ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ποιο είι το Σύολο τω Μιγδικώ Αριθμώ; Το σύολο τω μιγδικώ ριθμώ είι έ υπερσύολο του συόλου τω πργμτικώ ριθμώ, στο οποίο: Επεκτείοτι οι πράξεις της πρόσθεσης κι του πολλπλσισμού έτσι, ώστε έχου τις ίδιες ιδιότητες όπως κι στο, με το μηδέ () είι το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης κι το έ () το ουδέτερο στοιχείο του πολλπλσισμού, Υπάρχει έ στοιχείο i τέτοιο, ώστε i, Κάθε στοιχείο z του γράφετι κτά μοδικό τρόπο με τη μορφή z i, όπου, Πως ορίζετι διυσμτικά η πρόσθεση τω μιγδικώ i κι i ; Α M (, ) κι M (, ) είι οι εικόες τω κι i τιστοίχως στο μιγδικό επίπεδο, τότε το άθροισμ ( i) ( i) ( ) ( )i πριστάετι με το σημείο, M (γ,δ) M(+γ,+δ) Επομέως, M M M Η διυσμτική κτί του θροίσμτος τω μιγδικώ i κι i είι το άθροισμ τω διυσμτικώ κτίω τους Ο M (,) 3 Πως ορίζετι διυσμτικά η διφορά τω μιγδικώ i κι Η διφορά ( i) ( i) ( ) ( )i πριστάετι με το σημείο N(, ) Επομέως, N M M Ο Μ (γ,δ) i ; Μ (,) Η διυσμτική κτί της διφοράς τω μιγδικώ i κι i είι η διφορά τω διυσμτικώ κτίω τους Μ 3 (γ,δ) Ν(γ,δ) 4 Πότε οι μιγδικοί ριθμοί z κι w είι ίσοι; Πότε ο μιγδικός z είι ίσος με το μηδέ; κι 5 Ποιες ιδιότητες του συόλου τω πργμτικώ ριθμώ δε μετφέροτι στο σύολο τω μιγδικώ; Η διάτξη κι οι ιδιότητές της
6 Πως ορίζετι ο πολλπλσισμός κι η διίρεση δύο μιγδικώ; Γι το πολλπλσισμό δύο μιγδικώ i κι i έχουμε: i i i i i i Γι το πηλίκο δύο μιγδικώ i κι i i i με i, έχουμε: i i i i i i i i 7 Ν ποδείξετε ότι i = i υ όπου θετικός κέριος κι υ το υπόλοιπο της ευκλείδεις διίρεσης του με το 4 Γι υπολογίσουμε συγκεκριμέη δύμη του i, γράφουμε το εκθέτη στη μορφή 4, όπου ρ το πηλίκο κι υ το υπόλοιπο της ευκλείδεις διίρεσης του με το 4, οπότε έχουμε:, υ 4 4 4 i, υ i i i i (i ) i i i -, υ i, 3 8 Ποιος μιγδικός οομάζετι συζυγής του κι ποιοι μιγδικοί λέγοτι συζυγείς; i Ο ριθμός λέγετι συζυγής του κι συμολίζετι με Δηλδή, i i Επειδή είι κι, οι, λέγοτι συζυγείς μιγδικοί 9 Ιδιότητες συζυγώ Στο μιγδικό επίπεδο οι εικόες M(, ) κι M (, ) δύο συζυγώ μιγδικώ z i κι z i είι σημεί συμμετρικά ως προς το πργμτικό άξο Γι δύο συζυγείς μιγδικούς ριθμούς z i κι z i μπορούμε εύκολ, με εκτέλεση τω πράξεω, διπιστώσουμε ότι: zz = Re z, zz i = Imz i Α z i κι z i είι δυο μιγδικοί ριθμοί, τότε: z z z z z z z z z z 3 z z z z 4 z z Οι ιδιότητες υτές μπορού ποδειχτού με εκτέλεση τω πράξεω Γι πράδειγμ έχουμε: z z ( i) ( i) ( ) ( )i ( ) ( )i ( i) ( i) z z Ο M(z) M (z)
Οι πρπάω ιδιότητες κι 3 ισχύου κι γι περισσότερους πό δυο μιγδικούς ριθμούς Είι δηλδή: z z z z z z κι z z z z z z Ιδιίτερ, είι z z z z, τότε η τελευτί ισότητ γίετι: ( z ) ( z ) Επίλυση της εξίσωσης z z γ με,, κι Κάθε εξίσωση δεύτερου θμού με πργμτικούς συτελεστές έχει πάτ λύση στο σύολο C Εργζόμστε όπως στη τίστοιχη περίπτωση στο κι τη μετσχημτίζουμε, με τη μέθοδο συμπλήρωσης τετργώω, στη μορφή: z, 4 όπου 4 η δικρίουσ της εξίσωσης Έτσι, έχουμε τις εξής περιπτώσεις: Α τότε η εξίσωση έχει δύο πργμτικές λύσεις: z, Α τότε έχει μι διπλή πργμτική λύση: z Α τότε, επειδή, ( )( ) i ( ) i 4 4 ( ) i i η εξίσωση γράφετι: z Άρ οι λύσεις της είι: z, Πρτήρηση: Πρτηρούμε ότι κι εδώ ισχύου οι σχέσεις: z z κι zz Πως ορίζετι το μέτρο μιγδικού ριθμού z i ; Έστω M(, ) η εικό του μιγδικού z i στο μιγδικό επίπεδο Ορίζουμε ως μέτρο του z τη πόστση του M πό τη ρχή, δηλδή z M Γι πράδειγμ 3 4i 3 ( 4) 5 z Ότ ο μιγδικός z είι της μορφής z i, τότε Ο z, που είι η γωστή μς πόλυτη τιμή του πργμτικού ριθμού Συέπειες του ορισμού: Α z i, τότε z i κι z i Επομέως, a M(,) z z z z z z Α z, z είι μιγδικοί ριθμοί, τότε δείξετε ότι z z z z Έχουμε: z z z z z z z z (z z )(z z ) z z z z z z z z z z z z που ισχύει Γεικά: zz z z z z κι γι z z z z η προηγούμεη γίετι: z z 3
3 Τι εκφράζει γεωμετρικά το μέτρο της διφοράς δύο μιγδικώ ριθμώ κι ποιοι είι οι σικοί γεωμετρικοί τόποι; Από τη γωστή μς τριγωική ισότητ κι πό τη γεωμετρική ερμηεί του θροίσμτος z z κι της διφοράς z z δύο μιγδικώ προκύπτει ότι: z z z z z z Επίσης, είι φερό ότι το μέτρο του διύσμτος N είι ίσο με το μέτρο του διύσμτος MM Επομέως: Ο Το μέτρο της διφοράς δύο μιγδικώ είι ίσο με τη πόστση τω εικόω τους Δηλδή: ( MM ) z z M 3 (z ) Η εξίσωση z z ρ, ρ πριστάει κύκλο με κέτρο το σημείο K( z ) κι κτί ρ Η εξίσωση z z z z πριστάει τη μεσοκάθετο του τμήμτος με άκρ τ σημεί M (z ) A z κι Bz M (z ) N(z z ) M(z +z ) ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι οομάζουμε πργμτική συάρτηση; Έστω Α έ υποσύολο του Οομάζουμε πργμτική συάρτηση με πεδίο ορισμού το