέγιστης διαισθητικής ασαφούς εντροπίας,(δ) άνω(συνεχή γραμμή) και κάτω(διακεκομμένη γραμμή) κανονικοποιημένα διαισθητικά ασαφή ιστογράμματα για p=5 (ε) και το αντίστοιχο κανονικοποιημένο ιστόγραμμα διστακτικότητας... 54 Σχήμα 18 (α)αρχική εικόνα. Παραγόμενες εικόνες με χρήση των τεχνικών (β) ισοστάθμισης ιστογράμματος (γ) της μεθόδου εξισορρόπησης ιστογράμματος διστακτικότητας για p=2 (δ) p=10 (ε) p=30 (στ) p=80... 55 Σχήμα 19 (α)αρχική εικόνα. Κατάτμηση της αρχικής εικόνας με χρήση (β) του πληροφοριακού μέτρου διάκρισης για ασαφή σύνολα (γ) του διαισθητικού ασαφούς αναλόγου... 60 Σχήμα 20 (α)αρχική εικόνα και τα αποτελέσματα τμηματοποίσης σε 3 επίπεδα με την μέθοδο (β)fcm (γ)ifcm και (δ) Ε-IFCM... 63 Σχήμα 21 (α)εικόνα προσβεβλημένη με λευκό κανονικό και salt & pepper θόρυβο. Χάρτες ακμών που λαμβάνονται με τον τελεστή Sobel και προεργασία με (β) προσαρμοσμένο φίλτρο Wiener και (γ) μεσαίου παραθύρου 3Χ3 εικονοστοιχείων. Παραγόμενος χάρτης ακμών με χρήση διαισθητικού ασαφούς πλαισίου και m=0.4... 66 Σχήμα 22 μαστογραφία και σήμανση των περιοχών ενδιαφέροντος... 70 Σχήμα 23 (στήλη α) Μαστογραφίες που λήφθησαν από τη βάση δεδομένων MiniMias, από πάνω προς τα κάτω MDB112, MDB322, MDB271.(στήλη β) Παραγόμενες εικόνες με τη μέθοδο της ισοστάθμισης ιστογράμματος, (στήλη γ) την ασαφή μέθοδο FHH, (στήλη δ) τη διαισθητική ασαφή μέθοδο IFHH... 74 Σχήμα 24 (στήλη α) Μαστογραφίες που λήφθησαν από τη βάση δεδομένων MiniMias, από πάνω προς τα κάτω MDB291, MDB237, MDB128.(στήλη β) Παραγόμενες εικόνες με τη μέθοδο της ισοστάθμισης ιστογράμματος, (στήλη γ) την ασαφή μέθοδο FCI (στήλη δ) τη διαισθητική ασαφή μέθοδο IFCI... 77 Σχήμα 25 Περιβάλλον σχεδίασης γραφικού περιβάλλοντος από το ειδικό ειδικό υποπρόγραμμα του Matlab... 80 Σχήμα 26 Γραφικό περιβάλλον του προγράμματος... 81 Σχήμα 27 Λειτουργία HELP του προγράμματος... 81 Σχήμα 28 Αρχικό παράθυρο προγράμματος... 82 6

ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΠΙΝΑΚΩΝ Κατάλογος πινάκων Πίνακας 1 Παραλλαγές του διαισθητικού ασαφούς πλαισίου επεξεργασίας εικόνας σε σχέση με τις μεθόδους διαισθητικής ασαφοποίησης και αποασαφοποίησης (MIFID:Διαισθητική αποασαφοποίηση μεγίστου δείκτη ασάφειας, GID:Γενικευμένη διαισθητική αποασαφοποίηση)... 72 Πίνακας 2 Κριτήρια αποτίμησης βελτίωσης για τις παραλλαγές της μεθόδου διαισθητικής ασαφούς υπερβολικής ενίσχυσης ιστογράμματος για διάφορους τύπους μαστού.... 73 Πίνακας 3 Κριτήρια αποτίμησης βελτίωσης για τις παραλλαγές της μεθόδου διαισθητικής ασαφούς ένταση αντίθεσης ιστογράμματος για διάφορους τύπους μαστού.... 76 7

ΣΚΟΠΟΣ ΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Σκοπός της εργασίας Τα ασαφή συστήματα πρωτοεισήχθησαν το 1965 από τον Lotfi Zadeh που σκοπό είχε να συνδυάσει ένα μαθηματικό μοντέλο και την ανθρώπινη γνώση στην επιστήμη των μηχανικών. Το βασικότερο εργαλείο των ασαφών συστημάτων είναι η συνάρτηση συμμετοχής που καθορίζει σε ποιο βαθμό το κάθε στοιχείο ανήκει στο ασαφές σύνολο. Τα ασαφή συστήματα, λόγω της ευκολίας τους να περιγράφουν πολύπλοκα συστήματα βρήκαν μεγάλη αποδοχή από την επιστημονική κοινότητα παρά τις αρχικές αντιδράσεις κυρίως από τον χώρο των μαθηματικών της στατιστικής και των πιθανοτήτων. Από την πρώτη παρουσίασή τoυς πολλά μοντέλα έχουν δημοσιευτεί με σκοπό την επέκταση των ασαφών συστημάτων. Ένα μειονέκτημα των ασαφών συνόλων είναι η αδυναμία τους να περιγράψουν καταστάσεις αβεβαιότητας της διαθέσιμης πληροφορίας. Η παραπάνω ανάγκη οδήγησε σε μία επέκταση των FS που εισήγαγε ο Atanassov το 1999 με την ονομασία «διαισθητικά ασαφή συστήματα» (IFS). Πλέον όποτε αναφερόμαστε στον όρο «διαισθητικό» θα γίνεται υπό το πρίσμα της θεωρίας των διαισθητικών ασαφών συνόλων που προτάθηκαν από τον Atanassov. Έτσι, τα IFS πέρα από τη «θετική πληροφορία» που εκφράζεται µε τη συνάρτηση συμμετοχής σε ένα σύνολο, εισάγουν και τη δυνατότητα διατύπωσης «αρνητικής πληροφορίας», µέσω της συνάρτησης µη-συµµετοχής. Επιπλέον, παρέχουν τη δυνατότητα να εκφραστεί µαθηµατικά και η έννοια της διστακτικότητας δηλαδή της αβεβαιότητας, γεγονός που οδηγεί στην επαρκέστερη και συνεπώς αντικειμενικότερη αποτύπωση της πραγματικότητας. Οι Vlachos και Sergiadis ερεύνησαν την εφαρμογή των IFS στην περιοχή της ψηφιακής επεξεργασίας εικόνας καθώς και τη θεωρητική προσέγγιση εννοιών που είναι χρήσιμες στις τεχνικές επεξεργασίας. Πιο συγκεκριμένα, διερεύνησαν την εφαρμογή των IFS στην ένταση αντίθεσης, στην ανίχνευση ακμών και στην κατάτμηση ψηφιακών εικόνων. Τέλος, ανέπτυξαν αλγόριθμους για την επεξεργασία ιατρικών εικόνων. Στην παρούσα διπλωματική εργασία γίνεται υλοποίηση αυτών των μεθόδων με χρήση του λογισμικού matlab και η ενσωμάτωσή τους σε ένα εύχρηστο γραφικό περιβάλλον. 8

ΣΚΟΠΟΣ ΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Έτσι δίνεται η δυνατότητα στον χρήστη να παρατηρήσει πώς μία εικόνα μετατρέπεται από το πεδίο της φωτεινότητας στο ασαφές πεδίο, στη συνέχεια στο διαισθητικά ασαφές πεδίο και τελικά στο ασαφές πεδίο και στην τελική εικόνα. Μία εποπτική εικόνα αυτής της ακολουθίας παρουσιάζεται στο Σχήμα 1. Εικόνα εισόδου Ασαφής εικόνα Συνιστώσα συμμετοχής Συνιστώσα μη συμμετοχής Διαισθητική συνιστώσα συμμετοχής Διαισθητική συνιστώσα μη συμμετοχής Διαισθητική συνιστώσα διστακτικότητας Επεξεργασμένη ασαφής εικόνα Εικόνα εξόδου Σχήμα 1 Αναπαράσταση του διαισθητικού ασαφούς πλαισίου επεξεργασίας εικόνας 1.1 Διάρθρωση της εργασίας Στο δεύτερο κεφάλαιο παρουσιάζονται κάποιες βασικές έννοιες της ασαφούς θεωρίας, οι οποίες θα χρειαστούν για την καλύτερη κατανόηση των διαισθητικών ασαφών συστημάτων. Στο τρίτο κεφάλαιο δίνονται οι βασικές αρχές και περιγράφονται οι ιδιότητες των θεμελιωδών στοιχείων της θεωρίας των διαισθητικών ασαφών συνόλων. Οι διαισθητικά ασαφείς εντροπίες είναι βασικό στοιχείο των διαισθητικών συνόλων και χρησιμοποιούνται για την εξαγωγή των διαισθητικών ασαφών συναρτήσεων, οπότε 9

