προσεγγισεις η εξισωση απ'το A ως το...

` προσεγγισεις προσεγγισεις προσεγγισεις προσεγγισεις προσεγγισεις προσεγγισεις η εξισωση απ'το A ως το... επιμελεια : τακης τσακαλακος 017

... επιλυση εξισωσης... ευρεση εξισωσης

γιατι... μια εικονα, χιλιες λεξεις...

ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ

5 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ Ειναι η εξισωση της μορφης: αx + β = 0 (1) Λ υ σ η η ρ ι ζ α της εξισωσης λεγεται καθε τιμη του πραγ - ματικου αριθμου x, που επαληθευει την (1). Σ υ ν τ ε λ ε σ τ η ς του αγνωστου λεγεται ο αριθμος α. Σ τ α θ ε ρ ο ς ο ρ ο ς λεγεται ο αριθμος β. Δ ι ε ρ ε υ ν η σ η Αν α 0 τοτε η (1) εχει μοναδικη λυση, την: β x=α Αν α = 0 και β 0 τοτε η (1) δεν εχει λυση ( α δ υ ν α τ η ) Αν α = 0 = β τοτε η (1) εχει απειρες λυσεις ( α ο ρ ι σ τ η η τ α υ τ ο τ η τ α ) Π α ρ α τ η ρ η σ η Αν ο συντελεστης του αγνωστου η o σταθερος ορος εκ - φραζεται με τη βοηθεια γραμματων, τοτε η εξισωση λεγεται π α ρ α μ ε τ ρ ι κ η. Ι σ ο δ υ ν α μ ε ς λεγονται οι εξισωσεις που εχουν ακριβως τις ιδιες ριζες. Χρησιμες οι ιδιοτητες απολυτων Αν θ>0 τοτε: χ =θ`χ= -θ η χ=θ χ = θ `χ=-θ η χ=θ Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017

6 Σ Τ Η Π Ρ Α Ξ Η... ΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ (αχ+β=0) Αντιμετωπιση (γενικα): Πολλαπλασιαζουμε ολους τους ορους με το Ε.Κ.Π. (απαλειφη παρονομαστων) Απαλειφουμε τις παρενθεσεις (επιμεριστικη ιδιοτητα) Χωριζουμε γνωστους απο αγνωστους (οι αγνωστοι στο πρωτο μελος) Διαιρουμε με το συνετελεστη του αγνωστου (και το προσημο του) ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 Να λυθει η εξισωση x+3 x+1 15-x - = x- 4 3 Ειναι διαδοχικα ΕΚΠ = 1 x+ 3 x+ 1 15- x - = x- 4 3 x+3 x+1 15-x 1-1 = 1 x-1 4 3 6(x+3)-3(x+1)= 4x-4(15-x) 6x+18-3x-3= 4x-60+4x 6x-3x-4x-4x=- 60-18+3-5x=- 75-75 x= - 5 x= 3 Π α ρ α τ η ρ η σ η Η εξισωση 1ου βαθμου παριστανει ευθεια γραμμη και η λυση της ειναι η τετμημενη του σημειου τομης της ευθειας και του αξονα χ'χ. Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017

7 ΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΜΟΡΦΗΣ f(x)... g(x) = 0 Αντιμετωπιση : Παραγοντοποιουμε την εξισωση μεγαλυτερου του 1ου βαθμου σε γινομενο πρωτοβαθμιων παραγοντων, εστω f(x)... g(x) = 0. Η πιο πανω εξισωση ειναι ισοδυναμη με τις : f(x) = 0 ή... ή g(x) = 0 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να λυθουν οι εξισωσεις x(x-3)(-x)=0 x -3x+=0 Ειναι διαδοχικα x= 0 x(x-3)(-x)= 0 x-3= 0 ή ή x= 0 x= 3 x= -x= 0 x -3x+= 0 x -x-x+= 0 x(x-)-(x-)= 0 (x-)(x-1)= 0 x-= 0 ή x-1= 0 x= x= 1 Π α ρ α τ η ρ η σ η Στα σχηματα φαινονται τα γραφη - ματα που παριστανουν οι εξισωσεις (κιτρινο) και οι ευθειες που παρι - στανουν οι πρωτοβαθμιοι ο ροι. Οι τετμημενες των σημειων τομης τους με τον χ'χ ειναι οι ζη - τουμενες λυσεις. Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017

8 ΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΜΟΡΦΗΣ f (x) +... + g (x) = 0 Αντιμετωπιση : Ειναι f (x) = 0 και... και g (x) = 0 ισοδυναμα f(x) = 0 και... και g(x) = 0 (Αφου αθροισμα τετραγωνων μη αρνητικος αριθμος). ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3 Να λυθει η εξισωση (x+1) +(5-x) =0 Ειναι διαδοχικα (x+1) +(5- x) = 0 x+1= 0 και x=-1 και 5-x= 0 x= 5 αδυνατη (δεν μπορει το χ να ειναι ταυτοχρο να -1 και 5) Πραγματι Για χ=-1 η εξισωση γινεται 0+6 =0 αδυνατη Για χ=5 η εξισωση γινεται 6 +0=0 αδυνατη Π α ρ α τ η ρ η σ η Οι εξισωσεις αυτης της μορφης εχουν λυση, αν εχουμε δια - φορετικο αγνωστο στις παρενθεσεις Στο σχημα φαινεται οτι το γραφημα που παριστανει η εξισω - ση (x+1) +(5-x) =0 δεν τεμνει τον αξονα χ'χ, ενω οι ευ - θειες χ+1=0 και 5-χ=0 τεμνουν τον αξονα χ'χ. Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017

9 ΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΗ Αντιμετωπιση : Παραγοντοποιουμε τους παρονομαστες των κλασματων και βρισκουμε το Ε.Κ.Π. τους Θετουμε περιορισμους, με τη προυποθεση οτι Ε.Κ.Π. 0 Λυνουμε, συμφωνα με τα προηγουμενα, ενω ελεγχουμε τις λυσεις αν ειναι συμφωνες με τους περιορισμους. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4 Να λυθει η εξισωση x+1 x + = x +x (x+1) x Ειναι x+1 x + = x +x (x+1) x x+1 x + = (1) x(x+ 1) (x+ 1) x Για να εχει νοημα η (1), πρεπει οι παρονομαστες να ειναι διαφοροι του μηδενος, δηλαδη x 0 x(x+1) 0 και x - 1 Συνεπως η (1) γινεται διαδοχικα x(x+1) +x(x+1) = x(x+1) (x+1) -x = 0 x+1 x x(x+ 1) (x+ 1) x (x+1) +x = (x+1) (x+1+x)(x+1-x)= 0 (x+1) 1= 0 x+1= 0 1 x=- Δεκτη, συμφωνα με τους περιορισμους. Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017

10 ΛΥΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ Αντιμετωπιση : Φερνουμε την εξισωση στη μορφη: Α x = Β με Α, Β παραγοντοποιημενα. ' Η εξισωση εχει λυση σημαινει οτι Α 0. ' Η εξισωση ειναι ταυτοτητα η αοριστη η οτι αληθευ ει για καθε x ' σημαινει οτι Α = 0 και Β = 0. ' Η εξισωση ειναι αδυνατη ' σημαινει οτι Α = 0 και Β 0. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 5 Να λυθει η εξισωση λ (x-1)-=3λ+x Ειναι λ (x-1)-= 3λ+x λ x-λ λ x-x= λ -= 3λ+x +3λ+ (λ -1)x= λ +λ+λ+ (λ-1)(λ+1)x= λ(λ+)+(λ+) (λ-1)(λ +1)x=(λ +1)(λ +) (Ι) Για (λ-1)(λ+1) 0, δηλαδη για λ 1 και λ - 1, η (Ι) εχει τη μοναδικη λυση: (λ+1)(λ+) λ + x= = (λ-1)(λ+1) λ-1 Για (λ-1)(λ+1)= 0, δηλαδη για λ= 1 ή λ=- 1, τοτε Αν λ= 1 η (Ι) γινεται: 0 x=(1+1)(1+) 0 x= 6, η εξισωση ειναι α δ υ ν α τ η. Αν λ=- 1 η (Ι) γινεται: 0 x=(- 1+1)(- 1+) 0 x= 0, η εξισωση ειναι τ α υ τ ο τ η τ α (απειρες λυσεις). Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017

11 ΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΜΟΡΦΗΣ f(x) = α Αντιμετωπιση : Aν α < 0, τοτε η εξισωση ειναι α δ υ ν α τ η. Aν α > 0, τοτε εχουμε την ισοδυναμια: f(x) = α Aν α = 0 τοτε f(x) = 0. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 6 Να λυθουν οι εξισωσεις x-4 =6 x-4 =0 x-4 =- 3 Ειναι x-4= 6 x= 10 x-4 = 6 η η x-4=- 6 x=- x-4 = 0 x-4= 0 x= 4 x-4 =- 3 ειναι α δ υ ν α τ η αφου -3< 0 και x-4 0 Π α ρ α τ η ρ η σ η Η εξισωση 1ου βαθμου παριστανει ευθεια γραμμη και η λυση της ειναι η τετμημενη του σημειου τομης της ευθειας και του αξονα χ'χ. Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017

1 ΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΜΟΡΦΗΣ f(x) = g(x) Αντιμετωπιση : g(x) > 0, οποτε εχουμε την ισοδυναμια: f(x) = g(x) Aν α = 0 τοτε f(x) = 0. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 7 Να λυθει η εξισωση 3 x-4 = x-3 Ειναι διαδοχικα 3 x-4 = x-3 3x-1 = x-3 3x-1= x-3 ή 3x- 1=- x+ 3 3x-x= 1-3 ή 3x+x= 1+3 x= 9 ή 5x= 15 x= 9 ή x= 3 Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017

13 ΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΩΣ ΠΡΟΣ ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ Αντιμετωπιση : Αν δεν ειναι, μετατρεπουμε σε ιδιες ολες τις απολυτες τιμες στην εξισωση Λυνουμε την εξι σωση ως προς τη κοινη απολυτη τιμη η θετουμε τη κοινη απολυ τη τιμη με y και λυνουμε την εξι - σωση ως προς y Φτανουμε στην περιπτωση f(x) = α ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 8 Να λυθει η εξισωση x-4 4-x x-8 + = 3 4 Ειναι διαδοχικα x-4 4-x x-8 + = 3 4 - (x- 4) (x- 4) x-4 + = 3 4 α = - α x-4 x-4 x-4 + = 3 4 x-4 x-4 x-4 6 +6 = 6 3 x-4 +3 x-4 = 3 x-4 x-4 = 0 x-4= 0 x= 4 Π α ρ α τ η ρ η σ η Η εξισωση 1ου βαθμου παριστανει ευθεια γραμμη και η λυση της ειναι η τετμημενη του σημειου τομης της ευθειας και του αξονα χ'χ. Στο συγκεκριμενο παραδειγμα, φτανουμε στη μορφη εξισω - σης: f(x) = 0 Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017

14 ΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΜΟΡΦΗΣ f(x) = g(x) Αντιμετωπιση : Απαιτουμε g(x) 0 (αλλιως η εξισωση ειναι αδυνατη) Ισχυει η ισοδυναμια: f(x) = g(x) Ελεγχουμε αν οι λυσεις που βρηκαμε ειναι συμφωνες με το περιορισμο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 9 Να λυθει η εξισωση x-1 =3x+5 Aν 3x+5< 0 τοτε η εξισωση ειναι αδυνατη. 5 Aν 3x+5 0, δηλαδη x -, 3 τοτε διαδοχικα x-1 = 3x+5 x-1= 3x+5 ή x-1=- 3x-5 - x= 6 ή 4x=- 4 5 x=- 3<- απορριπτεται 3 ή 5 x=- 1>- δεκτη 3 Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017

15 ΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΜΟΡΦΗΣ f(x) +κ = λ Αντιμετωπιση : Aν λ < 0, τοτε η εξισωση ειναι α δ υ ν α τ η Ισχυει η ισοδυναμια: f(x) +κ = λ Αν -κ < λ < κ, τοτε η εξισωση ειναι α δ υ ν α τ η ενω αν λ º -κ ή λ κ συνεχιζουμε οπως στη περιπτωση: f(x) = α ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 10 Να λυθει η εξισωση x-3 + 1 = x-3 + 1 = ` x-3 + 1 ή ` x-3 + 1 x-3 3 αδυνατη ή ` x-3 1 x-3 1 x= ή x-3 1 ` ή x= 4 Α λ λ ι ω ς x - 3 + 1 > 0 x-3 +1 = ` x-3 +1= x-3 = 1 > 0 x-3= 1 x- 3=- 1 x= 4 x= Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017

16 ΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΜΕ ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΑ ΑΠΟΛΥΤΑ Αντιμετωπιση : Βρισκουμε τις τιμες του x που μηδενιζουν το καθε απο - λυτο Δημιουργουμε διαστηματα του x (ενα περισσοτερα απ τις τιμες) Σε καθε διαστημα βρισκουμε το προσημο των απολυτων Σε καθε διαστημα ξεχωριστα λυνουμε την εξισωση (χωρις απολυτα) και ελεγ Χουμε αν η λυση που βρισκουμε α - νηκει στο συγκεκριμενο διαστημα Το συνολο των δεκτων λυσεων, ειναι η λυση της εξισω - σης ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 11 Να λυθει η εξισωση 3 x-1 + x- - x-3 = 0 Τα απολυτα μηδενιζουν για χ=1, χ- και χ=3 οποτε θα εξετασουμε την εξισωση στα διαστηματα (-, 1), [1, ), [, 3) και [3, + ) Στο διαστημα (-, 1) ειναι χ-1 =-χ+1 χ- =-χ+ χ-3 =-χ+3 και η εξισωση γινεται 3(-χ+1)+(-χ+)-( -χ+3)=0` -3χ+3-χ+4+χ-3=0` -4χ=-4` χ=1 απορριπτεται αφου 1 (-, 1) Στο διαστημα [1, ) ειναι χ-1 =χ-1 χ- =-χ+ χ-3 =-χ+3 και η εξισωση γινεται 3(χ-1)+(-χ+)-( -χ+3)=0` Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017

17 3χ-3-χ+4+χ-3=0` χ=` χ=1 που ειναι δεκτη αφου 1 [1, ) Στο διαστημα [, 3) ειναι χ-1 =χ-1 χ- =χ- χ-3 =-χ+3 και η εξισωση γινεται 3(χ-1)+(χ-)-( -χ+3)=0` 3χ-3+χ-4+χ-3=0` 6χ=10` 5 x= 3 απορριπτεται αφου 5 3 [, 3) Στο διαστημα [3, + ) ειναι χ-1 =χ-1 χ- =χ- χ-3 =χ-3 και η εξισωση γινεται 3(χ-1)+(χ-)-(χ-3)=0` 3χ-3+χ-4-χ+3=0` 4χ=4` χ=1 απορριπτεται αφου 1 [3, + ) Τελικα η εξισωση εχει μια μονο λυση, την χ=1 Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017

18 ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΜΕ ΕΞΙΣΩΣΗ 1ου ΒΑΘΜΟΥ Αντιμετωπιση : Θετουμε x το ζητουμενο του προβληματος Συμφωνα με τα δοσμενα του προβληματος, κατα στρωνουμε εξισωση ως προς x Λυνουμε την εξισωση συμφωνα με τα προηγουμενα ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 Προκειμενου καποιος ποτεμπορος να νοθεψει μια φιαλη ουισκυ περιεκτικοτητας σε οινοπνευμα 40%, απο λαθος προσθετει 300 ml οινοπνευμα και το ουισκυ αποκτα περιεκτικοτητα 58%. Ποιος ηταν ο αρχικος ογκος του ποτου; Αρχικα ο ογκος του ουισκυ ηταν x ml και του οινοπνευματος 40 ηταν x ml. 100 Μετα την αναμειξη ο ογκος εγινε του ουισκυ: x+300 ml και 58 του οινοπνευματος: (x+300) ml. 100 Επομενως, εξισωνοντας τους ογκους του οινοπνευματος μετα την αναμειξη, προκυπτει: 40 58 x+ 300= (x+ 300) 100 100 40x+ 30000= 58x+ 17400 18x= 1600 x= 700 Δηλαδη, ο αρχικος ογκος του ουισκυ ηταν 700 ml. Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017

19 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ Εξισωση ου βαθ μου μ εναν αγνωστο, ειναι η εξισωση : αx + βx + γ = 0 με α,β,γ και α 0. Δ ι α κ ρ ι ν ο υ σ α της εξισωσης δευτερου βαθμου, λεμε την αλγεβρικη παρασταση: Δ = β - 4αγ. Λ υ σ η της εξισωσης δευτερου βαθμου: Αν Δ > 0 τοτε η εξισωση εχει δ υ ο ρ ι ζ ε ς ανισες στο τις : ρ 1, = - β± Δ α. Αν Δ = 0 τοτε η εξισωση εχει δ ι π λ η ρ ι ζ α ρ = Αν Δ < 0 τοτε η εξισωση δ ε ν εχει ριζα στο, δηλαδη η εξισωση ειναι α δ υ ν α τ η στο. Π α ρ α τ η ρ η σ η Η εξισωση δευτερου βαθμου εχει πραγματικες ριζες αν και μονο αν: Δ 0. Η εξισωση δευτερου βαθμου εχει δυο πραγματικες και ανισες ριζες αν οι α και γ ειναι ετεροσημοι. - β α. Α θ ρ ο ι σ μ α - Γ ι ν ο μ ε ν ο Ε ξ ι σ ω σ η ς ο υ β α θ μ ο υ Ρ ι ζ ω ν Εστω η εξισωση: αx +βx+γ=0 με α 0, Δ 0 και ριζες x 1, x. To αθροισμα των ριζων x 1, x της εξισωσης δινεται απο : S = x 1 + x = β - α (1) To γινομενο των ριζων x 1, x της εξισωσης δινεται απο : Ρ = x 1 x = γ α () Οι πιο πανω τυποι λεγονται τυποι του Vietta. Συμφωνα με τα πιο πανω η εξισωση: αx + βx + γ = 0 μετα- σχηματιζεται: αx βx γ β γ αx +βx+γ= 0 + + = 0 x -(- )x+ = 0 α α α α α (1) x -Sx+P= 0 () Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017

0 Σ Τ Η Π Ρ Α Ξ Η... ΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ου ΒΑΘΜΟΥ (αχ +βχ+γ=0) Αντιμετωπιση (γενικα): Με πραξεις φερνουμε τ ην εξισωση στη μορφη : αx +βx+γ=0 Βρισκουμε τη διακρινουσα που ειναι ιση με : Δ=β 4 α γ Aν Δ > 0 τοτε η εξισωση εχει δυο ανισες λυσεις, τις : Aν Δ=0 τοτε η εξισωση εχει μια διπλη λυση, την: Aν Δ < 0 τοτε η εξισωση δεν εχει πραγματικες λυσεις Εναλλακτικα "σπαμε" τον ορο βχ σε καταλληλο αθροισμα - διαφορα και με παραγοντοποιηση (ομαδοποιηση) φτανουμε σε γινομενο πρωτοβαθμιων παραγοντων (ειδαμε στην προηγουμενη ενοτητα) ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 Να λυθει η εξισωση (x-1) -(x+3)=x-11 (x-1) -(x+3)= x-11 x -x+1-x-6 = 0 x -5x+6 = 0 με α= 1, β=- 5 και γ= 6. Δ=(- 5) -4 1 6 = 5-4= 1 -(- 5)± 1 5±1 x = = 1, 1 5+1 6 x = x = 1 1 5-1 4 x = x = x = 3 1 x = Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017

1 Ε ν α λ λ α κ τ ι κ α Θα λυσουμε με παραγοντοποιηση. Εδω προσεχουμε τα εξης: αν >0 τοτε μετασχηματιζουμε το βχ σε καταλληλο αθροι - σμα (δυο αριθμοι με αθροισμα και γινομενο ) αν <0 τοτε μετασχηματιζουμε το βχ σε καταλληλη δια - φορα (δυο αριθμοι με διαφορα και γινομενο ) Στο παραδειγμα μας, εχουμε την ευκολη περιπτωση που α=1. Ετσι (x-1) -(x+3)= x-11 x -x+1-x-6 x -5x+6 = 0 x -x-3x+6 = 0 χ(x-)-3(χ-)= 0 (x-)(χ-3)= 0 x-= 0 x= ` ή ή x-3= 0 x= 3 Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017

ΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ (αχ +β χ +γ=0) Αντιμετωπιση : Μετασχηματιζουμε την x + α x + β = 0 σε x + α x + β = 0 Θετουμε χ =ω και λυνουμε την ω + αω + β = 0, που εχει λυσεις εστω ω 1, ω Στη συνεχεια λυνουμε τις εξισωσεις χ = ω 1 και χ = ω κατα τα γνωστα. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να λυθει η εξισωση x -3 x + = 0 x -3 x + = 0 x = x x - 3 x + = 0 (1) Θετουμε χ =ω Συνεπως η (1) γινεται ω -3ω+ = 0 ` ( 3) 4 1 0 3 1 1 1 ( 3) 1 ` 3 1 Για ω 1=1` χ =1`χ=-1 η χ=1 Για ω =` χ =`χ=- η χ= Ε ν α λ λ α κ τ ι κ α x = x x - x - x + = 0 x -3 x + = 0 x - 3 x + = 0 x ( x - 1)-( x - 1)= 0 ( x - 1)( x - )=0 x - 1= 0 x = 1 x - = 0 x = x=± 1 x=± Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017

3 ΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ (αχ +β χ+κ +γ=0) Αντιμετωπιση : Λυνουμε την εξισωση σε καθε να απ τα διαστημα τα (-, -κ), [-κ, + ) (γνωστο το προσημο του απολυτου σ'αυτα) Ελεγχουμε αν οι λυσεις ανηκουν στο διαστημα που λυσα - με την εξισωση ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3 Να λυθει η εξισωση x -3 x-1-1= 0 (1) Για x-1 0 x 1 η (1) γινεται: x -3(x-1)-1= 0 x -3x+3-1= 0 x -3x+= 0 x -x-x+= 0 x(x-1)-(x-1)= 0 (x-1)(x-)= 0 x-1= 0 x-= 0 Για x-1< 0 x= 1 x= x< 1 η (1) γινεται: x -3(- x+1)-1= 0 x +3x-3-1= 0 x +3x-4= 0 x +4x-x-4= 0 x(x+4)-(x+4)= 0 (x+4)(x-1)= 0 x+4= 0 x=- 4 x- 1= 0 x= 1 απορριπτεται αφου x< 1 Αρα το συνολο λυσεων ειναι: {- 4, 1, }. Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017

4 ΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΜΕ ΒΟΗΘΗΤΙΚΟ ΑΓΝΩΣΤΟ Αντιμετωπιση : Διαμορφωνουμε την εξισωση στη μορφη αf (x)+βf(x)+γ=0 Θετουμε f(x)=ω και λυνουμε την αω +βω+γ=0, που εχει λυσεις εστω ω 1, ω Στη συνεχεια λυνουμε τις εξισωσεις f(x)=ω 1 και f(x)=ω κατα τα γνωστα. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4 Να λυθει η εξισωση (x -3x+1) -(x -3x+)=- 3 (1) Θετουμε χ -3x+1=ω Συνεπως η (1) γινεται ω ω ω (ω-1) ω= 1 - (ω+ 1)=-3 ` -ω-+3= 0 ` -ω+1= 0 ` = 0 ` Ετσι χ -3x+1=1` χ -3x=0` χ(χ-3)=0` χ= 0 ή ` χ= 0 ή x-3= 0 x= 3 Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017

5 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΙΔΙΚΗΣ ΜΟΡΦΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗ χ ν =α α ν λυσεις της εξισωσης χ ν =α α = 0 αρτιος ή περιττος χ = 0 α > 0 α > 0 αρτιος περιττος χ = ± χ = α < 0 αρτιος αδύνατη α < 0 περιττος χ = ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΓΑΛΥΤΕΡΟΥ ΤΟΥ 1. ΣΧΗΜΑ HORNER To σχημα Ηorner ειναι ενας πινακας με τρεις σειρ ες και τοσες στηλες οσοι οι συντελεστ ες (και του μηδενος συμπεριλαμβανομενου)του πολυωνυμου συν μιας (διαιρεση P(x)/(x-ρ)). Κατασκευη: Βρισκουμε τις πιθανες ακεραιες ριζες του πολυων υμου, που ειναι οι διαιρετες του σταθερου ορου (α 0). Στην πρωτη γραμμη βαζουμε τους συντελεστ ες του πολυωνυμου Ρ(x), χωρις να παραλειψουμε τους μηδενικο υς συντελεστες και μια απ τις πιθαν ες ριζες, εστω ρ. Κατεβαζουμε το πρωτο στοιχειο της πρωτης γραμμης στην πρωτη θεση της τριτης γραμμης. Πολλαπλασιαζουμε το στοιχειο αυτο με το ρ και το τοποθετουμε στην επ ομενη θεση της δευτερης γραμμης. Προσθετουμε τα δυο πρωτα στοιχεια της δευτερης στηλης και τα τοποθετο υμε στην τριτη γραμμη της δευτερης στηλης. Συνεχιζουμε κατα τον ιδιο τροπο μεχρι να συμπληρωσουμε τα στοιχεια της τελευταιας στηλης. Ο τελευταιος αριθμος που καταληγουμε ειναι το υ π ο λ ο ι - π ο της δια ιρεσης ενω οι υπολοιποι αριθμοι της τριτης γραμμης ειναι οι σ υ ν τ ε λ ε σ τ ε ς του π η λ ι κ ο υ της δια ιρε- Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017

6 σης. Στη περιπτωση που ο τελευτα ιος αριθμος ειναι μηδεν, τοτε το ρ ειναι ριζα του πολυ ωνυμου Ρ(x) και ο (x -ρ) ειναι παρα- γοντας του Ρ(x). Π α ρ α δ ε ι γ μ α 3 α -6α +11α-6=0 3 α -6α +11α-6=0`(α-1)(α 5 6) 0. ΔΙΤΕΤΡΑΓΩΝ Η H εξισωση της μορφης: αx 4 +βx +γ=0 με α,β,γ και α 0, λεγεται δ ι τ ε τ ρ α γ ω ν η και η λυση της γινεται με την αντικατασταση: x = y, οποτε αx 4 +βx +γ=0 ` αy +βy+γ=0 3. ΜΟΡΦΗΣ αχ 4 +βχ 3 +γχ +βχ+α=0 Εχει το παρατσουκλι "συμμετρικη" η "αντιστροφη" και η λυση της γινεται με διαιρεση των ορων της με χ και την αντικατασταση: 1 x+ = ω, οποτε x 1 x + = ω - x ΑΡΡΗΤΗ Ειναι η εξισωση που περιεχει ριζικα και η λυση της γινεται με υψωση των μελων σε καταλληλο βαθμο (ωστε να απαλειφθει το ριζικο) αφου εχουμε βρει πρωτα το συνολο που οριζεται. Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017

7 Σ Τ Η Π Ρ Α Ξ Η... ΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΜΟΡΦΗΣ χ ν =α Αντιμετωπιση: Φερνουμε την δοσμενη εξισωση στη μορφη : χ ν =α Λυνουμε συμφωνα με το πινακα της σελιδας 6 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 Να λυθουν οι εξισωσεις 5 x =3 5 x =-3 7 x =64x 6 x =-64 5 5 x = 3 x= 3 x= (C ) 1 5 x =-3 5 -x = 3 5 (-x) = 3 5 -x= 3 x=- (C ) 7 7 x = 64x ` x -64x= 0 ` x= 0 6 x(x -64)= 0 ` ή ` 6 x -64= 0 x= 0 x= 0 x= 0 x= 0 x ή ή ή ή (C ) = 64 x=± 64 x=± 6 6 6 6 x=± 3 6 6 x =-64 αδυνατη, αφου x 0 (C ) 4 Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017

8 ΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΣΧΗΜΑ HORNER Αντιμετωπιση: Βρισκουμε τις πιθανες ακεραιες ριζες (διαιρετες του σταθερου ορου). Αν ολοι οι συνετελεστες ειναι θετικοι, τοτε πιθανες ριζες μονο οι αρνητικες Με δοκιμη πιθανων ριζων στο σχημα Horner, βρισκουμε ριζα (ες) Παραγοντοποιουμε το πρωτο μελος της εξισ ωσης και βρισκουμε τις υπολοιπες ριζες. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να λυθει η εξισωση 3 x +5x +8x+4=0 Πιθανες ακεραιες ριζες της εξι - σης ειναι οι: ±1, ±, ±4 (Επειδη οι συντελεστες της εξι - σωσης ειναι θετικοι αριθμοι, δεν μπορει να εχει θετικες ριζες και θα εξετασουμε μονο τις πιθανες αρνητικες ριζες) Ετσι, απο σχημα Horner Συνεπως το -1 ειναι ριζα της εξισωσης και η εξισωση γινεται: (x-1)(x +4x+4)= 0 (x-1)(x+) = 0 x=- 1 x=- διπλη ριζα Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017

9 ΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΔΙΤΕΤΡΑΓΩΝΗ Αντιμετωπιση : Διαμορφωνουμε την εξισωση στη μορφη αx 4 +βx +γ=0 Θετουμε x =ω και λυνουμε την αω +βω+γ=0, που εχει λυσεις εστω ω 1, ω Στη συνεχεια λυνουμε τις εξισωσεις x =ω 1 και x =ω κατα τα γνωστα. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3 Να λυθει η εξισωση 4 x +x -=0 (1) Θετουμε χ =ω Συνεπως η (1) γινεται ω +ω-= 0 ` 1 4 ( ) 9 0 1 9` 1 1 3 1 3 1 Ετσι Για ω 1=-`χ =- (*) η εξισωση ειναι αδυνατη Για ω =1` χ =1`χ=-1 η χ=1 (*) Ισχυει χ 0 για καθε πραγματικο αριθμο χ Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017

30 ΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΜΟΡΦΗΣ αχ 4 +βχ 3 +γχ +βχ+α=0 Αντιμετωπιση : Διαιρουμε ολους τους ορους της εξισωσης με x Θετουμε στην εξισωση οπου και και λυνουμε την εξισωση που προκυπτει ως προς ω, που εχει λυσεις εστω ω 1, ω ι Στη συνεχεια λυνουμε τις εξισωσεις =ω 1, =ω κατα τα γνωστα. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4 Να λυθει η εξισωση 4 3 x +x +x +x+1=0 (1) Για χ 0, διαιρουμε την (1) με χ Συνεπως η (1) γινεται 1 x +x++ + = 0 x 1 x + = ω x 1 1 x + + x+ += 0 1 x x x + = ω - x ω -+ω+= 0 ω +ω= 0 ω(ω+)= 0 x ω= 0 ω= 0 ή ή ω+= 0 ω=- Ετσι x 0 1 Για ω 1=0` x+ = 0 x +1= 0, η εξισωση ειναι αδυνατη x Για ω =-` 1 x- =- x -1=- x x +x-1= 0 x (x+1) =0 x=- 1 Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017

31 ΛΥΣΗ ΑΡΡΗΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ Αντιμετωπιση : Βρισκουμε για ποιες τιμες του x οριζεται η εξισωση (θετουμε το υπορριζο μεγα λυτερο η ισο με μηδεν) Τετραγωνιζουμε τα δυο μελη τις εξισωσης (οσες φορες χρειαστει) ωστε να απαλειψουμε τα ριζικα Στη συνεχεια λυνουμε κατα τα γνωστα Ελεγχουμε τις λυσεις που βρηκαμε αν ικανοποιουν το περιορισμο. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 5 Να λυθει η εξισωση x+4+=x Ειναι διαδοχικα x+4 += x x+4 = x- ( x+ 4) =(x- ) x+4 0 x- 0 x+4= x x - 4 x -4x+4 x( x-5)= 0 και x x= 5 η x= 0 (απορριπτεται) x= 5 και x Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017

3 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ Ειναι ημx= ημθ x= κπ+θ, κ x=(κ+ 1)π- θ συνx= συνθ x= κπ+θ, κ x= κπ-θ εφx= εφθ x= κπ+θ, κ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΓΑΛΥΤΕΡΟΥ ΤΟΥ 1. ΣΧΗΜΑ HORNER Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017

33 Σ Τ Η Π Ρ Α Ξ Η... ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΝΟΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Αντιμετωπιση: Φερνουμε την εξισωση σε μορφη : ημx = α, συνx = β, εφx = γ Μετασχηματιζουμε τα α, β, γ σε ημιτονο, συνημιτονο, εφαπτομενη γνωστων γωνιων αντιστοιχα Βρισκουμε το x απ τις σχεσεις : ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 Να λυθουν οι εξισωσεις π συν x+ = 1 4 π ημ x- =- 3 4 εφ x-(1+ 3)εφx+ 3 = 0 Ειναι για κ π π 1 συν x+ = 1 συν x+ = 4 4 π π συν x+ = συν 4 3 π π π π x+ = κπ+ x= κπ+ - 4 3 3 4 π π π π x+ = κπ- x= κπ- - 4 3 3 4 π x= κπ+ 1 7π x= κπ- 1 Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017

34 π π 3 ημ x- =- 3`ημ x- =- ` 4 4 π 4π ημ x- = ημ 4 3 π 4π x- = κπ+ 4 3 π 4π x- = κπ+π- 4 3 4π π x= κπ+ + 3 4 ` 4π π x= κπ+π- + 3 4 19π x= κπ+ 1 π x= κπ- 1 εφ x-(1+ 3)εφx+ 3 = 0 εφ x- εφx- 3εφx+ 3 = 0 εφx(εφx- 1)- 3(εφx- 1)= 0 (εφx- 1)(εφx- 3)= 0 εφx-1= 0 εφx= 1 εφx- 3 = 0 εφx= 3 π εφx= εφ 4 π εφx= εφ 3 π x=κπ+ 4 π x=κπ+ 3 Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017

35 ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΝΟΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ (ΣΥΓΚΕΚΡΙΜΕΝΟ ΔΙΑΣΤΗΜΑ) Αντιμετωπιση: Λυνουμε συμφωνα με τα προηγουμενα Προσδιοριζουμε τον κ, απ τη διπλη ανισοτητα με ακρα με - λη, τα ακρα του δοσμενου διαστηματος και μεσαιο μελος τη γενικη λυση της εξισωσης (περιεχει τον κ). ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3 Να λυθει η εξισωση π π 3π 3εφ(4x- )=- 3 στο διαστημα, 3 Ειναι για κ π π συν x+ = ημ 4 3 π π π συν x+ = συν - 4 3 π π συν x+ = συν 4 6 π π π π x+ = κπ+ x= κπ+ - 4 6 6 4` π π π π x+ = κπ- x= κπ- - 4 6 6 4 π x=κπ- 4 5π x=κπ- 4 (C ) 1 1 εφx εφx= 1 εφx= εφx= σφx εφx π π π εφx= εφ -x x= κπ+ -x 3x= κπ+ κπ π x= + 3 6 (C ) Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017

36 ΕΞΙΣΩΣΗ ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚ ΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Αντιμετωπιση: Μετατρεπουμε την εξισωση στον ιδιο τριγωνομετρικο α - ριθμο, μετασχηματιζοντας τον αλλο συμφωνα με τις σχεσεις : εφx σφx = 1 ημ x + συν x = 1 Συνεχιζουμε οπως στη προηγουμενη περιπτωση ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3 Να λυθουν οι εξισωσεις π π συν x+ = ημ 4 3 εφx εφx=1 Ειναι για κ π π συν x+ = ημ 4 3 π π π συν x+ = συν - 4 3 π π συν x+ = συν 4 6 π π π π x+ = κπ+ x= κπ+ - 4 6 6 4` π π π π x+ = κπ- x= κπ- - 4 6 6 4 π x=κπ- 4 5π x=κπ- 4 (C ) 1 1 εφx εφx= 1 εφx= εφx= σφx εφx π π π εφx= εφ -x x= κπ+ -x 3x= κπ+ κπ π x= + 3 6 (C ) Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017

37 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚ Η ΕΞΙΣΩΣΗ (ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΑ ΤΟΞΑ) Αντιμετωπιση: Μετατρεπουμε τους τριγωνομετρικους αριθμους σε τριγωνομετρικους αριθμους ιδιου τοξου, απ τους τυπους διπλασιου τοξου η υποδιπλασιασμου Λυνουμε τις εξισωσεις που προκυπτουν ως προς x ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4 Να λυθουν οι εξισωσεις συνx-3συνx+=0 x 5συνx= ημ + Ειναι για κ συνx-3συνx+= 0 συν x-1-3συνx+= 0 συν x-3συνx+1= 0 συνx = συν x - 1 συν x-συνx-συνx+1= 0 συνx(συνx-1)-(συνx-1)= 0 (συνx-1)(συνx-1)= 0 συνx-1= 0 συνx= 1 συνx-1= 0 συνx= 1 π π συνx= συν x= κπ± 3 3 (C ) συνx= συν0 x= κπ 1 1 - συνα ημ α = x 1- συνx 5συνx= ημ + 5συνx= + 3 1 5συνx= 1-συνx+ 6συνx= 3 συνx= συνx= 6 π x= κπ+ π 3 συνx= συν (C ) 3 π x= κπ- 3 Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017

38 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚ Η ΕΞΙΣΩΣΗ (ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ) Αντιμετωπιση: Μετατρεπουμε τους τριγωνομετρικους αριθμους αθροι - σματος, συμφωνα με τους τυπους του αθροισματος, σε τριγωνομετρικους αριθμους απλων γωνιων Μετατρεπουμε το αλγεβρικο αθροισμα τριγων ομετρικων αριθμων,συμφωνα με τους τυπους του αθροισματος, σε τριγωνομετρικους αριθμους αθροισματος γωνιων Λυνουμε τις εξισωσεις που προκυπτουν ως προς x ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 5 Να λυθουν οι εξισωσεις π π εφ +x -εφ -x = 3 4 4 3ημx+συνx= 1 Ειναι για κ π π φ +x -εφ -x = 3 4 4 π π εφ +εφx εφ -εφx 4-4 = 3 π π 1- εφ εφx 1+ εφ εφx 4 4 1+εφx 1- εφx - = 3 1-εφx 1+εφx (1+εφx) -(1-εφx) = 3 1-εφ x 1+εφ x+ εφx- 1- εφ x+ εφx 1-εφ x 4εφx = 3 = 3 1-εφ x εφx = 3 1-εφ x 3εφ x+ εφx- 3 π εφx= 3 3 εφx=- 3 εφx= εφ - 3 π π εφx= εφ 6 x=κπ- 3 π x=κπ+ 6 Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017

39 π εφ = 3 3 3ημx+συνx= 1 π εφ ημx+συνx= 1 3 π ημ 3 ημx+συνx= 1 π συν 3 π π π ημ ημx+συν συνx= συν 3 3 3 π π συν x- = συν 3 3 π π x- = κπ+ 3 3 π π x- = κπ- 3 3 π x= κπ+ 3 x= κπ Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017

40 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚ Η ΕΞΙΣΩΣΗ (... ΠΟΥ ΑΡΕΣΕΙ Ι!!!) ημχ+συνχ=0 και ημχ -συνχ=0 Αντιμετωπιση: Αποδεικνυουμε οτι συνχ 0 Διαιρουμε με συνχ Λυνουμε τις εξισωσεις που προκυπτουν : εφχ=-1 ή εφχ=1 αντιστοιχα ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 6 Να λυθουν οι εξισωσεις ημχ+συνχ=0 στο (0, π) ημχ-συνχ=0 στο (0, π) Ειναι για χ (0, π) ημχ+συνχ=0` ημχ=-συνχ (1) Αν συνχ=0, λογω της (1) θα ει - ναι και ημχ=ο, που ειναι ατοπο α - φου ημ χ+συν χ=1`0=1 Ετσι, συνχ 0 και η (1) δινει: εφχ=-1` x, 4 Ομως x 4 x (0, π) 0 4 5 1 5 και αφου θα ειναι κ=1 4 4 4 4 3π Συνεπως, x 4 4 Ομοια, για χ (0, π),,, εφχ=1` x 4 x 4, x (0, π) 0 4 3 4 4 1 3 4 4 και αφου θα ειναι κ=0 Συνεπως, π x 4 Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017

