Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων - Φλώρινα Μάθημα: Μαθηματικά Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών (1 ο, 2 ο, 3 ο Κεφάλαιο) 11-10-2017, 18-10-2017 Διδάσκουσα: Αριστούλα Κοντογιάννη
ΩΡΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ (ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ 2017) 2 ώρες Θεωρία: Τετάρτη 15:00-17:00 αίθουσα 9 (απαραίτητη η παρουσία σας!!!) 1 ώρα ασκήσεις Πράξης (απουσίες) Τετάρτη: 14:00-15:00 Τμήμα 2,5α αίθουσα 9 Πέμπτη: 12:00-13:00 Τμήμα 3,5 β αίθουσα 9 13:00-14:00 Τμήμα 4,6 β αίθουσα 9 14:00-15:00 Τμήμα 1,6 α αίθουσα 9
Υλικό μαθήματος Προτεινόμενα βιβλία μαθήματος, μπορείτε να τα δείτε και να τα επιλέξετε στο σύστημα ΕΥΔΟΞΟΣ: http://eudoxus.gr/ Στις παραδόσεις ακολουθούμε το βιβλίο Βασικά Μαθηματικά, Γεώργιος Κοντέος, Νικόλαος Σαριαννίδης Οι διαλέξεις του μαθήματος σε pdf από το e-class. Θα πρέπει να εγγραφείτε άμεσα. Οι σημειώσεις σας από την παράδοση της θεωρίας και των ασκήσεων πράξης.
Διάθρωση της κάθε διάλεξης Θεωρία Παραδείγματα-Ασκήσεις Είναι απαραίτητο να λύνετε στο τετράδιό σας για να συνηθίζετε τις πράξεις!!!
Ύλη του μαθήματος ΕΙΣΑΓΩΓΗ- ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ (Ποσοστά, μέθοδος των τριών, εξισώσεις 1 ου, 2 ου βαθμού) ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (y=f(x)) ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ(2x+5y=12, ) ΠΙΝΑΚΕΣ-ΕΠΙΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ
Αξιολόγηση μαθήματος Τελική εξέταση που θα περιλαμβάνει ασκήσεις Πρέπει: Να γνωρίζετε πως θα αντιμετωπίσετε την άσκηση που έχετε να λύσετε (θεωρία που θα χρησιμοποιήσουμε, μέθοδο) Να κάνετε σωστές πράξεις για να φτάσετε στη λύση (εξάσκηση!) Να εξετάσετε αν η λύση είναι αποδεκτή (έλεγχος των μαθηματικών πράξεων- σημασία της λύσης) Θα χρειαστείτε υπολογιστή τσέπης για τις πράξεις: Επιστημονικό κομπιουτεράκι (θα σας είναι απαραίτητο και σε άλλα μαθήματα!!)
Αξιολόγηση μαθήματος Συχνή παρακολούθηση και συμμετοχή στο μάθημα της θεωρίας. Εργασίες στο πλαίσιο του μαθήματος-ώρες διδασκαλίας. Συνεργασία με την διδάσκουσα.
Επανάληψη βασικών εννοιών Συμβολισμοί Αριθμοί Στρογγυλοποίηση Κλάσματα Δεκαδικοί Ποσοστά Πράξεις Ύψωση σε δύναμη (εκθέτες-ρίζες) Μέθοδος των τριών
Επανάληψη βασικών εννοιών- Συμβολισμοί «Άγνωστοι»: x, y, z, Σχέσεις: Για τον υπολογισμό του εμβαδού της αίθουσας γνωρίζουμε ότι ισχύει: ΕΜΒΑΔΟ ΑΙΘΟΥΣΑΣ=ΜΗΚΟΣ Χ ΠΛΑΤΟΣ «πιο μαθηματικά»: Ε=Μ Χ Π όπου έχουμε «συμβολισμούς»: Ε: Εμβαδό, Μ: Μήκος, Π: Πλάτος ΟΓΚΟΣ ΑΙΘΟΥΣΑΣ? Ο=Μ Χ Π Χ Υ
Επανάληψη βασικών εννοιών- Αριθμοί Φυσικοί (Ν): 0,1,2,3,4, Ακέραιοι (Ζ) :,-3,-2,-1,0,1,2,3, (Θετικοί-αρνητικοί, απόλυτη τιμή αριθμού)) Ρητοί (Q): 1,5=3/2, 1/3=0,33333 προκύπτουν από τη διαίρεση δυο ακεραίων αριθμών. Άρρητοι (Q a ): π=3,14, 2 1,414... e=2,7182818284590452353 R-Πραγματικοί: όλοι οι παραπάνω, απεικονίζονται στην ευθεία των πραγματικών αριθμών
Σύνολα Αριθμών Άρρητοι αριθμοί 2, 3,... Πραγματικοί αριθμοί Φυσικοί αριθμοί 1,2,3,4.. Ρητοί αριθμοί Ακέραιοι αριθμοί -1, 0,1, 1 3, 1 5,...
