ngelė aškienė NLIZINĖ GEMETRIJ III skrius (Medžiaga virtualiajam kursui) III skrius. TIESĖS IR PLKŠTUMS... 5. Tiesės lgts... 5.. Tiesės [M, a r ] vektorinė lgtis... 5.. Tiesės [M, a r ] parametrinės lgts... 5.. Tiesės [M, a r ] kanoninės lgts... 5.. Tiesės parametrinės ir kanoninės lgts... 6.5. Plokštumos tiesės įvairios lgts... 6.5.. endroji tiesės lgtis... 6.5.. šinė tiesės lgtis... 6.5.. Tiesės, nelgiagrečios su ašimi, išreikštinė lgtis... 7.5.. Tiesės [M, n r ] lgtis... 7.6. Uždaviniai... 8.7. Savikontrolės užduots... 9. Tiesių tarpusavio padėtis plokštumoje... 9.. endrosios tiesės lgties trimas... 9... Koordinačių pradžios priklausmo tiesei būtina ir pakankama sąlga... 9... Tiesės ir koordinačių ašių lgiagretumo būtinos ir pakankamos sąlgos... 5.. Plokštumos tiesių sutapimo, lgiagretumo ir susikirtimo būtinos ir pakankamos sąlgos... 5... Tiesių sutapimo pakankama sąlga... 5... Tiesių lgiagretumo ir susikirtimo pakankamos sąlgos... 5... Tiesių sutapimo, lgiagretumo ir susikirtimo būtinos sąlgos. Išvados... 5.. Tiesių pluoštas... 5.. Uždaviniai... 5.5. Savikontrolės klausimai ir užduots... 5. Metriniai plokštumos tiesių uždaviniai... 5.. Kampas tarp tiesių... 5.. Tiesių statmenumo būtina ir pakankama sąlga... 5.. Kampas nuo tiesės iki tiesės... 5.. Tiesių k b ir k b statmenumo ir lgiagretumo būtinos ir pakankamos sąlgos... 5.5. tstumas nuo taško iki tiesės... 55.6. tstumas tarp lgiagrečių tiesių... 55.7. Uždaviniai... 56.8. Savikontrolės klausimai ir užduots... 57. Tiesė erdvėje... 57.. Erdvės tiesių tarpusavio padėts... 57... Tiesių prasilenkimo būtina ir pakankama sąlga... 57... Tiesių priklausmo vienai plokštumai būtina ir pakankama sąlga... 58... Erdvės tiesių sutapimo būtinos ir pakankamos sąlgos... 58... Erdvės tiesių lgiagretumo būtinos ir pakankamos sąlgos... 58..5. Erdvės tiesių susikirtimo būtinos ir pakankamos sąlgos... 59.. Metriniai erdvės tiesių uždaviniai... 59... Kampas tarp erdvės tiesių. Tiesių statmenumo būtina ir pakankama sąlga... 59... tstumas nuo taško iki tiesės erdvėje... 59... tstumas tarp prasilenkiančių tiesių... 6.. Uždaviniai... 6.. Savikontrolės klausimai ir užduots... 6 5. Plokštumos lgtis... 6 5.. Plokštumos [M, a r, b r ] vektorinės lgts... 6 5.. Plokštumos [M, a r, b r ] parametrinės lgts... 6 5.. Plokštumos bendroji lgtis... 6 5.. Plokštumos lgts... 6 5.5. šinė plokštumos lgtis... 6 5.6. Plokštumos [M, n r ] lgtis... 6
5.7. Uždaviniai... 65 5.8. Savikontrolės klausimai ir užduots... 65 6. Plokštumų tarpusavio padėts... 65 6.. endrosios plokštumos lgties trimas... 65 6... Lema apie vektoriaus ir plokštumos lgiagretumą... 65 6... Plokštumos ir koordinačių ašių arba koordinačių plokštumų lgiagretumo būtinos ir pakankamos sąlgos... 66 6... Koordinačių pradžios priklausmo plokštumai būtina ir pakankama sąlga... 66 6... Koordinačių ašių priklausmo plokštumai būtinos ir pakankamos sąlgos... 66 6.. Dviejų plokštumų tarpusavio padėtis... 67 6... Plokštumų sutapimo, lgiagretumo ir susikirtimo būtinos ir pakankamos sąlgos... 67 6... Tiesės, kaip dviejų plokštumų sankirtos, lgts... 68 6.. Plokštumų pluoštas... 68 6.. Trijų plokštumų tarpusavio padėtis... 