41 ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ - ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ 1. Ε κ θ ε τ ι κ η Αν 0< α x 1 x α = α `x = x 1, τοτε ι σχυει: 1 για καθε x,x 1. Λ ο γ α ρ ι θ μ ο ς Ο ρ ι σ μ ο ς - Σ υ ν ε π ε ι ε ς ο ρ ι σ μ ο υ Για καθε πραγματικο αριθμο α με 0 < α 1 και θ > 0, ο αριθμος log θ δηλωνει το μονα δικο εκθετη που πρεπει να α υψωσουμε τον α για να παρουμε θ. log 1= 0 α log α= 1 α log α θ α =θ log α α x = x lne = 1 ln1 = 0 ln θ θ=e x xln α α =e Β α σ ι κ ε ς Ι σ ο δ υ ν α μ ι ε ς log θ = x α log θ = x α lnθ = x x e x α x 10 = θ = θ = θ Ι δ ι ο τ η τ ε ς log (θ α 1 θ ) = log α log α θ θ 1 κ θ log θ α 1 + = log θ α 1 - = κ log θ α log θ β lnθ log θ= = α log α lnα log β log α=1 α β γlog β= log β α α β γ (ln log θ α κ e log θ α = κ) Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017

4 Σ Τ Η Π Ρ Α Ξ Η... ΕΞΙΣΩΣΗ ΜΟΡΦΗΣ: α x = β ή α f ( x ) = α g ( x ) ή α f ( x ) = β g ( x ) Αντιμετωπιση (γενικα): Στη περιπτωση α x = β, μετασχηματιζουμε τον β σε δυνα - μη του α και εξισωνουμε τους εκθετες Στη περιπτωση α f ( x ) = α g ( x ) παιρνουμε την ισοτητα f(x) = g(x) Στη περιπτωση α f ( x ) = β g ( x ), μετασχηματιζουμε τον β σε δυναμη του α, εστω β = α κ οποτε η δοσμενη γινεται α f ( x ) = α κ g ( x ), και παιρνουμε την ισοτητα f(x) = κ g(x) ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 Να λυθουν οι εξισωσεις x x - 3x + 10 x - 4 x - 4 =56 =56 3 =7 Ειναι x x 4 4 = 56 ` 4 = 4 ` x= 4 x - 3x + 10 x - 3x + 10 8 = 56 ` = ` x -3x+10= 8 `x -3x+= 0` x -x-x+= 0 ` x(x-1)-(x-1)= 0 ` x-1= 0 (x-1)(x-)= 0 ` ` x-= 0 x= 1 x= x - 4 x - x - 4 3 x - x - 4 3(x - ) 3 = 7 ` 3 =(3 ) ` 3 = 3 ` x -4= 3(x-) ` x -4= 3x-6 ` x -3x+= 0 ` x -x-x+= 0 ` x(x-1)-(x-1)= 0 ` (x-1)(x-)= 0 ` x-1= 0 ` x-= 0 x= 1 x= Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017

43 ΕΞΙΣΩΣΗ ΜΟΡΦΗΣ: f ( α x ) = g ( α x ) Αντιμετωπιση (γενικα): Θετουμε α x = y και η δοσμενη εξισωση μετατρεπεται σε αλγεβρικη ως προς y, την οποια και λυνουμε Λυνουμε για καθε ριζα y 1, y,... τις α x = y 1, α x = y,... συμφωνα με τη προηγουμενη παραγραφο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να λυθει η εξισωση x x 16-4 -1=0 Ειναι x x 16-4 -1= 0 ` x x (4 ) -4-1= 0 ` x 4 = y x x (4 ) -4-1= 0 ` y > 0 y y -y-1= 0 ` -4y+3y-1= 0 ` y(y-4)+3(y-4)= 0 ` (y-4)(y+3)= 0 ` y-4= 0 ` y+3= 0 y= 4 y=- 3 (απορριπτεται αφου y> 0) Oποτε 4 x = 4 4 x = 4 1 x= 1 Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017

44 ΕΞΙΣΩΣΗ ΜΟΡΦΗΣ: f ( α x ) = g ( β x ) Αντιμετωπιση (γενικα): Μετασχηματιζουμε την εξισωση ετσι ωστε να δημιουργη - θουν δυναμεις της μορφης που τις θετουμε ισες με y και η δοσμενη εξισωση μετατρεπεται σε αλγεβρικη ως προς y, την οποια και λυνουμε Λυνουμε για καθε ριζα y 1, y,... τις = y 1, = y,... συμφωνα με τη προηγουμενη παραγραφο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3 Να λυθει η εξισωση x-4 x-3 x-1 x- 3 +6 5 = +5 Ειναι x - 4 x - 3 x - 1 x - 3 +6 5 = +5 ` x - 4 x - 4 3 x - 4 3 +6 5 5 = + x - 4 : 5 x - 4 +5 5 ` x - 4 x - 4 x - 4 5 3 +30 = 8 + x - 4 x - 4 x - 4 5 5 5 x - 4 x - 4 x - 4 x - 4 5 +5 ` x - 4 5 3 +30 1= 8 +5 1 (1) 5 5 Θετουμε 5 = y και η (1) γινεται: 3 y+30= 8 y+5 ` 5y= 5 y= 1 Ετσι 5 x - 4 =1 x - 4 0 ` = ` x-4= 0 ` 5 5 x= 4 Α λ λ ι ω ς Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017

45 x - 4 x - 3 x - 1 x - 3 +6 5 = +5 ` x - 4 x - 4 3 x - 4 x - 4 3 +6 5 5 = +5 5 ` x - 4 x - 4 x - 4 x - 4 3 +30 5 = 8 +5 5 ` x - 4 x - 4 x - 4 x - 4 30 5-5 5 = 8-3 ` x - 4 x - (30-5) 5 =(8-3) 4 x - 4 x - 4 5 5 = 5 ` x - 4 x - 4 x - 4 5 = = 1 ` x - 4 x - 4 0 5 5 = ` 5 x-4= 0 ` x= 4 ` Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017

46 ΕΞΙΣΩΣΗ ΜΟΡΦΗΣ: f ( x ) g ( x ) = 1 Αντιμετωπιση (γενικα): Διακρινουμε περιπτωσεις : f(x) = 1 : Τη λυνουμε και βρισκουμε τον x f(x) 0 και g(x)=0 : Λυνουμε τη g(x) = 0 εχοντας περιορισμο τις ριζες της f(x) = 0 f(x) = -1 και g(x) αρτιος αριθμος : Τη λυνουμε και βρι - σκουμε τον x που πρεπει να επαληθευει οτι η g(x) ειναι αρτιος αριθμος ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4 Να λυθει η εξισωση x - 3x (x -4x+3) = 1 Διακρινουμε περιπτωσεις: x x -4x+3= 1 ` -4x+= 0 ` x= ± x -4x+3 0 x -3x= 0 ` x 1 και x 3 ` x= 0 ή x= 3 x= 0 x x x -4x+4= 0 x -4x+3=-1 ` - 3x= αρτιος ` - 3x= αρτιος x= ` 4-6 = αρτιος x= Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017

47 ΕΞΙΣΩΣΗ ΜΟΡΦΗΣ: α f ( x ) = συν(χ-β) Αντιμετωπιση : Ειδικη περιπτωση με προυποθεση f(x)=(χ-β) Δειχνουμε οτι α f ( x ) 1 Ισχυει συν(χ-β)º1 Προκυπτει α f ( x ) = 1 = α 0... Απαιτειται επαληθευση για τη λυση που βρηκαμε ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 5 Να λυθει η εξισωση x - x+1 3 =συν(χ-1) (1) Ειναι x -x+1=(χ-1) 0 Αφου 3>1 τοτε η ισχυει χ 1 χ `f(χ 1) f(χ ) (η εκθετικη γνησιως αυξουσα) Ετσι x - x+1 0 x - x+1 3 3 ` 3 1 () Ομως συν(χ-1)º1 (3) Απο τις () και (3) προκυπτει x - x+1 3 1 (= συν(χ-1)) ` x - x+1 0 3 3 ` x - x+1 0 ` (x-1) 0 ` χ= 1 Για χ=1 η (1) γινεται 0 3 =συν0`1=1 που αληθευει Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017

48 ΕΞΙΣΩΣΗ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚ Η Αντιμετωπιση (γενικα): Βρισκουμε για ποια x οριζονται οι λογαριθμοι (περιορισμος) Με τις ιδιοτητες των λογαριθμων φερνουμε την εξισωση στη μορφη: log α f(x) = log α g(x) Λυνουμε την εξισωση f(x) = g(x) εχοντας υποψιν μας το περιορισμο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 6 Να λυθουν οι εξισωσεις α) log(x +5x-6)=1+log(x-1) β) log (x - 4x+5)= 1 x - 1 α) Πρεπει x-1> 0 x-1> 0 x +5x-6 > 0 (x-1)(x+6)> 0 x-1> 0 x> 1 x+6 > 0 x>- 6 Συνεπως η εξισωση x> 1 log(x +5x-6)= 1+log(x-1) log10 = 1 log[(x-1)(x+6)]= log10+log(x-1) log[(x-1)(x+6)]= log10(x-1) (x-1)(x+6)= 10(x-1) (x-1)(x+6)-10(x-1)= 0 (x-1)(x+6-10)= 0 (x-1)(x-4)= 0 x-1= 0 x-4= 0 x= 1 απορριπτεται x= 4 δεκτη x= 4 Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017

49 β) Πρεπει x-1 1 x-1> 0 x -4x+5> 0 x x> 1 αληθευει αφου Δ=- 4< 0 x x> 1 x (1,) (,+ ) Συνεπως η εξισ ωση log (x -4x+5)= 1 x - 1 log α α = 1 log (x -4x+5)= log (x-1) x - 1 x - 1 x -4x+5= x-1 x -5x+6 = 0 (x-)(x-3)= 0 x= απορριπτεται x= 3 δεκτη x= 3 Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017

50 ΕΞΙΣΩΣΗ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ (ΒΟΗΘΗΤΙΚΟΣ ΑΓΝΩΣΤΟΣ) Αντιμετωπιση (γενικα): Βρισκουμε για ποια x οριζ εται ο λογαριθμος (περιορισμος) Μετασχηματιζουμε τους λογαριθμους της εξισωσης στον ιδιο λογαριθμο, εστω log g ( x ) h(x) Θετουμε log g ( x ) h(x) = y και η εξισωση μετατρεπεται σε ε - ξισωση ως προς y, την οποια λυνουμε Για καθεμια απ τις λυσεις της εξ ισωσης f(y) = 0, της σχεσης log g ( x ) h(x) = y και την ισοδυναμια log g ( x ) h(x) = y g(x) y = h(x), προσδιοριζουμε το x ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 7 Να λυθει η εξισωση 3(log 3) -log 3+log x= log 7 x x x x Πρεπει χ>0 και χ 1 Συνεπως η εξισωση 3(log 3) -log 3+log x= log 7 ` x x x x log α α = 1 3 x x x x 3(log 3) - log 3+log x= log 3 ` 3(log 3) - log 3+1= 3log 3 ` x x x x x y -5y+6 = 0 1 log x3 = y 3(log 3) -4log 3+1= 0 ` y= 1 y= 3 Για y= 1: log 3= 1 x x= 3 1 Για y= : 3 1 1 1 1 log 3= x = 3 x = 7 x 3 3 3 3 x= 7 Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017

51 ΕΞΙΣΩΣΗ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ (ΜΟΡΦΗ α f ( x ) = β) Αντιμετωπιση (γενικα): Με τη προυποθεση 1 α > 0 και β > 0 Απ την ισοδυναμια α f ( x ) = β ` log α β = f(x), προσδιορι - ζουμε το x ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 8 Να λυθουν οι εξισωσεις x-1 3 =5 Ειναι x- 1 e =5 x - 1 3 = 5 x-1= log 5 3 x= log 5+1 3 log α α = 1 x= log 5+log 3 3 3 x= log (5 3) 3 log 15 3 x= x - 1 e = 5 x-1= ln 5 x= ln 5+1 lne = 1 x= ln 5+lne x= ln (5e) ln5e x= Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017

5 ΕΞΙΣΩΣΗ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ (ΜΟΡΦΗ α l o g f ( x ) = β) Αντιμετωπιση (γενικα): Με τη προυποθεση 1 α > 0 και β > 0 Απ την ισοδυναμια α f ( x ) = β ` log α β = f(x), προσδιορι - ζουμε το x ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 9 Να λυθει η εξισωση logx logx +3 4 =5 Ειναι logx logx +3 4 = 5 logx = y logx logx 3( ) + -5= 0 y > 0 3y +y-5= 0 y= 4 13 y=- απορριπτεται, y> 0) 3 Συνεπως logx = logx= logx= log100 x= 100 Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017

53 ΕΞΙΣΩΣΗ - ΠΡΟΦΑΝΗΣ ΛΥΣΗ Προκειμενου να λυσουμε μια εξισωση f(x)=0, που η μορφη της δεν ειναι μια απο τις γνωστες επιλυσιμες, κανουμε τα παρακατω 1. Βρισκουμε μια, δυο,... προφανεις λυσεις. Αποδεικνυουμε τη μοναδικοτητα τους απο τη μονοτονια η τα ολικα ακροτατα (αν η τετμημενη του ακροτατου ειναι η προφανης λυση) αν η συναρτηση f ειναι 1-1 Σ χ ο λ ι ο Η ιδιοτητα "1-1" της συναρτησης f βοηθαει στη μετατροπη της συνθετης συναρτησης σε απλη εξασφαλιζει τη μοναδικ οτητα της ριζας απο θεωρημα Bolzano (τουλαχιστον...) και μονοτονια απο Θ.Ε.Τ. (0 f(a)) και μονοτονια απο θεωρημα Rolle (τουλαχιστον...) και μονοτονια δεν υπαρχει μια παραπανω (σε ατοπο απαγωγη) δειχνοντας οτι ισχυει ταυτοχρονα: "το πολυ..." και "τουλαχιστον..." απο Θ.Μ.Τ. μετασχηματιζοντας καταλληλα την εξισωση απο μονοτονια Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017

54 Σ Τ Η Π Ρ Α Ξ Η... ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 (ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ) Η γραφικη παρασταση της συναρ - τησης f φαινεται στο διπλανο σχη - μα Να λυθουν οι εξισωσεις α) f(x)=0 β) f(x)=1 γ) f(x)=-1 Απο το γραφημα προκυπτει α) Οι λυσεις της εξισωσης f(x)=0 ειναι τα κοινα σημεια του γραφημα - τος της f και του αξονα χ'χ. Ετσι η χ=- ειναι η μοναδικη λυση της εξισωσης f(x)=0 (σημειωτεον οτι τα σημεια του χ'χ (1,0), (3,0) δεν ανηκουν στο γρα - φημα της f) β) Οι λυσεις της εξισωσης f(x)=1 ειναι οι τετμημενες των κοι - νων σημειων του γραφηματος της f και της ευθειας y=1. Ετσι οι χ=-1 και χ=3 ειναι οι λυσεις της εξισωσης f(x)=1 β) Οι λυσεις της εξισωσης f(x)=-1 ειναι οι τετμημενες των κοι - νων σημειων του γραφηματος της f και της ευθειας y=-1. Ετσι η χ= ειναι η μοναδικη λυση της εξισωσης f(x)=-1 Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017

55 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ (ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ) Να λυθει η εξισωση 18 x-4=ln(x-1) Η εξισωση γραφεται: 18 x-4-ln(x-1)=0 Θεωρουμε τη συναρτηση f(x)= 18 x-4-ln(x-1) (1) Για να οριζεται η f πρεπει 18-χ 0 και χ-1>0 ` χ 18 και χ>1 Συνεπως το πεδιο ορισμου της f ειναι: Α f=(1, 18] H συναρτηση f 1(x)=18-x ειναι γνησιως φθινουσα (α=-1<0), στο (1, 18] αρα,και η συναρτηση f (x)= φθινουσα στο (1, 18] (σ υνθεση) 18 x ειναι γνησιως H συναρτηση f 3(x)=lnx ειναι γνησιως αυξουσα στο στο (1, 18], αρα, και η συναρτηση f 4(x)=-ln(x-1) ειναι γνησιως φθινουσα στο (1, 18] (αντιθετη) Αρα η f(x)= 18 x-4-ln(x-1) ειναι γνησιως φθινουσα στο (1, 18] (αθροισμα γνησιως φθινουσων συναρτησεων) Για χ= η (1) γινεται f()= 18-4-ln(-1)= 16-4-ln1= 4-4-0=0 Συνεπως, η χ= ειναι μοναδικη λυση της εξισωσης (ριζα της f) 18 x-4=ln(x-1) αφου η συναρτηση f ειναι γνησιως φθινουσα στο (1, 18] Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017

56 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3 (ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 1-1) Δινεται η συναρτηση g με τυπο: g(x)= x 0 1 5 +x 0 1 7 α) Να εξετασετε αν ειναι "1-1" η συναρτηση g στο β) Να λυσετε την εξισωση: x 0 1 5 +x 0 1 7 = g(1)=1 0 1 5 +1 0 1 7 =1+1= α) Α g= (g πολυωνυμικ η) Εστω x 1, x με x 1<x, τοτε x x < x 015 017 προσθεση 1 < x 015 017 1 κατα μελη 015 013 015 017 1 1 1 ` x +x < x +x ` g(x )< g(x ) συνεπως η g ειναι γνησιως αυξουσα στο, αρα και "1-1" στο β) 015 017 x +x = ` g(1) = g(x)= ` g "1-1" g(x)= g(1) ` x= 1 Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017

57 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4 (ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΗ 1-1) Δινεται η συναρτηση f με τυπο: f(x)= lnx x, x>0 α) Να εξετασετε αν ειναι "1-1" η συναρτηση f για χ>0 β) Να λυσετε την εξισωση: (ημx) σ υ ν χ -(συνx) η μ χ =0 στο διαστημα π 0, α) H f ειναι συνεχης στο (0, + ) (πηλικο συνεχων συναρτησεων) και παραγωγισιμη με 1 lnx f'(x)= χ 1 lnx 1 lnx f'(x)= 0` = 0` ` x e χ χ f'(x)>0`... ` 0<x e f'(x)>0`... ` x e Συνεπως η f ειναι γνησιως αυξουσα στο (0, e] γνησιως φθινουσα στο [e, + ) Αρα η f ειναι "1-1" στο (0, + ) β) Για χ π 0, η f ειναι 1-1 (αφου ειναι 1-1 στο (0, + )) Ειναι (ημx) σ υ ν χ -(συνx) η μ χ =0` (ημx) σ υ ν χ =(συνx) η μ χ` ln(ημx) σ υ ν χ =ln(συνx) η μ χ` συνχ ln(ημx)=ημχ ln(συνx)` ln(ημx) ln(συνx) = ` ημx συνx f(ημx)=f(συνx) ημx=συνx π χ= 4 π x 0, ` f: 1-1 ` Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017

58 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 5 (ΕΚΘΕΤΙΚΗ 1-1) Δινεται η συναρτηση f με τυπο: f(x)= lnx x, x>0 α) Να μελετησετε ως προς τη μονοτονια τη συναρτηση f β) Να λυσετε την εξισωση: χ =x με χ>0 α) H f ειναι συνεχης στο (0, + ) (πηλικο συνεχων συναρτησεων) και παραγωγισιμη με 1 lnx f'(x)= χ 1 lnx 1 lnx f'(x)= 0` = 0` ` x e χ χ f'(x)>0`... ` 0<x e f'(x)>0`... ` x e Συνεπως η f ειναι γνησιως αυξουσα στο (0, e] γνησιως φθινουσα στο [e, + ) η f παρουσιαζει ολικο μεγιστο για χ=e με τιμη f(e)=e - 1 β) Για καθε χ>0 χ =x ` ln χ =lnx `x ln=lnx` ln lnx = x `f()=f(x) η f ειναι γνησιως αυξουσα στο (0, e], αρα και 1-1 Ετσι f()=f(x)`χ= μοναδικη λυση της χ =x στο (0, e] η f ειναι γνησιως φθινουσα στο [e, + )αρα και 1-1 Ακομη, f()=f(4) και 4 [e, + ) Ετσι f()=f(x)` f(4)=f(x)`χ=4 μοναδικη λυση της χ =x στο [e, + ) Δηλαδη η εξισωση χ =x εχει δυο μονο ριζες στο (0, + χ= και χ=4 ), τις Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017

