Σεµινάριο Αυτοµάτου Ελέγχου

Σεµινάριο Αυτοµάτου Εέγχου Μάθηµα 9 Ευστάθεια κατά Lyaunv Η έννοια της ευστάθειας κατά Lyaunv Γενικό κριτήριο ευστάθειας Παραδείγµατα Καιγερόπουος 9

Ευστάθεια κατά Lyaunv Εισαγωγή Η έννοια της ευστάθειας ενός συστήµατος είναι κατ αρχάς µια έννοια φυσική Μια τέτοια φυσική ερµηνεία της ευστάθειας έδωσε ο Lyaunv µε τη γενική ή άµεση µέθοδο που διατύπωσε και που εφαρµόζεται σε συστήµατα κάθε µορφής, γραµµικά ή µη γραµµικά, σταθερά ή χρονικά µεταβαόµενα Η ευστάθεια ενός συστήµατος αφορά αποκειστικά το ίδιο το σύστηµα και όχι τις επιδράσεις που δέχεται αυτό από το περιβάον του Καθορίζεται δηαδή από τα χαρακτηριστικά και την εσωτερική δοµή του συστήµατος και όχι από µία εξωτερική διέγερση που το επηρεάζει Παράδειγµα µηχανικού φυσικού συστήµατος Ένα εεύθερο φυσικό µηχανικό σύστηµα, που κινείται δηαδή χωρίς εξωτερική διέγερση F αά µόνο όγω µιας αρχικής συνθήκης, είναι ευσταθές εφόσον καταήγει σε µια ευσταθή θέση ισορροπίας, όπως µία σφαίρα που κινείται µέσα σε ένα κοίο δοχείο Κατά τη µετάβαση της αυτή από την αρχική θέση προς την τεική θέση ισορροπίας, συµβαίνουν τα εξής: Η µηχανική απόσταση ( του σώµατος από τη θέση ισορροπίας συνεχώς µειώνεται και καταήγει στο 9

Η δυναµική ενέργεια του σώµατος V () επίσης συνεχώς µειώνεται και καταήγει στο, οπότε: V ( ) V () Αυτή η αποθηκευµένη εσωτερική δυναµική ενέργεια έχει σε όα τα φυσικά συστήµατα τετραγωνική µορφή και είναι θετική: V ( ) Ειδικότερα: V ( ) K σε ένα µηχανικό σώµα που αποθηκεύει ενέργεια µέσω ενός εατηρίου εαστικότητας K Αντίστοιχα, V Kϕ σε ένα περιστροφικό σύστηµα V Q Cu C σε ένα ηεκτρικό σύστηµα, που αποθηκεύει ηεκτρική C ενέργεια σε έναν πυκνωτή χωρητικότητας C Και αντίστοιχα, V Li L L αποθηκεύει µαγνητική ενέργεια σε ένα πηνίο αυτεπαγωγής L Φ σε ένα µαγνητικό σύστηµα, που Η διαρκής µείωση αυτής της εσωτερικής δυναµικής ενέργειας κατά τη µετάβαση του συστήµατος από την αρχική θέση στην τεική θέση ισορροπίας ερµηνεύεται κατά Lyaunv ως εξής: Η αρχική αποθηκευµένη ενέργεια: V ) V καταναώνεται ή ορθότερα ( αποδίδεται συνεχώς, για να φτάσει το σύστηµα στην ευσταθή ισορροπία του, όπου και V ( ) Σε όη αυτή τη µετάβαση η µεταβοή ως προς το χρόνο της αποθηκευµένης αυτής εσωτερικής ενέργειας V () είναι τότε αρνητική: d V ( ) V ( ) <, dt εφόσον χαρακτηρίζει τη διαρκή αυτή συνεχή µείωση 9

Γενική ευστάθεια συστηµάτων κατά Lyaunv Ένα σύστηµα n-οστής τάξης µε είσοδο u ( και έξοδο y ( έχει εσωτερική κατάσταση το n-διάστατο διάνυσµα κατάστασης ( µε αρχική συνθήκη ( ) και µπορεί να είναι γραµµικό ή µη γραµµικό, σταθερό ή χρονικά µεταβαόµενο Εεύθερο ονοµάζεται το σύστηµα όταν ειτουργεί χωρίς εξωτερική επίδραση, δηαδή όταν: u ( και η ειτουργία του οφείεται µόνο στην αρχική συνθήκη Οι εξισώσεις εσωτερικής κατάστασης τέτοιων εεύθερων συστηµάτων έχουν τη µορφή: Εεύθερο γραµµικό σύστηµα: ( A(, όπου A ο πίνακας κατάστασης Χρονικά σταθερό, γραµµικό ή µη γραµµικό σύστηµα: ( ( ) ( f Χρονικά µεταβαόµενο, γραµµικό ή µη γραµµικό σύστηµα: ( (, ( f 9

