1 η ΕΚΑ Α ΜΑΘΗΜΑ 45 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ 45 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ η ΕΚΑ Α. ίνετι η συνάρτηση f () ( ) κι το σηµείο Α(, 0) µε > 0 Ν µελετηθεί η f ως προς την µονοτονί, τ κρόττ, την κυρτότητ, τ σηµεί κµπής κι τις σύµπτωτες. Γι τις διάφορες τιµές του ν ρείτε την εξίσωση της κµπύλης στην οποί κινείτι ) το κρόττο της f ) το σηµείο κµπής της f i Ν ρεθεί το εµδόν E(λ) του χωρίου που ορίζετι πό τον άξον, τη C f κι την ευθεί λ < 0. iν) Ν ρείτε το lim Ε( λ ) λ ν) Αν το Α κινείτι µε τχύτητ υ 3cm/s, ν ρείτε το ρυθµό µετολής του εµδού, τη χρονική στιγµή κτά την οποί είνι 5. A R στο οποίο η f είνι συνεχής κι δύο φορές πργωγίσιµη f f () ( ) + ( + ) f () 0 ( + ) 0 Πρόσηµο της f κι µονοτονί της f + f 0 + f ց ր Προυσιάζει ελάχιστο γι, το f( ) - () f () ( + ) + ( + ) f () 0 ( + ) 0 Πρόσηµο της f κι κυρτότητ της f + f 0 + f Προυσιάζει κµπή γι Το σηµείο κµπής είνι το (, - ) () Αν µπερδεύεις τη χρήση των,, εσύ άνε όποιο θέλεις. Τυφλά : άνουµε στην πορεί λύσης εξίσωσης νίσωσης συστήµτος

Επειδή η f είνι συνεχής στο R, δεν έχει κτκόρυφες σύµπτωτες λ f () lim lim lim lim lim ( f () ) λ ( ) lim 0 0 lim f () lim ( ) lim 0( ) + ( ) lim ( ) lim 0 Εποµένως η ευθεί y 0 είνι οριζόντι σύµπτωτη στο f () ( ) λ lim lim + + lim + lim lim (+ ). + + + Άρ σύµπτωτες στο + δεν υπάρχουν ) Έστω Μ(, y) το τυχίο κρόττο ( ) κι y - (πλοιφή το ) + κι y - Επειδή > 0, θ είνι + > 0 > y Άρ η κµπύλη του κρόττου έχει εξίσωση y, > ) Οµοίως ρίσκουµε ότι το σηµείο κµπής Ν(, - ) κινείτι στην i κµπύλη y, >. f() 0 ( ) 0. Το διάστηµ ολοκλήρωσης είνι το [λ, ], στο οποίο η f είνι συνεχής κι f() 0 γι κάθε [λ, ]

3 Ε(λ) ( )d λ ( ) + d λ (πργοντική) λ iν) ( ) λ + λ (λ ) +. λ lim Ε( λ ) lim ( λ ) + λ λ λ lim ( ) λ λ λ + (3) λ Όµως lim ( λ ) 0 ( ) λ λ lim + λ λ (3) lim Ε( λ ) λ ν) Ε(t) λ (λ (t) ) + (t) Ο ρυθµός µετολής του εµδού είνι Ε (t) (t) λ + (t) (t) lim λ λ Οπότε, τη χρονική στιγµή κτά την οποί είνι 5, ο ρυθµός µετολής είνι Ε (5) 3 λ + 3 5 0

4. είξτε ότι γι κάθε, C ισχύει i Im( ). Αν συνάρτηση f : [, ] R έχει συνεχή πρώτη πράγωγο κι f() + i, w f() + i, w w 0, όπου, ετερόσηµοι µε f()f() 0, δείξτε ότι ) H εξίσωση f() 0 έχει µί τουλάχιστον ρίζ στο διάστηµ (, ) ) f ()d + f ()d 0 Γνωρίζουµε ότι i Im(). Όπου θέτουµε i Im( ) w w 0 ( i ) i Im( w ) 0 Im( w ) 0 () Αλλά w [f() + i][ f() i] [f()f() + ] + [ f() f()]i () f() f() 0 f() f() () ) Η f είνι συνεχής στο [, ] εφόσον είνι πργωγίσιµη σ υτό µε f()f() ( ) f() f ( ) f () < 0 (φού, ετερόσηµοι) Συνεπώς, µε άση το θεώρηµ Bolano, θ υπάρχει έν τουλάχιστον ξ (, ) έτσι ώστε f(ξ) 0 ) f ()d + f ()d f ()d ( ) f() f() 0 + [f()] f ()d Συχνά, το επόµενο ερώτηµ το προσρ- µόζουµε σε προηγούµενο. [f()]