59 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 6 (ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ) Δινεται η συναρτηση f: με τυπο: f(x)=χ 3 +1 α) Να δειξετε οτι η συναρτηση f ειναι αντιστρεψιμη β) Να λυσετε την εξισωση: f(x)= f - 1 (x) α) Το πεδιο ορισμου της f ειναι:α= Για καθε χ ειναι διαδοχικα f(x )= f(x )` x +1= x +1` 3 3 1 1 x = x `x = x 3 3 1 1 η συναρτηση f ειναι "1-1" οποτε αντιστρεφεται β) Λυνουμε το συστημα 3 y= x +1 (1) (1)-() (Σ): ~ 3 x= y +1 () 3 3 3 3 y-x= x +1-y -1 y-x= (x -y ) y-x= (x-y) (x +xy+y ) (y-x)+(y-x)(x +xy+y )= 0 (y-x)(1+x +xy+y )= 0 Η (1) λογω της (3): y-x= 0 x +yx+1+y = 0 y= x (3) αδυνατη αφου Δ= 4y - 8-16y =- 8-1y < 0 3 3 x= x +1 x+1= (x +1) (x+1)-(x+1)(x +x+1)= 0 (x+1)(1-x +x+)= 0 x+1= 0 x +x+1= 0 x=- 1 αδυνατη αφου Δ= 4-8=- 7< 0 Συνεπως, χ=y=-1 και το κοινο σημειο των C και C - 1 ειναι το A(-1, -1). Για χ=-1 τοτε f(-1)= f - 1 (-1)=-1, αρα η χ=-1 ειναι λυση της εξισωσης f(x)= f - 1 (x). f f Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017

60 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 7 (BOLZANO) Δινεται η συναρτηση f:(0, + ) με τυπο: f(x)=χ 3 +lnx-1. Να λυσετε την εξισωση f(x)= 0 και να δειξετε οτι η μοναδικη λυση της βρισκεται στο διαστημα 1,. Εχουμε Η συναρτηση f ειναι συνεχης στο διαστημα 1, σαν αθροισμα συ- νεχων (αφου η πολυωνυμικη χ 3-1 και η lnx ειναι συνεχεις στο (0, + ) αρα και στο 3 1 1 1 f = ln 1 1, ) 1 = (ln1 ln) 1 8 7 =- ln 0 8 f()= 3 +ln-1=7+ln>0 Δηλαδη, 1 f f()< 0 Συνεπως, απο θεωρημα Bolzano, η f(x)= 0 εχει μια τουλαχι - στον λυση στο διαστημα Ομως f'(x)= 3χ 1, 0 για καθε χ>0 που σημαινει οτι η f ειναι γνησιως αυξουσα στο (0, + f(x)=0 ειναι μοναδικη. ) αρα και στο 1, και η λυση της Για χ=1 τοτε f(1)= 1 3 +ln1-1=0, αρα η χ=1 ειναι μοναδικη λυση της εξισωσης f(x)= 0 Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017

61 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 8 (Θ.Ε.Τ.) Δινεται η παραγωγισιμη συναρτηση f: με τυπο: f(x)=λe x (x-1), χ και λ>0 Η γραφικη παρασταση της f διερχεται απ'το σημειο Α(1, 0) α) Να βρεiτε το συνολο τιμων της f β) Να λυσετε την εξισωση f(x)= 0 και να δειξετε οτι η μονα - δικη λυση της βρισκεται στο διαστημα (0, + ). α) Ειναι f'(x)=λ[(e x )'(x-1)+ e x (x-1)'] =λ(e x (x-1)+ e x ) =λ(e x x- e x + e x ) =λxe x αφου λ>0 και e x >0 αν χ<0 τοτε f'(x)<0 και η f ειναι γνησιως φθινουσα στο (-, 0) αν χ 0 τοτε f'(x)>0 και η f ειναι γνησιως αυξουσα στο [0, + ) Η f παρουσιαζει ολικο ελαχιστο στη θεση χ=0 με τιμη f(0)= λe 0 (0-1)=-λ Ακομη DLH λ(x-1) λ(x-1)' x λ lim f(x) lim λe (x-1) lim lim lim 0 x - x - x - x x - x x - x lim f(x) x lim λe (x-1) x + x - e (e )' -e Συνεπως, f((-, 0))=[-λ, 0) και f([0, + ))=[-λ, + ) Αρα, f(a)= [-λ, 0) [-λ, + )=[-λ, + ) β) Αφου η C f διερχεται απ'το σημειο Α(1, 0) προφανης λυση της f(x)=0 ειναι η χ=1. Ομως Η f ειναι αρνητικη στο (-, 0) αφου f((-, 0))=[-λ, 0) και η f(x)=0 δεν εχει λυσεις. Στο [0, + ) η f(x)=0 εχει λυση, αφου το 0 περιεχεται στο συνολο τιμων της (Θ.Ε.Τ.), που ειναι μοναδικη γιατι η f ειναι γνησιως αυξουσα. Αρα η μοναδικη λυση της f(x)=0 ειναι η χ=1 που βρισκεται στο διαστημα [0, + ). Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017

6 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 9 (Θ.Ε.Τ.) Δινεται η παραγωγισιμη συναρτηση f:(0, + ) με τυπο: f(x)=x 4 +3lnx- α) Να βρεiτε το συνολο τιμων της f β) Να αποδειξετε οτι η εξισωση 4 3 1 ln 1 λυση για καθε λ>0, την ο ποια και να βρειτε. α) Για καθε χ>0 ειναι f'(x)= (x 4 +3lnx-)' = Δηλαδη χ > 0 3 3 8 0 η f ειναι γνησιως αυξουσα στο διαστημα (0, + ) και δεν εχει α- κροτατα. Ακομη 4 lim f(x) lim(3x + 3lnx- ) x 0 x 0 4 lim f(x) lim (3x +3lnx-) x + x + Συνεπως, f(a)= ( lim f(x), lim )=(-, + ) x 0 x + εχει μοναδικη β) Για καθε λ>0 ειναι 3 1 4 4 4 λ = ln +1` λ = 3 (ln1-lnλ)+` λ =-3lnλ+` λ 4 λ +3 lnλ-= 0` f(λ)= 0 Ισοδυναμα, αρκει να δειξουμε οτι υπαρχει μοναδικο λ>0, τε - τοιο, ωστε f(λ)=0 και στη συνεχεια να το προσδιορισουμε. Πραγματι 0 f(α)= f((0, + ))= η f ειναι γνησιως αυξουσα στο διαστημα (0, + ), η λ=1 ειναι προφανης λυση ( (1 ln1 1`1= 1) 4 3 Αρα... Θ.Ε.Τ. η λ=1 ειναι μοναδικη λυση της f(λ)=0 και ισοδυναμα της 4 3 1 ln 1. Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017

63 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 10 (ROLLE - ΜΙΑ ΛΥΣΗ) Να αποδειξετε οτι η εξισωση συνχ-χ-1=0 εχει ακριβως μια λυση που ανηκει στο διαστημα,. Θεωρουμε τη συναρτηση h(x)= συνχ-χ-1, χ Η h ειναι συνεχης στo διαστημα, (αθροισμα συνεχων) π h(- )= π-1> 0 π π π h( )=-π-1< 0 : h( )h( )< 0... θ. Bolzano... η h(χ)=0 εχει μια τουλαχιστον ριζα στο διαστημα, Υποθετουμε οτι η h(x)=0 εχει δυο ριζες χ, χ με χ <χ στο 1 1 (χ, χ ), 1 Η h ειναι συνεχης στο διαστημα [x, x ] (πραξεις συνεχ ων) 1 Η h ειναι παραγωγισιμη στο (x, x ) (πραξεις παραγωγισιμων) 1 με h'(x)=-ημx-, χ h(x )= h(x ) = 0 1 Επομενως, ισχυουν οι υποθ εσεις του θ. Rolle για την h στο [x, x ] και θα υπ αρχει τουλαχιστον ενα ξ (x, x ), 1 1 τετοιο, ωστε h'(ξ)=0`-ημξ-=0`ημξ=- αδυνατη Αρα η εξισωση h(x)=0 εχει το πολυ μια ριζα στο (0, ) Τελικα, η εξισωση συνχ-χ=0 εχει ακριβως μια ριζα που ανηκει στο διαστημα,. Για χ=0 η εξισωση γινεται συν0-0-1=0`0=0 Συνεπως, η χ=1 ειναι η μοναδικη λυση της εξισωσης συνχ-χ=0 Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017

64 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 11 (ROLLE - ΔΥΟ ΛΥΣΕΙΣ) Αν η συναρτηση f ειναι δυο φορες παραγωγισιμη στο διαστημα Α και ισχυει f''(x) 0 για καθε χ Α, να αποδειξετε οτι η εξισωση 5 Χ -4χ-1=0 εχει ακριβως δυο λυσεις που ανηκουν στο διαστημα Α, τις οποιες και να βρειτε. Γενικα ισχυει: " Αν η συναρτηση f, ειναι δυο, τουλαχιστον, φορες παραγωγισιμη στο διαστημα Α και ισχυει f''(χ) 0 για καθε χ Α τοτε η f εχει το πολυ δυο ριζες στο Α." α π ο δ ε ι ξ η Εστω οτι η f εχει τρεις λυσεις ρ 1, ρ, ρ 3 με ρ 1<ρ <ρ 3, οποτε f(ρ 1)=f(ρ )=f(ρ 3)=0 Εχουμε Η f ειναι σ υ ν ε χ η ς στα [ρ 1, ρ ] και [ρ, ρ 3] αφου ειναι παραγωγισιμη στο Α, αρα και συνεχης στο Α Η f ειναι π α ρ α γ ω γ ι σ ι μ η στα (ρ 1, ρ ) και (ρ, ρ 3) αφου ειναι παραγωγισιμη στο Α f(ρ 1)=f(ρ )=f(ρ 3)=0 αφου ρ 1, ρ, ρ 3 ειναι ριζες της f Τοτε, συμφωνα με το θεωρημα Rolle, υπαρχουν δ υ ο τ ο υ λ α χ ι σ τ ο ν ρ ι ζ ε ς ξ 1 (ρ 1, ρ ) και ξ (ρ, ρ 3) της εξισωσης f ' ( χ ) = 0. Αρα, η f' εχει δυο, τουλαχιστον ριζες. Ακομη Η f' ειναι σ υ ν ε χ η ς στο [ξ 1, ξ ] αφου ειναι δυο φορες παραγωγισιμη στο, συνεπως υπαρχει η f'', δηλαδη η f' ειναι παραγωγισιμη στο, αρα και συνεχ ης Η f' ειναι π α ρ α γ ω γ ι σ ι μ η στο (ξ 1, ξ ) αφου ειναι παραγωγισιμη στο f' ( ξ 1 ) = f' ( ξ ) αφου ξ 1, ξ ειναι ριζες της f' Τοτε, συμφωνα με το θεωρημα Rolle, υπαρχει ε ν α τ ο υ λ α χ ι σ τ ο ν ξ (ξ 1, ξ ) τετοιο ωστε: f '' ( ξ ) = 0, ατοπο, αφου f''(χ) 0 για καθε χ Α αρα και για ξ (ξ 1, ξ ) δηλαδη η f εχει το πολυ δυο ριζες στο Α Αρα Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017

65 για f(x)= 5 Χ -4χ-1, δυο φορες παραγωγισιμη με f''(x) 0,η εξισωση 5 Χ -4χ-1=0 εχει το πολυ δυο λυσες στο Α (1) Προφανεις λυσειςς της εξισωσης 5 Χ -4χ-1=0 ειναι οι 0 και 1 αφου 5 0-4 0-1=0`1-1=0 που αληθευει 5 1-4 1-1=0`5-4-1=0 που αληθευει Αρα η εξισωση 5 Χ -4χ-1=0 εχει τουλαχιστον δυο ριζες στο Α () Τελικα, απο τις (1) και () Η εξισωση 5 Χ -4χ-1=0 εχει ακριβως δυο ριζες στο Α, τις χ=0 και χ=1 Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017

66 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 (Θ.Μ.Τ.) Να λυσετε την εξισωση 5 χ -9 χ = χ -6 χ Στη δοσμενη εξισωση παρατηρου- με οτι 5-=9-6=3 Ετσι χ χ χ χ 5-9 = -6 ` χ χ χ χ 5 - = 9-6 (1) Θεωρουμε τη συναρτηση x f(u)=u με x 1 f'(u)=χ u Η f ειναι συνεχης στο (εκθετικη) αρα και στα διαστημα- τα [, 5], [6, 9] Η f ειναι παραγωγισιμη στο (, 5), (6, 9) αρα και στα διαστηματα Συνεπως, ισχυουν οι υποθ εσεις του Θ.Μ.Τ. στα διαστηματα [, 5], [6, 9] και υπαρχει χ χ f(5)-f() 5 - ξ (, 5) : f' (ξ )= = 5-3 1 1 (1) χ χ f(9)-f(6) 9-6 ξ (6, 9) : f' (ξ )= = 9-6 3 f' (ξ )= f' (ξ )~ 1 χ= 0 χ= 0 χ ξ = χ ξ ~ χ (ξ -ξ )= 0~ x-1 x-1 x-1 x-1 1 1 ή ή ξ -ξ = 0 ξ = ξ x-1 x-1 x-1 x-1 1 1 ξ ξ 1 χ= 0 χ= 0 χ= 0 ή ή ~ ~ ή ~ x-1 x-1 0 ξ ξ ξ 1 1 1 = 1 = ξ ξ ξ x-1= 0 χ= 0 ή x= 1 Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017

67 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 13 (ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ - f(e g ( x ),h(x))) Να λυσετε την εξισωση e x - 1 +x=3-x 3 Η εξισωση γινεται: e x - 1 +x=3-x 3` e x - 1 +x 3 +x-3=0 Θεωρουμε τη συναρτηση f(x)= e x - 1 +x 3 +x-3 για καθε χ Για καθε χ η f ειναι συνεχ ης (πραξεις συνεχ ων) η f ειναι παραγωγισιμη (πραξεις παραγωγισιμων) με f'(x)=( x-1 3 e +x +x- 3 = ( )' = )' x-1 e x- 1 +3x +1 x-1 e +3x +1> 0 για καθε χ πινακας προσημου της f' Αρα, η f ειναι γνησιως αυξουσα στο Για χ=1 εχουμε f(1)= e 1-1 +1 3 +1-3=1+1+1-3=0 Δηλαδη η χ=1 ειναι προφανης ριζα της εξισωσης f(x)=0` e x - 1 +x 3 +x-3=0` e x - 1 +x=3-x 3 που ειναι μοναδικη, αφου η f ειναι γνησιως αυξουσα στο Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017

68 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 14 (ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ - f(lnx,g(x))) Να λυσετε την εξισωση xlnx=x-1 Η εξισωση γινεται: xlnx=x-1 ` xlnx-x+1=0 Θεωρουμε τη συναρτηση f(x)= xlnx-x+1, για καθε χ (0,+ ) Για καθε χ (0, + ) η f ειναι συνεχ ης (πραξεις συνεχ ων) η f ειναι παραγωγισιμη (πραξεις παραγωγισιμων) με f'(x)=( xlnx-x+1)' 1 = lnx+ x -1 x = lnx+1-1 = lnx, x (0, + ) f'(x)=0 ` lnx=0 ` x=1 f'(x)>0 ` lnx>0 ` x>1 f'(x)<0 ` lnx<0 ` 0<x<1 O πινακας προσημου της f' και η μονοτονια της f, φαινονται παρακατω Η f ειναι γνησιως φθινουσα στο (0, 1], συνεπ ως χ<1 ` f(x)>f(1) ` f(x)>0 Η f ειναι γνησιως αυξουσα στο (0, 1], συνεπ ως χ>1 ` f(x)>f(1) ` f(x)>0 Σε καθε περιπτωση ειναι f(x)>0 Αρα, αφου η f διατηρει προσημο, η ριζα χ=1 ειναι μοναδικη της εξισωσης f(x)=0 ` xlnx-x+1=0 ` xlnx=x-1 Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017

69 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 14 (ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ - ΣΥΝΘΕΤΗ) Να λυσετε την εξισωση ln(x +1)=ln(χ +χ+1)+x Προσθετουμε στην εξισωση τη ποσοτητα χ +1 και προκυπτει: ln(x +1)+ χ +1 = =ln(χ +χ+1)+x+ χ +1 ` ln(x +1)+ (χ +1) = =ln(χ +χ+1)+(x + χ+1) (1) Θεωρουμε τη συναρτηση f(x)= lnx+x, χ (0,+ ) Για καθε χ (0, + ) η f ειναι συνεχ ης (πραξεις συνεχ ων) η f ειναι παραγωγισιμη (πραξεις παραγωγισιμων) με 1 f'(x)=( lnx+x)' = +x 0 x αφου χ>0 Αρα, η f ειναι γνησιως αυξουσα για καθε χ (0,+ ), συνεπως ειναι και "1-1" O πινακας προσημου της f' και η μονοτονια της f, φαινονται στο διπλανο πινακα. Ετσι η (1) ισοδυναμα ln(x +1)+(χ +1)=ln(χ +χ+1)+(x + χ+1) ` f(x +1)=f(x + χ+1) x +1=x + χ+1` x=0 f ` Σ χ ο λ ι ο Η ιδιοτητα "1-1" της συναρτησης f βοηθαει στη μετατροπη της συνθετης συναρτησης σε απλη εξασφαλιζει τη μοναδικοτητα της ριζας καθιστα την f αντιστρεψιμη, οποτε ειναι εφικτη η ευρεση του τυπου της αντιστροφης της f. Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017

70 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 15 (ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ - f(α x,..., κ x )) Να λυσετε την εξισωση 1 χ +16 χ =0 χ Διαιρουμε τα μελη της εξισωσης με το 0 χ 0 Ετσι 1 16 0 ` 0 0 0 1 16 0 0 1 ` 1 16 0 0 3 4 5 5 1 = 0 1 = 0 ` Θεωρουμε τη συναρτηση f(x) = 3 4 5 5 1, x Η f ειναι συνεχ ης στο Η f ειναι παραγωγισιμη στο συναρτησεων) με 3 4 3 3 4 4 f'(x) 1 ' ln ln 5 5 5 5 5 5 ειναι 3 3 3 3 3 1~ ln ln1~ ln 0~ ln 0 5 5 5 5 5 4 4 4 4 4 1~ ln ln1~ ln 0~ ln 0 5 5 5 5 5 3 3 4 4 ln ln 0~ f'(x) 0 5 5 5 5 (αθροισμα συνεχ ων συναρτησεων) (αθροισμα παραγωγ ισιμων ~ Συνεπως, η f ειναι γνησιως φθινουσα στο Προφανης λυση της εξισωσης ειναι η χ=, αφου 1 +16 =144+56=400=0 χ που ειναι μοναδικη, αφου η f ειναι γνησιως φθινουσα στο Αρα, η εξισωση εχει μια μονο λυση, την χ= Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017

71 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 16 (ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΗ ΣΧΕΣΗ) Για τη παραγωγισιμη συναρτηση f:(0, + ) ισχυουν: f'(1)=1 f(x y)=x f(y)+y f(x), για ολα τα x,y (0, + ) Να λυσετε την εξισωση: f(x)=x -1 Παραγωγιζουμε τη δοσμενη σχε - ση ως προς χ (y σταθερο) για χ=1 yf'(xy)= f(y) + yf'(x) ~ f'(1)=1 yf'(y)= f(y) + yf'(1) ~ y > 0 y x f(y) yf'(y)= f(y)+y ~ f'(y)= +1 ~ y f(x) f'(x)= +1, x> 0 x Για χ=y=1 η δοσμενη σχεση δινει f(1 1)=1 f(1)+1 f(1)`f(1)=0 Ειναι x 0 f(x) xf'(x)-( χ)' f(x) 1 f'(x)= +1`xf'(x)= f(x)+x ` = ` δια χ x χ x για x 1 f(x) f(x) f(x) ' (ln )' ` ln c ` = lnχ` f(x)= xlnχ, x> 0 x x x f(1) = 0 f(1) = ln1 + c ` c=0 1 Ετσι f(x)=x -1`xlnx-x +1=0 (1) που εχει προφανη λυση την x=1 Θεωρουμε τη συναρτηση g(x)= xlnx-x +1, x>0 με g'(x)= (lnx+1-x) Ισχυει: e t t+1, για καθε t () Για t=lnx η () δινει: e lnx lnx+1` x lnx+1`lnx+1-xº0, για καθε χ>0 Συνεπως, g'(x)= (lnx+1-x) º0, για καθε χ>0 που σημαινει οτι η g ειναι γνησιως φθινουσα στο (0, + ) Επομενως, η λυση χ=1 της εξισωσης g(x)=0 ειναι μοναδικη και η εξισωση f(x)=x -1 εχει μοναδικη λυση την χ=1. Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017

