EI.. ΜΕΣΟ ΚΟΣΤΟΣ.Μέσο κόστος(α).ελάχιστο μέσο κόστος 3.Μέσο προιόν(a).μέγιστο μέσο προιόν 5.Κερδοφορία. Μέσο κόστος Θεωρούμε το κόστος παραγωγής ενός προιόντος ως συνάρτηση της ποσότητας παραγωγής, και το γράφουμε ως άθροισμα του σταθερού και του μεταβλητού κόστους: () = F+ V() Για κάθε ποσότητα παραγωγής, το μέσο κόστος (Average ost) και το μέσο μεταβλητό κόστος (Average Variable ost) ορίζονται με τα μεγέθη: () V() A=, AV= αντίστοιχα. Γραφικά παριστάνονται με την κλίση της ακτίνας και της χορδής, όπως στο πρώτο και δεύτερο γράφημα αντίστοιχα, στο σχήμα παραπλεύρως. Λέμε ότι σε κάποια επίπεδα παραγωγής έχουμε οικονομίες κλίμακας (sale eonomies) αν το μέσο κόστος είναι γνήσια φθίνον. Στο επόμενο σχήμα δίνουμε τα γραφήματα τριών τυπικών συναρτήσεων κόστους, γνωστές από τα προηγούμενα. Κάτω από το καθένα δίνουμε και τα αντίστοιχα γραφήματα των συναρτήσεων μέσου μεταβλητού και μέσου κόστους. Σημειώνουμε με {, } τα επίπεδα παραγωγής με ελάχιστο μέσο μεταβλητό κόστος και ελάχιστο μέσο κόστος αντίστοιχα, όπως φαίνεται και από τις αντίστοιχες κλίσεις στις συναρτήσεις κόστους. Παρατηρούμε ότι στα πρώτα δύο παραδείγματα έχουμε κάποια οικονομία κλίμακας η οποία οφείλεται στην ύπαρξη του σταθερού αρχικού κόστους το οποίο διαμοιράζεται στην παραγωγή ρίχνοντας το μέσο κόστος, ενώ το μέσο μεταβλητό κόστος είναι σταθερό ή αύξον. Αντίθετα στο τρίτο γράφημα έχουμε αρχικά μείωση και του μέσου μεταβλητού κόστους. A () F AV V() = F+ = 3 = F+ + = F+ + / 3 συναρτήσεις κόστους A A AV A AV = AV AV= A= F / + AV AV= + A= F / + AV AV= 3 + / 3 A= F / + AV συναρτήσεις μέσου μεταβλητού και μέσου κόστους Παρατηρούμε ότι σε όλες τις περιπτώσεις: Το μέσο κόστος συγκλίνει ασυμπτωτικά στο μέσο μεταβλητό κόστος, διότι διαφέρει από αυτό κατά το μέσο σταθερό κόστος που είναι φθίνον τείνοντας στο μηδέν: A() AV() = F / όταν
. Ελάχιστο μέσο κόστος Θεωρούμε τώρα και το οριακό κόστος που εξετάσαμε στο προηγούμενο κεφάλαιο, και δίνεται από την παράγωγο του κόστους: M= () Ιδιότητες μέσου κόστους Το μέσο κόστος ελαττώνεται γνήσια οπότε και έχουμε οικονομίες κλίμακας, όταν το οριακό κόστος είναι γνήσια μικρότερο από το μέσο κόστος, και αυξάνει γνήσια όταν είναι γνήσια μεγαλύτερο. Επομένως:. Σε εσωτερικό γνήσιο ελάχιστο του μέσου κόστους το οριακό κόστος συμπίπτει με το μέσο κόστος, διασχίζοντας το από κάτω προς τα πάνω. 3. Οι παραπάνω ιδιότητες ισχύουν και για το μέσο μεταβλητό κόστος. Απόδειξη. Είναι άμεση συνέπεια του παρακάτω τύπου για την παράγωγο του μέσου κόστους ως προς : = = < < (,) Στο παραπλεύρως γράφημα θεωρούμε μια συνάρτηση κόστους σένα σημείο (,) όπου το οριακό κόστος είναι μεγαλύτερο και από το μέσο μεταβλητό και από το μέσο κόστος, διότι η εφαπτόμενη ευθεία έχει μεγαλύτερη κλίση και από την χορδή και από την ακτίνα. Παρατηρούμε ότι καθώς η παραγωγή αυξάνει, το μέσο μεταβλητό κόστος και το μέσο κόστος επίσης θα αυξάνουν, σύμφωνα και με την παραπάνω θεωρία. AV A M Παράδειγμα. Οι ιδιότητες αυτές παριστάνονται γραφικά στα παρακάτω γραφήματα, όπου σημειώνουμε με {, } τις ποσότητες παραγωγής που δίνουν ελάχιστο του μέσου μεταβλητού και του μέσου κόστους αντίστοιχα, για τις τρεις συναρτήσεις κόστους που εξετάσαμε παραπάνω. = F+ M A M= AV