9. Interacţiunea câmpului electromagnetic de înaltă frecvenţă cu substanţa. Polarizarea dielectricilor Copyright Paul GASNER 1
Cuprins Mecanisme de polarizare a dielectricilor Polarizarea electronică şi ionică Polarizarea orientaţională Variaţia permitivităţii cu frecvenţa Reprezentări grafice Copyright Paul GASNER 2
9.1 Mecanisme de polarizare a dielectricilor în teoria benzilor de energie, izolatorii sau dielectricii sunt consideraţi substanţele a căror bandă interzisă are o lăţime mai mare de 3eV sub acţiunea unui câmp electric exterior ei prezintă un fenomen de polarizare datorat redistribuirii sarcinilor electrice în interiorul substanţei şi/sau reorientării momentelor de dipol mecansimele de polarizare: polarizarea electronică polarizarea ionică polarizarea orientaţională (dipolară) polarizarea interfacială polarizabilitatea unui material va fi dată de: (9.1.1) T = o i e if Copyright Paul GASNER 3
9.1 Mecanisme de polarizare a dielectricilor vectorul polarizare sau intensitate de polarizare P este definit prin momentul dipolar al unităţii de volum şi, la un dielectric liniar, este proporţional cu câmpul electric extern aplicat E 0 (9.1.2) P= 0 E 0 unde χ este susceptibilitatea electrică câmpul electric din interiorul dielectricului este (9.1.3) E=E 0 E 0 0 vectorul inducţie electrică sau deplasare va fi (9.1.4) D= 0 E 0 P= 0 1 E 0 = 0 r E 0 la nivel atomic sau molecular apare noţiunea de polarizabilitate atomică sau moleculară, iar momentul dipolar al atomului este (9.1.5) p= 0 E 0 Copyright Paul GASNER 4
9.1 Momentul atomic dipolar la moleculele simetrice este o constantă, iar pentru cele asimetrice un tensor de ordinul II Legătura dintre polarizabilitate şi polarizare adică dintre mărimile macroscopice şi microscopice este dată de (9.1.6) P=N v p=n v 0 E unde Nv este densitatea volumică a atomilor (moleculelor) substanţei respective iar E câmpul electric local rezultant, precum şi de relaţia Clausius- Mosotti ce dă legătura dintre polarizabilitate şi permitivitate relativă câmpul electric din interiorul dielectrcului este (9.1.7) E=E 0 E pol unde câmpul de polarizare datorat redistribuirii momentelor dipolare este (9.1.8) E pol = P 3 0 Copyright Paul GASNER 5
9.1 Momentul atomic dipolar atunci câmpul electric va fi (9.1.9) E= r2 E 3 0 iar polarizarea (9.1.10) P=N v 0 r2 E 3 0 comparând cu (9.1.2) se ajunge la cunoscuta relaţie Clausius-Mosotti (9.1.11) r 1 r 2 = N v 3 Copyright Paul GASNER 6
9.2 Polarizarea electronică şi ionică într-un dielectric nepolar pot lua naştere dipoli induşi sub acţiunea unui câmp electric extern (9.2.1) E= E 0 e j t câmpul electric rezultant este (9.2.2) E r = E r 0 e j t forţa cu care câmpul electromagnetic acţionează asupra electronului este (9.2.3) F= q E r v B 0 forţa elastică (9.2.4) F el = m 0 e 2 0 e r forţa de atenuare (9.2.5) F at = m 0 e e d r dt Copyright Paul GASNER 7
9.2 Polarizarea electronică şi ionică ecuaţia de mişcare va fi (9.2.6) d 2 având în vedere că dt 2 e d dt 2 0 e r= q E r m 0 e (9.2.7) P e = q N v r soluţia ecuaţiei (9.2.6) este (9.2.8) P e = P 0 e e j t şi se poate scrie (9.2.9) 2 j e 2 0 e r= N v q 2 pe de altă parte m 0 e E r (9.2.10) P e =N v e E r Copyright Paul GASNER 8