69 6.5. Plokštumų grįžtė... 7 6.6. Uždaviniai... 7 6.7. Savikontrolės klausimai ir užduots... 7 7. Metriniai plokštumų uždaviniai... 7 7.. Kampas tarp plokštumų. Plokštumų statmenumo būtina ir pakankama sąlga... 7 7.. tstumas nuo taško iki plokštumos... 7 7.. tstumas tarp lgiagrečių plokštumų... 7 7.. Uždaviniai... 7 7.5. Savikontrolės klausimai ir užduots... 7 8. Tiesės ir plokštumos tarpusavio padėtis... 7 8.. Tiesės ir plokštumos susikirtimo būtina ir pakankama sąlga... 7 8.. Tiesės ir plokštumos lgiagretumo būtinos ir pakankamos sąlgos... 7 8.. Tiesės priklausmo plokštumai būtinos ir pakankamos sąlgos... 75 8.. Kampas tarp tiesės ir plokštumos. Tiesės ir plokštumos statmenumo būtina ir pakankama sąlga... 75 8.5. Uždaviniai... 76 8.6. Savikontrolės klausimai ir užduots... 77
III skrius. TIESĖS IR PLKŠTUMS. Tiesės lgts Tiesė nusakoma dviem būdais: ) dviem taškais ir (tokią tiesę žmėsime ); ) jos tašku M ir nenuliniu vektoriumi a r, lgiagrečiu su tiese, kuris vadinamas tiesės krpties vektoriumi. Tokiu atveju tiesę žmėsime [M, a r ]. Pastebime, jog tiesės krpties vektorių ra be galo daug, tačiau visi jie ra kolinearūs. Tiesės lgčių taip pat ra be galo daug. Figūros lgtis priklauso nuo koordinačių sistemos parinkimo. e to, tiesės lgtis dar priklauso nuo tiesės nusakmo būdo ir kitų faktorių... Tiesės [M, a r ] vektorinė lgtis M Tarkime, jog turime tiesę l[ M, a r ], apibrėžtą tašku M ir krpties vektoriumi a r (. pav.). Taškas M priklauso tiesei l tada ir tik tada, kai vektoriai M M ir a r r ra kolinearūs. Vektoriai ra kolinearūs tada ir tik tada, kai vektorių M M galima išreikšti vektoriumi a r (I,.): M M ta r, t R. (.) (.) lgtis vadinama tiesės l vektorine parametrine lgtimi, t parametru... Tiesės [M, a r ] parametrinės lgts M. pav. Nustatkime afiniąją koordinačių sistemą R(, e r, e r, e r ). Tarkime, kad turime tašką M (,, ) ir vektorių a r {a, a, a }. Nagrinėsime tiesę l[m, a r ], einančią per tašką M ir turinčią vektoriaus a r krptį. Tokios tiesės vektorinė parametrinė lgtis ra (.). Kintamo tiesės taško M koordinates pažmėkime,,. Tada pagal II skriaus. punkto išvadą vektoriaus M M koordinatės ra,,. Pritaikę vektorių koordinačių savbę (I,..), randame vektorių t a r {ta, ta, ta }. Vektoriai M M ir t a r ra lgūs tada ir tik tada, kai jų koordinatės ra lgios: ta, ta, ta arba ta, ta, ta. (.) Šios lgts vadinamos tiesės [M, a r ] parametrinėmis lgtimis, t R parametru. Pastaba. Jei tiesė l ra plokštumoje, kurios lgtis, tuomet tiesės parametrinės lgts ra ta, ta. Trečiosios tapatbės neberašome. Pavds. Lgts t, t ra tiesės, einančios per tašką M (, ) ir turinčios krpties vektorių a r {, }, parametrinės lgts (. pav.)