Α A τιστοιχίζετι σε έ μόο Γι μι διδικσί (κό), με τη οποί κάθε στοιχείο πργμτικό ριθμό Το οομάζετι τιμή της στο κι συμολίζετι με εκφράσουμε τη διδικσί υτή, γράφουμε: : A Το γράμμ πριστάει οποιοδήποτε στοιχείο του Α κι λέγετι εξάρτητη μετλητή, εώ το γράμμ, που πριστάει τη τιμή της στο, λέγετι εξρτημέη μετλητή Το πεδίο ορισμού Α της συμολίζετι με D Το σύολο που έχει γι στοιχεί του τις τιμές της σε όλ τ A, λέγετι σύολο A /, A τιμώ της κι συμολίζετι με A Είι δηλδή: 5 Τι οομάζουμε γρφική πράστση συάρτησης; Έστω μι συάρτηση με πεδίο ορισμού Α κι Ο έ σύστημ συτετγμέω στο επίπεδο M, γι τ οποί ισχύει, δηλδή το σύολο τω Το σύολο τω σημείω σημείω M,, A, λέγετι γρφική πράστση της κι συμολίζετι με C 4
6 Πότε δύο συρτήσεις κι g είι ίσες; Δύο συρτήσεις κι g λέγοτι ίσες ότ: έχου το ίδιο πεδίο ορισμού Α κι γι κάθε A ισχύει () g() Γι δηλώσουμε ότι δύο συρτήσεις κι g είι ίσες γράφουμε 7 Πως ορίζοτι οι πράξεις τω συρτήσεω; g Ορίζουμε ως άθροισμ g, διφορά g, γιόμεο g κι πηλίκο g δύο συρτήσεω, g τις συρτήσεις με τύπους ( g)() () g(), ( g)() () g(), () (g)() ()g(), () g g() Το πεδίο ορισμού τω g, g κι g είι η τομή A B τω πεδίω ορισμού Α κι Β τω συρτήσεω κι g τιστοίχως, εώ το πεδίο ορισμού της g είι το A B, εξιρουμέω τω τιμώ του που μηδείζου το προομστή g, δηλδή το σύολο A κι B με g 8Τι οομάζουμε σύθεση της με τη g; Α, g είι δύο συρτήσεις με πεδίο ορισμού Α, Β τιστοίχως, τότε οομάζουμε σύθεση της με τη g, κι τη συμολίζουμε με go, τη συάρτηση με τύπο (go)() g(()) Το πεδίο ορισμού της go ποτελείτι πό όλ τ στοιχεί του πεδίου ορισμού της γι τ οποί το () ήκει στο πεδίο ορισμού της g Δηλδή είι το σύολο A {A () B} Είι φερό ότι η go ορίζετι A, δηλδή (A) B A A (A) () g B g g(b) g( ()) ΣΧΟΛΙΑ Γεικά,, g είι δύο συρτήσεις κι ορίζοτι οι go κι og, τότε υτές δ ε ε ί ι υ π ο χ ρ ε ω τ ι κ ά ίσες Α, g, h είι τρεις συρτήσεις κι ορίζετι η ho(go ), τότε ορίζετι κι η (hog)o κι ισχύει ho(go ) (hog)o Τη συάρτηση υτή τη λέμε σύθεση τω, g κι h κι τη συμολίζουμε με hogo Η σύθεση συρτήσεω γεικεύετι κι γι περισσότερες πό τρεις συρτήσεις 9 Πότε μί συάρτηση λέγετι γησίως ύξουσ κι πότε γησίως φθίουσ κι πότε γησίως μοότοη σ έ δ ι ά σ τ η μ Δ του πεδίου ορισμού της; Μι συάρτηση λέγετι: γησίως ύξουσ σ έ δ ι ά σ τ η μ Δ του πεδίου ορισμού της, ότ γι οποιδήποτε 5
, Δ με ισχύει: ( ) ( ) (Σχ ) γησίως φθίουσ σ έ δ ι ά σ τ η μ Δ του πεδίου ορισμού της, ότ γι οποιδήποτε, Δ με ισχύει: ( ) ( ) (Σχ ) ( ) ( ) ( ) ( ) Ο Δ (a) Ο Δ () Γι δηλώσουμε ότι η είι γησίως ύξουσ (τιστοίχως γησίως φθίουσ) σε έ διάστημ Δ, γράφουμε Δ (τιστοίχως Δ) Α μι συάρτηση είι γησίως ύξουσ ή γησίως φθίουσ σ έ διάστημ Δ του πεδίου ορισμού της, τότε λέμε ότι η είι γησίως μοότοη στο Δ Πότε λέμε ότι μι συάρτηση προυσιάζει μέγιστο κι πότε ελάχιστο; Μι συάρτηση με πεδίο ορισμού Α θ λέμε ότι: Προυσιάζει στο A (ολικό) μέγιστο, το ( ), ότ () ( ) γι κάθε A (Σχ ) Προυσιάζει στο A (ολικό) ελάχιστο, το ( ), ότ () ( ) γι κάθε A (Σχ ) ( ) () () C (a) C Πότε μι συάρτηση λέγετι -; ( ) () Μι συάρτηση :A λέγετι συάρτηση, ότ γι οποιδήποτε, A ισχύει η συεπγωγή:, τότε ( ) ( ) Με πγωγή σε άτοπο ποδεικύετι ότι: Μι συάρτηση :A είι συάρτηση, κι μόο γι οποιδήποτε, A ισχύει η συεπγωγή: ( ) ( ), τότε ΣΧΟΛΙΑ Από το πρπάω ορισμό προκύπτει ότι μι συάρτηση είι, κι μόο : Γι κάθε στοιχείο του συόλου τιμώ της η εξίσωση () έχει κριώς μι λύση ως προς Δε υπάρχου σημεί της γρφικής της πράστσης με τη ίδι τετγμέη Αυτό σημίει ότι κάθε οριζότι ευθεί τέμει τη γρφική πράστση της το πολύ σε έ σημείο A B συάρτηση - συάρτηση όχι - 6
Α μι συάρτηση είι γησίως μοότοη, τότε προφώς, είι συάρτηση " Πως ορίζετι η τίστροφη συάρτηση γρφικές τους πρστάσεις; " μις συάρτησης κι τι γωρίζετι γι τις Έστω μι συάρτηση : A Α υποθέσουμε ότι υτή είι, τότε γι κάθε στοιχείο του συόλου τιμώ, (A), της υπάρχει μοδικό στοιχείο του πεδίου ορισμού της Α γι το οποίο ισχύει ( ) Επομέως ορίζετι μι συάρτηση g: (A) με τη οποί κάθε (A) τιστοιχίζετι στο μοδικό A γι το οποίο ισχύει ( ) Από το τρόπο που ορίστηκε η g προκύπτει ότι: έχει πεδίο ορισμού το σύολο τιμώ (A) της, A (A) έχει σύολο τιμώ το πεδίο ορισμού Α της κι ισχύει η ισοδυμί: ( ) g( ) g()= =() Αυτό σημίει ότι, η τιστοιχίζει το στο, τότε η g τιστοιχίζει το στο κι τιστρόφως Δηλδή η g είι η τίστροφη διδικσί της Γι το λόγο υτό η g λέγετι τίστροφη συάρτηση της κι συμολίζετι με Επομέως έχουμε g ( ) ( ) οπότε ( ( )), A κι ( ( )), ( A) Οι γρφικές πρστάσεις C κι C τω συρτήσεω κι τη ευθεί που διχοτομεί τις γωίες κι είι συμμετρικές ως προς ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Α μι συάρτηση είι ορισμέη σε έ σύολο της μορφής,, lim κι μόο lim lim lim lim lim lim h h lim κι lim c c, τότε: 3 Ποι θεωρήμτ ισχύου γι το όριο κι τη διάτξη; Γι το όριο κι τη διάτξη ισχύου τ πρκάτω θεωρήμτ ΘΕΩΡΗΜΑ ο Α lim (), τότε () κοτά στο Α lim (), τότε () κοτά στο 7
