Συναρτήσεις Παραγωγής-Συναρτήσεις Κόστους

Συναρτήσεις Παραγωγής-Συναρτήσεις Κόστους Σε μια παραγωγική διαδικασία διακρίνουμε τις εισροές (inpts) που αφορούν τους συντελεστές παραγωγής (factors of prodction), και τις εκροές (otpts) που αφορούν τα παραγόμενα προϊόντα (prodcts). Γενικά έχουμε πολλές εισροές και πολλές εκροές. Θα ασχοληθούμε με την απλούστερη περίπτωση συναρτήσεων: παραγωγής με δύο συντελεστές παραγωγής ως εισροές: Q = Q(K,L) κόστους με δύο παραγόμενα προιόντα ως εκροές: C = C(X, Y) Δύο εισροές-συντελεστές παραγωγής Θεωρούμε την παραγωγή Q ως συνάρτηση δύο συντελεστών παραγωγής, τούς οποίους συμβατικά θα αποκαλούμε κεφάλαιο (capital) K και εργασία (labor) L αντίστοιχα: L Q = Q(K,L) με K 0, L 0 Μεταβάλλοντας κάθε φορά μόνο τον ένα συντελεστή, κρατώντας τον άλλο Q = q σταθερό, βρίσκουμε τις (μερικές) παραγώγους: Q QK =, οριακό προϊόν κεφαλαίου (marginal prodct of capital) Q q K Q q K Q QL =, οριακό προϊόν εργασίας (marginal prodct of labor) L Οριακές μεταβολές προστίθενται, οπότε αν τα {K,L} μεταβληθούν αμφότερα κατά {dk, dl}, τότε το Q θα μεταβληθεί οριακά, κατά: dq = Q dk + Q dl, εξίσωση διαφορικών (οριακών μεταβολών) K Για κάθε επίπεδο παραγωγής: Q L = q ορίζεται και η αντίστοιχη εξίσωση ισοπαραγωγής (isoqant): Q(K,L) = q Καθορίζει τους συνδυασμούς κεφαλαίου και εργασίας (K,L) που δίνουν την συγκεκριμένη παραγωγή q. Οι καμπύλες ισοπαραγωγής έχουν συνήθως την μορφή του παραπάνω σχήματος, οπότε λέμε ότι είναι κανονικές. Η εξίσωση ισοπαραγωγής ορίζει πλεγμένα τις συναρτήσεις υποκατάστασης: Q(K,L) = q L = L(K,q), K = K(L,q) Είναι αντίστροφες μεταξύ τους και για κάθε ποσότητα του ενός συντελεστή μας δίνει την ποσότητα του άλλου συντελεστή που χρειάζεται για την συγκεκριμένη παραγωγή. Οι αντίστοιχες παράγωγοι καλούνται ρυθμοί υποκατάστασης: dl dk Q(K,L) = q :του L ως προς Κ, : του Κ ως προς L dk dl Για σταθερή παραγωγή, καθορίζει την επιτρεπόμενη μεταβολή (μείωση) της συμμετοχής ενός συντελεστή, όταν ο άλλος αυξηθεί κατά μία μονάδα, οριακά.. Είναι ανάστροφες μεταξύ τους. Από την εξίσωση διαφορικών προκύπτει και η παρακάτω σχέση μεταξύ του ρυθμού υποκατάστασης και των οριακών προιόντων: Q Q dl QK dk QL dq = Q K L KdK + QLdL = 0 = =, = = dk Q Q Q L dl Q K L K Παρατηρούμε ότι ο ρυθμός υποκατάστασης του κάθε συντελεστή είναι αντιστρόφως ανάλογος του αντίστοιχου οριακού προιόντος. Δίνουμε δύο παραδείγματα Γραμμική: Q = αk + βl. Π.χ. ενέργεια Q παράγεται με πετρέλαιο K ή με λιγνίτη L. Αν μια μονάδα πετρελαίου παράγει α μονάδες ενέργειας και μια μονάδα λιγνίτη παράγει β μονάδες ενέργειας, τότε με {K,L} μονάδες θα παράγονται Q = αk + βl μονάδες ενέργειας. Λέμε ότι οι εισροές είναι πλήρως υποκατάστατες, με καμπύλες ισοπαραγωγής ευθείες και ρυθμό υποκατάστασης σταθερό: K dl α 1/ β Q = αk + βl = q αdk + βdl = 0 = = dk β 1/α 1 επιπλέον μονάδα πετρελαίου K είναι ισοδύναμη με (υποκαθιστά) α/β μονάδες λιγνίτη L. Αμφότερα παράγουν την ίδια επιπλέον ποσότητα ηλεκτρικού: α μονάδες, οριακά L 1

1/α επιπλέον μονάδες πετρελαίου K είναι ισοδύναμες με (υποκαθιστούν) 1/β μονάδες λιγνίτη L, διότι αμφότερες δίνουν την ίδια, 1 μονάδα αύξησης στην παραγόμενη ενέργεια, οριακά. βεπιπλέον μονάδες πετρελαίου K είναι ισοδύναμες με (υποκαθιστούν) α μονάδες λιγνίτη L, διότι αμφότερες δίνουν την ίδια, αβ μονάδες αύξησης στην παραγόμενη ενέργεια, οριακά. α β Cobb-Doglas (C-D): Q = K L με α 0,β 0,α + β 1. α 1 β α β 1 dq dk dl dq = (αk L )dk + (βk L )dl = α + β %dq = α(%dk) + β(%dl) Q K L Τώρα {α,β} είναι οι ελαστικότητες του κεφαλαίου K και της εργασίας L στην παραγωγή. Δηλαδή: 1% αύξηση του κεφαλαίου K προκαλεί αύξηση της παραγωγής κατά α%, 1% αύξηση της εργασίας L προκαλεί αύξηση της παραγωγής κατά β%. Για τον ρυθμό υποκατάστασης των συντελεστών βρίσκουμε: dl QK αl dl / L α %dl α 1/ β = = = = = dk Q βk dk / K β %dk β 1/ α L 1% επιπλέον μονάδες κεφαλαίου K ισοδυναμούν με (υποκαθιστούν) (α /β)% μονάδες εργασίας L, διότι αμφότερα δίνουν την ίδια ποσοστιαία αύξηση στην παραγωγή: α%, οριακά. (1/α)% επιπλέον μονάδες κεφαλαίου K είναι ισοδύναμες με (υποκαθιστούν) (1/β)% μονάδες εργασίας L, διότι αμφότερες δίνουν την ίδια ποσοστιαία αύξηση στην παραγωγή:1%, οριακά. β% επιπλέον μονάδες κεφαλαίου K είναι ισοδύναμες με (υποκαθιστούν) α% μονάδες εργασίας L, διότι αμφότερες δίνουν την ίδια ποσοστιαία αύξηση στην παραγωγή:αβ%, οριακά. Δύο εκροές-παραγόμενα προϊόντα Θεωρούμε μια σύνθετη παραγωγική διαδικασία με δύο παραγόμενα προϊόντα, σε ποσότητες {X,Y} με κόστος παραγωγής: C = C(X, Y) όπου X 0, Y 0 και με αντίστοιχα οριακά κόστη (marginal cost): Y C C {C X =, C Y = } C c X Y Οι εξισώσεις υποκατάστασης που ορίζουν οι ισοσταθμικές της συνάρτησης κόστους καλούνται εξισώσεις ισοκόστους (isocost): C c C(X, Y) = c X Αποτελούνται από τους συνδυασμούς των δύο προϊόντων που έχουν σταθερό κόστος παραγωγής c. Συνήθως οι καμπύλες ισοκόστους έχουν την μορφή του παραπλεύρως σχήματος, οπότε λέμε ότι είναι κανονικές. Δίνουμε ένα παράδειγμα. Γραμμική: C = αx + βy Π.