7 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 17 (ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΗ ΣΧΕΣΗ) Για τη συναρτηση f: * ισχυει: f(x+y)= f(χ) e f ( y ) - 1, για ολα τα x,y Να λυσετε την εξισωση: y= e y - 1 H δοσμενη σχεση για χ=y=0 δι- νει f(0)= f(0) e f ( 0 ) - 1 1= e f ( 0 ) - 1 ` e 0 = e f ( 0 ) - 1 ` f(0)-1=0` f(0)=1 f(0) 0 ` f(x) * Για χ=0 και y=χ η δοσμενη σχε- ση δινει f(0+χ)= f(0) e f ( χ ) - 1 f(0) 1 ` f(χ)= e f ( χ ), για καθε χ Η τιμη y=1 ειναι προφανης λυση της εξισωσης y= e y - 1 (αφου 1= e 1-1`1= e 0 ) Θεωρουμε τη συναρτηση g(y)=y- e y - 1 με g'(y)=1- e y - 1 g'(y)=0`1- e y - 1 =0` e 0 = e y - 1 `y-1=0`y=1 g'(y)>0`1- e y - 1 >0` e 0 > e y - 1 `y-1<0`y<1 g'(y)<0`1- e y - 1 <0` e 0 < e y - 1 Η g ειναι `y-1>0`y>1 γνησιως αυξουσα στο (-, 1] γνησιως φθινουσα στο [1, + ) Η g παρουσιαζει μεγιστο στη θεση y=1 με μεγιστη τιμη f(1)=0 Ετσι, για καθε y 1 (*) g στο (-, 0) g(1) = 0 y< 1 ` g(y)< g(1) ` g(y)< 0 g στο (0, + ) g(1) = 0 y> 1 ` g(y)< g(1) ` g(y)< 0 Συνεπως η y=1 ειναι μοναδικη λυση της εξισωσης y= e y - 1 Σ χ ο λ ι ο (*) Θα μπορουσαμε να πουμε οτι η y=1 ειναι μοναδικη λυση της εξισωσης y= e y - 1, αφου ειναι θεση του ολικου μεγιστου. Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017

ΕΥΡΕΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ

74 ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ y = λ x + β Η απλουστερη μορφη ευθειας. Χαρακτηριστικα της τα λ, β που την καθιστουν μονα δικη. β : Προσδιοριζει το σημειο του αξονα y y απ οπου διερχεται η ευθεια. λ : Λεγεται συντελεστης διευθυνσης της ευθειας η κλιση της ευθειας και προσδιοριζει την διευθυνση της ευθειας στο καρτεσιανο επιπεδο. Ε ι δ ι κ ε ς μ ο ρ φ ε ς τ η ς y = λ x + β y = λ x (β = 0) Η ευθεια αυτη διερχεται απ την αρχη των αξονων Ο(0, 0) και αν λ > 0, τοτε βρισκεται στο 1ο - 3ο τεταρτημοριο λ < 0, τοτε βρισκεται στο ο - 4ο τεταρτημοριο y = x (λ = 1, β = 0) Η ευθεια αυτη διερχεται απ την αρχη των αξονων Ο(0,0) και ειναι η διχοτομος των γωνιων που σχηματιζουν οι θετικοι ημιαξονες Ox - Oy και οι αρνητικοι Ox - Oy y = - x (λ = - 1, β = 0) Η ευθεια αυτη διερχεται απ την αρχη των αξονων Ο(0, 0) και ειναι η διχοτομος των γωνιων που σχηματιζουν ο θετικος ημιαξονας Oy και ο αρνητικος Ox ο θετικος ημιαξονας Ox και ο αρνητικος Oy. y = y 0 (λ = 0, β = 0) Η ευθεια αυτη ειναι παραλληλη στον αξονα x x και διερ - χεται απο το σημειο Α(0, y 0) του y y (οριζοντια). x = xo (λ δεν οριζεται) Η ευθεια αυτη ειναι παραλληλη στον αξονα y y και διερχεται απο το σημειο Β(x 0, 0) του x x (κατακορυφη). y y 0 = λ ( x x 0 ) Χαρακτηριστικα της τα λ, x Ο, y Ο που την καθιστουν μοναδι - κη. x Ο, y Ο : Οι συντεγμενες σημειου που ανηκει στην ευθεια η απ το οποιο διερχεται η ευθεια. λ : Ο συντελεστης διευθυνσης της ευθειας. Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017

75 Α x + Β y + Γ = 0 Χαρακτηριστικα της τα Α, Β, Γ που την καθιστουν μοναδικη. Ουσιαστικα ειναι η περιπτωση ( y = λ x + β ) αφου μπορει να μετασχηματιστει σε : y = Α - Β x - Γ Β, οπου λ = Α - Β και β = - Γ Β. Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017

76 Σ Τ Η Π Ρ Α Ξ Η... ΕΥΡΕΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ (ΔΙΕΡΧΕΤΑΙ ΑΠΟ ΓΝΩΣΤΟ ΣΗΜΕΙΟ) Αντιμετωπιση : Απο την εξισωση της ευθειας ε: y=λχ+β Βρισκουμε τον συντελεστη διευθυνσης λ της πιο πανω ευθειας Οι συντεταγμενες του σημειου απ το οποιο διερχεται η ευθεια επαληθευουν την εξισωση της ευθειας, οποτε αν τις θεσουμε στη θεση των x, y προκυπτει το β Απο την εξισωση της ευθειας ε: y-y 0=λ(χ-x 0) Βρισκουμε τον συντελεστη διευθυνσης λ της πιο πανω ευθειας Οι συντεταγμενες του σημειου που διερχεται η ευθεια επαληθευουν την εξισωση της ευθειας (αν τις θεσουμε στη θεση των x 0, y 0 προκυπτει η ζητουμενη ευθεια) ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 Να βρεθει η εξισωση της ευθειας (ε), που διερχεται απο το σημειο Α( -1, ) σχηματιζει με τ ον αξονα χ'χ γωνια 5π 4 5π π π λ = εφ = εφ π+ = εφ = 1 ε 4 4 4 Αφου η ευθεια (ε) διερχεται απο το σημειο Α(-1, ), τοτε οι συντεταγμενες του σημειου Α επα - ληθευουν την εξισωση της ευ - θειας (ε): y=λ εχ+β Ετσι =1 (-1)+β`=-1+β`β=3 Η ζητουμενη εξισωση ειναι y=χ+3 Α λ λ ι ω ς Αφου η ευθεια (ε) διερχεται απο το σημειο Α(-1, ), τοτε η εξισωση y-y 0=λ(χ-x 0) δινει y-=1 (x-(-1))` y=χ+3 Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017

77 ΕΥΡΕΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ (ΔΙΕΡΧΕΤΑΙ ΑΠΟ ΓΝΩΣΤΑ ΣΗΜΕΙΑ) Αντιμετωπιση : Βρισκουμε τον συντελεστη διευθυνσης λ = Απο την εξισωση της ευθειας ε: y=λχ+β Οι συντεταγμενες του σημειου απ το οποιο διερχεται η ευθεια επαληθευουν την εξισωση της ευθειας, οποτε αν τις θεσουμε στη θεση των x, y προκυπτει το β Απο την εξισωση της ευθειας ε: y-y 0=λ(χ-x 0) Οι συντεταγμενες του σημει ου που διερχεται η ευθεια επαληθευουν την εξισωση της ευθειας (αν τις θεσουμε στη θεση των x 0, y 0 προκυπτει η ζητουμενη ευθεια) ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να βρεθει η εξισωση τη ς ευθειας (ε), που διερχεται απο τα σημεια Α(1, ) και Β(-3, -6) y y -6-8 1 λ= = = = x -x -3-1 -4 1 Αφου η ευθεια (ε) διερχεται απο το σημειο Α(1, ), τοτε οι συν τεταγμενες του σημειου Α επα ληθευουν την εξισωση της ευ θειας (ε): y=λχ+β Ετσι = 1+β`=+β`β=0 Η ζητουμενη εξισωση ειναι y=χ Α λ λ ι ω ς Αφου η ευθεια (ε) διερχεται απο το σημειο B(-3, -6), τοτε η εξισωση y-y 0=λ(χ-x 0) δινει y-y 0=λ(χ-x 0)` y-(-6)= (x-(-3))` y+6= (x+3)` y+6=x+6`y=χ Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017

78 ΕΥΡΕΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ (ΔΙΕΡΧΕΤΑΙ ΑΠΟ ΓΝΩΣΤ O ΣΗΜΕΙO - IΔIOTHTA) Αντιμετωπιση : Βρισκουμε τον συντελεστη διευθυνσης λ = Σ αυτη τη περιπτωση πρωτα θα εξετασουμε αν η ευθεια x = x 0 (x 0 ειναι η τετμημενη του γνωστου σημειου) αποτελει λυση της ασκησης Στη συνεχεια θα εξετασουμε αν η ευθεια: y-y 0=λ (x-x 0) αποτελει λυση της ασκησης (βρισκουμε το λ) ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3 Να βρειτε την εξισωση της ευθειας που διερχεται απο το ση - μειο Μ(, 1) και τεμνει τις ευθειες y=x+1 και y=-x+1 στα σημεια Α και Β αντιστοιχως, ετσι ωστε το Μ να ειναι μεσο του ΑΒ. Οι ευθειες που διερχονται απο το σημειο Μ(, 1) ειναι η κατακορυφη με εξισωση x = και οι μη κατακορυφες με εξισωσεις y-1=λ(x-), λ Η ευθεια x= τεμνει την y=x+1 στο σημειο Β(, 3) και την y=-x+1 στο σημειο Γ(, - 1). Το ΒΓ εχει μεσο το σημειο με συν- τεταγμενες + 3-1 (, )=(,1), που ειναι οι συντεταγμενες του σημειου Μ. Αρα, η κατακορυφη x = ειναι μια απο τις ζητουμενες ευ- θειες. Η ευθεια y-1=λ(x-), λ τεμνει τις y=x+1 και y=-x+1 στα σημεια Β και Γ αντιστοιχως, που οι συντεταγμενες τους ειναι οι λυσεις των συστηματων: Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017

79 y= x+1 y-1= x x= y-1 y-1= λ(x-) y-1= λ(y-1-) y(λ-1)= 3λ-1 λ x= λ-1, λ 1 3λ-1 y= λ-1 y=-x+1 x= 1-y x= 1-y y-1= λ(x-) y-1= λ(1-y-) y(λ+1)= 1-λ λ x= λ+1, λ -1 1-λ y= λ+1 Ετσι το Μ(, 1) θα ειναι μεσο του ΒΓ, αν και μονο αν 1 λ λ λ +λ+λ - λ + = =4 λ-1 λ+1 λ -1 1 3λ-1 1-λ + = 1 λ- 1 λ+1 3λ +3λ-λ-1-λ +λ-1 λ = λ -1 και λ -1 λ +4λ-= λ - = Οι εξισωσεις ομως αυτες δεν συναληθευουν για καμια τιμη του λ, αφου η πρωτη ειναι αδυνατη για καθε. Ετσι η μονη λυση του προβληματος μας, ειναι η κατακορυφη ευθεια χ= Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017

80 ΕΥΡΕΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ (ΔΙΕΡΧΕΤΑΙ ΑΠΟ ΣΗΜΕΙO Α - ΑΠΕΧΕΙ d ΑΠΟ ΣΗΜΕΙΟ Β) Αντιμετωπιση : Σ αυτη τη περιπτωση πρωτα θα εξετασουμε αν η ευθεια x = x 0 (x 0 ειναι η τετμημενη του γνωστου σημειου) αποτελει λυση της ασκησης Στη συνεχεια θα εξετασουμε αν η ευθεια: y-y 0=λ (x-x 0) αποτελει λυση της ασκησης (βρισκουμε το λ) Προκειμενου να χρησιμοποιησουμε το τυπο της αποστα - σης : η ευθεια x = x 0 γραφεται : (ε 1) 1 x+0 y x 0=0 (A=1, B=0, Γ=-x 0) η ευθεια y-y 0=λ (x-x 0) γραφεται : (ε ) λ x-1 y-λ x 0+y 0=0 (A=λ, B=-1, Γ=-λ x 0+y 0) η ευθεια y=λχ+β γραφεται : (ε 3) λ x-y+β=0 (A=λ, B=-1, Γ=β) ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4 Να βρειτε την εξισωση της ευθειας που διερχεται απο το ση - μειο Μ(1, ) και απεχει αποσταση d = 1 απ το σημειο Ο(0,0). Οι ευθειες που διερχονται απο το σημειο Μ(1, ) ειναι η κατακορυφη με εξισωση x = 1 και οι μη κατακορυφες με εξισω - σεις y-=λ(x-1), λ. Η ευθεια x = 1 μπορει να γραφτει σαν ε 1 : 1 x+0 y 1=0 (A=1, B=0, Γ=-1). Ετσι d(o, ε 1) = Α x +B y +Γ 0 0 Α +Β 1 0+0 0-1 -1 1 = = = = 1= d 1 +0 1 1 Αρα, η κατακορυφη x= 1 ειναι μια απο τις ζητουμενες ευ - θειες. Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017

81 Η ευθεια y-=λ(x-1), λ, μπορει να γραφτει σαν ε : λ x-1 y-λ+=0 ( A=λ, B=-1, Γ=-λ+ ) d(o, ε ) = 1 Α x +B y +Γ 0 0 = 1 Α +Β λ 0+(-1) 0-λ+ =1 λ +1 - λ+ =1 λ +1 (- λ+) =( λ +1) 3 λ= 4 - λ+ = λ +1 λ +1 > 0-4λ+4= λ +1 Ετσι η εξισωση y-=λ(x-1), λ γινεται : 3 y-= (x-1) 4y-8= 3x-3 4 3x-4y+5= 0 Μ ι α α λ λ η α ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η Η ζητουμενη ευθεια ε 3: y=λx+β η d(o, ε 3) = 1 λx y+β=0 (Α=λ, Β=-1, Γ=β) Α x +B y +Γ 0 0 = 1 λ 0+(-1) 0+β = 1 Α +Β λ +1 β λ +1 =1 λ +1 > 0 β= λ +1 Oι συντεταγμενες του σημειου Μ, επαληθευουν την εξισ ωση της ευθειας ε 3. Ετσι =λ 1+ λ +1 - λ= λ +1 λ< (- λ) =( λ +1) λ< 4-4λ+ λ = λ +1 λ< λ< 4λ= 3 3. λ= (δεκτη) 4 9 9 16 5 5 Ετσι β= +1 = + = = 16 16 16 16 4 Αρα η ε 3 : 3 5 y= x+ 4y= 3x+5 4 4 3x-4y+5= 0 Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017

8 ΕΥΡΕΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ (ΜΕΣΟΠΑΡΑΛΛΗΛΗ) Αντιμετωπιση : Αν ε 1 : Α 1 x+β 1 y+γ 1=0 και ε : κ Α 1 x+κ Β 1 y+γ =0 (ε 1 ε ) τοτε η μεσοπαραλληλη τους θα εχει μορφη ε : ν Α 1 x + ν Β 1 y + Γ 3 = 0. Αφου ε 1 ε ε τοτε λ 1 = λ = λ. Λυνουμε με τρεις τροπους: Θεωρουμε σημειο Μ(x, y) της ευθειας ε και απ την ισο - τητα d(m, ε 1) = d(m, ε ) προσδιοριζουμε τη ζητουμενη εξισωση. Παιρνοντας δυο σημεια Μ, Ν των ευθειων ε 1, ε αντιστοιχα και βρισκοντας το μεσο Ο του τμηματος ΜΝ. Ετσι, Ο ε και λ γνωστο, μεσω της εξισωσης y - y 0 = λ (x -x 0 ) βρισκουμε το ζητουμενο. Μετασχηματιζουμε τις ευθειες ε 1 και ε ωστε οι συντελεστες των x, y να γινουν ιδιοι (και η μεσοπαραλληλη ε θα εχει ιδιους). Ο σταθερος ορος της ε θα ειναι το ημι - αθροισμα των σταθερων ορων των ευθειων ε 1 και ε. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 5 Να βρειτε την εξισ ωση της μεσοπαραλληλης των ευθειων ε 1: 3 x + y = 0 και ε : 6 x + y + 8 = 0 Εστω σημειο Μ(x, y) της ευθειας ε Τοτε d(m, ε 1) = d(m, ε )` 3 x+1 y- 6 x+ y+8 = ` 3 +1 6 + 3x+y- = 3x+y+4 10 10 3x+y- = 3x+y+4 3x+y-= 3x+y+4 3x+y-=-3x-y-4 -= 4 αδυνατη 6x+y+= 0 3x+y+1= 0 Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017

83 Α λ λ ι ω ς Εστω τα σημεια Μ(0, ) και Ν(0, - 4) των ευθειων ε 1 και ε αντιστοιχα ( εθεσα x = 0 στις εξισωσεις των ευθειων ε 1 και ε και βρηκα τα αντιστοιχα y). Το μεσο Ο του τμηματος ΜΝ εχει συντεταγμενες (0, -1) και αφου λ=-3 τοτε η ζητουμενη εξισωση ειναι: y + 1 = -3 (x 0 ) ` y 1 = - 3 x ` 3χ+y+1=0 Α λ λ ι ω τ ι κ α ε 1: 3 x + y = 0 και ε : 6 x + y + 8 = 0 η 3 x + y + 4 = 0. Ο σταθερος ορος της ευθειας ε 1 ειναι -, ενω της ε ειναι 4. Ετσι ο σταθερος ορος της ευθειας ε ειναι - +4 = = 1 Η ζητουμενη ευθεια ειναι : 3χ+y+1=0 Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017

84 ΕΥΡΕΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ (ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ) Αντιμετωπιση : Αν ε 1 και ε οι δυο ευθειες και δ η διχοτομος,τοτε : Δειχνουμε οτι που σημαινει οτι οι ευθειες ε 1 και ε τεμνονται Θεωρουμε σημειο Μ(x, y) της ευθειας δ και απ την ισο - τητα d(m, ε 1) = d(m, ε ) προσδιοριζουμε τη (τις) ζητου - μενη(ες) εξισωση(εις). Παρατηρηση Προκειμενου να προσδιορισουμε ποια ειναι η διχοτομος της οξειας και ποια η διχοτομος της αμβλειας γωνιας, θεωρου - με ενα σημειο σε μια απ'τις δυο τεμνομενες ευθειες και συ - γκρινουμε τις αποστασεις του απ'τις διχοτομους. Πιο μεγαλη ειναι η αποσταση του απ'την διχοτομο της αμ - βλειας γωνιας. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 6 Βρειτε τις διχοτομους των γωνιων που σχηματιζουν οι ευθειες : ε 1: 4 x - 3 y + 1 = 0 και ε : 3 x + 4 y - = 0 4 3 Αφου λ = - = λ 3 4 ε ε 1 οι (ε ) και (ε ) τεμνονται 1 Αν (δ) η διχοτομος και Α(x, y) ενα σημειο της, τοτε: d(a,ε )= d(a,ε ) 1 4 x-3 y+1 3 x+4 y- = 4 +(-3) 3 +4 4x-3y+1 = 3x+4y- 4x-3y+1 = 3x+4y- 4x-3y+1 =-3x-4y+ x-7y+3 = 0 7x+y-1 = 0 Οι πιο πανω εξισωσεις παριστανουν τις διχοτομους της οξειας και της αμβλειας γωνιας που σχηματιζουν οι δυο ευθειες. Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017

85 ΕΥΡΕΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ (ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΗ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΑΒ) Αντιμετωπιση : Αν Μ(x,y) σημειο της μεσοκαθετης, τοτε ισχυει ΜΑ = ΜΒ: Βρισκουμε τις συντεταγμενες του μεσου Μ του διαστη - ματος ΑΒ. Θεωρουμε σημειο Γ( x, y) της μεσοκαθετης, βρισκουμε τα διανυσματα και χρησιμοποιουμε τη σχεση :. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 7 Να βρειτε την εξισωση της μεσοκαθετης του ευθυγραμμου τμηματος με ακρα τα σημεια Α( - 3,4) και Β(7,). Αν Μ(x,y) ειναι σημειο της μεσο καθετης, τοτε ισχυει ΜΑ= ΜΒ, δηλαδη (x+3) +(y-4) = (x-7) +(y-) x +6x+9 + y -8y+16 = x 0x-4y-8= 0 5x-y-7= 0-14x+49 + y -4y+4 Α λ λ ι ω ς Eιναι Α(- 3,4) και Β(7,) οποτε το μεσο του διαστηματος ΑΒ ειναι, - 3+7 4+ Μ(, ) ή Μ(,3). Αν Γ(x, y) σημειο της μεσοκαθετης τοτε: ΓΜ=(x-,y-3) και ΑΒ=(7 + 3,- 4)=(10,- ) Ομως ΓΜ ΑΒ ΓΜ ΑΒ= 0 (x-,y-3) (10,-) = 0 10(x-)-(y-3)= 0 10x-0-y+6 = 0 10x-y-14= 0 5x-y-7= 0 Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017

86 ΕΥΡΕΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ (ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΥ) Αντιμετωπιση : Χρησιμοποιουμε γνωσεις Γεωμετριας χρησιμο: Αν Α(α 1, α ), Β(β 1, β ), Γ(γ 1, γ ) ειναι κορυφες τριγωνου, τοτε το βαρυκεντρο του ειναι ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 8 Δινονται τα σημεια Α(,3), Β(- 4,5) και Γ(3,- 4). Να βρειτε την εξισωση της ευθ ειας που διερχεται απο την κο - ρυφη Α και το κεντρο βαρους G του τριγωνου ΑΒΓ. Αν (x, y) ειναι οι συντεταγμενες του κεντρου βαρους G του τριγω - νου ΑΒΓ, τοτε θα ειναι : -4+3 1 x= = 3 3 και 3+5-4 4 y= = 3 3 Επομενως, η ευθεια που διερχεται απ τα σημεια A(, 3) και 1 4 G=, 3 3 εχει συντελεστη διευθυνσης 4 5 3-3 3 λ= = = 1 1 5-3 3 και κατα συνεπεια η εξισωση της ειναι : y-3=1(x-) y=x+1 Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017

87 ΕΥΡΕΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ (ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΣ ΤΟΠΟΣ) Αντιμετωπιση : Απο συνδυασμο των δοσμενων σχεσεων καταληγουμε σε εξισωση των συντεταγμενων x, y του Μ, που αποτελει τον γεωμετρικο τοπο Αν οι συντεταγμενες x, y του σημειου Μ συνδεονται με παραμετρο λ, τοτε απαλειφουμε την παραμετρο μεταξυ των συντεταγμενων και καταληγουμε σε εξισωση που ειναι συναρτηση των x, y. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 9 Δινονται τα σημεια Α(3,1) και Β(4,6). Να βρεθει ο γεωμετρικος τοπος των σημειων Μ του επιπεδου, για τα οποια ι σχυει: ΜΑ -ΜΒ = 10 Αν Μ(x, y), τοτε: ΜΑ -ΜΒ = 10 ΜΑ - ΜΒ = 10 (x-3) +(y-1) -[(x-4) + +(y-6) ]= 10 x -6x+9 +y -y+1- -(x -8x+16 +y -1y+36)= 10 x -6x+9 + y -y+1- x +8x-16- y +1y-36 = 10 x+10y-48= 0 x+5y-4= 0 Οποτε, ο ζητουμενος γεωμετρικος τοπος ειναι η ευθεια (ε): x+5y-4= 0 Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017

88 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 10 Θεωρουμε τα μεταβλητα σημεια Α(α,0) και Β(0,β), με α,β> 0, ετσι ωστε να ισχυει ΟΑ+ΟΒ= 1. Αν M ειναι σημειο της ΑΒ με ΜΑ= 3ΜΒ, να βρεθει ο γεωμετρικος τοπος των σημειων Μ. Αν Μ(x, y), τοτε: ΜΑ= 3ΜΒ ΑΜ= 3ΜΒ (x-α,y-0)= 3(0-x,β-y) (x- α,y)=(- 3x,3β- 3y) x- α=-3x y= 3β-3y α= 4x 4 β= y 3 (1) Ομως ΟΑ+ΟΒ= 1 α+β= 1 (1) 4 4x+ y= 1 3 1x+4y= 36 3x+y-9 = 0 Ο ζητουμενος γεωμετρικος τοπος ειναι η ευθεια (ε): 3x+y-9 = 0 Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017

89 ΕΥΡΕΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ (ΚΟΙΝΗ ΧΟΡΔΗ ΚΥΚΛΩΝ) Αντιμετωπιση : Θεωρουμε οτι ενα απ τα κοινα σημεια ειναι το Μ(α,β), οι συντεταγμενες του οποιου επαληθευουν τις εξισωσεις των δυο κυκλων. Η λυση του συστηματος των εξισωσεων ως προς α, β που προκυπτει, δινει το ζητουμενο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 11 Να βρεθει η εξισωση της κοινης χορδης των κυκλων: c :(x+1) +(y-3) = 1 και c :(x-) +(y+1) = 16 1 Αν Μ(α,β) ενα κοινο σημειο των κυκλων, τοτε οι συντεταγμενες του επαληθευουν τις εξισωσεις των δυο κυκλων. Ετσι (α+1) +(β-3) = 4 (α-) +(β+1) = 16 α +α+1+ β -6β+9 = 4 (-) α -4α+4+ β +β+1= 16 6α-3-8β+8=-1` 6α-8β +17= 0 Δηλαδη το κοινο σημειο Μ (ενα τυχαιο απ'τα κοινα) ανηκει στην ευθεια: 6x-8y+17= 0, που αποτελει την εξισωση της κοινης χορδης. Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017

90 ΕΞΙΣΩΣΗ ΚΥΚΛΟΥ ΜΟΡΦΗ ΚΥΚΛΟΥ x + y = ρ Η απλουστερη μορφη κυκλου. Χαρακτηριστικα : Κεντρο το σημειο Ο(0,0) (αρχη των αξονων) Ακτινα ρ Ε ι δ ι κ η μ ο ρ φ η τ η ς x + y = ρ Μοναδιαιος κυκλος : x + y = 1 Κεντρο το σημειο Ο(0,0) (αρχη των αξονων). Ακτινα ρ = 1. Π α ρ α μ ε τ ρ ι κ ε ς Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς Κ υ κ λ ο υ Αν Μ(x, y) ειναι σημειο του κυκλου c : x + y = ρ και φ [0, π) ειναι η γωνια που σχηματιζει το διανυσμα ΟΜ με τον αξονα x x, τοτε ισχυει : x = ρ σ υ ν φ y = ρ η μ φ Ε ξ ι σ ω σ η Ε φ α π τ ο μ ε ν η ς Κ υ κ λ ο υ Αν Α(x 1, y 1) ειναι σημειο του κυκλου c : x + y = ρ απ το οποιο διερχεται μια εφαπτομενη του, τοτε η εξισωση τη ς δινεται απο : x 1 x + y 1 y = ρ ( x - x 0 ) + ( y - y 0 ) = ρ Με κεντρο διαφορετικο απ την αρχη των αξονων. Χαρακτηριστικα : Κεντρο το σημειο Κ ( x 0, y 0 ). Ακτινα ρ. x + y + Α x + Β y + Γ = 0 Η γενικη μορφη κυκλου. Προυποθεση η παρασταση να αποτελει εξισωση κυκλου : Α + Β - 4 Γ > 0 Χαρακτηριστικα : Κεντρο το σημειο Κ Ακτινα ρ = Α +Β -4Γ Α Β -,-.. Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017

91 Σ Τ Η Π Ρ Α Ξ Η... ΕΥΡΕΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ (ΚΕΝΤΡΟ ΚΑΙ ΣΗΜΕΙΟ ΤΟΥ Α) Αντιμετωπιση : Αρκει να βρουμε ακτινα ρ. Χρησιμοποιουμε τη σχεση:. Οι συντεταγμενες του σημειου του κυκλου (γνωστου) επαληθευουν την εξισωση του κυκλου : x + y = ρ η ( x - x 0 ) + ( y - y 0 ) = ρ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 Να βρεθει η εξισωση του κυκλου με κεντρο την αρχη των αξονων και διερχεται απ'το σημειο Α(- 3, 4). Η εξισωση του κυκλου ειναι της μορφης: x +y = ρ Αφου το Α ειναι σημειο του κυκλου, οι συντεταγμενες του επαληθευουν την εξισωση του κυκλου. Ετσι (- 3) +4 = ρ 9 +16 = ρ ρ = 5 ρ= 5 Δηλαδη η εξισωση του κυκλου ειναι: x +y = 5 Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017

9 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να βρεθει η εξισωση του κυκλου με κεντρο Κ (- 3, 4) και διερχεται απ'την αρχη των αξονων. Το κεντρο του κυκλου ειναι Κ(- 3,4) και η εξισωση του : (x +3) +(y-4) = ρ Ο κυκλος διερχεται απ'το σημειο Ο(0,0). Οποτε ΚΟ ειναι ακτινα του. Ετσι ΚΟ = ρ (0+3) +(0-4) = ρ 9 +16 = ρ ρ= 5 ρ= 5 Δηλαδη η εξισωση του κυκλου ειναι: (x +3) +(y-4) = 5 Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017

93 ΕΥΡΕΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ (ΔΥΟ ΑΝΤΙΔΙΑΜΕΤΡΙΚΑ ΣΗΜΕΙΑ) Αντιμετωπιση : Αρκει να βρουμε ακτινα ρ. Χρησιμοποιουμε τη σχεση:. Οι συντεταγμενες του σημειου του κυκλου (γνωστου) επαληθευουν την εξισωση του κυκλου : x + y = ρ η ( x - x 0 ) + ( y - y 0 ) = ρ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3 Να βρεθει η εξισωση του κυκλου με διαμετρο ΑΒ, οπου Α(- 1,4) και Β(3,). Αν Κ το κεντρο του κυκλου, τοτε Κ ειναι το μεσο της διαμετρου ΑΒ. Ετσι x +x Α Β -1+3 x = x = Κ Κ y +y 4+ Α Β y = y = Κ Κ x = 1 Κ y = 3 Κ Κ(1,3) ρ = ΚΑ =(x -x ) +(y -y ) Α Κ Α Κ =(-1-1) +(4-3) = 4+1=5 Οποτε η εξισωση του κυκλου ειναι: (x-1) +(y-3) = 5 Α λ λ ι ω ς Αν Μ(x, y) ειναι ενα τυχαιο σημειο του κυκλου, τοτε η γωνια ΑΜΒ= 90 (εγγεγραμενη που βαινει σε διαμετρο) και ισχυει: ΑΜ=(x+1,y-4) ΑΜ ΒΜ ΑΜ ΒΜ= 0 (x+ 1)(x- 3) +(y-4)(y-)= 0 ΒΜ=(x-3,y-) x -3x+x-3+y -y-4y+8= 0 x +y -x-6y+5= 0 (x -x+1)+(y -6y+9)= 5 (x-1) +(y-3) = 5 Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017

94 ΕΥΡΕΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ (ΣΗΜΕΙΑ ΤΟΜΗΣ ΜΕ Ε ΝΑΝ ΑΞΟΝΑ ΚΑΙ ΑΚΤΙΝΑ) Αντιμετωπιση : Αν Α(0,y 1), Β(0,y ) η ( Α(x 1,0), Β(x,0) ) τα σημεια που τεμνει ο κυκλος τον αξονα x x η (y y) και ρ η ακτινα του Οι συντεταγμενες τ ων σημειων επαληθευουν την εξισω - ση του κυκλου : x + y = ρ η ( x - x o ) + ( y - y 0 ) = ρ Αν Κ ( x 0, y 0 ) το κεντρο ισχυει:. Η λυση του συστηματος των εξισωσεων που προκυπτει, προσδι - οριζει τα x 0, y 0 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4 Να βρεθει η εξισωση του κυκλου που διερχεται απ'τα σημεια Α(0,1), Β(0,-3) και εχει ακτινα ρ=. Οι συντεταγμενες των σημειων Α και Β επαληθευουν την εξισωση (x-x ) +(y-y ) = ρ 0 0 Ειναι (0- x ) +(1- y ) =( ) 0 0 (0- x ) +(-3- y ) =( ) 0 0 x +y -y +1= 8 0 0 0 (-) x +y +6y +9 = 8 0 0 0 x +y -y +1= 8 0 0 0 8y = -8 0 x +y -y +1= 8 x +1++1= 8 x = 4 0 0 0 0 0 y =-1 y =-1 y =-1 0 0 0 x = 0 y =-1 0 Ετσι Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017

95 Για x =, y =-1 η εξισωση του κυκλου ειναι: 0 0 (x-) +(y+1) = 8 Για x = -, y = 1 η εξισωση του κυκλου ειναι: 0 0 (x+) +(y+1) = 8 Α λ λ ι ω ς KA = ρ KB = ρ (x -0) +(y -1) = 0 0 (0-x ) +(y +3) = 0 0 x +y -y +1= 8 0 0 0 x +y +6y +9 = 8... 0 0 0 x = 0 y = 1 0 Ετσι Για x =, y =-1 η εξισωση του κυκλου ειναι: 0 0 (x-) +(y+1) = 8 Για x = -, y = 1 η εξισωση του κυκλου ειναι: 0 0 (x+) +(y+1) = 8 Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017

96 ΕΥΡΕΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ (ΤΡΙΑ ΣΗΜΕΙΑ ΤΟΥ) Αντιμετωπιση : Αν Α(x 1, y 1), Β(x, y ) και Γ(x 3, y 3) τρια σημεια του κυκλου Το κεντρο του κυκλου ειναι το σημειο τομης των μεσο - καθετων των χορδων ΑΒ, ΑΓ και ΒΓ Η ακτινα βρισκεται απ τη σχεση:. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 5 Να βρεθει η εξισωση του κυκλου που διερχεται απ'τα σημεια Α(0,1), Β(0,11), Γ(6,11). Το κεντρο Κ ειναι το σημειο τομης των μεσοκαθετων των χορδων ΑΒ και ΑΓ. Αν Μ το μεσο της χορδης ΑΒ και Ν το μεσο της χορδης ΑΓ, τοτε x +x 0+0 Α Β x = = = 0 Μ y +y 1+11 Α Β y = = = 6 Μ x +x 0+6 Α Γ x = = = 3 Ν y +y 1+11 Α Γ y = = = 6 Ν Μ (0,6) και Ν (3,6) ΑΒ ΚΜ Ειναι, ΚΜ x'x που διερχεται απ'το σημειο Ν(0,6). ΑΒ y'y Δηλαδη το Κ ειναι της μορφης Κ(α,6) και 11-1 5 3 λ = = και ΚΝ ΑΓ, λ = ΑΓ ΚΝ 6-0 3 5 Αρα Κ (δ)= ΚΝ με εξισωση :(δ): 3x-5y+1= 0 και οι συντεταγμενες του επαληθευουν την εξισωση της (δ) Ετσι, 3α-5 6 +1= 0 α= 3 Κ(3,6) ρ = ΚΑ =(0-3) +(1-6) = 9 +5 = 34 Αρα η εξισωση του κυκλου ειναι: (x-3) +(y-6) = 34 Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017

97 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 6 Να βρεθει η εξισωση του κυκλου που διερχεται απ'τα σημεια Α(6,-1), Β(4,3), Γ(-3,). Εστω Κ(α, β) το κεντρο του κυκλου. ΚΑ = ΚΒ ΚΑ = ΚΒ (6-α) +(-1-β) =(4-α) + +(3- β) 36-1α+ α +1+β+ β = = 16-8α+ α +9-6β+ β 4α-8β= 1 α-β= 3 (1) ΚΑ = ΚΓ ΚΑ = ΚΓ (6-α) +(-1-β) =(-3-α) +(-β) 36-1α+ α +1+β+ β = 9 +6α+ α +4-4β+ β 18α-6β= 4 3α-β= 4 () Λυνουμε το συστημα των (1) και () α-β= 3 α-β= 3 α-β= 3 1-β= 3 β=- 1 3α-β= 4-6α+β=- 8-5α=- 5 α= 1 α= 1 Κ ( 1, - 1 ) Ακομη: ρ = ΚΑ =(6-1) +(-1+1) = 5 Οποτε η εξισωση του κυκλου ειναι: (x-1) +(y+1) = 5 Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017

98 ΕΥΡΕΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ (ΔΥΟ ΣΗΜΕΙΑ ΤΟΥ ΚΑΙ ΕΥΘΕΙΑ ΑΠΟ ΤΟ ΚΕΝΤΡΟ ΤΟΥ) Αντιμετωπιση : Αν Α(x 1, y 1), Β(x, y ) δυο σημεια του κυκλου Το κεντρο ειναι το σημειο τομης της δοσμενης ευθειας και της μεσοκαθετης του τμηματος ΑΒ. Βρισκουμε τη μεσοκαθετη και λυνουμε το συστημα των εξισωσεων της μεσοκαθετης και της δοσμενης ευθειας Η ακτινα βρισκεται απ τη σχεση:. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 7 Να βρεθει η εξισωση του κυκλου που το κεντρο του ειναι σημειο της ευθειας (ε): x-3y-3= 0 και διερχεται απ'το σημειο Α (,-) και την αρχη των αξονων. Αν Μ μεσο της χορδης ΟΑ τοτε x +x 0+ Ο Α x = = = 1 Μ y +y 0- Ο Α y = = =-1 Μ --0 λ = =-1 και αφου ΟΑ ΚΜ ΟΑ -0 τοτε λ ΚΜ Μ( 1,-1) = 1 και Κ (δ) = KΜ με εξισωση y+1= 1(x-1) (δ): x-y-= 0 Δηλαδη το Κ ειναι σημειο των ευθειων (ε) και (δ), οποτε αν Κ(α,β) τοτε τα α, β επαληθευουν τις εξισωσεις των δυο ευθειων. Ετσι Κ (ε) x-3y-3= 0 (y+)-3y-3= 0 Κ (δ) x-y-= 0 x= y+ y+4-3y-3= 0 x= y+ y= 1 x= 3 Κ (3,1) ρ = ΚΟ =(3-0) +(1-0) = 9 +1= 10 Αρα η εξισωση του κυκλου ειναι: (x-3) +(y-1) = 10 Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017

99 ΕΥΡΕΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ (ΚΕΝΤΡΟ ΚΑΙ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΤΟΥ) Αντιμετωπιση : Αν Κ το κεντρο του και ε μια εφαπτομενη του Ισχυει d(κ,ε) = ρ και αφου Κ γνωστο ευκολα βρισκεται η εξισωση του κυκλου, δηλαδη ρ =, οπου ε:αχ+βy+γ και Κ(χ 0,y 0) ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 8 Να βρειτε την εξισωση του κυκλου, που εχει κεντρο το σημειο Κ (, - 1 ) και εφαπτεται της ευθειας ε : 3 x - 4 y + 5 = 0 Ειναι d(κ,ε) = ρ 3-4 (- 1)+5 = ρ 3 +(- 4) 6 +4+5 15 ρ= = = 3 5 5 Αρα η εξισωση του κυκλου ειναι : ( x ) +( y + 1 ) = 3 Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017

100 ΕΥΡΕΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ (ΔΥΟ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΕΣ ΚΑΙ ΣΗΜ ΕΙΟ ΕΠΑΦΗΣ) Αντιμετωπιση : Αν ε 1, ε δυο εφαπτομενες του και Α σημειο επαφης Ισχυει d(κ,ε 1) = d(κ,ε ) ( = ρ ), οποτε δημιουργω εξισωση με αγνωστους τις συντεταγμενες του κεντρου Κ Η ευθεια ΚΑ ειναι καθετη στην ε 1 (αν Α ε 1) η στην ε (αν Α ε 1) οποτε δημιουργω εξισωση με αγνωστους τις συντεταγμενες του κεντρου Κ Λυνω το συστημα των πιο πανω εξισωσεων ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 9 Να βρειτε την εξισωση του κυκλου, που εφαπτεται στις ευθει - ες ε 1 : x + y + 1 3 = 0 σημεια επαφης ειναι το σημειο Α ( 1, ) Ειναι 7 1-1 - 5 = 0, οποτε Α ε. Δηλαδη το κεντρο Κ βρισκεται στην ευθεια ΚΑ. Ακομη λ ΚΑ λ = - 1 ε λ 7=- 1 λ =- ΚΑ ΚΑ 7 Αρα η ευθεια ΚΑ εχει εξισωση : 1 y-=- (x-1) 7y-14=- x+1 7 x+7y-15= 0 Aν Κ(α,β) τοτε α + 7 β 1 5 = 0 (1) (αφου Κ d(κ,ε 1) = d(κ,ε ) 1 ε : 7 x - y - 5 = 0, οταν ενα απ τα ΚΑ) α+β+13 7α-β-5 = 1 +1 7 +(- 1) α+β+13 7α-β-5 = 5 5(α+β+13)= 7α- β- 5 η 5(α+β+13)=- 7α+β+5 Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017

101 α-6β-70= 0 α-3β-35= 0 () η η 1α+4β+60= 0 3α+β+15= 0 (3) Λυνουμε το συστημα των (1) και () α+7β= 15 10β=-0 β=- β=- α-3β= 35 α-3β= 35 α+6 = 35 α= 9 Κ (9,- ) 1 Λυνουμε το συστημα των (1) και (3) α + 7β= 15-3α- 1β=- 45-0β=- 60-0β=- 60 3α+β=-15 3α+β=- 15 3α+β=- 15 3α+β=- 15 β= 3 α=- 6 Κ (- 6,3) Επισης 7(-6)- 3-5 - 4-3- 5-50 50 ρ =d(κ,ε ) = = = = 7 +(-1) 50 50 50 50 50 = = 50 50 η αλλιως: ρ = Κ Α = (1+ 6) +(- 3) = 50 Εχουμε δυο εξισωσεις κυκλου Για Κ ( 9, - ) και ρ = 5 0 : Πρεπει Α c 1, δηλαδη να ισχυει ( 1 9 ) + (+ ) = ( 8) + 4 50 Αρα ο c 1 δεν ειναι ο ζητουμενος κυκλος Για Κ ( - 6, 3 ) και ρ = 5 0 : Πρεπει Α c, δηλαδη να ισχυει c :( 1+6 ) + (-3) = 7 + (-1) = 49 +1= 50 Συνεπως ο c ( x + 6 ) + (y- 3) = 50 c :( x 9 ) + (y+ ) = 50 1 c :( x+6 ) + (y-3) = 50 ειναι ο ζητουμενος κυκλος με εξισωση: Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017

10 ΕΥΡΕΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ (ΣΗΜΕΙΟ ΜΕ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ - ΠΑΡΑΜΕΤΡΟ) Αντιμετωπιση : Αν οι συντεταγμενες x, y του σημειου Μ συνδεονται με παραμετρο λ (η τριγωνομετρικους αριθμους ) τοτε απα - λειφουμε την παραμετρο μεταξυ των συντεταγμενων (τους τρ.αριθμους χρησιμοποιωντας καποια σχεση) και καταληγουμε σε εξισωση που ειναι συναρτηση των x, y ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 10 Εστω σημειο Α(3-ημφ, 1+συνφ), με 0 φ< π. Να αποδειχτει οτι το σημειο Α κινειται σε κυκλο, του οποιου να βρειτε την εξισωση, το κεντρο και την ακτινα του. Ειναι x y Α Α = 3-ημφ = 1+συνφ ημφ= 3-x Α Α συνφ= y -1 ημ φ + συν φ = 1 (3-x ) +(y -1) = 1 Α Α (x -3) +(y -1) = 1 Α Α Δηλαδη το σημειο Α κινειται στον κυκλο με εξισωση: c:(x-3) +(y-1) = 1 που εχει κεντρο το σημειο: Κ(3,1) ακτινα : ρ= 1 Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017

103 ΕΥΡΕΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ (ΣΧΕΣΗ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ Τ ΜΗΜΑΤΩΝ) Αντιμετωπιση : Με χρηση του μετρου τμηματων για τη δοσμενη σχεση κα - ταληγουμε σε εξισωση των συντεταγμενων x, y του Μ, που αποτελει τον γεωμετρικο τοπο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 11 Εστω τριγωνο με κορυφες A(3,5), B(,- 4) και Γ(- 5,- 1). Να αποδειξετε οτι ο γεωμετρικος τοπος των σημειων Μ για τα οποια ισχυει ΜΑ +ΜΒ +ΜΓ =107 ειναι κυκλος με κεντρο το κεντρο βαρους του τριγωνου ΑΒΓ Ενα σημειο M(x, y) ειναι σημειο του τοπου, αν και μονο αν ισχυει MA +MB +MΓ =107 (x- 3) +(y- 5) +(x- ) +(y+ 4) + +(x+ 5) +(y+ 1) = 107 3x +3y =7 x +y =3 Αρα, ο γεωμετρικος τοπος των σημειων Μ ειναι ο κυκλος με κεν - τρο το σημειο Ο(0, 0) και ακτινα ρ = 3. Το κεντρο του κυκλου αυτου ειναι το κεντρο βαρους του τρι - γωνου ΑΒΓ, αφου 3+-5 =0 3 και 5-4-1 =0. 3 Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017

104 ΕΞΙΣΩΣΗ ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ Ο ρ ι σ μ ο ς Eιναι ο γεωμετρικος τοπος των σημειων του επιπεδου που ισαπεχουν απο ενα σταθερο σημειο Ε ( ε σ τ ι α ) και μια σταθερη ευθεια δ ( δ ι ε υ θ ε τ ο υ σ α ). Ετσι, ενα σημειο Μ ειναι σημειο της παραβολης με εστια Ε και διευθετουσα δ, α ν: d(μ,δ)= ΜΕ Το μεσο Ο της αποστασης του Ε απ'τη δ (ανηκει στη παραβολη) λεγεται κ ο ρ υ φ η της παραβολης. Η ευθεια που διερχεται απ'τα σημεια Ο, Ε λεγεται α ξ ο ν α ς της παραβολης. Ε ξ ι σ ω σ η Π α ρ α β ο λ η ς Σε συστημα συντεταγμενων Οxy με αρχη Ο (κορυφη της παραβολης) και αξονα x'x τον αξονα της παραβολης θετουμε: p p την τετμημενη της εστιας Ε και x=- τ ην εξισωση της δι- ευθετουσας δ. p Η εξισωση της παραβολης με εστια Ε(,0) και διευθετουσα p δ: x=- ειναι: y = p x H παραβολη εχει αξονα συμμετριας τον x'x και, βρισκεται δεξια του y'y αν p> 0 και αριστερα αν p< 0. Σε συστημα συντεταγμενων Οxy με αρχη Ο (κορυφη της παραβολης) και αξονα y'y τον αξονα της παραβολης θετουμε: p p την τετμημενη της εστιας Ε και y=- τ ην εξισωση της δι- ευθετουσας δ. p Η εξισωση της παραβολης με εστια Ε(0, ) και διευθετουσα p δ: y=- ειναι: x = p y H παραβολη εχει αξονα συμμετριας τον x'x και, βρισκεται πανω του χ'χ αν p> 0 και κατω αν p< 0. Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017

105 Σ Τ Η Π Ρ Α Ξ Η... ΕΥΡΕΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ (ΕΣΤΙΑ ΚΑΙ ΔΙΕΥΘΕΤΟΥΣΑ) Αντιμετωπιση : Προσδιοριζουμε τη θεση της παραβολης ως προς τους αξονες : Εστια μορφης Ε(α, 0) η (δ): x = β, αξονας x x και τυπος παραβολης y = px. Εστια μορφης Ε(0, α) η (δ): y = β, αξονας y y και τυπος παραβολης x = py. Προσδιοριζουμε τ o p : Εστια μορφης Ε(α, 0) η (δ): x=β, τοτε p=α η p=-β αντιστοιχα. Εστια μορφης Ε(0, α) η (δ): y=β, τοτε p=α η p=-β αντιστοιχα ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 Να βρεθει η εξισωση της παραβολης με: εστια το σημειο Ε(4,0) διευθετουσα την ευθεια (δ): y=- Το σημειο Ε βρισκεται πανω στον αξονα x'x οποτε η εξισωση της πα ραβολης ειναι της μορφης: y = px. Αφου Ε(4,0) τοτε p = 4 p= 8 y = 16x Αφου (δ): y=- τοτε η εστια Ε βρισκεται πανω στον αξονα y'y και η εξισωση της παραβολης ειναι της μορφης: x = py. p Ακομη: - =- p= 4 x = 8y Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017

106 ΕΥΡΕΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ (ΕΣΤΙΑ (ΕΚΤΟΣ ΤΩΝ ΑΞΟΝΩΝ ) ή ΤΗΝ ΚΟΡΥΦΗ ΚΑΙ ΤΗΝ ΔΙΕΥΘΕΤΟΥΣΑ) Αντιμετωπιση : Προσδιοριζουμε τη θεση της παραβολης ως προς τους αξονες : Διευθετουσα (δ): x = β, αξονας x x, τυπος παραβολης (y - y 0) = p(x - x 0) Διευθετουσα (δ): y = β, αξονας y y, τυπος παραβολης (x - x 0) = p(y - y 0) Προσδιοριζουμε τ o p, x 0, y 0 : Εστια μορφης Ε(α, β), τοτε. Διευθετουσα μορφης (δ): x = κ η y = λ, τοτε αντιστοιχα. Κορυφη μορφης Κ(μ, ν), τοτε x 0 = μ και y 0 = ν ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να βρεθει η εξισωση της παραβολης με: εστια το σημειο Ε(4,0) και διευθετουσα (δ): x= 3 κορυφη το σημειο Κ(- 1,) και διευθετουσα (δ): x=- 3 Η εξισωση ειναι της μορφης: (y-y ) = p(x-x ) αφου (δ) y'y Ειναι Ε(- 1,) (δ): x= 3 x = 1 0 y = 0 p=- 4 0 0 p x + =- 1 0 y = 0 p - +x = 3 0 (y-) =- 8(x-1) Α λ λ ι ω ς Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017

107 Για τυχαιο σημειο Μ(x,y) της παραβολης ειναι: d(m,ε)= d(m,δ) (x+ 1) +(y- ) = x- 3 (y- ) =(x- 3) -(x+ 1) (y-) =(x-3-x-1)(x-3+x+1) (y- ) =- 4(x- ) (y- ) =- 8(x- 1) Η εξισωση ειναι της μορφης: (y-) αφου η κορυφη ειναι Κ (- 1,) Ομως p (δ): x=- 3 - +x =- 3 0 p - -1=- 3 p= 4 (y-) = 8(x+1) = p(x+1) Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017

108 ΕΥΡΕΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ (ΧΟΡΔΗΣ ) Αντιμετωπιση : Αν ειναι γνωστη η εξισωση της παραβολης και σημειο Ρ α - πο το οποιο διερχονται δυο εφαπτομενες Αν το γνωστο σημειο ειναι Ρ(x 0,y 0) τοτε οι συντεταγμενες του επαληθευουν την εξισωση της εφαπτομενης στα σημεια επαφης και πρoκυπτει εξισωση της μορφης y 0 y = p ( x + x 0 ) ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3 Εστω η παραβολη y =4x και το σημειο Ρ(1,3). Αν οι εφαπτομενες απ το Ρ στην παραβολη, εφαπτονται στα σημεια Α και Β, μα βρειτε την εξισωση της ευθειας που διερ - χεται απ τα σημεια Α και Β. Αν A ( x 1, y 1 ) και Β ( x, y ) τα σημεια επαφης. Οι εφαπτομενες ΡΑ, ΡΒ εχουν ε - ξισωσεις αντιστοιχα: y 1 y = ( x + x 1 ) και y y = ( x + x ) To σημειο Ρ(1, 3) ειναι σημειο των ΡΑ και ΡΒ, οποτε y 1 3 = ( 1 + x 1 ) και y 3 = ( 1 + x ) Απ τις πιο πανω εξισωσεις προκυ - πτει οτι οι συντεταγμενες των ση - μειων Α και Β επαλη-θευουν την εξισωση : 3 y = ( 1 + x ). Αρα, η ζητουμενη ευθεια ειναι : 3 y = ( 1 + x ) η x-3y+= 0 Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017

109 ΕΥΡΕΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ (ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΣ ΤΟΠΟΣ ) Αντιμετωπιση : Για να βρουμε τον γεωμετρικο τοπο του σημειου Μ(x 0, y 0) Απο συνδυασμο των δοσμενων σχεσεων καταληγουμε σε εξισωση των συντεταγμενων x 0, y 0 του Μ, που αποτελει τον γεωμετρικο τοπο Αν οι συντεταγμενες x 0, y 0 του σημειου Μ συνδεονται με παραμετρο λ, τοτε απαλειφουμε την παραμετρο μεταξυ των συντεταγμενων και καταληγουμε σε εξισωση που ει - ναι συναρτηση των x 0, y 0 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4 Εστω ενα σημειο Α της παραβολης y = 4x. Να βρεθει ο γεωμετρικος τοπος των κεντρων των κυκλων διαμετρου ΑΕ (Ε η εστια της παραβολης). Εστω Α(x, y ). Eιναι 0 0 y = 4x y = x, oποτε p p= Ε,0 η Ε(1,0) p (ΑΕ)= x + = x +1 0 0 To κεντρο του κυκλου διαμετρου ΑΕ ειναι το μεσο της ΑΕ, δηλαδη x +1 y 0 0 Κ, x +1 0 ρ= = και η ακτινα x +1 0 x= x = x-1 0 K(x,y) τοτε (1) y y = y 0 0 y= Οι συντεταγμενες του σημειου Α, x, y επαληθευουν την εξισωση της παραβολης. Ετσι 0 0 (1) 0 0 y = 4x (y) = 4 (x-1) 4 y = 4 (x-1) 1 y = x- Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017

110 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 5 Να βρεθει ο γεωμετρικος τοπος των κορυφων των παραβολων με εξισωση: y= x +(λ+3)x+λ-1, λ Η δοσμενη εξισωση γινεται y= x +(λ+3)x+ λ-1 λ+3 y= x + x λ+3 λ+3 + - + + λ-1 λ+3 λ +6λ+9 4λ 4 y= x+ - + - 4 4 4 λ+3 λ +6λ+9-4λ+4 y= x+ - 4 λ+3 λ y= x+ - +λ+13 4 λ +λ+13 λ+3 y+ = x+ 4 λ+3 λ +λ+13 Δηλαδη, οι κορυφες των παραβολων ειναι της μορφης Κ -,- 4 Για τυχαια κορυφη Κ(x, y) της παραβολης ισχυει: λ+3 x=- λ=- x- 3 λ +λ+13 y=y=- 4 4-4y=(- x- 3) λ +λ+13 +(- x-3)+13-4y= 4x +1x+9-4x-6 +13-4y= 4x +8x+16 y=- x -x-4 y+3=- x -x-1 y+3=- (x+1) H πιο πανω παραβολη ειναι ο ζητουμενος γεωμετρικος τοπος. Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017

111 ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΛΛΕΙΨΗΣ Ο ρ ι σ μ ο ς Eιναι ο γεωμετρικος τοπος των σημειων του επιπεδου που οι αποστασεις τους απο δυο σταθερα σημεια Ε', Ε (εστιες) εχουν σταθερο αθροισμα, που συμβολιζεται α. Ε'Ε: Ειναι η εστιακη αποσταση και συμβολιζεται γ. Ετσι, ενα σημειο Μ ειναι σημειο της ελλειψης με εστιες Ε', Ε και σταθερο αθροισμα α, αν:(με') +(ΜΕ)= α. Ειναι γ< α (αφου γ< α τριγωνομετρικη ανισοτητα) Η ευθεια που διερχεται απ'τα σημεια Ε', Ε λεγεται α ξ ο ν α ς της ελλειψης. Ε ξ ι σ ω σ η Ε λ λ ε ι ψ η ς Θετουμε β= α - γ Σε συστημα συντεταγμενων Οxy με αξονα x'x να διερχεται απ'τα Ε', Ε και αξονα y'y τη μεσοκαθετη του Ε'Ε η εξισωση της ελλειψης με εστιες Ε'(- γ,0), Ε(γ,0) και σταθερο αθροισμα α ειναι: y x + = 1 α β Σε συστημα συντεταγμενων Οxy με αξονα y'y να διερχεται απ'τα Ε', Ε και αξονα x'x τη μεσοκαθετη του Ε'Ε η εξισωση της ελλειψης με εστιες Ε'(0,- γ), Ε(0,γ) και σταθερο αθροισμα α ειναι: y x + = 1 β α H ελλειψη εχει αξονες συμμετριας τους x'x και y'y. H ελλειψη εχει κεντρο συμμετριας το σημειο Ο(0,0). Το τμημα Α'Α λεγεται μεγαλος αξονας με μηκος α. Το τμημα Β'Β λ εγεται μικρος αξονας με μηκος β. Το Ο λεγεται κεντρο της ελλειψης ενω τα Α, Α', Β, Β' κορυφες της ελειψης. Οι εστιες Ε', Ε βρισκονται παντα στο μεγαλο αξονα Α'Α. Εκκεντροτητα της ελλειψης ειναι ο λογος ε= α γ β ισχυει: ε< 1 (αφου γ< α) = 1-ε α Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017

11 Σ Τ Η Π Ρ Α Ξ Η... ΕΥΡΕΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ (ΕΣΤΙΕΣ ΠΑΝΩ ΣΤΟΥΣ ΑΞΟΝΕΣ - ΜΕΓΑΛΟΣ ΑΞΟΝΑΣ - ΕΚΚΕΝΤΡΟΤΗΤΑ) Αντιμετωπιση : Προσδιοριζουμε τα α και β απο : Ε Ε = γ, Α Α = α, ε = και β = α γ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 Να βρειτε την εξισωση της ελλειψης, αν εχει εστιες τα σημεια Ε'(0,-3), Ε(0,3) και μεγαλο αξονα 8 3 γ= 4 x y Η εξισωση εχει μορφη: + = 1 β α (οι εστιες πανω στον αξονα y'y). Ετσι α= 8 α= 4 γ= 6 γ= 3 β = α -γ β = 16-9 α = 16 y β = 7 x (c ): + = 1 1 7 16 x y Η εξισωση εχει μορφη: + = 1 (οι εστιες πανω στον x'x). α β γ= 6 γ= 3 γ= 3 γ 3 3 ε= = α= 4 α 4 α β = α -γ β = 16-9 β = 7 α = 16 y β = 7 x (c ): + = 1 16 7 Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017

113 ΕΥΡΕΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ (ΕΣΤΙΕΣ ΠΑΝΩ ΣΤΟΥΣ ΑΞΟΝΕΣ - ΓΝΩΣΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ) Αντιμετωπιση : Οι συντεταγμενες των γνωστων σημειων επαληθευουν την εξισωση της ελλειψης Απ τη λυση του συστηματος που προκυπτει, προσδιοριζουμε τα α και β ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να βρειτε την εξισωση της ελλειψης, αν διερχεται απ'τα σημεια 7 Α(4, 0), Β(3, ) και εχει εστιες πανω στον αξονα x'x. 4 Η εξισωση εχει μορφη: y x + = 1 α β (οι εστιες πανω στον αξονα x'x). Οι συντεταγμενες των σημειων Α και Β, επαληθευουν την πιο πανω εξισωση. Ετσι x y : + = 1 α β x y : + = 1 α β 16 0 + = 1 α β 7 3 4 α + = 1 β α = 16 α = 16 9 49 49 7 + = 1 = 16 16β 16β 16 α = 16 β = 7 (c) x y : + = 1 16 7 Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017

114 ΕΥΡΕΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ (ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΣ ΤΟΠΟΣ ) Αντιμετωπιση : Για να βρουμε τον γεωμετρικο τοπο του σημειου Μ(x 0, y 0) Απο συνδυασμο των δοσμενων σχεσεων καταληγουμε σε εξισωση των συντεταγμενων x 0, y 0 του Μ, που αποτελει τον γεωμετρικο τοπο Αν οι συντεταγμενες x 0, y 0 του σημειου Μ συνδεονται με παραμετρο λ, τοτε απαλειφουμε την παραμετρο μεταξυ των συντεταγμενων και καταληγουμε σε εξισωση που ει - ναι συναρτηση των x 0, y 0 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3 Εστω η ελλειψη 3x +y = 3 και η ευθεια ε: y= x+3. Να βρεθει ο γεωμετρικος τοπος των μεσων των χορδων της ελλειψης που ειναι παραλληλες στην ευθεια ε. Αν Μ(x, y ) τυχαιο σημειο του γ.τ. 0 0 τοτε ειναι μεσο της χορδης ΑΒ. Aν Α(x, y ) και B(x, y ) τοτε: 1 1 x +x y +y 1 1 x = και y = (1) 0 0 y -y 1 ΑΒ ε = = () ε x -x 1 Οι συντεταγμενες των Α, Β επαληθευουν την εξισωση της ελλειψης: x y 1 1 + = 1 1 3 x y + = 1 1 3 (- ) x x y y 1 1 - + - = 0 1 1 3 3 1 (x +x )(x -x )+ (y +y )(y -y )= 0 1 1 1 1 3 1 y -y (x +x )+ (y +y ) 1 1 3 x -x 1 1 (1) 1 = 0 x + y = 0 0 0 () 3 1 x + y = 0 3 x + y = 0 0 0 0 0 3 ο ζητουμενος γεωμετρικος τοπος: 3x + y= 0 Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017