5 3. 3 Έστω η συνάρτηση f(), R 3 Ν ρείτε το σύνολο τιµών της f, τ διστήµτ µονοτονίς, τ διστήµτ κυρτότητς κι µε άση όλ υτά ν σχεδιάσετε τη C f Ν ρείτε το πλήθος των πργµτικών ριζών της εξίσωσης f(), όπου R Είνι lim f (), + Άρ το σύνολο τιµών είνι το (, + ) f () ( ) lim f () + κι f συνεχής στο R. f () 0 ( ) 0 0 ή Πρόσηµο της f κι µονοτονί της f 0 + f + 0 0 + f ր ց ր Η f προυσιάζει τοπικό µέγιστο γι 0, το f(0) 0 τοπικό ελάχιστο γι, το f() 6 f () f () 0 Πρόσηµο της f κι κυρτότητ της f / + f 0 + f y O - 6

6 Ότν <, η ευθεί y θ έχει µόνο έν κοινό σηµείο µε τη C f, 6 άρ η εξίσωση f() θ έχει µί µόνο ρίζ Ότν, η ευθεί y θ έχει δύο κοινά σηµεί µε τη C f, 6 άρ η εξίσωση f() θ έχει δύο ρίζες Ότν < < 0, η ευθεί y θ έχει τρί κοινά σηµεί µε τη C f, 6 άρ η εξίσωση f() θ έχει τρεις ρίζες Ότν 0, η ευθεί y θ έχει δύο κοινά σηµεί µε τη C f, άρ η εξίσωση f() θ έχει δύο ρίζες Ότν > 0, η ευθεί y θ έχει µόνο έν κοινό σηµείο µε τη C f, άρ η εξίσωση f() θ έχει µί µόνο ρίζ

7 4. Έστω η συνάρτηση f() ln +. Ν µελετηθεί ως προς τη µονοτονί, κρόττ, κι σύνολο τιµών Ν ρεθεί το πλήθος των ριζών των εξισώσεων f() -, f() i Ν δείξετε - γι κάθε > 0 iν) Ν ρείτε το εµδόν του χωρίου το οποίο ορίζετι πό τη κι τις ευθείες µε εξισώσεις κι Α f (0, + ) στο οποίο η f είνι συνεχής κι πργωγίσιµη µε f () ln f () 0 Πρόσηµο της f κι µονοτονί της f 0 + f 0 + f ց ր C f, τον άξον των Από τον πίνκ λέπουµε ότι η f προυσιάζει ελάχιστο γι, το f() 0 lim f () 0 Αλλά () lim f () + lim( ln ) 0 0 lim ln lim f () 0 + 0 ln lim 0 + lim 0 0 0 + () 0( ) lim ( ln ) + lim (ln) 0 + () + (+ ) (+ ) lim ln + + Από τις (), (3) κι f() 0, συµπερίνουµε ότι f(a) [0, ) [0, + ) [0, + ) y lim( ) 0 0 (+ ) (+ + 0) + (3) Λύση των εξισώσεων στο διάστηµ (0, ], έχοντς f[ (0, ] ] [0, ) Eπειδή - [0, ), η εξίσωση f() - Εδώ έν πρόχειρο σχήµ κρίνετι πρίτητο έχει µί τουλάχιστον ρίζ στο (0, ], η οποί είνι µονδική, φού η f είνι γνησίως φθίνουσ στο (0, ]. - O Επειδή [0, ), η εξίσωση f() είνι δύντη στο (0, ] 3