χ. μια έκταση μπορεί να χρησιμοποιηθεί για παραγωγή γεωργικού προιόντος X ή κτηνοτροφικού προιόντος Y. Αν μια μονάδα γεωργικού προιόντος χρειάζεται α μονάδες έκτασης και μια μονάδα κτηνοτροφικού προιόντος χρειάζεται β μονάδες έκτασης, τότε για παραγωγή {X,Y} μονάδων αντίστοιχα χρειάζονται C = αx + βy μονάδες έκτασης. Παρατηρούμε ότι το κόστος αναφέρεται Y γενικά σε χρήση συντελεστών παραγωγής όπως είναι η έκταση γης, που δεν είναι απαραίτητα χρήμα. Λέμε ότι οι δύο εκροές είναι πλήρως υποκατάστατες, με καμπύλες ισοκόστους ευθείες και ρυθμό υποκατάστασης σταθερό: dy α 1/ β X C = αx + βy = c αdx + βdy = 0 = = dx β 1/α 1 επιπλέον μονάδα κτηνοτροφίας K είναι ισοδύναμη με (υποκαθιστά) α /β μονάδες γεωργίας L, διότι αμφότερα απαιτούν την ίδια επιπλέον έκταση: α μονάδες, οριακά. 1/α επιπλέον μονάδες κτηνοτροφίας K είναι ισοδύναμες με (υποκαθιστούν) 1/β μονάδες γεωργίας L, διότι αμφότερα απαιτούν την ίδια επιπλέον έκταση: 1 μονάδα, οριακά. β επιπλέον μονάδες κτηνοτροφίας K είναι ισοδύναμες με (υποκαθιστούν) α μονάδες γεωργίας L, διότι αμφότερα απαιτούν την ίδια, αβ μονάδες έκτασης επιπλέον. L K

II.5 ΜΕΡΙΚΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΙΑΚΩΒΙΑΝΕΣ ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ 1.Συναρτήσεις δύο μεταβλητών.μερικές παράγωγοι 3. Ειδικές συναρτήσεις 4.Μονοτονία 5.Περισσότερες μεταβλητές 6.Απλός κανόνας αλυσωτής παραγώγισης 7.Βασικός κανόνας αλυσωτής παραγώγισης Ι 8. Βασικός κανόνας αλυσωτής παραγώγισης ΙΙ 9. Γενικός κανόνας αλυσωτής παραγώγισης 10.Εξίσωση υποκατάστασης- Ρυθμός υποκατάστασης 11.Επιμέρους ρυθμοί υποκατάστασης 1.Ιακωβιανές Ορίζουσες ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 13.Διαφορικά 14.Κανονικά σημεία. ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Συναρτήσεις δύο μεταβλητών Αν έχουμε τρεις μεταβλητές {,,}, όπου η τιμή της μιας έστω καθορίζεται από τις τιμές των άλλων δύο {,}, τότε λέμε ότι έχουμε συνάρτηση δύο μεταβλητών: = (, ), = f(,),... με ανεξάρτητες τις {,} και εξαρτημένη την. Τώρα τα {,} μπορούν να πάρουν τιμές ανεξάρτητα μεταξύ τους. Το σύνολο αυτών των τιμών σχηματίζουν την περιοχή ορισμού D στο επίπεδο O. Παράδειγμα 1. +, D = R, όλο το επίπεδο. +, 3. 1/ 1/ D R + : { 0, 0} =, θετική περιοχή +, D = R : { > 0, > 0}, γνήσια θετική περιοχή 4. Οι συναρτήσεις ++ {f(,),f() } = = μοιάζουν στην εμφάνιση αλλά είναι τελείως διαφορετικές, διότι έχουν διαφορετικό πεδίο ορισμού. Η πρώτη το επίπεδο O, η δεύτερη τον άξονα. Για την μελέτη συναρτήσεων δύο ανεξάρτητων μεταβλητών εξετάζουμε κάθε φορά την εξάρτηση από την μια μεταβλητή κρατώντας την άλλη σταθερή (ceteris paribs).. Μερικές παράγωγοι της = f(, ). Με σταθερή τη μια ανεξάρτητη μεταβλητή, ορίζουμε: f = ή = f : μερική παράγωγος ως προς, με σταθερό f = ή = f : μερική παράγωγος ως προς, με σταθερό Μετρούν την οριακή μεταβολή στην εξαρτημένη μεταβλητή δηλαδή στην τιμή της συνάρτησης, όταν μεταβάλλεται μόνο η μία ανεξάρτητη κατά μία μονάδα, κρατώντας την άλλη σταθερή. Παράδειγμα 1. f(, ) = + f = +, f =. 3. f(, ) = ln( + ) f(, ) {f }, {f 0} = + = =, f = ( + ) / ( + ) = ( + ) / ( + ) f = ( + ) / ( + ) = / ( + ) είναι διαφορετική από την f() = διότι έχουν διαφορετικό πεδίο ορισμού Παρατήρηση. Για συναρτήσεις μιας μεταβλητής η γνωστή παράγωγος καλείται και συνήθης παράγωγος για διάκριση από την παραπάνω μερική. Παριστάνεται με: d = () ή ή d 3. Ειδικές συναρτήσεις Γραμμική: α β γ = + +, με σταθερές μερικές παραγώγους: = α, = β Ειδικότερα: γραμμική ομογενής: = α + β, σταθερή: γ α β Cobb-Doglas (C-D): f(,) = με D = R = { 0, 0) με f = α, f = β Τετραγωνική ή παραβολική: = α + β + γ + δ + ε + ζ { = α + β + δ, = β + γ + ε} Ειδικότερα: τετραγωνική ομογενής ή τετραγωνική μορφή: + = α + β + γ α 1 β α β 1 3