ΣΚΟΠΟΣ ΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ κρίνεται χρήσιμο να γίνει η περιγραφή τους στο τέταρτο κεφάλαιο. Σκοπός του πέμπτου κεφαλαίου είναι να περιγράψει το μαθηματικό πλαίσιο για την ψηφιακή επεξεργασία εικόνας, το οποίο στηρίζεται στη θεωρία των διαισθητικών ασαφών συστημάτων. Το έκτο κεφάλαιο αναφέρεται στην εφαρμογή των IFS για την επεξεργασία ενίσχυσης της αντίθεσης στις ψηφιακές εικόνες. Στο έβδομο κεφάλαιο περιγράφεται η κατάτμηση εικόνας με τη χρήση των διαισθητικών ασαφών συστημάτων. Οι ακμές είναι βασικά χαρακτηριστικά της εικόνας. Φέρουν χρήσιμες πληροφορίες για τα όρια των αντικειμένων, οι οποίες μπορούν να χρησιμοποιηθούν για ανάλυση εικόνας, προσδιορισμό αντικειμένων. Στο όγδοο κεφάλαιο λοιπόν γίνεται ανάλυση της μεθόδου ανίχνευσης ακμών οδηγούμενο από τη διστακτικότητα. Στο ένατο κεφάλαιο εφαρμόζονται οι μέθοδοι που περιγράφηκαν στο έκτο κεφάλαιο σε μαστογραφίες για την ανάδειξη του στόχου (όγκου). Στο τελευταίο κεφάλαιο παρουσιάζεται το γραφικό περιβάλλον στο οποίο υλοποιούνται οι τεχνικές που προαναφέρθησαν. 10

ΑΣΑΦΗ ΣΥΝΟΛΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ασαφή συστήματα 2.1 Εισαγωγή Η ασαφής λογική αποτελεί επέκταση των κλασσικών συνόλων. Στα κλασσικά σύνολα ένα στοιχείο μπορεί να είναι μέλος ενός συνόλου Α ή όχι. Επομένως ένα σύνολο Α ορίζεται από τη συνάρτηση: 1, γγγγγγ χχ ΑΑ ΧΧ ΑΑ (χχ) = 0, γγγγγγ χχ ΑΑ (2.1) Όπου XX AA είναι η χαρακτηριστική συνάρτηση, χ ένα αντικείμενο του πεδίου ορισμού και Α το σύνολο. Καταλαβαίνομε δηλαδή ότι στα κλασσικά σύνολα το όριο είναι καθαρό και «απότομο». Αυτή η ιδιότητα των κοινών συνόλων ήταν και η αδυναμία τους, δηλαδή παρά την εκτεταμένη χρήση τους τις περασμένες δεκαετίες δεν μπορούσαν περιγράψουν καταστάσεις και έννοιες που παρουσίαζαν μεγάλη ασάφεια. Αυτό οφειλόταν είτε στην πολυπλοκότητα του προβλήματος είτε στη ίδια τη φύση του προβλήματος, άλλωστε ο πραγματικός κόσμος διέπεται από μεγάλο βαθμό ασάφειας. Ένα κλασσικό παράδειγμα είναι η ίδια η ανθρώπινη σκέψη που δεν είναι δυαδική, δηλαδή μαύρο-άσπρο αλλά λειτουργεί σε ένα ασαφές επίπεδο, κατ επέκταση και η ίδια η χρήση της γλώσσας διακρίνεται από έναν υψηλό βαθμό ασάφειας, για παράδειγμα η λέξη «ψηλό» δεν έχει την ίδια σημασία σε δύο άτομα με διαφορετικές εμπειρίες ενώ εκφράσεις όπως «η απόσταση είναι μάλλον μεγάλη», «το νερό είναι πολύ ζεστό», «η φωτεινότητα είναι χαμηλή» καταδεικνύουν την απροσδιοριστία της ανθρώπινης αντίληψης 2.2 Βασικοί ορισμοί Το κενό των κλασσικών συνόλων ήρθαν να καλύψουν τα ασαφή συστήματα που εισήχθησαν από τον Lotfi A. Zadeh. Στην ουσία εισήγαγε την κλασματοποίηση μεταξύ των απόλυτων 11

ΑΣΑΦΗ ΣΥΝΟΛΑ τιμών 1 και 0 της κλασσικής λογικής. Δηλαδή τα ασαφή σύνολα είναι σύνολα διαβάθμισης μάλλον παρά σύνολα που έχουν μέλη. Έτσι, μια τιμή μπορεί να ανήκει σε πολλά υποσύνολα ταυτόχρονα με κάποιον βαθμό συμμετοχής για κάθε ένα από αυτά. Ο βαθμός συμμετοχής ενός στοιχείου σε ένα σύνολο εξάγεται με τη χρήση της συνάρτησης συμμετοχής. Αν συμβολίσουμε με X αυτό το σύνολο, και με μμ ΑΑ (χχ) την συνάρτηση συμμετοχής, τότε έχουμε μία απεικόνιση της μορφής μμ ΑΑ (χχ): XX [0,1]. H συνάρτηση αυτή μας επιστρέφει μία τιμή που κυμαίνεται από 0 έως 1 που ονομάζεται βαθμός συμμετοχής (membership degree) για κάθε στοιχείο χ του συνόλου Χ, ενώ το σύνολο που ορίζεται με αυτόν τον τρόπο καλείται ασαφές σύνολο (fuzzy set).έτσι όσο περισσότερο πλησιάζει η τιμή αυτή το ένα τόσο μεγαλύτερος είναι ο βαθμός συμμετοχής του χ στο Χ. Τέλος, να αναφερθεί ότι ένα ασαφές σύνολο Α σε ένα πεδίο ορισμού Χ ορίζεται ως ένα ζεύγος διατεταγμένων ζευγών ΑΑ = {χχ, μμ ΑΑ (χχ), χχ ΧΧ}. Σχήμα 2 Αναπαράσταση ασαφούς συνόλου Για την καλύτερη κατανόηση όσων αναφέρθηκαν στο Σχήμα 2 απεικονίζεται ένα απλό παράδειγμα της χρήσης των ασαφών συνόλων όταν τα σύνολα είναι τα «ζεστό», «χλιαρό», «κρύο» και το πεδίο ορισμού η θερμοκρασία. 12

ΑΣΑΦΗ ΣΥΝΟΛΑ 2.3 Τελεστές ασαφών συνόλων Οι τρείς βασικοί τελεστές των κλασσικών συνόλων, δηλαδή οι τελεστές συμπληρώματος, τομής( ) και ένωσης( ), μπορούν να επεκταθούν και στη θεωρία των ασαφών συνόλων. Για κάθε μία από αυτές τις πράξεις υπάρχει μία ομάδα τελεστών που την υλοποιεί, αλλά από αυτές μία συγκεκριμένη ομάδα, οι τυπικοί τελεστές ασαφών συνόλων(standard fuzzy sets operations) έχει μια ιδιαίτερη σημασία στην θεωρία των ασαφών συνόλων. Όπου κρίνεται σκόπιμο θα αναφερθούν και άλλες ομάδες τελεστών στις οποίες γίνεται αναφορά στα επόμενα κεφάλαια 2.3.1 Ασαφές συμπλήρωμα Το συμπλήρωμα ενός ασαφούς συνόλου ΑΑ, το οποίο συμβολίζεται και ως AA cc καθορίζεται από μία συνάρτηση C:[0, 1] [0, 1]. H συνάρτηση C για να γίνει αποδεχτή ως τελεστής συμπληρώματος πρέπει να υπακούει στα παρακάτω αξιώματα C.1: c(0) = 1 και c(1) = 0 (boundary conditions) C.2 : Για κάθε α,b [0,1 ] εάν α b, τότε c(α) c(b) (monotony) C.3 : H c είναι μία συνεχής συνάρτηση (continuity) C.4: H c υπακούει στη σχέση c(c(a))=a (involution) 2.3.1.1 Τυπικό ασαφές συμπλήρωμα Το τυπικό ασαφές συμπλήρωμα AA cc ενός συνόλου ΑΑ σε ένα πεδίο ορισμού Χ, ορίζεται ως μμ AA cccc (xx) = 1 μμ ΑΑ,(χχ) (2.2) για κάθε χ Χ. 13

ΑΣΑΦΗ ΣΥΝΟΛΑ 2.3.1.2 Ασαφή συμπλήρωμα Sugeno Τα ασαφή συμπληρώματα της ομάδας Sugeno ορίζονται από τις συναρτήσεις: cc λλ (χχ) = 1 αα (2.3) 1 + λλλλ Όπου το λ [ 1, ]. Το συμπλήρωμα συμβολίζεται με AA cc και περιγράφεται ως εξής: μμ λλ (χχ) AA cc = 1 μμ ΑΑ (χχ) 1 λλ μμ ΑΑ (χχ) (2.4). 2.3.1.3 Ασαφή συμπλήρωμα Yager Τα ασαφή συμπληρώματα της ομάδας Υager ορίζονται από τις συναρτήσεις: cc ww (χχ) = (1 aa ww ) 1/ww (2.5) Όπου το λ [ 1, ].Το συμπλήρωμα συμβολίζεται με AA cc και περιγράφεται ως εξής : μμ ww (χχ) AA cc = (1 μμ αα (χχ) ww ) 1/ww (2.6) 2.3.2 Ασαφής Τομή Η τομή δύο ασαφών συνόλων ΑΑ και ΒΒ είναι μία δυαδική πράξη στο μοναδιαίο διάστημα. Είναι δηλαδή, μία συνάρτηση της μορφής i:[0, 1] X [0, 1] [0,1 ]. Για να θεωρηθεί ένας τελεστής ως τελεστής τομής πρέπει να ικανοποιεί τα παρακάτω αξιώματα για κάθε α,b,d [0, 1]: I1: i(α,1)=α (boundary conditions) I2: b d υπονοεί ότι i(α,b) i(α,d) (monotony) I3: i(α,b) = i(b,α) (continuity) I4: i(α, i(b, d)) = i (i(α, b), d) (involution) 2.3.2.1 Τυπική ασαφής τομή Για δύο ασαφή σύνολα ΑΑ ΒΒ η τυπική ασαφής τομή ορίζεται από την σχέση 14