... Tiesės [M, a r ] kanoninės lgts M E E. pav. Tarkime, jog turime tašką M (,, ), vektorių a r {a, a, a }, kurių koordinatės apibrėžtos afiniojo reperio R atžvilgiu. Panagrinėkime tiesę l[m, a r ], einančią per tašką M ir turinčią krpties vektorių a r (. pav.). Kintamo tiesės taško M koordinates pažmėkime,,. Pagal formulę (.) vektoriaus M M koordinatės ra,,. Taškas M priklauso tiesei l tada ir tik tada, kai vektoriai M M ir a r ra kolinearūs, t.. kai jų koordinatės ra proporcingos (I,.):. (.) a a a (.) lgts vadinamos kanoninėmis tiesės [M, a r ] lgtimis. pastaba. plokštumoje taškų ir vektorių trečiosios koordinatės lgios. Plokštumos tiesės [M, a r ] kanoninė lgtis ra. (.) a a pastaba. Plokštumos tiesės [M, a r ] kanoninę lgtį (.) galima išvesti nesinaudojant (.) formulėmis. tliekama analogiškai kaip išvedant (.) lgtis. Pavds. Paraškime tiesės, einančios per tašką M (,, ) ir turinčios krpties vektorių a r {,, }, kanonines lgtis. 5
ts.:. pastaba. Kanoninėse lgtse vienas ar du nuliai vardikliuose nereiškia dalbos iš. Tai tik reiškia, kad kai kurios krpties vektoriaus koordinatės ra lgios nuliui ir kad atitinkami skaitikliai taip pat lgūs (pavdje )... Tiesės parametrinės ir kanoninės lgts Tarkime, jog turime tiesę, einančią per taškus ir (. pav.). Tuomet vektorių galima laikti tiesės krpties vektoriumi, o tiesę tiese [, ]. Pakeitę (.) (.) formulėse tašką M tašku, o vektorių a r. pav. vektoriumi, gausime tiesės lgtis.. Vektorinė parametrinė lgtis: M t, t R. (.). Parametrinės lgts: t( ), t( ), t( ). (.) Čia,, taško koordinatės afiniojo reperio R(, e r, e r, e r ) atžvilgiu,,, taško koordinatės,,, ) bet kurio tiesės taško M koordinatės.. Kanoninės lgts: -. (.) Pastaba. plokštumoje trečiosios koordinatės lgios. Pavds. Paraškime tiesės lgtį, jei žinomi taškai (, ), (, ). Sprendimas. Pritaikome (.) formulę ( ):. Pertvarkę lgtį gauname arba. ts.:. M.5. Plokštumos tiesės įvairios lgts.5.. endroji tiesės lgtis Panagrinėkime plokštumos tiesės [M, a r ] kanoninę lgtį afiniojo reperio atžvilgiu:. (.) a a Čia, bet kurio tiesės taško koordinatės,, duoto taško M koordinatės, a, a krpties vektoriaus a r koordinatės. Pasinaudoję proporcijos savbe, pertvarkome kanoninę lgtį: a a ( a a ). Pažmėję a, a, a a, gauname lgtį. (.) Kadangi a r r, (a ) (a ), tai ir. I et kurios plokštumos tiesės lgtis afiniojo reperio atžvilgiu ra pirmojo laipsnio lgtis. tvirkščiai, jeigu turime pirmojo laipsnio lgtį (.), koordinačių plokštumoje visada galima rasti tiesę, kurios lgtis būtų duotoji lgtis. Įrodmą galima rasti kngelėje []. Dėl šios priežasties, užuot sakę:... tiesė, kurios lgtis ra, saksime:... tiesė. Lgtis,, vadinama bendrąja tiesės lgtimi. Kadangi a, a, o a, a ra tiesės krpties vektoriaus koordinatės, tai bendrosios tiesės lgties koeficientų r prie kintamųjų geometrinė prasmė ra tokia: vektorius v{, } ra tiesės (.) krpties vektorius. Pavdžiui, tiesės 6 krpties vektorius ra v r {, }..5.. šinė tiesės lgtis Tarkime, jog tiesė l kerta koordinačių ašis taškuose (a, ) ir (, b), ab (. pav.). Raskime tos tiesės lgtį. a Pritaikę (.) formulę, parašome tiesės l kanoninę lgtį, kurią pertvarkę turime ekvivalenčias a b lgtis: b( a)( a) baab/:ab. (.5) a b 6