Leontιef: ma ή min γραμμικών, π.χ. αν < f = αν 0 αν > f(, ) = ma{, } =, αν 0 αν < f = 1 αν > Στα σημεία της ευθείας: =, η συνάρτηση είναι συνεχής αλλά η παράγωγές της δεν είναι συνεχείς, έχουν βηματική ασυνέχεια 4. Μονοτονία Για συναρτήσεις δύο μεταβλητών η μονοτονία χαρακτηρίζεται ως προς κάθε μεταβλητή χωριστά. Έτσι σε κάποια περιοχή του επιπέδου, μια συνάρτηση δύο μεταβλητών: f(,), χαρακτηρίζεται ως εξής: ως προς : { αύξουσα αν f 0}, { φθίνουσα αν f 0 } ως προς : { αύξουσα αν f 0}, { φθίνουσα αν f 0 } Αν αμφότερες οι μερικές παράγωγοι έχουν το ίδιο πρόσημο, τότε λέμε ότι η συνάρτηση είναι μονότονη. Ειδικότερα, την λέμε: αύξουσα αν είναι θετικές: {f 0, f 0}, φθίνουσα αν είναι αρνητικές: {f 0, f 0} Μάλιστα αν σε μια μονότονη συνάρτηση τουλάχιστον η μια ανισότητα είναι γνήσια, τότε λέμε ότι η συνάρτηση είναι ισχυρά μονότονη. Στάσιμα καλούνται τα σημεία στα οποία μηδενίζονται αμφότερες οι μερικές παράγωγοι: {f = 0, f = 0} Συνήθως είναι σημεία ακρότατης τιμής, μέγιστη ή ελάχιστη, για την συνάρτηση, αλλά όχι απαραίτητα Οι γραμμικές συναρτήσεις: f = α + β + γ δεν έχουν στάσιμα σημεία εκτός αν {α = 0,β = 0} οπότε όλα τα σημεία είναι στάσιμα. Παράδειγμα. f(, ) = + f (,) = (f,f ) = (4,) Η μονοτονία είναι διαφορετική στο κάθε τεταρτημόριο, όπως φαίνεται στο γράφημα παραπλεύρως. Το σημείο (0,0) είναι στάσιμο με μηδενική τιμή της συνάρτησης. Είναι η ελάχιστη τιμή της διότι σε κάθε άλλο σημείο η τιμή της είναι γνήσια θετική. Παράδειγμα. f(, ) = + 1 {f = > 0, f = 1> 0}. Παντού αύξουσα, αύξουσα, και μάλιστα γνήσια. 5.Περισσότερες μεταβλητές. Τα παραπάνω γενικεύονται άμεσα σε συναρτήσεις περισσότερων μεταβλητών, όπου σε κάθε τέτοια μεταβλητή αντιστοιχεί και μια μερική παράγωγος. Αντίστοιχα ορίζεται η μονοτονία, ενώ στάσιμα είναι τώρα τα σημεία στα οποία μηδενίζονται όλες οι μερικές παράγωγοι. Παράδειγμα. w(,, ) = e +, συνάρτηση τριών μεταβλητών w = (e ) + ( ) = (e + e ) + ( ) = (1+ )e + = + = + =, w (e ) ( ) e 0 e 4 w = (e ) + ( ) = (e ) + () = e + Στη συνέχεια θα εξετάσουμε κανόνες αλυσωτής παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών μεταβλητών. 6. Απλός κανόνας αλυσωτής παραγώγισης = { = () με = (, )} = (, ) : εξαρτημένη, {,} : ανεξάρτητες, : ενδιάμεση d d =, = ή { =, = } ή { =, = } d d Όπως σε κάθε κανόνα αλυσωτής παραγώγισης, η έννοια της παραπάνω ισότητας είναι ότι: στο αριστερό μέρος πρώτα αντικαθιστούμε τις δοθείσες συναρτήσεις f f 0 f 0 f 0 f 0 = = f = f 0 f 0 f 0 f 0

και μετά παραγωγίζουμε, ενώ στο δεξιό μέρος πρώτα παραγωγίζουμε τις δοθείσες συναρτήσεις και μετά αντικαθιστούμε. Είναι άμεση συνέπεια του γνωστού κανόνα αλυσωτής παραγώγισης, όπου παραγωγίζουμε κάθε φορά ως προς την μια ανεξάρτητη μεταβλητή {,} θεωρώντας την άλλη σταθερή. Παράδειγμα. Θα επαληθεύσουμε τον κανόνα αλυσωτής παραγώγισης υπολογίζοντας τα δεξιά μέρη: d d { = e με = } = e, = = e = e, = = e = e d d 7. Βασικός κανόνας αλυσωτής παραγώγισης Ι { = (, ) με = (t), = (t)} = (t) : εξαρτημένη, t : ανεξάρτητη {,} : ενδιάμεσες d d d = + dt dt dt ή t = t + t ή = + Λέμε ότι, η ανεξάρτητη μεταβλητή t επηρεάζει την μέσω του και μέσω του, t = t = όπου οριακά: t t 1. οι δύο επιρροές δρουν προσθετικά, δίνοντας τους δύο όρους στο δεξιό μέρος.. στη κάθε διαδρομή η επιρροή συντελείται μέσω σύνθεσης σε δύο στάδια δίνοντας το γινόμενο των αντίστοιχων παραγώγων στον κάθε όρο στο δεξιό μέρος. Παράδειγμα. Θα επαληθεύσουμε τον παραπάνω κανόνα αλυσωτής παραγώγισης για την σύνθεση: { = + με = lnt, = t } = (lnt) + (lnt)t 1 1 1 αριστερό μέρος: = lnt + t + lnt t = lnt + t + t lnt t t t 1 1 δεξιό μέρος: + = ln t + t + ln t t t t 8. Βασικός κανόνας αλυσωτής παραγώγισης ΙΙ { = (, ) με = (s,t), = (s,t) } = (s,t) : εξαρτημένη, {s,t} : ανεξάρτητες, {,} : ενδιάμεσες = + s s s s = s + s t s t s ή = + t = t + t t t t Είναι άμεση συνέπεια του προηγούμενου βασικού κανόνα Ι, όπου παραγωγίζουμε κάθε φορά ως προς την μια ανεξάρτητη μεταβλητή {s,t} θεωρώντας την άλλη σταθερή. Παράδειγμα. Θα επαληθεύσουμε τους παραπάνω κανόνες αλυσωτής παραγώγισης: { = με = tlns, = t + s } = = (t lns)(t + s ) = t lns + ts lns αριστερό μέρος: = t / s + tslns + ts s δεξιό μέρος: + = t / s + s = (t + s )t / s + (tlns)s = t / s + st + stlns s s αριστερό μέρος: = tlns + s lns t δεξιό μέρος: + = lns + 1 = (t + s )lns + tlns = tlns + s lns t t 9. Γενικός κανόνας αλυσωτής παραγώγισης. Οι παραπάνω κανόνες αλυσωτής παραγώγισης γενικεύονται σε περισσότερες μεταβλητές με περισσότερα στάδια σύνθεσης, ως εξής: Θεωρούμε ένα δένδρο σύνθεσης με μια κορυφή που παριστά την αρχικά εξαρτημένη μεταβλητή. Σε κάθε τελική ανεξάρτητη μεταβλητή αντιστοιχεί και ένας τύπος αλυσωτής παραγώγισης, ο οποίος: 1. Έχει τόσους προσθετικούς όρους όσες είναι οι διαδρομές που καταλήγουν σ αυτή την τελική ανεξάρτητη μεταβλητή, αρχίζοντας από την κορυφή.. Ο κάθε προσθετικός όρος αποτελείται από το γινόμενο των παραγώγων που αντιστοιχούν στους κλάδους της διαδρομής. 5