8 Λύση των εξισώσεων στο διάστηµ [, + ), έχοντς f[ [, + )] [0, + ) Eπειδή - [0, + ), η εξίσωση f() - έχει µί τουλάχιστον ρίζ στο [, + ), η οποί είνι µονδική, φού η f είνι γνησίως ύξουσ στο [, + ) Eπειδή [0, + ), η εξίσωση f() έχει µί τουλάχιστον ρίζ 3 στο [, + ), η οποί είνι µονδική, φού η f είνι γνησίως ύξουσ στο [, + ) Τελικά η εξίσωση f() - έχει δύο κριώς ρίζες, ενώ η f() µί κριώς i - ln ln - iν) ln ( )ln ln ln + 0 f() 0 που ισχύει, φού f() f() 0 Το διάστηµ ολοκλήρωσης είνι το [, ], στο οποίο η f είνι συνεχής κι f() 0. Άρ το ζητούµενο εµδόν είνι Ε ( ln + )d ln d d + d ln d ln ln d Προσρµογή στις υποθέσεις + [ ] + [ ] + [ ] 4 4

9 5. Έστω συνάρτηση f : R R γι την οποί ισχύουν f() f( ) f() > 0 γι κάθε R f() + f () 0 γι κάθε R Ν ποδείξετε ότι f(), R Ν ρείτε την εξίσωση της εφπτοµένης της C f στο σηµείο (, f()), όπου 0 κι ν ποδείξετε ότι η εφπτοµένη έχει κι δεύτερο κοινό σηµείο µε τη C. f Γι κάθε R είνι f() + f () 0 f () f () ( ln f () ) ( ln ) ( ln f ( )) ( ln ) () Στο διάστηµ (, 0) () lnf() ln( ) + c () Γι ν εφρµοστεί το θεώρηµ πιτείτι Γι, η () lnf( ) ln + c διάστηµ κι όχι ln ln + c ένωση διστηµάτων c 0 Η () γίνετι lnf() ln( ) lnf() ln( ) (3) Στο διάστηµ (0, + ) () lnf() ln + c (4) f() ( ) f() Γι, η (4) lnf() ln + c ( ) ln ln + c c 0 Η (4) γίνετι lnf() ln lnf() ln Από τις (3), (5) f() f() Πάµε σε πράγωγος πράγωγος, άρ f () 3 στο R f() Εφπτοµένη στο (, f()) : y f() f ()( ) στο (, 0) στο (0, + ) (5)

0 y 3 ( ) y + 3 3 Τ κοινά σηµεί της C f µε την εφπτοµένη έχουν τετµηµένες τις λύσεις της εξίσωσης + 3 3 3 3 + 3 0 (Hornr γι ) οπότε η εφπτοµένη έχει µε τη ( )( ) 0 0 ή ή διπλή ρίζ ή, f Κ, 4 C f κοινό κι το σηµείο Κ ( )

6. είξτε ότι γι τους µιγδικούς ριθµούς, ισχύει η ισοδυνµί + R( ) 0 Έστω συνάρτηση f : [, ] R συνεχής στο [, ], + if(), w f() + i µε 0 κι w + w. Ν ποδείξετε ότι η εξίσωση f() 0 έχει µί τουλάχιστον ρίζ στο [, ]. + + ( ) ( ) + + + 0 + 0 R( ) 0 R( ) 0 w w + Όµως ( i ) R(w ) 0 () w (f() + i )( if()) f() + f() + [ f()f()]i οκιµάζουµε Bolano. Αν δεν περπτάει, πάµε σε Roll ή Θ.Μ.Τ Άρ R( w ) f() + f() ( ) f() + f() 0 Αν f() 0 τότε πό την f() + f() ρίζ κι ρίζ f() f() f() f() f() f() f () 0 θ είνι κι f( ) 0 άρ Αν f() 0 τότε f() f() < 0 κι επειδή f συνεχής στο [, ], κτά το Θ. Bolano, η εξίσωση f() 0 έχει µί τουλάχιστον ρίζ στο (, ) Τελικά η εξίσωση f() 0 έχει µί τουλάχιστον ρίζ στο [, ]

