ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΜΣ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΕΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΥΛΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ (ΟΣΥΛ) ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «Υλοποίηση αριθμητικών μονάδων υπολοίπου με αριθμητική των δυαδικών» Μαριδάκης Νικόλαος Α.Μ. 5 Τριμελής Εξεταστική Επιτροπή Επιβλέπων: Χαρίδημος Βέργος Αναπληρωτης Καθηγητής Μέλη: Γεώργιος Αλεξίου Καθηγητής Δημήτριος Νικολος Καθηγητής Πάτρα Νοέμβριος 9
Περιεχόμενα Περιεχόμενα ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΑΡΚΤΙΚΟΛΕΞΑ ΠΙΝΑΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΙΚΟΝΕΣ 4 ΠΕΡΙΛΗΨΗ 5. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΥΠΟΛΟΙΠΟΥ 6.. ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΑΡΙΘΜΩΝ ΣΤΟ RNS 6.. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ RNS 8.. ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ... Modulo πρόσθεση με βάρη... Dmshed- modulo πρόσθεση... Χρήση dmshed- αθροιστών για πρόσθεση με βάρη. ΚΑΙΝΟΥΡΓΙΟΙ ΑΘΡΟΙΣΤΕΣ MODULO N ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΕΝΤΕΛΩΝ 8.. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 8.. Η ΝΕΑ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΓΙΑ MOMA... Το κύκλωμα μετάφρασης... Το δέντρο αντίστροφων EAC CSA 4... Ο Αθροιστής του τελικού επιπέδου 6..4. Παράδειγμα για τον προτεινόμενο wehted MOMA 7.. ΣΥΓΚΡΙΣΕΙΣ.4. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ. ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΕΣ ΓΙΑ ΤΑΧΕΙΣ ΑΘΡΟΙΣΤΕΣ MODULO N.. ΕΙΣΑΓΩΓΗ.. ΒΑΣΙΚΕΣ ΈΝΝΟΙΕΣ 4.. ΚΑΙΝΟΥΡΓΙΟΙ DIMINISED- ΑΘΡΟΙΣΤΕΣ 7.4. ΚΑΙΝΟΥΡΙΟΙ WEITED ΑΘΡΟΙΣΤΕΣ 4.5. ΣΥΓΚΡΙΣΕΙΣ 45.6. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ 47 4. ΚΑΙΝΟΥΡΓΙΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΓΙΑ ΓΕΝΝΗΤΡΙΕΣ ΥΠΟΛΟΙΠΟΥ ΣΕ MODULO N ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ 49 4.. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 49 4.. ΝΕΑ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΓΙΑ R ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 5 4... Χρησιμοποιώντας ένα MOMA σαν R 5 4... Παράδειγμα για την προτεινόμενη γεννήτρια υπολοίπου 5 4.. ΣΥΓΚΡΙΣΕΙΣ 5 4.4. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ 55 5. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 56 Υλοποίηση αριθμητικών μονάδων υπολοίπου με αριθμητική των δυαδικών
Αρκτικόλεξα Αρκτικόλεξα RNS Carry roaate CLA CSA EAC FA A IDEA MOMA RC Αρχιτ ΑΥΠΕ Επιφ Καθ Resdue Number System σύστημα αριθμητικής υπολοίπου Διάδοση Κρατουμένου Carry Look-ahead Adders Carry Save Adder Ed Aroud Carry (αθροιστής) επανεισαγόμενου κρατουμένου Full Adder- πλήρης αθροιστής alf Adder ημιαθροιστής Iteratoal Data Ecryto Alorthm Διεθνής αλγόριθμος κρυπτογράφησης δεδομένων Mult-Oerad Modulo Adder αθροιστές υπολοίπου πολλαπλών εντέλων Resdue eerator Crcut κύκλωμα γεννήτριας υπολοίπου Αρχιτεκτονική Αθροιστές Υπολοίπου Πολλαπλών Εντέλων Επιφάνεια Καθυστέρηση Υλοποίηση αριθμητικών μονάδων υπολοίπου με αριθμητική των δυαδικών
Πίνακες - Εξισώσεις Πίνακες ΠΙΝΑΚΑΣ. ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ ΚΑΙ ΚΑΘΥΣΤΕΡΗΣΗ ΣΥΜΦΩΝΑ ΜΕ ΤΟ UNIT-ATE ΜΟΝΤΕΛΟ 6 ΠΙΝΑΚΑΣ. ΕΞΑΓΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ ΚΑΙ ΚΑΘΥΣΤΕΡΗΣΗ 7 ΠΙΝΑΚΑΣ. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΓΙΑ ΤΟΝ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ WEITED ΜΟΜΑ 7 ΠΙΝΑΚΑΣ. ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ ΣΕ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ ΚΑΙ ΚΑΘΥΣΤΕΡΗΣΗ ΣΥΜΦΩΝΑ ΜΕ ΤΟ UNIT-ATE ΜΟΝΤΕΛΟ _ ΠΙΝΑΚΑΣ. ΠΟΙΟΤΙΚΑ ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ - ΙΣΟΔΥΝΑΜΕΣ ΠΥΛΕΣ ΠΙΝΑΚΑΣ. 4 ΠΟΣΟΤΙΚΑ ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΠΙΝΑΚΑΣ. ΑΡΙΘΜΟΣ REFIX ΤΕΛΕΣΤΩΝ 4 ΠΙΝΑΚΑΣ. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΚΑΘΥΣΤΕΡΗΣΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ (ΣΕ MS ΚΑΙ ΜM ) ΓΙΑ DIMINISED- ΑΘΡΟΙΣΤΕΣ 46 ΠΙΝΑΚΑΣ. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΚΑΘΥΣΤΕΡΗΣΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ (ΣΕ MS ΚΑΙ ΜM ) ΓΙΑ WEITED ΑΘΡΟΙΣΤΕΣ 47 ΠΙΝΑΚΑΣ 4. ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ ΚΑΙ ΚΑΘΥΣΤΕΡΗΣΗΣ ΣΥΜΦΩΝΑ ΜΕ ΤΟ UNIT-ATE ΜΟΝΤΕΛΟ _5 ΠΙΝΑΚΑΣ 4. ΠΟΙΟΤΙΚΑ ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ - ΙΣΟΔΥΝΑΜΕΣ ΠΥΛΕΣ 5 ΠΙΝΑΚΑΣ 4. ΠΟΣΟΤΙΚΑ ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ 55 Εξισώσεις ΕΞΙΣΩΣΗ. ΕΞΙΣΩΣΗ. ΕΞΙΣΩΣΗ. ΕΞΙΣΩΣΗ. 4 4 ΕΞΙΣΩΣΗ. ΕΞΙΣΩΣΗ. ΕΞΙΣΩΣΗ. ΕΞΙΣΩΣΗ. 4 ΕΞΙΣΩΣΗ. 5 ΕΞΙΣΩΣΗ. 6 4 ΕΞΙΣΩΣΗ. 7 5 ΕΞΙΣΩΣΗ. 8 6 ΕΞΙΣΩΣΗ. 6 ΕΞΙΣΩΣΗ. 4 ΕΞΙΣΩΣΗ. 4 ΕΞΙΣΩΣΗ. 4 44 ΕΞΙΣΩΣΗ 4. 5 Υλοποίηση αριθμητικών μονάδων υπολοίπου με αριθμητική των δυαδικών
Εικόνες 4 Εικόνες ΕΙΚΟΝΑ. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΠΡΟΣΘΕΣΗΣ ΣΕ ΔΕΚΑΔΙΚΟ ΚΑΙ RNS ΣΥΣΤΗΜΑ 7 ΕΙΚΟΝΑ. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ ΣΕ ΔΕΚΑΔΙΚΟ ΚΑΙ RNS ΣΥΣΤΗΜΑ 8 ΕΙΚΟΝΑ. ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΙΚΑΝΟΤΗΤΑΣ ΑΝΙΧΝΕΥΣΗΣ ΛΑΘΩΝ ΛΟΓΩ ΧΡΗΣΗΣ ΠΛΕΟΝΑΖΟΝΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΣΤΗ ΒΑΣΗ ΤΟΥ RNS ΕΙΚΟΝΑ. 4 ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΩΝΤΑΣ ΕΝΑΝ AUMENTED DIMINISED- ΑΘΡΟΙΣΤΗ ΓΙΑ -BITS ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΜΕ ΒΑΡΗ 5 ΕΙΚΟΝΑ. ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΓΙΑ WEITED MOMA(4 ) ΣΥΜΦΩΝΑ ΜΕ ΤΟ [] 9 ΕΙΚΟΝΑ. ΚΥΚΛΩΜΑ ΜΕΤΑΦΡΑΣΗΣ ΕΙΚΟΝΑ. ΑΠΛΟΠΟΙΗΜΕΝΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΘΕΣΕΙΣ ΤΩΝ ΛΙΓΟΤΕΡΟ ΣΗΜΑΝΤΙΚΩΝ BIT ΕΙΚΟΝΑ. 4 ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΕΣ ΤΟΥ ΔΕΝΤΡΟΥ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΝ EAC CSA 8 ΕΙΚΟΝΑ. 5 ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗΣ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗΣ ΓΙΑ WEITED MOMA(6 4 ) 9 ΕΙΚΟΝΑ. 8-BIT ARALLEL REFIX ΑΘΡΟΙΣΤΕΣ ΚΑΤΑ KOE-STONE ΚΑΙ LADNER-FISER 5 ΕΙΚΟΝΑ. DIMINISED- MODULO 7 ΑΘΡΟΙΣΤΗΣ ΜΕ ΜΟΝΑΔΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ LIN ΚΡΑΤΟΥΜΕΝΩΝ 8 ΕΙΚΟΝΑ. ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗ ΜΟΝΑΔΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΚΡΑΤΟΥΜΕΝΟΥ ΓΙΑ ARALLEL-REFIX LIN 4 ΕΙΚΟΝΑ. 4 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΓΙΑ DIMINISED- MODULO 4 ΑΘΡΟΙΣΤΗ ΜΕ ΧΡΗΣΗ LIN ΚΡΑΤΟΥΜΕΝΩΝ 4 ΕΙΚΟΝΑ. 5 ΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΑΘΡΟΙΣΤΗ ΜΕ ΒΑΡΗ ΒΑΣΙΣΜΕΝΟ ΣΕ DIMINISED- ΑΘΡΟΙΣΤΗ 45 Υλοποίηση αριθμητικών μονάδων υπολοίπου με αριθμητική των δυαδικών
Περίληψη 5 Περίληψη Το Σύστημα Αριθμητικής Υπολοίπου (Resdue Number System - RNS) είναι ένα σύστημα αριθμητικής το οποίο παρουσιάζει σημαντικά πλεονεκτήματα στην ταχύτητα με την οποία μπορούν να γίνουν οι αριθμητικές πράξεις. Στα RNS οι αριθμοί αναπαρίστανται σαν ένα σύνολο από υπόλοιπα. Οι εφαρμογές του RNS εκτείνονται σε ένα ευρύ φάσμα της επιστήμης και της τεχνολογίας οπότε έχει δοθεί μεγάλο βάρος στην ανάπτυξη αριθμητικών συστημάτων υψηλής απόδοσης. Τέτοιες αριθμητικές μονάδες είναι αθροιστές πολλαπλασιαστές κυκλώματα υπολογισμού ρίζας και γεννήτριες υπολοίπου (Resdue eerator R). Τα RNS συστήματα πολύ συχνά χρησιμοποιούν βάσεις με τρία διαφορετικά modul της μορφής { }. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι έχουν κατασκευαστεί πολύ αποδοτικά συνδυαστικά κυκλώματα κωδικοποίησης και αποκωδικοποίησης από και προς το δυαδικό σύστημα. Επομένως ο σχεδιασμός πολύ αποδοτικών αριθμητικών συστημάτων modulo modulo modulo είναι ζωτικής σημασίας για τις εφαρμογές που χρησιμοποιούν το RNS. Από αυτές τις βάσεις αυτή που χρησιμοποιεί τα πιο απαιτητικά κυκλώματα είναι αυτή που έχει σαν modul το μια που μόνο αυτή δίνει αριθμούς με bts. Στη modulo αριθμητική οι αριθμοί εμφανίζονται συνήθως σε δύο αναπαραστάσεις. Στην αναπαράσταση με βάρη και στη dmshed- αναπαράσταση. Οι δύο αυτές αναπαραστάσεις έχουν κάποια χαρακτηριστικά που τις διαφοροποιούν και που τις κάνουν κατάλληλες για διαφορετικές εφαρμογές. Στην διπλωματική αυτή θα παρουσιάσουμε μια τεχνική η οποία συνδυάζει τα πλεονεκτήματα των δύο αναπαραστάσεων προσφέροντας έτσι κυκλώματα με μικρότερη επιφάνεια που συνήθως όμως έχουν καλύτερη απόδοση. Αυτή η τεχνική θα εφαρμοστεί σε modulo αθροιστές πολλαπλών εντέλων (Mult-Oerad Modulo Adder MOMA) σε modulo αθροιστές και σε R ενώ θα γίνει μελέτη της απόδοσης τους σε σχέση με τις πιο διαδεδομένες μέχρι τώρα αντίστοιχες αρχιτεκτονικές. Υλοποίηση αριθμητικών μονάδων υπολοίπου με αριθμητική των δυαδικών