Παράδειγμα. {w = w(,,), = (s), = (s, t), = (s, v)} w = w((s), (s, t), (s,v) = w(s, t,v) w : εξαρτημένη, {,,} : ενδιάμεσες, {s,t,v} : ανεξάρτητες w w d w w = + + s ds s s w w = t t, w w = v v, τρεις διαδρομές: w s, από μια διαδρομή: w t, w d d Παράδειγμα. { = (, ), = ()} = (, ()) = (), με = + ή = + d d Εδώ η μεταβλητή είναι και ενδιάμεση και ανεξάρτητη. Έχουμε δύο παραγώγους του ως προς που διακρίνονται μεταξύ τους από τον διαφορετικό συμβολισμό d = : ολική παράγωγος. Καθώς το μεταβάλλεται, το = () επίσης μεταβάλλεται d = : μερική παράγωγος. Καθώς το μεταβάλλεται, το παραμένει σταθερό. Παράδειγμα. Θα επαληθεύσουμε τους τύπους αλυσωτής παραγώγισης για την σύνθεση: {w = με = + } w = ( + ) = + Έχουμε: { w = w(,,), = (, ) } w = w(, ) αριστερό: αριστερό: w (,) = 4 +, δεξιό: w (,,) + w (,,) (,) = + = 4 + w (, ) = +, δεξιό: w (,,) + w (,,) (,) = + 1 = + Παράδειγμα. { w = w(, ), = () } w = w(,,(, )) = w(, ), με: s s w περίπτωση: w t s v w w w = +,,, w w w = +,, v Εδώ τα {,}είναι και ενδιάμεσες και ανεξάρτητες. Αλλά τώρα κάνουμε διάκριση μεταξύ των διαφορετικών μερικών παραγώγων χρησιμοποιώντας επιπλέον συμβολισμό, όπου εκτός από την μεταβαλλόμενη μεταβλητή εμφανίζονται και οι αμετάβλητες που μπορεί να είναι διαφορετικές στην κάθε w w w (,) =, w (,,) = 10. Εξίσωση υποκατάστασης-ρυθμός υποκατάστασης Θεωρούμε μια συνάρτηση δύο μεταβλητών: = f(, ) Παραπάνω εξετάσαμε την σχέση της εξαρτημένης με κάθε μια ανεξάρτητη μεταβλητή, κρατώντας την άλλη σταθερή. Τώρα θεωρούμε σταθερή την εξαρτημένη: = c οπότε βρίσκουμε μια σχέση μεταξύ των {,}, στη μορφή εξίσωσης: f(, ) = c Καλείται και εξίσωση υποκατάστασης. Η εξίσωση υποκατάστασης ορίζει πλεγμένα δύο συναρτήσεις που είναι αντίστροφες μεταξύ τους: f(,) = c { = () ή = ()} Καλούνται συναρτήσεις υποκατάστασης. Τώρα τα {,} δεν είναι πλέον ανεξάρτητα μεταξύ τους. Καθώς το ένα μεταβάλλεται το άλλο επίσης μεταβάλλεται, έτσι ώστε το να παραμένει σταθερό. Ο (οριακός) ρυθμός αυτής της μεταβολής καλείται ρυθμός υποκατάστασης και παριστάνεται με την πλεγμένη παράγωγο: d d f(, ) = c () = ή () = d d Λέμε ότι για σταθερό :, 6

αύξηση του κατά 1 μπορεί να υποκαταστήσει μεταβολή του κατά (), οριακά αύξηση του κατά 1 μπορεί να υποκαταστήσει μεταβολή του κατά (), οριακά Οι δύο συναρτήσεις υποκατάστασης είναι αντίστροφες μεταξύ τους, οπότε και οι ρυθμοί υποκατάστασης { (), ()} είναι ανάστροφες μεταξύ τους. Η παραπάνω πλεγμένη παράγωγος συνδέεται με τις μερικές παραγώγους της αρχικής συνάρτησης: {f,f }, ως εξής: Βασικός τύπος πλεγμένης παραγώγισης d f d f f(, ) = c = αν f 0 & = αν f 0 d f d f Απόδειξη1. Θεωρούμε την συνάρτηση = () που ορίζεται πλεγμένα από την εξίσωση: f(,) = c, και παίρνουμε την σύνθεση: {f(, ), = ()} f(, ()) = c Η σύνθεση μας δίνει εξορισμού σταθερή συνάρτηση, οπότε ο τύπος αλυσωτής παραγώγισης μας δίνει το ζητούμενο: df f f d d f = + = 0 = d d d f Απόδειξη. Θα εξετάσουμε πως πρέπει να μεταβάλλονται τα {,} ώστε να ικανοποιείται η εξίσωση: f(,) = c, δηλαδή να μην μεταβάλλεται η τιμή της συνάρτησης, οριακά. 1. Αν μεταβληθεί μόνο το κατά d τότε η συνάρτηση θα μεταβληθεί οριακά κατά: df = fd. Αν μεταβληθεί μόνο το κατά d τότε η συνάρτηση θα μεταβληθεί οριακά κατά: df = fd Επομένως, για να μην μεταβληθεί η τιμή της συνάρτησης θα πρέπει οι οριακές μεταβολές να αναιρούνται, δηλαδή τα {d, d} να ικανοποιούν: d f df + df = 0 fd + fd = 0 = d f που είναι ακριβώς η ζητούμενη σχέση. Δηλαδή, για σταθερό : αύξηση του κατά 1 μπορεί να υποκαταστήσει μεταβολή του κατά f / f, οριακά, μεταβολή του κατά f μπορεί να υποκαταστήσει μεταβολή του κατά f, οριακά. Παρατηρούμε ότι ο ρυθμός υποκατάστασης, δηλαδή η πλεγμένη παράγωγος της κάθε μεταβλητής ως προς την άλλη, είναι αντιστρόφως ανάλογος των αντίστοιχων μερικών παραγώγων. Δηλαδή όσο μεγαλύτερη είναι η μερική παράγωγος ως προς μια μεταβλητή τόσο μεγαλύτερη είναι η ικανότητά της συγκεκριμένης μεταβλητής για υποκατάσταση, με την έννοια ότι υποκαθιστά μεγαλύτερη ποσότητα της άλλης. Παράδειγμα. Θα επαληθεύσουμε τον τύπο πλεγμένης παραγώγισης με: 1/ 3 / 3 3 / 1/ d 3 / 3 / Αριστερό μέρος: = c = c = c /, d / 3 / 3 / 3 Δεξιό μέρος: = = 1/ 3 1/ 3 / 3 1/ 3 / 3 = = c Αντικαθιστώντας το στο δεξιό μέρος, βρίσκουμε την ίδια παράσταση. Παρατήρηση. Αν έχουμε συγκεκριμένη εξίσωση, η πλεγμένη παράγωγος μπορεί να βρεθεί και απευθείας από τη σχέση f(,) = c με την γνωστή διαδικασία πλεγμένης παραγώγισης, όπου θεωρούμε μια μεταβλητή ως συνάρτηση της άλλης. Π.