προσεγγισεις εκθετικη λογαριθμικη συναρτηση

Transcript

1 ` προσεγγισεις προσεγγισεις προσεγγισεις προσεγγισεις προσεγγισεις προσεγγισεις εκθετικη λογαριθμικη συναρτηση επιμελεια : τακης τσακαλακος 07

2 ... εκθετικη συναρτηση... φυσικη εκθετικη συναρτηση... λογαριθμος... λογαριθμικη συναρτηση... φυσικη λογαριθμικη η συναρτηση

3 γιατι... μια εικονα, χιλιες λεξεις...

4 ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

5 5 ΘΕΩΡΙΑ... Ας θυμηθουμε Δ Υ Ν Α Μ Ε Ι Σ Μ Ε Ρ Η Τ Ο Ε Κ Θ Ε Τ Η ΟΡΙΣΜΟΙ Για καθε α και ν * οριζουμε ν ο σ τ η δ υ ν α μ η τ ο υ α τον αριθμο α ν με : ν α = α α... α, ν > ν παραγοντες Για καθε α α * και ν * ορίζουμε: α 0 = και Αν α +* και μ, ν * οριζουμε: μ ν ν μ α = α - ν α = α ν Αν α +* και πραγματικ ος τοτε οριζεται η δυναμη α χ και ειναι α χ > 0. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ μ ν μ + ν α α = α μ ν μ ν ( α ) = α α β ν α = β ν ν κ κ (- α ) = α μ ν μ - ν α : α = α ν ν ν ( α β) = α β α β - ν β = α κ + κ + (- α ) = - α ν ν Δ Υ Ν Α Μ Ε Ι Σ Μ Ε Α Ρ Ρ Η Τ Ο Ε Κ Θ Ε Τ Η ΟΡΙΣΜΟΙ Για καθε α>0 και χ αρρητο οριζουμε δ υ ν α μ η τ ο υ α μ ε ε κ θ ε τ η χ τον αριθμο α χ με : χ ρ α = lim α ν ν, οπου ρ ν η δεκαδικη προσεγγιση του χ με ν δεκαδικα ψηφια Για καθε χ>0 οριζουμε 0 χ =0 Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 07

6 6 Ε Κ Θ Ε Τ Ι Κ Η Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Η ΟΡΙΣΜΟΣ Ε κ θ ε τ ι κ η σ υ ν α ρ τ η σ η ονομαζουμε τη συναρτηση f: με : f()= α χ, οπου 0<a Αν α=, τοτε εχουμε τη σταθερη συναρτηση f()= Ι δ ι ο τ η τ ε ς Αν α> Π ε δ ι ο ο ρ ι σ μ ο υ : Α = Σ υ ν ο λ ο τ ι μ ω ν : Το διαστημα (0, + ) Μ ο ν ο τ ο ν ι α : f η f ειναι γ.αυξουσα στο και για f < α < α Η C εχει ασυμπτωτη τον αρνητικο ημιαξονα 0' στο - Τ ε μ ν ε ι τον αξονα y'y: Στο σημειο (0,) ( δεν τεμνει τον ') Αν 0<α< Π ε δ ι ο ο ρ ι σ μ ο υ : Α = Σ υ ν ο λ ο τ ι μ ω ν : Το διαστημα (0, + ) Μ ο ν ο τ ο ν ι α : f η f ειναι γ.φθινουσα στο και για f < α > α Η C εχει ασυμπτωτη τον θετικο ημιαξονα 0 στο + Τ ε μ ν ε ι τον αξονα y'y: Στο σημειο (0, ) ( δεν τεμνει τον ' ) Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 07

7 7 Π α ρ α τ η ρ η σ ε ι ς Oι γραφικες παραστασεις των f()= α και g()= α ειναι συμμετρικες ως προς τον αξονα y'y Αν 0< α,, τοτε ισχυει: α = α =, δηλαδη η συναρτηση f()= α ειναι "- " Μ ε τ α τ ο π ι σ η γ ρ α φ ι κ η ς π α ρ α σ τ α σ η ς Ο ρ ι ζ ο ν τ ι α ( c > 0 ) H συναρτηση f()=a χ+c εχει γραφικη παρασταση που προεκυψε απ'τη γραφικη πα - ρασταση της συναρτησης g()=a χ μετατοπισμενης αρι - στερα κατα c μοναδες H συναρτηση f()=a χ - c εχει γραφικη παρασταση που προεκυψε απ'τη γραφικη πα - ρασταση της συναρτησης g()=a χ μετατοπισμενης δε - ξια κατα c μοναδες Κ α τ α κ ο ρ υ φ α ( c > 0 ) H συναρτηση f()=a χ +c εχει γραφικη παρασταση που προεκυψε απ'τη γραφικη πα - ρασταση της συναρτησης g()=a χ μετατοπισμενης πα - νω κατα c μοναδες H συναρτηση f()=a χ -c εχει γραφικη παρασταση που προεκυψε απ'τη γραφικη πα - ρασταση της συναρτησης g()=a χ μετατοπισμενης κα - τω κατα c μοναδες Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 07

8 8 Φ Υ Σ Ι Κ Η Ε Κ Θ Ε Τ Ι Κ Η Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Η ΟΡΙΣΜΟΣ Φ υ σ ι κ η ε κ θ ε τ ι κ η σ υ ν α ρ τ η σ η ονομαζουμε τη συναρτηση f: με : f()= e χ, οπου e ειναι ο αριθμος Euler(αρρητος αριθμ ος, περιπου ισος με.78888) Ι δ ι ο τ η τ ε ς Η παραγωγος (ρυθμος μεταβολης) της εκθετικης συναρτησης ειναι η ιδια η εκθετικη συναρτηση. Η εκθετικη συναρτηση χρησιμοποιειται για να εκφρασει μια σχεση μεταξυ δυο μεταβλητων, συμφωνα με την οποια μια σταθερη αυξηση η μειωση στην ανεξαρτητη μεταβλητη προκαλει μια ε- πισης σταθερη ποσοστιαια αυξηση η μειωση αντιστοιχα στην ε- ξαρτημενη μεταβλητη. Αντι του συμβολου e, συχνα χρησιμοποιειται το συμβολο ep (Χ) Χρησιμοποιειται ευρεως στη φυσικ η, χημεια, μηχανικη, μαθηματικη βιολογια, τα οικονομικα και τα μαθηματικα. Η γραφικη παρασταση της εχει θετικη κλιση που αυξανεται ολο και περισσοτερο οσο το παιρνει ολοενα και μεγαλυτερες τιμες. Η γραφικη παρασταση βρισκεται πανω απο τον αξονα χ'χ Οταν το απειριζεται αρνητικα, ο αξονας των ειναι οριζοντια ασυμπτωτη της καμπ υλης. Η κλιση της εφαπτομ ενης της γραφικης παραστασης της συναρτησης σε καθε σημειο της, ειναι ιση με την τεταγμ ενη y του Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 07

9 9 σημειου αυτου. Η συναρτηση f() = e ειναι αντι- στρεψιμη και η αντιστροφη συν- αρτηση ειναι ο φυσικος λογαριθ- μος ln(). (Παλια ελεγαν την εκθετικη συν- αρτηση και αντιλογαριθμο) Το γραφημα της συναρτησης f() = e ειναι συμμετρικο ως προς την ευθεια y=, του γρα- φηματος της συναρτησης g()=ln Καποιοι ορισμοι της φυσικης εκθετικης συναρτησης e lim 3 χ χ χ e...!! 3! ν = 0 u Η λυση u της εξισωσης = dt t Ισχυει η βασικη ιδιοτητα των δυναμεων: y y e e e Για την... Ιστορια Αυξανεται η μειωνεται εκθετικα ενας πληθυσμ ος, οταν αυξανεται η μειωνετα με ρυθμο αναλογο προς τον ιδιο τον πληθυσμο. Παραδειγμα ο συνεχης ανατοκισμος, που οδηγησε τον J. Bernoulli το 683 να ανακαλυψει τον αριθμ ο: lim γνωστο ως e. Αργοτερα, το 697, ο J. Bernoulli μελετησε το λογισμ ο της εκθετικης συναρτησης. Σ χ ο λ ι ο Η ιδιοτητα της συναρτησης f()= e χ, να ειναι ιση με τη π αραγωγο της, αποτελει δυνατο "εργαλειο" στο Διαφορικο λογισμο, αφου, αναλογα με τη περισταση, θεωρω το e χ και σαν (e χ )' Ολοκληρωτικο λογισμο, αφου, αναλογα με τη περισταση, θεωρω το e χ και σαν παραγουσα του Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 07

10 0 ΓΕΝΙΚΑ ΓΙΑ ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ - ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ ο ΕΞΙΣΩΣΗ λυση 0<α θ>0 α χ =-θ α χ =0 α χ = θ = α y αδυνατη στο αδυνατη στο =y α χ = θ α y με λογαριθμους Ισχυουν τα παραπανω για την e (a=e) ο ΑΝΙΣΩΣΗ λυση α χ >-θ αληθευει για καθε χ α χ >0 αληθευει για καθε χ α χ > θ = α y >y α> θ>0 α χ > θ α y με λογαριθμους α χ <-θ αδυνατη στο α χ <0 α χ < θ = α y αδυνατη στο =y α χ < θ α y με λογαριθμους Ισχυουν τα παραπανω για τη e (a=e) α χ >-θ αληθευει για καθε χ α χ >0 αληθευει για καθε χ α χ > θ = α y <y 0<α< θ>0 α χ > θ α y με λογαριθμους α χ <-θ αδυνατη στο α χ <0 α χ < θ = α y αδυνατη στο >y α χ < θ α y με λογαριθμους Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 07

11 Σ Τ Η Π Ρ Α Ξ Η... ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ (ΟΡΙΣΜΟΣ) Αντιμετωπιση : Απαιτουμε α > 0 ωστε να οριζεται η f Απαιτουμε α > αν η f ειναι γνησια αυξουσα Απαιτουμε 0 < α < αν η f ειναι γνησια φθινουσα ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να βρεθει ο πραγματικος αριθμος λ, ωστε η συναρτηση: -λ f()= λ-3 να οριζετα ι για καθε να ειναι γνησιως αυξουσα στο να ειναι γνησιως φθινουσα στο Για να οριζεται η f για καθε, πρεπει: λ-3 0 λ 3 -λ > 0 (-λ)(λ-3)> 0 λ-3 -λ λ-3 -λ λ-3 λ 3 < λ< 3 5 λ 3 < λ< λ,, 3 Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 07

12 Η f ειναι γνησιως αυξουσα αν: -λ -λ > -> 0 λ-3 λ-3 -λ λ-3 - > 0 λ-3 λ-3 - λ+5 > 0 λ-3 (- λ+5)(λ-3)> 0 λ 5, 3 Η f ειναι γνησιως φθινουσα αν: -λ 0< -λ λ-3 0< < λ-3 -λ < λ-3 <λ< 3 -λ -< 0 λ-3 <λ< 3 - λ+5 <0 λ-3 <λ< 3 (- λ+5)(λ-3)< 0 <λ< 3 και 5 λ< η λ> 3 5 λ, Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 07