9.2 Polarizarea electronică şi ionică în final polarizabilitatea electronică va avea forma (9.2.11) e = 0 m 0 e 2 j e 0 e pentru un ansamblu de ioni, polarizabilitatea ionică va fi în mod analog (9.2.12) i = 0 m 0i 2 j i 0i q 2 q 2 2 2 Copyright Paul GASNER 9
9.3 Polarizarea orientaţională 9.3.1 Regim tranzitoriu asupra dielectricului acţionează un câmp electric treaptă polarizarea ionică şi electronică P ie se obţine relativ repede, polarizarea totală fiind (9.3.1) P t= P ie P o t ecuaţia care descrie acest proces de relaxare este (9.3.2) d P o dt = 1 0 [ P P ie P o t] unde o este timpul de relaxare macroscopic şi (9.3.3) P= P ie P o Copyright Paul GASNER 10
9.3.1 Regim tranzitoriu este valoarea maximă a polarizării după un timp suficient de mare impunând condiţia la limită (9.3.4) se obţine soluţia (9.3.5) P o 0=0 P o t= P P ie 1 e t / 0 Copyright Paul GASNER 11
9.3.2 Regim sinusoidal dacă asupra dielectricului se aplică un câmp electric variabil, atunci (9.3.6) P t= 0 E 0 e j t fiind acum o mărime complexă. Ţinând seama de faptul că la frecvenţe foarte mari se manifestă doar polarizaţia ionică şi electronică, se poate scrie (9.3.7) P ie = 0 ie E= 0 r 1 E ecuaţia care descrie variaţia în timp a polarizării este (9.3.8) cu soluţia generală d P o dt = 1 [ 0 r0 r E 0 e j t P o ] (9.3.9) P o = 0 [ r 1 r0 r 1 2 2 j r0 r 1 2 2 ] E 0 e j t Copyright Paul GASNER 12
9.3.2 Regim sinusoidal ţinându-se seama de aceste relaţii în (9.3.6) se poate deduce expresia polarizabilităţii orientaţionale (9.3.10) o = o0 1 j o unde (9.3.11) o 0= 00 N v Copyright Paul GASNER 13
9.4 Variaţia permitivităţii electrice cu frecvenţa ţinând seama de ecuaţia Clausius-Mosotti, permitivitatea relativă complexă specifică proceselor de polarizare orientaţională este (9.4.1) ro = (9.4.2) ro 1 2 N v 3 o 1 N v 3 o dacă se notează prin K1= Nv o K v / 3)o(0) se obţine = 12 K 1 /3 K 2 2 2 o K 2 2 2 2 o (9.4.3) ro = K 1 o K 2 2 2 o 2 pentru uşurinţă se notează (9.4.4) x= o K 2, K 0 = K 1 K 2 Copyright Paul GASNER 14
9.4.1 Spectrul de rezonanţă a permitivităţii orientaţionale şi atunci 1 (9.4.5) ro 1=K 0 1x, 2 ro=k 0 x 1x 2 r0 r0 tg 1 Copyright Paul GASNER 15 ln
9.4.2 Spectrul de rezonanţă a permitivităţilor electronice şi ionice analog celor de mai sus, din expresiile polarizabilităţilor electronice şi ionice şi ecuaţia Clausius-Mosotti, permitivităţile electronice şi ionice vor avea forma: (9.4.6) re (9.4.7) respectiv 1= K e 2 0 e 2 2 0 e 2 2 0 e re = K e 0 e 2 2 2 0 e 2 2 2 0 e 2 (9.4.8) ri 1= K i 2 0i 2 2 0i 2 2 2 0i 2 (9.4.9) ri = K i 0i 2 0i 2 2 2 0i 2 Copyright Paul GASNER 16
9.4.2 Spectrul de rezonanţă a permitivităţilor electronice şi ionice unde: (9.4.10) K e = N v q 2, 2 0 m 0 e = 2 0 e K e 0 e 3 (9.4.11) K i = N v q 2, 2 0 m 0i = 2 0i K i 0i 3 relaţiile de mai sus sunt dificil de urmărit şi se impune analiza lor pe benzi de frecvenţă. Datorită similarităţii relaţiilor se va discuta doar cazul polarizării ionice frecvenţe mici 0i şi 2 0i 2 2 0i 2 2 (9.4.12) 1 K i, 2 ri ri 0i 0 frecvenţe apropiate de 0i : 0i, = 0i, unde au loc fenomene de rezonanţă pronunţate: (9.4.13) ri, res =1 K i 2 0i 2 2 0i /4 Copyright Paul GASNER 17