Gautoji lgtis vadinama tiesės l ašine lgtimi. Jos vardikliai rodo, kuriuose taškuose tiesė kerta koordinačių ašis, todėl žinant ašinę lgtį lengva tą tiesę nubrėžti. Pavds. Nubrėžkime tiesę. Sprendimas. Laisvąjį narį perkėlę į lgties dešiniąją pusę ir iš gauto skaičiaus padaliję abi lgties puses, gauname ašinę lgtį:. tidedame taškus (, ) ir (, ); per juos brėžiame tiesę (. pav.). - e e (, b). pav. a (, ).5.. Tiesės, nelgiagrečios su ašimi, išreikštinė lgtis Jei tiesė l[m, a r ] nelgiagreti su ašimi, tuomet jos krpties vektoriaus a r {a, a,} pirmoji koordinatė a. a Pertvarkę tiesės l kanoninę lgtį, gauname ekvivalenčią lgtį ( ). a a a a k vadinamas tiesės l, nelgiagrečios su ašimi, krpties koeficientu. Santkis a Dabar tiesės l lgtį galima užrašti pavidalu: k( ). (.6) Čia, taško M, per kurį eina tiesė, koordinatės, k tiesės krpties koeficientas. Kai taškas M ra ašje, tuomet. Jei pažmėsime b, gausime išreikštinę nagrinėjamos tiesės l lgtį kb. (.6) a k ra tiesės krpties koeficientas, b taško, kuriame tiesė kerta ašį, ordinatė (. paveiksle b, k ). Čia a pastaba. Jei plokštumoje apibrėžta stačiakampė Dekarto koodinačių sistema (, i r, r a j ), tuomet ktgα. Čia α ra orientuotas kampas nuo a ašies iki tiesės (.5 paveiksle αarctg 5 ). pastaba. Tiesės n, lgiagrečios su ašimi ir kertančios ašį taške (a, ), išreikštinė lgtis ra a (.5 paveiksle tiesės n lgtis ra ). Jos krpties koeficientas neapibrėžtas, nes a. j - i n a.5 pav. α a a.5.. Tiesės [M, n r ] lgtis Plokštumoje tiesę l dar nusako jos taškas M bei vektorius n r, statmenas tiesei (.6 pav.). Tokią tiesę žmėsime [M, n r ]. Vektorius n r vadinamas tiesės normaliuoju vektoriumi. Rasime tiesės [M, n r ], apibrėžtos tašku M ir normaliuoju vektoriumi n r, lgtį. Kadangi kalbame apie statmenumą, naudosime ortonormuotąjį reperį (, i r, r j ). Tarkime, jog taško M koordinatės ra,, o vektoriaus n r koordinatės,. Taškas M(, ) priklauso tiesei [M, n r ] tada ir tik tada, kai vektoriai n r ir M M {, } ra statmeni. Pagal vektorių statmenumo būtiną ir pakankamą sąlgą (.7) tai bus tada ir tik tada, kai n r M M ( )( ). Pertvarkę lgtį ir pažmėję, gauname bendrąją tiesės [M, n r ] lgtį. (.) I Tiesės l bendrosios lgties (ortonormuotojo reperio atžvilgiu) koeficientų, prie kintamųjų, geometrinė prasmė tiesės normaliojo vektoriaus koordinatės. Pastaba. Kad vektorius n r {, } ra normalusis tiesės vektorius, dar galima įrodti ir kitokiu būdu. Iš tiesų n r v r ( ), todėl vektoriai n r ir v r ra statmeni. Kadangi vektorius v r ra tiesės krpties vektorius, tai vektorius n r ra normalusis vektorius. Pavds. Tiesė eina per tašką P(, ), jos normalusis vektorius n r {, 5}. Paraškime tiesės lgtį. Sprendimas. Tiesės lgtis turi pavidalą 5. Laisvąjį narį rasime iš sąlgos, kad tiesė eina per tašką P: 5( ),. Taigi tiesės lgtis ra 5. ts.: 5. M M.6 pav. 7
.6. Uždaviniai 8 uždavins. Tiesė l eina per tašką M (, ), jos krpties koeficientas k. Paraškime tiesės išreikštinę, bendrąją, kanoninę, parametrines ir ašinę lgtis. 5 Sprendimas. Parašome (.6) lgtį: ( ) arba. Iš čia lengva gauti bendrąją lgtį 5. a Kadangi krpties koeficientas k, galima laikti, jog tiesės krpties vektorius ra a a r {, }. Rašome kanoninę ir parametrines lgtis: t ; t, t. šinę lgtį lengviausia rasti iš bendrosios lgties:. 5 5 Pagal ją brėžiame tiesę (.7a pav.). ts.: 5 ; 5; ; t, t;. 