2. Ecuaţii de propagare a câmpului electromagnetic. Noţiuni fundamentale. Copyright Paul GASNER 1

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "2. Ecuaţii de propagare a câmpului electromagnetic. Noţiuni fundamentale. Copyright Paul GASNER 1"

Μίνως Βιλαέτης
5 χρόνια πριν
Προβολές:

1 2. Ecuaţii de propagare a câmpului electromagnetic. Noţiuni fundamentale Copyright Paul GASNER 1

2 Ecuaţii Helmholtz pentru medii omogene, izotrope şi infinite Unde electromagnetice plane Unde armonice plane la interfaţa dintre două medii Formalismul liniilor de transmisie în studiul proceselor de reflexie-refracţie Copyright Paul GASNER 2

3 2.1.1 Ecuaţii Maxwell pentru un mediu infinit, omogen, izotrop şi linear ecuaţii de evoluţie (2.1.1) (2.1.2) ecuaţii de stare (2.1.3) (2.1.4) E= B t H = D t J D= B=0 ecuaţia de continuitate (2.1.5) J t =0 relaţii constitutive D= E, B= H, J = E forţa electromagnetică F =q E v B Copyright Paul GASNER 3

4 2.1.1 Ecuaţii Maxwell permitivitatea dielectrică a spaţiului liber (vid) 0 =8, F /m permeabilitatea magnetică a spaţiului liber (vid) 0 = H /m viteza luminii c= 1 m/ s 0 0 1/ pentru un mediu polarizabil D= 0 r E= 0 E P= 0 1 e E (2.1.6) B= 0 r H = 0 H M = 0 1 m H (2.1.7) r = 0, r = 0 funcţie de mărimile,,, e, m mediul este omogen neomogen, izotrop anizotrop, variant - invariant Copyright Paul GASNER 4

5 2.1.1 Potenţiale electrodinamice Potenţialul electric scalar Φ Potenţialul (vector) magnetic A Potenţialul vector electric sau vectorul Hertz (2.1.8) (2.1.9) (2.1.10) (2.1.11) E= Α t B= A = A= t condiţia de normare Lorentz (2.1.12) t A=Const Copyright Paul GASNER 5

6 2.1.2 Ecuaţii d'alembert (1/2) aplicând ecuaţiei (1.1.2) se obţine E = E 2 E= t B = t H = = t E t J = E 2 t J 2 t = E 2 t E 2 t şi în final: (2.1.13) 2 E 2 E t 2 = E t 1 se procedează analog cu (1.1.1) şi se ajunge la: (2.1.14) H 2 H 2 t = H 2 t relaţiile (2.1.13) (2.1.14) sunt numite ecuaţii Maxwell de ordinul II, cunoscute însă sub numele de ecuaţiile de propagare d'alembert pentru câmpurile electric şi magnetic operatorul d'alembert v t, v= 1 2 Copyright Paul GASNER 6

7 2.1.2 Ecuaţii d'alembert (2/2) (2.1.15) (2.1.16) aplicând rotor asupra ecuaţiilor de evoluţie şi ţinând seama de definiţiile potenţialelor electrodinamice şi de condiţia de normare se obţin: (2.1.17) (2.1.18) E= E t 1 H = H t A= J = / pentru un mediu polarizabil, din ecuaţia de continuitate = P şi atunci: (2.1.19) = 1 P Copyright Paul GASNER 7

8 2.1.3 Ecuaţii Helmholtz câmpuri armonice (2.1.20) E=R E r e j t, H =R H r e j t prin abuz se notează E E r, H H r ş.a.m.d. ecuaţiile Maxwell devin staţionare (2.1.21) (2.1.22) (2.1.23) H = j D J E= j B D= (2.1.24) B=0 (2.1.25) J j =0 Copyright Paul GASNER 8

9 2.1.3 Ecuaţii Helmholtz ecuaţiile de propagare (2.1.15) - (2.1.19) devin (2.1.26) (2.1.27) (2.1.28) (2.1.29) 2 E k 2 E= j E 1 2 H k 2 H = j H 2 A k 2 A= J 2 k 2 = / (2.1.30) 2 k 2 = 1 P unde k este vectorul de undă (2.1.31) k=k n= j, k 2 = 2 Relaţiile (2.1.26) - (2.1.30) se numesc ecuaţiile Helmholtz neomogene pentru câmpuri monocromatice; ele devin omogene pentru medii fără sarcini electrice ρ=0 şi fără pierderi σ=0. Copyright Paul GASNER 9

10 2.2.1 Unde electromagnetice plane unda plană este unda descrisă doar de o singură coordonată spaţială (notată de obicei cu z) ce variază de-a lungul unei drepte (Oz); fie k versorul acestei drepte în condiţii suficient de generale şi pe o porţiune suficient de mică orice undă poate fi considerată o undă plană fie o mărime vectorială (2.2.1) f f z = f x z i f y z j f z z k f = i f x z j f y (2.2.2) z = k f z = din ecuaţiile de evoluţie se obţin E z t E H (2.2.3) z z=0, =0 t componentele Ez şi Hz nu au caracter de undă propagativă: Ez se atenuează exponenţial în timp sau, dacă mediul este neconductiv, Ez este constant Hz este constant în timp z k f Copyright Paul GASNER 10

