Κεφάλαιο 5 ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Ενα αυτόνομο δυναμικό σύστημα δύο διαστάσεων περιγράφεται από τις εξισώσεις

Κεφάλαιο 5 ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενα αυτόνομο δυναμικό σύστημα δύο διαστάσεων περιγράφεται από τις εξισώσεις ẋ 1 f 1 (x 1 x 2 ) ẋ 2 f 2 (x 1 x 2 ) (501) Το σύστημα αυτό γράφεται σε διανυσματική μορφή ẋ f (x) όπου φυσικά x (x 1 x 2 ) R 2 και το διανυσματικό πεδίο f έχει συνιστώσες f 1 f 2 δηλαδή f (f 1 f 2 ) Άλλος συνήθης τρόπος γραφής των εξισώσεων είναι ẋ f (x y) ẏ g (x y) (502) Οπως αναφέρθηκε στη γενική Παράγραφο 22 γεωμετρικά η λύση x (t) είναι μία καμπύλη στον R 2 με εφαπτόμενο διάνυσμα ίσο με f (x (t)) Δηλαδή μπορούμε να θεωρούμε τη λύση ως την τροχιά ενός σωματιδίου που κινείται στο επίπεδο και σε κάθε στιγμή t η ταχύτητά του είναι ίση με το διανυσματικό πεδίο f στην θέση του σωματιδίου Το υποσύνολο του R 2 όπου ορίζονται οι συναρτήσεις f 1 και f 2 λέγεται χώρος των φάσεων ή χώρος των καταστάσεων του δυναμικού συστήματος Το θεμελιώδες θεώρημα ύπαρξης και μοναδικότητας λύσης διαφορικών ε- ξισώσεων εξασφαλίζει ότι δοθεισών αρχικών τιμών x 1 (t 0 ) x 01 x 2 (t 0 ) 97

98 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ x 02 ή x (t 0 ) x 0 υπάρχει μοναδική λύση του (501) που ικανοποιεί την αρχική συνθήκη Με άλλα λόγια η τροχιά που τη στιγμή t 0 περνά από το σημείο x 0 (x 01 x 02 ) είναι μοναδική Από την πρόταση αυτή προκύπτει ότι οι τροχιές δεν τέμνονται βλ [8] Συνήθως ως αρχική στιγμή παίρνουμε t 0 0 Οπως και στα μονοδιάστα συστήματα ιδιαίτερη σημασία έχουν τα σημεία ισορροπίας του δυναμικού συστήματος που περιγράφεται από τις (501) Ε- παναλαμβάνουμε τον ορισμό και τις συνέπειες του στην περίπτωση των δύο διαστάσεων Ορισμός 501 Ενα σημείο x 0 λέγεται σημείο ισορροπίας της (501) αν f (x 0 ) 0 Επισημαίνουμε ότι ένα σημείο ισορροπίας x 0 είναι λύση του συστήματος και περιγράφεται από τη σταθερή διανυσματική συνάρτηση x(t) x 0 για κάθε t Ισοδύναμα ένα σημείο (a b) λέγεται σημείο ισορροπίας της (502) αν f (a b) 0 και g (a b) 0 δηλαδή η λύση είναι το ζεύγος των σταθερών συναρτήσεων x (t) a y (t) b για κάθε t Οπως προαναφέρθηκε το σύνολο των τροχιών του (501) αποτελεί το πορτραίτο των φάσεων του δυναμικού συστήματος Για παράδειγμα οι λύσεις του συστήματος ẋ y ẏ x είναι x (t) c 1 cos t + c 2 sin t y (t) c 1 sin t + c 2 cos t Υψώνοντας στο τετράγωνο και προσθέτοντας κατά μέλη προκύπτει x 2 + y 2 c 2 1 + c 2 2 επομένως το πορτραίτο των φάσεων συνίσταται από την αρχή (0 0) που είναι το μοναδικό σημείο ισορροπίας και ομόκεντρους κύκλους με κέντρο την αρχή των αξόνων Δικαιολογείστε την φορά των τροχιών Παράδειγμα 505 Θεωρούμε την εξίσωση του αρμονικού ταλαντωτή ẍ ω 2 x βλ και Παρατήρηση 531 Κατά τα γνωστά αυτή ανάγεται σε σύστημα δύο ΔΕ πρώτης τάξης πχ θέτωντας x 1 x x 2 ẋ θα έχουμε το σύστημα ẋ 1 x 2 ẋ 2 ω 2 x 1