ΘΕΩΡΗΜΑ ο Α οι συρτήσεις,g έχου όριο στο κι ισχύει () g() κοτά στο, τότε lim () lim g() 4 Ποιες είι οι ιδιότητες τω ορίω; Α υπάρχου τ όρι τω συρτήσεω κι g στο, τότε: lim () g lim () lim g() lim k () 3 lim ()g 4 5 6 k lim () γι κάθε στθερά k lim () lim g() () lim g lim () lim (), εφόσο lim g lim () k k lim g lim () lim () εφόσο () κοτά στο 7 lim () lim (), 5 Ν ποδείξετε ότι γι οποιοδήποτε πολυώυμο P, ισχύει lim P P Έστω P Σύμφω με τις ιδιότητες ορίω, ισχύει:, lim P lim lim lim lim lim lim lim lim P 6 Ν ποδείξετε ότι γι τ πολυώυμ P,Q,με P P lim, Q Q Q, ισχύει Είι P lim P P lim Q lim Q Q 7 Ν διτυπώσετε το κριτήριο πρεμολής Έστω οι συρτήσεις,g,h Α h() () g() κοτά στο κι lim h() lim g(),τότε κι lim () 8
8 Ποι είι τ σικά τριγωομετρικά όρι στο ; γι κάθε (η ισότητ ισχύει μόο γι ) lim 3 lim 4 lim 5 lim 9 Ποιες είι οι ιδιότητες του μη πεπερσμέου ορίου ; 3 Α lim () lim () lim () lim () lim () lim () 4 Α 5 Α 6 Α 7 Α 8 Α lim (), τότε () κοτά στο, εώ lim () τότε () κοτά στο lim () τότε lim (), εώ lim () τότε lim () lim () ή, τότε lim () lim () κι () κοτά στο, τότε lim () κι () κοτά στο, τότε lim () ή, τότε lim (), τότε lim lim () () lim, εώ () lim () Συέπειες lim κι γεικά lim, lim κι γεικά lim,, εώ lim κι γεικά lim,,,, Δηλδή δε υπάρχει στο μηδέ το όριο της 3 Ποι είι τ όρι πολυωυμικής κι ρητής συάρτησης στο ; Γι τη πολυωυμική συάρτηση P με, ισχύει κι lim P lim lim P lim Γι τη ρητή συάρτηση,,, ισχύει: 9
lim lim κι lim lim 3 Ποι είι τ όρι της εκθετικής κι της λογριθμικής συάρτησης στ άκρ του πεδίου ορισμού τους; Α, τότε: Α, τότε:, lim log κι lim log lim, lim, lim log κι lim log lim, lim 3 Πότε λέμε ότι μι συάρτηση είι συεχής στο του πεδίου ορισμού της; Έστω μι συάρτηση κι έ σημείο του πεδίου ορισμού της Θ λέμε ότι η είι συεχής στο, ότ lim () ( ) 33 Πότε μι συάρτηση θ λέμε ότι είι συεχής; Μί συάρτηση που είι συεχής σε όλ τ σημεί του πεδίου ορισμού της, θ λέμε ότι είι συεχής συάρτηση 34 Πότε μι συάρτηση είι συεχής στο (, ); Μι συάρτηση θ λέμε ότι είι συεχής σε έ οικτό διάστημ,, ότ είι συεχής σε κάθε σημείο του, 35 Πότε μι συάρτηση είι συεχής στο, ; Μι συάρτηση θ λέμε ότι είι συεχής σε έ κλειστό διάστημ,, ότ είι συεχής σε κάθε σημείο του (, ) κι επιπλέο lim () ( ) κι lim () ( ) 36 Α δύο συρτήσεις,g είι συεχείς στο, τότε ποιες άλλες συρτήσεις που ορίζοτι μέσω τω,g είι συεχείς στο ; Α οι συρτήσεις κι g είι συεχείς στο, τότε είι συεχείς στο κι οι συρτήσεις: g, c, όπου c, g, g, κι Επιπλέο η συάρτηση είι συεχής στο κι η συάρτηση g είι συεχής στο ( ), τότε η σύθεσή τους go είι συεχής στο
37 Ν διτυπώσετε το θεώρημ Bolzano κι «δώσετε» τη γεωμετρική του ερμηεί Έστω μι συάρτηση, ορισμέη σε έ κλειστό διάστημ η είι συεχής στο [, ] κι, επιπλέο, ισχύει ( ) ( ), () τότε υπάρχει έ, τουλάχιστο, (, ) τέτοιο, ώστε ( ) Δηλδή, υπάρχει μι, τουλάχιστο, ρίζ της εξίσωσης () στο οικτό διάστημ (, ) [, ] Α: (a) Γεωμετρική ερμηεί Α(,()) Στο διπλό σχήμ έχουμε τη γρφική πράστση μις συεχούς συάρτησης στο [, ] Επειδή τ σημεί A(, ( )) κι B(, ( )) ρίσκοτι εκτέρωθε του άξο, η γρφική πράστση της τέμει το άξο σε έ τουλάχιστο σημείο ΣΧΟΛΙΟ Από το θεώρημ του Bolzano προκύπτει ότι: Α μι συάρτηση είι συεχής σε έ διάστημ Δ κι δε μηδείζετι σ υτό, τότε υτή ή είι θετική γι κάθε ή είι ρητική γι κάθε, δηλδή διτηρεί πρόσημο στο διάστημ Δ (Σχ ) a B(,()) ()> a a ()< () () Μι συεχής συάρτηση διτηρεί πρόσημο σε κθέ πό το διστήμτ στ οποί οι διδοχικές ρίζες της χωρίζου το πεδίο ορισμού της ρ + ρ ρ 3 + ρ 4 + ρ 5 Αυτό μς διευκολύει στο προσδιορισμό του πρόσημου της γι τις διάφορες τιμές του Συγκεκριμέ, ο προσδιορισμός υτός γίετι ως εξής: )Βρίσκουμε τις ρίζες της ) Σε κθέ πό τ υποδιστήμτ που ορίζου οι διδοχικές ρίζες, επιλέγουμε έ ριθμό κι ρίσκουμε το πρόσημο της στο ριθμό υτό Το πρόσημο υτό είι κι το πρόσημο της στο τίστοιχο διάστημ