11 2.2.2 Mod de propagare în cazul undelor plane, câmpul electromagnetic nu are componente pe direcţia de propagare şi modul de propagare este transversal electromagnetic TEM (2.2.4) E k=0, H k=0 care au soluţii de forma (pentru un mediu fără pierderi σ=0) (2.2.5) E r,t = E e j t kz, H r,t = H e j t kz şi din ecuaţiile Maxwell de evoluţie (2.2.6) E= k H arătând ortogonalitatea vectorilor (2.2.7) E, H, k E H =0 impedanţa caracteristică a mediului (2.2.8) = E H = pentru vid 0 = Copyright Paul GASNER 11

12 2.2.3 Constanta de propagare (1/2) pentru un mediu cu pierderi σ 0 (2.2.9) H = j c E care au soluţii de forma (pentru un mediu fără pierderi σ=0) c = j = ' j ' ' ' (2.2.10) = 0 r 1 j tan vectorul de undă are modulul (2.2.11) k 2 = 2 2 c =k 1 j 0, k 2 0= 2 uzual se lucrează cu constanta de propagare (2.2.12) (2.2.13) = j k= j E r,t = E e z e j t kz, H r,t = H e z e j t kz α măsoară atenuarea la propagarea undei prin mediul disipativ, numindu-se constantă de atenuare β măsoară defazajul datorat propagării, numindu-se constantă de fază Copyright Paul GASNER 12

13 2.2.3 Constanta de propagare (2/2) din (2.2.11), prin ridicare la pătrat şi identificare se obţine (2.2.14) { 2 2 = 2 2 = cu soluţia (2.2.15) (2.2.16) = 2 = 2 1/2 [ 1/2 [ pentru metale, cu σ foarte mare (2.2.17) = 1 2 pentru o fază constantă ωt-βz=const, se găseşte (2.2.18) v f = dz dt = 1/ ]1/ / ]1/ 2 2 Copyright Paul GASNER 13 1/2

14 2.3.1 Condiţii de trecere (1/2) indicii de refracţie ai mediilor sunt n 1 =(ε r1 µ r1 ) 1/2 =[(ε 1 µ 1 )/(ε 0 µ 0 )] 1/2, respectiv n 2 =(ε r2 µ r2 ) 1/2 = [(ε 2 µ 2 )/(ε 0 µ 0 )] 1/2 impedanţele caracteristice η 1 =(µ 1 /ε 1 ) 1/2 şi η 2 =(µ 2 /ε 2 ) 1/2 pentru componentele tangenţiale (2.3.1) H 1 H 2 n= J s ε1, µ 1, σ 1 (2.3.2) E 1 E 2 n=0 pentru componentele normale (2.3.3) D 1 D 2 n= s (2.3.4) B 1 B 2 n=0 Σ n ε 2, µ 2, σ 2 Copyright Paul GASNER 14

15 2.3.1 Condiţii de trecere (2/2) E i =R E i e j i t k i r, E r =R E r e j r t k r r, E t =R E t e j t t k t r (2.3.2) trebuie să fie valabilă pentru orice t şi r în planul Σ r n=0 (2.3.5) i = r = t prima lege a lui Snell: θ r k r θ i n k t θ t (2.3.6) k i r= k r r= k t r a doua lege a lui Snell: (2.3.7) k i r= k r r= k t r numite şi legile Snell-Descartes vectorii k i, k r, k t, n sunt coplanari şi k i =k r k i 1 2 Σ (2.3.8) i = r, k i sin i =k t sin t Copyright Paul GASNER 15

16 2.3.1 Polarizarea undelor starea de polarizare se stabileşte funcţie de direcţia vectorului câmp electric în raport cu planul de incidenţă: polarizare perpendiculară câmpul electric perpendicular pe planul de incidenţă, numită şi undă H, undă TE sau polarizare s ("senkrecht") polarizare paralelă (câmpul electric paralel cu planul de incidenţă) sau undă E, undă TM, polarizare p. în cazul problemelor plane, orice undă poate fi descompusă în două unde, H şi E, independente între ele se consideră problema bidimensională / y=0, planul de incidenţă fiind xz, cu axa x în planul de separaţie a. b. E i H i k i E i k i H i θ i θ i z z θ r E t θ t θ r H t θ t k t H r E r H t E r k t Hr E t k r k r n 1 x n 2 n 1 n 2 x Copyright Paul GASNER 16

17 2.3.2 Unda H coeficienţii de reflexie şi de transmisie = rapoartele dintre câmpurile electric reflectat, respectiv transmis şi câmpul electric incident: R H şi T H pentru unda H R E şi T E pentru unda E La polarizarea perpendiculară, câmpul electric este pe direcţia y (2.3.9) E iy =E 0 e jk iz z jk ix x E ry =R H E 0 e jk rz z jk rx x E ty =T H E 0 e jk tz z jk tx x condiţia de continuitate a componentei tangenţiale a câmpului electric în z=0 (2.3.10) E iy E ry =E ty de unde se obţin legile (2.3.8), condiţiile de fază şi relaţii între coeficienţi: (2.3.11) k ix k rx =k tx (2.3.12) 1 R H =T H Copyright Paul GASNER 17