ΑΣΑΦΗ ΣΥΝΟΛΑ μμ ΑΑ ΒΒ = min {μμ ΑΑ (χχ), μμ ΒΒ (χχ)} (2.7) 2.3.3 Ασαφής ένωση Η ένωση, όπως η τομή δύο ασαφών συνόλων ΑΑ και ΒΒ, είναι μία δυαδική πράξη στο μοναδιαίο διάστημα. Είναι δηλαδή μία συνάρτηση της μορφής i:[0, 1] X [0, 1] [0,1 ]. Για να θεωρηθεί ένας τελεστής ως τελεστής ένωσης πρέπει να ικανοποιεί τα παρακάτω αξιώματα για κάθε α,b,d [0, 1]: U1: u(α,0)=α (boundary conditions) U2: b d υπονοεί ότι u(α,b) u(α,d) (monotony) U3: u(α,b) = u(b,α) (continuity) U4: u(α, u(b, d)) = u(u(α, b), d) (involution) 2.3.3.1 Τυπική ασαφής ένωση Για δύο ασαφή σύνολα ΑΑ ΒΒ η τυπική ασαφής ένωση ορίζεται από την σχέση μμ AA BB = mmmmmm {μμ ΑΑ (χχ), μμ ΒΒ (χχ)} (2.8) 2.4 Ασαφή μέτρα Απόστασης Τα ασαφή μέτρα απόστασης εξάγονται από την προσαρμογή των κλασσικών μέτρων απόστασης στα ασαφή σύνολα. Παρακάτω παρουσιάζονται οι αποστάσεις για δύο ασαφή σύνολα AA, BB 2.4.1 Απόσταση Hamming dd(aa, BB ) = μμ ΑΑ (χχ ii ) μμ ΒΒ (xx ii ) nn ii=1 (2.9) 15

ΑΣΑΦΗ ΣΥΝΟΛΑ 2.4.2 Κανονικοποιημένη απόσταση Hamming ll(aa, BB ) = 1 nn μμ nn ii=1 ΑΑ (χχ ii ) μμ ΒΒ (xx ii ) (2.10) 2.4.3 Ευκλείδεια απόσταση ee(aa, BB ) = nn ii=1 (μμ ΑΑ (χχ ιι ) μμ ΒΒ (χχ ιι )) 2 (2.11) 2.4.4 Kανονικοποιημένη ευκλείδεια απόσταση qq(aa, BB ) = 1 nn (μμ nn ii=1 ΑΑ (χχ ιι ) μμ ΒΒ (χχ ιι )) 2 (2.12) 2.5 Δείκτες ασάφειας Ένα μέτρο ασάφειας, γνωστό και ως δείκτης ασάφειας, ορίζεται αναφορικά με ένα μέτρο απόστασης από το ασαφές σύνολο ΑΑ στο πλησιέστερο σύνηθες σύνολο. Εάν χρησιμοποιήσουμε την απόσταση Hamming τότε ο δείκτης ασάφειας παίρνει τη μορφή nn ff AA = μμ ΑΑ (xx) μμ ΑΑ cc (xx) ii=1 ενώ αν χρησιμοποιήσουμε την Ευκλείδεια απόσταση τότε εξάγεται η σχέση (2.13) nn ff AA = μμ ΑΑ (xx) μμ ΑΑ cc (xx) 2 2 (2.14) ii=1 1 Μία άλλη έκφραση του δείκτη ασάφειας, ο γραμμικός δείκτης ασάφειας, δίνεται από τη σχέση: γγ ll AA = 1 XX min {μμ 2 XX ΑΑ (χχ ii ), μμ cc ii=1 ΑΑ (xx ii )} (2.15) 16

ΑΣΑΦΗ ΣΥΝΟΛΑ ενώ εάν αντί για του τελεστή min χρησιμοποιήσουμε τον τελεστή γινομένου προκύπτει η ακόλουθη έκφραση XX γγ ΑΑ = 1 4 ΧΧ μμ ΑΑ (xx ii )μμ cc ΑΑ (χχ ii ) ii=1 (2.16) 17

ΔΙΑΙΣΘΗΤΙΚΑ ΑΣΑΦΗ ΣΥΝΟΛΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Διαισθητικά ασαφή σύνολα 3.1 Βασικοί ορισμοί και ορολογία Μία πρώτη αναφορά στα διαισθητικά ασαφή σύνολα έγινε στο κεφάλαιο 1. Όπως προαναφέρθηκε η βασική αιτία για την επέκταση της ασαφούς θεωρίας ήταν το γεγονός ότι η τελευταία αδυνατούσε να παραστήσει την έννοια της αβεβαιότητας. Παραδείγματα αυτών των καταστάσεων περιλαμβάνουν καταστάσεις αβεβαιότητας σχετικές με την ακρίβεια των παρατηρήσεων, στην αβεβαιότητα των ληπτών απόφασης να εκφράσουν σαφώς τις προτιμήσεις τους ή στην αδυναμία ενός ειδικού να διατυπώσει με βεβαιότητα τους κανόνες ενός έμπειρου συστήματος. Έτσι, σε αντίθεση με τα ασαφή σύνολα που χαρακτηρίζονται μόνο από τη συνάρτηση συμμετοχής, τα διαισθητικά ασαφή σύνολα ορίζονται από τη συνάρτηση συμμετοχής και της μη-συμμετοχής. Πιο συγκεκριμένα, ενώ στην πρώτη περίπτωση το άθροισμα των συναρτήσεων συμμετοχής, μη-συμμετοχής για κάθε στοιχείο πρέπει να είναι μονάδα, στη δεύτερη περίπτωση αυτός ο περιορισμός αίρεται, με αποτέλεσμα να εισάγεται ένας επιπλέον βαθμός ελευθερίας. Ο μόνος περιορισμός πλέον είναι αυτός του αθροίσματος της συνάρτησης συμμετοχής και μη-συμμετοχής να είναι μικρότερος της μονάδας. Στη συνέχεια δίνεται ο ορισμός του διαισθητικού ασαφούς συνόλου. Ένα διαισθητικό ασαφές σύνολο Α σε ένα πεδίο ορισμού Χ συμβολίζεται ως: όπου AA = {< xx, μμ ΑΑ (χχ), νν ΑΑ (χχ) > χχ ΧΧ} (3.1) μμ ΑΑ (χχ): XX [0,1] και νν ΑΑ (χχ): XX [0,1] (3.2) υπό τη συνθήκη 0 μμ ΑΑ (χχ) + νν ΑΑ (χχ) 1 για κάθε χχ ΧΧ. Τα IFS παρέχουν επιπλέον τη δυνατότητα της μοντελοποίησης της έννοιας της διστακτικότητας, εξασφαλίζοντας με αυτόν τον τρόπο επαρκέστερη και αντικειμενικότερη 18

ΔΙΑΙΣΘΗΤΙΚΑ ΑΣΑΦΗ ΣΥΝΟΛΑ αποτύπωση της πραγματικότητας. Αφού λοιπόν ορίσαμε τη συνάρτηση συμμετοχής και μησυμμετοχής στο IFS είμαστε πλέον σε θέση να ορίσουμε και τη συνάρτηση διστακτικότητας. Έχοντας κατά νου ότι οι αριθμοί μμ ΑΑ (χχ) κκκκκκ νν ΑΑ (χχ) καθορίζουν το βαθμό συμμετοχής και το βαθμό μη-συμμετοχής του στοιχείου χ στο σύνολο Χ, o δείκτης διστακτικότητας ορίζεται ως: ππ ΑΑ (χχ) = 1 μμ ΑΑ (χχ) νν ΑΑ (χχ) (3.3) όπου ππ ΑΑ (χχ): XX [0, 1]. Εύκολα παρατηρούμε ότι αν ο βαθμός διστακτικότητας έχει τιμή μηδέν για κάθε τιμή του χ στο Χ, τότε αναφερόμαστε σε ένα ασαφές σύνολο. 3.2 Πράξεις και σχέσεις στα IFS Όπως και στα ασαφή σύνολα, έτσι και στα IFS ορίζονται οι τελεστές του συμπληρώματος, της ένωσης και της τομής ανάμεσα σε δύο διαισθητικά ασαφή σύνολα Α και Β. Επίσης θα παρουσιάσουμε και τον τελεστή αποδόμησης ο οποίος εκφυλίζει ένα διαισθητικό ασαφές σύνολο στο, ασαφές ανάλογό του 3.2.1 Διαισθητικό ασαφές συμπλήρωμα Το συμπληρωματικό σύνολο ΑΑ cc ενός διαισθητικού ασαφούς συνόλου Α ορίζεται ως ΑΑ cc = {< xx, νν ΑΑ (χχ), μμ ΑΑ (χχ) > χχ ΧΧ} (3.4) 3.2.2 Διαισθητική ασαφής ένωση Ο τελεστής ένωσης μεταξύ των διαισθητικών ασαφών συνόλων Α και Β ορίζεται ως ΑΑ ΒΒ = {< xx, max {μμ ΑΑ (χχ), μμ ΒΒ (χχ), min {νν ΑΑ (xx), νν ΒΒ (xx)} > xx εε XX} (3.5) 3.2.3 Διαισθητική ασαφής τομή Ο τελεστής τομής μεταξύ των διαισθητικών ασαφών συνόλων Α και Β ορίζεται ως 19