Επανάληψη βασικών εννοιών-φυσικοί Αριθμοί Οι τάξεις των ψηφίων των φυσικών αριθμών.
Επανάληψη βασικών εννοιών-ακέραιοι Οι ακέραιοι αριθμοί Απόλυτη τιμή αριθμού ονομάζεται η απόστασή του από το 0 και είναι πάντοτε μία θετική ποσότητα. Π.χ. 5 5, 10 10, 0 0
Επανάληψη βασικών εννοιών-δεκαδικοί αριθμοί Οι δεκαδικοί αριθμοί είναι υποδιαιρέσεις της ακεραίας μονάδας. Ακέραιο Μέρος Δεκαδικό Μέρος
Επανάληψη βασικών εννοιών-δεκαδικοί αριθμοί Στο δεκαδικό μέρος των αριθμών οι τάξεις καθορίζονται ως εξής: το πρώτο δεκαδικό ψηφίο έχει την τάξη των δεκάτων, δεύτερο την τάξη των εκατοστών, το τρίτο την τάξη των χιλιοστών, το τέταρτο την τάξη των δεκάκις χιλιοστών. Κάθε ψηφίο δεξιά της υποδιαστολής είναι 10 μονάδες (10 φορές) μικρότερο από το προηγούμενο ψηφίο.
Επανάληψη βασικών εννοιών-σύγκριση Από δυο θετικούς αριθμούς μεγαλύτερος είναι αυτός που έχει την μεγαλύτερη απόλυτη τιμή. π.χ. 0,01 0,0001 Από δυο αρνητικούς αριθμούς μεγαλύτερος είναι αυτός που έχει την μικρότερη απόλυτη τιμή. π.χ. 0,000001 100
Επανάληψη βασικών εννοιών-στρογγυλοποίηση Εντοπίζουμε την τάξη στην οποία θα γίνει η στρογγυλοποίηση και εξετάζουμε το ψηφίο της αμέσως μικρότερης τάξης. Αν αυτό το ψηφίο είναι μικρότερο του 5 (0,1,2,3 ή 4), τότε αντικαθιστούμε αυτό το ψηφίο, καθώς και όλα τα ψηφία των μικρότερων τάξεων με μηδέν. Αν αυτό το ψηφίο είναι μεγαλύτερο ή ίσο του 5 (5,6,7, 8 ή 9), τότε αυξάνουμε κατά 1 το ψηφίο της τάξης στην οποία θα γίνει η στρογγυλοποίηση και αντικαθιστούμε με μηδέν όλα τα ψηφία των μικρότερων τάξεων. Παράδειγμα 1 ο (19.139.527, 45,8679 ) π.χ. 123,5647 123,56 π.χ. 123,5689 123,57
Επανάληψη βασικών εννοιών-μκδ/εκπ Όλοι οι αριθμοί που διαιρούν ακριβώς έναν αριθμό λέγονται διαιρέτες του. Οι ακέραιοι αριθμοί ( 0, +1, -1) που έχουν ως διαιρέτες μόνο το 1 και την απόλυτη τιμή τους λέγονται πρώτοι. Οι ακέραιοι αριθμοί ( 0, +1, -1) που έχουν διαιρέτες και άλλους αριθμούς εκτός από το 1 και την απόλυτη τιμή τους λέγονται σύνθετοι. Ένας σύνθετος αριθμός α μπορεί να γραφεί ως γινόμενο β γ με β ±1 και γ ±1, δηλαδή ένας σύνθετος αριθμός γράφεται ως γινόμενο δύο άλλων αριθμών (πρώτων ή μη) διαφορετικών της μονάδας. Οι αριθμοί 1 και 1 δεν χαρακτηρίζονται ούτε πρώτοι ούτε σύνθετοι. Παράδειγμα 2 ο : Ποιοι αριθμοί από το 1 έως και το 20 είναι πρώτοι και ποιοι είναι σύνθετοι;
Επανάληψη βασικών εννοιών-μκδ/εκπ Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης (ΜΚΔ) δύο ή περισσότερων ακεραίων είναι ο μεγαλύτερος φυσικός αριθμός που διαιρεί όλους τους αριθμούς ακριβώς. π.χ. ΜΚΔ(7,14)=7, ΜΚΔ(11, 24)=1 Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (ΕΚΠ) δύο ή περισσότερων ακεραίων είναι ο μικρότερος φυσικός αριθμός που είναι πολλαπλάσιο αυτών των αριθμών. π.χ. ΕΚΠ(3,15)=15, ΕΚΠ(7,3)=21, ΕΚΠ(12, 15)=60
Επανάληψη βασικών εννοιών-εύρεση ΜΚΔ/ΕΚΠ Ανάλυση σε γινόμενο πρώτων παραγόντων. ΜΚΔ: Ο αριθμός που προκύπτει από το γινόμενο των κοινών πρώτων αριθμών που εμφανίζονται ως βάσεις, το καθένα με την μικρότερη δύναμη στην οποία εμφανίζεται. ΕΚΠ: Ο αριθμός που προκύπτει από το γινόμενο των κοινών και μη κοινών πρώτων αριθμών που εμφανίζονται ως βάσεις, το καθένα με την μεγαλύτερη δύναμη στην οποία εμφανίζεται.
Επανάληψη βασικών εννοιών- Εύρεση ΜΚΔ/ΕΚΠ Παράδειγμα 3 ο Να αναλυθούν οι αριθμοί 64, 16, 12 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων και στη συνέχεια να βρεθεί ο ΜΚΔ και ο ΕΚΠ αυτών. Παράδειγμα 4 ο (2.2 βιβλίο) Να αναλυθούν οι αριθμοί 864, 702, 2.520 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων και στη συνέχεια να βρεθεί ο ΜΚΔ και το ΕΚΠ αυτών των αριθμών.
Επανάληψη βασικών εννοιών-κλάσματα, 0 n ή n ή k Ισχύει: n k ά n k n k ά n k 1, 1, 0 0, 0 0 1, 1
Επανάληψη βασικών εννοιών-κλάσματα Δύο κλάσματα λέγονται ισοδύναμα όταν εκφράζουν το ίδιο μέρος ενός μεγέθους. Ουσιαστικά δύο ισοδύναμα κλάσματα είναι ίσα μεταξύ τους. Απλοποίηση k n l m, n, m Μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε ή να διαιρέσουμε αριθμητή και παρονομαστή ενός κλάσματος με οποιοδήποτε αριθμό x 0. k n k n a a k n 0 a a
Επανάληψη βασικών εννοιών-κλάσματα Παράδειγμα 5 ο (2.3 βιβλίου) Να απλοποιηθούν τα κλάσματα και στη συνέχεια να γίνουν ομώνυμα: Παράδειγμα 6 ο 25 10 12,, 350 125 80 Να απλοποιηθούν τα κλάσματα και στη συνέχεια να γίνουν ομώνυμα: 28 120 35, 150 36, 60
Επανάληψη βασικών εννοιών- Κλάσματα Πράξεις κλασμάτων Για την πρόσθεση ή αφαίρεση κλασμάτων τα κάνουμε ομώνυμα (με τον ίδιο παρονομαστή) Παράδειγμα 7 ο. Πολλαπλασιασμός (Δεν χρειάζεται να τα κάνουμε ομώνυμα). Πολλαπλασιάζουμε αριθμητή με αριθμητή και παρονομαστή με παρονομαστή. Παράδειγμα 8 ο.
Επανάληψη βασικών εννοιών-κλάσματα Πράξεις Κλασμάτων Διαίρεση Δεν χρειάζεται να τα κάνουμε ομώνυμα. Παράδειγμα 9 ο. A B : C D A * B D C AD BC Μετατροπή σύνθετου κλάσματος σε απλό. Παράδειγμα 10 ο.
Επανάληψη βασικών εννοιών-δεκαδικοί αριθμοί Δεκαδικοί αριθμοί = Μετατροπή δεκαδικών κλασμάτων. Δεκαδικά κλάσματα: Τα κλάσματα που έχουν παρονομαστή δυνάμεις του 10, δηλαδή το 10, το 100, το 1000, το 10.000 κ.ο.κ. Παράδειγμα 11 ο. 7 10 0,7, 3 100 0,03, 243 1000 0,243 Σύγκριση δεκαδικών αριθμών.
