Τετραγωνική κυματομορφή συχνότητας 1 Hz

Τετραγωνική κυματομορφή συχνότητας 1 Hz

Η κυματομορφή, στην γενική της μορφή θα είναι : V 0 2 3 ωt -V Η κυματομορφή είναι εριττή

Η κυματομορφή, όως φαίνεται εύκολα αό το σχήμα, έχει μέση τιμή μηδενική, άρα θα είναι: a 0 2 = 0. Στο διάστημα 0<ωt< είναι f t = V ενώ στο <ωt<2 είναι f t = V. Οι συντελεστές θα είναι:

a = 1 0 Vcos ωt d ωt + = V 1 si ωt 1 si ωt 0 = 0 για κάθε τιμή του 2 Vcos ωt d ωt 2 Δηλαδή η σειρά δεν εριέχει όρους συνημιτόνων, καθώς ρόκειται για μια κυματομορφή εριττή.

b = 1 0 Vsi ωt d ωt + 2 Vsi ωt d ωt 2 = V 1 cos ωt 0 = V = V Δηλαδή θα είναι: + 1 cos ωt cos + cos0 + cos 2 cos 2 2cos = 2V b = 4V 1 cos cos = 1 για =1,3,5, b = 0 για =2,4,6, Δηλαδή η κυματομορφή θα έχει μόνο τις εριττές αρμονικές (1,3,5, ), καθώς εκτός αό εριττή έχει και συμμετρία ημιεριόδου

Η σειρά Fourier της κυματομορφής θα είναι: f t = 4V si ωt + 4V 3 + 4V si 9ωt + 9 si 3ωt + 4V 5 si 5ωt + 4V 7 si 7ωt Mε συχνότητα F=1 Hz (T=1 sec) και V=1 volt, θα είναι: ω=2 και η σειρά: f t = 4 4 4 4 si 2t + si 6t + si 10t + si 14t 3 5 7 + 4 si 18t + 9

Ανασύσταση της τετραγωνικής κυματομορφής με 5 αρμονικές

Αό τον υολογισμό της σειράς φαίνεται ως έχουμε μόνο τους ημιτονοειδείς όρους των εριττών αρμονικών. Αυτό οφείλεται στο ότι η τετραγωνική είναι εριττή (άρα έχει μόνο ημιτονοειδείς όρους) και έχει συμμετρία ημιεριόδου (άρα έχει μόνο εριττές αρμονικές). Το γραμμικό φάσμα της τετραγωνικής κυματομορφής

Κυματομορφή f(t)=x3=(ωt)3

Η συνάρτηση είναι εριοδική με ερίοδο 2. [- x < ] ή [- ωt < ]. Αό την μορφή της κυματομορφής εξάγουμε ότι αυτή είναι: Περιττή, και άρα η σειρά Fourier δεν θα έχει όρους με συνημίτονα (a =0 ) Η κυματομορφή δεν έχει σταθερή συνιστώσα: 1 2 a 0 = 0 Η κυματομορφή έχει εερασμένο λήθος ασυνεχειών

Ολοκληρώνοντας κατά μέρη, σύμφωνα με τους κάτωθι τύους: a b udv = uυ a b a b vdu cos αx dx = 1 a si x si αx dx = 1 cos x α Θέτουμε: u 1 = x 3 du 1 = 3x 2 dx x 3 si x dx = a b udv και dv 1 = si x dx dv 1 = si x dx v 1 = 1 cos x Οι συντελεστές των ημιτονοειδών όρων b θα έχουν ως εξής: b = 1 f x si x dx = 1 x 3 si x dx = = 1 x3 cos x = 1 x3 cos x + cos x 3x 2 dx + 3 x 2 cos x dx

b = 1 x3 cos x = 1 3 cos + 3 cos + 3 x 2 cos x dx Καθώς η σχέση cos(x) είναι μια άρτια συνάρτηση, θα ισχύει: cos()=cos(-). Έτσι η b θα γίνει: b = 1 23 cos + 3 x 2 cos x dx

b = 1 23 cos + 3 x 2 cos x dx Θέτουμε: u 2 = x 2 du 2 = 2xdx και dv 2 = cos x dx v 2 = 1 b a si x udv = uυ a b a b vdu b = = 1 23 cos