ΔΙΑΙΣΘΗΤΙΚΑ ΑΣΑΦΗ ΣΥΝΟΛΑ ΑΑ ΒΒ = {< xx, mmmmmm{μμ ΑΑ (χχ), μμ ΒΒ (χχ), max {νν ΑΑ (xx), νν ΒΒ (xx)} > xx εε XX} (3.6) 3.2.4 Διαισθητικός τελεστής αποδόμησης Ο τελεστής αποδόμησης κατά Atanassov «αποδομεί» ένα διαισθητικό ασαφές σύνολο σε ασαφές σύνολο και ορίζεται ως με 0 α 1. DD aa (AA) = {< xx, μμ ΑΑ (χχ) + αα ππ ΑΑ (χχ), νν ΑΑ (χχ) + (1 αα)ππ ΑΑ (χχ) > χχ εε ΧΧ} (3.7) 3.3 Διαισθητικά μέτρα απόστασης Η διαισθητική ασαφής επέκταση των ασαφών μέτρων απόστασης που περιγράφηκαν στο κεφάλαιο 2.4 εισήχθηκε από τους Szmidt και Kacprzyk. Έτσι λοιπόν για δύο διαισθητικά ασαφή σύνολα Α και Β ορίζονται τα παρακάτω μέτρα απόστασης: 3.3.1 Aπόσταση Hamming dd IIIIII (AA, BB) = 1 nn μμ 2 ii=1 ΑΑ(χχ ιι ) μμ ΒΒ (χχ ιι ) + νν ΑΑ (χχ ιι ) νν ΒΒ (χχ ιι ) + ππ ΑΑ (χχ ιι ) ππ ΒΒ (χχ ιι ) (3.8) 3.3.2 Kανονικοποιημένη απόσταση Hamming nn ll IIIIII (AA, BB) = 1 2nn μμ ΑΑ(χχ ιι ) μμ ΒΒ (χχ ιι ) + νν ΑΑ (χχ ιι ) νν ΒΒ (χχ ιι ) + ππ ΑΑ (χχ ιι ) ππ ΒΒ (χχ ιι ) ii=1 (3.9) 3.3.3 Ευκλείδεια απόσταση nn ee IIIIII (AA, BB) = 1 2 ((μμ ΑΑ(χχ ιι ) μμ ΒΒ (χχ ιι )) 2 + (νν ΑΑ (χχ ιι ) νν ΒΒ (χχ ιι )) 2 + (ππ ΑΑ (χχ ιι ) ππ ΒΒ (χχ ιι )) 2 ) 1 2 ii=1 (3.10) 20

ΔΙΑΙΣΘΗΤΙΚΑ ΑΣΑΦΗ ΣΥΝΟΛΑ 3.3.4 Kανονικοποιημένη ευκλείδεια απόσταση nn qq IIIIII (AA, BB) = 1 2nn ((μμ ΑΑ(χχ ιι ) μμ ΒΒ (χχ ιι )) 2 + (νν ΑΑ (χχ ιι ) νν ΒΒ (χχ ιι )) 2 + (ππ ΑΑ (χχ ιι ) ππ ΒΒ (χχ ιι )) 2 ) 1 2 ii=1 (3.11) 21

ΔΙΑΙΣΘΗΤΙΚΗ ΑΣΑΦΗΣ ΕΝΤΡΟΠΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Διαισθητική ασαφής εντροπία 4.1 Εισαγωγικά Ο όρος «εντροπία» στα ασαφή συστήματα αναφέρθηκε πρώτη φορά από τον Zadeh ως ένα μέτρο της ασάφειας. Ο όρος εντροπία δόθηκε λόγω της εγγενούς σχέσης που έχει με την εντροπία Shannon, αν και πρέπει να έχουμε κατά νου ότι αυτές οι δύο έννοιες υπολογίζουν μία διαφορετικής φύσης αβεβαιότητα. Όπως ήταν φυσικό η εντροπία ενέπνευσε τους ερευνητές που ασχολήθηκαν με τα διαισθητικά ασαφή συστήματα, πολλοί από τους οποίους ανέπτυξαν σύνολα αξιωμάτων που θα πρέπει να πληροί μία συνάρτηση ώστε να θεωρηθεί διαισθητική ασαφής εντροπία. Παρακάτω περιγράφονται αυτά τα αξιώματα και οι προτεινόμενες διαισθητικές ασαφείς εντροπίες λόγω της σημαντικότητάς τους στην επεξεργασία εικόνας με IFS. 4.2 Αξιώματα εντροπίας 4.2.1 Αξιώματα Burillo, Bustince Μία πραγματική συνάρτηση EE: IIIIII(XX) R + είναι ένα μέτρο εντροπίας στο IFS(X), εάν έχει τις ακόλουθες ιδιότητες Ε(Α)=0 εάν και μόνο εάν ΑΑ εε FFFF(XX), E(A)=card(X) εάν και μόνο εάν μμ ΑΑ (χχ) = νν ΑΑ (χχ) = 0 γγγγγγ κκάθθθθ χχ εε ΧΧ ΕΕ(ΑΑ) = ΕΕ(ΑΑ cc )εεεεεε ΑΑ εε IIIIII(XX) EE(AA) EE(BB)εεάνν μμ ΑΑ (χχ) μμ ΒΒ (χχ)κκκκκκ νν ΑΑ (χχ) νν ΒΒ (χχ)γγγγγγ κκάθθθθ χχ εε ΧΧ 22

ΔΙΑΙΣΘΗΤΙΚΗ ΑΣΑΦΗΣ ΕΝΤΡΟΠΙΑ 4.2.2 Αξιώματα Smidt, Kacprzyk Μία πραγματική συνάρτηση EE: IIIIII(XX) R + είναι ένα μέτρο εντροπίας στο IFS(X), εάν έχει τις ακόλουθες ιδιότητες EE(AA) = 0 εεάνν κκκκκκ μμόνννν αααα ΑΑ εε 2 χχ ΕΕ(ΑΑ) = 1 εεάνν κκκκκκ μμόνννν αααα μμ ΑΑ (χχ) = νν ΑΑ (χχ)γγγγγγ κκάθθθθ χχ εε ΧΧ ΕΕ(ΑΑ) = ΕΕ(ΑΑ cc ) γγγγγγ κκάθθθθ ΑΑ εε IIIIII(XX) EE(AA) EE(BB)εεάνν ή μμ ΑΑ (χχ) μμ ΒΒ (χχ)κκκκκκ νν ΑΑ (χχ) νν ΒΒ (χχ) γγγγγγ μμ ΒΒ (χχ) νν ΒΒ (χχ) μμ ΑΑ (χχ) μμ ΒΒ (χχ)κκκκκκ νν ΑΑ (χχ) νν ΒΒ (χχ)γγγγγγ μμ ΒΒ (χχ) νν ΒΒ (χχ) γγγγγγ κκάθθθθ χχ εε ΧΧ Μπορούμε εύκολα να παρατηρήσουμε ότι για την περίπτωση που μμ ΑΑ (χχ) μμ ΒΒ (χχ) και νν ΑΑ (χχ) νν ΒΒ (χχ) λόγω της τέταρτης σχέσης δεν μπορούμε να βγάλουμε κάποιο συμπέρασμα για την εντροπία των δύο συνόλων. Έτσι σε μία γενίκευση των προηγούμενων αξιωμάτων οι Smidt, Kacprzyk πρότειναν την αντικατάσταση της τέταρτης ιδιότητας με την : EE(AA) EE(BB) εεάνν γγγγγγ κκάθθθθ χχ ιι εεεε μμμμ μμ ΑΑ (χχ ιι ) νν ΑΑ (χχ ιι ) κκκκκκ μμ ΒΒ (χχ ιι ) νν ΒΒ (χχ ιι ) Ισχύει ότι min {(dd(mm, xx ii, AA), dd(nn, xx ii, AA))} min {dd(mm, xx ii, BB), dd(nn, xx ii, BB)} όπου d(.,.) είναι ένα μέτρο απόστασης. 4.2.3 Αξιώματα Hung, Yang Μία πραγματική συνάρτηση EE: IIIIII(XX) R + είναι ένα μέτρο εντροπίας στο IFS(X), εάν έχει τις ακόλουθες ιδιότητες ΕΕ(ΑΑ) = 0 εεάνν κκκκκκ μμόνννν αααα ΑΑ εε 2 χχ ΕΕ(ΑΑ) = 1 εεάνν κκκκκκ μμόνννν αααα μμ ΑΑ = νν ΑΑ (χχ) = ππ ΑΑ (χχ) = 1 γγγγγγ κκάθθθθ χχ εε ΧΧ 3 23

ΔΙΑΙΣΘΗΤΙΚΗ ΑΣΑΦΗΣ ΕΝΤΡΟΠΙΑ ΕΕ(ΑΑ) = ΕΕ(ΑΑ cc ) γγγγγγ κκάθθθθ ΑΑ εε IIIIII(XX) EE(AA) EE(BB) εεάνν μμ ΑΑ (χχ) μμ ΒΒ (χχ)κκκκκκ νν ΑΑ (χχ) νν ΒΒ (χχ), max {μμ ΒΒ (χχ), νν ΒΒ (χχ)} 1 3 ή μμ ΑΑ (χχ) μμ ΒΒ (χχ) κκκκκκ νν ΑΑ (χχ) νν ΒΒ (χχ), min{μμ ΒΒ (χχ), νν ΒΒ (χχ)} 1 3 γγγγγγ κκάθθθθ χχ εε ΧΧ 4.2.4 Αξιώματα Vlachos Sergiadis Μία πραγματική συνάρτηση EE: IIIIII(XX) R + είναι ένα μέτρο εντροπίας στο IFS(X), εάν έχει τις ακόλουθες ιδιότητες EE(AA) = 0 εεάνν κκκκκκ μμόνννν αααα ΑΑ εε 2 ΧΧ ΕΕ(ΑΑ) = 1 εεάνν κκκκκκ μμόνννν αααα ΑΑ = ΦΦ(ΑΑ) ΕΕ(ΑΑ) = ΕΕ ΦΦ(ΑΑ) γγγγγγ κκάθθθθ ΑΑ εε IIIIII(xx) EE(AA) EE(BB) εεάνν μμ ΑΑ (ΧΧ) μμ ΒΒ (ΧΧ)κκκκκκ νν ΑΑ (χχ) νν ΒΒ (χχ) γγγγγγ ΒΒ ΦΦ(ΒΒ) ή μμ ΑΑ (χχ) μμ ΒΒ (χχ) κκκκκκ νν ΑΑ (χχ) νν ΒΒ (χχ) γγγγγγ ΒΒ ΦΦ(ΒΒ) για κάθε χχ εε ΧΧ όπου Φ είναι ένα ενελικτικό διαισθητικό ασαφές συμπλήρωμα. Επειδή το διαισθητικό ασαφές συμπλήρωμα Φ είναι ενελικτικό, ισχύει ότι η συνθήκη Α=Φ(Α) είναι ισοδύναμη με τη συνθήκη μμ ΑΑ (χχ) = φφ(1 νν ΑΑ (χχ)) για κάθε χχ εε ΧΧ. 24

