ΓΙΑΙΡΔΣΟΣΗΣΑ Οπιζμόρ 1: Έζηω,. Λέκε όηη ν δηαηξεί ηνλ (ζπκβνιηζκόο: ) αλ ππάξρεη c ηέηνην ώζηε c. Θεώπημα : Γηα,,m,α,b ηζρύνπλ: i), (άξα ) ii) 1, 1 iii) 0 iv) 0 0 v) m m m vi) α bm vii) α (άξα ) viii) α α ix) α α α 0 x) 0 xi) 1
xii) 0 Απόδειξη: i) 1. 1. ii) 1 1. 1 1. iii) 0 0 0. iv) 0 θ 0, θ. Άξα 0. v) ι, ι. m m θ, θ. Άξα m θ θι, θι. Σπλεπώο m. vi) ι, ι. m m θ, θ. Άξα α bm αι bθ αι bθ, αι bθ. Σπλεπώο α bm. vii) ι, ι. Άξα α αι, αι. Σπλεπώο α. viii) ι, ι. Άξα α αι ι α, ι. Σπλεπώο α α.
ix) α α α ι α, ι. α ι α α ι ι. Σπλεπώο. Άξα α 0 x) ι, ι. Άξα ι. Επίζεο 0. Άξα ι 0 θαη επνκέλωο ι 1. Σπλεπώο ι xi) Α) Αλ 0, ηόηε ιόγω ηεο ζρέζεο έρνπκε ακέζωο (βι. iv)) όηη 0. Άξα 0. Β) Αλ 0, ηόηε ιόγω ηεο ζρέζεο έρνπκε ακέζωο (βι. iv)) όηη 0. Επνκέλωο: x) x) Από Α), Β) έπεηαη ακέζωο όηη. xii) ι, ι. Άξα ι θαη επνκέλωο,. Σπλεπώο. Οπιζμόρ 3: Έζηω. Τόηε νξίδνπκε Δ : / (δει. ην Δ είλαη ην ζύλνιν ηωλ δηαηξεηώλ ηνπ ). Παπαηήπηζη 4: i) Από ην vii) ηνπ Θεωξήκαηνο έπεηαη ακέζωο όηη Δ Δ 3
ii) Από ηα i), ii) ηνπ Θεωξήκαηνο έπεηαη ακέζωο όηη γηα θάζε έρνπκε όηη,, 1,1 Δ iii) Από ηα iii), iv) ηνπ Θεωξήκαηνο έρνπκε ακέζωο όηη 0Δ 0 iv) Από ην iii) ηνπ Θεωξήκαηνο 3 έρνπκε ακέζωο όηη Δ0. v) Από ηα x), iv) ηνπ Θεωξήκαηνο 3 έπεηαη ακέζωο όηη γηα θάζε έρνπκε Δ, 1,..., 1,1,...,, 1 (άξα γηα ην ζύλνιν Δ είλαη πεπεξαζκέλν). Οπιζμόρ 5: Έζηω α,b. Τόηε ωο κέγηζην θνηλό δηαηξέηε ηωλ α, b (ζπκβνιηζκόο: α,b ) νξίδνπκε ην * * max Δα Δ b, αλ α ή b α,b : 0, αλ α b 0 Παπαηήπηζη 6: Γηα θάζε α,b έρνπκε όηη α, bδα Δb. Θεώπημα 7 (ηαςηόηηηα Δςκλείδειαρ Γιαίπεζηρ): Έζηω α,b κε b 0. Τόηε ππάξρνπλ κνλαδηθά q,r ηέηνηα ώζηε α qb r, 0 r b Θεώπημα 8: Έζηω α,b. Τόηε ππάξρνπλ x, y ηέηνηα ώζηε α, b αx by 4
Θεώπημα 9: Έζηω α,b,. Τα εμήο είλαη ηζνδύλακα: i) α, b ii) Ο έρεη ηηο ηδηόηεηεο: A) 0 B) Δα Δb (δει. α θαη b). Γ) Δα Δb Δ (δει. αλ e κε e α θαη eb ηόηε e). Απόδειξη: i)ii) Έζηω α, b Α) I) Αλ. α ή b * * ηόηε α, b max Δα Δb i) ηεο Παξαηήξεζεο 4). Άξα α, b 1 0. II) Αλ α b 0 ηόηε α, b 0. Άξα 0.. Όκωο 1Δα Δb (βι. ην. Σπλεπώο α, b 0. Επνκέλωο Από I) θαη II) έπεηαη ακέζωο όηη 0. Β) I) Αλ α ή b * * ηόηε α, b max Δα Δb θαη άξα Δα Δb. Δει. max Δ Δ (άκεζν αθνύ πξνθαλώο max Δ Δ Δ Δ ). α b α b II) Αλ α b 0 ηόηε α, b 0. Δει. 0. Επίζεο αθνύ α b 0 ηόηε Δ α Δb ((βι. ην ii) ηεο Παξαηήξεζεο 4). Άξα Δα Δb Επνκέλωο Δα Δb. α b. Από I) θαη II) έπεηαη ακέζωο όηη Δα Δb. Γ) Αθνύ α, b, ηόηε από ην Θεώξεκα 8 έρνπκε ακέζωο όηη ππάξρνπλ x, y ηέηνηα ώζηε αx by. Έζηω ηώξα eδα Δb. Θα δείμνπκε όηη e Δ. Πξάγκαηη: 5