Κεφάλαιο : Αριθμητική υπολοίπου 6. Αριθμητική Υπολοίπου.. Αναπαράσταση αριθμών στο RNS Το Σύστημα Αριθμητικής Υπολοίπου (Resdue Number System - RNS) είναι ένα σύστημα αριθμητικής το οποίο παρουσιάζει σημαντικά πλεονεκτήματα στην ταχύτητα με την οποία μπορούν να γίνουν οι αριθμητικές πράξεις. Στα RNS [] [] οι αριθμοί αναπαρίστανται σαν ένα σύνολο από υπόλοιπα. Για να αναπαραστήσουμε έναν αριθμό στο RNS σύστημα πρώτα ορίζουμε ένα σύνολο από πρώτους μεταξύ τους ακεραίους τα modul. Το σύνολο των modul ονομάζεται βάση του συστήματος και αναπαρίσταται ως εξής: [ m m ]... m M Το εύρος των αριθμών που μπορούν να αναπαρασταθούν χρησιμοποιώντας τη βάση είναι X ( m m... ) m M όπου X είναι ο αριθμός που πρόκειται να αναπαρασταθεί. Κάθε ακέραιος X έχει μοναδική αναπαράσταση στο RNS. Η αναπαράσταση ενός αριθμού X στο RNS σύστημα ορίζεται υπολογίζοντας τα υπόλοιπα ( X X... ) X M όπου X X modm (από εδώ και στο εξής θα σημειώνεται X X ). m Για παράδειγμα υποθέτουμε ότι θέλουμε να αναπαραστήσουμε τον ακέραιο χρησιμοποιώντας τη βάση { 45}. Αν διαιρέσουμε το με το το υπόλοιπο που προκύπτει είναι. Αν διαιρέσουμε το με το 4 το υπόλοιπο είναι. Αν διαιρέσουμε το με το 5 το υπόλοιπο είναι. Συνεπώς η αναπαράσταση του χρησιμοποιώντας τη βάση { 45} είναι ( ). Ένα από τα μεγαλύτερα πλεονεκτήματα του RNS συστήματος είναι ότι είναι ένα αριθμητικό σύστημα χωρίς κρατούμενα. Κάθε μία πράξη έστω εκτελείται παράλληλα για κάθε ένα υπόλοιπο σύμφωνα με την αντίστοιχη αριθμητική και έτσι παράγεται ένα καινούριο σύνολο από υπόλοιπα. Δηλαδή το Z X Y Z Z... υπολογίζεται ως εξής: ( Z M ) ( Z Z... Z ) ( X X... X ) ( Y Y... Y ) M M M ( X Y X Y X M YM )... m m m M Υλοποίηση αριθμητικών μονάδων υπολοίπου με αριθμητική των δυαδικών
Κεφάλαιο : Αριθμητική υπολοίπου 7 Το κάθε Z υπολογίζεται σε μία ξεχωριστή υπολογιστική μονάδα που συνήθως ονομάζεται κανάλι. Ο υπολογισμός αυτός εξαρτάται μόνο από τα X Y και m. Έτσι οι υπολογισμοί των καναλιών μπορούν να πραγματοποιηθούν παράλληλα χωρίς να απαιτείται η μετάδοση κρατουμένου μεταξύ των καναλιών. Αυτό οδηγεί σε δραματική αύξηση της ταχύτητας σε σχέση με τις αντίστοιχες δυαδικές πράξεις. Για παράδειγμα υποθέτουμε ότι επιθυμούμε να προσθέσουμε δύο αριθμούς τους και 4 και ότι η βάση του συστήματός μας είναι το { 45}. Τότε οι RNS αναπαραστάσεις με αυτήν τη βάση είναι ( ) για τον ακέραιο και ( 4) για τον 4. Το άθροισμα του και του 4 είναι 46 και η RNS αναπαράσταση του 46 επίσης με τη βάση { 45} είναι ( ). Η RNS αναπαράσταση του 46 μπορεί να προκύψει από την πρόσθεση των RNS αναπαραστάσεων του και του 4 χρησιμοποιώντας τα κατάλληλα (modulus) υπόλοιπα για να εφαρμόσουμε την πρόσθεση σε κάθε ψηφίο. Αυτή η διαδικασία φαίνεται στην εικόνα.. Στην εικόνα. φαίνεται το αντίστοιχο παράδειγμα για την πράξη του πολλαπλασιασμού. [45] Βάση του Συστήματος Χρησιμοποιώντας τη βάση 4 ( ) RNS ( 4) RNS ( ) RNS 4 4 ( ) RNS 46 ( ) RNS Όπου το αποτέλεσμα () προκύπτει από την mod- mod-4 και mod-5 άθροιση των επιμέρους υπολοίπων. Εικόνα. Παράδειγμα πρόσθεσης σε Δεκαδικό και RNS Σύστημα [45] Βάση του Συστήματος Χρησιμοποιώντας τη βάση 8 ( ) RNS 6 ( ) RNS 8 ( ) RNS 6 ( ) RNS 48 ( ) RNS Υλοποίηση αριθμητικών μονάδων υπολοίπου με αριθμητική των δυαδικών
Κεφάλαιο : Αριθμητική υπολοίπου 8 Όπου το αποτέλεσμα () προκύπτει από τον mod- mod-4 και mod-5 πολλαπλασιασμό των επιμέρους υπολοίπων. Εικόνα. Παράδειγμα Πολλαπλασιασμού σε Δεκαδικό και RNS Σύστημα Σημειώνουμε ότι οι modulo αθροιστές μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την πρόσθεση των αντίστοιχων υπολοίπων των RNS αναπαραστάσεων των δύο αριθμών. Η RNS πρόσθεση επιτρέπει στα υπόλοιπα να προστεθούν παράλληλα και κάθε υπόλοιπο απαιτεί για την αναπαράστασή του λιγότερα δυαδικά ψηφία από αυτά που απαιτούνται για την αναπαράσταση του αριθμού στο δυαδικό σύστημα. Συνεπώς στο παράδειγμα της εικόνας. αντί για την χρήση ενός αθροιστή των 6-δυαδικών μπορούν να χρησιμοποιηθούν παράλληλα τρεις αθροιστές των τριών bt (για την υλοποίηση των modulo modulo 4 και modulo 5 προσθέσεων) μειώνοντας έτσι την καθυστέρηση. Επιπλέον οι RNS αθροιστές μπορούν να σχεδιαστούν με χρήση άλλων τεχνικών όπως look-u tables. Λόγω του ότι τα υπόλοιπα είναι συνήθως μικρά (αποτελούνται από λίγα bts) τα looku tables είναι πολύ πρακτικά και επιτρέπουν αριθμητικές λειτουργίες σε πολύ μεγάλες ταχύτητες... Εφαρμογές του RNS Η αριθμητική υπολοίπου χρησιμοποιείται στα ψηφιακά υπολογιστικά συστήματα εδώ και πολλά χρόνια. Πιο συγκεκριμένα η αριθμητική modulo παίζει σημαντικό ρόλο σε μια μεγάλη ποικιλία εφαρμογών. Αυτό το αριθμητικό σύστημα χρησιμοποιείται σε γεννήτριες ψευδοτυχαίων αριθμών στην κρυπτογραφία [] [4] [5] στον υπολογισμό συνέλιξης χωρίς σφάλματα λόγω στρογγυλοποίησης [6] σε θεωρητικές αριθμητικές μετατροπές που συχνά χρησιμοποιούνται σε υπολογισμούς συνέλιξης-συσχέτισης [7] [8] [9] [] αλλά πιο συχνά εμφανίζεται σαν μέρος των RNS το οποίο είναι ένα σύστημα ιδιαίτερα κατάλληλο για εφαρμογές στις οποίες οι πράξεις περιορίζονται στην πρόσθεση στην αφαίρεση και στον πολλαπλασιασμό. Το RNS έχει χρησιμοποιηθεί στις αρχιτεκτονικές επεξεργαστών ψηφιακών σημάτων [] [] [] [] [4] [5] [6] FIR φίλτρων [6] [7] [8] αλλά και επικοινωνιακών υποσυστημάτων [9] [5] προσφέροντας επιπλέον αυξημένη ταχύτητα λειτουργίας αλλά και βελτιωμένα χαρακτηριστικά χαμηλής κατανάλωσης. Οι modulo αθροιστές βρίσκουν ευρεία εφαρμογή σε υπολογιστικά συστήματα ανεκτικά σε σφάλματα (fault-tolerat comuter systems). Χρησιμοποιούνται κατά κόρον στην υλοποίηση αριθμητικών κωδίκων υπολοίπου (resdue arthmetc codes) ανεστραμμένου υπολοίπου (verse resdue arthmetc Υλοποίηση αριθμητικών μονάδων υπολοίπου με αριθμητική των δυαδικών
Κεφάλαιο : Αριθμητική υπολοίπου 9 codes) γινομένου (ΑΝ codes) και checksum αριθμητικών κωδίκων. Για χαμηλού κόστους υλοποιήσεις τέτοιων κωδίκων οι modulo αθροιστές χρησιμοποιούνται τόσο για την κωδικοποίηση όσο και για τη διαδικασία του ελέγχου. Επίσης αυτοί οι κώδικες χρησιμοποιούνται ευρέως στον υπολογισμό των checksums καθώς και στην ανίχνευση σφαλμάτων σε TC/I δίκτυα. Στη σημερινή εποχή οι ταχύτητες μετάδοσης είναι της τάξεως των 4 bs σε δίκτυα που το μέγεθός τους διαρκώς αναπτύσσεται. Εφόσον σε αυτά τα δίκτυα το κυρίαρχο πρωτόκολλο είναι το TC/I απαιτούνται hardware διατάξεις που θα υπολογίσουν τους checksum κώδικες ή θα αναλάβουν την ανίχνευση των λαθών μετάδοσης. Οι modulo τελευταίου σταδίου των modulo πολλαπλασιαστές βρίσκουν εφαρμογές σε: αθροιστές χρησιμοποιούνται ευρέως ως αθροιστές του πολλαπλασιαστών. Αυτοί οι Γεννήτριες ψευδοτυχαίων αριθμών: Ορισμένες ειδικές περιπτώσεις γραμμικών ακολουθιών χρησιμοποιούν modulo πολλαπλασιαστές ώστε να επιτύχουν εύλογα μεγάλες ακολουθίες ψευδοτυχαίων αριθμών. Κρυπτογραφία: Για την επίτευξη της επιθυμητής στατιστικής ανεξαρτησίας μεταξύ του κρυπτογραφημένου και του απλού κειμένου. Η κρυπτογραφία παίζει έναν ολοένα σημαντικότερο ρόλο στα σημερινά ασύρματα δίκτυα και στις εφαρμογές έξυπνων καρτών (smartcard) [] [4] [5]. Στο μετασχηματισμό των αριθμών Fermat ο οποίος είναι ένας αποδοτικός τρόπος για τον υπολογισμό της συνέλιξης εξαιτίας της εύκολης υλοποίησής του σε VLSI αλλά και της έλλειψης σφαλμάτων στρογγυλοποίησης [6]. Πιο συγκεκριμένα ο αριθμός Fermat 6 που είναι ο μοναδικός αριθμός Fermat πρακτικής σημασίας επιλέχθηκε για τον modulo πολλαπλασιαστή στα [9] [] αλλά και για τον square-ad-multly modulo exoetator στην υλοποίηση του διεθνούς αλγόριθμου κρυπτογράφησης δεδομένων (Iteratoal Data Ecryto Alorthm IDEA) που δίνεται στο []. Όπως αναφέρθηκε και προηγουμένως ο κύριος λόγος για τον οποίο γίνεται χρήση του RNS είναι η ταχύτητα που επιτυγχάνει στις αριθμητικές λειτουργίες. Επιπλέον όμως οι ικανότητες των κωδίκων στο RNS για την ανίχνευση λαθών το κάνουν πολύ ελκυστικό για πολλές εφαρμογές. Για να μπορέσουν τα συστήματα αριθμητικής υπολοίπου να αποκτήσουν τη δυνατότητα ανίχνευσης λαθών πρέπει να προστεθούν πλεονάζοντα modul στη βάση του συστήματος. Έστω ότι Υλοποίηση αριθμητικών μονάδων υπολοίπου με αριθμητική των δυαδικών
Κεφάλαιο : Αριθμητική υπολοίπου επιλέγουμε τη βάση [...... ] L L K όπου τα στοιχεία της βάσης ως L είναι ικανοποιητικά για την αναπαράσταση του επιθυμητού εύρους αριθμών και L ως K είναι πλεονάζοντα. Έστω M και T τέτοια ώστε: M... L T L L... K Τα μη πλεονάζοντα modul της βάσης αναπαριστούν το εύρος των αριθμών από έως M. Η πρόσθεση πλεοναζόντων modul στη βάση επιτρέπει το εύρος της αναπαράστασης αριθμών να είναι το [ M T ]. Ένας κώδικας μπορεί να δομηθεί έτσι ώστε οι έγκυρες κωδικές λέξεις να ανήκουν στο εύρος έως M και μηέγκυρες οι κωδικές λέξεις στο εύρος M ως M T. Αυτό φαίνεται στην εικόνα.. Εικόνα. Δημιουργία Ικανότητας Ανίχνευσης Λαθών Λόγω Χρήσης Πλεοναζόντων Στοιχείων στη Βάση του RNS.. Αναπαραστάσεις Τα RNS συστήματα πολύ συχνά χρησιμοποιούν βάσεις με τρία διαφορετικά modul της μορφής { }. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι έχουν κατασκευαστεί πολύ αποδοτικά συνδυαστικά κυκλώματα κωδικοποίησης και αποκωδικοποίησης από και προς το δυαδικό σύστημα. Επομένως ο σχεδιασμός πολύ αποδοτικών αριθμητικών συστημάτων modulo modulo modulo RNS. και είναι ζωτικής σημασίας για τις εφαρμογές που χρησιμοποιούν το Στην modulo αριθμητική οι αριθμοί εμφανίζονται συνήθως σε δύο αναπαραστάσεις. Στην αναπαράσταση με βάρη και στη dmshed- αναπαράσταση. Οι δύο αυτές αναπαραστάσεις έχουν κάποια χαρακτηριστικά που τις διαφοροποιούν και που τις κάνουν κατάλληλες για μια γκάμα εφαρμογών. Υλοποίηση αριθμητικών μονάδων υπολοίπου με αριθμητική των δυαδικών
Κεφάλαιο : Αριθμητική υπολοίπου [ ] Αρχικά στην αναπαράσταση με βάρη οι αριθμοί ανήκουν στο διάστημα δηλαδή αποτελούνται από -bts. Έστω ο αριθμός A aa...a σε αναπαράσταση με βάρη. Αυτό αυτόματα σημαίνει ότι αν το υπόλοιπα bts θα είναι. a είναι τότε όλα τα Δηλαδή το a bt απαιτείται μονάχα για να διαχωρίσει μια και μοναδική δυαδική αναπαράσταση. Έτσι κάποιος θα μπορούσε να ισχυριστεί ότι αν μπορούσαμε να σηματοδοτήσουμε με κάποιο άλλο τρόπο αυτή τη συγκεκριμένη τιμή τότε δεν θα ήταν απαραίτητα -bts γλιτώνοντας έτσι ένα δυαδικό ψηφίο. Έτσι προέκυψε η dmshed- [7] αναπαράσταση όπου οι αριθμοί ανήκουν στο διάστημα [ ] οπότε αποτελούνται από -bts ένα bt λιγότερο από ότι οι αντίστοιχοι αριθμοί στην αναπαράσταση με βάρη. Αυτή η μορφή προκύπτει από την μείωση κατά ένα του αριθμού από την αναπαράσταση με βάρη. Αυτό το απλό τέχνασμα δίνει τη δυνατότητα να γίνουν οι αριθμητικές πράξεις με πιο λίγα δυαδικά ψηφία. Όμως προκύπτουν μια σειρά από προβλήματα. Αρχικά πρέπει να λάβουμε υπόψη μας τα κυκλώματα μετάφρασης από/σε αναπαράσταση με βάρη σε/από dmshed- αναπαράσταση που απαιτούνται πριν και μετά από τα κυκλώματα επεξεργασίας των δεδομένων. Επιπλέον προβλήματα σε αυτή τη μορφή είναι τα εξής: πρώτον πρέπει να γίνουν ιδιαίτεροι χειρισμοί για τους αριθμούς που στην αναπαράσταση με βάρη είναι μηδέν και δεύτερον πρέπει να μπορούν να αναπαρασταθούν τα αποτελέσματα που παίρνουν την τιμή μηδέν. Στη συνέχεια θα προσπαθήσουμε να δείξουμε πιο ξεκάθαρα τα ζητήματα αυτά μελετώντας το πρόβλημα της modulo πρόσθεσης ενώ παράλληλα θα παρουσιάσουμε μια μέθοδο που ενσωματώνει τα πλεονεκτήματα των dmshed- αρχιτεκτονικών εξαλείφοντας τα μειονεκτήματά τους.... Modulo πρόσθεση με βάρη Έχουν προταθεί αρκετές αρχιτεκτονικές για modulo πρόσθεση με βάρη κάποιες από τις οποίες εξάγονται από τη γενική περίπτωση του αθροιστή υπολοίπου ενώ κάποιες άλλες είναι εξειδικευμένες σε αυτό ακριβώς το modulus. Για τη modulo A B όπου διάστημα [ ] πρόσθεση των A και B δηλαδή για την πράξη A a a...a και B bb...b είναι δύο -bt αριθμοί στο έχουμε: Υλοποίηση αριθμητικών μονάδων υπολοίπου με αριθμητική των δυαδικών
Κεφάλαιο : Αριθμητική υπολοίπου A B ( ) A B A B εάν A B αλλιώς Εξίσωση. Ακολουθώντας τη γενική αρχιτεκτονική πρόσθεσης υπολοίπου που παρουσιάζεται στο [] μπορούμε να υλοποιήσουμε την εξίσωση. χρησιμοποιώντας δύο δυαδικούς αθροιστές συνδεδεμένους σε σειρά και έναν πολυπλέκτη. Ο ένας -bt αθροιστής χρησιμοποιείται για να υπολογίσει το A B ενώ ο άλλος -bt αθροιστής προσθέτει στην έξοδο του πρώτου η διόρθωση ( ). Στη συνέχεια χρησιμοποιείται ο πολυπλέκτης για να επιλέξει ένα από τα δύο αποτελέσματα ανάλογα με την τιμή που έχει το κρατούμενο του δεύτερου αθροιστή. Στο [] η Dudale μείωσε το πλάτος του δεύτερου αθροιστή σε -bts ενώ παράλληλα έδειξε ότι ο πολυπλέκτης μπορεί να ελεγχθεί από το λογικό OR των εξόδων των κρατουμένων των δύο αθροιστών. Επίσης παρουσίασε μία αρχιτεκτονική μειωμένης επιφάνειας χρησιμοποιώντας έναν μόνο αθροιστή σε δύο κύκλους πρόσθεσης. Και οι δύο αυτές αρχιτεκτονικές είναι πολύ αργές. Μια προφανής λύση για τη μείωση της καθυστέρησης των παραπάνω αρχιτεκτονικών είναι να υπολογιστούν παράλληλά και οι δύο όροι της εξίσωσης. []. Ωστόσο αυτή η λύση απαιτεί επιπλέον ένα επίπεδο από Carry Save Adder (CSA). Μία αποδοτική λύση από άποψη επιφανείας παρουσιάζεται στο []. Εκεί παρατηρήθηκε ότι τα περισσότερα carry eerate και carry roaate σήματα είναι κοινά οπότε είναι αρκετή μια aumeted Carry Look-Ahead (CLA) μονάδα. Τέλος στο [4] παρουσιάστηκαν arallel-refx αθροιστές με βάρη.... Dmshed- modulo πρόσθεση Υπάρχουν πολύ περισσότερες αρχιτεκτονικές για τους dmshed- αθροιστές σε σχέση με τους wehted αθροιστές μια που αυτοί ισοδυναμούν με έναν Ed-Aroud Carry (EAC) δυαδικό αθροιστή ([5] [6]). Στο [6] παρουσιάζονται αρχιτεκτονικές μονών ή πολλαπλών επιπέδων CLA. Στα [5] και [6] προτάθηκαν arallel-refx αρχιτεκτονικές. Στο [6] ο αριθμός των arallelrefx επίπεδων είναι ίδιος με τον αριθμό των επιπέδων των δυαδικών αθροιστών. Στον πίνακα. συνοψίζονται οι απαιτήσεις σε επιφάνεια (Επιφ) και καθυστέρηση (Καθ) σε ισοδύναμες πύλες για κάποιες αρχιτεκτονικές (Αρχιτ) σε αναπαράσταση με βάρη αλλά και σε dmshed- αναπαράσταση. Αυτές οι εκτιμήσεις εξάγονται σύμφωνα με το ut ate μοντέλο [7]. Σύμφωνα με αυτό το μοντέλο κάθε λογική πύλη δύο εισόδων εξαιρώντας την πύλη XOR υπολογίζεται τόσο σε επιφάνεια όσο Υλοποίηση αριθμητικών μονάδων υπολοίπου με αριθμητική των δυαδικών
Κεφάλαιο : Αριθμητική υπολοίπου και σε καθυστέρηση σαν μία ισοδύναμη πύλη. Η λογική πύλη XOR αντιστοιχεί σε επιφάνεια και σε καθυστέρηση όσο δύο ισοδύναμες πύλες. Τέλος ο σε πολυπλέκτης έχει καθυστέρηση όσο δύο ισοδύναμες πύλες και επιφάνεια όσο τρεις. Υποθέτουμε ότι και οι δύο προσθετέοι είναι στο διάστημα [ ] (η τιμή δεν θα ληφθεί υπόψη προς το παρόν) και όλοι οι δυαδικοί αθροιστές ακολουθούν τη arallel-refx αρχιτεκτονική των Koe-Stoe για τον υπολογισμό των κρατουμένων. Οι εκτιμήσεις για 4 8 6 και φαίνονται στον πίνακα.. Από τις εκτιμήσεις αυτές προκύπτει ξεκάθαρα ότι παρόλο που τα παραδείγματα αρχιτεκτονικών που μελετήθηκαν δεν είναι και τα πιο σύγχρονα οι dmshed- αθροιστές είναι και πιο γρήγοροι και πιο μικροί από ότι οι αθροιστές σε αναπαράσταση με βάρη. Έτσι φαντάζει πολύ ελκυστική η ιδέα να χρησιμοποιήσουμε dmshed- αθροιστές με μικρές τροποποιήσεις για να υλοποιήσουμε πρόσθεση modulo σε αναπαράσταση με βάρη. Αυτή η τεχνική θα μειώσει την επιφάνεια και τη χρονική καθυστέρηση. Στην επόμενη ενότητα θα δείξουμε ότι αυτή η ιδέα είναι εφικτή.... Χρήση dmshed- αθροιστών για πρόσθεση με βάρη Έστω A και B δύο -bt προσθετέοι στο διάστημα [ ]. Έστω A και B δύο -bt διανύσματα τέτοια ώστε A B A B εξίσωση. έχουμε ότι: ή ισοδύναμα ότι: A A B B ( ) A B A B ( A B ) ( A B ) εάν εάν A B αλλιώς. Σύμφωνα με την A B αλλιώς Εξίσωση. έχουμε: Παίρνοντας την εξίσωση. modulo A B και χρησιμοποιώντας τα ( A B ) εάν ( A B ) ( A B ) αλλιώ ς A και B Εξίσωση. Υλοποίηση αριθμητικών μονάδων υπολοίπου με αριθμητική των δυαδικών
Κεφάλαιο : Αριθμητική υπολοίπου 4 Έστω c το κρατούμενο εξόδου της -bt ακέραιας πρόσθεσης ( B ) out A. Χρησιμοποιώντας το στην εξίσωση. μπορούμε να ενώσουμε τις δύο περιπτώσεις σε μια: A B A B c out Εξίσωση. 4 Η εξίσωση.4 δείχνει ότι μπορούμε να εξάγουμε τα λιγότερο σημαντικά bts της modulo αντίστροφο EAC αθροιστή πρόσθεσης με βάρη των A και B χρησιμοποιώντας έναν (ισοδύναμα ένα dmshed- αθροιστή) με την προϋπόθεση ότι το άθροισμα των εισόδων του είναι μειωμένο κατά δηλαδή εάν χρησιμοποιήσουμε σαν εισόδους τα διανύσματα όταν όταν τα A και B. Το πιο σημαντικό bt της πρόσθεσης με βάρη των A και B είναι μόνο A B A και ή αφού ισχύει A B όταν A B δηλαδή B είναι αντίστροφα bt προς bt. Αυτή η περίπτωση μπορεί εύκολα να ανιχνευθεί σαν το λογικό AND των XOR των bts με το ίδιο βάρος των A και B. Σε κάθε αρχιτεκτονική ταχείας πρόσθεσης υπάρχει ένα επίπεδο προεπεξεργασίας που εκτός από τους όρους eerate και roaate υπολογίζεται και το ημιάθροισμα που είναι η λογική XOR των αντίστοιχων bts εισόδου. Έτσι το επιπλέον υλικό που απαιτείται για το πιο σημαντικό bt της πρόσθεσης με βάρη είναι μικρό. Παρατηρούμε όμως ότι αυτή η λειτουργία μπορεί να ολοκληρωθεί από ένα δέντρο λογικών πυλών δύο εισόδων σε lo χρονικές μονάδες (σύμφωνα πάντα με το ut ate μοντέλο) ενώ ο dmshed- αθροιστής υπολογίζει τα υπόλοιπα bts σε lo χρονικές μονάδες. Έτσι δεν εισάγεται καμία επιπλέον χρονική καθυστέρηση στο κρίσιμο μονοπάτι του dmshed- αθροιστή. Επίσης σε μερικές περιπτώσεις αρχιτεκτονικών για αθροιστές (που συνήθων καλούνται exclusve-or αθροιστές) ο όρος του ημιαθροίσματος συχνά χρησιμοποιείται σαν ο όρος carry roaate (διάδοσης κρατουμένου). Σε αυτούς τους αθροιστές ο όρος rou roaate είναι το λογικό AND των όρων ημιαθροίσματος οπότε δεν απαιτείται επιπλέον υλικό για τον υπολογισμό του περισσότερο σημαντικού bt. Ο αντίστροφος EAC (Ed Aroud Carry) αθροιστής είναι ένας αθροιστής επανεισαγόμενου κρατουμένου στον οποίο όμως το κρατούμενο πριν επανατροφοδοτηθεί στον αθροιστή αντιστρέφεται Υλοποίηση αριθμητικών μονάδων υπολοίπου με αριθμητική των δυαδικών