ΔΙΑΙΣΘΗΤΙΚΗ ΑΣΑΦΗΣ ΕΝΤΡΟΠΙΑ 4.3 Διαισθητικά μέτρα εντροπίας 4.3.1 Μέτρα Burillo, Bustince Οι Burillo, Bustince πρότειναν ένα μέτρο εντροπίας το οποίο πληροί τα αξιώματα που εκείνοι έθεσαν. EE BBBB (AA) = 1 nn ππ ΑΑ(xx ii ) nn ii=1 (4.1) Η συνάρτηση αυτή εκφράζει το βαθμό διστακτικότητας του διαισθητικού ασαφούς συνόλου Α. Ο σκοπός του παράγοντα 1 είναι η κανονικοποίηση της εντροπίας EE nn BBBB ώστε να λαμβάνει τιμές στο διάστημα [0, 1]. Για την καλύτερη κατανόηση της συνάρτησης EE BBBB πρέπει να φανταστούμε δύο διαισθητικά ασαφή διανύσματα ΟΟΑΑ ii = [μμ ΑΑ (xx ii ) νν ΑΑ (χχ ιι ) ππ ΑΑ (xx ii )] TT και ΟΟΟΟ = [0 0 1] TT. Μπορούμε λοιπόν να εκφράσουμε την εντροπία ΕΕ ΒΒΒΒ ως το εσωτερικό γινόμενο των δύο προηγούμενων διανυσμάτων. nn ΕΕ ΒΒΒΒ (ΑΑ) = < OOAA, ii OOOO > ιι=1 (4.2) όπου ο τελεστής <.,.> εκφράζει το εσωτερικό γινόμενο. Από την προηγούμενη συνάρτηση εξάγουμε το συμπέρασμα ότι η εντροπία Burillo, Bustince μετράει την ομοιότητα μεταξύ του διαισθητικού ασαφούς συνόλου Α και του μέγιστα διαισθητικού συνόλου PP = {< xx ii, 0,0 > xx ii εε XX}. Οι Burillo και Bustince πρότειναν επίσης κι ένα εναλλακτικό μέτρο εντροπίας το οποίο ορίζεται από την συνάρτηση nn ΕΕ ΒΒΒΒ (ΑΑ) = 1 nn (1 (μμ ΑΑ(χχ ιι ) + νν ΑΑ (xx ii ))ee 1 (μμ ΑΑ (xx ii )+νν ΑΑ (xx ii )) ) ii=1 (4.3) 25

ΔΙΑΙΣΘΗΤΙΚΗ ΑΣΑΦΗΣ ΕΝΤΡΟΠΙΑ 4.3.2 Μέτρο εντροπίας Szmidt και Kacprzyk Κατά τους Szmidt και Kacprzyk για να θεωρηθεί μία συνάρτηση ικανή να περιγράψει την διαισθητική ασαφή εντροπία πρέπει να ικανοποιεί τα αξιώματά που εκείνοι έθεσαν. Μία τέτοια εντροπία προτάθηκε από τους ίδιους και δίνεται από τη σχέση ΕΕ SSSS (AA) = 1 nn (mmmmmmmmmmmmmmmm(aa ii AA ii CC ) max CCCCCCCCCC(AA ιι ΑΑ ιιcc ) ) (4.4) όπου max Count είναι ο μέγιστος πληθικός αριθμός (biggest cardinality). O κατά Szmidt και Kacprzyk μέγιστος πληθικός αριθμός περιγράφεται από τη σχέση mmmmmm Σ CCCCCCCCCC (AA) = (μμ ΑΑ (xx ii ) + ππ ΑΑ (xx ii )) xx ii εε XX (4.5) Ακόμα πρέπει να επισημάνουμε ότι στην παραπάνω σχέση το AA ii είναι ένα διαισθητικό ασαφές σύνολο ενός στοιχείου, το οποίο αντιστοιχεί στο i-στο στοιχείο xx ii του πεδίου ορισμού Χ και περιγράφεται ως ΑΑ ii = {< xx ii, μμ ΑΑ (χχ ιι ), νν ΑΑ (χχ ii ) >}.Δηλαδή, το σύνολο AA ii είναι η i-στη «συνιστώσα» του διαισθητικού ασαφούς συνόλου Α. 4.3.3 Μέτρο εντροπίας Hung, Huan Ο Hung ικανοποιώντας τα αξιώματα των Szmidt και Kacprzyk και βασιζόμενος στην απόσταση Hamming πρότεινε το παρακάτω μέτρο εντροπίας nn ΕΕ ΗΗ ΗΗ (ΑΑ) = 1 1 nn μμ ΑΑ(χχ ii ) νν ΑΑ (xx ii ) ii=1 (4.6) Επίσης πρότεινε και μία παραλλαγή της παραπάνω συνάρτησης στηριζόμενος στην Ευκλείδεια απόσταση που περιγράφεται από τη σχέση ΕΕ ΕΕ ΗΗ (ΑΑ) = 1 1 nn μμ nn ΑΑ(xx ii ) νν ΑΑ (xx ii ) 2 (4.7) ii=1 Κρίνουμε σκόπιμο να αναφέρουμε σε αυτό το σημείο και το μέτρο εντροπίας που προτάθηκε από τον Huang λόγω των ομοιοτήτων που παρουσιάζει με τις δύο προηγούμενες 26

ΔΙΑΙΣΘΗΤΙΚΗ ΑΣΑΦΗΣ ΕΝΤΡΟΠΙΑ nn EE GGGG (AA) = 1 1 nn μμ ΑΑ(χχ ιι ) 2 νν ΑΑ (xx ii ) 2 ii=1 (4.8) 4.3.4 Μέτρο Εντροπίας Vlachos και Sergiadis Οι Vlachos και Sergiadis πρότειναν ένα μέτρο εντροπίας που βασίζεται στο εσωτερικό γινόμενο μεταξύ διαισθητικών ασαφών διανυσμάτων και ικανοποιεί τις αξιωματικές απαιτήσεις των Szmidt και Kacprzyk και δίνεται από τη σχέση : nn EE cccccc (AA) = 1 nn 2 μμ ΑΑ(xx ii )νν ΑΑ (χχ ιι ) + ππ ΑΑ (xx ii ) 2 ππ ΑΑ (xx ii ) 2 + μμ ΑΑ (xx ii ) 2 + νν ΑΑ (xx ii ) 2 ii=1 (4.9) Για να αντιληφθούμε καλύτερα την παραπάνω συνάρτηση πρέπει να φανταστούμε δύο διανύσματα ΟΟΟΟ, ΟΟΑΑ cc που αντιστοιχούν στα διαισθητικά ασαφή σύνολα A και ΑΑ cc. Χρησιμοποιώντας την έννοια του εσωτερικού γινομένου καταλήγουμε στην εξίσωση ΟΟΟΟ ΟΟΑΑ cc = ΟΟΟΟ 2 ΟΟΑΑ cc 2 cccccccc (4.10) όπου θ είναι η γωνία μεταξύ των δύο διαισθητικών ασαφών διανυσμάτων και η ll 2 ννόρρρρρρ που για ένα διάνυσμα ΟΟΑΑ ii δίνεται από τη σχέση ΟΟΑΑ ii pp = (μμ ΑΑ (xx ii ) pp + νν ΑΑ (xx ii ) pp + ππ ΑΑ (xx ii ) pp ) 1 pp (4.11) Λύνοντας την εξίσωση (4.10) ως προς cosθ καταλήγουμε στο ζητούμενο cccccccc = 2 μμ ΑΑ(xx ii )νν ΑΑ (χχ ιι ) + ππ ΑΑ (xx ii ) 2 ππ ΑΑ (xx ii ) 2 + μμ ΑΑ (xx ii ) 2 + νν ΑΑ (xx ii ) 2 (4.12) Το οποίο είναι γνωστό και ως «συνημιτονοειδές μέτρο ομοιότητας» 4.3.5 Μέτρο εντροπίας Ηung και Yang Κατά τους Hung και Yang για να θεωρηθεί μία συνάρτηση ικανή να περιγράψει τη διαισθητική ασαφή εντροπία πρέπει να ικανοποιεί τα αξιώματά που εκείνοι έθεσαν. Δύο τέτοιες διαισθητικά ασαφείς εντροπίες προτάθηκαν από τους ίδιους και περιγράφονται από τις σχέσεις 27

ΔΙΑΙΣΘΗΤΙΚΗ ΑΣΑΦΗΣ ΕΝΤΡΟΠΙΑ EE aa HHHH (AA) = 1 1 aa 1 (μμ ΑΑ(xx ii ) aa + νν ΑΑ (xx ii ) aa + ππ ΑΑ (xx ii ) aa ) εεάνν αα 1 (αα > 1) (4.13) ενώ όταν α=1 ισχύει ότι EE aa HHHH (AA) = (μμ ΑΑ (xx ii ) log μμ ΑΑ (xx ii ) + νν ΑΑ (xx ii )llllllνν ΑΑ (xx ii ) + ππ ΑΑ (xx ii )llllllππ ΑΑ (xx ii )) (4.14) Και την ΕΕ rr ββ = 1 1 ββ log μμ ΑΑ(xx ii ) ββ + vv ΑΑ (xx ii ) ββ + ππ ΑΑ (xx ii ) ββ, (4.15) Όπου 0<β<1. 28