χ. για την παράγωγο της παραπάνω πλεγμένης συνάρτησης = (), βρίσκουμε: 1/ 3 / 3 / 3 / 3 1/ 3 1/ 3 = (c) / 3 + / 3 = 0 = / ( ) Ο υπολογισμός γίνεται ευκολότερος αν πάρουμε πρώτα λογαρίθμους: 7

1/ 3 / 3 1 1 1 = c ln + ln = lnc + = 0 = 3 3 3 3 11. Επιμέρους ρυθμοί υποκατάστασης Τα παραπάνω γενικεύονται σε συναρτήσεις με περισσότερες από δύο μεταβλητές. Τώρα οι συναρτήσεις υποκατάστασης θα είναι συναρτήσεις πολλών μεταβλητών και θα έχουμε επιμέρους ρυθμούς υποκατάστασης, όπου o ρυθμός υποκατάστασης ορίζεται για κάθε ζεύγος μεταβλητών, κρατώντας σταθερές όλες τις υπόλοιπες: Ειδικά στην περίπτωση συναρτήσεων 3 μεταβλητών: w = f(,,) ο ρυθμός υποκατάστασης ορίζεται για κάθε ζεύγος μεταβλητών, κρατώντας σταθερή την τρίτη μεταβλητή. Π.χ. αν θεωρήσουμε ότι η εξίσωση: w = f(,,) = c ορίζει πλεγμένα το ως συνάρτηση των {,}, τότε θα έχουμε συνάρτηση υποκατάστασης δύο μεταβλητών με δύο επιμέρους ρυθμούς υποκατάστασης που δίνονται από τις αντίστοιχες μερικές παραγώγους: = (,) {, } Έτσι το μέγεθος έχει τις παρακάτω δύο ισοδύναμες ερμηνείες: για σταθερό w, αύξηση του κατά μια μονάδα κρατώντας το σταθερό μπορεί να υποκαταστήσει μεταβολή του κατά, οριακά για σταθερά {w,} αύξηση του κατά μια μονάδα μπορεί να υποκαταστήσει μεταβολή του κατά οριακά Αντίστοιχη ερμηνεία έχουμε για τον άλλο ρυθμό υποκατάστασης:,. Ως άμεση συνέπεια του προηγούμενου κανόνα πλεγμένης παραγώγισης βρίσκουμε ότι οι επιμέρους ρυθμοί υποκατάστασης συνδέονται με τις μερικές παραγώγους της αρχικής συνάρτησης, ως εξής: Τύποι πλεγμένης παραγώγισης, με 1 εξίσωση και 3 μεταβλητές f f { w = f(,, ) = c = (, ) } με =, = αν f 0 f f Στη γενική περίπτωση ισχύει το παρακάτω: Τύποι πλεγμένης παραγώγισης με 1 εξίσωση. Θεωρούμε ότι μια εξίσωση υποκατάστασης μεταξύ πολλών μεταβλητών, ορίζει πλεγμένα τη μία από τις μεταβλητές ως συνάρτηση των υπολοίπων. Τότε οι αντίστοιχες πλεγμένες μερικές παράγωγοι δίνονται από ένα κλάσμα με αρνητικό πρόσημο που έχει για παρανομαστή πάντοτε την μερική παράγωγο της αρχικής συνάρτησης ως προς την εξαρτημένη μεταβλητή και για αριθμητή την μερική παράγωγο της αρχικής συνάρτησης ως προς την ανεξάρτητη για την οποία υπολογίζεται η μερική παράγωγος στο αριστερό μέρος. 0. 0.4 0.3 Παράδειγμα. w = = c = (,) 0. 0.4 0.7 w 0.3 3 = = == 0.8 0.4 0.3,w w 0. Είναι ο ρυθμός υποκατάστασης του ως προς με σταθερά w και. Παράδειγμα. + = c = (, ) Θεωρώντας την συνάρτηση τριών μεταβλητών στο αριστερό μέρος της εξίσωσης, βρίσκουμε: f f f(,,) = + = = = = f + f +, όπου + = c Παρατήρηση. Εναλλακτικά μπορούμε να υπολογίσουμε τις πλεγμένες παραγώγους απευθείας με την γνωστή διαδικασία της πλεγμένης παραγώγισης στην αρχική εξίσωση, θεωρώντας το συνάρτηση των (,). Παραγωγίζουμε: ως προς με σταθερό : ( + ) = (c) ( + ) + = 0 = / ( + ) ως προς με σταθερό : ( + ) = (c) + ( + ) = 0 = / ( + ) 8

1. Ιακωβιανές Ορίζουσες Στη συνέχεια θα εξετάσουμε πλεγμένες συναρτήσεις που ορίζονται από συστήματα εξισώσεων. f 1( 1,, n ) = c1 f ( 1,, n ) = c n > m f m( 1,, n ) = c m Ένα σύστημα εξισώσεων, με γνήσια περισσότερες μεταβλητές n από εξισώσεις m, μπορεί να θεωρηθεί ότι ορίζει m από τις μεταβλητές τις οποίες ονομάζουμε εξαρτημένες ή ενδογενείς, ως πλεγμένες συναρτήσεις των υπολοίπων n m τις οποίες ονομάζουμε ανεξάρτητες ή εξωγενείς. Λέμε ότι το σύστημα έχει τάξη m και βαθμό ελευθερίας n m. Οι παραπάνω πλεγμένες συναρτήσεις αποτελούν και τη λύση του συστήματος. Π.