b = = 1 23 cos b = = 1 23 cos Καθώς η σχέση si()=0, για κάθε ακέραιο, η b θα γίνει:

b = = 1 23 cos

b = 1 23 cos 6 xsi x dx Θέτουμε: u 3 = x du 3 = dx a b udv = uυ a b a b vdu και dv 3 = si x dx v 3 = 1 cos x b = = 1 23 cos

b = 1 23 cos b = 1 23 cos Καθώς η σχέση cos(x) είναι άρτια: cos()=cos(-) Το ολοκλήρωμα του ημιτόνου σε μια ερίοδο είναι μηδέν: si x = 0 Και cos = 1

b = 1 23 cos 6 2cos + 0 2 23 cos + 12 = 1 = 22 cos + = cos 22 2 = 2cos 3 cos 2 12cos 3 3 + 12 3 2 2 6 = 2 1 3 2 2 6

Η σειρά Fourier της κυματομορφής θα είναι: f x = 1 2 a 0 + a cos x + b si x =1 Και καθώς όλοι οι όροι α είναι μηδενικοί, θα έχουμε: f x = b si x =1 Και στην τελική της μορφή: f x = =1 2 1 3 2 2 6 si x

f x = =1 2 1 3 2 2 6 si x = = 7, 74si x 8, 37si 2x + 6, 135si 3x 4, 75si 4x +3, 85si 5x 3, 23si 6x + 2, 785si 7x

Ανασύσταση της κυματομορφής για διάφορο λήθος αρμονικών

Κυματομορφή f(t)=x 2 =(ωt) 2 Η συνάρτηση είναι άρτια (συμμετρική στον κατακόρυφο άξονα) και εριοδική με ερίοδο 2. Άρα θα έχει μόνον συνημιτονικούς όρους.

a = 1 f x cos x dx = 1 x 2 cos x dx a 0 = 1 = 1 3 x 2 cos 0x dx = 1 3 3 3 = 1 2 3 3 x 2 dx = 1 = 22 3 x 3 3

Ισχύει: a b udv = uυ a b a b vdu Θέτουμε: u 2 = x 2 du 2 = 2xdx και dv 2 = cos x dx v 2 = 1 si x Άρα: a = 1 f x cos x dx = 1 x 2 cos x dx = 1 x2 si x si x 2xdx

= 1 x2 si x = 1 2 xsi x dx 2 si 2 si

Ισχύει: a b udv = uυ a b a b vdu Θέτουμε: u 3 = x du 3 = dx και dv 3 = si x dx v 3 = 1 Άρα: cos x a = 2 xsi x dx = 2 cos x x cos x dx

a = 2 xsi x dx = 2 cos x x

f x = 1 2 a 0 + =1 a cos x + b si x Καθώς όλοι οι όροι b είναι μηδενικοί, θα έχουμε: f x = 1 2 a 0 + =1 a cos x

Και στην τελική της μορφή: f x = 2 3 4cos x + 1cos 2x 4 9 + 1 4 cos 4x 4 25 cos 5x + 4 36 cos 3x cos 6x 4 49 cos 7x + 4 64 cos 8x 4 81 cos 9x a 0 = 22 3 1 2 a 0 = 2 3

Ανασύσταση της κυματομορφής με 9 αρμονικές

Κυματομορφή f(x)=f(ωt) Η συνάρτηση εριοδική με ερίοδο 2. f x = x 0 < < 2

Υολογίζουμε ρώτα το a 0 a 0 = 1 f x dx = 1 0 xdx + 1 2dx = 1 x 2 2 0 + x 2 = 1 2 2 0 + 2 = 2 + = 3 2

Υολογίζουμε το a a = 1 0 2f x cos x dx = 1 0 xcos x dx + 1 2cos x dx b a udv = uυ a b a b vdu Θέτουμε: u = x du = dx και dv = cos x dx v = 1 Άρα: si x

a = 1 0 xcos x dx + 1 2cos x dx = 1 + = 1 + 1 si x x si x 1 2 0 0 si x si 0si 0 si 2 si dx cos x 2 0