ΕΝΙΣΧΥΣΗ ΑΝΤΙΘΕΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Διαισθητική ασαφής επεξεργασία εικόνας Όπως αναφέρθηκε σε προηγούμενο σημείο η μεγάλη καινοτομία των διαισθητικών ασαφών συνόλων δεν ήταν μόνο το γεγονός ότι πλέον οι συναρτήσεις συμμετοχής και μησυμμετοχής αποκτούσαν έναν μεγαλύτερο βαθμό ελευθερίας αλλά και η δυνατότητα να παραστήσουμε την αβεβαιότητα μέσω της διστακτικότητα. Βέβαια αυτή η παράσταση της αβεβαιότητας αυξάνει την πολυπλοκότητα του συστήματος, για παράδειγμα σε μία ασαφή εφαρμογή ενίσχυσης αντίθεσης η ασαφοποίηση της εικόνας μπορεί να υλοποιηθεί με μία απλή κανονικοποιήση των επιπέδων φωτεινότητας. Κάτι τέτοιο δεν ισχύει για την εφαρμογή των διαισθητικών ασαφών συστημάτων στην εικόνα, αφού πλέον εκτός από τη συνάρτηση συμμετοχής πρέπει να προσδιορίσουμε και τη συνάρτηση μη-συμμετοχής (ή της διστακτικότητας). Αυτή η επιπλέον ανάγκη μας οδηγεί να αναζητήσουμε τρόπους για τη διαισθητική ασαφοποίηση των εικόνων. Για τον προσδιορισμό της εγγενούς διστακτικότητας των εικόνων παρουσιάζονται ευρηστικές και αναλυτικές μέθοδοι. Η πρώτη μέθοδος υλοποιείται προτυποποιώντας μαθηματικά την αβεβαιότητα, η οποία εισάγεται σε μία εικόνα εξαιτίας των αδυναμιών και μειονεκτημάτων των συστημάτων και μηχανισμών απόκτησης και αποθήκευσης των ψηφιακών εικόνων. Η αναλυτική μέθοδος χρησιμοποιεί τεχνικές βελτιστοποίησης των συναρτήσεων συμμετοχής και μη-συμμετοχής λαμβάνοντας κυρίως υπόψη πληροφοριακά κριτήρια. Σαν εργαλείο στην επεξεργασία εικόνας θα χρησιμοποιηθεί κυρίως η αναλυτική μέθοδος όπως θα φανεί και στα επόμενα κεφάλαια. Σε αυτό το σημείο θα ήταν χρήσιμο να δώσουμε τον ορισμό των Vlachos και Sargiadis για το πώς ορίζεται μία εικόνα μεγέθους ΜxΝ εικονoστοιχείων φωτεινών επιπέδων 0 έως L-1 σε διαισθητικό ασαφές πλαίσιο. Μία εικόνα περιγράφεται από το διαισθητικό ασαφές σύνολο: ΑΑ = {< gg iiii, μμ ΑΑ gg iiii, νν ΑΑ (gg iiii ) > gg iiii εε {0,, LL 1}} (5.1) 29

ΕΝΙΣΧΥΣΗ ΑΝΤΙΘΕΣΗΣ με ii εε {1, MM} κκκκκκ jj εε {1,, NN}, όπου μμ ΑΑ gg iiii κκκκκκ νν ΑΑ (gg iiii ) δηλώνουν αντίστοιχα τους βαθμούς συμμετοχής και μη-συμμετοχής του (i, j)-στού εικονοστοιχείου στο σύνολο Α και περιγράφει μία ιδιότητα της εικόνας. 5.1 Ασαφή ιστογράμματα και ευριστική μέθοδος Το ιστόγραμμα είναι ένα στατιστικό μέτρο για την εμφάνιση των διαφορετικών τόνων φωτεινότητας μίας εικόνας. Γενικά περιέχει σημαντικές πληροφορίες για το περιεχόμενο μιας ψηφιακής εικόνας και μπορεί να παρασταθεί γραφικά. Εφόσον μπορούμε να μετατρέψουμε την εικόνα σε ασαφή εικόνα, και αντί να διαχειριζόμαστε επίπεδα φωτεινότητας να διαχειριζόμαστε ασαφείς αριθμούς, η έννοια του ιστογράμματος μιας ψηφιακής εικόνας Α μπορεί να επεκταθεί στο ασαφές πεδίο. Η ασαφοποίηση της εικόνας γίνεται με τη συνάρτηση μμ gg (xx) = max{0,1 xx gg } pp (5.2) η οποία είναι κατάλληλη να για την αναπαράσταση της έννοιας του επιπέδου φωτεινότητας «περίπου g». Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται πώς η τιμή του p ελέγχει τη μορφή του αριθμού για g=50 και p=5, p=3. Σχήμα 3 Συνάρτηση συμμετοχής(μπλε γραμμή) για p=3 και για p=5(κόκκινη γραμμή) 30

ΕΝΙΣΧΥΣΗ ΑΝΤΙΘΕΣΗΣ Αφού ασαφοποιήσουμε την εικόνα είμαστε σε θέση να βρούμε το ασαφές της ιστόγραμμα το οποίο ορίζεται από τη συνάρτηση h ff AA (gg) < (ii, jj), μμ ggii,jj (gg) > ii εε {1, MM}, jj εε {1,, NN} (5.3) όπου. αντιπροσωπεύει τον πληθικό αριθμό ενός ασαφούς συνόλου. Επιπλέον ο όρος h AA ff (gg) αναπαριστά τη συχνότητα εμφάνισης του επιπέδου γκρίζου «περίπου g». Το κανονικοποιημένο ασαφές ιστόγραμμα ορίζεται από τη σχέση ff h AA (gg) = h AA ff (gg) LL 1 ff ll=0 h AA (ll), (5.4) με gg εε {0,, LL 1} Σχήμα 4 Αναπαράσταση κοινού ιστογράμματος και ασαφούς ιστογράμματος για p=3 και p=9 Συγκρίνοντας το κοινό ιστόγραμμα με τα ασαφή ιστογράμματα παρατηρούμε ότι το πρώτο παρουσιάζει «καρφιά» σε αντίθεση με τα δεύτερα που είναι πιο ομαλά. Αυτά τα «καρφιά» είναι αποτέλεσμα των σφαλμάτων κβάντισης που οφείλονται από πιθανές λανθασμένες αποτυπώσεις ενός επιπέδου φωτεινότητας g είτε ως g+1 είτε ως g-1. Αφού λοιπόν ορίσαμε το ασαφές ιστόγραμμα είμαστε σε θέση να προσδιορίσουμε μαθηματικά αυτήν την πηγή διστακτικότητας που ορίζεται από τη συνάρτηση 31

ΕΝΙΣΧΥΣΗ ΑΝΤΙΘΕΣΗΣ h cc ππ ΑΑ (gg) AA (gg) h ff = 1 μμ ΑΑ (gg) AA (gg) max h cc AA (gg) h ff gg AA (gg) (1 kkkkkk) (5.5) όπου το μμ ΑΑ (gg) η συνάρτηση συμμετοχής όπως ορίστηκε στην Εξ.(5.2), h cc AA (gg) το κοινό ιστόγραμμα, h ff AA (gg) το κανονικοποιημένο ασαφές ιστόγραμμα, Δr η κανονικοποιημένη δυναμική περιοχή που περιγράφεται από τη σχέση ΔΔΔΔ = gg mmmmmm gg mmmmmm και τέλος η τιμή κ που LL 1 παίρνει τιμές από 0 έως 1 και ελέγχει τη συνολική επίδραση της δυναμικής περιοχής στη συνάρτηση διστακτικότητας. Στο Σχήμα 4 προβάλλεται το κοινό ιστόγραμμα και το ασαφές ιστόγραμμα για τιμές της παραμέτρου p=3 και p=9. Από τη μορφή του ασαφούς ιστογράμματος αντιλαμβανόμαστε την εξάρτησή του από την παράμετρο p. Το Σχήμα 5(α),(δ) για τη παράμετρο p=3 απεικονίζει την συνάρτηση συμμετοχής, μη-συμμετοχής για k=0.2 και k=0.9. Η αντίστοιχη συνάρτηση διστακτικότητας φαίνεται στο Σχήμα 5(β),(δ). Επιπλέον στο Σχήμα 6 παρουσιάζονται οι αντίστοιχες συναρτήσεις για p=9. (α) (β) (γ) (δ) Σχήμα 5: (α)συνάρτηση συμμετοχής (κόκκινη γραμμή) και μη-συμμετοχής (μπλέ γραμμή) για p=3 και κ=0.2 (β) αντίστοιχος βαθμός διστακτικότητας (γ) Συνάρτηση συμμετοχής (κόκκινη γραμμή) και μη-συμμετοχής (μπλέ γραμμή) για p=3 και κ=0.9 (δ) αντίστοιχος βαθμός διστακτικότητας (α) (β) (γ) (δ) Σχήμα 6: (α)συνάρτηση συμμετοχής (κόκκινη γραμμή) και μη-συμμετοχής (μπλέ γραμμή) για p=9 και κ=0.2 (β) αντίστοιχος βαθμός διστακτικότητας (γ) Συνάρτηση συμμετοχής (κόκκινη γραμμή) και μη-συμμετοχής (μπλέ γραμμή) για p=9 και κ=0.9 (δ) αντίστοιχος βαθμός διστακτικότητας 32