χ. Στην περίπτωση ενός συστήματος εξισώσεων με 3 μεταβλητές {,,}, μπορούμε να θεωρήσουμε ότι το σύστημα ορίζει πλεγμένα τις μεταβλητές {,} ως συναρτήσεις της τρίτης : f(,,) = α = () g(,, ) = β = () Για να διατυπώσουμε τους τύπους πλεγμένης παραγώγισης στη παραπάνω γενική μορφή, ορίζουμε πρώτα την Ιακωβιανή ορίζουσα των m συναρτήσεων στο αριστερό μέρος των εξισώσεων ως προς ισάριθμο πλήθος m μεταβλητών, ως την ορίζουσα που σχηματίζεται από τις αντίστοιχες μερικές παραγώγους που είναι m m το πλήθος, τοποθετημένες σε m γραμμές και m στήλες, με κάποια διάταξη των συναρτήσεων και των μεταβλητών. Παράδειγμα. Για συναρτήσεις με 3 μεταβλητές έχουμε 3 διαφορετικές Ιακωβιανές ορίζουσες των δύο συναρτήσεων ως προς τις μεταβλητές ανά δύο: f(,,) (f,g) f f (f,g) f f (f,g) f f =, =, =, όπου: α β αδ βγ g(,,) (,) g g (,) g g (,) g g γ δ = Μπορούμε βέβαια να αλλάξουμε την διάταξη εμφάνισης των συναρτήσεων ή των μεταβλητών, αλλά σύμφωνα με τις γενικές ιδιότητες των οριζουσών αυτό μπορεί να επιφέρει αλλαγές μόνο στο πρόσημο της ορίζουσας. Συγκεκριμένα έχουμε αλλαγή πρόσημου κάθε φορά που εναλλάσσουμε δύο γραμμές ή δύο στήλες Γενικοί τύποι πλεγμένης παραγώγισης. Θεωρούμε ότι ένα σύστημα m εξισώσεων με n > m μεταβλητές ορίζει πλεγμένα κάποιες m από αυτές ως συναρτήσεις των υπόλοιπων n m. Τότε η κάθε πλεγμένη παράγωγος εκφράζεται μένα κλάσμα με αρνητικό πρόσημο, όπου: Στον παρανομαστή εμφανίζεται πάντοτε η Ιακωβιανή ορίζουσα των m συναρτήσεων ως προς τις m εξαρτημένες μεταβλητές, και είναι πάντοτε η ίδια. Την υποθέτουμε μη μηδενική. Στον αριθμητή εμφανίζεται η Ιακωβιανή που προκύπτει από την ορίζουσα στον παρανομαστή αν αντικαταστήσουμε την εξαρτημένη με την ανεξάρτητη που εμφανίζονται στο αριστερό μέρος. Έτσι, στο παραπάνω σύστημα εξισώσεων με 3 μεταβλητές, βρίσκουμε: Τύποι πλεγμένης παραγώγισης με εξισώσεις και 3 μεταβλητές f f (f,g) (f,g) f f f(,,) = α = () g(,, ) = β = () με d (, ) g g d (,) g g (f,g) = =, = =, αν 0 d (f,g) f f (f,g) d f f (,) (, ) g g (, ) g g Έτσι, για να υπολογίσουμε το d / d, στον παρανομαστή έχουμε την Ιακωβιανή ως προς τις εξαρτημένες μεταβλητές: (f,g) / (, ), και στον αριθμητή την Ιακωβιανή (f,g) / (, ) που προκύπτει από την προηγούμενη αν αντικαταστήσουμε το με το, εφόσον το ζητούμενο είναι η παράγωγος d / d. Με αντίστοιχο τρόπο υπολογίζουμε το d / d Παράδειγμα. Θεωρούμε ότι το παρακάτω σύστημα m = εξισώσεων με n = 4 μεταβλητές (,,,v), ορίζει πλεγμένα τις μεταβλητές {,} ως συναρτήσεις των υπόλοιπων μεταβλητών {,v}. Για να εφαρμόσουμε τους τύπους πλεγμένης παραγώγισης μεταφέρουμε καταρχήν όλες τις μεταβλητές στο αριστερό μέρος. Το δεξιό μέρος μπορεί να έχει μόνο σταθερές: 9

+ = f(,,, v) = + = 0 = v g(,,, v) = v = 0 = (,v) = (,v) με παραγώγους: {, } v {, v }, Π.χ. για την μερική παράγωγο της ως προς με σταθερό v, βρίσκουμε: f f f f 1 + = = = g g g g 0 1 4 + + Παρατήρηση. Εναλλακτικά μπορούμε να παραγωγίσουμε απευθείας στις δύο εξισώσεις θεωρώντας τα {,} ως τις αντίστοιχες πλεγμένες συναρτήσεις. Π.χ. παραγωγίζοντας ως προς με σταθερό v, βρίσκουμε: ( + ) = (0) + ( + ) 1= 0 ( + ) + = 1 ( v) = (0) 0 = 0 = 0 Έχουμε δύο γραμμικές εξισώσεις για τα άγνωστα {, }. Ο κανόνας Cramer δίνει: 1 + = = 0 1 4 + +, + 1 + 1 = = 1 0 1 4 + + ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 13. Διαφορικά Οι παράγωγοι αφορούν οριακές μεταβολές των εξαρτημένων μεταβλητών όταν μεταβάλλεται κάθε φορά μόνο μία ανεξάρτητη μεταβλητή. Θα εξετάσουμε τώρα την περίπτωση όπου μπορεί να μεταβάλλονται ταυτόχρονα περισσότερες μεταβλητές: {,,, } που συνδέονται μεταξύ τους με κάποιες εξισώσεις. Οι μεταβολές τους από κάποιες αρχικές τιμές: {Δ,Δ,Δ, } ικανοποιούν αντίστοιχες εξισώσεις μεταβολών. Π.χ. = () Δ = ( + Δ) () = (,) Δ = ( + Δ, + Δ) (,) f(, ) = c Δf(, ) = f( + Δ, + Δ) f(, ) = 0 f(,, ) = c Δf(,, ) = f( + Δ, + Δ, + Δ) f(,, ) = 0 O λογισμός των μεταβολών είναι αρκετά πολύπλοκος, βασικά ισοδύναμος με τον λογισμό των αρχικών μεταβλητών. Γιαυτό τον λόγο αντί των μεταβολών χρησιμοποιούμε τα διαφορικά: {d,d,d, } Αν έχουμε δύο μεταβλητές που συνδέονται με μια εξίσωση τότε ως γνωστόν οι μεταβολές αντιστοιχούν σε μετατοπίσεις επάνω στην καμπύλη της εξίσωσης, ενώ τα διαφορικά σε μετατοπίσεις επάνω στην εφαπτόμενη ευθεία στο ίδιο σημείο. Ομοίως, αν έχουμε τρεις μεταβλητές που συνδέονται με μια εξίσωση τότε όπως θα δούμε στο επόμενο κεφάλαιο οι μεταβολές αντιστοιχούν σε μετατοπίσεις πάνω στην επιφάνεια της εξίσωσης ενώ τα διαφορικά σε μετατοπίσεις πάνω στο εφαπτόμενο επίπεδο στο ίδιο σημείο. Στη γενική περίπτωση τα διαφορικά ορίζονται με βάση τις παρακάτω εξισώσεις διαφορικών, που προκύπτουν από τις εξισώσεις γραμμικών προσεγγίσεων που θα εξετάσουμε στο επόμενο κεφάλαιο: = () d = ()d = (,) d = (,)d + (,)d f(,) = c df(,) = f (,)d + f (,)d = 0 f(,,) = c df(,,) = f (,,)d + f (,,)d + f (,,)d = 0 και γενικότερα για περισσότερες μεταβλητές καθώς και για συστήματα εξισώσεων. Στις παραπάνω εξισώσεις διαφορικών, οι μεταβλητές αντιμετωπίζονται καταρχήν ισοδύναμα, με την έννοια ότι δεν διακρίνουμε τις εξαρτημένες από τις ανεξάρτητες. Στη συνέχεια, για τις ανεξάρτητες μεταβλητές τα διαφορικά θεωρούνται επίσης ανεξάρτητα και ταυτίζονται με τις μεταβολές, ενώ τα 10

