x[n] = x[n] = e j(k+rn)ωon = cos(k 2π N n + r2πn) + jsin(k 2π N n + r2πn) = cos(k 2π N n) + jsin( 2π N x[n] e j 2π N n = e j(k r) 2π N n = (2.

Transcript

1 Πανεπιστημιο Κυπρου Τμημα Ηλεκτρολογων Μηχανικων και Μηχανικων Υπολογιστων ΗΜΥ 22: Σηματα και Συστηματα για Μηχανικους Υπολογιστων Κεφάλαιο 4: Σειρές Fourier σε διακριτά περιοδικά σήματα!"#!"#! "#$% Σημειώσεις διαλέξεων στο: Οι σημειώσεις γράφτηκαν από τον καθηγητή Χαράλαμπο Δ. Χαραλαμπους (2009). Τροποποιήθηκαν από τον

2 Εισαγωγή Εστω x[ ] ένα περιοδικό διακριτό σήμα με θεμελιώδη περίοδο I(συχνότητα: ω o 2π ). Τότε το x[ ] μπορεί να περιγραφεί φασματικά με το πεπερασμένο άθροισμα: x[n] α k e jkωon α k e jk 2π n, n I (.) Το k < > υποδηλώνει άθροισμα αφού το k διακυμένεται ανάμεσα σε διαδοχικούς ακέραιους που αρχίζουν από όποιδήποτε ακέραιο k k o I (.) είναι πεπερασμένο άθροισμα Κανένα πρόβλημα σύγκλισης σε αντίθεση με τη συνεχή περίπτωση. Αιτιολόγηση: Αλλά r I ανδ n I: x[n] k α k e jkωon, n I (.2) e j(k+r)ωon cos(k 2π n + r2πn) + jsin(k 2π n + r2πn) cos(k 2π n) + jsin( 2π n) ejkωon υπάρχουν μόνο Ν διαφορετικές συναρτήσεις στο σετ: ϕ k [n] e jkωon, k I x[ ] πεπερασμένο άθροισμα 2 Υπολογισμός των φασματικών συντελεστών, a k, k Z n<> x[n] e jr 2π n x[n] e j 2π n n<> α k e jk 2π n e jr 2π n α k e j(k r) 2π n α k n<> e j(k r) 2π n } {{ } () α k e j(k r) 2π n (2.3) [άθροισμα (*) σε μια περίοδο] (2.4) Υπενθύμιση n0 α n { α α, if α, if α () { e j(k r) 2π n n<> e j(k r) 2π e j(k r) 2π 0, if k r m, m 0, ±, ±2,..., if k r m, m 0, ±, ±2,... επισκέπτη λέκτορα Θεμιστοκλή Χαραλάμπους (200).

3 ΗΜΥ Αντικαθιστώντας την () στην (2.4) : x[n] e jr 2π n e j(k r) 2π n α k n<> n<> α k δ[k r m] n<> x[n]e jr 2π n α k δ[k r m] α k δ[k r] }{{} α r Υπενθύμιση α k x[n]e jk 2π n n<> δ[k r] {, if k r 0, otherwise Σημείωση: Η σειρά Fourier διακριτού χρόνου (περιοδικών σημάτων) είναι πεπερασμένος πάντοτε συγκλίνει α k+ α k (αφού x k+ [n] x k [n]) Παράδειγμα 2.. x[n] e jk 2π n, 2π ω o, k I x[n] περιοδική με θεμελιώδη περίοδο x[n] α k e jk 2π n με α k, α j 0, άλλο j [0, ] (γραμμικό φάσμα) i (-k)... 0 (+k) Παράδειγμα 2.2. x[n] sinω o n περιοδική αν 2π ω o ακέραιος (a) Εστω 2π ω o x[n] περιοδική με περίοδο Ν, ω o 2π x[n] 2j ej 2π n 2j e j 2π n α 2j, α 2j, α k 0, k, σε ένα διάστημα k, 5 [ k+ k ]

4 ΗΜΥ Παράδειγμα 2.3. Περιοδικό Τετραγωνικό Κύμα x[n] για n here α k n<> n x[k]e jk 2π n e jk 2π n 2 m0 2 ejk 2π n Διόρθωση Διόρθωση e jk 2π (m ) [m n + ] m0 e jk 2π m ( ) ejk 2π e jk 2π (2+) e jk 2π 2π 2π e jk( 2 ) [ejk e jk 2π (+ 2 ) e jk 2π (+ 2 ) ] 2 [e jk 2π 2 e jk 2π 2 ] α k sin[ 2πk (+ 2 )], k 0, ±, ±2,... sin[( 2π ) k 2 ] k, 2,..., α k 2+, k 0, ±, ±2,... Εστω f(ω) sin[ ω 2 (2+)] sin( ω 2 ), [όπως sinx x περιοδική με περίοδο 2π]. Τότε α k 2πk f( ) [α k είναι οι δειγματικές τιμές f(ω k ) ωk ] 2πk Τέμνει το μηδέν στα: ω 2 (2 + ) kπ, k ±, ±2,... Δείγματα: ω k k 2π 3,