9.4.2 Spectrul de rezonanţă a permitivităţilor electronice şi ionice (9.4.14) prin substituţia (9.4.15) x= 2 relaţiile de mai sus devin (9.4.16) ri, res =1 K i 0i 0i ri, res = K i 4 0i x x 2 1 1 0i 0i 2 2 0i /4 ri / ri,max ri / ri,max (9.4.17) ri, res = K i 1 0i 0i x 2 1 0.5 0i ~ 0i 0i / 2 ~ / 2 ~ 0i 0i 0i Copyright Paul GASNER 18
9.4.2 Spectrul permitivităţii frecvenţe mari 0i şi 2 0i 2 2 0i 2 2 r ro ri (9.4.18) 1 K i, 2 ri ri 0i 0 re log r o ~ 0i ~ 0 e log Copyright Paul GASNER 19
9.5 Reprezentări grafice 9.5.1 Semicercul Debye planul r ; r obţinerea unor relaţii analitice simple pentru domeniul microundelor se poate realiza prin considerarea valorilor limită: r0 = r 0 permitivitatea totală statică şi r = r permitivitatea relativă datorată polarizărilor ionice şi electronice pot fi considerate constante r = r = ri re R atunci permitivitatea relativă este (9.5.1) r = r r0 r 1 j o de unde (9.5.2) (9.5.3) r = r r0 r 1 2 o 2 r = r0 r 1 2 o 2 o Copyright Paul GASNER 20
9.5.1 Semicercul Debye unghiul de pierderi este dat de (9.5.4) tan = r Relaţiile (9.5.2)-(9.5.4) se numesc ecuaţii Debye pentru relaxarea dielectrică r r 1, 1 2 r0 r r 1 2 r0 r r0 r Copyright Paul GASNER 21
9.5.2 Diagrama Argand Reprezentările acestor mărimi în planul complex se numesc mai general diagrame Argand. Eliminând în ecuaţiile (9.5.2)-(9.5.3) se obţine (9.5.5) r r0 2 r = 2 2 r pornind de la (9.5.1) şi notând r0 r 2 (9.5.6) z 1 = r0 r, z 1 j 2 =z 1 j o o se obţine (9.5.7) r = r z 1, r 0 r =z 1 1 j o =z 1 z 2 2 (9.5.8) tan = z 1 z 2 = o Copyright Paul GASNER 22
9.5.2 Diagrama Argand r r0 r r0 r r z 1 z 2 r Copyright Paul GASNER 23
9.5.3 Diagrama Cole-Cole unui dielectric îi sunt caracteristici mai mulţi timpi de relaxare formând o distribuţie de timpi de relaxare şi în plus pot interveni o serie întreagă de rezonanţe locale chiar ionice sau electronice polarizarea poate fi scrisă ca rezultatul unei combinaţii liniare de polarizări parţiale p 0 (,t) specifice fiecărui (9.5.9) P 0 t= p 0i i,t g i i unde g(i) este ponderea statistică şi satisface relaţia (9.5.10) g i =1 i prin generalizare se ajunge la expresia (9.5.11) P 0 t= cu condiţia de normare 0 (9.5.12) 0 p 0i,t g dt g dt=1 Copyright Paul GASNER 24
9.5.3 Diagrama Cole-Cole ecuaţiile Debye devin (9.5.13) r = r r0 r g d 0 1 2 2 (9.5.14) r = r0 r g d 0 1 2 2 se impune cunoaşterea funcţiei de distribuţie g() a timpilor de relaxare K. S. Cole şi R. H. Cole au propus o soluţie empirică pentru r: (9.5.15) r = r r0 r, 0 h 1 1 h 1 j unde h este o constantă de material, proporţională cu gradul de libertate internă a moleculelor; variază invers proporţional cu temperatura şi pentru h=0 (9.5.15) devine chiar ecuaţia Debye ultima relaţie poate fi scrisă sub forma Copyright Paul GASNER 25
9.5.3 Diagrama Cole-Cole [ (9.5.16) 1 2 r0 r r ]2 [ 1 2 r0 r tan r ]2= 1 4 r0 r 2 sec 2 unde = h/2 şi reprezintă ecuaţia unui cerc de rază cu centrul în r0 r, 1 2 2 r0 r tan 1 2 r0 r sec timpul de relaxare poate fi determinat din expresia (9.5.17) unde (9.5.18) u v 2 0 =v /u 1 h = [ r0 r ] 2 2 r [ r ] 2 r 2 r Copyright Paul GASNER 26
9.5.3 Diagrama Cole-Cole Copyright Paul GASNER 27