5 5 uždavins. Paraškime tiesės parametrines ir išreikštinę lgtis. a Sprendimas. Kadangi, tai k, b. Tiesės krpties a vektoriumi gali būti vektorius v r {, }. Tiesė kerta ašį taške (, ) (.7b - pav.). Parašome parametrines lgtis t, t. ts.: ; t, t. uždavins. Kokią figūrą apibrėžia lgts? a) ; b) t, t, t. e Sprendimas. a) Tiesę, einančią per tašką (,, ) ir turinčią vektoriaus a r e {,, } krptį (.8a pav.). b) Tiesę, einančią per tašką (,, ) ir turinčią vektoriaus b r e {,, } krptį (.8b pav.)..8a pav. uždavins. Žinomos trikampio viršūnių koordinatės: (, ), (, ), (, ) stačiakampės Dekarto koordinačių sistemos atžvilgiu. Paraškime tiesių M, H ir L lgtis. Čia M trikampio pusiaukraštinė, H aukštinė, L pusiaukampinė (.9 pav.). Sprendimas.. Randame atkarpos vidurio tašką M(, ). Parašome tiesės M b e kanoninę lgtį, kurią pertvarkę gauname bendrąją lgtį. e. Vektorius {, } ra tiesės H normalusis vektorius, todėl tiesės H lgtis turi pavidalą D. Laisvąjį narį rasime iš sąlgos, kad taškas priklauso tai tiesei: D, D9. Taigi tiesės H lgtis ra 9 arba.. Randame vektorius {, } ir {, } bei trikampio kraštines, r 5. Pusiaukampinės L krpties vektorius c (I, 5.5.) arba r c 5, todėl vektoriaus c r koordinatės ra: 7, 9. Krpties vektoriumi gali būti ir vektorius ( c r ){, }, todėl tiesės L kanoninė lgtis ra 9. v L e e H 5 5.7b pav. e.9 pav. e.7a pav. M.8b pav. e
Pertvarkę ją gauname tiesės L bendrąją lgtį. ts.: M: ; H: ; L:. 5 uždavins ([5], p. 65). Žinomos trikampio viršūnių koordinatės afiniosios koordinačių sistemos atžvilgiu: (, ), (, ), (, ). Raskite tiesių, M, MN kanonines, parametrines, bendrąsias, išreikštines, ašines lgtis; krpties koeficientus, taškų, kuriuose tiesės kerta ašį, ordinates, jei M ir N ra atitinkamai kraštinių ir vidurio taškai. ts.: : t, ; ; ; ; k ; b. t; M: t, ; ; ; ; t; k ; b. t, MN: ; ; ; ; t; k ; b. Toliau naudokite stačiakampę koordinačių sistemą. 6 uždavins ([5], p. 7). Duotos trikampio MNP viršūnių koordinatės: M(5, ), N(, ), P(, ). Paraškite tiesių, einančių per trikampio aukštinę MH ir pusiaukampinę PL, lgtis. ts.: MH: 7; PL:. 7 uždavins ([5], p. 69). r taškai M(,, ), N(,, ), P(,, ) ra vienoje tiesėje? ts.: Taip. 8 uždavins ([5], p. 69). Trikampje M ra pusiaukraštinė, L pusiaukampinė. Paraškite tiesių M ir L lgtis, jei (,, ), (,, ), (,, ). ts.: M: ; L:. 8.7. Savikontrolės užduots. Paraškite tiesės l[, a r ] kanoninę, parametrines, bendrąją, išreikštinę, ašinę lgtis, jei duotas taškas (, ) ir vektorius a r {, }. Paraškite tiesės MN kanoninę ir parametrines lgtis, jei žinomi taškai M(,, ) ir N(,, ).. Nubrėžtas plokštumos afinusis reperis. Nubrėžkite tieses [D, d r ],, jei (, ), (, ), D(, ), d r {, }, bei tiesę. Duotos erdvės afiniojo reperio brėžins. pateikti tiesių PQ ir [U, u r ] brėžinius, jei P(,, ), Q(,, ), U(,, ), u r {,, }.. Tiesių tarpusavio padėtis plokštumoje.. endrosios tiesės lgties trimas Iš tiesės bendrosios lgties,, koeficientų galima spręsti apie tiesės padėtį koordinačių sistemos atžvilgiu.... Koordinačių pradžios priklausmo tiesei būtina ir pakankama sąlga T Tiesė eina per koordinačių pradžią tada ir tik tada, kai jos bendrojoje lgtje laisvasis nars lgus. I. Duota: l. Įrodti:. Kadangi taškas (, ) priklauso tiesei l:, tai jo koordinatės tenkina lgtį:. Iš čia. II. Duota:. Įrodti: l. N Pagal sąlgą tiesės lgtis ra. Taško koordinatės e tenkina šią lgtį:. Vadinasi, l. e Pavds. Tiesė eina per koordinačių pradžią ir per tašką N(, ) (. pav.).. pav. 9