18 2.3.2 Unda H Condiţia la limită la suprafaţa de separaţie pentru câmpul magnetic implică H x = 1 E (2.3.13) y j z şi atunci H ix = E 0 Z 1 e jk iz z jk ix x (2.3.14) H rx =R H E 0 Z 1 e jk rz z jk rx x unde impedanţele de undă sunt H tx = T H E 0 Z 1 e jk tz z jk tx x (2.3.15) Z 1 H = 1, Z k 2 H = 2 iz k tz din condiţia de continuitate a câmpului magnetic la z=0 (2.3.16) H ix H rx =H tx Copyright Paul GASNER 18

19 2.3.2 Unda H (2.3.17) primele două formule Fresnel 1 R H Z 1 H = T H Z 2 H (2.3.18) R H = Z 2 H Z 1 H Z 2 H Z 1 H, T H = 2 Z 2 H Z 2 H Z 1 H sau, pentru µ 1 =µ 2 =µ 0 (2.3.19) R H = n 1cos i n 2 cos t 2 n 1 cos i, T n 1 cos i n 2 cos H = t n 1 cos i n 2 cos t Copyright Paul GASNER 19

20 2.3.3 Unda E Procedând analog ca la unda H, pentru componentele tangenţiale: E ix =E 0 cos i e jk iz z jk ix x (2.3.20) E rx =R H E 0 cos r e jk rz z jk rx x E tx =T H E 0 cos t e jk tz z jk tx x şi se obţin aceleaşi legi împreună cu formulele Fresnel (2.3.21) R E = Z 2 E Z 1 E Z 2 E Z 1 E, T E = 2 Z 2 E Z 2 E Z 1 E cos i cos t unde impedanţele de undă sunt (2.3.22) Z 1 E = k iz, 1 Z 2 E = k tz 2 sau, pentru µ 1 =µ 2 =µ 0 R H = n 2cos t n 1 cos i 2 n 1 cos i (2.3.23), T n 1 cos i n 2 cos H = t n 1 cos i n 2 cos =[ t cos 1 n 2 ]1/2 1 (2.3.24) t sin 2 n i 2 Copyright Paul GASNER 20

21 2.3.4 Formalismul liniilor de transmisie în studiul proceselor de reflexie-refracţie consideraţii pentru unda E (2.3.25) V E z E x z, I E z H y z şi pentru unda H (2.3.26) V H z E y z, I H z H x z Utilizarea acestor relaţii în ecuaţiile Maxwell pentru un mediu i=1,2 conduc la dv ie dz = jk iz Z ie I ie, (2.3.27) d I ie dz = jk V ie iz Z ie (2.3.28) dv ih dz = jk iz Z ih I ih, d I ih dz = jk V ih iz Z ih ecuaţii identice, indici diferiţi soluţii identice cu indici corespunzători Copyright Paul GASNER 21

22 2.3.4 Impedanţa de undă soluţiile ecuaţiilor de propagare (2.3.29) V i z =V i + e jk iz z V ī e jk iz z I i z = 1 Z i V i + e jk iz z 1 Z i V ī e jk iz z Impedanţa de undă într-un punct (2.3.30) care, din (2.3.29), devine Z z = V i z I i z (2.3.31) V + i e jk z iz V ī e jk iz z Z z =Z i V + i e jk z iz V ī e jk iz z considerând că mediul i începe de la z=0 se găseşte (2.3.32) V + i V ī Z z =Z i V + i V ī Copyright Paul GASNER 22

23 2.3.4 Relaţiile Fresnel iar dacă Z(z=0) este cunoscută, atunci (2.3.33) Z z =Z i Z 0 Z i tanh k iz z Z i Z 0 tanh k iz z Cu aceste notaţii relaţiile Fresnel pentru unda H pot fi scrise sub forma (2.3.34) H 12 = Z 2 H Z 1 H, T H Z 2 H Z 12 = 1 H 2 Z 2 H Z 2 H Z 1 H respectiv pentru unda E (2.3.35) E 12 = Z 2 E Z 1 E, T E Z 2 E Z 12 = 1 E relaţii identice cu cele din paragrafele Z 2 E Z 2 E Z 1 E cos 1i cos 2t Copyright Paul GASNER 23

24 Concluzii Interpretarea fenomenelor de propagare în spaţiu liber se bazează pe înţelegerea corectă a propagării undelor electromagnetice plane La nivel local, procesele de propagare la interfaţa dintre două medii sunt identice cu cele ale undelor plane Legile reflexiei şi refracţiei sunt identice cu cele de la optică, dar se preferă utilizarea noţiunii de impedanţă de undă în locul celei de indice de refracţie Procesele de propagare în spaţiul liber (unde plane) pot fi modelate analog celor din liniile de transmisie Copyright Paul GASNER 24

Σχετικά έγγραφα

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare 1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe