Πρόβληµα ΑπειρόβαθοΚβαντικόΠηγάδι3α(ΑΚΠ3α), x > Θεωρούµε κβαντικό πηγάδι µε δυναµικό της µορφής V( x) x Να εκτιµηθούν οι ιδιοκαταστάσεις του συστήµατος για (α) c> και (β) c< Για την περίπτωση (α) να µελετηθεί το ίδιο κβαντικό σύστηµα, θεωρώντας το παραπάνω δυναµικό ως οριακή περίπτωση ( α και V ) του δυναµικού της µορφής, x > V( x) V Θ ( x+ a) Θ( x a), x Ε - Ι Σχήµα ΑΚΠ3α Σχηµατική αναπαράσταση του κβαντικού πηγαδιού µε δυναµικό της, x > µορφής V( x) µε c > Στο δυναµικό αυτό, όλες οι δυνατές x ενεργειακές καταστάσεις µε Ε> είναι δέσµιες Η εξίσωση Schrödingerι για την περιοχή και ΙΙ είναι d ψ [ ] ( x) me = Eψ [ ] ( x) ψ [ ] ( x) + k ψ [ ] ( x) m dx =, Οι λύσεις των διαφορικών εξισώσεων στις δύο περιοχές είναι ψ ( x) = A coskx+ B sin kx, ψ ( x) = A coskx+ B sinkx Από την συνοριακή συνθήκη της κυµατοσυνάρτησης στο x=-, έχουµε ψ ( x= ) =, εκτιµούµε ότι ψ ( ) = A cosk B sink= A = B tank Έτσι ψ ( x) = A coskx + B sin kx = ( B / cos k)sink cos kx + ( B / cos k) cosk sinkx = C sin k( x + ) Με ανάλογους υπολογισµούς βρίσκουµε ότι η ψ ( x) = C sin k( x ) Ακόµα αφού η συνάρτηση στην θέση x= είναι συνεχής, έχουµε την παρακάτω συνθήκη ψ ( x = ) = C sin k( ) = C sin k( ) = ψ ( x= ) C = C ηλαδή οι ιδιοσυναρτήσεις είναι άρτιες, καθώς ψ ( x) = C sin k( x ) = C sin k( x+ ) = ψ ( x) Ενώ η παράγωγος της συνάρτησης είναι ασυνεχής, εξαιτίας της παρουσίας της δ-συνάρτησης στο δυναµικό Ποσοτικά η ασυνέχεια εκτιµάται µέσω της εξίσωσης Schrödingerι, έχουµε δηλαδή d ψ( x) ε d dψ( x) ε ε + cδ( x) ψ( x) = Eψ( x) dx c δ( x) ψ( x) dx E ψ( x) dx m dx m + ε dx dx = ε ε
Αν τα όρια των ολοκληρωµάτων (ε>) γίνουν πολύ µικρά (τείνουν δηλαδή οριακά στο µηδέν, ε ), το τρίτο ολοκλήρωµα µηδενίζεται και έχουµε την σχέση d ( ) d ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) d + d ψ ε ψ ε ε ψ ψ ψ = E ψ x dx ε = () dx dx ε dx dx ψ dψ( + ) dψ( ) Έτσι έχουµε = Ck cos( k k) Ck cos( k + k) = C sin( k + k) dx dx Από την οποία βρίσκουµε τις δυνατές τιµές του k και άρα και της ενέργειας E Έχουµε δηλαδή kcos( k) = sin( k) tan( k) = k (ελέγξτε αν για c=, έχουµε την σωστή συνθήκη του απειρόβαθου πηγαδιού, θα πρέπει να την έχουµε;) Η λύση της παραπάνω σχέσης µπορεί να βρεθεί αριθµητικά Προσεγγιστικά µπορούµε να έχουµε µια εκτίµηση των ιδιοενεργειών γραφικά Η σταθερά C, εκτιµάται από τον νορµαλισµό των ιδιοσυναρτήσεων ηλαδή ψ ( x) dx = C sin k( x + ) dx + C sin k( x ) dx = C / + C /= C / = Τέλος θα διερευνήσουµε αν βρίσκουµε το ίδιο αποτέλεσµα, αντιµετωπίζοντας το δέλτα δυναµικό ως, x > οριακή περίπτωση του δυναµικού V( x) V Θ ( x+ a) Θ( x a), x Από την λύση του προβλήµατος ΑΚΠβ, αντιγράφουµε την συνθήκη