51 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ: ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ 99 Η αναγωγή σε σύστημα δύο ΔΕ πρώτης τάξης μπορεί να γίνει και με άλλους τρόπους Επί παραδείγματι θα μπορούσαμε να θέσουμε x 1 ωx x 2 ωẋ οπότε θα καταλήγαμε στο σύστημα ẋ 1 ωx 2 ẋ 2 ωx 1 Οπως θα δούμε στην επόμενη παράγραφο το σύστημα αυτό γράφεται και ως ẋ 1 0 ω x 1 ω 0 ẋ 2 Για τη λύση του αναζητούμε δύο συναρτήσεις που η παράγωγος της πρώτης ισούται με τη δεύτερη και η παράγωγος της δεύτερης είναι η μείον πρώτη Μία προφανής λύση είναι το ζεύγος x 1 (t) c sin ωt x 2 (t) c cos ωt όπου c είναι αυθαίρετη σταθερή Επειδή το σύστημα προήλθε από ΔΕ δεύτερης τάξης πρέπει η γενική λύση να εξαρτάται από δύο αυθαίρετες σταθερές x 2 Ετσι η x 1 (t) πρέπει να είναι γραμμικός συνδυασμός ημιτόνου και συνημιτόνου και επειδή ẋ 2 ωx 1 με λίγη προσπάθεια μπορούμε να δούμε ότι η γενική λύση θα πρέπει να έχει τη μορφή Η λύση γράφεται και ως x 1 (t) x 2 (t) x 1 (t) c 1 cos ωt + c 2 sin ωt x 2 (t) c 1 sin ωt + c 2 cos ωt cos ωt sin ωt sin ωt cos ωt Η αρχική θέση του σημείου στο χώρο των φάσεων δίνεται από το διάνυσμα [x 1 (0) x 2 (0)] T [c 1 c 2 ] T Παρατηρούμε ότι το διάνυσμα [x 1 (t) x 2 (t)] T προκύπτει από τη δράση του πίνακα στροφής cos ωt sin ωt sin ωt cos ωt επί του αρχικού διανύσματος [c 1 c 2 ] T Μέσα σε χρόνο t το αρχικό διάνυσμα θέσης [c 1 c 2 ] T έχει στραφεί κατά γωνία ωt Οι τροχιές λοιπόν είναι ομόκεντροι κύκλοι κέντρου (0 0) με φορά αυτή των δεικτών του ρολογιού c 1 c 2 51 Γραμμικά συστήματα: κανονική μορφή Τα απλούστερα δυναμικά συστήματα είναι τα γραμμικά δυναμικά συστήματα Αυτά περιγράφονται από τις εξισώσεις ẋ Ax (511)

100 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ όπου A είναι ένας 2 2 πίνακας Ετσι το σύστημα (511) γράφεται ẋ 1 a b x 1 (512) c d ẋ 2 Μοναδικό σημείο ισορροπίας του (511) είναι το (0 0) 1 Θεωρούμε πρώτα την περίπτωση που ο A είναι διαγώνιος λ 1 0 0 λ 2 Λύσεις του (511) είναι x 2 x 1 (t) c 1 e λ 1t x 2 (t) c 2 e λ 2t (513) Το ζεύγος (x 1 (t) x 2 (t)) στην (513) είναι η παραμετρική αναπαράσταση της τροχιάς στο χώρο των φάσεων βλ την Παράγραφο 123 στο Παράρτημα Για να βρουμε την αλγεβρική αναπαράσταση της τροχιάς γράφουμε το σύστημα ως dx 2 dx 1 ẋ2 ẋ 1 λ 2x 2 λ 1 x 1 : k x 2 x 1 με k λ 2 /λ 1 Η διαφορική αυτή εξίσωση έχει γενική λύση x 2 Cx k 1 (514) όπου C είναι μία σταθερή Διακρίνουμε τις περιπτώσεις: Α Οι ιδιοτιμές λ 12 είναι και οι δύο θετικές Από την (513) προκύπτει ότι x 1 (t) και x 2 (t) τείνουν στο άπειρο όταν t Λόγω της (514) οι τροχιές είναι παραβολές και το σημείο ισορροπίας (0 0) είναι ασταθής κόμβος Το πορτραίτο φάσεων για k > 1 k 1 και k < 1 φαίνεται στο Σχήμα 51 0 0 0 0 0 0 Σχήμα 51: Ασταθείς κόμβοι

51 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ: ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ 101 Β Οι ιδιοτιμές λ 12 είναι και οι δύο αρνητικές Από την (513) προκύπτει ότι x 1 (t) και x 2 (t) τείνουν στο μηδέν όταν t Και πάλι σε κάθε τροχιά έχουμε x 2 Cx k 1 με k > 0 άρα οι τροχιές είναι παραβολές και το σημείο ισορροπίας (0 0) είναι ευσταθής κόμβος Το πορτραίτο φάσεων για k > 1 k 1 και k < 1 φαίνεται στο Σχήμα 52 0 0 0 0 0 0 Σχήμα 52: Ευσταθείς κόμβοι Γ Οι ιδιοτιμές λ 12 είναι ετερόσημες Παρατηρούμε ότι μία από τις x 1 (t) x 2 (t) τείνει στο μηδέν και η άλλη τείνει στο άπειρο όταν t Σε κάθε τροχιά έχουμε x 2 Cx k 1 με k < 0 Οι τροχιές είναι υπερβολές και το σημείο ισορροπίας (0 0) είναι σαγματοειδές σημείο Το πορτραίτο φάσεων φαίνεται στο Σχήμα 53 0 0 0 0 1 0 2 ¼ 2 1 1 1 1 3 ¼ 3 1 0 Σχήμα 53: Σάγμα 2 Θεωρούμε τώρα την περίπτωση που ο A δεν είναι διαγώνιος Δ Ο πίνακας A έχει την μορφή a ω ω > 0 ω a

102 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Οι λύσεις είναι x 1 (t) e at (c 1 cos ωt c 2 sin ωt) x 2 (t) e at (c 2 cos ωt + c 1 sin ωt) Οι τροχιές είναι σπείρες με φορά αντίθετη των δεικτών του ρολογιού Αν a > 0 το σημείο ισορροπίας (0 0) είναι ασταθής εστία ενώ αν a < 0 το σημείο ισορροπίας (0 0) είναι ευσταθής εστία Στην ειδική περίπτωση που a 0 οι τροχιές είναι κύκλοι κέντρου (0 0) με φορά αντίθετη των δεικτών του ρολογιού και το σημείο ισορροπίας (0 0) λέγεται κέντρο Αν ω αλλάξει πρόσημο προφανώς οι φορές των τροχιών αντιστρέφονται 0 0 0 0 0 0 Σχήμα 54: Ασταθής εστία κέντρο ευσταθής εστία Ε Ο πίνακας A έχει τη μορφή λ 1 λ > 0 0 λ Οπως μπορείτε να πιστοποιήσετε οι λύσεις είναι x 1 (t) (c 1 + c 2 t) e λt x 2 (t) c 2 e λt Αναλόγως του προσήμου του λ το σημείο ισορροπίας (0 0) είναι εκφυλισμένος κόμβος ασταθής ή ευσταθής Για λ < 0 οι τροχιές καταλήγουν ασυμπτωτικά στο (0 0) και εφάπτονται στον άξονα x 1 Πράγματι έχουμε dx 2 dx 1 ẋ2 ẋ 1 λc 2 e λt 0 όταν t + (λc 1 + λc 2 t + c 2 ) eλt δηλαδή η κλίση των τροχιών μηδενίζεται καθώς t Το πορτραίτο φάσεων φαίνεται στο Σχήμα 55 Αντίστοιχα ισχύουν για λ > 0 t Οταν ο A έχει τη μορφή λ 0 1 λ λ > 0 ισχύουν ανάλογα συμπεράσματα (μελετήστε το σύστημα)

52 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ: Η ΓΕΝΙΚΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 103 0 0 0 0 1 2 ¼ 1 3 ¼ Σχήμα 55: Εκφυλισμένος κόμβος 52 Γραμμικά συστήματα: η γενική περίπτωση Ερχόμαστε τώρα στη γενική περίπτωση όπου A είναι ένας τυχών 2 2 πίνακας Το επόμενο θεώρημα δείχνει ότι το σύστημα (511) ανάγεται πάντα σε μία από τις μορφές που εξετάσαμε Θεώρημα 521 Εστω ένας 2 2 πίνακας A Τότε υπάρχει 2 2 αντιστρέψιμος πίνακας P τέτοιος ώστε ο πίνακας B P 1 AP να έχει μία από τις μορφές (α) (γ) λ 1 0 a ω (β) με ω > 0 0 λ 2 ω a λ 1 λ 0 λ 0 ή (δ) 0 λ 1 λ 0 λ Η απόδειξη υπάρχει σε οποιοδήποτε βιβλίο Γραμμικής Άλγεβρας πχ [6 7] βλ και Κεφάλαιο 3 Αν ο A έχει διακριτές πραγματικές ιδιοτιμές λ 1 και λ 2 τότε ο πίνακας P [u 1 u 2 ] με στήλες τα ιδιοδιανύσματα u 1 και u 2 του A τον μετασχηματίζει σε διαγώνιο πίνακα της μορφής (α) Ομοια αν οι ιδιοτιμές του A είναι μιγαδικές συζυγείς a ± ib με ιδιοδιανύσματα u ± iv ο πίνακας P [vu] μετασχηματίζει τον A στη μορφή (β) Χάρη στο παραπάνω θεώρημα μπορούμε να λύσουμε οποιοδήποτε γραμμικό σύστημα ẋ Ax και να κάνουμε ένα σκίτσο του πορτραίτου των φάσεων Γράφουμε το σύστημα με τη μορφή (512) και διακρίνουμε τις περιπτώσεις: 1 Οι ιδιοτιμές του A είναι πραγματικές και άνισες με ιδιοδιανύσματα u 1 και u 2 Κατασκευάζουμε κατά τα γνωστά τον πίνακα P [u 1 u 2 ] και εισάγουμε

104 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ νέες συντεταγμένες y P 1 x x P y Παραγωγίζοντας θα έχουμε ẏ P 1 ẋ P 1 Ax P 1 AP y δηλαδή θα έχουμε το σύστημα ẏ 1 ẏ 2 λ 1 0 0 λ 2 y 1 y 2 Γνωρίζουμε ήδη τη λύση και το πορτραίτο φάσεων για το σύστημα αυτό Από τη σχέση x P y βρίσκουμε τη λύση του αρχικού συστήματος x(t) P y(t) Ετσι θα έχουμε c 1 e λ 1t x (t) P y (t) [u 1 u 2 ] c c 2 e λ 1 e λ1t u 1 + c 2 e λ2t u 2 (521) 2t Παράδειγμα 521 Για το σύστημα ẋ 1 x 1 3x 2 ẋ 2 2x 2 ο πίνακας 1 3 0 2 έχει ιδιοτιμές λ 1 1 και λ 2 2 με αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα u 1 [1 0] T u 2 [ 1 1] T Άρα 1 1 P P 1 1 1 και και φυσικά P 1 AP diag ( 1 2) Με αλλαγή συντεταγμένων y P 1 x έχουμε το σύστημα ẏ 1 ẏ 2 1 0 0 2 που έχει ως λύση y 1 (t) c 1 e t y 2 (t) c 2 e 2t Άρα η λύση του αρχικού συστήματος είναι c 1 e t x (t) P y (t) [u 1 u 2 ] c 2 e 2t c 1 e t u 1 + c 2 e 2t u 2 y 1 y 2 Επομένως x 1 (t) c 1 e t c 2 e 2t x 2 (t) c 2 e 2t

52 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ: Η ΓΕΝΙΚΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 105 Για την κατασκευή του πορτραίτου των φάσεων σημειώνουμε τα εξής y 1 και y 2 είναι οι συντεταγμένες του διανύσματος x στη βάση {u 1 u 2 } Κατά συνέπεια οι άξονες y 1 και y 2 παρίστανται από ευθείες που περνούν από την αρχή στο επίπεδο x 1 x 2 κατά την διεύθυνση των u 1 και u 2 αντίστοιχα Η απεικόνιση P είναι ένα προς ένα και επί συνεπώς κάθε σημείο του επιπέδου y 1 y 2 απεικονίζεται σε ένα μόνο σημείο του επιπέδου x 1 x 2 και αντιστρόφως Επιπλέον η απεικόνιση P είναι συνεχής δηλαδή η x είναι συνεχής συνάρτηση του y άρα οι τροχιές απεικονίζονται σε τροχιές Ο προσανατολισμός των τροχιών διατηρείται από την απεικόνιση αυτή διότι det P > 0 και παρόλο που οι τροχιές παραμορφώνονται η αρχή παραμένει σαγματικό σημείο Σχήμα 56 Συνεπάγεται ότι οι γραμμικές απεικονίσεις διατηρούν την ποιοτική συμπεριφορά των λύσεων Από τις παρατηρήσεις αυτές προκύπτει το πορτραίτο φάσεων του συστήματος 1 1 0 0 2 1 1 0 0 0 Σχήμα 56: Ο μετασχηματισμός P Παράδειγμα 522 Για το σύστημα ẋ 1 3x 1 x 2 ẋ 2 2x 1 ο πίνακας 3 1 2 0 έχει ιδιοτιμές λ 1 1 και λ 2 2 με αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα u 1 [1 2] T u 2 [1 1] T Άρα 1 1 P P 1 1 1 2 1 2 1 και

106 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ και φυσικά P 1 AP diag (1 2) Με αλλαγή συντεταγμένων y P 1 x έχουμε το σύστημα ẏ 1 ẏ 2 1 0 0 2 που έχει ως λύση y 1 (t) c 1 e t y 2 (t) c 2 e 2t Άρα η λύση του αρχικού συστήματος είναι c 1 e t x (t) P y (t) [u 1 u 2 ] c 2 e 2t c 1 e t u 1 + c 2 e 2t u 2 x 1 (t) c 1 e t c 2 e 2t x 2 (t) c 2 e 2t Οπως φαίνεται από την (521) και από τα παραπάνω παραδείγματα οι τροχιές πλησιάζουν ή απομακρύνονται από το σημείο ισορροπίας κατά τη διεύθυνση των ιδιοδιανυσμάτων Εν κατακλείδι το (0 0) είναι κόμβος αν οι ιδιοτιμές είναι ομόσημες είναι σαγματοειδές σημείο αν οι ιδιοτιμές είναι ετερόσημες 2 Οι ιδιοτιμές του A είναι μιγαδικές συζυγείς λ 12 a ± iω με αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα u ± iv Κατασκευάζουμε πάλι τον πίνακα P [vu] και εισάγουμε νέες συντεταγμένες y P 1 x Το σύστημα μας τώρα θα είναι ẏ P 1 AP y δηλαδή ẏ 1 a ω y 1 ω a ẏ 2 Γνωρίζουμε ήδη τη λύση και το πορτραίτο φάσεων για το σύστημα αυτό Από τη σχέση x P y βρίσκουμε τη λύση του αρχικού συστήματος x(t) P y(t) Ετσι θα έχουμε x(t) P e at c 1 cos ωt c 2 sin ωt c 2 cos ωt + c 1 sin ωt e at [(c 1 cos ωt c 2 sin ωt) v + (c 1 sin ωt + c 2 cos ωt) u] Το (0 0) είναι κέντρο ευσταθής εστία ή ασταθής εστία αναλόγως του αν το πραγματικό μέρος a των ιδιοτιμών είναι ίσο με 0 < 0 ή > 0 Συνοψίζουμε με ένα θεώρημα που καθορίζει τον χαρακτήρα του σημείου ισορροπίας (ευσταθής ή ασταθής κόμβος σαγματοειδές σημείο κέντρο ευσταθής ή ασταθής εστία) Θεώρημα 522 Εστω δ det A και τ tr A για το γραμμικό σύστημα ẋ Aẋ y 1 y 2 y 2

53 ΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΕΚΘΕΤΙΚΑ ΠΙΝΑΚΩΝ107 (α) Αν δ < 0 τότε το (0 0) είναι σαγματοειδές σημείο ισορροπίας (β) Αν δ > 0 (τ 0) και τ 2 4δ 0 τότε το (0 0) είναι κόμβος (ευσταθής αν τ < 0 ασταθής αν τ > 0) (γ) Αν δ > 0 και τ 0 τότε το (0 0) είναι κέντρο (δ) Αν δ > 0 (τ 0) και τ 2 4δ < 0 τότε το (0 0) είναι εστία (ευσταθής αν τ < 0 ασταθής αν τ > 0) Απόδειξη Οι ιδιοτιμές του A είναι Συμπεραίνουμε αμέσως ότι: του τ λ 12 1 2 τ ± τ 2 4δ (α) Αν δ < 0 οι ιδιοτιμές είναι πραγματικές με αντίθετα πρόσημα (β) Αν δ > 0 και τ 2 4δ 0 οι ιδιοτιμές είναι πραγματικές ομόσημες (γ) Αν δ > 0 και τ 0 οι ιδιοτιμές είναι φανταστικές συζυγείς (δ) Αν δ > 0 τ 0 και τ 2 4δ < 0 οι ιδιοτιμές είναι μιγαδικές συζυγείς Ας σημειωθεί ότι στην περίπτωση (β) του παραπάνω θεωρήματος για τ 2 4δ 0 ο αντίστοιχος κόμβος είναι εκφυλισμένος (διπλή ιδιοτιμή) Για εξάσκηση προσδιορίστε το χαρακτήρα του σημείου ισορροπίας όταν ο πίνακας A έχει μία από τις μορφές 1 2 a 2 a 2 5 6 a b a b R 3 4 1 a 1 a 3 4 b 2 53 Λύση γραμμικών συστημάτων με εκθετικά πινάκων Το παρακάτω θεώρημα μας δίνει τη λύση οποιουδήποτε γραμμικού συστήματος ẋ Ax όπου A είναι ένας n n πίνακας και x R n Θεώρημα 531 Η λύση του γραμμικού συστήματος στον R n ẋ Ax με x (0) x 0 δίνεται από την x (t) e ta x 0 Απόδειξη Το θεώρημα επαληθεύεται αν παραγωγίσουμε την e ta x 0