13 3 ΕΞΙΣΩΣΗ ΜΟΡΦΗΣ: α = β ή α f ( ) = α g ( ) ή α f ( ) = β g ( ) Αντιμετωπιση (γενικα): Στη περιπτωση α = β, μετασχηματιζουμε τον β σε δυνα - μη του α και εξισωνουμε τους εκθετες Στη περιπτωση α f ( ) = α g ( ) παιρνουμε την ισοτητα f() = g() Στη περιπτωση α f ( ) = β g ( ), μετασχηματιζουμε τον β σε δυναμη του α, εστω β = α κ οποτε η δοσμενη γινεται α f ( ) = α κ g ( ), και παιρνουμε την ισοτητα f() = κ g() ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να λυθουν οι εξισωσεις =56 =56 3 =7 Ειναι 4 4 = 56 ` 4 = 4 ` = = 56 ` = ` -3+0= 8 ` -3+= 0` --+= 0 ` (-)-(-)= 0 ` -= 0 (-)(-)= 0 ` ` -= 0 = = ( - ) 3 = 7 ` 3 =(3 ) ` 3 = 3 ` -4= 3(-) ` -4= 3-6 ` -3+= 0 ` --+= 0 ` (-)-(-)= 0 ` (-)(-)= 0 ` -= 0 ` -= 0 = = Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 07

14 4 ΕΞΙΣΩΣΗ ΜΟΡΦΗΣ: f ( α ) = g ( α ) Αντιμετωπιση (γενικα): Θετουμε α = y και η δοσμενη εξισωση μετατρεπεται σε αλγεβρικη ως προς y, την οποια και λυνουμε Λυνουμε για καθε ριζα y, y,... τις α = y, α = y,... συμφωνα με τη προηγουμενη παραγραφο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3 Να λυθει η εξισωση 6-4 -=0 Ειναι 6-4 -= 0 ` (4 ) -4 -= 0 ` 4 = y (4 ) -4 -= 0 ` y > 0 y y -y-= 0 ` -4y+3y-= 0 ` y(y-4)+3(y-4)= 0 ` (y-4)(y+3)= 0 ` y-4= 0 ` y+3= 0 y= 4 y=- 3 (απορριπτεται αφου y> 0) Oποτε 4 = 4 4 = 4 = Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 07

15 5 ΕΞΙΣΩΣΗ ΜΟΡΦΗΣ: f ( α ) = g ( β ) Αντιμετωπιση (γενικα): Μετασχηματιζουμε την εξισωση ετσι ωστε να δημιουργη - θουν δυναμεις της μορφης που τις θετουμε ισες με y και η δοσμενη εξισωση μετατρεπεται σε αλγεβρικη ως προς y, την οποια και λυνουμε Λυνουμε για καθε ριζα y, y,... τις = y, = y,... συμφωνα με τη προηγουμενη παραγραφο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4 Να λυθει η εξισωση = +5 Ειναι = +5 ` = : ` = ` = 8 +5 () 5 5 Θετουμε 5 = y και η () γινεται: 3 y+30= 8 y+5 ` 5y= 5 y= Ετσι 5-4 = ` = ` -4= 0 ` 5 5 = 4 Α λ λ ι ω ς Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 07

16 = +5 ` = +5 5 ` = ` = 8-3 ` (30-5) 5 =(8-3) = 5 ` = = ` = ` 5-4= 0 ` = 4 ` Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 07

17 7 ΕΞΙΣΩΣΗ ΜΟΡΦΗΣ: f ( ) g ( ) = Αντιμετωπιση (γενικα): Διακρινουμε περιπτωσεις : f() = : Τη λυνουμε και βρισκουμε τον f() 0 και g()=0 : Λυνουμε τη g() = 0 εχοντας περιορισμο τις ριζες της f() = 0 f() = - και g() αρτιος αριθμος : Τη λυνουμε και βρι - σκουμε τον που πρεπει να επαληθευει οτι η g() ειναι αρτιος αριθμος ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 5 Να λυθει η εξισωση - 3 ( -4+3) = Διακρινουμε περιπτωσεις: -4+3= ` -4+= 0 ` = ± = 0 ` και 3 ` = 0 ή = 3 = 0-4+4= 0-4+3=- ` - 3= αρτιος ` - 3= αρτιος = ` 4-6 = αρτιος = Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 07

18 8 ΕΞΙΣΩΣΗ ΜΟΡΦΗΣ: α f ( ) = συν(χ-β) Αντιμετωπιση : Ειδικη περιπτωση με προυποθεση f()=(χ-β) Δειχνουμε οτι α f ( ) Ισχυει συν(χ-β)º Προκυπτει α f ( ) = = α 0... Απαιτειται επαληθευση για τη λυση που βρηκαμε ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 6 Να λυθει η εξισωση =συν(χ-) () Ειναι -+=(χ-) 0 Αφου 3> τοτε η ισχυει χ χ `f(χ ) f(χ ) (η εκθετικη γνησιως αυξουσα) Ετσι ` 3 () Ομως συν(χ-)º (3) Απο τις () και (3) προκυπτει (= συν(χ-)) ` ` ` (-) 0 ` χ= Για χ= η () γινεται 0 3 =συν0`= που αληθευει Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 07

19 9 ΑΝΙΣΩΣΗ ΜΟΡΦΗΣ: α > β ή α f ( ) > α g ( ) ή α f ( ) > β g (... Αντιμετωπιση : Λυνουμε οπως στις εξισωσεις εχοντας υποψιν: αν α>, τοτε αν 0<α<, τοτε ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 7 Να λυθουν οι ανισωσεις > > -3 - e > > > > = y (5 ) > 0 y > 0 y +75y-400> 0 (y+80)(y-5)> 0 y> 5 5 > 5 5 > 5 > 5 > y > > > > >(8 + ) > 9 3 Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 07

20 < 3 4 < < < < 3 < 3 3 > 3 3 > - e > e e > - 0 > e - > 0 (+)(-)> 0 - < < Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 07

21 ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΚΘΕΤΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Αντιμετωπιση : Μετασχηματιζουμε τις εξισωσεις του συστηματος, ωστε να δημιουργηθουν δυναμεις (με εκθετη συναρτηση του αγνωστου): Λυνουμε οπως στα γραμμικα συστηματα ως προς τις δυ - ναμεις που δημιουργηθηκαν ή Αντικαθιστουμε τις δυναμεις που δημιουργηθηκαν με βο - ηθητικους αγνωστους και λυνουμε το συστημα ως προς αυτους. Στη συνεχεια επανερχομαστε στις αντικαταστασεις προ - κειμενου να βρουμε τους αρχικους αγνωστους, συμφωνα με τις εκθετικες εξισωσεις ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 8 Να λυθουν τα συστηματα 3 - y + y + y 3 9 = 4-3 = 7 3 = 54 = 4 +3 = 3 3 = 4 + y - - y + y Ειναι 3 - y = 8 - y + = y - 3 (3 ) = 8 - y + = y = 8 - y + = 4 3 = y - 4 = - + y + 3-+y-= 4 -+y+= 3+y= 7 +y= 3... = y= Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 07

22 y = 7 - y = 3 y = 7 - y = 3 y = 7 y = 4 y = 84 y = 4 y = 84 (+) y = = 08 4 = 6 4 = 4 y y y = = = 4 = y 3 = 3 = y= y y = 54 (:) = y y 3 = y 3 = 4 y - y = = y y 3 = 4 3 = 4 - y - = 3 3 y 3 = 4 -y=- y 3 = 4 y= + y= = = 4 y= + y= + 6 = 6 = y= 3 = Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 07

23 3 ΕΞΙΣΩΣΗ - ΠΡΟΦΑΝΗΣ ΛΥΣΗ Προκειμενου ΕΚΘΕΤΙΚΩΝ να ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ λυσουμε μια εξισωση f()=0, που η μορφη της δεν ειναι μια απο τις γνωστες επιλυσιμες, κανουμε τα παρακατω Αντιμετωπιση : Προκειμενου να λυσουμε μια εξισωση f()=0, που η μορφη. Βρισκουμε μια, δυο,... προφανεις λυσεις της δεν ειναι μια απο τις γνωστες επιλυσιμες, κανουμε τα. Αποδεικνυουμε τη μοναδικοτητα τους παρακατω απο τη μονοτονια η τα ολικα ακροτατα (αν η τετμημενη. Βρισκουμε μια, δυο,... προφανεις λυσεις του ακροτατου ειναι η προφανης λυση). Αποδεικνυουμε τη μοναδικοτητα τους αν η συναρτηση f ειναι - απο τη μονοτονια η τα ολικα ακροτατα (αν η τετμημε - Σ χ ο λ ι ο Η ιδιοτητα νη του ακροτατου "-" της συναρτησης ε ιναι η προφανης f λυση) βοηθαει στη μετατροπη της συνθετης συναρτησης σε αν η συναρτηση f ειναι - απλη εξασφαλιζει Σ χ ο λ ι ο τη μοναδικ οτητα της ριζας απο Η θεωρημα ιδιοτητα "-" Bolzano της (τουλαχιστον συναρτησης f...) και μονοτονια απο βοηθαει Θ.Ε.Τ. (0 στη f(a)) μετατροπη και μονοτονια της συνθετης συναρτησης απο σε θεωρημα απλη Rolle (τουλαχιστον...) και μονοτονια εξασφαλιζει τη μοναδικοτητα της ριζας δεν υπαρχει μια παραπανω (σε ατοπο απαγωγη) απο θεωρημα Bolzano (τουλαχιστον...) και μονοτονια δειχνοντας οτι ισχυει ταυτοχρονα : "το απο πολυ Θ.Ε.Τ...."(0 και f(a)) "τουλαχιστον και μονοτονια..." απο απο Θ.Μ.Τ. θεωρημα μετασχηματιζοντας Rolle (τουλαχιστον καταλληλα...) και την εξισωση απο μονοτονια μονοτονια δεν υπαρχει μια παραπανω (σε ατοπο απαγωγη) δειχνοντας οτι ισχυει ταυτοχρονα: "το πολυ..." και "τουλαχιστον..." απο Θ.Μ.Τ. μετασχηματιζοντας καταλληλα την εξισω - ση απο μονοτονια Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 07

24 4 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ (ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ -) Δινεται η συναρτηση f με τυπο: f()= ln, >0 α) Να μελετησετε ως προς τη μονοτονια τη συναρτηση f β) Να λυσετε την εξισωση: χ = με χ>0 α) H f ειναι συνεχης στο (0, + ) (πηλικο συνεχων συναρτησεων) και παραγωγισιμη με ln f'()= χ ln ln f'()= 0` = 0` ` e χ χ f'()>0`... ` 0< e f'()>0`... ` e Συνεπως η f ειναι γνησιως αυξουσα στο (0, e] γνησιως φθινουσα στο [e, + ) η f παρουσιαζει ολικο μεγιστο για χ=e με τιμη f(e)=e - β) Για καθε χ>0 χ = ` ln χ =ln ` ln=ln` ln ln = `f()=f() η f ειναι γνησιως αυξουσα στο (0, e], αρα και - Ετσι f()=f()`χ= μοναδικη λυση της χ = στο (0, e] η f ειναι γνησιως φθινουσα στο [e, + )αρα και - Ακομη, f()=f(4) και 4 [e, + ) Ετσι f()=f()` f(4)=f()`χ=4 μοναδικη λυση της χ = στο [e, + ) Δηλαδη η εξισωση χ = εχει δυο μονο ριζες στο (0, + χ= και χ=4 ), τις Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 07

25 5 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ (Θ.Ε.Τ.) Δινεται η παραγωγισιμη συναρτηση f: με τυπο: f()=λe (-), χ και λ>0 Η γραφικη παρασταση της f διερχεται απ'το σημειο Α(, 0) α) Να βρεiτε το συνολο τιμων της f β) Να λυσετε την εξισωση f()= 0 και να δειξετε οτι η μονα - δικη λυση της βρισκεται στο διαστημα (0, + ). α) Ειναι f'()=λ[(e )'(-)+ e (-)'] =λ(e (-)+ e ) =λ(e - e + e ) =λe αφου λ>0 και e >0 αν χ<0 τοτε f'()<0 και η f ειναι γνησιως φθινουσα στο (-, 0) αν χ 0 τοτε f'()>0 και η f ειναι γνησιως αυξουσα στο [0, + ) Η f παρουσιαζει ολικο ελαχιστο στη θεση χ=0 με τιμη f(0)= λe 0 (0-)=-λ Ακομη DLH λ(-) λ(-)' λ lim f() lim λe (-) lim lim lim lim f() lim λe (-) + - e (e )' -e Συνεπως, f((-, 0))=[-λ, 0) και f([0, + ))=[-λ, + ) Αρα, f(a)= [-λ, 0) [-λ, + )=[-λ, + ) β) Αφου η C f διερχεται απ'το σημειο Α(, 0) προφανης λυση της f()=0 ειναι η χ=. Ομως Η f ειναι αρνητικη στο (-, 0) αφου f((-, 0))=[-λ, 0) και η f()=0 δεν εχει λυσεις. Στο [0, + ) η f()=0 εχει λυση, αφου το 0 περιεχεται στο συνολο τιμων της (Θ.Ε.Τ.), που ειναι μοναδικη γιατι η f ειναι γνησιως αυξουσα. Αρα η μοναδικη λυση της f()=0 ειναι η χ= που βρισκεται στο διαστημα [0, + ). Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 07

26 6 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3 (ROLLE - ΔΥΟ ΛΥΣΕΙΣ) Αν η συναρτηση f ειναι δυο φορες παραγωγισιμη στο διαστημα Α και ισχυει f''() 0 για καθε χ Α, να αποδειξετε οτι η εξισωση 5 Χ -4χ-=0 εχει ακριβως δυο λυσεις που ανηκουν στο διαστημα Α, τις οποιες και να βρειτε. Γενικα ισχυει: " Αν η συναρτηση f, ειναι δυο, τουλαχιστον, φορες παραγωγισιμη στο διαστημα Α και ισχυει f''(χ) 0 για καθε χ Α τοτε η f εχει το πολυ δυο ριζες στο Α." α π ο δ ε ι ξ η Εστω οτι η f εχει τρεις λυσεις ρ, ρ, ρ 3 με ρ <ρ <ρ 3, οποτε f(ρ )=f(ρ )=f(ρ 3)=0 Εχουμε Η f ειναι σ υ ν ε χ η ς στα [ρ, ρ ] και [ρ, ρ 3] αφου ειναι παραγωγισιμη στο Α, αρα και συνεχης στο Α Η f ειναι π α ρ α γ ω γ ι σ ι μ η στα (ρ, ρ ) και (ρ, ρ 3) αφου ειναι παραγωγισιμη στο Α f(ρ )=f(ρ )=f(ρ 3)=0 αφου ρ, ρ, ρ 3 ειναι ριζες της f Τοτε, συμφωνα με το θεωρημα Rolle, υπαρχουν δ υ ο τ ο υ λ α χ ι σ τ ο ν ρ ι ζ ε ς ξ (ρ, ρ ) και ξ (ρ, ρ 3) της εξισωσης f ' ( χ ) = 0. Αρα, η f' εχει δυο, τουλαχιστον ριζες. Ακομη Η f' ειναι σ υ ν ε χ η ς στο [ξ, ξ ] αφου ειναι δυο φορες παραγωγισιμη στο, συνεπως υπαρχει η f'', δηλαδη η f' ειναι παραγωγισιμη στο, αρα και συνεχ ης Η f' ειναι π α ρ α γ ω γ ι σ ι μ η στο (ξ, ξ ) αφου ειναι παραγωγισιμη στο f' ( ξ ) = f' ( ξ ) αφου ξ, ξ ειναι ριζες της f' Τοτε, συμφωνα με το θεωρημα Rolle, υπαρχει ε ν α τ ο υ λ α χ ι σ τ ο ν ξ (ξ, ξ ) τετοιο ωστε: f '' ( ξ ) = 0, ατοπο, αφου f''(χ) 0 για καθε χ Α αρα και για ξ (ξ, ξ ) δηλαδη η f εχει το πολυ δυο ριζες στο Α Αρα Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 07

27 7 για f()= 5 Χ -4χ-, δυο φορες παραγωγισιμη με f''() 0,η εξισωση 5 Χ -4χ-=0 εχει το πολυ δυο λυσες στο Α () Προφανεις λυσειςς της εξισωσης 5 Χ -4χ-=0 ειναι οι 0 και αφου =0`-=0 που αληθευει 5-4 -=0`5-4-=0 που αληθευει Αρα η εξισωση 5 Χ -4χ-=0 εχει τουλαχιστον δυο ριζες στο Α () Τελικα, απο τις () και () Η εξισωση 5 Χ -4χ-=0 εχει ακριβως δυο ριζες στο Α, τις χ=0 και χ= Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 07

28 8 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4 (Θ.Μ.Τ.) Να λυσετε την εξισωση 5 χ -9 χ = χ -6 χ Στη δοσμενη εξισωση παρατηρου- με οτι 5-=9-6=3 Ετσι χ χ χ χ 5-9 = -6 ` χ χ χ χ 5 - = 9-6 () Θεωρουμε τη συναρτηση f(u)=u με f'(u)=χ u Η f ειναι συνεχης στο (εκθετικη) αρα και στα διαστημα- τα [, 5], [6, 9] Η f ειναι παραγωγισιμη στο (, 5), (6, 9) αρα και στα διαστηματα Συνεπως, ισχυουν οι υποθ εσεις του Θ.Μ.Τ. στα διαστηματα [, 5], [6, 9] και υπαρχει χ χ f(5)-f() 5 - ξ (, 5) : f' (ξ )= = 5-3 () χ χ f(9)-f(6) 9-6 ξ (6, 9) : f' (ξ )= = f' (ξ )= f' (ξ )~ χ= 0 χ= 0 χ ξ = χ ξ ~ χ (ξ -ξ )= 0~ ή ή ξ -ξ = 0 ξ = ξ ξ ξ χ= 0 χ= 0 χ= 0 ή ή ~ ~ ή ~ ξ ξ ξ = = ξ ξ ξ -= 0 χ= 0 ή = Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 07

29 9 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 5 (ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ - f(e g ( ),h())) Να λυσετε την εξισωση e - +=3-3 Η εξισωση γινεται: e - +=3-3` e =0 Θεωρουμε τη συναρτηση f()= e για καθε χ Για καθε χ η f ειναι συνεχ ης (πραξεις συνεχ ων) η f ειναι παραγωγισιμη (πραξεις παραγωγισιμων) με f'()=( - 3 e = ( )' = )' - e e +3 +> 0 για καθε χ πινακας προσημου της f' Αρα, η f ειναι γνησιως αυξουσα στο Για χ= εχουμε f()= e =++-3=0 Δηλαδη η χ= ειναι προφανης ριζα της εξισωσης f()=0` e =0` e - +=3-3 που ειναι μοναδικη, αφου η f ειναι γνησιως αυξουσα στο Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 07

30 30 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 6 (ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ - f(α,..., κ )) Να λυσετε την εξισωση χ +6 χ =0 χ Διαιρουμε τα μελη της εξισωσης με το 0 χ 0 Ετσι 6 0 ` ` = 0 = 0 ` Θεωρουμε τη συναρτηση f() = , Η f ειναι συνεχ ης στο Η f ειναι παραγωγισιμη στο συναρτησεων) με f'() ' ln ln ειναι ~ ln ln~ ln 0~ ln ~ ln ln~ ln 0~ ln ln ln 0~ f'() (αθροισμα συνεχων συναρτησεων) (αθροισμα παραγωγ ισιμων ~ Συνεπως, η f ειναι γνησιως φθινουσα στο Προφανης λυση της εξισωσης ειναι η χ=, αφου +6 =44+56=400=0 χ που ειναι μοναδικη, αφου η f ειναι γνησιως φθινουσα στο Αρα, η εξισωση εχει μια μονο λυση, την χ= Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 07

31 3 ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΟΡΙΟ Προκειμενου ΟΡΙΟ ΕΚΘΕΤΙΚΩΝ να λυσουμε ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ μια εξισωση f()=0, που η μορφη της δεν ειναι μια απο τις γνωστες επιλυσι μες, κανουμε τα Αντιμετωπιση : Ε κ θ ε τ ι κ η σ τ ο χ 0 Με τη βοηθεια των ιδιοτητων των δυναμεων, μετασχη - ματιζουμε τις δυναμεις της ρητης συναρτησης σε δυ - ναμεις με βαση τη μικροτερη δυναμη Θετουμε την κοινη δυναμη, εστω y Βρισκουμε που τεινει το y, οταν το 0 Βρισκουμε το ισοδ υναμο οριο Ε κ θ ε τ ι κ η σ τ ο α π ε ι ρ ο Αν 0 < α < Αν α > 0 Αν + : Δημιουργουμε βασεις μικροτερες του, ωστε το οριο τους να ειναι ισο με 0.(Διαιρουμε αριθμητη παρονομα - στη με τον εκθετικο ορο που εχει μεγαλυτερη βαση) Ισχυει: Αν 0<α< τοτε Αν - : Δημιουργουμε βασεις μεγαλυτερες του, ωστε το οριο τους να ειναι ισο με 0. (Διαιρουμε αριθμητη παρονομαστη με τον εκθετικ ο ορο που εχει μικροτερη βαση). Ισχυει: Αν α> τοτε Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 07

32 3 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ (ΡΗΤΗ ΕΚΘΕΤΙΚΗ) Να υπολογισετε το οριο lim Ειναι διαδοχικα lim (3 ) lim (3 ) lim 3 (3 ) Εχουμε απροσδιοριστια 0 0 Θετουμε 3 χ =u οποτε αν χ τοτε u 3 Ετσι (3 ) lim = lim (3 ) u -7u+3 3 = u = lim u 3 u 3 3u -7u-6 (u-3)(u- ) = lim u 3(u-3) (3u+ ) u- = lim u 3 3u+ 3- = = Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 07

33 33 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ (ΡΗΤΗ ΕΚΘΕΤΙΚΗ) Να βρειτε τα ορια L lim L lim Αφου χ + δημιουργουμε βασεις μικροτερες του, ωστε το οριο τους να ειναι ισο με 0 (διαιρουμε αριθμητη και παρονομαστη με τη μεγαλυτερη βαση) Ετσι L lim = lim =- 6 0 ( δια 3 ) 3 3 = lim = Αφου χ - δημιουργουμε βασεις μεγαλυτερες του, ωστε το οριο τους να ειναι ισο με 0 (διαιρουμε αριθμητη και παρονομαστη με τη μικροτερη βαση) Έτσι ( δια 3 ) L lim = lim = lim = = Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 07

34 34 ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΕΚΘΕΤΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Αντιμετωπιση : Εστω η συναρτηση f() = e χ Αποδεικνυεται οτι η f ειναι παραγωγισιμη στο f () = (e χ )' = e χ, με Εστω η συναρτηση f() =. Η f ειναι παραγωγισιμη στο με f () = Δυνατο εργαλειο στις πραξεις (κανονες) παραγ ωγων (πολλαπλασιαζοντας με e χ, e - χ...) Εστω η συναρτηση f() = χ α, με α >0 Η f ειναι παραγωγισιμη στο με f () = (α χ ) = α χ lna Για καθε χ f ()=f()` f () - f()=0 ` e - f () - e - f()=0 ` (e - f()) =0 () Επομενως, υπαρχει σταθερα c ωστε για καθε η () γινεται: e - f()=c` f ( ) = c e Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 07

35 35 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ (ΕΥΡΕΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ) Να βρειτε τη παραγωγο των συναρτ ησεων: α) β) p()= +4 s()=e (ημ-συν) Α = p p'()=( +4 )' =( )' +(4 )' = ln+4 ln4 = ln+( ) ln = ln+ ln + = ln+ ln + =( + )ln Α = s s'()= e (ημ- συν) ' =(e )'(ημ-συν)+ +e (ημ-συν)' = e (ημ-συν)+ +e (ημ)'-(συν)' = e (ημ-συν)+ +e συν -(-ημ) = e ημ- e συν +e συν +e ημ = e ημ Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 07

36 36 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ (ΒΑΣΙΚΗ ΠΡΟΤΑΣΗ) Εστω η παραγωγ ισιμη συναρτηση f: (0, π) (0, + ), για την οποια ισχυει: f ()ημχ f()συνχ = f()ημχ Να βρειτε το τυπο της f. Aπ τη δοσμενη σχεση προκυπτει: f'(χ)ημχ- f()συνχ= f()ημχ f'(χ)ημχ- f()συνχ f()ημχ = ημ χ ημ χ f'(χ)ημχ- f()(ημχ)' f() = ημ χ ημχ f() f() ' =, χ (0, π) ημχ ημχ Aπο τη βασικη προταση εχουμε (*) f() = c e ` f()= c e ημχ () ημχ Για χ= 4 η () δινει π π f = e 4 4 π f( )= c e ημ ` e = c e ` c= 4 4 Συνεπως η (): f()=e ημχ Ο τυπος της f είναι : f()=e ημχ, χ (0, π) (*) Για καθε χ f ()=f()` f () - f()=0 ` e - f () - e - f()=0 ` (e - f()) =0 () Επομενως, υπαρχει σταθερα c ωστε για καθε η () γινεται: e - f()=c` f ( ) = c e Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 07

37 37 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3 (ROLLE) Δινεται η συναρτηση f παραγωγισιμη στο με χ, για την οποια ισχυει: π f = και f(0)= Nα αποδειξετε οτι η εξισωση f'()=f()ημχ εχει μια τουλαχιστον λυση στο διαστημα e π 0, Η ζητουμενη σχεση γινεται f'()= f() ημχ f'()- f() ημχ= 0 f'()+f() (συνχ)' = 0 συνχ συνχ f'() e +f() (συνχ)' e = 0 συνχ συνχ f'() e +f() (e )' = 0 ~[f( συνχ ) e ]' = 0 Θεωρουμε τη συναρτηση π συνχ h()= f() e, 0, Η h ειναι συνεχης στο π 0,... Η h ειναι παραγωγισιμη στο π 0,... με h'()=f'()-f() ημχ συν0 h(0)= f(0) e = e = συν 0 h( )= f( ) e = e = = e π h(0)= h( ) Aπ'το θ. Rolle... h'(ξ)=0`... το ζητουμενο Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 07

38 38 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4 (Θ.Μ.Τ.) Δινεται η συναρτηση f()= e X. Nα αποδειξετε οτι υπαρχει α) ξ (0, ) τετοιο ωστε: f'(ξ)=e β) κ (-, 0) τετοιο ωστε: κ+ e = κ+ Εχουμε f(0)= 0 0 e = 0 f(-)=(-) - e =- e α) f()= f'(χ)=( e = e χ χ χ)'e +χ(e )' e χe Η f ειναι συνεχης στο διαστημα [0, ] (γινομενο συνεχων) Η f ειναι παραγωγισιμη στο διαστημα (0, ) (γινομενο παρα - β) γωγισιμων) συνεπως, ισχυουν οι υποθ εσεις του Θ.Μ.Τ. στο (0, ), οποτε υπαρχει ξ (0, ): f()-f(0) e-0 f'(ξ)= = ` f'(ξ)= e -0 Η f ειναι συνεχης στο διαστημα [-, 0] (γινομενο συνεχ ων) Η f ειναι παραγωγισιμη στο διαστημα (-, 0) (γινομενο παρα - γωγισιμων) συνεπως, ισχυουν οι υποθ εσεις του Θ.Μ.Τ. στο (0, ), οποτε υπαρχει κ (-, 0): 0- - f(0)-f(-) e f'(κ)= = ` f'(κ)= ` e κe 0-(-) e e Σ χ ο λ ι ο κ+ ` (κ+) e ` e = e κ+ Η υπαρξη των ξ, κ γεωμετρικ α, δηλωνει οτι υπαρχουν σημεια Μ(ξ, f(ξ)), (αναμεσα στα σημεια Ο, Β της καμπυλης) και Ν(κ, f(κ)) (αναμεσα στα σημεια Α, Ο της καμπ υλης) της καμπυλης που αυτη δεχεται εφαπτομ ενη παραλληλη στις ευθε ιες που οριζονται απ ο τα σημεια Ο, Β και Α, Ο αντιστοιχα (σχημα). Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 07

39 39 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 5 (Θ.Μ.Τ. ΑΝΙΣΟΤΙΚΗ) Να αποδειξετε οτι για καθε πραγματικο αριθμο χ (0, + ), ισχυει: e ημχ < e+ Θεωρουμε τη συναρτηση h()=e e-, 0 Η h ειναι συνεχης στο [0, χ] (πραξεις συνεχ ων) Η h ειναι παραγωγισιμη στο (0, χ) (πραξεις παραγωγισιμων) Συνεπως, ισχυουν οι υποθ εσεις του Θ.Μ.Τ. και υπ αρχει ξ (0, χ) τετοιο, ωστε h()-h(0) h'(ξ)= -0 ημ e -e--(e = ημ e -e- h'(ξ)= () Ομως ( ημ0 ημ -0 e-) e -e--+ ημ ημξ h' )= e συνχ-e ` h'(ξ)= e συνξ-e Επισης π e 0<συνξ< -e- = ` () ημ ημξ ` = e συνξ-e () 0<συνξ< ημξ 0<ξ< ` ` ` e συνξ< e ημξ 0<ημξ< e < e e -e- () ημ χ>0 ημξ ` e συνξ-e< 0 ` ημ < 0 ` e -e-< 0 ημ ` e < e+ Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 07

40 40 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 6 (ΤΥΠΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ) Δινεται η συναρτηση f παραγωγισιμη στο με χ, για την οποια ισχυει: f(0)= και f'()+f()=0, χ Nα βρειτε το τυπο της συναρτησης f. Η δοσμενη σχεση γινεται: f'()+f()= 0 f'() e +e f()= 0 e f'() e +(e )' f()= 0 (f() e )' = 0 f() e = c () (η f ειναι σταθερη στο αφου ειναι συνεχης στο (παραγωγισιμη) και παρα - γωγισιμη στο ) Για χ=0 η () δινει 0 f(0) e =c ` c `c συνεπως η () f() e = ` f()=e Αρα ο ζητουμενος τυπος ειναι - f()=e, χ Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 07

41 4 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 7 (ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΑΝΙΣΩΣΗΣ) Να αποδειξετε οτι e χ > - + +, για καθε χ (0, + ) Πεδιο ορισμου : Α=(0, + ) Θεωρουμε τη συναρτηση f()=e χ + --, >0 Για καθε χ (0, + ) η f ειναι συνεχης (πραξεις...) η f ειναι παραγωγισιμη (πραξεις...) με f'()=( e + χ = e --)' χ = (e + -) 0 αφου >0 και χ e (*) H f γνησιως αυξουσα στο (0, + ] χ 0 lim f()= lim ( e + --) =e = χ χ lim f()= lim ( e + --)= lim ( e ) + lim ( )= Συνολο τιμων : f(a)=f((0, + ))=( lim f(), 0 Ετσι, για καθε χ (0, + ) lim f())=(0, + ) + f()>0 ` e χ > 0 ` e χ > (*) Ισχυει e + χ > 0 ~ e > + -χ ~ e >- + ~ e + - > 0 Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 07

42 4 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 8 (FERMAT) Αν για καθε χ ισχυει α + με 0 < α να αποδειξετε οτι ισχυει α = e Για καθε χ η δοσμενη σχεση γραφεται α +` α () Θεωρουμε τη συναρτηση f()= α --, για καθε χ η f ειναι συνεχ ης (πραξεις συνεχ ων) η f ειναι παραγωγισιμη (πραξεις παραγωγισιμων) με f'()=( α -- )' = α lnα- ειναι f(0)= α 0-0-=-=0 () H συναρτηση f ειναι : Ο ρ ι σ μ ε ν η στο Π α ρ α γ ω γ ι σ ι μ η σε εσωτερικ ο σημειο χ 0=0 του (αφου ειναι παραγωγισιμη στο ) Παρουσιαζει τ ο π ι κ ο α κ ρ ο τ α τ ο στο χ 0=0, αφου απο τις (), () α -- 0`f(χ) 0`f() f(0) τοτε συμφωνα με το θεωρημα Fermat ισχυει: 0 f'(0)= 0~ α lnα-= 0 ~ lnα= ~ lnα=lne ~ α= e Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 07

43 43 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 9 (ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ) Δινεται η συναρτηση f με τυπο f()=e -, χ Να μελετησετε τη μονοτον ια της f και να βρειτε τα ακροτατα και τα σημεια καμπης της Πεδιο ορισμου : Α= Για καθε χ f'()=(e - )' =()'e - + (e - )' =e - + (-e - ) =e - -χe - =e - (-χ) f''()=( e - (-χ))' =( e - )'(-χ)+ e - (-χ)' =-e - (-χ)+ + e - (-) =-e - (-χ)-e - =-e - (-χ) =e - (χ -) f'()=0 ` e - (-χ)=0`-χ=0`=χ ` χ= f''()=0 ` e - (χ -) =0` χ - = 0 ` χ = Το προσημο των f', f'' και κυρτοτητα της C f φαινονται παρακατω - f()= e = e f()= e - = e H f ειναι γνησιως αυξουσα στο (-, ], γνησιως φθινουσα στο [, + ) και παρουσιαζει ολικο μεγιστο στη θ εση το A(, παρουσιαζει καμπη στο σημειο B(, e ) e ) ενω Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 07

44 44 ΕΚΘΕΤΙΚΗ - ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ (ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ) Δινεται η συναρτηση f με τυπο f()= e ημ Να βρειτε την αρχικη F της συναρτησης f αν ειναι γνωστο οτι το γραφημα της F διερχεται απο το σημειο Α(0, -). Ειναι διαδοχικα για καθε χ F'()= f()= e ημ Εχουμε = e ημ+e ημ- - e συν+e συν = e (ημ-συν)+ +e [συν-(-ημ)] = e (ημ-συν)+ +e [(ημ)'-(συν)'] =(e )'(ημ- συν) + e (ημ- συν)' =[e (ημ-συν)]' () () F'()=f() ` F' ()=[e (ημ-συν)]' `F()=e (ημ-συν)+c, c () Ομως η C F διερχεται απο το Α(0, -), συνεπως F(0)=- και λογω της () δινει 0 F(0) ` e (ημ0-συν0)+c= ` (0-)+c= Ετσι η (): ` -+c= ` c=0 F()=e (ημ-συν) που ειναι η ζητουμενη αρχικη συναρτηση. Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 07

45 45 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ (ΕΥΡΕΣΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΟΣ) Να υπολογισετε το ολοκληρωμα: I (4 -) e d 0 Ειναι διαδοχικα χ Ι= (4 -) e d 0 = ( - ) e d 0 = ( -)(χ)' e d 0 = ( -)(e )' d 0 [( -) (e )] 0 ( -)' e d 0 e -0 (4-) e d 0 e (4-) (χ)' e d 0 = e (4-) (e )' d 0 = e [(4-) e ] (4-)' e d = e (3e +e ) 4 e d 0 3e = e (χ)' e d 0 3e = e (e )' d 0 3e = e [e ] 0 3e = e e = e -3 Σ χ ο λ ι ο Ο βαθμος πολυωνυμου είναι ν=, συνεπως εφαρμοσαμε δυο φορες τη παραγοντικη ολοκληρωση. Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 07

46 46 ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 07

47 47 ΘΕΩΡΙΑ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Για καθε πραγματικο αριθμο b με 0 < b και y > 0, ο αριθμος log y δηλωνει το μοναδικο εκθετη που πρεπει b να υψωσουμε τον b για να παρουμε y. (ο λογαριθμος του y με βαση το b ειναι η λυση της εξι- σωσης b =y) Π α ρ α τ η ρ η σ ε ι ς Ο λογαριθμος log b(y) ή log by διαβάζεται : '' λογαριθμος του y με βαση το b '' Για να οριζεται ο λογαριθμος log b(y), θα πρεπει η βαση b να ειναι θετικος πραγματικος αριθμος διαφορος του και ο y να ειναι θετικος αριθμος Οι βασεις που συνηθως χρησιμοποιουνται σε λογαριθμους ειναι το 0, η μαθηματικ η σταθερα e και το Στη πραξη γραφουμε lny αντι του log e(y) (Φυσικος ή Νεπεριος λογαριθμος) logy αντι του log 0(y) (Δεκαδικος ή κοινος λογαριθμος) Οι φυσικοι λογαριθμοι χρησιμοποιουνταν ευρεως μονο σε πεδια οπως η μαθηματικη αναλυση, ενω οι δεδαδικοι λογαριθμοι χρησιμοποιο υνταν ευρεως σε αλλους τομεις. Σ υ ν ε π ε ι ε ς ο ρ ι σ μ ο υ Λογαριθμος βασης b Φυσικος Δεκαδικος Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 07

48 48 Ι δ ι ο τ η τ ε ς Λογαριθμος βασης b Φυσικος Δεκαδικος Π α ρ α τ η ρ η σ ε ι ς Γενικα δεν ισχυουν οι ιδιοτητες των λογαριθμων σε συναρτησεις Για παραδειγμα Εστω οι συναρτησεις f()=ln και g()=ln Eιναι Α f= * (αφου χ >0~χ 0) Α g=(0, + ) (αφου χ >0~χ 0) Συνεπως f() g() ή ln ln ενω απ'τις ιδοτητες ισχυει ln =ln Π ρ ο σ η μ ο b y 0<y< y> 0<b< log by > 0 log by < 0 b> log by < 0 log by > 0 b=e> lny < 0 lny > 0 Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 07

49 49 Λ Ο Γ Α Ρ Ι Θ Μ Ι Κ Η Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Η ΟΡΙΣΜΟΣ Λ ο γ α ρ ι θ μ ι κ η σ υ ν α ρ τ η σ η ονομαζουμε τη συν - αρτηση f:(0, + ) με : f()= log b, οπου 0<b Ι δ ι ο τ η τ ε ς Αν α> Π ε δ ι ο ο ρ ι σ μ ο υ : Α =(0, + ) Σ υ ν ο λ ο τ ι μ ω ν : Ολο το Μ ο ν ο τ ο ν ι α : η f ειναι γ.αυξουσα στο (0, + ) και για < log < log f f b b Η C εχει ασυμπτωτη τον αρνητικο ημιαξονα 0y' στο - Τ ε μ ν ε ι τον αξονα ': Στο σημειο (,0) ( δεν τεμνει τ ον y'y) Αν 0<α< Π ε δ ι ο ο ρ ι σ μ ο υ : Α =(0, + ) Σ υ ν ο λ ο τ ι μ ω ν : Ολο το Μ ο ν ο τ ο ν ι α : η f ειναι γ.φθινουσα στο (0, + ) και για < log > log f f b b Η C εχει ασυμπτωτη τον θετικο ημιαξονα 0y στο + Τ ε μ ν ε ι τον αξονα ': Στο σημειο (,0) ( δεν τεμνει τον y'y) Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 07

50 50 Π α ρ α τ η ρ η σ ε ι ς Oι γραφικες παραστασεις των f()= και g()= log log b b ειναι συμμετρικες ως προς τον αξονα ' Αν 0< b,, τοτε ισχυει: log = log =, δηλαδη b b η συναρτηση f()= log ειναι " -" b Μ ε τ α τ ο π ι σ η γ ρ α φ ι κ η ς π α ρ α σ τ α σ η ς Ο ρ ι ζ ο ν τ ι α ( c > 0 ) H συναρτηση f()=log b(+c) εχει γραφικη παρασταση που προεκυψε απ'τη γραφικη πα - ρασταση της συναρτησης g()= log b μετατοπισμενης αριστερα κατα c μοναδες H συναρτηση f()= log b(-c) εχει γραφικη παρασταση που προεκυψε απ'τη γραφικη πα - ρασταση της συναρτησης g()= log b μετατοπισμενης δεξια κατα c μοναδες Κ α τ α κ ο ρ υ φ α ( c > 0 ) H συναρτηση f()= log b +c εχει γραφικη παρασταση που προεκυψε απ'τη γραφικη πα - ρασταση της συναρτησης g()= log b μετατοπισμενης πανω κατα c μοναδες H συναρτηση f()= log b -c εχει γραφικη παρασταση που προεκυψε απ'τη γραφικη πα - ρασταση της συναρτησης g()= log b μετατοπισμενης κατω κατα c μοναδες Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 07

51 5 Φ Υ Σ Ι Κ Η Λ Ο Γ Α Ρ Ι Θ Μ Ι Κ Η Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Η ΟΡΙΣΜΟΣ Φ υ σ ι κ η λ ο γ α ρ ι θ μ ι κ η σ υ ν α ρ τ η σ η ονομαζουμε τη συναρτηση f:(0, + ) με : f()= ln, οπου ln=log e (e= ειναι ο αριθμ ος Euler) Ι δ ι ο τ η τ ε ς Η παραγωγος (ρυθμος μεταβολης) της λογαριθμικης συναρτη- σης ln ειναι ιση με. Το γραφημα της συναρτησης f()=ln δεχεται εφαπτομενη που βρισκεται πανω απ'αυτο. Δηλαδη η f ειναι κοιλη στο δια - στημα (0, + ) Χρησιμοποιειται ευρεως στη φυσικη, χημεια, τα οικονομικ α, τα μαθηματικα και,,, στη μουσικη και ψυχολογια. Η γραφικη παρασταση της εχει θετικη κλιση που μειωνεται ολο και περισσοτερο οσο το παιρνει ολοενα και μεγαλυτερες τιμες. Η γραφικη παρασταση βρισκεται δεξια απο τον αξονα y'y Οταν το πλησιαζει το 0, ο αξονας των y ειναι κατακορυφη α- συμπτωτη της καμπυλης. Η κλιση της εφαπτομ ενης της γραφικης παραστασης της συναρτησης σε καθε σημειο της (, ln), ειναι ιση με Η παραγωγος της συναρτησης ln,, δηλωνει οτι η παρα - Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 07

52 5 γουσα (αντιπαραγωγος) ειναι ιση με ln + c Η παραγωγος με ορισμα συναρτηση f() δινεται απ'το τυπο f'() [ln(f()]' = f() Η συναρτηση f() = ln() ειναι αντιστρεψιμη και η αντιστροφη συναρτηση ειναι η φυσικη εκθε- τικη συναρτηση e. Το γραφημα της συναρτησης f() = ln ειναι συμμετρικο ως προς την ευθεια y=, του γρα- φηματος της συναρτησης g()= e Γεωμετρικη ερμηνεια O φυσικος λογαριθμος lnu παρι- στανει το εμβαδον του χω ριου που οριζεται απ'το γραφημα της συναρτησης f()=, τον αξονα των χ και τις ευθειες χ=, χ= u αφου u u Ε= d=[ln] lnu ln Εναλλακτικα, τo u d 0 lnu μπορει να θεωρηθει και ορισμος του φυσικου λογαριθ μου Για δες αυτο... οι ιδοτητες γινομενου - δυναμης προκυ- πτουν απ'το τυπο u d= lnu y = ab a ab a a b ln(ab) d d d d dy= a y =, y = b y = [ln] +[lny] = lna- ln 0 +lnb- ln 0 lna+lnb a b b b b a y =, d=by dy a b a b a ln(a ) d dy= b dy= b[lny] y =, y = a b b by y y = b( lna- ln 0 ) blna Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 07

53 53 Σ χ ο λ ι ο Η ιδιοτητα της συναρτησης f()= ln, να ειναι ιση με η παραγωγο της, σε συνδυασμο με το (χ)'= αποτελει δυνατο "εργαλειο" στον Ολοκληρωτικο λογισμο, και ειδικα στη παρα - γοντικη ολοκληρωση. ΓΕΝΙΚΑ ΓΙΑ ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ - ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ ο ΕΞΙΣΩΣΗ λυση log b=-θ =b - θ (b =b - θ` =b - θ ) 0<b θ>0 log b =0 χ= (b =b 0` =) log b = θ =b θ (b =b θ` =b θ ) Ισχυουν τα παραπανω για την lnχ (b=e) ο ΑΝΙΣΩΣΗ λυση log b > -θ >b - θ log b > 0 χ> 0<b θ>0 log b > θ log b < -θ >b θ <b - θ log b < 0 χ< log b < θ <b θ Ισχυουν τα παραπανω για την lnχ (b=e) log b > -θ αληθευει για καθε χ log b > 0 αληθευει για καθε χ 0<α< θ>0 log b > θ log b < -θ log b < 0 log b < θ <y αδυνατη στο αδυνατη στο >y Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 07

54 54 ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΠΟΥ ΛΥΝΟΝΤΑΙ ΜΕ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ ο ΕΞΙΣΩΣΗ λυση 0<α θ>0 α χ = θ α y = = ο ΑΝΙΣΩΣΗ λυση > α χ > θ α y a> θ>0 > < α χ < θ α y < α χ > θ = α y < 0<α< θ>0 α χ < θ = α y > Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 07