ΕΝΙΣΧΥΣΗ ΑΝΤΙΘΕΣΗΣ 5.2 Αναλυτική προσέγγιση στη διαισθητική ασαφοποίηση Σε αυτό το κεφάλαιο προσεγγίζουμε την επεξεργασία μιας εικόνας στο διαισθητικό ασαφές πλαίσιο μέσα από την αναλυτική μέθοδο όπως περιγράφεται από τις εργασίες των Vlachos και Sergiadis. Δεδομένης μιας εικόνας αγνώστου προελεύσεως και χωρίς να έχουμε καμία εκ των προτέρων πληροφορία για το σύστημα απεικόνισης και τους μηχανισμούς που παρήγαγαν την εικόνα, αναζητούμε τη βέλτιστη περιγραφή της εικόνας με τη βοήθεια των IFS. 5.2.1 Διαισθητικές Ασαφείς γεννήτριες Πριν συνεχίσουμε στις μεθόδους ασαφοποίησης μίας εικόνας θεωρείτε χρήσιμο να γίνει μία αναφορά στα εργαλεία που θα χρησιμοποιούμε γι αυτήν την διαδικασία. Οι διαισθητικές ασαφείς γεννήτριες είναι ένας τελεστής που εφαρμόζεται στη συνάρτηση συμμετοχής των FS και παράγει διαισθητικά ασαφή σύνολα. Ο ορισμός τους σύμφωνα με τον Bustince είναι: Έστω φ:[0, 1] [0, 1].Τότε, η συνάρτηση φ είναι μία συνεχής διαισθητική ασαφής γεννήτρια εάν και μόνο εαν υπάρχει συνεχής συνάρτηση f:[0, 1] [0, 1] τέτοια ώστε ff(xx) xx γγγγγγ κκάθθθθ xx εε [0, 1] φφ(xx) = (ff NN)(xx)γγγγγγ κκάθθθθ xx εε XX όπου Ν είναι η τυπική άρνηση, Ν:[0, 1] [0, 1], η οποία δίνεται από τη σχέση Ν(χ)=1-χ για κάθε xx εε XX. Εφαρμόζοντας μία διαισθητική ασαφή γεννήτρια σε ένα διαισθητικά ασαφές σύνολο Α καταλήγουμε σε ένα νέο σύνολο που ορίζεται από την παρακάτω σχέση ΦΦ(ΑΑ) = < χχ, ΦΦ μμ ΑΑ (xx), νν ΑΑ (χχ) > χχχχ ΧΧ = < χχ, φφ 1 νν ΑΑ (χχ), 1 φφ(μμ ΑΑ (χχ)) > χχχχ ΧΧ (5.6) Τέλος χρήσιμο θα ήταν να αναφέρουμε τον ορισμό συμπληρώματος σύμφωνα με τον Bustince. του ενελικτικού ασαφές Έστω φ μία φθίνουσα διαισθητική ασαφής γεννήτρια, ΑΑ εε IIIIII(XX)κκκκκκ έσσσσσσ ΦΦ(ΑΑ) = {< xx, φφ 1 νν ΑΑ (χχ), 1 φφ(μμ ΑΑ (χχ)) > xx εε XX} (5.7) 33

ΕΝΙΣΧΥΣΗ ΑΝΤΙΘΕΣΗΣ Τότε, Φ είναι ένα ενελικτικό διαισθητικό ασαφές συμπλήρωμα εάν και μόνο εαν η συνάρτηση φ είναι ενελικτική (φ(φ(χ))=χ). 5.2.2 Αρχή της μέγιστης διαισθητικής ασαφούς εντροπίας Θεωρούμε την διαισθητική ασαφή γεννήτρια: φφ(χχ) = (1 χχ) λλ (5.8) όπου χχ εε [0, 1] και η οποία καλύπτει τον ορισμό του Bustince για 1. λ Συνδυάζοντας αυτή την συνάρτηση καθώς και την ιδιότητα της ενέλιξης των διαισθητικά ασαφών συμπληρωμάτων καταλήγουμε στην σχέση μμ ΑΑ(gg; λλ) = 1 (1 μμ ΑΑ (gg)) λλ 1 μμμμ λλ 1 (5.9) Λαμβάνοντας υπόψη τη διαισθητική ασαφή γεννήτρια της Εξ.5.8, προκύπτει η συνάρτηση μη συμμετοχής που δίνεται από τη σχέση: νν ΑΑ(gg; λλ) = 1 μμ ΑΑ (gg) λλ(λλ 1) (5.10) για κάθε g εε {0,, LL 1}, όππππππ λλ 1. Κάθε διαφορετική τιμή λ λοιπόν μας δίνει ένα διαφορετικό διαισθητικό ασαφές σύνολο. Πλέον γεννάται το ερώτημα ποια τιμή του λ μας δίνει το βέλτιστο IFS κατά την επεξεργασία της φωτεινότητας μιας εικόνας. Σαν κριτήριο για την επιλογή του λ χρησιμοποιείται η διαισθητική ασαφής εντροπία και πιο συγκεκριμένα η βέλτιστη τιμή του λ είναι αυτή που μας εξασφαλίζει την μέγιστη διαισθητική ασαφή εντροπία ή αλλιώς αρχή της μέγιστης διαισθητικής ασαφούς εντροπίας. Από τις διαισθητικές ασαφής εντροπίες που αναφέρθηκαν στο τέταρτο κεφάλαιο εμείς χρησιμοποιούμε την εντροπία όπως ορίστηκε από τους Szmidt και Kacprzyk Κεφ.4.3.2 και καταλήγουμε στη σχέση: LL 1 EE SSSS (AA; λλ) = 1 ΜΜΜΜ h ΑΑ cc (gg) 1 max {μμ ΑΑ(gg; λλ), νν ΑΑ(gg; λλ)} 1 min{μμ ΑΑ(gg; λλ), νν ΑΑ(gg; λλ)} gg=0 (5.11) όπου το h AA cc είναι το κανονικοιποιημένο κοινό ιστόγραμμα της εικόνας. Τελικά η βέλτιστη τιμή λ που μεγιστοποιεί την διαισθητικά ασαφή εντροπία δίνεται από την συνάρτηση 34

ΕΝΙΣΧΥΣΗ ΑΝΤΙΘΕΣΗΣ λλ oooooo = arg mmmmmm λλ 1 {EE SSSS (AA; λλ)} (5.12) Αφού πλέον έχουμε βρει την βέλτιστη παράμετρο λλ oooooo μπορούμε να περιγράψουμε την εικόνα στο IFS AA oooooo = {< gg, μμ ΑΑoooooo (g), νν ΑΑoooooo (g) > gg εε {0,, LL 1}} (5.13) όπου μμ ΑΑoooooo (gg) = 1 (1 μμ ΑΑ (gg)) λλ oooooo 1 (5.14) και νν ΑΑoooooo (gg) = (1 μμ ΑΑ (gg)) λλ oooooo (λλ oooooo 1) (5.15) Στo Σχήμα 7 παρουσιάζονται τα αποτελέσματα της εφαρμογής της αρχής της μέγιστης διαισθητικής ασαφούς εντροπίας σε μία τυχαία εικόνα τόνων του γκρίζου. Στο σχήμα (ε) βλέπουμε την καμπύλη της διαισθητικής ασαφούς εντροπίας από την οποία προκύπτει η βέλτιστη τιμή λ, ενώ στο σχήμα (στ) απεικονίζονται οι βέλτιστες συναρτήσεις συμμετοχής, μη-συμμετοχής και διστακτικότητας. Εφαρμόζοντας αυτές τις συναρτήσεις στην αρχική εικόνα προκύπτουν οι συνιστώσες της εικόνας οι οποίες απεικονίζονται στα σχήματα (β),(γ),(δ). 5.3 Μέθοδοι διαισθητικής αποασαφοποίησης Για να επαναφέρουμε το διαισθητικό ασαφές πεδίο πίσω στο ασαφές πεδίο, κάνουμε χρήση του τελεστή αποδόμησης του Atanassov Εξ.(3.2) και όπως μπορούμε να παρατηρήσουμε στον τελεστή η παράμετρος α δεν είναι καθορισμένη. Συνεπώς υπάρχει η ανάγκη ενός κριτηρίου το οποίο θα μας επιτρέψει να επιλέξουμε τη βέλτιστη παράμετρο α. 35

ΕΝΙΣΧΥΣΗ ΑΝΤΙΘΕΣΗΣ (α) (β) (γ) (δ) (ε) (στ) Σχήμα 7: (α) αρχική εικόνα (β) βέλτιστες συνιστώσες συμμετοχής (γ) βέλτιστες συνιστώσες μη-συμμετοχής (δ) βέλτιστες συνιστώσες διστακτικότητας (ε) καμπύλη διαισθητικής ασαφούς εντροπίας (στ) βέλτιστη συνάρτηση συμμετοχής(μπλε γραμμή), μη-συμμετοχής(κόκκινη γραμμή),διστακτικότητας(πράσινη γραμμή) 36