Κεφάλαιο : Αριθμητική υπολοίπου 5 Εικόνα. 4 Χρησιμοποιώντας έναν aumeted dmshed- αθροιστή για -bts πρόσθεση με βάρη Στην εικόνα.4 παρουσιάζεται η αρχιτεκτονική που προκύπτει από την προηγούμενη ανάλυση. Ένα κύκλωμα μετάφρασης δέχεται τα -bt διανύσματα A και B και βγάζει τα διανύσματα A και B. Αυτά οδηγούνται σε ένα aumeted dmshed- αθροιστή που μπορεί να δώσει τα -bts του αποτελέσματος της modulo πρόσθεσης με βάρη των A και B. Το τελευταίο μέρος των πινάκων. και. δείχνει τις εκτιμήσεις σε επιφάνεια και σε χρονική καθυστέρηση για τον aumeted dmshed- αθροιστή της εικόνας.4 υποθέτοντας ότι ο dmshed- αθροιστής είναι αυτός που παρουσιάζεται στο [6]. Οι εκτιμήσεις του πίνακα. δείχνουν ότι ο aumeted dmshed- αθροιστής προσφέρει κέρδη σε επιφάνεια και σε χρονική καθυστέρηση σε σχέση με κάθε μία αρχιτεκτονική για την πρόσθεση με βάρη. Μπορούμε δηλαδή να συμπεράνουμε ότι η χρήση του aumeted dmshed- αθροιστή είναι πολύ συμφέρουσα αν το κύκλωμα του μεταφραστή Υλοποίηση αριθμητικών μονάδων υπολοίπου με αριθμητική των δυαδικών
Κεφάλαιο : Αριθμητική υπολοίπου 6 μπορεί να σχεδιαστεί αποδοτικά. Σε επόμενη ενότητα παρουσιάζεται ο τρόπος με τον οποίο μπορούμε να διαχειριστούμε έντελα των -bts. Πίνακας. Εκτιμήσεις για επιφάνεια και καθυστέρηση σύμφωνα με το ut-ate μοντέλο Modulo αθροιστές με βάρη Αρχιτ Καθ Επιφ [] lo lo( ) 8 lo ( )lo [] lo 7 lo ( )lo 6 [4] lo 7 9 lo 4 ( ) 8 ( ) 8 Modulo dmshed- αθροιστές Αρχιτ Καθ Επιφ [6] lo 9 lo 5 Ο προτεινόμενος aumeted dmshed- αθροιστής για τη -bt modulo πρόσθεση με βάρη Αρχιτ Καθ Επιφ Προτεινόμενη lo 9 lo 4 Υλοποίηση αριθμητικών μονάδων υπολοίπου με αριθμητική των δυαδικών
Κεφάλαιο : Αριθμητική υπολοίπου 7 Πίνακας. Εξαγόμενες προσεγγίσεις για επιφάνεια και καθυστέρηση Modulo αθροιστές με βάρη 4 8 6 Αρχιτ Καθ Επιφ Καθ Επιφ Καθ Επιφ Καθ Επιφ [] 8 95 6 44 96 [] 7 6 5 488 7 57 [4] 6 5 5 6 7 859 Modulo dmshed- αθροιστές 4 8 6 Αρχιτ Καθ Επιφ Καθ Επιφ Καθ Επιφ Καθ Επιφ [6] 7 44 9 8 74 Ο προτεινόμενος aumeted dmshed- αθροιστής για τη -bt modulo πρόσθεση με βάρη 4 8 6 Αρχιτ Καθ Επιφ Καθ Επιφ Καθ Επιφ Καθ Επιφ προτεινόμενο 7 47 9 5 7 77 Υλοποίηση αριθμητικών μονάδων υπολοίπου με αριθμητική των δυαδικών
Κεφάλαιο :Καινούργιοι Αθροιστές Modulo πολλαπλών εντέλων 8. Καινούργιοι Αθροιστές modulo πολλαπλών εντέλων.. Εισαγωγή Ένα από το αριθμητικά στοιχεία που έχει ερευνηθεί αρκετά στην αριθμητική υπολοίπου είναι οι αθροιστές πολλαπλών εντέλων (Mult-Oerad Modulo Adder MOMA). Για κάποιες εφαρμογές είναι ιδιαίτερα σπουδαίο να υπάρχει εξειδικευμένο υλικό που υποστηρίζει πρόσθεση πολλαπλών εντέλων. Αυτές οι εφαρμογές έχουν συνεχώς πολλές πράξεις πολλαπλασιασμού και πρόσθεσης πάνω σε μια RNS βάση. Για παράδειγμα ψηφιακά φίλτρα εκτίμηση συνέλιξης και μετασχηματισμοί FFT. Στο [8] για πρώτη φορά στην ανοιχτή βιβλιογραφία παρουσιάστηκε ένας MOMA για modulo αριθμητική. Η υλοποίησή του περιλαμβάνει ένα δέντρο carry-save αθροιστών (CSA Carry Save Adder) με αντεστραμμένο EAC. Αυτός ο MOMA έχει την ίδια πολυπλοκότητα με ένα αθροιστή ακεραίων πολλαπλών εντέλων. Η πρώτη απόπειρα για σχεδίαση MOMA modulo με έντελα σε αναπαράσταση με βάρη (από εδώ και στο εξής θα αναφέρεται σαν wehted MOMA) γίνεται στο [9] αλλά η προτεινόμενη αρχιτεκτονική περιελάμβανε πολλούς παράλληλους αθροιστές συνδεδεμένους σε σειρά. Το πρόβλημα σχεδιασμού MOMA για οποιοδήποτε modul προσεγγίστηκε στα [] [] []. Δυστυχώς η αρχιτεκτονική του MOMA που προτείνεται στο [] παρόλο που είναι πιο αποδοτική σε σχέση με αυτές που παρουσιάζονται στα [] [] εξακολουθεί να απαιτεί δύο παράλληλους αθροιστές συνδεδεμένους σε σειρά για να βγάλει το άθροισμα. Πιο συγκεκριμένα το [] ακολουθεί την εξής αρχιτεκτονική ακολουθία: έντελα εισόδου των -bts επίπεδο μετάφρασης σε έντελα των -bts μονάδα υπολογισμού των -bts δηλαδή δέντρο EAC CSA αθροιστών τελικός αθροιστής με βάρη των -bts. Στην εικόνα. φαίνεται η αρχιτεκτονική ενός wehted MOMA ( 4 ) που υλοποιείται σύμφωνα με το []. Από ότι φαίνεται και στο σχήμα υπάρχουν δύο βασικά μειονεκτήματα: Αρχικά το δέντρο EAC CSA αθροιστών δεν έχει ισορροπία μια που ο αριθμός των bts εισόδου στα λιγότερο σημαντικά ψηφία είναι περίπου διπλάσιος σε σχέση με αυτόν των υπόλοιπων στηλών. Αυτό συμβαίνει Υλοποίηση αριθμητικών μονάδων υπολοίπου με αριθμητική των δυαδικών
Κεφάλαιο :Καινούργιοι Αθροιστές Modulo πολλαπλών εντέλων 9 γιατί τα αντίστροφα πιο σημαντικά ψηφία των εισόδων προστίθενται στις λιγότερο σημαντικές βαθμίδες. Επιπλέον είναι προφανής η ανάγκη της αρχιτεκτονικής για δύο παράλληλους αθροιστές για τον υπολογισμό του τελικού αποτελέσματος. Εικόνα. Αρχιτεκτονική για wehted MOMA(4 ) σύμφωνα με το [] Υλοποίηση αριθμητικών μονάδων υπολοίπου με αριθμητική των δυαδικών
Κεφάλαιο :Καινούργιοι Αθροιστές Modulo πολλαπλών εντέλων Για πρώτη φορά στο [] καταργείται η αναγκαιότητα για δύο παράλληλους αθροιστές. Εισάγεται όμως επιπλέον κόστος. Αρχικά κάθε επίπεδο του δέντρου των CSA αθροιστών διπλασιάζεται. Επίσης στον τελικό αθροιστή-μετατροπέα απαιτούνται πλέον τέσσερις Carry Look-ahead Adders (CLA) που όμως μπορούν να δουλέψουν παράλληλα δίχως με αυτό τον τρόπο να επηρεάζουν τη χρονική καθυστέρηση του αποτελέσματος. Από την άλλη πλευρά modulo MOMA που δέχονται σαν είσοδο έντελα στην dmshed- αναπαράσταση (από εδώ και στο εξής θα αναφερόμαστε σε αυτούς σαν dmshed MOMA) είναι αρκετά πιο εύκολο να σχεδιαστούν. Στο [4] παρουσιάζεται ένας dmshed MOMA που υλοποιείται με ένα δέντρο αντίστροφων EAC CSA το οποίο ακολουθείται από ένα dmshed- αθροιστή. Αυτή η υλοποίηση χρησιμοποιήθηκε για την κατασκευή αποδοτικού dmshed- πολλαπλασιαστή. Από εδώ και στο εξής ένας modulo θα αναφέρεται σαν MOMA ( ) k. αθροιστής με k έντελα Στη συνέχεια θα παρουσιάσουμε μια καινούρια αρχιτεκτονική για το σχεδιασμό wehted MOMA. Η βασική ιδέα αυτής της αρχιτεκτονικής είναι η χρήση κυκλώματος μετάφρασης που επιτρέπει την έκφραση του αθροίσματος αριθμών σε modulo σε μια ισοδύναμη μορφή αθροίσματος όπου τα έντελα είναι των bts. Θα δείξουμε ότι το ζητούμενο κύκλωμα μεταφραστή είναι ένα απλοποιημένο επίπεδο CSA. Έτσι καταλαμβάνει πολύ μικρή επιφάνεια και έχει μικρή χρονική πολυπλοκότητα. Μετά τη μετάφραση ακολουθεί ένας dmshed MOMA ελαφρά παραλλαγμένος στον τελικό παράλληλο αθροιστή έτσι ώστε να βγάζει το τελικό ( )-bt αποτέλεσμα με βάρη. Από τη στιγμή που η προτεινόμενη αρχιτεκτονική χρησιμοποιεί μονάχα έναν παράλληλο αθροιστή και απλά επίπεδα CSA υπερτερεί πάρα πολύ σε απόδοση σε σχέση με τους μέχρι τώρα σχεδιασμούς για wehted MOMA... Η νέα αρχιτεκτονική για MOMA Σε αυτή την ενότητα παρουσιάζουμε μια νέα αρχιτεκτονική για wehted MOMA η οποία αποτελείται από ένα επίπεδο μετάφρασης ένα δέντρο αντίστροφων EAC CSA και ένα τελικό dmshed- αθροιστή. Κάθε ένα από αυτά τα κομμάτια περιγράφεται λεπτομερώς στη συνέχεια. Υλοποίηση αριθμητικών μονάδων υπολοίπου με αριθμητική των δυαδικών
Κεφάλαιο :Καινούργιοι Αθροιστές Modulo πολλαπλών εντέλων... Το κύκλωμα μετάφρασης Έστω A aa a... aa και B bb b... bb δύο έντελα σε αναπαράσταση με βάρη όπου < A B. Έστω A και B δύο -bt διανύσματα που αποτελούνται από τα λιγότερο σημαντικά ψηφία των A και B αντίστοιχα. Ισοδύναμα έχουμε ότι ισχύει A a A και B. Για τη modulo b B πρόσθεση με βάρη ισχύει ότι: ( a A ) ( b B ) A B ( a b ) A B Εξίσωση. Έστω s και c τα bts αθροίσματος και κρατουμένου αντίστοιχα της πρόσθεσης ( ) a που βρίσκεται στην εξίσωση. και έστω x το b συμπλήρωμα του x. Τα s και c είναι bts με βάρος και αντίστοιχα. Χρησιμοποιώντας αυτά στην εξίσωση. έχουμε: A B Γνωρίζουμε ότι αν { } c s A B ( c s ) A B ( c s ) ( c s ) ( c s ) A B ( )( c s ) ( c s ) A B A B c s x τότε: Εξίσωση. x x ( x) x x Εξίσωση. Έτσι από την εξίσωση. προκύπτει: A B A B c s Υλοποίηση αριθμητικών μονάδων υπολοίπου με αριθμητική των δυαδικών