55 55 Σ Τ Η Π Ρ Α Ξ Η... ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΣ (ΑΠΟ ΟΡΙΣΜΟ) Αντιμετωπιση (γενικα): Με τη βοηθεια του ορισμου του λογαριθμου : μετατρεπουμε την ισοτητα του λογαριθμου σε εκθετικη εξισωση η ισοτητα δυναμεων κλπ, απ τις οποιες π ροσδιο- ριζουμε τον ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να υπολογιστει ο στις παρακατω ισοτητες: = log (9 3) 5= log 3 4= log 3 3 Ειναι α = θ~= log θ με α> 0, θ> 0 α Συνεπως = log (9 3) ( 3) = ( 3) =( 3) = = log 3 = 3 = 5 5 = 4 4= log ( 3) = 3 = 9 Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 07

56 56 ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΣ (ΑΠΟ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΟΡΙΣΜΟΥ) Αντιμετωπιση (γενικα): Μετατρεπουμε καθε λογαριθμο σε ακεραιο με τη βοη θεια των συνεπειων του ορισμου ln = 0 lne = ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να υπολογιστει η τιμη της παραστασης: log 8-log 3+log 0, , Α= log 5 +log 3 9 Ειναι 4 y log 8= log 3 = 4 ( log b = y) 3 3 b y log 3= log 3 = ( log b = y) 3 3 b log 0,0= log (0,) = 0, 0, = 4 y ( log b = y) b log 5 log y b = 5 ( b = y) log - y = log 3 =- ( log b = y) 3 3 b 9 Ετσι Α= = = 5-3 Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 07

57 57 ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΣ (ΑΠΟ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ) Αντιμετωπιση (γενικα): Αν η παρασταση περιεχει λογαριθμους ιδιας βασης τοτε χρησιμοποιουμε τις: (y y ) = y + y = y - y y k = k y (ln e k = k) ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3 Να δειχθει οτι: log8+log5-log= lne+ln3-ln= log θ α +log β= α log α β θ Ειναι log8 + log5- log =(log8 + log5)- log= log(8 5)- log 0 = log0- log = log = log0 = α = 0 log α α = 3 lne+ln3-ln= (ln+lne)+ln = ln+lne+ln 4 - = ln+lne+ln = ln+lne-ln lne = = lne = log θ αλλαγη α log θ = = α β βασης log (αβ) α Οποτε, λογω της () log θ α log θ α β α α α = = = α α α log θ log α+log β log θ log θ(+ log β) log θ + log β log θ = (). +log β log α α = α α α α α log θ +log β α Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 07

58 58 ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΣ (ΝΟΜΟΣ ΕΚΘΕΤΙΚΗΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ) Αντιμετωπιση (γενικα): Ο τυπος της εκθετικης μεταβολης ειναι Q(t) = Q 0 e - ct, με Q 0 = αρχικη ποσοτητα, Q(t) = ποσοτητα μετα t ετη και c η σταθερα της εκ - θετικης μεταβολης Βρισκουμε τη σταθερα c, απ τα δοσμενα του προβλημα - τος. Με γνωστα Q(t), Q 0, c βρισκουμε το ζητ ουμενο χρονο, απ το τυπο της εκθετικης μεταβολης. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ln Η ημιζωη ενος ραδιενεργου υλικου ειναι ετη. ln5 Αν αρχικα υπαρχουν 00 g του ραδιενεργου υλικου, σε ποσα ετη θα υπαρχουν 0 g; Ο τυπος που δινει τη ποσοτητα του ραδιενεργου υλικου με τα t - ct ετη ειναι: Q(t)= Q e () ln 0 Eιναι επισης : Q( )= () Q ln5 000 ln Οποτε η () για t= ετη δινει: ln5 () 000 ln Q 0 Q( )= Q e = Q e = e 0 0 ln5 000 ln - c 000 ln - c 000 ln - c ln5 ln5 ln5 000 ln - c 000 ln - c ln = 0 ln5 ln5 ln = lne ln-ln= lne lne = 000 ln 000 ln5 - ln=- c lne = c c= ln5 ln5 000 ln5 Για Q = 00 g, Q(t)= 0 g και c= ο χρονος ειναι: ln5 ln5 ln5 - t - t - t = 00e = e ln = lne 5 5 lne = ln5 ln5 ln- ln5=- t lne - ln5=- t = t ln = t= 000 ετη Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 07

59 59 ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ (ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ) Αντιμετωπιση : Αν η συναρτηση ειναι της μορφης: f() = log a g(), (με α > 0) απαιτουμε : g() > 0 Αν η συναρτηση ειναι της μορφης: f() = log g ( ) β, (με β > 0) απαιτουμε : g() > 0 και g() Αν η συναρτηση ειναι της μορφης: f() = log g ( ) h(), απαιτουμε : g() > 0, g() και h() > 0. Προκειμενου να βρουμε το πεδιο ορισμου, εκτος των πιο πανω απαιτησεων, λαμβα νουμε υποψιν μας τους περιορι - σμους αν ο βρισκεται σε παρονομαστη κλασματος, σε υπορριζο κλπ. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 5 Να βρεθει το πεδιο ορισμου των συναρτησεων: + f()= log (- ) g()= ln - Πρεπει > 0 > 0 - > 0 (-)(+)> 0 > 0 0< < ή -< < Α =(0,) f >0 (-)(+)> 0 - -< < - < < ή Α =(-,) g Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 07

60 60 ΕΞΙΣΩΣΗ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ Αντιμετωπιση (γενικα): Βρισκουμε για ποια οριζονται οι λογαριθμοι (περιορισμος) Με τις ιδιοτητες των λογαριθμων φερνουμε την εξισωση στη μορφη: log α f() = log α g() Λυνουμε την εξισωση f() = g() εχοντας υποψιν μας το περιορισμο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 6 Να λυθουν οι εξισωσεις α) log( +5-6)=+log(-) β) log ( - 4+5)= - α) Πρεπει -> 0 -> > 0 (-)(+6)> 0 -> 0 > +6 > 0 >- 6 Συνεπως η εξισωση > log( +5-6)= +log(-) log0 = log[(-)(+6)]= log0+log(-) log[(-)(+6)]= log0(-) (-)(+6)= 0(-) (-)(+6)-0(-)= 0 (-)(+6-0)= 0 (-)(-4)= 0 -= 0-4= 0 = απορριπτεται = 4 δεκτη = 4 β) Πρεπει Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 07

61 6 - -> 0-4+5> 0 > αληθευει αφου Δ=- 4< 0 > (,) (,+ ) Συνεπως η εξισωση log ( -4+5)= - log α α = log ( -4+5)= log (-) = = 0 (-)(-3)= 0 = απορριπτεται = 3 δεκτη = 3 Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 07

62 6 ΕΞΙΣΩΣΗ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ (ΒΟΗΘΗΤΙΚΟΣ ΑΓΝΩΣΤΟΣ) Αντιμετωπιση (γενικα): Βρισκουμε για ποια οριζ εται ο λογαριθμο ς (περιορισμος) Μετασχηματιζουμε τους λογαριθμους της εξισωσης στον ιδιο λογαριθμο, εστω log g ( ) h() Θετουμε log g ( ) h() = y και η εξισωση μετατρεπεται σε ε- ξισωση ως προς y, την οποια λυνουμε Για καθεμια απ τις λυσεις της εξισωσης f(y) = 0, της σχεσης log g ( ) h() = y και την ισοδυναμια log g ( ) h() = y g() y = h(), προσδιοριζουμε το ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 7 Να λυθει η εξισωση 3(log 3) -log 3+log = log 7 Πρεπει χ>0 και χ Συνεπως η εξισωση 3(log 3) -log 3+log = log 7 ` log α α = 3 3(log 3) - log 3+log = log 3 ` 3(log 3) - log 3+= 3log 3 ` y -5y+6 = 0 log 3 = y 3(log 3) -4log 3+= 0 ` y= y= 3 Για y= : log 3= = 3 Για y= : 3 log 3= = 3 = = 7 Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 07

63 63 ΕΞΙΣΩΣΗ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ (ΜΟΡΦΗ α f ( ) = β) Αντιμετωπιση (γενικα): Με τη προυποθεση α > 0 και β > 0 Απ την ισοδυναμια α f ( ) = β ` log α β = f(), προσδιορι - ζουμε το ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 8 Να λυθουν οι εξισωσεις - 3 =5 Ειναι - e =5-3 = 5 -= log 5 3 = log 5+ 3 log α α = = log 5+log = log (5 3) 3 log 5 3 = - e = 5 -= ln 5 = ln 5+ lne = = ln 5+lne = ln (5e) ln5e = Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 07

64 64 ΑΝΙΣΩΣΗ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ (ΜΟΡΦΗ α l o g f ( ) = β) Αντιμετωπιση (γενικα): Βρισκουμε για ποιες τιμες του οριζεται η ανισωση (περιορισμος). Λυνουμε οπως στις εξισωσεις εχοντας υποψιν: Συνδιαζουμε τις λυσεις με το περιορισμο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 9 Να λυθουν οι ανισωσεις: log( +7+0) < 0 log > 4 + Πρεπει -7+0> 0 (-)(-5)> 0-0 < η > 5 > 5 Oποτε η ανισωση διαδοχικα log( -7+0)- < > 0 log( - 7+0)- < 0 log0 = log( - 7+0)< log( -7+0)< log0-7+0< 0-7< 0 (-7)< 0 0< < 7 5< < 7 > 5 Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 07

65 65 Πρεπει 3 >0 (+)> <- η > 0 - > 0 Oποτε η ανισωση διαδοχικα 3 log > 4 + g 4 + log α α = 3 log > log log > log lo 3 > + 3 > log 4 + > 0 3> +4 > 4 Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 07

66 66 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 0 Να λυθει η ανισωση 3 ln -ln +<0 Η ανισωση οριζεται για χ>0 Ετσι, για καθε χ>0 ειναι 3 ln -ln +< 0 ln -3ln+< 0 ` ln -ln-ln+< 0 ln(ln-)-(ln-)< 0 (ln )(ln-)< 0 () Προσημο τριωνυμου Συνεπως η () δινει ln : < ln `lne < ln lne ` e<<e Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 07

67 67 ΕΞΙΣΩΣΗ - ΑΝΙΣΩΣΗ ΕΚΘΕΤΙΚΗ (ΛΥΣΗ ΜΕ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ) Αντιμετωπιση (γενικα): Λυνουμε συμφωνα με τους πιν ακες στη θεωρια ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να λυθει η εξισωση Να λυθει η ανισωση -3 = > Ειναι = 7`ln = ln7 `( - 3)ln = ln7 ln7 ` - 3= ln ln7 ` = + 3 ln ln7 3 ln7 3 ` = + = + ln ln > `ln3 > ln `( - )ln3>(- )ln `( - )ln3-(- )ln> 0 `( - )ln3+(- )ln> 0 `( - )(ln3+ln)> 0 `( - ) ln(3 )> 0 `( - ) ln6 > 0 ln6 0 ` - > 0 ` > Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 07