38 Ν διτυπώσετε το θεώρημ τω εδιάμεσω τιμώ κι το ποδείξετε Έστω μι συάρτηση, η οποί είι ορισμέη σε έ κλειστό διάστημ [, ] Α: η είι συεχής στο [, ] κι ( ) ( ) τότε, γι κάθε ριθμό η μετξύ τω ( ) κι ( ) υπάρχει ές, τουλάχιστο (, ) τέτοιος, ώστε ( ) ΑΠΟΔΕΙΞΗ Ας υποθέσουμε ότι ( ) ( ) Τότε θ ισχύει ( ) ( ) Α θεωρήσουμε τη συάρτηση () η g() (), [, ], πρτηρούμε ότι: η g είι συεχής στο [, ] κι (a) g( )g( ),φού Α(,()) g( ) ( ) κι g( ) ( ) Επομέως, σύμφω με το θεώρημ του Bolzano, a υπάρχει (, ) τέτοιο, ώστε g( ) ( ), οπότε ( ) B(,()) =η 39 Τι γωρίζετε γι τη εικό εός διστήμτος Δ μις συεχούς κι μη στθερής συάρτησης; Η εικό διάστημ εός διστήμτος Δ μέσω μις συεχούς κι μη στθερής συάρτησης είι 4 Ν διτυπώσετε γι μι συεχής συάρτηση το θεώρημ μέγιστης κι ελάχιστης τιμής Α είι συεχής συάρτηση στο [, ], τότε η πίρει στο [, ] μι μέγιστη τιμή Μ κι μι ελάχιστη τιμή m Δηλδή, υπάρχου, [, ] τέτοι, ώστε, m ( ) κι M ( ), ισχύει ( ), m M, γι κάθε ΣΧΟΛΙΟ Από το πρπάω θεώρημ κι το θεώρημ εδιάμεσω τιμώ προκύπτει ότι το σύολο τιμώ μις συεχούς συάρτησης με πεδίο ορισμού το [, ] είι το κλειστό διάστημ m,m, όπου m η ελάχιστη τιμή κι Μ η μέγιστη τιμή της Τέλος, ποδεικύετι ότι: A μι συάρτηση είι γησίως ύξουσ κι συεχής σε έ οικτό διάστημ,, τότε το σύολο τιμώ της στο διάστημ υτό είι το διάστημ (, ) όπου lim () κι B lim () Α, όμως, η είι γησίως φθίουσ κι συεχής στο (, ), τότε το σύολο τιμώ της στο διάστημ υτό είι το διάστημ (B,A)
ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 4 Tι ορίζουμε ως εφπτομέη της C στο σημείο της A(,( )) ; Έστω μι συάρτηση κι A(, ( )) έ σημείο της C Α υπάρχει το () ( ) κι lim είι ές πργμτικός ριθμός λ, τότε ορίζουμε ως εφπτομέη της C στο σημείο της Α, τη ευθεί ε που διέρχετι πό το Α κι έχει συτελεστή διεύθυσης λ Επομέως, η εξίσωση της εφπτομέης στο σημείο A(, ( )) είι () ( ), όπου lim 4 Πότε μι συάρτηση λέμε ότι είι πργωγίσιμη σε έ σημείο του πεδίου ορισμού της; Μι συάρτηση λέμε ότι είι πργωγίσιμη σ έ σημείο του πεδίου ορισμού της, υπάρχει () ( ) το lim κι είι πργμτικός ριθμός Το όριο υτό οομάζετι πράγωγος της στο () ( ) ( ) lim κι συμολίζετι με Δηλδή: 43 Πότε έ κιητό κιείτι προς τ δεξιά κι πότε προς τ ριστερά κοτά στο t ; S( t) S( t ) Ότ έ κιητό κιείτι προς τ δεξιά, τότε κοτά στο t ισχύει, οπότε είι υ ( t ), t t S( t) S( t ) εώ, ότ το κιητό κιείτι προς τ ριστερά κοτά στο t ισχύει, οπότε είι υ ( t ) t t 44 Ν ποδείξετε ότι μι συάρτηση είι πργωγίσιμη σ έ σημείο, τότε είι κι συεχής στο σημείο υτό Γι έχουμε () ( ) () ( ) ( ),οπότε () ( ) () ( ) lim[ () ( )] lim ( ) lim lim( ) ( ) φού η είι πργωγίσιμη στο Επομέως, lim () ( ), δηλδή η είι συεχής στο 3
ΣΧΟΛΙΟ lim ( ) () lim (), ( ) () lim lim, 45 Πότε μι συάρτηση είι πργωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της Α; H είι πργωγίσιμη στο Α ή, πλά, πργωγίσιμη, ότ είι πργωγίσιμη σε κάθε σημείο A 46 Πότε μι συάρτηση είι πργωγίσιμη σε έ οικτό διάστημ, του πεδίου ορισμού της; Η είι πργωγίσιμη σε έ οικτό διάστημ, του πεδίου ορισμού της, ότ είι πργωγίσιμη σε κάθε σημείο (, ) 47 Πότε μι συάρτηση είι πργωγίσιμη σε έ κλειστό διάστημ, του πεδίου ορισμού της; Η είι πργωγίσιμη σε έ κλειστό διάστημ, του πεδίου ορισμού της, ότ είι πργωγίσιμη στο, κι επιπλέο ισχύει () ( lim κι () ( lim 48 Πως ορίζετι η στιγμιί τχύτητ εός κιητού τη χροική στιγμή t ; Η στιγμιί τχύτητ εός κιητού, τη χροική στιγμή t, είι η πράγωγος της συάρτησης θέσης st τη χροική στιγμή t Δηλδή t st 49 Τι οομάζετι κλίση της στο κι ποι είι η εξίσωση της εφπτομέης της στο ; Κλίση της στο ή συτελεστής διεύθυσης της εφπτομέης της Η εξίσωση της εφπτομέης είι: C στο 5 Ποι συάρτηση οομάζετι πρώτη πράγωγος μις συάρτησης ; C, οομάζετι το Έστω μι συάρτηση με πεδίο ορισμού Α κι Α το σύολο τω σημείω του Α στο οποίο υτή είι πργωγίσιμη Ατιστοιχίζοτς κάθε A στο, ορίζουμε τη συάρτηση : A 4
η οποί οομάζετι πρώτη πράγωγος της ή πλά πράγωγος της 5 Έστω η στθερή συάρτηση() c,c Ν ποδείξετε ότι η συάρτηση είι πργωγίσιμη στο κι ισχύει (), δηλδή ( c) Πράγμτι, είι έ σημείο του, τότε γι ισχύει: () ( ) c c () ( ) Επομέως, lim, δηλδή (c) 5 Έστω η συάρτηση () Ν ποδείξετε ότι η συάρτηση είι πργωγίσιμη στο κι ισχύει (), δηλδή Πράγμτι, είι έ σημείο του, τότε γι ισχύει: () ( ) () ( ) Επομέως, lim lim, δηλδή () 53 Έστω η συάρτηση() πργωγίσιμη στο,, Ν ποδείξετε ότι η συάρτηση είι κι ισχύει (), δηλδή Πράγμτι, είι έ σημείο του, τότε γι ισχύει: ( ) () ( ) ( )( ), () ( ) οπότε lim lim( ), δηλδή ( ) 54 Έστω η συάρτηση () Ν ποδείξετε ότι η συάρτηση είι πργωγίσιμη στο (, ) κι ισχύει (), δηλδή Ν ποδείξετε ότι η δε είι πργωγίσιμη στο Πράγμτι, είι έ σημείο του,, τότε γι ισχύει: () ( ) ( )( ),οπότε ( )( ) ( )( ) () ( ) lim lim, δηλδή ( ) () () Στο είι lim lim lim, δηλδή η δε είι πργωγίσιμη στο 5