Κεφάλαιο :Καινούργιοι Αθροιστές Modulo πολλαπλών εντέλων A A A B c s ( 4 c s ) B B A B D Εξίσωση. 4 Όπου D 4 c s. Το D αντιπροσωπεύεται από ένα -bt διάνυσμα...c s. Η εξίσωση.4 αποκαλύπτει ότι η modulo πρόσθεση δύο εντέλων με βάρη μπορεί να υπολογιστεί ως εξής: -bt εντέλα και σταθερές θα προστεθούν με modulo πρόσθεση πολλαπλών εντέλων. Έστω τώρα Y* y y... y και U u u...u τα διανύσματα των κρατουμένων και των bts εξόδου αντίστοιχα ενός carry-save αθροιστή των A B και D όπως ορίστηκε παραπάνω. Τότε ισχύει: A B A B D ( y ) ( u ) ( ( y u )) u y ( ( y u )) u y Y U Y U Εξίσωση. 5 Εικόνα. Κύκλωμα μετάφρασης Όπου Y y y... y y. Έτσι το modulo άθροισμα με βάρη των A και B είναι ισοδύναμο με το modulo άθροισμα των -bt διανυσμάτων Y και U συν. Έτσι ο αντίστροφος EAC CSA αθροιστής που φαίνεται στην εικόνα Υλοποίηση αριθμητικών μονάδων υπολοίπου με αριθμητική των δυαδικών
Κεφάλαιο :Καινούργιοι Αθροιστές Modulo πολλαπλών εντέλων. που δέχεται σαν είσοδο τα A B και D και παράγει τα Y και U μπορεί να χρησιμοποιηθεί σαν κύκλωμα μετάφρασης από την αναπαράσταση με βάρη σε αναπαράσταση με -bt λαμβάνοντας όμως υπόψιν και έναν παράγοντα διόρθωσης ίσο με. Το παραπάνω κύκλωμα μετάφρασης είναι μια υλοποίηση του κυκλώματος μετάφρασης που είχε αναφερθεί στην εικόνα.4 σαν αυτό που θα κάνει τις απαραίτητες μετατροπές στα δεδομένα εισόδου πριν αυτά καταλήξουν στον aumeted dmshed αθροιστή. Οι πιο αριστεροί πλήρεις αθροιστές (Full Adder FA) της εικόνας. μπορούν να απλοποιηθούν αφού μία από τις εισόδους τους που προέρχεται από το διάνυσμα D είναι πάντα. Έτσι η επιφάνεια που καταλαμβάνουν καθώς και η χρονική καθυστέρηση είναι ίδια με αυτή ενός ημιαθροιστή (alf Adder A). Περαιτέρω απλοποιήσεις μπορούν να γίνουν και στους δύο λιγότερο σημαντικούς FA μαζί με τις γειτονικές πύλες NAND και XNOR λαμβάνοντας υπόψιν ότι τα a ( b ) και a ή a ( b ή b ) δεν μπορούν να είναι ταυτόχρονα ίσα με. Στην εικόνα. παρουσιάζονται παραδείγματα απλοποιημένων κυκλωμάτων για αυτά τα λιγότερο σημαντικά ψηφία. Εικόνα. Απλοποιημένα κυκλώματα για τις θέσεις των λιγότερο σημαντικών bt Γενικεύοντας τα παραπάνω έστω ότι έχουμε k αριθμούς με ( ) bts έστω X... X X k όπου ισχύει X... X k X. Αυτούς τους αριθμούς μπορούμε να τους χωρίσουμε σε k ζεύγη και να χρησιμοποιήσουμε k κυκλώματα μεταφραστών παράλληλα (αν το k είναι περιττός τότε ο τελευταίος αριθμός X k θα ομαδοποιηθεί με το ). Με αυτό τον τρόπο εξάγονται k ζεύγη Υλοποίηση αριθμητικών μονάδων υπολοίπου με αριθμητική των δυαδικών
Κεφάλαιο :Καινούργιοι Αθροιστές Modulo πολλαπλών εντέλων 4 από -bt διανύσματα Y Y... Y k και U U... U k τα οποία από εδώ και στο εξής θα αναφέρονται σαν dmshed διανύσματα. Οπότε έχουμε: X k k X... X k Y k U Εξίσωση. 6... Το δέντρο αντίστροφων EAC CSA Μετά το επίπεδο της μετάφρασης χρειάζεται να προστεθούν μόνο διανύσματα των -bt. Έτσι μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τα υποσυστήματα εκείνα που προτείνονται για τους dmshed- MOMA. Με αυτό τον τρόπο μπορούμε να μειώσουμε τα έντελα της πρόσθεσης σε δύο τελικούς προσθετέους. Στο [4] προτάθηκε ένα δέντρο Dadda αντίστροφων EAC CSA για τη μείωση των μερικών γινομένων ενός dmshed- πολλαπλασιαστή σε δύο τελικούς προσθετέους. Η ίδια διάταξη είχε χρησιμοποιηθεί και στο [5] για το σχεδιασμό ενός γενικού dmshed- MOMA. Το ίδιο τέχνασμα θα χρησιμοποιήσουμε για να μειώσουμε τους παράγοντες της πρόσθεσης. Στην περίπτωσή μας θέλουμε να προσθέσουμε στην modulo k αριθμητική συνολικά διανύσματα Y και U με k και ένα διάνυσμα το οποίο θα ονομάσουμε COR (CORrecto διόρθωση) που θα αντιπροσωπεύει τη συνολική διόρθωση που απαιτείται. Το COR δεν περιλαμβάνει μονάχα τη διόρθωση που προκύπτει από το επίπεδο μετάφρασης (ο παράγοντας k της εξίσωσης.6) αλλά και ένα κομμάτι που απαιτείται λόγω της ύπαρξης του δέντρου αντίστροφων EAC CSA. Αυτό το τελευταίο τμήμα του παράγοντα διόρθωσης υπολογίζεται ως εξής: Η χρήση ενός δέντρου αντίστροφων EAC CSA βασίζεται στο γεγονός ότι το κρατούμενο του περισσότερου σημαντικού bt το c που έχει βάρος μπορεί να αντιστραφεί και να προστεθεί πάλι στο λιγότερο σημαντικό bt του επόμενου επιπέδου λαμβάνοντας όμως υπόψιν έναν διορθωτικό παράγοντα ίσο με ισχύει γιατί έχουμε:. Αυτό Υλοποίηση αριθμητικών μονάδων υπολοίπου με αριθμητική των δυαδικών
Κεφάλαιο :Καινούργιοι Αθροιστές Modulo πολλαπλών εντέλων 5 Υλοποίηση αριθμητικών μονάδων υπολοίπου με αριθμητική των δυαδικών c c c Στη συνέχεια πρέπει να λάβουμε υπόψιν ότι κάθε γραμμή με FA μειώνει τον αριθμό των προσθετέων κατά ένα (οι πλήρεις αθροιστές συνηθίζεται να ονομάζονται και () comressor συμπιεστές). Στην αρχή έχουμε να προσθέσουμε k διανύσματα που τελικά πρέπει να φτάσουν τα άρα απαιτούνται συνολικά k γραμμές από FA όπου κάθε μία παράγει ένα αντίστροφο κρατούμενο ανάδρασης. Άρα ο παράγοντας διόρθωσης που απαιτείται λόγω του δέντρου αντίστροφων EAC CSA είναι k. Έστω F και οι δύο τελικοί προσθετέοι που προκύπτουν μετά το δέντρο αντίστροφων EAC CSA σύμφωνα με την παραπάνω ανάλυση προκύπτει k F COR U Y k k ή ισοδύναμα k COR k F k U Y k k Το οποίο σύμφωνα με την εξίσωση.6 δίνει ( )... COR k F X X X k Εξίσωση. 7
Κεφάλαιο :Καινούργιοι Αθροιστές Modulo πολλαπλών εντέλων 6... Ο Αθροιστής του τελικού επιπέδου Εάν χρησιμοποιήσουμε σαν COR τη σταθερά εξίσωση.7 δίνει: k COR τότε η ( F ) X X... X k Εξίσωση. 8 Έτσι μπορούμε να εξάγουμε τα λιγότερο σημαντικά bts του αποτελέσματος του wehted MOMA ( k ) dmshed- παράλληλο αθροιστή. προσθέτοντας τα F και σε έναν Ωστόσο το πιο σημαντικό bt του wehted MOMA ( ) k χρειάζεται επιπλέον επεξεργασία. Αυτό πρέπει να είναι μόνο εάν ισχύει X X... X k F ή ισοδύναμα όταν ( ) ή αφού ισχύει F όταν F δηλαδή όταν τα F και είναι αντίστροφα bt προς bt. Αυτή η περίπτωση μπορεί εύκολα να ανιχνευθεί σαν το λογικό AND των XOR των bts με το ίδιο βάρος των F και. Σε κάθε αρχιτεκτονική ταχείας πρόσθεσης υπάρχει ένα επίπεδο προεπεξεργασίας που εκτός από τους όρους eerate και roaate υπολογίζεται και το ημιάθροισμα που είναι η λογική XOR των αντίστοιχων bts εισόδου. Έτσι το επιπλέον υλικό που απαιτείται για το πιο σημαντικό bt της πρόσθεσης με βάρη είναι μικρό: απλά η λογική AND όλων των όρων ημιαθροίσματος. Πρέπει να σημειωθεί ότι αυτή η προσθήκη δεν εισάγει καμία επιπλέον καθυστέρηση στο κρίσιμο μονοπάτι του αθροιστή. Μια δεύτερη υλοποίηση του κυκλώματος υπολογισμού του πιο σημαντικού bt βασίζεται στο ότι σε μερικές περιπτώσεις αρχιτεκτονικών για αθροιστές (που συνήθων καλούνται exclusve-or αθροιστές) ο όρος του ημιαθροίσματος συχνά χρησιμοποιείται σαν ο όρος carry roaate (διάδοσης κρατουμένου). Σε αυτούς τους αθροιστές ο όρος rou roaate είναι το λογικό AND των όρων ημιαθροίσματος οπότε δεν απαιτείται επιπλέον υλικό για τον υπολογισμό του περισσότερο σημαντικού bt του wehted MOMA. Επίσης μια τρίτη υλοποίηση στηρίζεται στην παρατήρηση ότι η παραπάνω περίπτωση είναι η μόνη που όλα τα σήματα eerate και roaate του αθροιστή είναι και αντίστοιχα. Έτσι αυτή η περίπτωση μπορεί με ευκολία να ανιχνευθεί από το ( ) : ( ) : όπου τα ( ) : και ( ) : είναι τα σήματα rou eerate και rou roaate της πιο σημαντικής βαθμίδας του dmshed- αθροιστή. Ο Υλοποίηση αριθμητικών μονάδων υπολοίπου με αριθμητική των δυαδικών
Κεφάλαιο :Καινούργιοι Αθροιστές Modulo πολλαπλών εντέλων 7 όρος ( ) : είναι εύκολα διαθέσιμος αφού είναι το κρατούμενο της λιγότερο σημαντικής βαθμίδας της dmshed- πρόσθεσης. Ο όρος ( ) : μπορεί να εξαχθεί από μία πύλη AND που δέχεται σαν είσοδο τα rou roaate σήματα από το προτελευταίο στο τελευταίο refx επίπεδο. Επομένως το επιπλέον υλικό που απαιτείται για τον υπολογισμό του πιο σημαντικού ψηφίου της πρόσθεσης με βάρη είναι πολύ μικρό (μονάχα δύο πύλες AND) και από τη στιγμή που δεν παρεμβάλλεται στο κρίσιμο μονοπάτι του αθροιστή δεν προκαλεί καμία επιπλέον χρονική καθυστέρηση. Προφανώς η τρίτη αυτή υλοποίηση του κυκλώματος υπολογισμού του πιο σημαντικού ψηφίου της πρόσθεσης με βάρη υπερτερεί σαφώς σε επιφάνεια. Στις δύο πρώτες περιπτώσεις απαιτούνται lo πύλες AND αλλά μπορεί να χρησιμοποιηθούν επιπλέον πύλες XOR ανάλογα με το αν ο dmshed- αθροιστής είναι clusve ή exclusve-or...4. Παράδειγμα για τον προτεινόμενο wehted MOMA Σε αυτή την ενότητα δίνεται ένα παράδειγμα της αρχιτεκτονικής που αναλύθηκε προηγουμένως. Θα σχεδιάσουμε έναν wehted MOMA ( ) 6 4. Έστω τα έντελα εισόδου X έως X 6. Ας υποθέσουμε ότι οι είσοδοι έχουν τις τιμές που φαίνονται στον πίνακα.. Πίνακας. Παράδειγμα για τον προτεινόμενο wehted ΜΟΜΑ Είσοδος X Τιμή στο δεκαδικό Τιμή στο δυαδικό D U Y X 4 X X 6 X 4 4 X 6 5 X 9 6 Στο επίπεδο της μετάφρασης απαιτούνται τρία κυκλώματα μετάφρασης που λειτουργούν παράλληλα. Κάθε κύκλωμα δέχεται ένα ζεύγος από τα έντελα καθώς και ένα διάνυσμα D. Τα κυκλώματα μετάφρασης παράγουν τα διανύσματα U και Y που φαίνονται στον πίνακα.. Τα διανύσματα αυτά μαζί με το διάνυσμα Υλοποίηση αριθμητικών μονάδων υπολοίπου με αριθμητική των δυαδικών