7. Έστω η συνεχής συνάρτηση f :R R, µε f() 3 Αν γι κάθε R ισχύει g() f (t)dt 3 + ( ) 0, όπου + i δοσµένος µιγδικός, µε, R *, ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση g είνι πργωγίσιµη στο R κι ν ρείτε την g. ν ποδείξετε ότι + i µε δεδοµένη την σχέση του ( ερωτήµτος, ν δείξετε ότι R( ) iν) Αν επιπλέον είνι f() > 0, f(3) κι >, ν δείξετε ότι υπάρχει ο (, 3) τέτοιο ώστε f( ο ) 0. Αφού η f είνι συνεχής στο R, το ολοκλήρωµ στην συνάρτηση g() είνι πργωγίσιµη συνάρτηση, εποµένως η g είνι πργωγίσιµη σν πράξεις πργωγίσιµων συνρτήσεων µε g () f( 3 ) 3 3 + () 3 Η υπόθεση g() f (t)dt 3 + ( ) γι δίνει g() 0 Η υπόθεση g() 0 γίνετι g() g() γι κάθε R ηλδή, η πργωγίσιµη συνάρτηση g έχει ελάχιστο γι εσωτερικό σηµείο του R, οπότε, µε άση το θεώρηµ του Frmat, θ είνι g () 0 () Η () γι δίνει g () f() 3 3 + 3 3 + 3 3 + () 3 3 + 0 + i + + + +

3 + + + + + 0 + + + 0 iν) Πάµε γι Bolano στο διάστηµ [, 3] R( ) R( ) Αρκεί ν ποδείξουµε ότι f()f(3) < 0, δηλδή < 0 κι φού > 0, ρκεί ν ποδείξουµε < 0 Γνωρίζουµε ότι + i + i R( ) Αλλά R( ), άρ κι επειδή > 0, θ είνι + < 0 ( )( + ) < 0 < < 0

4 8. είξτε ότι η εξίσωση ( ) + 3 0 έχει µονδική ρίζ την Έστω η συνάρτηση f() κιο µιγδικός ριθµός ( 3) + f()i. Αποδείξτε ότι 5 To είνι προφνής ρίζ της εξίσωσης, φού την επληθεύει. ( ) Έστω η συνάρτηση h() + 3, R, h () ( ) + ( ) ( ( ) ) ( ) + ( ) + 8 ( ) ( ) + 4 + + > 0 γι κάθε R Οπότε η h είνι γνησίως ύξουσ, άρ η ρίζ είνι µονδική ( 3) + f()i ( 3) + i Θεωρούµε τη συνάρτηση g() ( ) g () (( 3) + ) ( 3) + ( ) Ανισότητ µέσ πό τη µονοτονί ( ) ( ) ( 3) + ( ) ( 3) +, R που εκφράζει το ( ) ( 3) + 4 ( 3) + ( ) ( ) + 3 ( 3) + ( ) + 3 ( ) g () 0 0 + 3 0 () ( ) ( 3) + Όπως είδµε στο ( ερώτηµ, µονδική ρίζ της εξίσωσης () είνι η Πρόσηµο της g κι µονοτονί της g + g 0 + g ց ր Μονδικότητ µέσ πό τη µονοτονί Σηµείωση : Γι ν ρούµε το πρόσηµο εκτέρωθεν του, άζουµε τις τιµές 0 (, ) κι 3 (, + ) Από τον πίνκ λέπουµε ότι η g έχει ελάχιστο γι, το g() ( ) ( 3) + 4+ 5. οπότε g() g(), δηλδή 5