Αθνύ eδα Δb ηόηε e α θαη eb. Τόηε από ην vi) ηνπ Θεωξήκαηνο έρνπκε ακέζωο όηη e αx by Δα Δb Δ.. Δει. e. Άξα e Δ. Σπλεπώο ii)i) Α) Έζηω α ή b * *. Τόηε α, b max Δα Δb. Άξα α, b Δα Δb. Από ην Γ) ηεο ππόζεζεο έρνπκε ηώξα όηη α, b Δ. Δει. α,b. Τόηε από ην x) ηνπ Θεωξήκαηνο έπεηαη όηη α,b Επνκέλωο α, b. Από ην Β) έρνπκε όηη Δα Δb α, b. Σπλεπώο α, b. Β) Έζηω α b 0. Τόηε Δα Δb Δ. Όκωο Δα Δb Δ αδb θαη επνκέλωο. Όκωο A) α,b α,b. Επίζεο α, b max Δ Δ α.. Άξα α, b 0. Από ην Γ) ηεο ππόζεζεο έρνπκε όηη Τόηε από ην ii) ηεο Παξαηήξεζεο 4 έρνπκε όηη 0 (βι. ην ii) ηεο Παξαηήξεζεο 4). Άξα Δ. Από απηό έπεηαη ακέζωο όηη Δ.. Σπλεπώο α, b b. Από Α) θαη Β) έπεηαη όηη α, b. Παπαηήπηζη 10: Από ην ii)b) ηνπ πξνεγνύκελνπ Θεωξήκαηνο θαη ην vi) ηνπ Θεωξήκαηνο έπεηαη ακέζωο όηη αλ α, b ηόηε γηα θάζε x, y έρνπκε όηη αx by. Θεώπημα 11: Έζηω α,b,c,. i) α,b α, b ii) αc,bc c α,b 6
iii) α,b 1 1 αx by γηα θάπνηα x,y iv) Αλ α,b 0, ηόηε α b, 1. v) Αλ 0, Δα Δb θαη α b, 1, ηόηε α, b. vi) α,1 1, α,0 α Απόδειξη: i) Άζθεζε. ii) Έζηω f α, b θαη e αc, bc Αθνύ f α, b. Θα δείμνπκε όηη e c f. ηόηε (Θεώξεκα 8) ππάξρνπλ x, y ηέηνηα ώζηε f αx by. Επνκέλωο cf αcx bcy. Επίζεο αθνύ e αc, bc έρνπκε ακέζωο όηη e αcx bcy Επίζεο αθνύ f α, b. Άξα e cf., ηόηε (βι. Παξαηήξεζε 10) ηόηε (βι. ην ii)b) ηνπ Θεωξήκαηνο 9) έρνπκε όηη f α θαη fb. Τόηε από ην viii) ηνπ Θεωξήκαηνο έπεηαη όηη cf αc θαη cf bc. Άξα (βι. ην ii)γ) ηνπ Θεωξήκαηνο 9) cf e. Σπλεπώο από ην xi) ηνπ Θεωξήκαηνο έρνπκε όηη e cf c f e c f e,f o Θεώξ. 9 ii)a) iii) () Άκεζν από ην Θεώξεκα 8. ( ) Έζηω όηη 1αx by, x, y. Θα δείμνπκε όηη α, b 1. Πξάγκαηη: Έζηω h α, b. Τόηε (βι. Παξαηήξεζε 10) έρνπκε όηη h αx by h1 θαη επνκέλωο h 1 ή h 1. Όκωο h 0 ηνπ Θεωξήκαηνο 9). Επνκέλωο h 1. αθνύ h α, b. Άξα (βι. ην i)a) 7
α b α b α b α b α,b,,,, 1 iv) v) 0 ii) 0 0 αθνύ = α,b βι. i)a) Θεώξ. 9 α, b αθνύ = α,b αb άξα, α b α b α,b,, ii) αb αb, 1 αθνύ, δηόηη Δ αδ b άξα α, b Άξα α, b vi) Άζθεζε. Θεώπημα 1 (Λήμμα Δςκλείδη): Έζηω α,b,c κε α bc θαη α, b 1. Τόηε α c. Απόδειξη: Από ην Θεώξεκα 8 έρνπκε όηη ππάξρνπλ x, y κε 1αx by. Άξα c αcx bcy. Όκωο α bc. Άξα (βι. vii) Θεωξήκαηνο ) α bcy. Επίζεο