για την εύρεση των άρτιων ιδιοσυναρτήσεων, tan k ( a) tanh γ a= k/ γ Το δυναµικό του προβλήµατος ΑΚΠβ γίνεται ένα δυναµικό δ-συνάρτησης όταν το πάχος του φράγµατος δυναµικού γίνει απείρως µικρό (a ) και το ύψος του απείρως µεγάλο (V ), αλλά µε τέτοιο τρόπο ώστε να διατηρεί το παραλληλόγραµµο σχήµα του και το εµβαδόν να είναι σταθερό Πρέπει δηλαδή τα δύο εµβαδά να είναι ίσα, av a = c δ ( x )dx = c Τώρα όταν a, η σχέση tan k ( a) tanhγ a= k/ γ γίνεται a γa γa sinhγa e e + γa ( γa) tan k = k /( γ a) (καθώς, tanh γ a = = = γ a) και αφού γa γa coshγa e + e + γa+ γa mv ( E) m( av) me γ a= a= a = k a, η σχέση tan k = k/( γ a) γίνεται η ζητούµενη tan( k) = k
Συνεχίζουµε µε την περίπτωση που ο συντελεστής στο δέλτα δυναµικό είναι αρνητικός ενώ η ενέργεια είναι θετική Ε - Ι Σχήµα ΑΚΠ3α Σχηµατική αναπαράσταση του κβαντικού πηγαδιού µε δυναµικό της, x > µορφής V( x) µε c < Στο δυναµικό αυτό, όλες οι δυνατές x ενεργειακές καταστάσεις µε Ε> είναι δέσµιες λ= 5-5 λ=- 3 4 5 6 x (ακτίνια) Σχήµα ΑΚΠ3α3 Γραφική αναζήτηση λύσεων της µη γραµµικής εξίσωσης tan( k) = k, η οποία γράφεται ισοδύναµα (αν x = k ), tan x = λx (όπου λ = ), από την οποία υπολογίζονται οι ιδιοενέργειες του συστήµατος Όταν το c είναι θετικό έχουµε την ευθεία µε αρνητική κλίση (εδώ λ=-), ενώ όταν το c είναι αρνητικό έχουµε την ευθεία µε θετική κλίση (εδώ λ=) Ανεξάρτητα προσήµου του c, υπάρχει απειρία λύσεων
Προφανώς όλη η µεθοδολογία που ακολουθήσαµε παραµένει η ίδια, µε τα ίδια ακριβώς αποτελέσµατα, µόνο που ο συντελεστής στο δ-δυναµικό είναι αρνητικός Έχουµε δηλαδή την ίδια συνθήκη για τις ιδιοκαταστάσεις της ενέργειας tan( k) = k Όµως τώρα στην γραφική εκτίµηση των ιδιοτιµών της ενέργειας υπάρχει η διαφορά ότι η κλίση της ευθείας k, είναι θετική Παρατηρούµε ότι οι ιδιοτιµές της ενέργειας για θετικό λ (αρνητικό c) είναι µικρότερες από τις αντίστοιχες ενέργειες µε αρνητικό λ (θετικό c) Για παράδειγµα παρατηρείστε ότι η λύση της εξίσωσης tan x = λ x για αρνητικό c αντιστοιχεί σε x<π/ ενώ για θετικό c αντιστοιχεί σε x>π/ Η συµπεριφορά αυτή είναι αναµενόµενη καθώς θετικό c περιγράφει ένα ισχυρά απωστικό δυναµικό (µπορούµε να φανταστούµε ένα αρνητικό ιόν στο κέντρο του πηγαδιού), ενώ αρνητικό c περιγράφει ένα ισχυρά ελκτικό δυναµικό (πχ ένας πυρήνας στο κέντρο του πηγαδιού) - Ι Ε Σχήµα ΑΚΠ3α4 Σχηµατική αναπαράσταση του κβαντικού πηγαδιού µε δυναµικό της µορφής V, ( x x > ) x µε c < και αρνητικές ενέργειες (Ε<) Στην περίπτωση ελκτικού δυναµικού (αρνητικό c) για αρνητικές ενέργειες η εξίσωση Schrödingerι για την περιοχή και ΙΙ είναι (προσοχή τώρα η ποσότητα me /, είναι αρνητική καθώς E < ) d ψ [ ] ( x) me = Eψ [ ] ( x) ψ [ ] ( x) + γ ψ [ ] ( x) m dx =, Οι λύσεις των διαφορικών εξισώσεων στις δύο περιοχές είναι x x x x ( x) Ae γ Be γ, ( x) A e γ ψ = + ψ = + B e γ Από την συνοριακή συνθήκη της κυµατοσυνάρτησης στο x=-, έχουµε ψ ( x= ) =, εκτιµούµε ότι γ γ γ ψ ( ) = Ae + B e = B = Ae γ ( ) ( ) Έτσι ( ) x γ x γ x λ γ x λ x Ae Be Ae Ae e Ae γ ( e x + γ e x + ψ = + = = ) = C sinh γ ( x+ ) Με ανάλογους υπολογισµούς εκτιµούµε ότι η ψ ( x) = C sinh γ ( x )
Αφού η συνάρτηση στην θέση x= είναι συνεχής, έχουµε την παρακάτω συνθήκη ψ ( x = ) = C sinh γ( ) = C sinh γ( ) = ψ ( x= ) C = C ηλαδή οι ιδιοσυναρτήσεις είναι άρτιες, καθώς ψ ( x) = C sinh γ( x ) = C sinh γ( x+ ) = ψ ( x) + dψ( ) dψ( ) Η παράγωγος της συνάρτησης είναι ασυνεχής, = ψ () dx dx + dψ( ) dψ( ) Έτσι έχουµε = Cγ cosh( γ γ) Cγ cosh( γ + γ) = C sinh( γ + γ) dx dx Από την οποία βρίσκουµε τις δυνατές τιµές του k και άρα και της ενέργειας E Έχουµε δηλαδή γ cosh( γ) = sinh( γ) tanh( γ) = γ Παρατηρούµε ότι υπάρχει µόνο µία ενεργειακή κατάσταση για το δυναµικό αυτό - - -4-4 x(ακτίνια) Σχήµα ΑΚΠ3α5 Γραφική αναζήτηση λύσεων της µη γραµµικής εξίσωσης tan k( γ ) = γ, η οποία γράφεται ισοδύναµα (αν x = γ ), tan x = λx (όπου λ = ), από την οποία υπολογίζονται οι ιδιοενέργειες του συστήµατος Εδώ το c είναι αρνητικό έχουµε την ευθεία µε θετική κλίση (λ=4) Καθώς το γ είναι θετικό me δεχόµαστε την θετική ρίζα, ενώ από την σχέση γ, εκτιµούµε την αρνητική ενέργεια Προσεγγιστικά η λύση της παραπάνω σχέσης βρίσκεται γραφικά (σχήµα ΑΚΠ3α5) Παρατηρούµε ότι υπάρχει µία µόνο ιδιοκατάσταση αρνητικής ενέργειας, η οποία είναι και η θεµελιώδη κατάσταση του συστήµατος Η κλίση της ευθείας λ x, είναι τόσο πιο µεγάλη όσο πιο µεγάλο είναι το λ είναι µεγαλύτερο, δηλαδή όσο το c είναι µικρότερο Πράγµατι, για πολύ µικρό c, το δ-δυναµικό είναι πολύ ρηχό και η ενέργεια αναµένεται να είναι κοντά στο µηδέν, πράγµα που επιβεβαιώνεται από την γραφική λύση καθώς όταν η κλίση γίνει πολύ µεγάλη (πολύ µικρό c) η λύση είναι κοντά στο µηδέν Τέλος παρατηρούµε ότι από κάποιο c και πάνω η κλίση γίνεται µικρή και πρακτικά η λύση της εξίσωσης me tan x = λ x είναι x, δηλαδή x= γ γ = / E Τιµή της ενέργειας m που είναι ανεξάρτητη του βάθους του δ-δυναµικού
Η σταθερά C, εκτιµάται από τον νορµαλισµό των ιδιοσυναρτήσεων ηλαδή = ψ ( xdx ) = C sin h γ( x + dx ) + C sin h γ( x dx ) = C? (άσκηση για τον φοιτητή) Τέλος διερευνήστε (α) αν βρίσκουµε το ίδιο αποτέλεσµα, αντιµετωπίζοντας το δέλτα δυναµικό ως, x > οριακή περίπτωση του δυναµικού V( x) µε V <, και (β) το VΘ ( x+ a) Θ( x a), x πρόβληµα µε δυναµικό µε c> (σχήµα ΑΚΠ3α), αλλά για αρνητικές ενέργειες (βλέπε πρόβληµα ΑΚΠβ)