55 Α οι συρτήσεις,g είι πργωγίσιμες στο, ποδείξετε ότι η συάρτηση gείι πργωγίσιμη στο κι ισχύει: ( g) ( ) ( ) g ( ) Γι, ισχύει: ( g)() ( g)( ) () g() ( ) g( ) () ( ) g() g( ) Επειδή οι συρτήσεις,g είι πργωγίσιμες στο, έχουμε: ( g)() ( g)( ) () ( ) g() g( ) lim lim lim ( ) g ( ), Δηλδή ( g) ( ) ( ) g ( ) 56 Έστω η συάρτηση(), πργωγίσιμη στο Πράγμτι, γι κάθε * Ν ποδείξετε ότι η συάρτηση είι * κι ισχύει (), δηλδή ( ) * έχουμε: () ( ) ( ) ( ) 57 Έστω η συάρτηση () εφ Ν ποδείξετε ότι η συάρτηση είι πργωγίσιμη στο { συ } κι ισχύει (), δηλδή (εφ) συ συ Πράγμτι, γι κάθε έχουμε: ημ (ημ) συ ημ(συ) συσυ ημημ συ ημ (εφ) συ συ συ συ συ 58 Πότε η συάρτηση διάστημ Δ; g είι πργωγίσιμη στο κι πότε σε έ Α η συάρτηση g είι πργωγίσιμη στο κι η είι πργωγίσιμη στο g( ), τότε η συάρτηση g είι πργωγίσιμη στο κι ισχύει ( g) ( ) (g( )) g ( ) Γεικά, μι συάρτηση g είι πργωγίσιμη σε έ διάστημ Δ κι η είι πργωγίσιμη στο g( ), τότε η συάρτηση g είι πργωγίσιμη στο Δ κι ισχύει Δηλδή, u g, τότε g g g u u u 59 Ν ποδείξετε ότι η συάρτηση (), είι πργωγίσιμη στο (, ) κι ισχύει (), δηλδή ( ) Πράγμτι, e ln κι θέσουμε u ln (e ) e u e u u ln, τότε έχουμε u e Επομέως, 6
6 Ν ποδείξετε ότι η συάρτηση, δηλδή () ln ( ) ln (), είι πργωγίσιμη στο κι ισχύει ln Πράγμτι, e κι θέσουμε u ln, τότε έχουμε u u ln (e ) e u e ln ln u e Επομέως, 6 Ν ποδείξετε ότι η συάρτηση () ln, ισχύει (ln ) * είι πργωγίσιμη στο * κι, τότε (ln ) (ln ), εώ, τότε ln ln( ), οπότε, θέσουμε ln( ) κι u, έχουμε ln u Επομέως, (ln u) u ( ) κι άρ (ln ) u 6 Α δύο μετλητά μεγέθη, συδέοτι με τη σχέση (), τι οομάζουμε ρυθμό μετολής του ως προς το στο σημείο ; Α δύο μετλητά μεγέθη, συδέοτι με τη σχέση (), ότ είι μι συάρτηση πργωγίσιμη στο, τότε οομάζουμε ρυθμό μετολής του ως προς το στο σημείο τη πράγωγο ( ) 63 Ν διτυπώσετε το θεώρημ Rolle κι το ερμηεύσετε γεωμετρικά Α μι συάρτηση είι: συεχής στο κλειστό διάστημ [, ] πργωγίσιμη στο οικτό διάστημ (, ) κι ( ) ( ) τότε υπάρχει έ, τουλάχιστο, (, ) τέτοιο, ώστε: ( ) Γεωμετρικά, υτό σημίει ότι υπάρχει έ, τουλάχιστο, (, ) τέτοιο, ώστε η εφπτομέη της C στο M(, ( )) είι πράλληλη στο άξο τω Μ(ξ,(ξ)) Α(,()) ξ ξ Β(,()) 7
64 Ν διτυπώσετε το θεώρημ Μέσης τιμής κι το ερμηεύσετε γεωμετρικά Α μι συάρτηση είι: συεχής στο κλειστό διάστημ [, ] κι πργωγίσιμη στο οικτό διάστημ (, ) τότε υπάρχει έ, τουλάχιστο, (, ) τέτοιο, ώστε: ( ) ( ) ( ) Γεωμετρικά, υτό σημίει ότι υπάρχει έ, τουλάχιστο, (, ) τέτοιο, ώστε η εφπτομέη της γρφικής πράστσης της στο σημείο M(, ( )) είι πράλληλη της ευθείς ΑΒ Ο M(ξ,(ξ)) A(a,(a)) a ξ ξ Β(,()) 65 Έστω μι συάρτηση ορισμέη σε έ διάστημ Δ Α η είι συεχής στο Δ κι () γι κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Δ, ποδείξετε ότι: η είι στθερή σε όλο το διάστημ Δ Αρκεί ποδείξουμε ότι γι οποιδήποτε, ισχύει ( ) ( ) Πράγμτι Α, τότε προφώς ( ) ( ) Α, τότε στο διάστημ [, ] η ικοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήμτος μέσης τιμής ( ) ( ) Επομέως, υπάρχει (, ) τέτοιο, ώστε ( ) () Επειδή το ξ είι εσωτερικό σημείο του Δ, ισχύει ( ),οπότε, λόγω της (), είι ( ) ( ) Α, τότε ομοίως ποδεικύετι ότι ( ) ( ) Σε όλες, λοιπό, τις περιπτώσεις είι ( ) ( ) 66 Α γι μί συάρτηση είι συεχής σε έ σύολο Α που ποτελείτι πό έωση διστημάτω, είι πργωγίσιμη στο Α κι () γι κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Α, τότε η είι στθερή στο Α; Δώστε πράδειγμ, Έστω η συάρτηση ( ) Πρτηρούμε ότι, κι ( ) γι κάθε, (, ) (, ), ετούτοις η δε είι στθερή στο (,) (, ) 67Έστω δυο συρτήσεις,g ορισμέες σε έ διάστημ Δ Α οι,g είι συεχείς στο Δ κι () g () γι κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Δ, ποδείξετε ότι υπάρχει στθερά c τέτοι, ώστε γι κάθε ισχύει: () g() c Η συάρτηση g είι συεχής στο Δ κι γι κάθε εσωτερικό σημείο ισχύει ( g) () () g () Επομέως, σύμφω με το πρπάω θεώρημ, η συάρτηση g είι στθερή στο Δ Άρ, υπάρχει =g()+c =g() 8
στθερά C τέτοι, ώστε γι κάθε ισχύει () g() c, οπότε () g() c 68 Έστω μι συάρτηση, η οποί είι σ υ ε χ ή ς σε έ διάστημ Δ Α () σε κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Δ, τότε η είι γησίως ύξουσ σε όλο το Δ Α () σε κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Δ, τότε η είι γησίως φθίουσ σε όλο το Δ Αποδεικύουμε το θεώρημ στη περίπτωση που είι () Έστω, με Θ δείξουμε ότι ( ) ( ) Πράγμτι, στο διάστημ [, ] η ικοποιεί τις προϋποθέσεις του ΘΜΤ Επομέως, υπάρχει (, ) τέτοιο, ώστε ( ) ( ) ( ), οπότε έχουμε ( ) ( ) ( )( ) Επειδή ( ) κι, έχουμε ( ) ( ), οπότε ( ) ( ) Στη περίπτωση που είι () εργζόμστε λόγως ΣΧΟΛΙΟ Το τίστροφο του πρπάω θεωρήμτος δε ισχύει Δηλδή, η είι γησίως ύξουσ (τιστοίχως γησίως φθίουσ) στο