108 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Από την Παράγραφο 33 γνωρίζουμε τη διαδικασία για τον υπολογισμό του εκθετικού οποιουδήποτε 2 2 πίνακα Διαθέτουμε λοιπόν τη γενική μέθοδο για την επίλυση οποιουδήποτε γραμμικού συστήματος στον R 2 Επαληθεύστε ότι όταν ο πίνακας Β έχει μία από τις κανονικές μορφές λ 1 0 a b λ 1 λ 0 0 λ 2 b a 0 λ 1 λ τότε ο e tb είναι αντίστοιχα e λ 1t 0 0 e λ 2t e at cos bt sin bt sin bt cos bt e λt te λt 0 e λt e λt 0 te λt e λt Οπως είδαμε στο Θεώρημα 521 στη γενική περίπτωση ενός τυχόντος πίνακα A υπάρχει 2 2 πίνακας P τέτοιος ώστε ο πίνακας B P 1 AP να έχει μία από τις κανονικές μορφές Κατά την Πρόταση 334 ο πίνακας e ta δίνεται από e t P e tb P 1 Συνεπώς μπορούμε να γράψουμε τη λύση του ẋ Ax με x (0) c [c 1 c 2 ] T ως x (t) P e tb P 1 x 0 Παράδειγμα 531 Το σύστημα ẋ Ax με x (0) c [c 1 c 2 ] T όπου 0 4 1 0 έχει κέντρο στην αρχή διότι οι ιδιοτιμές του A είναι φανταστικές ±2i Ο πίνακας 2 0 P P 1 1/2 0 ανάγει τον A στην κανονική μορφή B P 1 AP 0 2 2 0 Επειδή e tb cos 2t sin 2t sin 2t cos 2t

53 ΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΕΚΘΕΤΙΚΑ ΠΙΝΑΚΩΝ109 η λύση του συστήματος είναι cos 2t sin 2t x (t) P sin 2t cos 2t P 1 cos 2t 2 sin 2t c 1 2 sin 2t cos 2t c 1 c 2 Εύκολα προκύπτει ότι οι λύσεις ικανοποιούν την εξίσωση x 2 1 + 4x2 2 c2 1 + 4c2 2 δηλαδή οι τροχιές του συστήματος κείνται σε ελλείψεις Παρατήρηση 531 Το παραπάνω παράδειγμα μας υποδεικνύει τον τρόπο επίλυσης του συστήματος ẋ y ẏ ω 2 x που προκύπτει από την εξίσωση του αρμονικού ταλαντωτή ẍ ω 2 x Το σύστημά μας γράφεται ως ẋ Ax με x(0) c [c 1 c 2 ] T όπου ω 2 0 Το σύστημα έχει κέντρο στην αρχή διότι οι ιδιοτιμές του A είναι φανταστικές ±iω Ο πίνακας 1/ω 0 P P 1 ω 0 ανάγει τον A στην κανονική μορφή B P 1 AP 0 ω ω 0 Η λύση του συστήματος είναι cos ωt sin ωt x (t) P sin ωt cos ωt P 1 c cos ωt ω sin ωt 1 sin ωt ω cos ωt c 1 c 2 Εύκολα προκύπτει ότι οι λύσεις ικανοποιούν την εξίσωση ω 2 x 2 1 + x2 2 ω2 c 2 1 + c2 2 δηλαδή οι τροχιές του συστήματος είναι ελλείψεις Για μία ελαφρώς διαφορετική επίλυση του προβλήματος βλ Παράδειγμα 505

110 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ασκήσεις 1 Υπολογίστε για εξάσκηση τα εκθετικά των πινάκων 1 2 1 0 5 6 0 1 3 1 3 4 1 0 2 1 1 2 2 Σχεδιάστε το πορτραίτο των φάσεων των συστημάτων ẋ Ax όπου A ο πίνακας 1 0 2 0 1 0 2 0 1 0 0 1 0 2 0 2 0 1 0 2 2 1 2 1 0 2 0 2 0 2 1/5 2 0 2 0 2 2 0 2 0 2 0 2 1/5 3 Βρείτε τη λύση του συστήματος ẋ Ax και σχεδιάστε το πορτραίτο φάσεων με A ένα από τους πίνακες 2 1 1 3 3 1 5 6 02 1 0 2 3 1 3 1 1 3 3 4 1 02 4 Χωρίς να λύσετε το σύστημα ẋ Ax προσδιορίστε τον χαρακτήρα του σημείου ισορροπίας (κόμβος εστία κλπ) με A ένα από τους 1 2 1 1 a 2 a 2 3 4 2 3 1 a 1 a Για ποιες τιμές των παραμέτρων a και b το σύστημα ẋ Ax με a b b 2 έχει ευσταθές σημείο ισορροπίας στην αρχή των αξόνων; 54 Κατασκευή συστημάτων με σάγμα κόμβο κέντρο ή εστία 541 Σάγμα Για να κατασκευάσουμε ένα σύστημα που να εμφανίζει σάγμα αναζητούμε πίνακα με ετερόσημες ιδιοτιμές άρα αρνητική ορίζουσα πχ ο 1 2 1 0

54 ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΣΑΓΜΑ ΚΟΜΒΟ ΚΕΝΤΡΟ Η ΕΣΤΙΑ111 έχει ιδιοτιμές 1 και 2 με αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα u 1 [1 1] T και u 2 [ 2 1] T Η λύση του συστήματος ẋ x 2y ẏ x (541) με x (0) a και y (0) b είναι x (t) ae t 2be 2t y (t) ae t + be 2t που μπορεί να γραφεί και ως x (t) ae t u 1 + be 2t u 2 10 05 00 05 10 10 05 00 05 10 Σχήμα 57: Σάγμα: Πορτραίτο φάσεων του συστήματος (541) Με παχύτερες γραμμές απεικονίζονται οι διαχωρίζουσες ευθείες Οι τροχιές κατά μήκος του u 1 πλησιάζουν το (0 0) καθώς t + και κατά μήκος του u 2 απομακρύνονται από το (0 0) καθώς t Εκτός αυτών των διαχωριζουσών όλες οι άλλες τροχιές πλησιάζουν το (0 0) και στη συνέχεια κάμπτονται και απομακρύνονται προς το άπειρο καθώς t + βλ Σχήμα 57 542 Κόμβος Για να κατασκευάσουμε ένα σύστημα που να εμφανίζει ευσταθή κόμβο αναζητούμε ένα πίνακα A με αρνητικές ιδιοτιμές άρα με αρνητικό ίχνος τ < 0

112 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ θετική ορίζουσα δ > 0 και τ 2 4δ > 0 πχ ο πίνακας 05 03 0 02 έχει ιδιοτιμές 05 και 02 με αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα u 1 [1 0] T u 2 [ 1 1] T Η λύση του συστήματος και ẋ 05x 03y ẏ 02y (542) με x (0) a και y (0) b είναι x (t) ae 05t be 02t y (t) be 02t που μπορεί να γραφεί και ως x (t) ae 05t u 1 + be 02t u 2 Το πορτραίτο φάσεων εμφανίζει ευσταθή κόμβο Σχήμα 58 10 05 00 05 10 10 05 00 05 10 Σχήμα 58: Κόμβος: Πορτραίτο φάσεων του συστήματος (542) Με παχύτερες γραμμές απεικονίζονται οι τροχιές κατά μήκος των ιδιοδιανυσμάτων Ολες οι τροχιές πλησιάζουν το (0 0) καθώς t + και όλες (πλην αυτών κατά τη διεύθυνση του u 1 ) προσεγγίζουν την αρχή εφαπτομενικά του u 2 Οι παραμορφωμένες παραβολές αγκαλιάζουν τον άξονα του u 1 που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή με τη μεγαλύτερη απόλυτη τιμή και εφάπτονται στον άξονα που αντιστοιχεί στη μικρότερη ιδιοτιμή

54 ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΣΑΓΜΑ ΚΟΜΒΟ ΚΕΝΤΡΟ Η ΕΣΤΙΑ113 543 Κέντρο Για να κατασκευάσουμε ένα σύστημα που να εμφανίζει κέντρο αναζητούμε πίνακα με φανταστικές ιδιοτιμές άρα ίχνος 0 και ορίζουσα θετική πχ ο 1 5 1 1 έχει ιδιοτιμές ±2i Η λύση του συστήματος ẋ x 5y ẏ x y (543) με x (0) 1 και y (0) 1 είναι x (t) cos 2t y (t) cos 2t 2 sin 2t Απαλείφοντας το t βρίσκουμε που παριστάνει έλλειψη 5 4 x2 + 1 4 y2 1 xy 1 2 Η μορφή της έλλειψης προκύπτει γράφοντας την 10 05 00 05 10 10 05 00 05 10 Σχήμα 59: Κέντρο: Πορτραίτο φάσεων του συστήματος (543) Οι άξονες των ελλείψεων έχουν τις διευθύνσεις των ιδιοδιανυσμάτων του πίνακα Q της διγραμμικής μορφής αντίστοιχη διγραμμική μορφή 5 4 x2 + 1 4 y2 1 xy [x y] 2 a 11 a 12 a 12 a 22 x y a 11 x 2 + 2a 12 xy + a 22 y 2