68 68 ΕΠΙΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ Αντιμετωπιση (γενικα): Μετασχηματιζουμε τις εξισωσεις του συστηματος, ωστε να δημιουργηθουν δυναμεις (με εκθε τη λογαριθμικη συναρτηση του αγνωστου) Λυνουμε οπως στα γραμμικα συστηματα ως προς τις δυ - ναμεις που δημιουργηθηκαν ή Αντικαθιστουμε τις δυναμεις που δημιουργηθηκαν με βο - ηθητικους αγνωστους και λυνουμε το συστημα ως προς αυτους Στη συνεχεια επανερχομαστε στις αντικαταστασεις προ - κειμενου να βρουμε τους αρχικους αγνωστους, συμφωνα με τις λογαριθμικες εξισωσεις ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Nα λυθουν τα συστηματα: log logy y 3 = 3 - = 7 (Σ ): (Σ ): log logy 4-9 = 7 ln3+ yln= ln8 Ειναι log logy 3 = log logy 3 = log = α > 0 αβ= 4-9 = 7 ( ) -(3 ) = 7 log logy log logy logy 3 = β > 0 α -β = 7 β= α β= β= α α 4 4 α - = 7 α -7α -44= 0 α -7α -44= 0 α β= α α = 6 β= α α= 4 α =- 9 (απορ) α=- 4 (α> 0) α= 4 β= 3 Δηλαδη = 4 = log= = 0 log log 3 = 3 3 = 3 logy= y= 0 logy logy = 00 y= 0 Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 07

69 69 y 3 - = 7 y y 3 - = = 7 y y ln3 + yln= ln8 ln3 + ln = ln8 ln(3 )= ln8 y 3 - = 7 3 = α > 0 α-β= 7 α= 7+β α= 7+β 3 = 8 y y = β > 0 αβ= 8 β +7β-8= 0 (7+β)β= 8 α= 7+β α= 7+ α= 9 β= η β=- 9 (απορρ., β> 0) β= β= Δηλαδη 3 = 9 3 = 3 = = y y = y= Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 07

70 70 ΕΞΙΣΩΣΗ - ΠΡΟΦΑΝΗΣ ΛΥΣΗ Προκειμενου ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΩΝ να λυσουμε ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ μια εξισωση f()=0, που η μορφη της δεν ειναι μια απο τις γνωστες επιλυσιμες, κανουμε τα παρακατω Αντιμετωπιση : Προκειμενου να λυσουμε μια εξισωση f()=0, που η μορφη. Βρισκουμε μια, δυο,... προφανεις λυσεις της δεν ειναι μια απο τις γνωστες επιλυσιμες, κανουμε τα. Αποδεικνυουμε τη μοναδικοτητα τους παρακατω απο τη μονοτονια η τα ολικα ακροτατα (αν η τετμημενη. Βρισκουμε μια, δυο,... προφανεις λυσεις του ακροτατου ειναι η προφανης λυση). Αποδεικνυουμε τη μοναδικοτητα τους αν η συναρτηση f ειναι - απο τη μονοτονια η τα ολικα ακροτατα (αν η τετμημε - Σ χ ο λ ι ο Η ιδιοτητα νη του ακροτατου "-" της συναρτησης ειναι η προφανης f λυση) βοηθαει στη μετατροπη της συνθετης συναρτησης σε αν η συναρτηση f ειναι - απλη εξασφαλιζει Σ χ ο λ ι ο τη μοναδικ οτητα της ριζας απο Η θεωρημα ιδιοτητα "-" Bolzano της (τουλαχιστον συναρτησης f...) και μονοτονια απο βοηθαει Θ.Ε.Τ. (0 στη f(a)) μετατροπη και μονοτονια της συνθετης συναρτησης απο σε θεωρημα απλη Rolle (τουλαχιστον...) και μονοτονια εξασφαλιζει τη μοναδικοτητα της ριζας δεν υπαρχει μια παραπανω (σε ατοπο απαγωγη) απο θεωρημα Bolzano (τουλαχιστον...) και μονοτονια δειχνοντας οτι ισχυει ταυτοχρονα: "το απο πολυ Θ.Ε.Τ...."(0 και f(a)) "τουλαχιστον και μονοτονια..." απο απο Θ.Μ.Τ. θεωρημα μετασχηματιζοντας Rolle (τουλαχιστον καταλληλα...) και την εξισωση απο μονοτονια μονοτονια δεν υπαρχει μια παραπανω (σε ατοπο απαγωγη) δειχνοντας οτι ισχυει ταυτοχρονα: "το πολυ..." και "τουλαχιστον..." απο Θ.Μ.Τ. μετασχηματιζοντας καταλληλα την εξισω - ση απο μονοτονι α Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 07

71 7 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ (ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ) Να λυθει η εξισωση 8-4=ln(-) Η εξισωση γραφεται: 8-4-ln(-)=0 Θεωρουμε τη συναρτηση f()= 8-4-ln(-) () Για να οριζεται η f πρεπει 8-χ 0 και χ->0 ` χ 8 και χ> Συνεπως το πεδιο ορισμου της f ειναι: Α f=(, 8] H συναρτηση f ()=8- ειναι γνησιως φθινουσα (α=-<0), στο (, 8] αρα,και η συναρτηση f ()= φθινουσα στο (, 8] (σ υνθεση) 8 ειναι γνησιως H συναρτηση f 3()=ln ειναι γνησιως αυξουσα στο στο (, 8], αρα, και η συναρτηση f 4()=-ln(-) ειναι γνησιως φθινουσα στο (, 8] (αντιθετη) Αρα η f()= 8-4-ln(-) ειναι γνησιως φθινουσα στο (, 8] (αθροισμα γνησιως φθινουσων συναρτησεων) Για χ= η () γινεται f()= 8-4-ln(-)= 6-4-ln= 4-4-0=0 Συνεπως, η χ= ειναι μοναδικη λυση της εξισωσης (ριζα της f) 8-4=ln(-) αφου η συναρτηση f ειναι γνησιως φθινουσα στο (, 8] Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 07

72 7 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ (BOLZANO) Δινεται η συναρτηση f:(0, + ) με τυπο: f()=χ 3 +ln-. Να λυσετε την εξισωση f()= 0 και να δειξετε οτι η μοναδικη λυση της βρισκεται στο διαστημα,. Εχουμε Η συναρτηση f ειναι συνεχης στο διαστημα, σαν αθροισμα συ- νεχων (αφου η πολυωνυμικη χ 3 - και η ln ειναι συνεχεις στο (0, + ) αρα και στο 3 f = ln, ) = (ln ln) 8 7 =- ln 0 8 f()= 3 +ln-=7+ln>0 Δηλαδη, f f()< 0 Συνεπως, απο θεωρημα Bolzano, η f()= 0 εχει μια τουλαχι - στον λυση στο διαστημα Ομως f'()= 3χ, 0 για καθε χ>0 που σημαινει οτι η f ειναι γνησιως αυξουσα στο (0, + f()=0 ειναι μοναδικη. ) αρα και στο, και η λυση της Για χ= τοτε f()= 3 +ln-=0, αρα η χ= ειναι μοναδικη λυση της εξισωσης f()= 0 Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 07

73 73 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3 (Θ.Ε.Τ.) Δινεται η παραγωγισιμη συναρτηση f:(0, + ) με τυπο: f()= 4 +3ln- α) Να βρεiτε το συνολο τιμων της f β) Να αποδειξετε οτι η εξισωση 4 3 ln λυση για καθε λ>0, την οποια και να βρειτε. α) Για καθε χ>0 ειναι f'()= ( 4 +3ln-)' = Δηλαδη χ > η f ειναι γνησιως αυξουσα στο διαστημα (0, + ) και δεν εχει α- κροτατα. Ακομη 4 lim f() lim(3 + 3ln- ) lim f() lim (3 +3ln-) + + Συνεπως, f(a)= ( lim f(), lim )=(-, + ) 0 + εχει μοναδικη β) Για καθε λ>0 ειναι λ = ln +` λ = 3 (ln-lnλ)+` λ =-3lnλ+` λ 4 λ +3 lnλ-= 0` f(λ)= 0 Ισοδυναμα, αρκει να δειξουμε οτι υπαρχει μοναδικο λ>0, τε - τοιο, ωστε f(λ)=0 και στη συνεχεια να το προσδιορισουμε. Πραγματι 0 f(α)= f((0, + ))= η f ειναι γνησιως αυξουσα στο διαστημα (0, + ), η λ= ειναι προφανης λυση ( ( ln `= ) 4 3 Αρα... Θ.Ε.Τ. η λ= ειναι μοναδικη λυση της f(λ)=0 και ισοδυναμα της 4 3 ln. Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 07

74 74 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4 (ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ - f(ln,g())) Να λυσετε την εξισωση ln=- Η εξισωση γινεται: ln=- ` ln-+=0 Θεωρουμε τη συναρτηση f()= ln-+, για καθε χ (0,+ ) Για καθε χ (0, + ) η f ειναι συνεχ ης (πραξεις συνεχ ων) η f ειναι παραγωγισιμη (πραξεις παραγωγισιμων) με f'()=( ln-+)' = ln+ - = ln+- = ln, (0, + ) f'()=0 ` ln=0 ` = f'()>0 ` ln>0 ` > f'()<0 ` ln<0 ` 0<< O πινακας προσημου της f' και η μονοτονια της f, φαινονται παρακατω Η f ειναι γνησιως φθινουσα στο (0, ], συνεπ ως χ< ` f()>f() ` f()>0 Η f ειναι γνησιως αυξουσα στο (0, ], συνεπ ως χ> ` f()>f() ` f()>0 Σε καθε περιπτωση ειναι f()>0 Αρα, αφου η f διατηρει προσημο, η ριζα χ= ειναι μοναδικη της εξισωσης f()=0 ` ln-+=0 ` ln=- Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 07

75 75 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 5 (ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ - ΣΥΝΘΕΤΗ) Να λυσετε την εξισωση ln( +)=ln(χ +χ+)+ Προσθετουμε στην εξισωση τη ποσοτητα χ + και προκυπτει: ln( +)+ χ + = =ln(χ +χ+)++ χ + ` ln( +)+ (χ +) = =ln(χ +χ+)+( + χ+) () Θεωρουμε τη συναρτηση f()= ln+, χ (0,+ ) Για καθε χ (0, + ) η f ειναι συνεχ ης (πραξεις συνεχ ων) η f ειναι παραγωγισιμη (πραξεις παραγωγισιμων) με f'()=( ln+)' = + 0 αφου χ>0 Αρα, η f ειναι γνησιως αυξουσα για καθε χ (0,+ ), συνεπως ειναι και "-" O πινακας προσημου της f' και η μονοτονια της f, φαινονται στο διπλανο πινακα. Ετσι η () ισοδυναμα ln( +)+(χ +)=ln(χ +χ+)+( + χ+) ` f( +)=f( + χ+) ` += + χ+` =0 f Σ χ ο λ ι ο Η ιδιοτητα "-" της συναρτησης f βοηθαει στη μετατροπη της συνθετης συναρτησης σε απλη εξασφαλιζει τη μοναδικοτητα της ριζας καθιστα την f αντιστρεψιμη, οποτε ειναι εφικτη η ευρεση του τυπου της αντιστροφης της f. Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 07

