Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΗΥ240: Θεωρία Σημάτων και Συστημάτων 4..2006 Φυλλάδιο Τυπολόγιο μετασχηματισμών ourier, Laplace και Z Σύμβολα Για έναν πραγματικό αριθμό x, συμβολίζουμε με x, x, [x], τον αμέσως μικρότερο, αμέσως μεγαλύτερο, πλησιέστερο ακέραιο, αντίστοιχα, επομένως, x [x] x. Συμβολίζουμε τις διαφορές του x από τους παραπάνω ακέραιους με x = x x, x = x x, x = x [x]. Για μια συνάρτηση f(x) παριστάνουμε με [x] f(x) = i f(x + i) την ακέραια άθροισή της και με [x/a] f(x) = i f(x + ia) την a-άθροισή της. Συμβολίζουμε με E(x), όπου x πραγματικός αριθμός, τη μιγαδική συνάρτηση E(x) = e j2πx, με E(x + y) = E(x) E(y), E(0) = E() =. Ορίζουμε τις παρακάτω συναρτήσεις { { {, t > 0, i 0, x < /2 U(t) = 0, t < 0, U[i] = 0, i < 0, Π(x) = 0, x > /2, sinc(x) = sin πx πx. Θεωρούμε ότι μια συνάρτηση f(x) με πραγματική μεταβλητή, στα σημεία ασυνέχειας ορίζεται από τη σχέση f(x) = 2 f(x ) + 2 f(x+). Π.χ., Π(x) x=/2 = /2 και f( x ) x=/2 = 2 f(/2) + 2f( /2). Η συνάρτηση f(x) είναι a-περιορισμένη όταν f(x) = Π(x/a) [x/a] f(x) και a-περιοδική όταν f(x) = [x/a] Π(x/a) f(x). Για μια συνάρτηση f(x), παριστάνουμε με Df(x) = df(x)/dx την παράγωγό της. Για μια ακολουθία f[i], παριστάνουμε με f[i] = f[i] f[i ] την ακέραια διαφόρισή της. Ορισμοί μετασχηματισμών ourier Σημειώσεις: x(t) = X(f) = X(f) E(ft) df x[i] = x(t) = X[k] E( kt ) X[k] = k= /2 /2 x(t) E( ft) dt X(f) = x(t) E( kt ) dt x[i] = X[k] = /2 /2 X(f) E( if ) df x[i] E( if ) X[k] E( ik N ) x[i] E( ik N ). Συμβολίζουμε με x(t) X(f), x[i] X(f), x(t) X[k], x[i] X[k] τους μετασχηματισμούς ourier και παραλείπουμε τις παραμέτρους και όταν εννοούνται. Τα σύμβολα t και i παριστάνουν συνεχή και διακριτό χρόνο, αντίστοιχα. Τα σύμβολα f και k παριστάνουν συνεχή και, αντίστοιχα. Οι παράμετροι και έχουν διαστάσεις χρόνου και συχνότητας, αντίστοιχα. 2. Αντί της συνεχούς συχνότητας, χρησιμοποιείται συχνά η κυκλική συχνότητα ω = 2πf. Στην περίπτωση αυτή, το διαφορικό ολοκλήρωσης γίνεται df = dω/2π. 3. Σε, τα σήματα x(t) και x[i] έχουν περίοδο και N, αντίστοιχα. Σε διακριτό χρόνο, οι μετασχηματισμοί ourier X(f) και X[k] έχουν περίοδο και N, αντίστοιχα. 4. Σε διακριτό χρόνο-, είναι N =, όπου N ακέραιος. Σε διακριτό χρόνο, συνήθως επιλέγουμε = σε συνεχή συχνότητα και =, = N σε.