115 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4 Δινονται οι εξισωσεις (ε ): y= λ(x+1) κα ι (ε ): λy= (1-x), λ 0 1 Να δειχτει οτι: οι πιο πανω εξισωσεις παριστανουν ευθειες, που τεμνονται για καθε λ * το σημειο τομης τους κινειται σε μια ελλειψη. Στις εξισωσεις (ε ) και (ε ), οταν 1 ο ενας αγνωστος μηδενιζεται ο αλλος ειναι διαφορετικος του μη δενος (δεν μηδενιζουν ταυτοχρονα οι δυο αγνωστοι) για καθε λ 0. Ετσι οι (ε ) κα ι (ε ), παριστανουν ευθειες. Ομως 1 λx- y=-λ λ -1 x+λy= και D = = λ + 0 λ που σημαινει οτι το συστημα εχει λυση, οποτε οι δυο ευθειες τεμνονται. Ειναι λx- y=-λ y= λx+ λ x+λy= λy= -x () λy =- 4λ(x+ 1)(x- 1) λy =- 4λx +4λ y +4x = 4 y x + = 1 4 Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017

116 ΕΞΙΣΩΣΗ ΥΠΕΡΒΟΛΗΣ Ο ρ ι σ μ ο ς Eιναι ο γεωμετρικος τοπος των σημειων του επιπεδου που οι αποστασεις τους απο δυο σταθερα σημεια Ε', Ε (ε σ τ ι ε ς) εχουν απολυτως σ τ α θ ε ρ η διαφορα, που συμβολιζεται α. Ε'Ε: Ειναι η ε σ τ ι α κ η α π ο σ τ α σ η και συμβολιζεται γ. Ετσι, ενα σημειο Μ ειναι σημειο της υπερβολης με εστιες Ε', Ε και σταθερη διαφορα α, αν: (ΜΕ')-(ΜΕ) = α. Ειναι α< γ (αφου α< γ τριγωνικη ανισοτητα) Η ευθεια που διερχεται απ'τα σημεια Ε', Ε λεγεται κ υ ρ ι ο ς α ξ ο ν α ς υπερβολης. Ε ξ ι σ ω σ η Ε λ λ ε ι ψ η ς Θετουμε β= γ - α Σε συστημα συντεταγμενων Οxy με αξονα x'x να διερχεται απ'τα Ε', Ε και αξονα y'y τη μεσοκαθετη του Ε'Ε η εξισωση της υπερβολης με εστιες Ε'(- γ,0), Ε(γ,0) και σταθερη διαφορα α ειναι: y x - = 1 α β Σε συστημα συντεταγμενων Οxy με αξονα y'y να διερχεται απ'τα Ε', Ε και αξονα x'x τη μεσοκαθετη του Ε'Ε η εξισωση της υπερβολης με εστιες Ε'(0,- γ), Ε(0,γ) και σταθερη διαφορα α ειναι: y α x - = 1 β H υπερβολη εχει αξονες συμμετριας τους x'x και y'y. H υπερβολη εχει κεντρο συμμετριας το σημειο Ο(0,0). Αν α= β η c: x -y = α (c: y -x = α ), ισοσκελης. Η υπερβολη αποτελειται απο δυο χωριστους κλαδους. Το Ο λεγεται κεντρο ενω τα Α, Α' κορυφες της υπερβολης. Οι εστιες Ε', Ε βρισκονται παντα στην ευθεια Α'Α. γ Εκκεντροτητα της ελλειψης ειναι ο λογος ε= α ισχυει: ε> 1 (αφου γ> α) = ε -1 β α Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017

117 Σ Τ Η Π Ρ Α Ξ Η... ΕΥΡΕΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ (ΕΣΤΙΕΣ ΠΑΝΩ ΣΤΟΥΣ ΑΞΟΝΕΣ - ΚΟΡΥΦΕΣ - ΕΚΚΕΝΤΡΟΤΗΤΑ) Αντιμετωπιση : Προσδιοριζουμε τα α και β απο : Ε Ε = γ, Α Α = α, ε = και β = γ α ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 Να βρειτε την εξισωση της υπερβολης, αν εχει εστιες τα σημεια Ε'(0,-4), Ε(0,4) και κορυφες τα σημεια Α'(0, - ), Α(0, ) 3 γ= x y Η εξισωση εχει μορφη: - = 1 α β (οι εστιες πανω στον αξονα y'y). Ετσι α= 4 α= γ= 8 γ= 4 β = γ -α β = 16-4 α = 4 y β = 1 x (c ): - = 1 1 4 1 x y Η εξισωση εχει μορφη: - = 1 (οι εστιες πανω στον x'x). α β γ= 8 γ= 4 γ= 4 γ 4 4 ε= = α= 3 α 3 α β = γ -α β = γ -α β = 16-9 α = 9 y β = 7 x (c ): - = 1 9 7 Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017

118 ΕΥΡΕΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ (ΕΣΤΙΕΣ ΠΑΝΩ ΣΤΟΥΣ ΑΞΟΝΕΣ - ΓΝΩΣΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ) Αντιμετωπιση : Οι συντεταγμενες των γνωστων σημειων επαληθευουν την εξισωση της ελλειψης Απ τη λυση του συστηματος που προκυπτει, προσδιορι - ζουμε τα α και β Να βρειτε την εξισωση της υπερβολης, αν διερχεται απ'τα σημεια 5 Α(, 0), Β(3, ) και εχει εστιες πανω στον αξονα x'x. Η εξισωση εχει μορφη: y x - = 1 α ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ β (οι εστιες πανω στον αξονα x'x). Οι συντεταγμενες των σημειων Α και Β, επαληθευουν την πιο πανω εξισωση. Ετσι x y : - = 1 α β x y : - = 1 α β 4 0 - = 1 α β 5 3 - = 1 α β α = 4 α = 4 9 5 5 5 - = 1 = 4 4β 4β 4 α = 4 x (c): -y = β = 1 4 1 Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017

119 ΕΥΡΕΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ (ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΣ ΤΟΠΟΣ ) Αντιμετωπιση : Για να βρουμε τον γεωμετρικο τοπο του σημειου Μ(x 0, y 0) Απο συνδυασμο των δοσμενων σχεσεων καταληγουμε σε εξισωση των συντεταγμενων x 0, y 0 του Μ, που αποτελει τον γεωμετρικο τοπο Αν οι συντεταγμενες x 0, y 0 του σημειου Μ συνδεονται με παραμετρο λ, τοτε απαλειφουμε την παραμετρο μεταξυ των συντεταγμενων και καταληγουμε σε εξισωση πο υ ειναι συναρτηση των x 0, y 0 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3 Να βρεθει ο γεωμετρικος τοπος των σημειων Μ του επιπεδου, που η αποσταση τους απ'το σημειο Ε(4,0) ισουται με την διπλασια αποσταση τους απο την ευθεια (ε): x= 1. Αν Μ(x, y) τυχαιο σημειο του γεωμετρικου τοπου, τοτε: (ΜΕ)= d(m,ε) (x-4) +(y-0) = x-1 (x-4) +y = 4(x-1) x - 8x 3x -y = 1 y x - = 1 4 1 +16 +y = 4x - 8x +4 Αρα, ο ζητουμενος γεωμετρικος τοπος ειναι υπερβολη. Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017

10 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4 Δινονται οι εξισωσεις (ε ): y= 3(x-λ) κα ι (ε ): λy= 3(-λx), λ 0 1 Να δειχτει οτι: οι πιο πανω εξισωσεις παριστανουν ευθειες, που τεμνονται για καθε λ * το σημειο τομης τους κινειται σε μια υπερβολη. Στις εξισωσεις (ε ) και (ε ), οταν 1 ο ενας αγνωστος μηδενιζεται ο αλλος ειναι διαφορετικος του μη δενος (δεν μηδενιζουν ταυτοχρονα οι δυο αγνωστοι) για καθε λ 0. Ετσι οι (ε ) κα ι (ε ), παριστανουν ευθειες. Ομως 1 3x- y= 6λ 3 - και D = = 6λ+6λ= 1λ 0 3λx+λy= 6 3λ λ που σημαινει οτι το συστημα εχει λυση, οποτε οι δυο ευθειες τεμνονται. Ειναι 3x-y λ= 3x-y= 6λ 6 3x-y 6 ` = 3λx+λy= 6 6 6 3x+ y λ= 3x+y (3x-y)(3x+y)= 36 9x -4y = 36 y x - = 1 4 9 Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017

11 ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΚΑΜΠΥΛΗΣ (ΓΕΝΙΚΑ) Δ ο σ μ ε ν α O τυπος της συναρτησης και η θεση χ 0 η το σημειο επαφης O τυπος της συναρτησης και ο συντελεστης διευθυνσης λ της εφαπτομ ενης O τυπος της συναρτησης και το σημειο Α απο το οποιο διερχεται η γραφικη παρασταση της f (οχι σημειο επαφης) O τυπος της συναρτησης (η σχεση) και εξισωση ευθειας (αποδειξη οτι η ευθεια ειναι εφαπτομενη της C f) Α ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η Bασικη προυποθεση να ειναι γνωστη η τετμημενη χ 0, του σημειου επαφης. Στη συνεχεια, βρισκουμε τα f(χ 0), f'(χ 0) και η ζητουμενη εξισωση ειναι y- f(χ 0) = f'(χ 0) (x- χ 0) Στη πρωτη περιπτωση βρισκουμε f(χ 0), f'(x) f'(χ 0) και ευκολα η εξισωση... Στη δευτερη περιπτωση (ομοια αν δινοταν οτι η εφαπτομενη ειναι παραλληλη η καθετη σε ευθεια (δ) καθ ως και αν ειναι γνωστη η εφθ) απο την εξισωση λ= f'(χ 0) βρισκουμε το χ 0 και... Στη τριτη περιπτωση Οι συντεταγμ ενες του γνωστου σημειου επαληθευουν την εξισωση της εφαπτομ ενης y-f(χ 0)=f (χ 0) (x-χ 0) απ την οποια βρισκουμε το χ 0 Στη τεταρτη περιπτωση λυνουμε το συστημα των γνωστ ων εξισωσεων με α- γνωστους τα χ 0 και f(χ 0) και συνεχιζουμε κατα τα... επαληθευση για τις τιμ ες των χ 0 και f(χ 0) που βρηκαμε Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017

1 Σ Τ Η Π Ρ Α Ξ Η... Βρειτε την εξισωση της εφαπτομ ενης του γραφηματος της συναρτησης α) f(x)=x-xlnx στο χ 0 = e β) g(x)=x+ln(x-3) 3, αν ο συντελεστης διευθυνσης της ειναι λ=3 γ) h(x)=x +, αν αυτη διερχεται απο το σημειο Μ(1, 3) δ) q(χ)= α) ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 χ -3, x< 1 -, x 1 x f'(x)=(x-xlnx)' = 1-lnx-1=- lnx και f(e)= e-e lne= 0, δηλαδη x 0 = e f(x )= f(e)= 0 0 y-0=- 1(x-e) f'(x )=- lne=- 1 0 και η ζητουμενη εξισωση ειναι ε: y=- x+e β) g'(x)=[x+ln(x-3) ]' = 1+[ln(x-3) ]' 1 = 1+ [(x-3) ]' (x-3) (x- 3) = 1+ (x-3)' (x-3) x-1 = 1+ 1= x-3 x-3 x -1 0 λ= g'(x )= 3 = 3 0 x -3 x -1= 3x -9 x = 4 0 0 0 0 Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017

13 g(x ) = g(4)= 4+ln(4-3) = 4+ln1= 4 0 Αρα η ζητουμενη εξισωση ειναι: y-4=3(x-4) y-4=3x-1 ε: y=3x-8 γ) A = h h'(x)= x (1) Επειδη η εφαπτομενη διερ- χεται απ'το σημειο Μ(1,3) τοτε η εξισωση της γινεται: y- h(x )= h'(x )(x- x ) 0 0 0 3-x -= x (1-x ) 0 0 0 3-x -= x -x 0 0 0 x -x +1= 0 0 0 (x -1) = 0 x = 1 0 0 Ετσι x = 1 0 h(x )= 1 += 3 0 0 (1) h'(x )= f'(1)= 1= τοτε: y-3=(x-1) ε: y=x+1 δ) q(1)= - 1 lim q(x)-q(1) χ -3+ = lim x-1 x-1 x 1 x 1 χ -1 = lim x 1 x-1 = lim(χ+1) x 1 - + q(x)-q(1) lim = lim χ x-1 x-1 x 1 x 1 (χ-1) = lim x 1 x(x-1) = lim = x 1 x Η συναρτηση q ειναι παραγωγισιμη στη θ εση χ=1 με q'(1)= Ετσι η εξισωση της εφαπτομ ενης: y-(-)=(x-1)`y=x-4 Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017

14 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Δινεται η συναρτηση f με τυπο f(x)=x -4x+3 Nα βρειτε την εξισωση της εφαπτομ ενης της C f η οποια α) ειναι παραλληλη στη ευθεια δ: y=-x+3 β) ειναι καθετη στην ευθεια ζ: γ) ειναι παραλληλη με τον αξονα χ'χ δ) σχηματιζει με τον αξονα χ'χ γωνια 135 0 A f= και για καθε χ, f'(x)=χ-4 α) Εστω Α(χ 1, f(x 1)) το σημειο επαφης και ε 1 η εφαπτομενη σ'αυτο Ισχυει ε 1 δ οποτε: f'(x 1)=-`x 1-4=- ` x 1=1 f(1)=1-4 1+3=0 f'(1)= 1-4=- συνεπως ε 1: y-0=-(x-1)` ε 1: y=-x+ β) Εστω B(χ, f(x )) το σημειο επαφης, και ε η εφαπτομενη σ'αυτο Ισχυει ε 1 f'(x ) 1 ζ οποτε: 4 =-1`(x-4) 1 4 =-1 ` x -4=4 ` x =4 f(4)=4-4 4+3=3 f'(4)= 4-4=4 συνεπως, ε : y-3=4(x-4)` ε : y=4x-13 Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017

15 γ) Εστω Α(χ 3, f(x 3)) το σημειο επαφης και ε 3 η εφαπτομενη σ'αυτο Ισχυει ε 3 χ'χ οποτε: f'(x 3)=0`x 3-4=0 ` x 3= f()= -4 +3=-1 f'()= -4=0 συνεπως, ε 3: y-(-1)=0(x-)` ε 3: y=-1 δ) Εστω Δ(χ 4, f(x 4)) το σημειο επαφης και ε 4 η εφαπτομενη σ'αυτο Ισχυει f'(x 4)=εφ135 0`x 4-4 =-1 ` x 4= 3 f f' 3 = 3 3-4 3 = 3-4=-1 συνεπως, ε 4: y- ε 4: y=-χ 3 4 =-(x- 3-4 3 +3=- )` 3 4 Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017

16 ΚΟΙΝΗ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ Δ ο σ μ ε ν α O τυπος των συναρτ ησεων f και g και ζητουμε κοινη εφαπτομενη σε κοινο σημειο Μ(χ 0, y 0) των γραφικων παραστασεων τους O τυπος των συναρτ ησεων f και g και ζητουμε κοινη εφαπτομενη σε σημειa Κ(χ 1, y ) της C f και Λ(χ, y ) της C g Α ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η Στη πρωτη περιπτωση βρισκουμε f(χ 0), f'(x) f'(χ 0), g(χ 0), g'(x) g'(χ 0) για να εχουμε κοινη εφαπτομενη πρεπει να ισχυει f'(χ ) g'(χ ) 0 0 f(χ ) g(χ ) 0 0 βρισκουμε το χ 0, απο τη μια απο τις παραπανω εξισωσεις και επαληθευουμε τη δευτερη για τη τιμ η αυτη με γνωστο το χ 0, συνεχιζουμε κατα τα γνωστα για ευρεση παραμετρου, λυνουμε το παραπανω συστημα Στη δευτερη περιπτωση βρισκουμε f(χ 1), f'(x) f'(χ 1), g(χ ), g'(x) g'(χ ) αν ε 1, ε οι εφαπτομ ενες στο Κ και Λ αντιστοιχα, για να βρουμε τη κοινη εφαπτομενη λυνουμε το συστημα (με αγνωστους χ 1, χ ) f'(χ ) g'(χ ) f'(χ ) g'(χ ) 1 1... ταυτιζεται με ε f(χ ) χ f'(χ ) g(χ ) χ g'(χ ) 1 1 1 1 αντικαθιστουμε το χ 1 στην ε 1: y- f(χ 1)= f'(χ 1) (x- χ 1) η το χ στην ε : y- f(χ )= f'(χ ) (x- χ ) Π α ρ α τ η ρ η σ η Στη πρωτη περιπτωση, αν δεν ειναι εφικτο να λυσουμε μ ια απο τις δυο εξισωσεις, αλλα μπορουμε να προσδιορισουμε προφανη λυση στη μια, επαληθευουμε τη λυση αυτη στη δευτερη εξισωση. Στη δευτερη περιπτωση, αν ειναι γνωστο ενα απο τα σημεια Κ η Λ, βρισκουμε την εφαπτομενη στο σημειο αυτο και δειχνουμε οτι αυτη ειναι εφαπτομενη και στην αλλη καμπυλη. Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017

17 Σ Τ Η Π Ρ Α Ξ Η... ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 Δινονται οι συναρτησεις h(x)=e x και π p(x)= e ημ -1+x. 4 Nα βρειτε τη κοινη εφαπτομενη των καμπυλ ων (αν υπαρχει) σε καποιο κοινο σημειο τους. Ειναι x h'(x)=e και π p' (x)= e συν -1+x, 4 οποτε για χ=1 (προφανης λυση) h(1)= e π p(1)= e ημ -1+1 4 h(1)= e p(1)= e ημ 4 π ` h(1)= e p(1)= e h(1)= p(1)= e (1) h'(1)= e 1 h'(1)= e h'(1)= e π π p'(1)= e συν - 1+ 1 p'(1)= e συν p'(1)= e 4 4 h'(1)= p'(1)= e () Απο τις (1) και () προκ υπτει οτι στη θεση χ=1, υπαρχει κοινη εφαπτομενη με εξισωση: y-h(1)=h'(1)(x-1) y-e=e(x-1) y=ex Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017

18 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Δινονται οι συναρτησεις f(x)=x -x-1 και g(x)=x -5x+7. Nα βρειτε τη κοινη εφαπτομενη των καμπυλ ων. f'(x)=x-1 και g'(x)=x-5 Aν Α(x, f(x )) και 1 1 Β(x, g(x )) τα σημεια επαφης εφα- πτομενης των C f και C g Ισχυει f'(x )= g'(x ) 1 x -1= x -5 1 x -x =- (1) 1 Ακομη f(x )-x f'(x )= g(x )-x g'(x ) 1 1 1 x -x -1-x (x -1)= x -5x +7-x (x -5) x 1 1 1 1 - x 1 1-1-x + x 1 1 = x - 5x -x -1=- x +7 x -x =- 8 1 1 (1) +7-x + 5x (x -x )(x +x )=- 8 -(x +x )=- 8 x +x = 4 () 1 1 1 1 Απο (1)+(): x = 1 x = 1 1 απο () : +x = 4 x = 3 Ετσι x = 1 1 f(x )= f(1)= 1-1-1=- 1 ε : y+1= 1 (x-1) ε : y= x- 1 1 1 f'(x )= f'(1)= 1-1= 1 1 x = 3 g(x )= g(3)= 3-5 3+7= 1 ε : y-1= 1 (x-3) ε : y= x- g'(x )= g'(3)= 3-5= 1 Τελικα, η εξισωση της κοινης εφαπτομενης ειναι: ε: y= x- Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017