διαφορικά των εξαρτημένων προκύπτουν από τις αντίστοιχες εξισώσεις διαφορικών. Προκύπτει ως συνέπεια ενός θεωρήματος μέσης τιμής για πολλές μεταβλητές (θεμελιώδης σχέση) ότι για μικρές μεταβολές τα διαφορικά των εξαρτημένων δίνουν μια εκτίμηση των μεταβολών τους, με την έννοια ότι στο όριο ο λόγος τους τείνει στη μονάδα. Λόγω των παραπάνω ιδιοτήτων τα διαφορικά καλούνται και οριακές μεταβολές. Ειδικότερα τα πρόσημα των μεταβολών συμπίπτουν με τα πρόσημα των διαφορικών, όταν αυτά είναι μη μηδενικά. Παράδειγμα. Γεωμετρικά, το γινόμενο δύο μεγεθών παριστάνει το εμβαδόν ενός ορθογώνιου παραλληλογράμμου: Δ Δ ΔΔ = Για μεταβολές {Δ,Δ} των δύο πλευρών, η μεταβολή και το διαφορικό του Δ εμβαδού δίνονται από τις παραστάσεις: Δ = ( + Δ)( + Δ) = Δ + Δ + ΔΔ d = d + d = d + d = Δ + Δ, διότι: d = Δ, d = Δ Δ Έτσι, το διαφορικό d του εμβαδού προσεγγίζει την μεταβολή του Δ, με την έννοια ότι παραλείπει τον όρο ΔΔ που είναι το εμβαδό του πάνω δεξιά τμήματος στο σχήμα, και είναι σχετικά ασήμαντο για μικρά {Δ,Δ}, αρκεί να μην έχουμε d = 0, δηλαδή να μην αρχίζουμε με = 0 ή = 0 Σε αντίθεση με τις εξισώσεις μεταβολών που είναι πολύπλοκες μη γραμμικές και έχουν πολύπλοκο λογισμό, οι εξισώσεις των διαφορικών είναι απλές γραμμικές εξισώσεις και διέπονται από τον ίδιο απλό λογισμό όπως οι παράγωγοι. Έτσι για δύο μεταβλητές {,v}, θα έχουμε: d(α + βv) = αd + βdv d(v) = vd + dv, d(e ) = e d, dln = d / d( / v) = (vd dv) / v Οι παραπάνω κανόνες μεταξύ των διαφορικών είναι ισοδύναμες με τους κανόνες αλυσωτής και πλεγμένης παραγώγισης. Παράδειγμα. Θεωρούμε την παρακάτω σύνθεση και τις αντίστοιχες εξισώσεις διαφορικών: { = (, ), = (t), = (t)} = (t), {d = d + d, d = dt, d = dt} Αντικαθιστώντας τα {d, d}βρίσκουμε την σχέση: d d = ( + )dt = + dt που είναι ακριβώς ο βασικός κανόνας αλυσωτής παραγώγισης. Ισχύει και το αντίστροφο. Παράδειγμα. Από την παρακάτω εξίσωση διαφορικών με δύο μεταβλητές προκύπτει ο κανόνας πλεγμένης αραγώγισης: d f f(, ) = c df = fd + fd = 0 d = f 11 Παράδειγμα. Θεωρούμε την παρακάτω εξίσωση 3 μεταβλητών και την αντίστοιχη εξίσωση διαφορικών: f f f(,,) = α fd + fd + fd = 0 d = d d f f Αν θεωρήσουμε ότι η παραπάνω εξίσωση 3 μεταβλητών ορίζει πλεγμένα την μια μεταβλητή, έστω την ως συνάρτηση των άλλων δύο {,}, τότε θα έχουμε και την αντίστοιχη εξίσωση διαφορικών: d = d + d Συγκρίνοντας τις δυο παραστάσεις και παίρνοντας υπόψη ότι τα {d,d} είναι ανεξάρτητα συμπεραίνουμε τις ισότητες: f f =, = f f που είναι ακριβώς οι τύποι πλεγμένης παραγώγισης.

Παράδειγμα. Θεωρούμε τέλος και ένα σύστημα εξισώσεων με 3 μεταβλητές, και τις αντίστοιχες εξισώσεις διαφορικών: f(,,) = α fd + fd + fd = 0 fd + fd = fd g(,,) = β gd + gd + gd = 0 gd + gd = gd Αν θεωρήσουμε ότι το παραπάνω σύστημα ορίζει πλεγμένα δύο από τις μεταβλητές, έστω (,) ως συναρτήσεις της τρίτης, τότε λύνοντας το γραμμικό σύστημα ως προς {d,d} με τον κανόνα Cramer, βρίσκουμε: fd f f f f fd f f fd + fd = fd gd g g g g d = = gd g g d, d = = d g f d + gd = gd f f f f f f f g g g g g g g g όπου σύμφωνα με τις ιδιότητες των οριζουσών ένας κοινός παράγοντας σόλα τα στοιχεία μιας γραμμής ή στήλης μπορεί να βγει έξω από την ορίζουσα. Προκύπτουν άμεσα οι γνωστοί τύποι πλεγμένης παραγώγισης, διότι έχουμε και τις γνωστές σχέσεις: { = (), = ()} {d = ()d, d = ()d}. 