πξνθαλώο α αcx. Άξα (βι. vi) Θεωξήκαηνο ) α αcx bcy. Σπλεπώο αc. Θεώπημα 13 (Δςκλείδειορ αλγόπιθμορ): Έζηω α, b ζεηηθνί αθέξαηνη κε biα. Έζηω r: 0 α θαη r 1 : b. Εθαξκόδνληαο ζπλερώο ηελ ηαπηόηεηα ηεο Επθιείδεηαο Δηαίξεζεο πξνθύπηεη έλα ζύλνιν από ππόινηπα r, r,..., r, 3 r 1πνπ νξίδνληαη δηαδνρηθά από ηηο εμήο ζρέζεηο: r0 r1 q1 r, 0 r r1 r1 rq r3, 0 r3 r... 8
r r 1q 1 r, 0 r r 1 r r q r, r 1 0 1 1 Τόηε r α, b είλαη ν α,b ). (δει. ην ηειεπηαίν κε κεδεληθό ππόινηπν ζε απηήλ ηε δηαδηθαζία Απόδειξη: Άζθεζε. ΑΚΗΔΙ 1. i) Έζηω α,b κε α, b άξηηνη. Να δείμεηε όηη νη αb, α b είλαη άξηηνη. ii) Έζηω α,b κε α, b πεξηηηνί. Να δείμεηε όηη ν αb είλαη πεξηηηόο θαη ν α b είλαη άξηηνο. iii) Έζηω α,b κε α άξηηνο θαη b πεξηηηόο. Να δείμεηε όηη ν αb είλαη άξηηνο (άξα ην γηλόκελν δύν δηαδνρηθώλ αθεξαίωλ είλαη άξηηνο) θαη ν α b είλαη πεξηηηόο.. Έζηω α. Να δείμεηε όηη αλ 3 α ηόηε 3 α. 3. Να απνδείμεηε όηη: i) Αλ α θαη α είλαη άξηηνο αξηζκόο, ηόηε ii) Αλ α θαη α είλαη πεξηηηόο αξηζκόο, ηόηε Α) α 4θ 1 γηα θάπνην θ. Γ) 3 α 3α 7. α 4ι γηα θάπνην ι. Β) α 8ι 1 γηα θάπνην ι. iii)αλ α,b θαη α, b είλαη πεξηηηνί αξηζκνί, ηόηε ε εμίζωζε x α b δελ έρεη αθέξαηεο ιύζεηο. 4. Έζηω α, b πεξηηηνί αθέξαηνη. Να απνδείμεηε όηη 9
i) ii) α α α 4 1 α 1 b 8 4 4 α b iii) 16 5. Γηα πνηεο ηηκέο ηνπ αθεξαίνπ θ ν αξηζκόο 3θ 4 5 είλαη αθέξαηνο. 6. Έζηω α, b, γ πεξηηηνί αθέξαηνη. Να απνδείμεηε όηη ε εμίζωζε αx bx γ 0 δελ έρεη αθέξαηεο ιύζεηο. Έρεη αθέξαηεο ιύζεηο ε εμίζωζε 7. i) Έζηω α κε α θαη α 3. Α) Δείμηε όηη ππάξρνπλ θ,ι ηέηνηνη ώζηε α θ 5ι. Β) Δείμηε όηη ππάξρνπλ κ, λ ηέηνηα ώζηε α κ 5λ. 014 x 5 x 013 0; Γ) Τα κεραλήκαηα ΑΤΜ ηωλ ηξαπεδώλ δίλνπλ ραξηνλνκίζκαηα ηωλ 0 θαη ηωλ 50. Τα πνζά πνπ κπνξείηε λα πάξεηε είλαη νπνηνδήπνηε πνιιαπιάζην ηνπ 10 κεγαιύηεξν ή ίζν ηωλ 0 θαη δηάθνξν ηωλ 30. Πωο γίλεηαη απηό; 8. Έζηω α,b. Να δείμεηε: i) 11 α 11 α b 11 35 b 3 α 3b ii) 3 α b 9. Να απνδείμεηε όηη i) Τν γηλόκελν ηξηώλ δηαδνρηθώλ αθεξαίωλ δηαηξείηαη κε ην 6. ii) 6 αα 1α 1 3 iii) 6 α 3α 4α 10
10. Αλ θ θαη * m, κε m, λα απνδείμεηε όηη m θ 1 θ 1. 11. Γηα θάζε λ λα απνδείμεηε όηη: 3 i) 3 λ λ ii) λ λ 5 37 4λ λ1 iii) 14 3 5 1. Γηα θάζε α, λα απνδείμεηε όηη 4 α Ι. 13. Να απνδείμεηε όηη δελ ππάξρνπλ δηαδνρηθνί ζεηηθνί αθέξαηνη πνπ λα είλαη θαη νη δύν ηεηξάγωλα αθεξαίωλ. 14. Αλ m, κε m θαη m 1, ηόηε m 1 I. 11