5 ΗΜΥ x[n] ( ) 2 k ( ) 2 /2 k 2 + α k e jk 2π α k e jk( 2π )n, αν Ν περιττό n, αν Ν άρτιο 3 Ιδιότητες Διακριτών σειρών Fourier Υποθέτουμε: x[n] x[n + ] x[n] F.S α k, y[n] F.S β k. Πολλαπλασιασμός: x[n]y[n] F.S c k Απόδειξη x[n]y[n] k0 k0 k+ l k k0 l 0 l 0 [ l0 l<> α k β l e j 2π (k+l)n α k β l k ej 2π l n α l β k l [Περιοδικές με περίοδο ] [l k + l] α k β l ke j 2π l n [β l k kai ej 2π l n period., ] α k β l k] k0 } {{ } c l e j 2π l n 2. Μετατόπιση Χρόνου: x[n n o ] F.S α k e jk 2π no β k k0 n o x[k n o ]e jk 2π n x[k ]e jk 2π n e j 2π kno [k k n o ] k n o n o e j 2π kno k n o x[k ]e jk 2π n β k α k e j 2π kno 3. Αντιστροφή Χρόνου: x[ n] F.S α k

6 ΗΜΥ Απόδειξη x[ n] k + k 0 k0 α k e jk 2π ( n) α k e jk 2π n k k α k e jk 2π n 4. Συζυγής: x [n] F.S α k Απόδειξη (x[n]) ( x [n] x [n] k <> α k e jk 2π n ) α ke jk 2π [Θέτω k k] α k ejk 2π n 5. Ταυτότητα Parseval: Απόδειξη c k l<> Για κ0: α l β k l l<> n<> α l β l n<> x[n] 2 α k 2 x[n]y[n]e j 2π kn [από.] n<> x[n]y[n] Για y[n] x [n] β l α l : α l αl x[n]x [n] [από 4.] l<> l<> α l 2 n<> n<> x[n]

7 ΗΜΥ Πίνακας 3.: Ιδιότητες Διακριτών Σειρών Fourier Ιδιότητα Περιοδικό } Σήμα Συντ. } Σειράς Fourier x[n] Περιοδικό με περιοδ. και a - k Περιοδικό με y[n] θεμελιώδ. συχν. ω o 2π b k περίοδο Γραμμικότητα Ax[n] + By[n] Aa k + Bb k Μετατόπιση Χρόνου x[n n o ] a k e jk( 2π )no Μετατόπιση Συχνότητας e jm( 2π )n x[n] a k M Συζυγής x [n] a k Αντιστροφή Χρόνου x[ n] { a k x[n/m], αν n πολλαπλ. του m Χρονική Κλιμάκωση x (m) [n] 0, αν n όχι πολλαπλ. του m (περιοδικό με περίοδο m) m a θεωρείται περιοδικό k με περίοδο m Περιοδική Συνέλιξη x[r]y[n r] a k b k Πολλαπλασιασμός r<> x[n]y[n] a l b k l l<> Πρώτη Διαφορά x[n] x[n ] ( e jk( 2π ) )a k n περιοδική με πεπερασμένη τιμή Τρέχων Άθροισμα x[k] ( μόνο αν a o 0 )a ( e jk( 2π ) k ) k Συζυγής Συμμετρία για Πραγματικά Σήματα x[n] real a k a k Rea k Rea k Ima k Ima k a k a k a k a k Πραγματικά και Άρτια Σήματα x[n] πραγματικό και άρτιο a k πραγμ., άρτιο a Πραγματικά και Περιττά Σήματα x[n] πραγματικά και περιττά k φανταστικό { και περιττό Άρτια-Περιττή Ανάλυση xe (t) Ev{x(t)} [x[n] ρεαλ] Re{a k } Πραγματικών Σημάτων x o (t) Od{x(t)} [x[n] ρεαλ] jim{a k } Σχέση του Parseval για περιοδικά σήματα: n<> x[n] 2 dt a k 2

8 ΗΜΥ Εφαρμογές Σειρών Fourier σε ΓΧΑ Συστήματα x [ n ] 2π jk n α e k k< > h[n] y[n] L.T.I., B.I.B.O. stable y[n] h[l]x[n l] l h[l] α k e jk 2π (n l) l α k e jk 2π n l h[l] e jk 2π l Let H(e jω ) h[l] e jωl y[n] l α k H(e jω ) y[n] είναι περιοδική με την ίδια περίοδο όπως η x[n] ω 2π k e jk 2π n (4.5) 2π x[ n] cos n < α < n h[ n] α u[ n] y[n] Παράδειγμα 4.. x[n] 2 ej 2π n + 2 e j 2π n Από (4.5): Γράφουμε: H(e jω ) h[k]e jωk k y[n] k α k u[k]e jωk H(e jω ) α k H(e jω ) e jk 2π n ω 2π k y[n] 2 H(ejω ) e j 2π n + ω 2π 2 H(ejω ) ω 2π α e jω e j 2π n 2 ( ) e j 2π α e j 2π n + 2 ( ) e j 2π α e j 2π n α e j 2π 4 re jθ y[n] r cos( 2π + θ) [ r +α 2 θ tan (α) ]