114 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ άρα a 11 a 12 a 12 a 22 5/4 1/4 1/4 1/4 : Q Ο Q έχει ιδιοτιμές 3 ± 5 /4 με αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα 2 5 1 T Οι άξονες της έλλειψης έχουν τις διευθύνσεις των (ορθογωνίων!) ιδιοδιανυσμάτων και ο μεγάλος ημιάξονας έχει μήκος 1/ λ min όπου λ min είναι η μικρότερη ιδιοτιμή Σχήμα 59 544 Εστία Για να κατασκευάσουμε ένα σύστημα που να εμφανίζει ευσταθή εστία αναζητούμε πίνακα με μιγαδικές ιδιοτιμές αρνητικό ίχνος τ < 0 θετική ορίζουσα δ > 0 και τ 2 4δ < 0 πχ ο 01 401 1 03 έχει ιδιοτιμές 02 ± 2i και ιδιοδιανύσματα u ± iv όπου u [0895 0022 ] T και v [0 0446 ] T 10 05 00 05 10 10 05 00 05 10 Σχήμα 510: Εστία: Πορτραίτο φάσεων του συστήματος (544) Η λύση του συστήματος ẋ 01x 401y ẏ x 03y (544)

54 ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΣΑΓΜΑ ΚΟΜΒΟ ΚΕΝΤΡΟ Η ΕΣΤΙΑ115 είναι x (t) P e tb P 1 x 0 όπου P [vu] και B e 02t cos 2t sin 2t sin 2t cos 2t Με αρχικές συνθήκες x (0) 1 και y (0) 1 βρίσκουμε x (t) e 02t (cos 2t 1955 sin 2t) y (t) e 02t (045 sin 2t + cos 2t) και φυσικά παριστάνει σπείρα Σχήμα 510 545 Εκφυλισμένος κόμβος Ο πίνακας 03 05 05 07 έχει μία διπλή ιδιοτιμή λ 12 02 με ένα μόνο ιδιοδιάνυσμα u [1 1] T Για τη λύση του συστήματος ẋ 03x + 05y ẏ 05x + 07y (545) σημειώνουμε ότι επιλέγοντας ένα οποιοδήποτε άλλο διάνυσμα v γραμμικώς ανεξάρτητο πχ v [ 1 1] T ο πίνακας P [uv] τριγωνοποιεί τον A P 1 02 1 AP : B 0 02 Ως γνωστόν e tb e 02t te 02t 0 e 02t συνεπώς η λύση του συστήματος με x (0) a και y (0) b είναι x (t) P e etb P 1 x (0) y (t) y (0) επομένως x (t) 1 2 e02t (2a at + bt) y (t) 1 2 e02t (2b at + bt) και το πορτραίτο φάσεων εμφανίζει ασταθή εκφυλισμένο κόμβο Σχήμα 511 Ολες οι τροχιές εγκαταλείπουν την αρχή εφαπτομενικά του u Ισοδύναμα

116 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 10 05 00 05 10 10 05 00 05 10 Σχήμα 511: Εκφυλισμένος κόμβος: Πορτραίτο φάσεων του συστήματος (545) Με παχύτερες γραμμές απεικονίζονται οι τροχιές κατά μήκος του μοναδικού ιδιοδιανύσματος Με διακεκομμένη γραμμή απεικονίζεται η ευθεία 5x + 7y 0 πλησιάζουν το (0 0) καθώς t εφαπτομενικά του u Ολες αποκτούν την διεύθυνση του u καθώς t + Οι ισχυρισμοί αυτοί προκύπτουν από τη μελέτη της κλίσης dy/dx ή του διανύσματος της ταχύτητας (ẋ ẏ) καθώς t ± : dy dx ẏ d 1 ẋ dt 2 e02t (2b at + bt) d dt 7b 5a at + bt 1 2 e02t (2a at + bt) 5b 3a at + bt Οι τροχιές κάμπτονται και αλλάζουν διεύθυνση όταν dy/dx 0 δηλαδή κατά μήκος της ευθείας 5x + 7y 0 που παρίσταται με διακεκομένη γραμμή στο Σχήμα 511