2 ΗΥ240: Θεωρία Σημάτων και Συστημάτων Αναγωγές μετασχηματισμών ourier Αναγωγή διακριτού χρόνου σε συνεχή, με περιοδική συχνότητα Για την ακολουθία x[i] και τη θετική σταθερά, θέτουμε y(t) = x[i] δ(t i ). Σε συνεχή συχνότητα, υποθέτοντας ότι η συνάρτηση X(f) είναι -περιοδική και χρησιμοποιώντας τις σχέσεις (/ ) [ t] δ(t) = i E(i t) και δ(t i/ ) E( if/ ), προκύπτει x[i] = /2 /2 X(f) E( if ) df y(t) X(f) X(f) = x[i] E( if ) Σε, υποθέτοντας ότι οι ακολουθίες x[i] και X[k] είναι N-περιοδικές, επομένως η συνάρτηση y(t) έχει περίοδο = N/, και χρησιμοποιώντας τις σχέσεις (/ ) [ t] δ(t) = i E(iNt/ ) και [t/ ] δ(t i/ ) (/ ) E( ik/n), προκύπτει x[i] = X[k] E( ik N ) y(t) X[k] X[k] = Αναγωγή διακριτού χρόνου σε συνεχή, με περιορισμένη συχνότητα Για την ακολουθία x[i] και τη θετική σταθερά, θέτουμε y(t) = x[i] sinc( t i). x[i] E( ik N ) Σε συνεχή συχνότητα, υποθέτοντας ότι η συνάρτηση X(f) είναι -περιορισμένη και χρησιμοποιώντας τις σχέσεις i sinc( t i)e(if/ ) = E( f/ t) και sinc( t i) E( if/ ) Π(f/ ), προκύπτει x[i] = /2 X(f) E( if ) df y(t) X(f) X(f) = x[i] E( if ) Π( f ) /2 Σε, υποθέτοντας ότι η ακολουθία x[i] είναι N-περιοδική και η X[k] είναι N-περιορισμένη, επομένως η συνάρτηση y(t) έχει περίοδο = N/, και χρησιμοποιώντας τις σχέσεις sinc(i i ) = δ[i i ] και [t/ ] sinc( t i) (/N) E( ik/n) Π(k/N), προκύπτει x[i] = N/2 k= N/2 Αναγωγή συνεχούς χρόνου σε διακριτό X[k] E( ik N ) y(t) X[k] X[k] = Για τη συνάρτηση x(t) και για κάθε θετική σταθερά, θέτουμε y [i] = x( i ). Σε συνεχή συχνότητα, προκύπτει x(t) = X(f) E(ft) df lim Y (f) = X(f) X(f) = x[i] E( ik N ) Π( k N ) x(t) E( ft) dt Σε, υποθέτοντας ότι η συνάρτηση x(t) είναι -περιοδική, προκύπτει x(t) = X[k] E( kt ) lim Y N/ [k] = X[k] X[k] = /2 x(t) E( kt N ) dt k= Αναγωγή διακριτής συχνότητας σε συνεχή και αντίστροφα Η αναγωγή γίνεται όμοια, με δυαδικό τρόπο, όπως για το χρόνο. /2
Τυπολόγιο μετασχηματισμών ourier, Laplace και Z 3 Ιδιότητες μετασχηματισμών ourier x(t) X(f) X(t) x( f) x[i] X(f) X(t) x[ k] a x (t) + a 2 x 2 (t) a X (f) + a 2 X 2 (f) a x [i] + a 2 x 2 [i] a X (f) + a 2 X 2 (f) x (t) X ( f), x( t) X( f) x [i] X ( f), x[ i] X( f) a x(at) X ( f/a ), x ( t/a ) a X(af) x[i] a X ( f/a ) x(t t 0 ) X(f) E( ft 0 ), x(t) E(f 0 t) X(f f 0 ) Dx(t) j2πfx(f), j2πtx(t) DX(f) x(t ) y(t t ) dt X(f) Y (f) x[i i 0 ] X(f) E( i 0 f ), x[i] E(if 0 ) X(f f 0 ) x[i] ( E( f )) X(f), j2π i x[i] DX(f) x[i ] y[i i ] X(f) Y (f) i = /2 x(t) y(t) X(f ) Y (f f ) df x[i] y[i] X(f ) Y (f f ) df /2 x(t) y (t) dt = X(f) Y (f) df x[i] y [i] = /2 X(f) Y (f) df /2 x(t i ) X( k k ) δ(f ) x[i i ] X( k ) δ(f k ) i = k = i = k = x(i ) δ(t i ) X(f k ) x[i ] δ[i i ] X(f k ) i = k = i = k =0 x(i ) = X( k ) x[i] = X( k ) k= x(t) X[k] X[i] x( f) x[i] X[k] X[i] x[ k] a x (t) + a 2 x 2 (t) a X [k] + a 2 X 2 [k] x (t) X [ k], x( t) X[ k] x ( t/a ) a X[k] x(t t 0 ) X[k] E( kt 0 ), x(t) E(k 0 t ) X[k k 0] Dx(t) j2π k X[k], ( t E( /2 /2 x(t) y(t) /2 /2 i = K a x [i] + a 2 x 2 [i] a X [k] + a 2 X 2 [k] x [i] X [ k], x[ i] X[ k] a x[i] a /a X[k] x[i i 0 ] X[k] E( i 0 k N ), x[i] E(ik 0 )) x(t) X[k] x[i] ( E( k N )) X[k], x(t ) y(t t ) dt X[k] Y [k] x[i ] y[i i ] X[k] Y [k] k = x(t) y (t) dt = X[k ] Y [k k ] k= X[k] Y [k] K x(t i K K ) X[k K] δ[k k K] k = x( i K K ) δ(t i K ) X[k k K] K x( i K ) = X[kK] k= k = x[i] y[i] k =0 x[i] y [i] = K i = K X[k ] Y [k k ] N ) X[k k 0] ( i E( N )) x[i] X[k] X[k] Y [k] x[i i N K K ] X[k K] δ[k k K] k = x[i ] δ[i i ] X[k k N ] k =0 x[i] = X[kK], K = N
4 ΗΥ240: Θεωρία Σημάτων και Συστημάτων Ειδικές περιπτώσεις μετασχηματισμών ourier δ(t), δ(f) [t/ ] δ(t) [f ] δ(f) [i/] δ[i], δ(f) [f/ ] δ[i] δ(f) [f/ ] δ(t t 0 ) E( ft 0 ) δ[i i 0 ] E( i 0 f ) E(f 0 t) δ(f f 0 ) E( if 0 ) δ(f f 0 ) Π ( t ) sinc(f ) Π ( i sinc( t) Π( f ) sign(t) jπf j πt sign(f) e at U(t) a + j2πf, a > 0 a j2πt e af U(f), a > 0 δ(t), δ[k] [t/ ] δ(t) K sinc ( i [f/ ] ) [f/ ] ) U[i] U[ i] sinc( f ) [f/ ] Π ( f ) j tan(πf/ ) j ( )i sign( f/ ) πi e ai U[i] e, a > 0 (a+j2πf/ ) e a e a f/ a j2πi δ[i], δ[k] [i/n] δ[k] [tk/ ] [k/k] [i/] δ(t t 0 ) E( kt 0 ) [t/ ] [t/ ] [i/n] δ[i] K [k/k] [k/n] δ[i i 0 ] E( i 0k N ) δ[k], K = N E( k 0t ) δ[k k 0 ] E(ik 0 N ) δ[k k 0 ] [k/n] Π ( t ) sinc ( k ) Π ( i ) sinc ( k ) N [t/ ] [i/n] [k/n] sinc ( Kt) K Π( k ) sinc ( ik ) N Π ( k ) K N K K sign( t/ ) ( )k jπk j U[k] U[ k] tan(πt/ ) j e a t/ e a a + j2πk e (a j2πt/ ) e ak U[k], a > 0 [i/n] sign( i/n ) [k/n] ( )k j tan(πk/n), N άρτιος ( )i sign( k/n ), N άρτιος tan(πi/n) e a i/n e a 2 tanh(a/2n + jπk/n) e a 2 tanh(a/2n jπi/n) e a k/n
Τυπολόγιο μετασχηματισμών ourier, Laplace και Z 5 Ορισμοί μετασχηματισμών Laplace και Z Σημειώσεις: x(t) = X(s) e st ds x[i] = X(z) z i dz X(s) = x(t) e st dt X(z) = x[i] z i. Τα σύμβολα t και i παριστάνουν συνεχή και διακριτό χρόνο, αντίστοιχα. Τα σύμβολα s και z είναι μιγαδικοί αριθμοί. Για τους μετασχηματισμούς Laplace και Z, χρησιμοποιούμε τα σύμβολα x(t) X(s) και x[i] X(z), αντίστοιχα. 