Επανάληψη βασικών εννοιών-δυνάμεις Το γινόμενο α α α... α, που έχει ν παράγοντες ίσους με το α, λέγεται δύναμη του α στη α ή νιοστή δύναμη του α και συμβολίζεται με α ν. Ο αριθμός α λέγεται βάση της δύναμης και ο ν λέγεται εκθέτης. Συγκεκριμένα, αν ο α είναι πραγματικός αριθμός και ο ν φυσικός, έχουμε ορίσει ότι: Παράδειγμα 12 ο (3.1, 3.3 βιβλίου) Να υπολογιστούν οι 2 5 2 2 δυνάμεις 2,2,3,4 ά 10.
Επανάληψη βασικών εννοιών- Ιδιότητες Δυνάμεων
Επανάληψη βασικών εννοιών-ιδιότητες δυνάμεων Παράδειγμα 13 ο (Άσκηση 3.1 βιβλίου) Να γράψετε στη μορφή μίας δύναμης με βάση το x τα παρακάτω: 5 x x 4,( x 12 ) 3, x x 32 12
Επανάληψη βασικών εννοιών-δυνάμεις Παράδειγμα 14 ο : Να κάνετε τις πράξεις: Παράδειγμα 15 ο :
Επανάληψη βασικών εννοιών-πράξεις a+b, a-b, a*b, a/b, ab Αντιμεταθετική: a+b=b+a, a*b=b*a Προσεταιριστική: (a+b)+c=a+(b+c), (a*b)*c=a*(b*c) Προτεραιότητα Πράξεων Σειρά πράξεων σε μαθηματική παράσταση: Παρενθέσεις δυνάμεις διαίρεση/πολλαπλασιασμός πρόσθεση/αφαίρεση
Επανάληψη βασικών εννοιών-πράξεις Προτεραιότητα των πράξεων- Υπενθύμιση Παράδειγμα 16 ο Να υπολογίστε τις παρακάτω αριθμητικές παραστάσεις:
Επανάληψη βασικών εννοιών-πράξεις Παράδειγμα 17 ο (παράδειγμα 3.4, 3.5 βιβλίου) Να υπολογιστούν οι παρακάτω αριθμητικές παραστάσεις: 2 3 5 4 6 6 5 8 3 7 2 2 5 3 2 2 2 2 1 3 2
Επανάληψη βασικών εννοιών-ρίζες Η τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α συμβολίζεται με α και είναι ο θετικός αριθμός β που όταν υψωθεί στο τετράγωνο δίνει τον α. Δηλαδή, α=β β 2 =α, α,β 0. Η τετραγωνική ρίζα ενός αριθμού έχει τις παρακάτω ιδιότητες: 0, 0,, 0 0,, 0,, 0, 2 2 2 2
Επανάληψη βασικών εννοιών-ρίζες Παράδειγμα 18 ο (άσκηση 3.7 βιβλίο): Να χαρακτηρισθούν οι παρακάτω προτάσεις ως σωστές ή λανθασμένες. 15 9 64 225 36 2 x 32 169 6 15 9 7 ό x 225 169 49
Επανάληψη βασικών εννοιών-ρίζες Παράδειγμα 19 ο (άσκηση 3.9 βιβλίου) Να υπολογισθούν οι τετραγωνικές ρίζες: ) 40 41 121 ) 12 3 4 9 2 25 ) 1 9 2 7 81 36 2 ) 121 121 169 4 2 ) 14 9136 91 36
Επανάληψη βασικών εννοιών-ρίζες Κυβικές ρίζες και ρίζες ανώτερης τάξης Παράδειγμα 20 ο Να λυθούν οι εξισώσεις: a) x b) x 4 3 16 27 c) x 4 64 d ) x 5 32
Επανάληψη βασικών εννοιών-ρίζες Η εξίσωση x n a Αν το a>0 το n περιττός, τότε η εξίσωση έχει μία λύση την x n a το n άρτιος, τότε η εξίσωση έχει μία λύση την x n a Αν το a<0 το n περιττός, τότε η εξίσωση έχει μία λύση την το n άρτιος, τότε η εξίσωση είναι αδύνατη. x n a
Επανάληψη βασικών εννοιών-ρίζες Παράδειγμα 21 ο Να υπολογιστούν τα παρακάτω: i) ii) 3 3 5 2 8.000
Βιβλιογραφία Βασικά Μαθηματικά, Γεώργιος Κοντέος, Νικόλαος Σαριαννίδης