Η αρχική συνθήκη τη χρονική στιγµή t είναι: ( ) Η τεική θέση ισορροπίας (quilibrium) πραγµατοποιείται όταν για ισχύει: ( ) t Σε ένα γραµµικό σύστηµα: ( A( t t η θέση ισορροπίας ορίζεται για (, όταν t t, και είναι: A ( ) άρα: ( t ) όταν ο πίνακας A είναι οµαός, δηαδή dt A Αντίθετα όταν dt A, το γραµµικό σύστηµα έχει άπειρες θέσεις ισορροπίας t Η ασυµπτωτική ευστάθεια (asymttic stability) του γραµµικού συστήµατος ορίζεται όταν, στο χώρο κατάστασης, το σύστηµα καταήγει για ισορροπίας του, δηαδή όταν:, lim ( ή ορθότερα όταν:, lim, t t όπου ως ευκείδιο µέτρο ( του διανύσµατος κατάστασης: t στη θέση [,, ] ( ορίζεται: n ( n Έτσι συνοπτικά, ένα εεύθερο οµαό γραµµικό σύστηµα είναι ασυµπτωτικά ευσταθές όταν ξεκινώντας από οποιαδήποτε αρχική θέση στο χώρο κατάστασης καταήγει ασυµπτωτικά στην τεική θέση ισορροπίας: lim ( t Αυτή η θέση ισορροπίας ονοµάζεται τότε ασυµπτωτικά ευσταθής (asymttic stabl) Αντίθετα µη ευσταθές ή ασταθές ονοµάζεται ένα γραµµικό σύστηµα όταν η εσωτερική του κατάσταση δεν καταήγει στην τεική θέση ισορροπίας, δηαδή η θέση αυτή δεν είναι ασυµπτωτικά ευσταθής Αυτό αποτυπώνεται σε συγκίνουσες ή αποκίνουσες τροχιές κατάστασης: 9 5

Ασυµπτωτικά ευσταθής θέση ισορροπίας: Ασταθής θέση ισορροπίας: Γενικό κριτήριο ευστάθειας κατά Lyaunv Η ευστάθεια ενός συστήµατος, γραµµικού ή µη γραµµικού, σταθερού ή χρονικά µεταβαόµενου, καθορίζεται κατά Lyaunv µε βάση µία συνάρτηση V () της εσωτερικής του κατάστασης (, που αντιστοιχεί στην αποθηκευµένη εσωτερική ενέργεια του συστήµατος αυτού και ονοµάζεται συνάρτηση Lyaunv Κριτήριο ευστάθειας Ένα σύστηµα είναι κατά Lyaunv ασυµπτωτικά ευσταθές ή ορθότερα έχει ασυµπτωτικά ευσταθή θέση ισορροπίας, εάν υπάρχει µια συνάρτηση Lyaunv V () που αντιστοιχεί στην εσωτερική του ενέργεια και είναι: V ( ), δηαδή η V () είναι συνάρτηση θετικά ορισµένη (sitiv dfinit) ή απώς θετική 9 6

V d ( ) <, δηαδή η χρονική µεταβοή της V ( ) V ( ) είναι συνάρτηση dt αρνητικά ορισµένη (ngativ dfinit) ή απώς η V () έχει αρνητική χρονική µεταβοή Ας εξετάσουµε ειδικότερα τις δύο αυτές ιδιότητες της συνάρτησης Lyaunv: Η θετικότητα της συνάρτησης Lyaunv Όπως και η δυναµική ενέργεια των φυσικών συστηµάτων έτσι και η συνάρτηση Lyaunv V () ενός συστήµατος µε εσωτερική κατάσταση ( είναι θετική εφόσον έχει τετραγωνική µορφή α) Απή τετραγωνική µορφή Έστω οιπόν ότι η συνάρτηση V () έχει απή τετραγωνική µορφή: V ( ) n n µε,,, n θετικούς συντεεστές: i, i, τότε V ( ), β) Γενική τετραγωνική µορφή Γενικότερα µπορούµε να θεωρήσουµε ως πιθανή συνάρτηση Lyaunv µια συνάρτηση γενικής τετραγωνικής µορφής: V ( ) όπου είναι ένας θετικά ορισµένος πραγµατικός συµµετρικός πίνακας: και συµβοίζεται Κριτήριο Sylvstr Θετικά ορισµένος ( ) έγεται ένας πίνακας, όταν όες οι διαδοχικά εάσσονες ορίζουσές του είναι θετικές, i n i 9 7