2. Η περιοχή σύγκλισης του μετασχηματισμού Laplace είναι η ζώνη a + < Re{s} < a όπου a + lim sup t ln x(t) t, a lim sup t ln x( t) t και του μετασχηματισμού Z ο δακτύλιος r + < z < r όπου r + = lim sup i x[i] /i, r = / lim sup x[ i] /i. i 3. Η καμπύλη ολοκλήρωσης του μετασχηματισμού Laplace και Z, είναι, αντίστοιχα, C = a + j (, ) όπου a + < a < a, C = r e j(0,2π) όπου r + < r < r. Μονόπλευροι μετασχηματισμοί Laplace και Z Σημειώσεις: x(t) = X + (s) e st ds, t 0 x[i] = X + (z) z i dz, i 0 X + (s) = x(t) e st dt X + (z) = x[i] z i 0. Τα σύμβολα t και i παριστάνουν θετικό χρόνο. Για τους μονόπλευρους μετασχηματισμούς Laplace και Z, χρησιμοποιούμε τα σύμβολα x(t) + X + (s) και x[i] + X + (z), αντίστοιχα. 2. Η περιοχή σύγκλισης του μονόπλευρου μετασχηματισμού Laplace και Z, είναι, αντίστοιχα, a + < Re{s} όπου a + lim sup t ln x(t) t, r + < z όπου r + = lim sup x[i] /i. i 3. Η καμπύλη ολοκλήρωσης του μονόπλευρου μετασχηματισμού Laplace και Z, είναι, αντίστοιχα, C = a + j (, ) όπου a + < a, C = r e j(0,2π) όπου r + < r.
6 ΗΥ240: Θεωρία Σημάτων και Συστημάτων Αναγωγές μετασχηματισμών Laplace και Z Αναγωγή διακριτού χρόνου σε συνεχή Για την ακολουθία x[i] και τη θετική σταθερά, θέτουμε y(t) = x[i] δ(t i ). Αν η συνάρτηση X(z) είναι αναλυτική στον κύκλο C = e a +j(0,2π), όπου a + < a < a, χρησιμοποιώντας τις σχέσεις [t/ ] δ(t) = i E(it/ ) και δ(t i ) (es ) i, προκύπτει x[i] = X(z) z i dz y(t) X(e s ) X(z) = Αναγωγή συνεχούς χρόνου σε διακριτό Για τη συνάρτηση x(t) και για κάθε θετική σταθερά, θέτουμε x(i ) Y (z). x[i] z i Αν η X(s) είναι αναλυτική στην ευθεία C = a + j (, ), όπου a + < a < a, προκύπτει x(t) = X(s) e st ds lim Y (e s ) = X(s) X(s) = x(t) e st dt j2π 0 C Αναγωγή μετασχηματισμών ourier σε μετασχηματισμούς Laplace και Z Σε συνεχή χρόνο, για τη συνάρτηση x(t), θέτουμε y(t) = x(t). Αν η συνάρτηση Y (s) είναι αναλυτική στην ευθεία C = j (, ), προκύπτει x(t) = X(f) e j2πft df Y (j2πf) = X(f) X(f) = x(t) e j2πft dt Σε διακριτό χρόνο, για την ακολουθία x[i], θέτουμε y[i] = x[i]. Αν η συνάρτηση X(z) είναι αναλυτική στον κύκλο C = e j(0,2π), για τη θετική σταθερά, προκύπτει x[i] = /2 Y (f) e j2πif/ df X(e j2πf/ ) = Y (f) Y (f) = x[i] e j2πif/ /2 Αναγωγή μετασχηματισμών Laplace και Z σε μετασχηματισμούς ourier Σε συνεχή χρόνο, για τη συνάρτηση x(t) και για a + < a < a, θέτουμε x(t) e at Y a (f). Για τη συνάρτηση X(s) στην ευθεία C = a+j (, ), είναι x(t) = X(s) e st ds Y a (f) = X(a+j2πf) X(s) = j2π C Σε διακριτό χρόνο, για την ακολουθία x[i] και για r + < r < r, θέτουμε x[i] r i Y r (f). Για τη συνάρτηση X(z) στον κύκλο C = r e j(0,2π), είναι x[i] = X(z) z i dz Y r (f) = X(r e j2πf/ ) X(z) = j2π C x(t) e st dt x[i] z i