76 76 ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΟΡΙΟ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ (ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ) Να υπολογισετε το οριο L lim [ln(e + -)-] + L lim ln(+e -e ) 0 Ειναι διαδοχικα + L lim [ln(e -)-] + + = lim [ln(e -)-] + + = lim [ln(e -)-lne ] + + e - = lim [ln ] + e + e = lim [ln( - )] + e e = lim [ln(e- )] + e e- > 0 e = ln[ lim (e- )] + e = ln (e-0) = lne= Κοντα στο χ 0=0 οριζεται η συναρτηση h με τυπο h(χ)=+e+e και L limln(+e -e )= ln( +e-e 0 ) 0 = ln( +e-) = lne = Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 07

77 77 ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ (ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ) Βρειτε την εξισωση της εφαπτομ ενης του γραφ ηματος της συναρτησης g()=+ln(-3) 3, αν ο συντελεστης διευθυνσης της ειναι λ=3 Ειναι διαδοχικα g'()=[+ln(-3) ]' = +[ln(-3) ]' = + [(-3) ]' (-3) (- 3) = + (-3)' (-3) - = + = λ= g'( )= 3 = = 3-9 = g( ) = g(4)= 4+ln(4-3) = 4+ln= 4 0 Αρα η ζητουμενη εξισωση ειναι: y-4= 3(-4) y-4= 3- ε: y= 3-8 Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 07

78 78 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ (ΑΝΙΣΟΤΙΚΗ ΣΧΕΣΗ - Θ.Μ.Τ.) Να αποδείξετε ότι, αν 0<α<β, ισχύει: α β β - < ln < - β α α Απο τη ζητουμενη σχεση α β β - < ln < -` β α α β-α β-α < lnβ-lnα< ` β α lnβ-lnα < < β β-α α Θεωρουμε τη συναρτηση f()=ln, (0, + ) και το διαστημα [α, β] Η f ειναι συνεχης στο (0, + ) αρα και στο [α, β] (0, + ) (βασικη συνεχης συναρτηση) Η f ειναι παραγωγισιμη στο (0, + ) αρα και στο (α, β) (0, + ) (βασικη παραγωγισιμη συναρτηση) με f'()= Συνεπως, ισχυουν οι υποθ εσεις του Θ.Μ.Τ. και υπ αρχει ξ ωστε f(β)-f(α) lnβ-lnα f' (ξ)= = () β-α β-α (α, β) τετοιο, Ομως () lnβ- lnα 0<α< ξ< β > > < < α ξ β β β- α α β-α β-α < lnβ-lnα< β α α β - < lnβ-lnα< - β α Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 07

79 79 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3 (ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ) Δινεται η συναρτηση f με f()=+ln Να βρειτε χ 0 (, e).τετοιο, ωστε η εφαπτομενη της γραφικ ης παραστασης της συναρτησης f στο σημειο με τετμημενη χ 0 να ειναι παραλληλη με τη χορδη που οριζεται από τα σημε ια M (, f()), M (e, f(e)). Πεδιο ορισμου της f ειναι A=(0, + ) Η εξισωση της εφαπτομενης της C f στο χ 0 y-f(χ )= f'(χ )(-χ ) με συντελεστη διευθυνσης f'(χ )= + = λ () 0 χ 0 Η f ειναι συνεχης στο διαστημα [, e] (αθροισμα συνεχ ων) Η f είναι παραγωγισιμη στο δια- στημα (, e) (αθροισμα παραγωγισιμων) Συνεπως, ισχυουν οι υποθ εσεις του Θ.Μ.Τ. στο διαστημα (, e) και υπαρχει χ 0 (, e) τετοιο, ωστε f(e)-f() f' ( χ )= 0 e- Ομως, ο συντελεστης διευθυνσης της χορδης ειναι: f(e)-f() λ = = f' ( χ ) () 0 e- Απο παραλληλια () f(e)- f() e+lne- - ln 0 λ = λ = + = + () e- χ e- χ 0 e e- e + = - ~ χ = e- 0 χ e- χ e Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 07

80 80 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4 (ΤΥΠΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ) Εστω η συναρτηση f: *, για την οποια ισχυει: f(-)=, f()=- και f ()= Να βρειτε το τυπο της f Για χ<0 η δοσμενη σχεση γινεται: - f'()= ` f'()= - (-)' ` f'()= ` f'()=[ln(-χ)]' ` f()= ln(-χ) Για χ=- η τελευτα ια δινει: f(-)= ln() c ` 0 c συνεπως γινεται c ` c = f()=ln(-χ)+, χ<0 για καθε χ * Για χ>0 η δοσμενη σχεση γινεται: f'()= ` f'()=[ln(χ)]' ` f()= ln(χ) c Για χ= η τελευταια δινει: f()= ln() c ` - 0 c ` c =- συνεπως γινεται f()=ln(χ)-, χ>0 Αρα ο ζητουμενος τυπος ειναι ln(-χ) +, χ< 0 f()= ln(χ)-, χ> 0 Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 07

81 8 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 5 (ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΣΧΕΣΗΣ) Δινεται η συναρτηση f: οποια ισχυει f'() = f()lnf(), για καθε χ Να αποδειίξετε οτι f(χ)=, για καθε χ Η δοσμενη σχεση γινεται διαδοχικα: f() 0 f'()= f(χ) lnf() ` με f(0)= και f()>0, για την f'() = lnf() ` f(χ) [lnf()]' =lnf() για καθε χ () Εστω η συναρτηση h()=lnf() για την οποια ισχυει h(0)=lnf(0)=ln=0 και η () γινεται (*) h'()= h() ` h()= c e () Για χ=0 η () δινει 0 h(0)=c e `0=c `c 0 Ετσι η () h()=0 `lnf() =0 ` f() =, (*) Για καθε χ f ()=f()` f () - f()=0 ` e - f () - e - f()=0 ` (e - f()) =0 () Επομενως, υπαρχει σταθερα c ωστε για καθε η () γινεται: e - f()=c` f ( ) = c e Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 07

82 8 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 6 (ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ) Να μελετηθει, ως προς τη μονοτον ια η συναρτηση με τυπο f()=ln( -6+8) Πεδιο ορισμου : Πρεπει -6+8> 0` (-)(-4)> 0 ` τοτε < > 4 Α f=(-, ) (4, + ) Για καθε χ f'()=(ln( Α f = ( -6+8)' = ))' Ευρεση προσημου f' Oι ριζες του τριωνυμου -6+8 ειναι και 4 και του διωνυμου ειναι το 3. Ο διπλανος πινακας δειχνει το προσημο του πηλικου τους. Το προσημο της f' και η μονοτονια της f φαινονται στον παρακατω πινακα H f ειναι γνησιως φθινουσα στο διαστημα (-, ) H f ειναι γνησιως αυξουσα στο διαστημα (4, + ) Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 07

83 83 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 7 (ΠΛΗΘΟΣ ΡΙΖΩΝ) Δινεται η συναρτηση f με τυπο f()= lnχ, χ (0, + ) α) Να βρειτε το συνολο τιμων της συναρτησης f β) Να βρειτε το πληθος των ριζων της εξισωσης f(χ)=κ. Πεδιο ορισμου : Α=(0, + ) α) Για καθε χ [0, + ) η f ειναι συνεχης (πραξεις συνεχ ων) η f είναι παραγωγίσιμη (πραξεις παραγωγισιμων) με f'()=( ln)' = ln+ = ln+ f'()= 0 ` ln+= 0 ` = e f'()< 0 ` ln+< 0 ` < e f'()> 0 ` ln+> 0 ` > e πίνακας προσήμου της f' H f γνησιως φθινουσα στο (0, e - ] και f(e - )= e - ln e - =- e -, συνεπώς f(α )=f((0, e - ])=[- e -,0) H f γνησιως αυξουσα στο [e -, + ) lim f()= lim (ln)=+, + + συνεπως Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 07

84 84 f(α )=f([e -, + ))=(- e -, + ) Συνολο τιμων: f(a)= f(α ) f(α )= (- e -, + ) β) αν κ<- e - : κ f(a) οποτε η εξισωση δεν εχει ριζες αν κ=- e - : κ f(a ), κ f(α ) οποτε υπαρχει μοναδικο χ Α τετοιο, ωστε f(χ )=κ και η εξισωση εχει μια μονο ριζα, ην χ = e - αν - e - <κ<0: κ f(α ), κ f(α ), οποτε υπαρχουν μοναδικα χ Α, χ 3 Α τετοια, ωστε f(χ )= f(χ )=κ και η εξισωση εχει μονο δυο ριζες αν κ=0: κ f(a ), κ f(α ) οποτε υπαρχει μοναδικο χ 4 Α τετοιο, ωστε f(χ 4)=κ και η εξισωση εχει μια μονο ριζα, την χ 4= αν κ>0: κ f(a ), κ f(α ) οποτε υπαρχει μοναδικο χ 5 Α τετοιο, ωστε f(χ 5)=κ και η εξισωση εχει μια μονο ριζα, την χ 5 Τελικα, η εξισωση εχει ακριβως πεντε ριζες. Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 07

85 85 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 8 (ΑΝΙΣΟΤΙΚΗ ΣΧΕΣΗ) Να αποδειξετε οτι lnχ -, για καθε χ (0, + ) Πεδιο ορισμου : Α=(0, + ) Θεωρουμε τη συναρτηση f()=ln-+, >0 Για καθε χ (0, + ) η f ειναι συνεχης (πραξεις συνεχ ων) η f ειναι παραγωγισιμη (πραξεις...) με f'()=(ln-+)' = - - = f'() 0`- 0` f'()<0`-<0`> πινακας προσημου της f' H f γνησιως αυξουσα στο (0, ] H f γνησιως φθινουσα στο [, + ) f()= ln-+=0-0+0=0 H f γνησιως αυξουσα στο (0, ], f()=0 και για χ (0, ] χ ~ f() f() ~ ln-+ 0 ~ ln - H f γνησιως φθινουσα στο [, + ), f()=0 και για χ [, + ) χ ~ f() f() ~ ln-+ 0 ~ ln - Τελικα, για καθε χ (0, + ), ισχυει: lnχ - Σ χ ο λ ι ο H παραπανω σχεση, για καθε χ, αν οπου χ θεσουμε e, τοτε: lne e - ` e - ` e + Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 07

86 86 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 9 (ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ) Να βρεθουν τα σημεια των τοπικων ακροτατων της συναρτησης f με τυπο f()=ln(8χ- ) Πεδιο ορισμου : πρεπει 8χ- >0`χ(8-)>0` 0<χ<8 Α= (0, 8) Για καθε χ (0, 8) η f ειναι συνεχ ης (συνθεση συνεχων) η f ειναι παραγωγισιμη (συνθεση παραγωγισιμων) με f'()=(ln( 8χ- ))' = ( )' 8 8χ- - = 8χ- 8χ- 8χ- 0 f'() 0 ~ 8-0~ 4 8χ- 0 f'() 0 ~ 8-0~ 4 πινακας προσημου της f' και μονοτονιας της f H f γνησιως αυξουσα στo διαστημα (0, 4] H f γνησιως φθινουσα στo διαστημα [4, 8) Είναι f(4)=ln (8 4-4 ) 4 =ln6=ln 4 =4ln H f παρουσιαζει τοπικο μεγιστο στη θεση χ=4 με τιμη f(4)=4ln, το σημειο A(4, 4ln) που ειναι και σημειο ολικου μεγιστου. Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 07