Δ, η πράγωγός της δε είι υποχρεωτικά θετική (τιστοίχως ρητική) στο εσωτερικό του Δ 3 Γι πράδειγμ ς δούμε τη συάρτηση Είι 3, κι, Δηλδή, λέποτς το σχήμ, η είι γησίως ύξουσ στο, χωρίς είι γι κάθε 69 Ν δώσετε τους ορισμούς γι το τοπικό μέγιστο, το τοπικό ελάχιστο κι το τοπικό κρόττο Μι συάρτηση, με πεδίο ορισμού Α, θ λέμε ότι προυσιάζει στο A τοπικό μέγιστο, ότ υπάρχει, τέτοιο ώστε () ( ) γι κάθε A (, ) Το λέγετι θέση ή σημείο τοπικού μεγίστου, εώ το ( ) τοπικό μέγιστο της Μί συάρτηση, με πεδίο ορισμού Α, θ λέμε ότι προυσιάζει στο A τοπικό ελάχιστο, ότ υπάρχει, τέτοιο ώστε () ( ), γι κάθε A (, ) Το λέγετι θέση ή σημείο τοπικού ελχίστου, εώ το ( ) τοπικό ελάχιστο της Τ τοπικά μέγιστ κι τ τοπικά ελάχιστ της λέγοτι τοπικά κρόττ υτής 7 Ν διτυπώσετε κι ποδείξετε το θεώρημ του Fermat Έστω μι συάρτηση ορισμέη σ έ διάστημ Δ κι έ εσωτερικό σημείο του Δ Α η προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είι πργωγίσιμη στο σημείο υτό, τότε: ( ) ΑΠΟΔΕΙΞΗ 9
Ας υποθέσουμε ότι η προυσιάζει στο τοπικό μέγιστο Επειδή το είι εσωτερικό σημείο του Δ κι η προυσιάζει σ υτό τοπικό μέγιστο, υπάρχει τέτοιο, ώστε (, ) κι () ( ), γι κάθε A (, ) () Επειδή, επιπλέο, η είι πργωγίσιμη στο, ισχύει () ( ) () ( ) ( ) lim lim Επομέως, () ( ) (, ), τότε, λόγω της (), θ είι, οπότε θ έχουμε () ( ) ( ) lim () () ( ) (, ), τότε, λόγω της (), θ είι, οπότε θ έχουμε () ( ) ( ) lim (3) Έτσι, πό τις () κι (3) έχουμε ( ) Η πόδειξη γι τοπικό ελάχιστο είι άλογη ( ) δ +δ 7 Ποιες είι οι πιθές θέσεις τοπικώ κρόττω κι ποι σημεί οομάζοτι κρίσιμ; Οι π ι θ έ ς θ έ σ ε ι ς τ ω τ ο π ι κ ώ κ ρ ο τ ά τ ω μις συάρτησης σ έ διάστημ Δ είι: Τ εσωτερικά σημεί του Δ στ οποί η πράγωγος της μηδείζετι Τ εσωτερικά σημεί του Δ στ οποί η δε πργωγίζετι 3 Τ άκρ του Δ ( ήκου στο πεδίο ορισμού της) Τ ε σ ω τ ε ρ ι κ ά σημεί του Δ στ οποί η δε πργωγίζετι ή η πράγωγός της είι ίση με το μηδέ, λέγοτι κρίσιμ σημεί της στο διάστημ Δ 7 Έστω μι συάρτηση πργωγίσιμη σ έ διάστημ (, ), με εξίρεση ίσως έ σημείο του,στο οποίο όμως η είι συεχής Ν ποδείξετε ότι: i) Α () στο (, ) κι () στο (, ), τότε το ( ) είι τοπικό μέγιστο της ii) Α () στο (, ) κι () στο (, ), τότε το ( ) είι τοπικό ελάχιστο της ΑΠΟΔΕΙΞΗ i) Επειδή ( ) γι κάθε (, ) κι η είι συεχής στο, η είι γησίως ύξουσ στο (, ] Έτσι έχουμε ( ) ( ), γι κάθε (, ] () Επειδή ( ) γι κάθε (, ) κι η είι συεχής στο, η είι γησίως φθίουσ στο [, ) Έτσι έχουμε: ( ) ( ), γι κάθε [, ) () Επομέως, λόγω τω () κι (), ισχύει: ) ( ), γι κάθε (, ), ( που σημίει ότι το ( ) είι μέγιστο της στο (, ) κι άρ τοπικό μέγιστο υτής ii) Εργζόμστε λόγως
73 Έστω μι συάρτηση πργωγίσιμη σ έ διάστημ (, ), με εξίρεση ίσως έ σημείο του,στο οποίο όμως η είι συεχής Α η () διτηρεί πρόσημο στο (, ) (, ), ποδείξετε ότι το ( ) δε είι τοπικό κρόττο κι η είι γησίως μοότοη στο (, ) ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω ότι ( ), γι κάθε (, ) (, ) Επειδή η είι συεχής στο θ είι γησίως ύξουσ σε κάθε έ πό τ διστήμτ (, ] κι [, ) Επομέως, γι ισχύει ( ) ( ) ( ) Άρ το ( ) δε είι τοπικό κρόττο της Θ δείξουμε, τώρ, ότι η είι γησίως ύξουσ στο (, ) Πράγμτι, έστω, (, ) με Α, (, ], επειδή η είι γησίως ύξουσ στο (, ], θ ισχύει ( ) ( ) Α, [, ), επειδή η είι γησίως ύξουσ στο [, ), θ ισχύει ( ) ( ) Τέλος,, τότε όπως είδμε ( ) ( ) ( ) Επομέως, σε όλες τις περιπτώσεις ισχύει ( ) ( ), οπότε η είι γησίως ύξουσ στο (, ) Ομοίως, ( ) γι κάθε, ) (, ) ( 74 Έστω μι συάρτηση συεχής σε έ διάστημ Δ κι πργωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ, πότε θ λέμε ότι η στρέφει τ κοίλ προς τ άω κι πότε προς τ κάτω; Έστω μί συάρτηση σ υ ε χ ή ς σ έ διάστημ Δ κι π ρ γ ω γ ί σ ι μ η στο ε σ ω τ ε ρ ι κ ό του Δ Θ λέμε ότι: Η συάρτηση στρέφει τ κοίλ προς τ άω ή είι κυρτή στο Δ, η είι γησίως ύξουσ στο ε σ ω τ ε ρ ι κ ό του Δ Η συάρτηση στρέφει τ κοίλ προς τ κάτω ή είι κοίλη στο Δ, η είι γησίως φθίουσ στο ε σ ω τ ε ρ ι κ ό του Δ 75 Με άση ποιο θεώρημ εξετάζουμε τη κυρτότητ μις συάρτησης ; Ισχύει το τίστροφό του; Δώστε πράδειγμ Έστω μι συάρτηση σ υ ε χ ή ς σ έ διάστημ Δ κι δυο φορές πργωγίσιμη στο ε σ ω τ ε ρ ι κ ό του Δ Α ( ) γι κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Δ, τότε η είι κυρτή στο Δ Α ( ) γι κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Δ, τότε η είι κοίλη στο Δ Το τίστροφο του θεωρήμτος δε ισχύει Γι πράδειγμ, 4 3 έστω η συάρτηση ( ) (Σχ 4) Επειδή η ( ) 4 είι γησίως ύξουσ στο, η θετική στο φού ( ) 4 ( ) είι κυρτή στο Ετούτοις, η () δε είι = 4 4 76 Ποι είι η σχετική θέση της γρφικής πράστσης μις συάρτησης με μί εφπτομέη της με άση τη κυρτότητ της συάρτησης ; Α μι συάρτηση είι κυρτή (τιστοίχως κοίλη) σ έ διάστημ Δ, τότε η εφπτομέη της γρφικής πράστσης της σε κάθε σημείο του Δ ρίσκετι κάτω (τιστοίχως πάω ) πό τη γρφική της πράστση, με εξίρεση το σημείο επφής τους 77 Πότε το σημείο Α(,( ) ) οομάζετι σημείο κμπής της γρφικής πράστσης της ;