Τυπολόγιο μετασχηματισμών ourier, Laplace και Z 7 Ιδιότητες μετασχηματισμών Laplace και Z a x (t) + a 2 x 2 (t) a X (s) + a 2 X 2 (s) x (t) X (s ), x( t) X( s) a x [i] + a 2 x 2 [i] a X (z) + a 2 X 2 (z) x [i] X (z ), x[ i] X(/z) x(t/a) a X(af) x[i/n] X(z N ) x(at) a X( s a ) x[in] X(z /N E( k N N )) x(t t 0 ) X(s) e st 0 x[i i 0 ] X(z) z i 0 x(t) e s 0 t X(s s 0 ) x[i] z i 0 X( z z 0 ) Dx(t) s X(s) x[i] x[i ] ( z ) X(z) t x(t) DX(s) i x[i] z DX(z) t x(t ) dt X(s) i, Re{s} > 0 x[i ] X(z), z > s z i = x(t i ) X(s) e s, Re{s } > 0 x[i i N] X(z) z N, zn > x(t ) y(t t ) dt X(s) Y (s) x[i ] y[i i ] X(z) Y (z) i = x(t) y(t) X(s ) Y (s s ) ds x[i] y[i] X(z ) Y ( z z ) dz z x(t) y (t) dt = X(s) Y ( s ) ds x[i] y [i] = X(z) Y ( j2π C z ) dz z x(i ) δ(t i ) X(s+j 2π k) x[i N] δ[i i N] = X(zE( k N N )) i = k= i = x(i ) = X(j 2π k) x[in] = X(E( k N N )) k= Ιδιότητες μονόπλευρων μετασχηματισμών Laplace και Z x(t) + X(s s ) s e s 0+ ds, Re{s } > 0 x[i] + X(z/z ) z dz, z > Dx(t) + s X + (s) x(0 ) x[i ] + z X + (z) + x[ ] n n D n x(t) + s n X + (s) s k D n k x(0 ) x[i n] + z n X + (z) + z k x[k n] D x(t) + X +(s) s D n x(t) + X +(s) s n + + D x(0 ) s n k= D k n x(0 ) s k x[i + ] + z X + (z) z x[0] x[i + n] + z n X + (z) n z k x[n k] k=
8 ΗΥ240: Θεωρία Σημάτων και Συστημάτων Ειδικές περιπτώσεις μετασχηματισμών Laplace και Z δ(t) δ[i] δ(t t 0 ) e st 0 δ[i i 0 ] z i 0 D n δ(t) s n n δ[i] ( z ) n U(t) s U( t) s, Re{s} > 0 U[i] z z, z >, Re{s} < 0 U[ i ] z z, z < e s 0 t U(t) s s 0, Re{s s 0 } > 0 z i 0 U[i] z z z 0, z > z 0 e s 0 t U( t), Re{s s s s 0 } < 0 z i z 0 U[ i ], z < z 0 z z 0 0 t n U(t) n! ( ) i z, Re{s} > 0, z > sn+ n (z ) n+ ( ) t n e s 0 i t U(t) n e at cos(ω 0 t) + n! (s s 0 ) n+, Re{s s 0 } > 0 s + a (s + a) 2 + ω 2 0 ω 0 z i 0 z z n 0 (z z 0 ) n+, z > z 0, Re{s} > a r i cos(iθ) + z2 z r cos θ z 2 2zr cos θ + r 2, z > r e at sin(ω 0 t) + (s + a) 2 + ω0 2, Re{s} > a r i sin(iθ) + n ( ) n n ( ) k δ(t k ) ( e s ) n k δ(t k ) e s, Re{s } > 0 U(t k ) s e s, Re{s, s } > 0 U τ (t) = U(t) U(t τ) e sτ s U τ (t k ) e sτ s e s, Re{s, s } > 0 z r sin θ z 2 2zr cos θ + r 2, z > r ( ) n ( ) k δ[i kn] ( z N ) n k δ[i kn] z N, zn > U[i kn] z z N, z, zn > U n [i] = U[i] U[i n] z n z U n [i kn] z z n z N, z, zn >