Κεφάλαιο :Καινούργιοι Αθροιστές Modulo πολλαπλών εντέλων 8 6 διόρθωσης COR 4 7 χρησιμοποιούνται στο δέντρο 7 αντίστροφων EAC CSA. Υποθέτουμε ότι αυτό σχεδιάζεται σαν ένα δέντρο Dadda. Έχει βάθος 4 επιπέδων όπου τα επίπεδα και 4 δέχονται 7 6 4 και έντελα και παράγουν 6 4 έντελα αντίστοιχα. Κάθε επίπεδο έχει μία γραμμή FA εξαιρώντας το δεύτερο που αποτελείται από δύο γραμμές από FA. Η λειτουργία του CSA δέντρου αποτυπώνεται στην εικόνα.4. Τα S και C είναι τα διανύσματα των αθροισμάτων και των κρατουμένων αντίστοιχα που παράγονται από το κάθε επίπεδο από FA του δέντρου. Το πιο σημαντικό ψηφίο του διανύσματος κρατουμένου αντιστρέφεται και εισάγεται στην λιγότερο σημαντική θέση της επόμενης πρόσθεσης. Αυτά τα bts εμφανίζονται σε κύκλο στην εικόνα.4. Υπάρχουν 5 τέτοια ανεστραμμένα κρατούμενα στην εικόνα.4 όπως άλλωστε προβλέπεται από τη σχέση k Εικόνα. 4 Λειτουργίες του δέντρου αντίστροφων EAC CSA Τα δύο διανύσματα F και που προκύπτουν δίνονται στη συνέχεια σαν είσοδο σε έναν aumeted dmshed- παράλληλο αθροιστή. Από τη στιγμή που τα F και δεν είναι αντίστροφα bt προς bt το πιο σημαντικό bt του αποτελέσματος θα είναι. Ο dmshed- αθροιστής είναι ένα αθροιστής που αυξάνει το ακέραιο άθροισμα των διανυσμάτων εισόδων του στην περίπτωση που το κρατούμενο εξόδου του είναι ή σε αντίθετη περίπτωση αφήνει το αποτέλεσμα αναλλοίωτο. Στο παράδειγμά μας αφού F και τότε ο dmshed- αθροιστής θα δώσει σαν αποτέλεσμα σαν τα λιγότερο σημαντικά bts του τελικού αθροίσματος. Συνεπώς το ζητούμενο modulo-7 άθροισμα των X 6 Θα είναι. Στην εικόνα.5 απεικονίζεται η συνολική αρχιτεκτονική του wehted MOMA(67) που χρησιμοποιείται στο παραπάνω παράδειγμα. Υλοποίηση αριθμητικών μονάδων υπολοίπου με αριθμητική των δυαδικών
Κεφάλαιο :Καινούργιοι Αθροιστές Modulo πολλαπλών εντέλων 9 Εικόνα. 5 Αρχιτεκτονική προτεινόμενης αρχιτεκτονικής για wehted MOMA(6 4 ) Υλοποίηση αριθμητικών μονάδων υπολοίπου με αριθμητική των δυαδικών
Κεφάλαιο :Καινούργιοι Αθροιστές Modulo πολλαπλών εντέλων.. Συγκρίσεις Σε αυτή την ενότητα θα συγκρίνουμε τις προτεινόμενες αρχιτεκτονικές για MOMA με αυτές που παρουσιάζονται στα [] []. Θα παρουσιάσουμε τόσο ποιοτικά όσο και ποσοτικά αποτελέσματα σύγκρισης. Για τις ποιοτικές μας συγκρίσεις θα χρησιμοποιήσουμε το απλό μοντέλο ut-ate που προτείνεται στο [7]. Στον πίνακα. συνοψίζονται οι εκτιμήσεις για επιφάνεια και καθυστέρηση για MOMA σύμφωνα με τις παρακάτω υποθέσεις:. Όλοι οι δυαδικοί αθροιστές που χρησιμοποιήθηκαν ακολουθούν την arallel-refx carry comutato αρχιτεκτονική των Koe-Stoe [6]. Όλοι οι dmshed- αθροιστές που χρησιμοποιήθηκαν ακολουθούν την arallel-refx carry comutato αρχιτεκτονική που παρουσιάζεται στο [6].. Σαν θ ( α ) εννοούμε τον ελάχιστο αριθμό επιπέδων σε ένα δέντρο CSA που επεξεργάζεται έντελα των a εισόδων. Πίνακας. Εκτιμήσεις σε επιφάνεια και καθυστέρηση σύμφωνα με το ut-ate μοντέλο MOMA(k ) Αρχιτ Καθ Επιφ 5k [] 4 [ θ ( k) ] lo( ) [] 4 [ θ ( k ) ] lo( ) lo k Προτεινόμενο 4 lo 6 6 ( ) ( ) lo( ) ( ) lo( ) ( 4) lo( 4) 4 5 ( ) lo ( ) lo( ) 7 k k k 9 θ 7 6 lo 5 Ο πίνακας. παρουσιάζει για διάφορες περιπτώσεις ελέγχων την εξαγόμενη καθυστέρηση και επιφάνεια σε ισοδύναμες πύλες. Από αυτούς τους υπολογισμούς είναι προφανές ότι οι σχεδιασμοί για MOMA τόσο αυτοί που παρουσιάζουμε όσο και αυτοί που δημοσιεύονται στο [] είναι μακράν πιο γρήγοροι και μικρότεροι σε σχέση με αυτούς που παρουσιάζονται στο []. Αυτό συμβαίνει γιατί στο [] γίνεται προσπάθεια για σχεδιασμό κυκλωμάτων MOMA με αυθαίρετο modul. Έτσι δεν εκμεταλλεύεται τις ιδιαίτερες ιδιότητες που παρατηρούνται στην αριθμητική modulo. Το παραπάνω χαρακτηριστικό μας Υλοποίηση αριθμητικών μονάδων υπολοίπου με αριθμητική των δυαδικών
Κεφάλαιο :Καινούργιοι Αθροιστές Modulo πολλαπλών εντέλων οδήγησε να μη συμπεριλάβουμε αυτή την αρχιτεκτονική στα ποσοτικά μας αποτελέσματα. Πίνακας. Ποιοτικά συγκριτικά αποτελέσματα - ισοδύναμες πύλες MOMA [] [] Προτεινόμενο k Καθ Επιφ Καθ Επιφ Καθ Επιφ 4 4 48 95 67 8 4 76 65 9 5 6 5 4 9 5 4 49 46 4 8 49 59 4 44 4 5 8 8 77 85 4 666 8 67 8 9 4 46 98 9 4 6 5 4 8 864 6 76 8 6 79 544 46 4 7 6 9 7794 5 86 4 87 Οι υπολογισμοί υποδηλώνουν ότι η αρχιτεκτονική που παρουσιάσαμε υπερισχύει σημαντικά σε ταχύτητα λειτουργίας σε σχέση με την αρχιτεκτονική που προτείνεται στο []. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι η προτεινόμενη αρχιτεκτονική αφαιρεί από το κρίσιμο μονοπάτι της αρχιτεκτονικής του [] έναν παράλληλο αθροιστή (αφαιρέτη). Τα κυκλώματα μεταφραστών που προστέθηκαν έχουν σχεδόν την ίδια πολυπλοκότητα με τους τελικούς πολυπλέκτες επιλογής του []. Κατά μέσο όρο σύμφωνα με τις μετρήσεις μας η προτεινόμενη αρχιτεκτονική οδηγεί σε % πιο γρήγορους MOMA. Επίσης όσον αφορά την επιφάνεια των κυκλωμάτων για μικρές και μεσαίες τιμές του k η προτεινόμενη αρχιτεκτονική οδηγεί σε σημαντικά πιο μικρές υλοποιήσεις. Για παράδειγμα οι προτεινόμενοι MOMA(47) είναι κατά % λιγότερο πολύπλοκοι σε σχέση με τα αντίστοιχα κυκλώματα του []. Όσο το k αυξάνεται τα κέρδη σε επιφάνεια μειώνονται. Για πολύ μεγάλα k ο αριθμός των μεταφραστών αυξάνεται και μπορεί να οδηγήσει σε περιορισμό των κερδών της έλλειψης του δεύτερου παράλληλου αθροιστή (αφαιρέτη) και των πολυπλεκτών του []. Για τα ποσοτικά μας αποτελέσματα αναπτύχθηκε μια DL γεννήτρια που παράγει τις DL περιγραφές για MOMA τόσο της προτεινόμενης αρχιτεκτονικής όσο και αυτής που παρουσιάζεται στο []. Μετά το στάδιο της εξομοίωσης των DL περιγραφών που εξήχθησαν οι σχεδιασμοί έγιναν ma σε μια CMOS stadard cell βιβλιοθήκη ( 8 m 6-metal layer.8v ) υποθέτοντας τυπικές παραμέτρους επεξεργασίας. Κατά τη διαδικασία του ma ακολουθήθηκε bottom-u προσέγγιση. Από τη στιγμή που ένα ιεραρχικό επίπεδο ολοκλήρωνε τη διαδικασία του ma και του otmze για delay και area δόθηκαν εντολές για do t touch έτσι ώστε να διατηρηθεί η κάθε περιγραφή όσο το δυνατόν περισσότερο. Τα αποτελέσματα που προέκυψαν παρουσιάζονται στον πίνακα.4. Σύμφωνα με αυτά Υλοποίηση αριθμητικών μονάδων υπολοίπου με αριθμητική των δυαδικών
Κεφάλαιο :Καινούργιοι Αθροιστές Modulo πολλαπλών εντέλων κατά μέσο όρο η προτεινόμενη αρχιτεκτονική για MOMA είναι % πιο γρήγορη ενώ παράλληλα καταλαμβάνει κατά 5% μικρότερη επιφάνεια. Πίνακας. 4 Ποσοτικά συγκριτικά αποτελέσματα MOMA [] Προτεινόμενο Κέρδος (%) k Καθ (s) Επιφ (μm ) Καθ (s) Επιφ (μm ) Καθ Επιφ 4 4 9 55 6 767 6 49 8 4 58 8856 55 59 88 9 4 4 67 86 974 87 9 4 8 9567 5 564 88 8 8 94 5647 74 4 5 47 8 44 5 8 45998 9 84 4 6 68 979 57 58 74 8 6 46 7444 95 6 7 6 479 9755 6 9 9 4.4. Συμπεράσματα Οι αθροιστές πολλαπλών εντέλων modulo είναι θεμελιώδη δομικά στοιχεία για τις εφαρμογές ενός RNS που χρησιμοποιεί ένα κανάλι της μορφής. Εδώ παρουσιάστηκαν καινούργιες αρχιτεκτονικές για το σχεδιασμό αυτών των υποσυστημάτων. Οι MOMA που προτείνονται βασίζονται στη χρήση κυκλωμάτων μετάφρασης που επιτρέπουν πρόσθεση με βάρη χρησιμοποιώντας ισοδύναμες -bt προσθέσεις. Οι εξαγόμενες αρχιτεκτονικές οδηγούν στους πιο γρήγορους προτεινόμενους σχεδιασμούς αφαιρώντας από το κρίσιμο μονοπάτι της μέχρι πρότινος πιο γρήγορης αρχιτεκτονικής έναν ολόκληρο παράλληλο αθροιστή. Τα ποσοτικά μας αποτελέσματα δείχνουν ότι στο μέσο όρο των εξεταζόμενων περιπτώσεων υπάρχει κέρδος της τάξης του % στο χρόνο εκτέλεσης με παράλληλα οφέλη στην επιφάνεια υλοποίησης που είναι ιδιαίτερα αυξημένα όταν ο αριθμός των εντέλων δεν είναι εξαιρετικά μεγάλος. Υλοποίηση αριθμητικών μονάδων υπολοίπου με αριθμητική των δυαδικών