5 9. Έστω οι συνρτήσεις f, g µε πεδίο ορισµού το R κι η συνάρτηση fοg, η οποί είνι. είξτε ότι η g είνι. η εξίσωση g(f() + 3 ) g(f() + ) έχει κριώς δύο θετικές κι µί ρνητική ρίζ. Γι οποιδήποτε, R τέτοι ώστε g( ) g( ) f(g( ) f(g( )) (fog)( ) (fog)( ) κι φού η fog είνι άρ η g είνι Αφού η g είνι, η εξίσωση Θεωρούµε τη συνάρτηση h () 3 3 h () 0 ή g(f() + 3 ) g(f() + ) γίνετι f() + 3 f() + 3 3 + 0 h() 3 3 +, R Πρόσηµο της h κι µονοτονί της h + h + 0 0 + h ր ց ր τ.µέγ. τ.ελ h( ) 3 h() Μι µτιά στο µάθηµ 5, στον ορισµό κι στο σχόλιο 5 lim h() lim h() + 3 lim ( 3 ) + 3 lim ( 3 ) + + Ότν (, ] lim 3 lim 3 + + τότε το σύνολο τιµών της h είνι το (, 3], στο οποίο νήκει το 0, άρ η εξίσωση h() 0 έχει µί τουλάχιστον ρίζ. Κι επειδή η h είνι γνησίως ύξουσ, η ρίζ είνι µονδική. Προφνώς η ρίζ είνι ρνητική Πρόχειρη γρ. πράστση - y O

6 Ότν [, ] τότε το σύνολο τιµών της h είνι το [-, 3], στο οποίο νήκει το 0, άρ η εξίσωση h() 0 έχει µί τουλάχιστον ρίζ. Κι επειδή η h είνι γνησίως φθίνουσ, η ρίζ είνι µονδική. Επί πλέον είνι f(0) f() (0 3 3. 0 +)( 3 3. + ) ( ) < 0 Οπότε, κτά το Θ.Bolano, η ρίζ νήκει στο (0, ), άρ είνι θετική. Ότν [, + ) τότε το σύνολο τιµών της h είνι το [, + ), στο οποίο περιέχετι το 0, άρ η εξίσωση h() 0 έχει µί τουλάχιστον ρίζ, κι επειδή η h είνι γνησίως ύξουσ, η ρίζ είνι µονδική. Προφνώς η ρίζ είνι θετική

7 0. Έστω οι συνρτήσεις h, g συνεχείς στο [, ]. είξτε ότι Αν h () > g() γι κάθε [, ], τότε h()d > g()d f () Αν f πργωγίσιµη µε f () + γι κάθε R, κι f(0) 0, ν ρείτε την f συνρτήσει της f i N δείξετε ότι < f() < f () γι κάθε > 0 iν) Αν Ε είνι το εµδόν του χωρίου που ορίζετι πό τη C f κι τις ευθείες 0,, y 0, δείξτε ότι h () > g() h () g() > 0 < Ε < f (). 4 [h() g()]d > 0 f () f () + f () h()d g()d > 0 h()d g()d > + f () f () f () + f () f () i Αρκεί ν ποδείξουµε ότι f ()( + ( ) < f ( ) ( ) < f f 0 0 + f () ) f () f () < f () < f () Πάµε γι Θ.Μ.Τ στο διάστηµ [0, ], όπου > 0 Επειδή η f είνι πργωγίσιµη στο [0, ] θ ισχύει το θεώρηµ µέσης τιµής. f () f (0) Oπότε, υπάρχει ξ (0, ) τέτοιο ώστε f (ξ) 0 Αρκεί λοιπόν ν ποδείξουµε ότι < f (ξ) < f () Μς πσχολεί η µονοτονί της f, δηλδή το πρόσηµο της f f () ( + f () ) f () () f () > 0 (πό την () είνι f () > 0) f () f () + + ( ) ( ) () ηµιουργήσµε το κλάσµ του Θ.Μ.Τ

8 Άρ η f είνι γνησίως ύξουσ. Οπότε : iν) Από την έχουµε 0 < ξ < f f (0) < f (ξ) < f () < f (ξ) < f () f (0) + < f (ξ) < f () 0 + < f (ξ) < f () < f() < f () κι µε άση το ( ερώτηµ d < 0 f ()d < 0 f ()d 0 < Ε < [ f ()] 0 f ()d 0 0 4 < Ε < f() E < Ε 4 κι Ε < f() E < Ε 4 κι Ε < f() 4 < Ε κι Ε < f() 4 < Ε < f()