AV= = = F+ + M= + AV= + 3 = F+ + / 3 M= + AV= + / 3 A= F / + AV A= F / + AV A= F / + AV ελάχιστα μέσου μεταβλητού και μέσου κόστους Παρατήρηση. Το αρχικό μέσο μεταβλητό κόστος συμπίπτει πάντοτε με το αρχικό οριακό κόστος: () () AV() = M() = lim Στα παραπάνω παραδείγματα είναι ίσο με. Παράδειγμα. Μια επιχείρηση εκτελεί παραγγελία ποσότητας με κόστος: = () Αν έχει δύο παραγγελίες: {, }, τότε το μέσο κόστος ανά παραγγελία είναι: = [( ) + ( )] / Αν οι παραγγελίες ήταν σταθερές ίσες με το μέσο όρο των παραπάνω, τότε θα είχε κόστος ανά παραγγελία: () με = (+ ) / M AV A M () A AV
Παρατηρούμε ότι: Όπου η συνάρτηση κόστους είναι κυρτή, η κυμαινόμενη παραγωγή έχει μεγαλύτερο μέσο κόστος από τη σταθερή ενδιάμεση παραγωγή. Το αντίθετο συμβαίνει όπου η συνάρτηση κόστους είναι κοίλη. () = + ( ) + ( ) = Εκφράζει την χαρακτηριστική ιδιότητα των κυρτών συναρτήσεων ότι η καμπύλη της συνάρτησης βρίσκεται κάτω από την χορδή. Παρατήρηση. Χρησιμοποιώντας την γενική ιδιότητα των κυρτών συναρτήσεων: (t + t ) t( ) + t( ) για t, t, t + t = αποδεικνύεται, π.χ. επαγωγικά ως προς τον αριθμό των παραγγελιών, ότι το παραπάνω αποτέλεσμα ισχύει για οιοδήποτε αριθμό παραγγελιών. Παράδειγμα. Υποθέτουμε ότι μια ποσότητα προϊόντος μπορεί να παραχθεί με δύο διαφορετικές διαδικασίες, με αντίστοιχο κόστος: =, = F+, όπου < Στη δεύτερη περίπτωση έχουμε μικρότερο κόστος ανά μονάδα προιόντος, αλλά έχουμε επιπλέον κάποιο σταθερό κόστος. Αν για κάθε επίπεδο παραγωγής επιλέγουμε τη διαδικασία με το μικρότερο συνολικό κόστος, η συνάρτηση κόστους θα ορίζεται τμηματικά ως min γραμμικών συναρτήσεων, με τη σχέση: αν + F F / ( ) () = min{, } = + Fαν + F F / ( ) = () Παρατηρούμε ότι είναι κοίλη αντί κυρτής, και ότι λόγω του σταθερού κόστους που επιμερίζεται εμφανίζει οικονομίες κλίμακας στις μεγάλες ποσότητες παραγωγής, όπως διαπιστώνουμε στο δεύτερο γράφημα παραπάνω. 3. Μέσο προιόν A= () /, μέσο προϊόν (Average Produt) Γραφικά, ορίζονται από την κλίση της ακτίνας στα διάφορα σημεία της καμπύλης παραγωγής, όπως στο γράφημα παραπλεύρως. Παρατηρούμε ότι σε κάθε επίπεδο παραγωγής-δαπάνης {,}, το μέσο προιόν και το μέσο κόστος είναι μεγέθη ανάστροφα μεταξύ τους: A= A A= A Θεωρούμε τώρα και την συνάρτηση παραγωγής ως αντίστροφη της συνάρτησης κόστους: = () = () Είναι μηδενική πριν από το επίπεδο δαπάνης που αντιστοιχεί στο σταθερό κόστος F. Για κάθε επίπεδο παραγωγής-δαπάνης ορίζουμε και την παραγωγή ανά μονάδα δαπάνης: = () A= / A Οι αντίστροφες των συναρτήσεων κόστους που δώσαμε σε προηγούμενο γράφημα μας δίνουν τις αντίστοιχες συναρτήσεις παραγωγής με τα παρακάτω γραφήματα. Βρίσκονται παίρνοντας τα συμμετρικά ως προς την διαγώνιο. Αναλυτικά, η δεύτερη και η τρίτη δίνονται σε πλεγμένη μορφή. Δίνουμε και τα γραφήματα των αντίστοιχων συναρτήσεων μέσου προϊόντος. Παρατηρούμε ότι εκτός από το αρχικό διάστημα που είναι μηδενικό, το μέσο προιόν είναι συνεχώς αύξον στην πρώτη περίπτωση, ενώ στις άλλες δύο είναι αύξον μέχρι ένα επίπεδο δαπάνης και στη συνέχεια γίνεται φθίνον. Το μέσο προιόν είναι μέγιστο όταν το μέσο κόστος είναι ελάχιστο. F 3