ΕΝΙΣΧΥΣΗ ΑΝΤΙΘΕΣΗΣ 5.3.1 Διαισθητική αποασαφοποίηση μεγίστου δείκτη ασάφειας Πολλές φορές κρίνεται σκόπιμο να αυξήσουμε την ασάφεια της εικόνας, ώστε να αυξήσουμε τα επίπεδα φωτεινότητας και να καταλήξουμε σε εικόνες καταλληλότερες για την ανθρώπινη όραση. Ως μέτρο για την ασάφεια χρησιμοποιούμε τον γραμμικό δείκτη ασάφειας τον οποίο συνδυάζουμε με τον τελεστή Atanassov και καταλήγουμε στη σχέση: LL 1 γγ DD aa AA oooooo = 1 4MMMM h AA cc gg=0 (gg)μμ DDaa AA oooooo (gg)(1 μμ DDaa (AA oooooo )(gg)) (5.16) όπου το ΑΑ oooooo διαισθητικό ασαφές σύνολο Η τιμή του α που μεγιστοποιεί την παραπάνω εξίσωση είναι αα oooooo = LL 1 gg=0 h cc AA (gg)ππ ΑΑ (gg)(1 2μμ oooooo ΑΑoooooo (gg)) LL 1 2 2 gg=0 h cc AA (gg)ππ ΑΑ oooooo (gg) (5.17) Επειδή η Εξ.(5.17) δε μας εξασφαλίζει ότι η τιμή του αα oooooo θα κείτεται ανάμεσα στο 0 και στο 1 όπως επιβάλλει ο τελεστής αποδόμησης του Atanassov γι αυτό την περιορίζουμε με βάση τη σχέση αα oooooo = 0, εεεεεε αα oooooo < 0 aa oooooo 0 aa oooooo 1 1, εεάνν αα oooooo > 1 (5.18) 5.3.2 Παραμετρική Διαισθητική Αποασαφοποίηση Οι Vlachos και Sergiadis πρότειναν μία γενίκευση της μεθόδου διαισθητικής ασαφοποίησης του μεγίστου δείκτη ασάφειας, όπου στον γραμμικό δείκτη ασάφειας το τυπικό ασαφές συμπλήρωμα έχει αντικατασταθεί με το συμπλήρωμα Sugeno Εξ.(2.4). Ακολουθώντας τη διαδικασία που περιγράφτηκε στο Κεφάλαιο 5.3.1 καταλήγουμε στον τροποποιημένο γραμμικό δείκτη ασάφειας LL 1 γγ λλ DD αα ΑΑ oooooo = KK(λλ) 4ΜΜΜΜ h AA cc (gg)μμ DDαα ΑΑ oooooo (gg) 1 μμ DD αα ΑΑ oooooo (gg) 1 + λλμμ DDαα ΑΑ oooooo (gg) gg=0 (5.19) 37

ΕΝΙΣΧΥΣΗ ΑΝΤΙΘΕΣΗΣ όπου λ είναι η παράμετρος του ασαφούς συμπληρώματος Sugeno. Ο όρος Κ(λ) εισάγεται για να κανονικοποιήσουμε τον γγ λλ και δίνεται από τη σχέση: ΚΚ(λλ) = λλ 2 1+λλ 1+ 1+λλ (1+λλ 1+λλ) (5.20) Λόγω της πολύπλοκης μορφής της συνάρτησης δεν μπορούμε να καταλήξουμε σε έναν συγκεκριμένο τύπο εξαγωγής της βέλτιστης τιμής του α οπότε κάνουμε μία προσέγγιση με εξαντλητική αναζήτηση, η οποία περιγράφεται με τη σχέση: αα oooooo (λλ) = arg max aa εε [0, 1] {γγ λλ(dd αα (ΑΑ oooooo ))} (5.21) Για να εξάγουμε τη βέλτιστη τιμή του λ λαμβάνουμε υπόψη τη στατιστική του ιστογράμματος και κάνουμε χρήση της έννοιας της διαισθητικής ασαφούς ροπής πρώτης τάξης. Έτσι καταλήγουμε στην εξίσωση: λλ oooooo = 2mm ll IIII 1 (5.22) 1 mm IIII ll 2 όπου το mm IIII ll είναι η μέση διαισθητική ασαφή ροπή πρώτης τάξης που ορίζεται ως mm IIII ll = 1 2 (mm ll IIII + mm IIII ll ) (5.23) με mm IIII ll = LL 1 μμ ΑΑ (gg)h cc gg=0 AA (gg), mm IIII ll = LL 1(1 vv AA (gg))h cc gg=0 AA (gg) και h cc AA το κανονικοποιημένο κοινό ιστόγραμμα της εικόνας. 5.3.3 Γενικευμένη διαισθητική αποασαφοποίηση με χρήση του αθροιστικού ιστογράμματος Οι Vlachos και Sergiadis πρότειναν να χρησιμοποιηθεί το αθροιστικό ιστόγραμμα ως συνάρτηση για την παράμετρο α. Ο υπολογισμός λοιπόν γίνεται με βάση τη σχέση: cc αα haa = 1 MMMM h AA cc (ll) ll=0 για κάθε gg εε {0,, LL 1} gg (5.24) Αυτή η επιλογή δεν είναι τυχαία αφού μία αύξουσα συνάρτηση που περιγράφει την παράμετρο α έχει ως αποτέλεσμα να διατηρεί τα σκοτεινά επίπεδα σκοτεινά και τα φωτεινά 38

ΕΝΙΣΧΥΣΗ ΑΝΤΙΘΕΣΗΣ επίπεδα φωτεινότερα κάτι που είναι επιθυμητό στις εφαρμογές ενίσχυσης αντίθεσης φωτεινότητας εικόνας. (α) (β) (γ) (δ) Σχήμα 8: (α) Αρχική εικόνα. Εικόνες που λαμβάνονται (β) με την τεχνική της διαισθητικής αποασαφοποίησης μεγίστου δείκτη ασάφειας (γ) της μονοπαραμετρικής διαισθητικής ασαφοποίησης, (δ)της γενικευμένης διαισθητική αποασαφοποίησης με χρήση του αθροιστικού ιστογράμματος 5.3.4 Εφαρμογές των αποασαφοποιητών Για να επιδείξουμε την αποτελεσματικότητα των μεθόδων διαισθητικής αποασαφοποίησης που μόλις περιγράφηκαν, κάνουμε εφαρμογή τους σε εικόνα τόνων γκρίζου Σχήμα 8(α) με κάθε εικονοστοιχείο τους να περιγράφεται από 8-bit. Παρατηρούμε ότι οι εικόνες ενισχύονται και τα αποτελέσματα είναι εξίσου ικανοποιητικά και από τις τρεις τεχνικές που μόλις περιγράψαμε, με τη μέθοδο της γενικευμένης διαισθητικής ασαφοποίησης να επιδεικνύει καλύτερη συμπεριφορά σε σχέση με τη μέθοδο μέγιστου δείκτη ασάφειας. 39

ΕΝΙΣΧΥΣΗ ΑΝΤΙΘΕΣΗΣ 5.4 Διπαραμετρική διαισθητική ασαφοποίηση-αποασαφοποίηση Οι Vlachos και Sergiadis γενίκευσαν τη μέθοδο της αρχής της μέγιστης διαισθητικής ασαφούς εντροπίας. Για την παραμετροποίηση της συνάρτησης συμμετοχής έγινε εφαρμογή του ασαφούς συμπληρώματος Yager με w>0 οπότε και προέκυψε η σχέση μμ ΑΑ (gg; ww) = 1 (1 μμ ΑΑ ww (gg)) 1/ww (5.25) ενώ εφαρμόζοντας τη θεωρία των διαισθητικών ασαφών γεννητριών καταλήγουμε στη συνάρτηση μη συμμετοχής νν ΑΑ (gg; ww) = (1 μμ ΑΑ ww (gg)) 1/ww (5.26) Ακολουθώντας τη μέθοδο που περιγράφηκε στο Κεφάλαιο 5.2.2 προσπαθούμε να μεγιστοποιήσουμε τη διαισθητική ασαφή εντροπία της εικόνας όπως αυτή περιγράφεται από τους Szmidt και Kacprzyk και ορίζεται από τη σχέση 1 λλ ΕΕ ssss (ΑΑ; λλ, ww) = 1 LL 1 MMMM h AA cc (gg) 1 max{1 1 μμ ΑΑ ww (gg) ww, 1 μμ ww ΑΑ (gg) ww } 1 λλ gg=0 1 min{1 1 μμ ww ΑΑ (gg) ww, 1 μμ ww ΑΑ (gg) ww } (5.27) όπου h AA cc (gg) είναι το σύνηθες ιστόγραμμα της ασαφούς εικόνας ΑΑ. Για μια σταθερή τιμή της παραμέτρου w, η εντροπία ΕΕ ssss (AA; λλ, ww) εμφανίζει μέγιστο για μία τιμή της παραμέτρου λ, την οποία συμβολίζουμε με λλ oooooo (ww). Γίνεται εμφανές ότι για να οριστεί μία βέλτιστη τιμή για το λ πρέπει πρώτα να οριστεί και μία βέλτιστη τιμή για το w, κάτι που επιτυγχάνεται με τη χρήση του γραμμικού δείκτη ασάφειας. Όπως αναφέρθηκε σε προηγούμενο κεφάλαιο σε περιπτώσεις ενίσχυσης αντίθεσης είναι επιθυμητό να μεγιστοποιούμε την ασάφεια. Πάνω σε αυτό το κριτήριο βασιζόμαστε για την εξαγωγή της βέλτιστης παραμέτρου ww oooooo σύμφωνα με τη σχέση ww oooooo = aaaaaammmmmm ww 0 {γγ(dd aaoooooo )} (5.28) λλ oooooo (ww),ww AA λλ oooooo (ww),ww όπου η συνάρτηση γ συμβολίζει το γραμμικό δείκτη ασάφειας και ορίζεται ως LL 1 γγ DD aa AA λλ oooooo (ww), ww = 1 4MMMM h AA cc (gg)μμ ΑΑ (gg)(1 μμ ΑΑ (gg)) gg=0 (5.29) Με βάση την μέθοδο του μεγίστου δείκτη ασάφειας, η παράμετρος α που μεγιστοποιεί την Εξ. (5.29) ορίζεται ως 40