Κεφάλαιο :Αρχιτεκτονικές για ταχείς αθροιστές modulo. Αρχιτεκτονικές για ταχείς αθροιστές modulo.. Εισαγωγή Στο κεφάλαιο είδαμε την εφαρμογή της ιδέας που παρουσιάστηκε στο κεφάλαιο σε modulo MOMA με έντελα στην αναπαράσταση με βάρη. Σε αυτό το κεφάλαιο θα εξετάσουμε μια ειδική περίπτωση για MOMA όταν τα έντελα που προστίθενται είναι δύο. Τότε προφανώς μιλάμε για αθροιστές modulo. Η ιδέα που εισήχθη στο κεφάλαιο ενισχύεται από μια καινούργια αρχιτεκτονική που θα παρουσιαστεί στο παρόν κεφάλαιο για dmshed- αθροιστές. Έτσι αυτούς τους αθροιστές που όπως θα δούμε είναι πιο γρήγοροι από τους προηγούμενους μπορούμε να τους χρησιμοποιήσουμε για να κατασκευάσουμε modulo αθροιστές με έντελα σε αναπαράσταση με βάρη. Στα [] και [4] δίνονται αποδοτικές αρχιτεκτονικές για modulo αθροιστές με έντελα στην αναπαράσταση με βάρη (από εδώ στο εξής θα αναφέρονται σαν wehted αθροιστές). Επίσης έχουν παρουσιαστεί αρκετές αρχιτεκτονικές για modulo αθροιστές με έντελα στην dmshed- αναπαράσταση (από εδώ και στο εξής θα αναφέρονται σας dmshed- αθροιστές) βασισμένες στην παρατήρηση ότι ένας τέτοιος αθροιστής είναι ίδιος με έναν αθροιστή ακεραίων μόνο που το κρατούμενο εισόδου είναι το αντίστροφο του κρατουμένου εξόδου. Στην περίπτωση όμως της χρήσης απλού αθροιστή ακεραίων το κρατούμενο εξόδου εξαρτάται από το κρατούμενο εισόδου οπότε είναι δυνατό να δημιουργηθεί συνδυαστικός βρόγχος που μπορεί να προκαλέσει ανεπιθύμητο race codto. Στο [7] αναφέρονται races 5 φορές μεγαλύτερα από το χρόνο εκτέλεσης μιας απλής πρόσθεσης. Έτσι εμφανίστηκε ένας αριθμός από εξειδικευμένες λύσεις για το πρόβλημα. Αρχιτεκτονικές Carry Lookahead (CLA) που υλοποιούν τη διαδικασία του αντίστροφου επανεισαγόμενου κρατουμένου (verted Ed-Aroud-Carry EAC) παράλληλα με τον υπολογισμό του κρατουμένου παρουσιάζονται στο [6] σε modulo αθροιστές. Στα [8] και [5] παρουσιάζονται dmshed- αθροιστές που χρησιμοποιούν μια μονάδα υπολογισμού κρατουμένου arallel-refx μαζί με ένα επιπλέον refx επίπεδο που διαχειρίζεται το αντίστροφο EAC. Παρόλο που αυτές οι αρχιτεκτονικές είναι γρηγορότερες από αυτές με το CLA που παρουσιάζονται στο [6] για σημαντικά μεγάλα έντελα είναι όμως πιο αργές από τις αντίστοιχες arallel-refx για Υλοποίηση αριθμητικών μονάδων υπολοίπου με αριθμητική των δυαδικών
Κεφάλαιο :Αρχιτεκτονικές για ταχείς αθροιστές modulo 4 ακέραιους αθροιστές εξαιτίας της αναγκαιότητας χρήσης ενός επιπλέον refx επιπέδου. Ακόμα στο [6] παρουσιάστηκε ότι η επανακυκλοφορία του αντίστροφου EAC μπορεί να υλοποιηθεί μέσα στα ήδη υπάρχοντα refx επίπεδα δηλαδή παράλληλα με τον υπολογισμό των κρατουμένων. Έτσι ακυρώνεται η ανάγκη για ένα επιπλέον refx επίπεδο και προκύπτει ότι οι arallel-refx dmshed- αθροιστές μπορούν να λειτουργήσουν όσο γρήγορα λειτουργούν οι ακέραιοι ισοδύναμοί τους δηλαδή έχουν το λογικό βάθος των lo refx επιπέδων. Στη συνέχεια εισάγεται μια νέα arallel-refx αρχιτεκτονική για το σχεδιασμό dmshed- αθροιστών. Η βασική ιδέα είναι η χρήση L κρατουμένων [9] στη θέση των παραδοσιακών. Η προτεινόμενη μονάδα υπολογισμού κρατουμένου μπορεί να υλοποιηθεί χρησιμοποιώντας λιγότερη επιφάνεια και χρησιμοποιεί ένα refx επίπεδο λιγότερο από αυτό του [6] δηλαδή έχει συνολικά lo refx επίπεδα. Επίσης παρουσιάζεται ότι οποιαδήποτε αρχιτεκτονική για dmshed- αθροιστές μπορεί να χρησιμοποιηθεί και για wehted αθροιστές. Έτσι η προτεινόμενη αρχιτεκτονική μπορεί να χρησιμοποιηθεί και για το σχεδιασμό πολύ γρήγορων wehted αθροιστών... Βασικές Έννοιες Στη συνέχεια θα χρησιμοποιούμε τη σημειογραφία και για να δηλώσουν τις λογικές συναρτήσεις AND OR exclusve-or και συμπλήρωμα αντίστοιχα. Έστω A a a... aa και B b b... bb οι δύο προσθετέοι και s... ss S s το άθροισμά τους. Κάθε αθροιστής των -bt μπορεί να θεωρηθεί ένα κύκλωμα τριών επιπέδων. Το πρώτο επίπεδο ονομάζεται επίπεδο προεπεξεργασίας στο οποίο υπολογίζονται για κάθε < τα carry eerate τα carry roaate υπολογισμοί γίνονται σύμφωνα με τις εξισώσεις: και τα bts ημιαθροίσματος d. Αυτοί οι a b a b και d a b. Το δεύτερο επίπεδο ονομάζεται μονάδα υπολογισμού κρατουμένου υπολογίζει τα παραδοσιακά σήματα κρατουμένου c για < χρησιμοποιώντας τα carry eerate και roaate bts. Τέλος το τρίτο επίπεδο ονομάζεται επίπεδο άθροισης και υπολογίζει τα bts αθροίσματος σύμφωνα με τη σχέση s d c. Υλοποίηση αριθμητικών μονάδων υπολοίπου με αριθμητική των δυαδικών
Κεφάλαιο :Αρχιτεκτονικές για ταχείς αθροιστές modulo 5 Ο υπολογισμός κρατουμένου μετασχηματίζεται σε ένα arallel-refx πρόβλημα χρησιμοποιώντας τον refx τελεστή (o ) ο οποίος συσχετίζει ζεύγη από eerate και roaate σήματα ως εξής: Η σημειογραφία ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) m o. m k : j k : j k k m m χρησιμοποιείται συχνά για να δηλώσει τα σήματα rou roaate και rou eerate σήματα που προκύπτουν από μία σειρά διαδοχικών συσχετισμών ζευγών eerate και roaate δηλαδή: ( ) ( ) o ( ) o... ( ) k: j k: j k k k k o Σε έναν ακέραιο αθροιστή κάθε κρατούμενο c είναι ίσο με :. Έτσι έχει εισαχθεί ένας αριθμός από διαφορετικούς αλγορίθμους για τον υπολογισμό όλων των κρατουμένων χρησιμοποιώντας μόνο τους o τελεστές. Αυτοί οι αλγόριθμοι συχνά αναπαρίστανται σαν ακυκλικά διευθυνόμενα γραφήματα στα οποία οι απαιτούμενοι o τελεστές είναι οι κόμβοι. Στην εικόνα. φαίνονται οι πιο γνωστοί αλγόριθμοι που παρουσιάστηκαν από τους Koe-Stoe [6] και Lader-Fscher [4] όταν χρησιμοποιούνται στο σχεδιασμό ενός αθροιστή των 8-bt. Για modular αθροιστές των -bt τα ζευγάρια των rou eerate και rou roaate ( ) ορίζονται ακόμα και αν j > k ως εξής: k: j k: j ( ) ( ) k: j k: j k: k: : j k: : j k m j k j Εικόνα. 8-bt arallel refx αθροιστές κατά Koe-Stoe και Lader-Fsher Στο [6] οι CLA και οι arallel-refx μονάδες υπολογισμού κρατουμένου που χρησιμοποιήθηκαν για την dmshed- modulo πρόσθεση χρησιμοποιούν τον παραδοσιακό ορισμό των κρατουμένων. Απαιτήθηκαν CLA τόσο Υλοποίηση αριθμητικών μονάδων υπολοίπου με αριθμητική των δυαδικών
Κεφάλαιο :Αρχιτεκτονικές για ταχείς αθροιστές modulo 6 ενός όσο και πολλών επιπέδων. Στην περίπτωση των ενός επιπέδου CLA αθροιστών τα κρατούμενα της modulo εξισώσεις: πρόσθεσης * c δίνονται από τις c j k j k j Εξίσωση. όπου και j εάν j > j εάν j j αλλιώς j f : j > j otherwse Για να επιταχυνθεί η πρόσθεση ακεραίων ο L πρότεινε μια απλοποιημένη μορφή των carry lookahead εξισώσεων που στηρίζονται σε γειτονικά ζεύγη από bts ( a b ) και ( b ) a [9]. Το -οστό L κρατούμενο ορίζεται ως εξής c c. Με αυτό τον τρόπο κάθε μπορεί να εκφραστεί σαν....... Τα L κρατούμενα μπορούν να υπολογιστούν πιο γρήγορα σε σχέση με τα αντίστοιχα κρατούμενα c αφού βασίζονται σε πιο απλή συνάρτηση Boole. Ας δούμε για παράδειγμα την περίπτωση των c και ενός ακέραιου αθροιστή. Αφού ισχύει c και υποθέτοντας τη χρήση λογικών πυλών δύο εισόδων ο υπολογισμός του c απαιτεί τη χρήση τεσσάρων λογικών επιπέδων για την πιο γρήγορη υλοποίηση ενώ για το αρκούν τρία λογικά επίπεδα. Παρόλο που ο υπολογισμός των είναι πιο απλός η εξαγωγή των τελικών bt αθροίσματος s χρησιμοποιώντας τα L κρατούμενα είναι πιο δύσκολος σε σχέση με τα παραδοσιακά κρατούμενα που ήταν s d c. Από Υλοποίηση αριθμητικών μονάδων υπολοίπου με αριθμητική των δυαδικών
Κεφάλαιο :Αρχιτεκτονικές για ταχείς αθροιστές modulo 7 Υλοποίηση αριθμητικών μονάδων υπολοίπου με αριθμητική των δυαδικών τη στιγμή που ισχύει c θα ισχύει ότι ( ) d c d s. Ο Βασιλειάδης στο [4] πρότεινε ο υπολογισμός των bts αθροίσματος να γίνεται ως εξής: ( ) d d s το οποίο μπορεί να υλοποιηθεί χρησιμοποιώντας έναν πολυπλέκτη που επιλέγει είτε το d είτε το ( ) d σύμφωνα με την τιμή του. Λαμβάνοντας υπόψη ότι γενικά μια λογική πύλη XOR έχει την ίδια χρονική καθυστέρηση όση ένας πολυπλέκτης αλλά και το γεγονός ότι τα d και ( ) d έχουν υπολογιστεί σε πιο λίγα λογικά επίπεδα από ότι το γίνεται σαφές ότι δεν εισάγεται επιπλέον χρονική καθυστέρηση στον υπολογισμό των bts αθροίσματος από τη χρήση των L κρατουμένων. Για την ακρίβεια τα bts αθροίσματος υπολογίζονται πιο γρήγορα εξαιτίας του πιο γρήγορου υπολογισμού των L κρατουμένων... Καινούργιοι dmshed- αθροιστές Σε αυτή την ενότητα παρουσιάζεται μια νέα αρχιτεκτονική για dmshed- αθροιστές. Για την καθαρότητα της παρουσίασης χρησιμοποιούμε σαν οδηγούς τις εξισώσεις των modulo 4 και modulo 8 αθροιστών. Στη συνέχεια τα ευρήματα γενικεύονται και για άλλα μεγέθη αθροιστών. Για την περίπτωση του modulo 4 αθροιστή από την εξίσωση. εξάγονται οι παρακάτω σχέσεις: c c c και c αφού αυτό είναι το αντίστροφο επανεισαγόμενο κρατούμενο της πρόσθεσης ακεραίων. Στη συνέχεια εφαρμόζοντας τη θεωρία του L οι παραπάνω σχέσεις μπορούν να ξαναγραφτούν ως εξής: ( ) c ( ) c Οι σχέσεις και που μπορούν να αποδειχτούν με ευκολία χρησιμοποιούνται συχνά στο κείμενο.