14. Κανονικά σημεία μιας εξίσωσης: f(, ) = c καλούνται τα σημεία που ικανοποιούν την εξίσωση και στα οποία δεν μηδενίζονται αμφότερες οι μερικές παράγωγοι. Στα κανονικά σημεία ισχύουν τα παρακάτω: 1. Αν f 0 τότε η εξίσωση ορίζει πλεγμένα το ως συνάρτηση του και ισχύουν οι αντίστοιχοι κανόνες πλεγμένης παραγώγισης.. Αν f 0 τότε η εξίσωση ορίζει πλεγμένα το ως συνάρτηση του και ισχύουν οι αντίστοιχοι κανόνες πλεγμένης παραγώγισης. Αντίθετα, στα σημεία που ικανοποιούν την εξίσωση και στα οποία μηδενίζονται αμφότερες οι μερικές παράγωγοι της αντίστοιχης συνάρτησης: {f(,) = c, f (,) = 0, f (,) = 0} μπορεί να μην ορίζονται πλεγμένες συναρτήσεις οπότε δεν ισχύουν και οι κανόνες πλεγμένης παραγώγισης. Καλούνται μη κανονικά ή ιδιάζοντα σημεία. Παράδειγμα 1. Η = 0 έχει όλα τα σημεία της κανονικά εκτός από το σημείο της (0,0) όπου μηδενίζονται αμφότερες οι μερικές παράγωγοι της αντίστοιχης συνάρτησης {f = = 0, f = = 0, f = = 0} { = 0, = 0} : Στο σημείο αυτό η εξίσωση σχηματίζει τεμνόμενες ευθείες και δεν ορίζεται μονοσήμαντα η κλίση.. Η + = 1 έχει όλα τα σημεία της κανονικά διότι το μοναδικό σημείο (0,0) όπου μηδενίζονται οι μερικές παράγωγοι δεν ανήκει στην εξίσωση. Γενικά, κανονικά σημεία μιας εξίσωσης πολλών μεταβλητών είναι τα σημεία της στα οποία δεν μηδενίζεται τουλάχιστον μια μερική παράγωγος., οπότε μπορούμε να θεωρήσουμε ότι η εξίσωση ορίζει πλεγμένα την αντίστοιχη μεταβλητή ως συνάρτηση των υπολοίπων. Γενικότερα, αν έχουμε ένα σύστημα m εξισώσεων με n μεταβλητές, όπου m < n, τότε κανονικά είναι τα σημεία τους στα οποία δεν μηδενίζεται τουλάχιστον μια Ιακωβιανή ορίζουσα των m συναρτήσεων ως προς κάποιες m μεταβλητές. Σαυτή την περίπτωση μπορούμε να θεωρήσουμε ότι το σύστημα ορίζει πλεγμένα αυτές τις m μεταβλητές ως συναρτήσεις των υπόλοιπων n m οπότε και ισχύουν οι αντίστοιχοι τύποι πλεγμένης παραγώγισης. Έτσι, οι τύποι πλεγμένης παραγώγισης ισχύουν σίγουρα μόνο στα κανονικά σημεία. 1

II.5 ΜΕΡΙΚΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ- ΙΑΚΩΒΙΑΝΕΣ ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ 1. Να βρεθούν και να σκιαγραφηθούν τα πεδία ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων: ln( 1) + ln( + ),,, 1 1 1 + + e 1. Να υπολογιστούν οι μερικές παράγωγοι των παρακάτω συναρτήσεων. + 5 + 1, + + 4 + 1, ma{ +, 3}, min{,3}, ln, α β, ep( + ),, α 1 α, + 4, +, 1/ ( + ), Ασκήσεις 1/ 4 1/ 4 1/ 1 1 1 ( + ), 3. Για κάθε μία από τις παρακάτω συνθέσεις να δοθεί το δέντρο εξάρτησης και να επαληθευτεί ο κανόνας αλυσωτής παραγώγισης: t 3 4 1 4 { = : = e, = t }, { = + + : = st, = t }, { = : = 4 3}, 4. Να επαληθευτούν οι παρακάτω γραμμικές προσεγγίσεις στο (0,0) : + (1 )e 1 + +, α β (1+ ) (1+ ) 1+ α + β 5. Να χαρακτηριστούν ως προς την {,} μονοτονία οι παρακάτω συναρτήσεις f(,), στις διάφορες περιοχές του επιπέδου. 1/ 3/ 1 3, 3,, +, ( ), + 3 6. Να διατυπωθούν οι τύποι αλυσωτής παραγώγισης για τις παρακάτω συνθέσεις, χρησιμοποιώντας: α) τα δένδρα σύνθεσης β) διαφορικά {w = w(,), = (, ), = ()}, {w = w(, ), = (, t)}, 3 9. Η συνάρτηση = () ορίζεται πλεγμένα από την εξίσωση: + = 9. Για ( = 1, = ) να υπολογιστεί η παράγωγος με τρεις τρόπους: α) βρίσκοντας την αντίστοιχη συνάρτηση, β) με πλεγμένη παραγώγιση, γ) με τον τύπο πλεγμένης παραγώγισης. 1/ 3 10. Δίνεται η συνάρτηση: f(,p,w) = p w, και θεωρούμε ότι η εξίσωση f = 0 ορίζει πλεγμένα το ως συνάρτηση των {p,w}. Να βρεθούν οι μερικές παράγωγοι αυτής της συνάρτησης χρησιμοποιώντας τους τύπους πλεγμένης παραγώγισης. Να επαληθευτεί το αποτέλεσμα. 3 11. Τα μεγέθη {,,}συνδέονται με την εξίσωση: + + = 14. Στις τιμές ( = 3, = 1, = ), να υπολογιστούν οι μερικές παράγωγοι του ως προς {,}με τρεις τρόπους: α) βρίσκοντας την αντίστοιχη συνάρτηση, β) με πλεγμένη παραγώγιση, γ) με τους τύπους πλεγμένης παραγώγισης. 1. Στη προηγούμενη άσκηση να υπολογιστούν οι παρακάτω παράγωγοι, και να διαπιστωθεί ότι στο κάθε ζεύγος είναι ανάστροφες μεταξύ τους:,,, 13. Να βρεθούν οι Ιακωβιανές ορίζουσες του ζεύγους συναρτήσεων: 3 f(,,) = +, g(,,) = ln 14. Δίνεται η συνάρτηση: Π(,,p,v,w) = p( + ) v w, και θεωρούμε ότι το σύστημα: {Π = 0,Π = 0} ορίζει πλεγμένα τα {,} ως συναρτήσεις των {p,v,w}. Να βρεθούν οι αντίστοιχες πλεγμένες παράγωγοι χρησιμοποιώντας τους τύπους πλεγμένης παραγώγισης, και να επαληθευτεί. 15. Το σύστημα: {f(, ) = v, g(, ) = w} ορίζει πλεγμένα τα (,) ως συναρτήσεις των (v,w). Να βρεθούν οι παρακάτω τύποι: g f g f f f v =, w =, v =, w =, όπου Δ = = fg fg Δ Δ Δ Δ g g Να γίνει επαλήθευση για τις γραμμικές συναρτήσεις: f = α + β, g = γ + δ 16. Η συνάρτηση = (,) ορίζεται πλεγμένα μέσω της εξίσωσης: H( β) = α, όπου H είναι συνάρτηση μιας μεταβλητής. Να διαπιστωθεί ότι ικανοποιεί: α β 1 + = 17. Θεωρούμε ότι το παρακάτω σύστημα ορίζει τα {,v} ως συναρτήσεις των {,} : 13

α + βv = ε + ζ με α β αδ βγ 0 γ + δv = η + θ γ δ = Να βρεθούν οι αντίστοιχες μερικές παράγωγοι, χρησιμοποιώντας τους τύπους πλεγμένης παραγώγισης, και να γίνει επαλήθευση. 14