= 1 + 1 1 = 1 2 = 2 2 0 0 + cos 0 0 = 1 0 0 0 2 1 1 2 cos 1 για εριττό για άρτιο cos 0 2 0

Υολογίζουμε το b b a udv = uυ b b a a vdu Θέτουμε:u = x du = dx και dv = si x dx v = 1 cos x Άρα: b = 1 0 xsi x dx + 1 2si x dx = 1 + x cos x cos x 2 0 0 cos x dx

b = 1 + = 1 x cos x cos x 2 cos 0 0 0 + cos x si x 2 0 dx + 1 cos x 2

= 1 cos si x 0 + 2 0 1 cos 2 cos 0 = 1 1 si si0 + 2 1 = 1 1 1 1 1 = 1 1 1 1 1 = 1 1 1 + 1 1 = 1

f x = 1 2 a 0 + a 0 = 3 2 a 0 2 = 3 4 a cos x + b si x =1 a = 2 2 0 για εριττό για άρτιο b = 1 Και στην τελική της μορφή: f x = 3 4 2 cos x 2 9 cos 3x 2 25 1si x 1 2 si 2x 1 3 si 3x 1 4 cos 5x + si 4x 1 5 si 5x

Ανασύσταση της κυματομορφής με 5 αρμονικές + DC

Το φαινόμενο του Gibbs Στην ανάλυση των κυματομορφών με την μέθοδο της σειράς Fourier, αρουσιάζεται, σε μερικές εριτώσεις, μία αραμόρφωση στην σύνθεση της κυματομορφής, η οοία είναι γνωστή ως φαινόμενο Gibbs. Το φαινόμενο αυτό αρουσιάζεται εκεί ου υάρχουν ασυνέχειες, σε μια κυματομορφή ου είναι αραγωγίσιμη κατά τμήματα.

Το φαινόμενο του Gibbs Για την ιστορία αναφέρουμε ως το φαινόμενο αρατηρήθηκε για ρώτη φορά το 1848 αό τον Wilbraham. Το 1898 ο Albert Michelso θα κατασκευάσει ένα μηχανικό σύστημα ου υολογίζει την σειρά και το άθροισμα Fourier ενός σήματος ου δέχεται στην είσοδό του. Θα αρατηρήσει ως οι ασυνέχειες ενισχύονται αρ όλο ου αυξάνεται ο αριθμός των αρμονικών. Και ενώ ο Albert Michelso αοδίδει το φαινόμενο σε κατασκευαστικό λάθος του συστήματός του, ο Gibbs θα αοδείξει ως το φαινόμενο έχει μαθηματική ροέλευση και αρουσιάζεται σε γενικευμένες συνθήκες.

Το φαινόμενο του Gibbs Το 1906 ο Maxime Bôcher θα δώσει την ρώτη ικανοοιητική ερμηνεία του φαινομένου, το οοίο και θα αοκαλέσει φαινόμενο του Gibbs. Θα μορούσαμε να ούμε ως το φαινόμενο είναι, κατά κάοιο τρόο, ένα «σφάλμα ροσέγγισης», μόνο όμως στα σημεία ου υάρχουν ασυνέχειες.

Το φαινόμενο του Gibbs Φαινόμενο Gibbs με διαφορετικό αριθμό αρμονικών

Μορείτε να βρείτε στο διαδίκτυο, διάφορες εφαρμογές για την κατανόηση και την διαδραστική αεικόνιση της ανάλυσης Fourier. Παρατίθενται μερικές διευθύνσεις ρος τούτο: http://www.jhu.edu/~sigals/fourier2/idex.html http://e.wikipedia.org/wiki/fourier_series http://www.sosmath.com/fourier/fourier1/fourier1.html http://www.falstad.com/fourier/e-idex.html http://fr.wikipedia.org/wiki/ph%c3%a9om%c3%a8e_de_gibbs Υολογισμός ολοκληρωμάτων http://www.wolframalpha.com/widgets/view.jsp?id=dc816cd78d306d7bda61f6fac f5f17f7 http://www.itegral-calculator.com/# https://www.symbolab.com/solver/defiite-itegral-calculator