Παράδειγµα Έστω ο διαγώνιος πίνακας V ( ) Τότε: [ ] Είναι: V ( ) όταν και άρα Παράδειγµα Έστω ο συµµετρικό πίνακας V ( ) Τότε: [ ] Είναι: V ( ) όταν και ή Η αρνητικότητα της χρονικής µεταβοής V () Η συνάρτηση Lyaunv V ( ( ) ενός σταθερού ή αιώς µη χρονικά µεταβαόµενου συστήµατος έχει χρονική µεταβοή: n d V V ( ) V ( ( ) dt i i di dt V όπου η διανυσµατική κίση (gradin της συνάρτησης V () ως προς ορίζεται: V V grad V ( ) V n [ Γενικότερα η συνάρτηση Lyaunv V (, συστήµατος έχει χρονική µεταβοή που τροποποιείται ως εξής: ( ενός χρονικά µεταβαόµενου n d V di V V V V (, V ( (, dt i i dt t ] t 9 8

Σε ένα γραµµικό σύστηµα ( A( η µεταβοή της συνάρτησης Lyaunv V ( ) ως προς το χρόνο t γίνεται: V ( ) A d V dt ( ) d dt ( A ) ( A A) ( A) ( A) Άρα V ( ) Q όπου Q A A Κριτήριο αρνητικότητας Εφόσον η συνάρτηση V () πρέπει να είναι αρνητικά ορισµένη ή ( ) < V πρέπει και ο πίνακας Q να είναι αρνητικά ορισµένος ( Q < ) ή αιώς ο πίνακας Q να είναι θετικά ορισµένος ( Q ), σύµφωνα µε το κριτήριο Sylvstr 9 9

Κριτήρια ευστάθειας γραµµικού συστήµατος στο χώρο κατάστασης Ένα σταθερό, γραµµικό και οµαό σύστηµα n-οστής τάξης µε εξισώσεις κατάστασης (για u ( ): ( A(, µε dt A είναι ασυµπτωτικά ευσταθές ή αιώς έχει ως µοναδική ευσταθή θέση ισορροπίας του την αρχή του χώρου κατάστασης: όταν πηρούνται εναακτικά τα παρακάτω κριτήρια: Κριτήριο ευστάθειας µε την κασσική µέθοδο των ιδιοτιµών Ασυµπτωτικά ευσταθές είναι το γραµµικό σύστηµα: ( A(, όταν οι ιδιοτιµές του:,,, που προκύπτουν από την χαρακτηριστική εξίσωση: ( ) dt( I A) n είναι αρνητικές ή έχουν αρνητικό πραγµατικό µέρος: R{ } <, i i 9

Κριτήριο ευστάθειας µε τη µέθοδο Lyaunv Ασυµπτωτικά ευσταθές κατά Lyaunv είναι το γραµµικό σύστηµα: ( A( όταν υπάρχει µια συνάρτηση Lyaunv V (), που πηροί τις προϋποθέσεις: Η συνάρτηση V () είναι θετική: V ( ) ή γενικότερα είναι θετικά ορισµένη δηαδή έχει τετραγωνική µορφή: όπου είναι ένας συµµετρικός: θετικά ορισµένος πίνακας:, V ( ), δηαδή έχει θετικές όες τις διαδοχικά εάσσονες ορίζουσές του Η χρονική µεταβοή V () είναι αρνητική ( ) < ή γενικότερα είναι αρνητικά ορισµένη Έχει επίσης τετραγωνική µορφή: V ( ) V Q όπου ο συµµετρικός πίνακας Q A A πρέπει να είναι αρνητικά ορισµένος ή αιώς ο πίνακας Q να είναι και αυτός θετικά ορισµένος: Q Τα δύο κριτήρια είναι ισοδύναµα Το κριτήριο Lyaunv µπορεί να επεκταθεί και σε µη γραµµικά ή µεταβαόµενα συστήµατα, έχει δε επιπρόσθετα µια φυσική ερµηνεία 9

9 Παραδείγµατα Παράδειγµα ίνεται γραµµικό και σταθερό σύστηµα ης τάξης µε εξισώσεις κατάστασης: Να εξεταστεί η ευστάθεια του α) Με τη µέθοδο ιδιοτιµών, β) µε τη µέθοδο Lyaunv Λύση α) Μέθοδος ιδιοτιµών Χαρακτηριστική εξίσωση: ) )( ( ) ( ) dt( ) ( A I Οι ιδιοτιµές είναι: <, <, άρα το σύστηµα είναι ευσταθές β) Μέθοδος Lyaunv Ζητείται: ) ( V, όπου και Q V ) (, όπου A A Q µε και Q β) Έστω ότι επιέγεται αρχικά ένας αρνητικά ορισµένος πίνακας Q και υποογίζεται στη συνέχεια ο πίνακας Επιέγουµε: I Q εφόσον, Είναι: Q A A ή ή ή 6

ή οπότε 6 5 5 Είναι: και, άρα Άρα το σύστηµα είναι ασυµπτωτικά ευσταθές και κατά Lyaunv β) Έστω αντίθετα ότι επιέγουµε έναν θετικά ορισµένο πίνακας και υποογίζουµε στη συνέχεια τον πίνακα Q Πρέπει: µε και Έστω, εφόσον και 5 Τότε Q 6 7 ή Q < 8 6 8 7 6 7 Q 7 6 εφόσον, 6 9 5 Άρα πάι το σύστηµα είναι ασυµπτωτικά ευσταθές κατά Lyaunv Τροχιά κατάστασης: 9

Παράδειγµα ίνεται µηχανικό σύστηµα µε αρχικές συνθήκες, υ και συντεεστές M, B, K Να διερευνηθεί η ευστάθεια του σε κατάσταση συστήµατος Α κανονικής µορφής α) µε τη µέθοδο ιδιοτιµών β) µε τη µέθοδο Lyaunv Λύση Εξετάζουµε αρχικά τις εξισώσεις του συστήµατος: d d M B K ή M B K dt dt ή B K M M Με µεταβητές κατάστασης: και οι εξισώσεις κατάστασης Α Κανονικής µορφής γίνονται: ή Με πίνακα κατάστασης: A α) Μέθοδος ιδιοτιµών Χαρακτηριστική εξίσωση: ( ) dt( I A) ( ) ( ) Οπότε ιδιοτιµές:, ± j, R, <, άρα το σύστηµα είναι ευσταθές 9

9 5 β) Μέθοδος Lyaunv Επιέγουµε: I Q Εξετάζεται αν ο πίνακας είναι θετικά ορισµένος: Είναι: Q A A ή ή ή οπότε 8 5 Εφόσον 5 και 6 5, άρα και το σύστηµα είναι ασυµπτωτικά ευσταθές κατά Lyaunv Τροχιά κατάστασης:

9 6 Παράδειγµα ίνεται γραµµικό σύστηµα ης τάξης µε εξισώσεις κατάστασης: Να εξεταστεί η ευστάθεια του α) Με τη µέθοδο ιδιοτιµών, β) µε τη µέθοδο Lyaunv Λύση α) Μέθοδος ιδιοτιµών Ο πίνακας κατάστασης του συστήµατος είναι: A Χαρακτηριστική εξίσωση: ) )( ( ) dt( ) ( A I µε ιδιοτιµές: <,, άρα το σύστηµα είναι συνοικά ασταθές Τροχιά κατάστασης: β) Μέθοδος Lyaunv Επιέγουµε: I Q εφόσον, Είναι: Q A A µε ή ή

ή οπότε < και έστω, 5 Είναι: αά <, οπότε ο πίνακας δεν είναι θετικά ορισµένος και το σύστηµα δεν είναι ασυµπτωτικά ευσταθές κατά Lyaunv Παράδειγµα ίνεται µη γραµµικό σύστηµα ης τάξης µε εξίσωση: ( K ) ( ) Να εξεταστεί η ευστάθεια του συστήµατος µε δοµή εσωτερικής κατάστασης Α κανονικής µορφής κατά Lyaunv και να βρεθούν τα όρια της παραµέτρου K ώστε το σύστηµα να είναι ευσταθές Λύση Με µεταβητές κατάστασης: και οι εξισώσεις κατάστασης Α Κανονικής µορφής γίνονται: K ) ( Επιέγουµε συνάρτηση Lyaunv τετραγωνικής µορφής: V ( ) µε πίνακα εφόσον, Η χρονική µεταβοή της συνάρτησης Lyaunv είναι: V V ( ) Πρέπει: ( ) < V ( ( K ) ) ( K ) V V V V ( K ) ),, άρα και για πού µικρά οπότε πρέπει: K ή K για να είναι το σύστηµα ασυµπτωτικά ευσταθές κατά Lyaunv 9 7