Έστω μι συάρτηση πργωγίσιμη σ έ διάστημ (, ), με εξίρεση ίσως έ σημείο του Α η είι κυρτή στο (, ) κι κοίλη στο (, ), ή τιστρόφως, κι η C έχει εφπτομέη στο σημείο A(, ( )), τότε το σημείο A(, ( )) οομάζετι σημείο κμπής της γρφικής πράστσης της 78 Ποιες είι οι πιθές θέσεις σημείω κμπής; Α μι συάρτηση είι δύο φορές πργωγίσιμη κι το σημείο A(,( )) είι σημείο κμπής της, τότε ποι σχέση ισχύει γι τη δεύτερη πράγωγο της στο ; Πότε έ σημείο είι έιο σημείο κμπής; Ο ι π ι θ έ ς θ έ σ ε ι ς σ η μ ε ί ω κ μ π ή ς μις συάρτησης σ έ διάστημ Δ είι: i) τ εσωτερικά σημεί του Δ στ οποί η μηδείζετι, κι ii) τ εσωτερικά σημεί του Δ στ οποί δε υπάρχει η Α το A (, ( )) είι σημείο κμπής της γρφικής πράστσης της κι η είι δυο φορές πργωγίσιμη, τότε ( ) Έστω μι συάρτηση ορισμέη σ έ διάστημ (, ) κι (, ) Α η λλάζει πρόσημο εκτέρωθε του κι ορίζετι εφπτομέη της C στο A (, ( )) τότε το A, ( )) είι σημείο κμπής ( 79 Πότε η ευθεί λέγετι κτκόρυφη σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της ; Α έ τουλάχιστο πό τ όρι lim (), lim () είι ή, τότε η ευθεί λέγετι κτκόρυφη σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της 8 Πότε η ευθεί λέγετι οριζότι σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της στο (τιστοίχως στο ); Α lim () (τιστοίχως lim () ), τότε η ευθεί λέγετι οριζότι σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της στο (τιστοίχως στο ) 8 Πότε η ευθεί λέγετι σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της στο, (τιστοίχως στο ); Η ευθεί λέγετι σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της στο, τιστοίχως στο, lim[ () ( )], τιστοίχως lim[ () ( )] ΣΧΟΛΙΑ Αποδεικύετι ότι: Οι πολυωυμικές συρτήσεις θμού μεγλύτερου ή ίσου του δε έχου σύμπτωτες P( ) Οι ρητές συρτήσεις, με θμό του ριθμητή P () μεγλύτερο τουλάχιστο κτά δύο του Q( ) θμού του προομστή, δε έχου πλάγιες σύμπτωτες Σύμφω με τους πρπάω ορισμούς, σύμπτωτες της γρφικής πράστσης μις συάρτησης ζητούμε:
Στ άκρ τω διστημάτω του πεδίου ορισμού της στ οποί η δε ορίζετι Στ σημεί του πεδίου ορισμού της, στ οποί η δε είι συεχής Στο,, εφόσο η συάρτηση είι ορισμέη σε διάστημ της μορφής (, ), τιστοίχως (, ) 8 Ν διτυπώσετε τους κόες de L Hospital ΘΕΩΡΗΜΑ ο (μορφή ) Α lim (), lim g(), {, } κι υπάρχει το () () άπειρο), τότε: lim lim g() g () ΘΕΩΡΗΜΑ ο (μορφή ) Α lim (), άπειρο), τότε: lim g(), () () lim lim g() g () {, } κι υπάρχει το () lim (πεπερσμέο ή g () () lim (πεπερσμέο ή g () ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 83 Έστω μι συάρτηση ορισμέη σε έ διάστημ Δ Τι οομάζετε ρχική συάρτηση ή πράγουσ της στο Δ ; Έστω μι συάρτηση ορισμέη σε έ διάστημ Δ Αρχική συάρτηση ή πράγουσ της στο Δ οομάζετι κάθε συάρτηση F που είι πργωγίσιμη στο Δ κι ισχύει F () (), γι κάθε 84 Ν ποδείξετε ότι: Έστω μι συάρτηση ορισμέη σε έ διάστημ Δ Α F είι μι πράγουσ της στο Δ, τότε όλες οι συρτήσεις της μορφής G() F() c, c, είι πράγουσες της στο Δ κι κάθε άλλη πράγουσ G της στο Δ πίρει τη μορφή G() F() c, c Κάθε συάρτηση της μορφής G() F() c, όπου c, είι μι πράγουσ της στο Δ, φού G () (F() c) F () (), γι κάθε Έστω G είι μι άλλη πράγουσ της στο Δ Τότε γι κάθε ισχύου F () () κι G () (), οπότε G () F (), γι κάθε Άρ, υπάρχει στθερά c τέτοι, ώστε G() F() c, γι κάθε 85 Ν ποδείξετε ότι το εμδό του χωρίου Ω που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της συάρτησης (), το άξο τω κι τις ευθείες κι είι E 3 3
4 Μι μέθοδος προσεγγίσουμε το ζητούμεο εμδό είι η εξής: Χωρίζουμε το διάστημ ], [ σε ισομήκη υποδιστήμτ, μήκους Δ, με άκρ τ σημεί:,,,,, Σχημτίζουμε τ ορθογώι με άσεις τ υποδιστήμτ υτά κι ύψη τη ελάχιστη τιμή της σε κθέ πό υτά (Σχ 6) Μι προσέγγιση του εμδού που ζητάμε είι το άθροισμ, ε, τω εμδώ τω πρπάω ορθογωίω Δηλδή, το: ε ) ( ] ) ( [ 3 3 6 3 6 ) ( ) ( Α, τώρ, σχημτίσουμε τ ορθογώι με άσεις τ πρπάω υποδιστήμτ κι ύψη τη μέγιστη τιμή της σε κθέ π υτά (Σχ 7), τότε το άθροισμ Ε τω εμδώ τω ορθογωίω υτώ είι μι κόμη προσέγγιση του ζητούμεου εμδού Είι όμως, Ε ) ( 3 3 6 3 6 ) )( ( Το ζητούμεο, όμως, εμδό Ε ρίσκετι μετξύ τω ε κι E Δηλδή ισχύει Ε Ε ε, οπότε Ε Ε ε lim lim Επειδή 3 lim lim Ε ε, έχουμε 3 Ε 86 Ν δώσετε το ορισμό του εμδού χωρίου Ω που ορίζετι πό τη γρφική πράστση μις συάρτησης με, το άξο κι τις ευθείες = κι = v v v v 7 = Ω = 5 v v v v 6 =