. = F+ 3 = F+ + = F+ + / 3 συναρτήσεις παραγωγής A A A συναρτήσεις μέσου προϊόντος Παράδειγμα. Θεωρούμε τη συνάρτηση παραγωγής που ορίζεται πλεγμένα ως αντίστροφη από την συνάρτηση κόστους που αντιστοιχεί στο δεύτερο γράφημα παραπάνω: = + + = () Χρησιμοποιώντας την σχέση αντιστροφής βρίσκουμε για το μέσο προιόν το μέγεθος: A= = A + + Παρατήρηση. Στη συγκεκριμένη περίπτωση μπορούμε να βρούμε τη συνάρτηση παραγωγής λύνοντας ως προς. Για, η παραγωγή είναι μηδενική. Για, βρίσκουμε την παραγωγή ως λύση δευτεροβάθμιας εξίσωσης: = + + + + ( ) = = + + 3 για Επομένως: + + 3 = + + 3 A= για Παίρνοντας υπόψη την αντιστοιχία:, τα δύο μεγέθη είναι ίσα.. Μέγιστο μέσο προιόν Θεωρούμε τώρα και το οριακό προιόν που ορίσαμε στο προηγούμενο κεφάλαιο και δίνεται από την παράγωγο της συνάρτησης παραγωγής ως προς την δαπάνη: M= () Οι παρακάτω ιδιότητες του μέσου προιόντος είναι αντίστοιχες αυτών του μέσου κόστους. Ισχύουν και λόγω της σχέσεως αντιστροφής των δύο συναρτήσεων. Ιδιότητες μέσου προιόντος.το μέσο προιόν αυξάνει όταν το οριακό προιόν είναι μεγαλύτερο, και ελαττώνεται όταν είναι μικρότερο.. Σε εσωτερικό γνήσιο μέγιστο του μέσου προιόντος, το οριακό προιόν συμπίπτει με το μέσο προιόν, διασχίζοντας το από πάνω προς τα κάτω.
Για τις συναρτήσεις παραγωγής που εξετάσαμε προηγουμένως δίνουμε παρακάτω τα γραφήματα των συναρτήσεων οριακού προιόντος σε σχέση με τις αντίστοιχες συναρτήσεις μέσου προιόντος. = F+ 3 = F+ + = F+ + / 3 συναρτήσεις παραγωγής A M M A M συναρτήσεις μέσου και οριακού προϊόντος A 5. Κερδοφορία Θεωρούμε μια παραγωγή, με τα παρακάτω χαρακτηριστικά μεγέθη κόστους: () = F+ V(), A= () /, AV= V() / Αν η αγορά είναι πλήρως ανταγωνιστική με μοναδιαία τιμή του προιόντος: P=, τότε το κέρδος και το λειτουργικό κέρδος θα έχουν τις παραστάσεις: Π= R = () = [ A()] VΠ= R V= V() = [ AV()] Συμπεραίνουμε ότι σε μια ανταγωνιστική παραγωγή, η τιμή είναι: συμφέρουσα είναι γνήσια μεγαλύτερη από το ελάχιστο μέσο μεταβλητό κόστος: > = min{av}, κερδοφόρος είναι γνήσια μεγαλύτερη από το ελάχιστο μέσο κόστος: > = min{a} Όπως διαπιστώσαμε προηγουμένως, τα παραπάνω ελάχιστα βρίσκονται στην τομή τους με το οριακό κόστος. Θα υπολογίσουμε την ελάχιστη συμφέρουσα τιμή και την ελάχιστη κερδοφόρα τιμή, για τις συναρτήσεις κόστους που εξετάσαμε παραπάνω. Παράδειγμα. Θεωρούμε την συνάρτηση κόστους που αντιστοιχεί στο δεύτερο γράφημα παραπάνω: = + +. Οριακό, μέσο μεταβλητό, και μέσο κόστος: M A d M= = +, AV= +, A= + + = 6 d. Το μέσο μεταβλητό κόστος είναι ελάχιστο στο =, όπου και συμπίπτει με το οριακό: = ΑV= M + = + =, = min AV= V() = 3. Το μέσο κόστος είναι ελάχιστο όπου συμπίπτει με το οριακό: Α = M + + = + = =, = min V= V() = 6 Συμπεραίνουμε ότι: η ελάχιστη συμφέρουσα τιμή είναι η = με παραγωγή = 5 = AV
η ελάχιστη κερδοφόρα τιμή είναι = 6 με παραγωγή = Παράδειγμα. Θεωρούμε μια συνάρτηση κόστους που αντιστοιχεί στο τρίτο γράφημα παραπάνω: 3 = 9+ 3 + / 3 Βρίσκουμε το οριακό, το μέσο μεταβλητό, και το μέσο κόστος: 9 M= 3 +, AV= 3 +, A= + 3 + 3 3. Το μέσο μεταβλητό κόστος είναι ελάχιστο όπου συμπίπτει με το οριακό: AV= M 3= =.5, = AV(.5) =.5 M. Το μέσο κόστος είναι ελάχιστο όπου συμπίπτει με το οριακό: 3 A= M 3 7= = 3, = A(3) = 6 = 6 Συμπεραίνουμε ότι: =.5 η ελάχιστη συμφέρουσα τιμή είναι η =.5 με παραγωγή =.5 η ελάχιστη κερδοφόρα τιμή είναι = 6 με παραγωγή = 3 A AV 6