Κεφάλαιο :Αρχιτεκτονικές για ταχείς αθροιστές modulo 8 Όπου c ( ) ( ) c είναι τα L κρατούμενα της modulo πρόσθεσης. Έπειτα τα bts αθροίσματος s της dmshed- modulo πρόσθεσης μπορούν να υπολογιστούν όπως προτείνεται στο [4] δηλαδή d ( d ). Για το s έχουμε ότι d ( ) ισοδύναμα ως εξής d ( d ) s για s που μπορεί να υπολογιστεί s δηλαδή από ένα πολυπλέκτη που ελέγχεται από το. Στην εικόνα. παρουσιάζεται η υλοποίηση για έναν modulo 4 αθροιστή. Εικόνα. Dmshed- modulo 7 αθροιστής με μονάδα υπολογισμού L κρατουμένων Είναι εφικτές περαιτέρω βελτιώσεις σε χρόνο εκτέλεσης και επιφάνεια με το να μεταφέρουμε κάποια από την πολυπλοκότητα της μονάδας υπολογισμού κρατουμένων στο στάδιο προεπεξεργασίας. Στην περίπτωση του παραδείγματός μας του modulo 4 αθροιστή τα L κρατούμενα μπορούν επίσης να γραφτούν ως εξής: ( ) ( ) Υλοποίηση αριθμητικών μονάδων υπολοίπου με αριθμητική των δυαδικών
Κεφάλαιο :Αρχιτεκτονικές για ταχείς αθροιστές modulo 9 Υλοποίηση αριθμητικών μονάδων υπολοίπου με αριθμητική των δυαδικών ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) όπου ς αλλι ν ε ώ ά και ς αλλι ν ε ώ ά Ακολουθώντας παρόμοια διαδικασία στην περίπτωση ενός dmshed- modulo 8 αθροιστή μπορούμε να εξάγουμε το ακόλουθο σετ σχέσεων για τα L κρατούμενα : 5 7 4 5 7 6 7 4 6 5 6 7 4 5 7 6 7 5 6 7 6 7 4 4 7 4 4 4 5 5 5 5 4 5 6 6 4 6 4 6 5 6 7 7 Χρησιμοποιώντας τον τελεστή o μπορούμε να γράψουμε τις παραπάνω σχέσεις σύμφωνα με την refx σημειογραφία. Έτσι τα L κρατούμενα της modulo πρόσθεσης αντιστοιχούν στα rou roaate σήματα που υπολογίστηκαν από τις refx σχέσεις. Στην περίπτωση του παραδείγματός μας του modulo 8 αθροιστή έχουμε: ( ) ( ) ( ) ( ) 4 5 6 7 o o o ( ) ( ) ( ) ( ) 4 5 6 7 o o o ( ) ( ) ( ) ( ) 4 5 6 7 o o o ( ) ( ) ( ) ( ) 4 5 6 7 o o o ( ) ( ) ( ) ( ) 5 6 7 4 4 o o o ( ) ( ) ( ) ( ) 6 7 4 5 5 o o o ( ) ( ) ( ) ( ) 7 4 5 6 6 o o o ( ) ( ) ( ) ( ) 4 5 6 7 7 o o o
Κεφάλαιο :Αρχιτεκτονικές για ταχείς αθροιστές modulo 4 Στην εικόνα. φαίνεται το refx γράφημα που μπορεί να εξαχθεί από τις παραπάνω σχέσεις. Αποτελείται από σκούρους και από ανοιχτούς κόμβους. Οι σκούροι κόμβοι υπολογίζουν τα σήματα rou eerate και rou roaate ενώ οι ανοιχτοί κόμβοι υπολογίζουν μόνο τα σήματα rou eerate. Οι πιο παχιές γραμμές χρησιμοποιούνται για να δείξουν μια σύνδεση ζεύγους. Εικόνα. Προτεινόμενη μονάδα υπολογισμού κρατουμένου για arallel-refx L Γενικεύοντας τα παραπάνω ευρήματα προτείνεται μια καινούρια αρχιτεκτονική για arallel-refx L carry modulo αποτελείται από: αθροιστή η οποία Ένα εμπλουτισμένο στάδιο προεπεξεργασίας που υπολογίζει τα σήματα και d. Παρόλο που είναι πιο πολύπλοκο από το στάδιο της προεπεξεργασίας ενός παραδοσιακού αθροιστή το overhead δεν είναι πάρα πολύ μεγάλο αφού τα σήματα μπορούν να υπολογιστούν με χρήση πολύπλοκων λογικών πυλών AND-OR-INVERT (AOI) και OR-AND-INVERT (OAI). Μια arallel-refx μονάδα υπολογισμού κρατουμένου που υλοποιεί τις refx σχέσεις (υποθέτοντας ότι όπου k ): ( ) o ( ) o... o ( ) Υλοποίηση αριθμητικών μονάδων υπολοίπου με αριθμητική των δυαδικών
Κεφάλαιο :Αρχιτεκτονικές για ταχείς αθροιστές modulo 4 και j j j εάν j > j αλλιώς j εάν j > j αλλιώς Από τη στιγμή που όλες οι εξισώσεις έχουν όρους μπορεί να ολοκληρωθεί ο παράλληλος υπολογισμός τους σε lo refx επίπεδα δηλαδή σε ένα και δύο επίπεδα λιγότερα από αυτά που προτείνονται στα [6] και [5] αντίστοιχα. Αυτό το γεγονός κάνει τον υπολογισμό των κρατουμένων τον πιο γρήγορο στην ανοιχτή βιβλιογραφία για dmshed- αθροιστές. Πίνακας. Αριθμός refx τελεστών Προτεινόμενη [6] [5] Lader- Fsher [5] Koe- Stoe 8 6 5 6 68 74 4 65 96 94 8 6 Λαμβάνοντας υπόψη την πολυπλοκότητα χώρου κάθε refx επίπεδο της μονάδας υπολογισμού κρατουμένων με lo απαιτεί refx τελεστές. Ο πίνακας. συνοψίζει τον αριθμό των τελεστών στις refx μονάδες που απαιτούνται στους προτεινόμενους αθροιστές αλλά και στις λύσεις που δίνονται στο [6] και στο [5] για διάφορες τιμές του. Για το [5] έχει ληφθεί υπόψη υλοποίηση τόσο με Lader-Fscher όσο και με Koe-Stoe. Συγκρινόμενος με τους πιο γρήγορους ανταγωνιστές του στο [6] προτάθηκαν αθροιστές που παρέχουν λιγότερο πολύπλοκες μονάδες υπολογισμού κρατουμένου κατά περισσότερο από 8% για 6. Αυτό το ποσοστό είναι μόνο ενδεικτικό και προβλέπεται να αυξηθεί επιπλέον όταν ληφθεί υπόψη και η πολυπλοκότητα διασύνδεσης. Οι αθροιστές που προτείνονται στο [5] και ακολουθούν την Koe- Stoe δομή προσφέρουν σημαντικά μικρότερη επιφάνεια μόνο για ενώ αυτές με τη Lader-Fscher refx μονάδα είναι οι λιγότερο πολύπλοκες. Παρόλα αυτά και οι δύο λύσεις μειονεκτούν Υλοποίηση αριθμητικών μονάδων υπολοίπου με αριθμητική των δυαδικών
Κεφάλαιο :Αρχιτεκτονικές για ταχείς αθροιστές modulo 4 στο ότι δημιουργούν αυξημένες καθυστερήσεις κατά την εκτέλεση και μεγάλο fa-out: το επανεισαγόμενο κρατούμενο έχει fa-out της τάξεως του. Μια μονάδα άθροισης που αποτελείται από πύλες XOR και πολυπλέκτες που υλοποιούν τις παρακάτω εξισώσεις: ( d ) ( d ) s d s για ( ) d. Στην εικόνα.4 φαίνεται η αρχιτεκτονική που προτείνεται για τους dmshed- modulo 4 αθροιστές στην οποία ενσωματώνονται όλα τα χαρακτηριστικά που αναλύθηκαν στις προηγούμενες παραγράφους. Εικόνα. 4 Προτεινόμενη αρχιτεκτονική για dmshed- modulo 4 αθροιστή με χρήση L κρατουμένων.4. Καινούριοι wehted αθροιστές Η αρχιτεκτονική που εξάχθηκε στην προηγούμενη ενότητα μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί στη σχεδίαση γρήγορων modulo αθροιστών με έντελα στην αναπαράσταση με βάρη. Όπως παρουσιάζεται σε αυτή την ενότητα αυτό ισχύει όχι μόνο για την προτεινόμενη αρχιτεκτονική άλλα για κάθε αρχιτεκτονική που έχει προταθεί για dmshed- αθροιστές. Υλοποίηση αριθμητικών μονάδων υπολοίπου με αριθμητική των δυαδικών