Γι ορίσουμε το εμδό του χωρίου Ω εργζόμστε ως εξής: Χωρίζουμε το διάστημ [, ] σε ισομήκη υποδιστήμτ, μήκους, με τ σημεί =() Σε κάθε υποδιάστημ [, ] επιλέγουμε υθίρετ έ σημείο κι σχημτίζουμε τ ορθογώι που έχου άση κι ύψη τ ( ) Το άθροισμ τω εμδώ τω ορθογωίω υτώ είι S ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )] Υπολογίζουμε το lim S Αποδεικύετι ότι το lim S υπάρχει στο κι είι εξάρτητο πό τη επιλογή τω σημείω Το όριο υτό οομάζετι εμδό του επιπέδου χωρίου Ω κι συμολίζετι με Είι φερό ότι ( ) = (ξ ) (ξ ) ξ ξ Ω Δ (ξ k ) k- ξ k k a v (ξ ) - ξ = 87 Ν δώσετε το ορισμό του ορισμέου ολοκληρώμτος μις συεχούς συάρτησης στο, Με τ σημεί χωρίζουμε το διάστημ [, ] σε ισομήκη υποδιστήμτ μήκους =() Στη συέχει επιλέγουμε υθίρετ έ [, ], γι κάθε {,,, }, κι a= σχημτίζουμε το άθροισμ S ( ) ( ) ( ) ( ) το οποίο συμολίζετι, σύτομ, ως εξής: S ( ) () Αποδεικύετι ότι, Το όριο του θροίσμτος S, δηλδή το lim ( ξκ ) Δ () υπάρχει στο κι είι κ εξάρτητο πό τη επιλογή τω εδιάμεσω σημείω Το πρπάω όριο () οομάζετι ορισμέο ολοκλήρωμ της συεχούς συάρτησης πό το στο, συμολίζετι με d κι διάζετι ολοκλήρωμ της πό το στο Δηλδή, ()d lim ( ) ξ k v- ξ v v = ξ ξ 5
Από τους ορισμούς του εμδού κι του ορισμέου ολοκληρώμτος προκύπτει ότι: Α () γι κάθε [, ], τότε το ολοκλήρωμ ()d δίει το εμδό E( ) του χωρίου Ω που περικλείετι πό τη =() γρφική πράστση της το άξο κι τις ευθείες κι Δηλδή, d ΕΩ ( ) Επομέως Α (), τότε ()d Ω 88 Ποιες οι ιδιότητες του ορισμέου ολοκληρώμτος; ΘΕΩΡΗΜΑ ο Έστω,g σ υ ε χ ε ί ς συρτήσεις στο [, ] κι, ()d ()d κι γεικά [ () g()]d ()d g()d [ () g()]d ()d g()d Τότε ισχύου ΘΕΩΡΗΜΑ ο Α η είι σ υ ε χ ή ς σε διάστημ Δ κι,,, τότε ισχύει ()d ()d ()d ΘΕΩΡΗΜΑ 3ο Έστω μι σ υ ε χ ή ς συάρτηση σε έ διάστημ [, ] Α () γι κάθε [, ] κι η συάρτηση δε είι πτού μηδέ στο διάστημ υτό, τότε ()d 89 Ποιος είι ο τύπος της κτά πράγοτες ολοκλήρωσης; όπου ) g( ) d [ ( ) g( )] ( ( ) g( ) d,, g είι συεχείς συρτήσεις στο [, ] 9 Ποιος είι ο τύπος της ολοκλήρωσης με λλγή μετλητής; όπου ( g( )) g( ) d ( u) du,, g είι συεχείς συρτήσεις, u g(), du g( ) d κι u g( ), u g( ) u u 9 Α μι συεχής συάρτηση σ έ διάστημ Δ κι έ σημείο του Δ, γράψετε τι γωρίζετε συάρτηση F t dt Η συάρτηση F είι μι πράγουσ της στο Δ, δηλδή F t dt γι κάθε Εποπτικά το συμπέρσμ του πρπάω θεωρήμτος προκύπτει ως εξής: () F() Ω +h =() 6
h F ( h) F( ) ( t) dt Εμδό του χωρίου Ω ( ) h,γι μικρά h F( h) F( ) F( h) F( ) Άρ, γι μικρά h είι ( ),οπότε F ( ) lim ( ) h h h Από το πρπάω θεώρημ κι το θεώρημ πργώγισης σύθετης συάρτησης προκύπτει g() ότι ( t) dt ( g( )) g( ),με τη προϋπόθεση ότι τ χρησιμοποιούμε σύμολ έχου όημ 9 Ν διτυπώσετε το θεμελιώδες θεώρημ ολοκληρωτικού λογισμού κι το ποδείξετε Έστω μι συεχής συάρτηση σ έ διάστημ [, ] Α G είι μι πράγουσ της στο[, ], τότε (t)dt G( ) G( ) ΑΠΟΔΕΙΞΗ Σύμφω με το προηγούμεο θεώρημ, η συάρτηση F() (t)dt είι μι πράγουσ της στο[, ] Επειδή κι η G είι μι πράγουσ της στο [, ], θ υπάρχει c τέτοιο, ώστε G() F() c () Από τη (), γι, έχουμε G( ) F( ) c (t)dt c c, οπότε c G( ) Επομέως, G() F() G( ),οπότε, γι, έχουμε G( ) F( ) G( ) (t)dt G( ) κι άρ (t)dt G( ) G( ) 93 Έστω, δυο συρτήσεις κι g, συεχείς στο διάστημ [, ] με () g() γι κάθε [, ] Ν ποδείξετε ότι το εμδό του χωρίου Ω που περικλείετι πό τις γρφικές πρστάσεις τω,g, κι τις ευθείες = κι = είι: E( ) (() g())d =() =() Ω =g() Ω =g() Ω () Πρτηρούμε ότι () Ε ( Ω) Ε( Ω ) Ε( Ω ) ( ) d g( ) d ( ( ) g( )) d Επομέως, E( ) ( () g())d 94 Έστω, δυο συρτήσεις κι g, συεχείς στο διάστημ [, ] (γ) με g γι κάθε [, ] Ν ποδείξετε ότι το εμδό του χωρίου Ω που περικλείετι πό τις γρφικές πρστάσεις τω,g, κι τις ευθείες = κι = είι: E( ) (() g())d 7
Επειδή οι συρτήσεις,g είι συεχείς στο [, ], θ υπάρχει ριθμόc τέτοιος ώστε () c g() c, γι κάθε [, ] Είι φερό ότι το χωρίο Ω έχει το ίδιο εμδό με το χωρίο Ω Επομέως, σύμφω με το τύπο (), έχουμε =()+c Ω =() Ω =g() =g()+c () () Άρ E( ) ( () g())d ( ) ( ) [( () c) (g() c)]d ( () g())d 95 Έστω, μι συάρτηση g συεχής στο διάστημ [, ] με g γι κάθε [, ] Ν ποδείξετε ότι το εμδό του χωρίου Ω που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της g, του άξο κι τις ευθείες = κι = είι: E( ) g()d Επειδή ο άξος είι η γρφική πράστση της συάρτησης (), έχουμε E( ) ( () g())d [ g()]d g()d Επομέως, γι μι συάρτηση g ισχύει g ( ) γι κάθε Ω [, ], τότε E( ) g()d =g() Στέλιος Μιχήλογλου 8