... Tiesės ir koordinačių ašių lgiagretumo būtinos ir pakankamos sąlgos T Tiesė lgiagreti su ašimi tada ir tik tada, kai jos bendrojoje lgtje,, koeficientas prie kintamojo lgus. I. Duota: ; tiesės lgtis,. Įrodti: l. Tiesės krpties vektorius v r {, } kolinearus su vektorium e r {, }, todėl tiesė lgiagreti su ašimi. II. Duota: l. Įrodti:. r Jei tiesė lgiagreti su ašimi, tuomet jos krpties vektorius v{, } ra e kolinearus su vektorium e r e {, }. Pagal vektorių kolinearumo būtiną ir pakankamą sąlgą (I,.) vektorių v r ir e r koordinatės ra proporcingos:. Iš čia. Pavds. Tiesė ra lgiagreti su ašimi; ašį kerta taške, kurio ordinatė (. pav.). nalogiškai įrodoma tokia teorema. T Tiesė lgiagreti su ašimi tada ir tik tada, kai jos bendrojoje lgtje koeficientas prie lgus... Plokštumos tiesių sutapimo, lgiagretumo ir susikirtimo būtinos ir pakankamos sąlgos... Tiesių sutapimo pakankama sąlga Tarkime, jog turime dvi tieses l ir l, kurių lgts afiniojo reperio atžvilgiu atitinkamai ra,, ir,. (.7) T Jei lgčių koeficientai ra proporcingi, tiesės sutampa. Duota:. Įrodti: l l. Tarkime, jog sąlgoje nurodtas santkis lgus λ. Tada iš lgbių λ, λ, λ išplaukia, jog antrąją lgtį padauginę iš λ gauname pirmąją lgtį. Vadinasi, lgts ra ekvivalenčios, t.. jas tenkina tos pačios realiųjų skaičių poros (, ). Geometriškai tai reiškia, jog kiekvienas taškas M(, ), priklausantis pirmai tiesei, priklauso ir antrajai tiesei, ir atvirkščiai. Taigi tiesės sutampa. Pavds. Tiesės ir sutampa, nes.... Tiesių lgiagretumo ir susikirtimo pakankamos sąlgos T. Jei tiesių lgčių (.7) koeficientai prie kintamųjų ra proporcingi, o laisvieji nariai neproporcingi, tiesės lgiagrečios. Duota:. Įrodti: l l. Ieškosime tiesių (.7) sankirtos, jei ji egistuoja. Tam tikslui spręsime lgčių sistemą,. l Iš algebros kurso žinoma [6], jog galiojant teoremos sąlgai lgčių sistema sprendinių neturi. j Geometriškai tai reiškia, jog nėra taško M(, ), priklausančio abiem tiesėms. Taigi tiesės ra lgiagrečios. T. Jei tiesių lgčių (.7) koeficientai prie kintamųjų ir ra neproporcingi, tiesės i susikerta. - l Įrodkite savarankiškai. pavds. Tiesės l : ir l : ra lgiagrečios (. pav.), nes l. pav.. pav. 5
. pavds. Tiesės l : ir l : susikerta (. pav.), nes Susikirtimo taško koordinatės randamos iš sistemos,. Išsprendę sistemą gauname,.. )... Tiesių sutapimo, lgiagretumo ir susikirtimo būtinos sąlgos. Išvados T. Jei tiesės sutampa, jų bendrosiose lgtse (.7) T. Jei tiesės lgiagrečios, jų bendrosiose lgtse (.7) T. Jei tiesės susikerta, jų bendrosiose lgtse (.7) Įrodsime trečiąją teoremą. Kitas įrodkite savarankiškai. Duota: l ir l susikerta. Įrodti:. Įrodsime prieštaros metodu. Tarkime priešingai, ; ).... Tada galimi du ir tik du atvejai:. Pirmuoju atveju tiesės sutampa (III,..), antruoju lgiagrečios (III,..). Tai prieštarauja sąlgai. \ Iš ankstesnių samprotavimų išplaukia išvados. I. Tiesės sutampa tada ir tik tada, kai jų bendrosiose lgtse (.7) koeficientai ra proporcingi:. I. Tiesės lgiagrečios tada ir tik tada, kai jų bendrosiose lgtse (.7) koeficientai prie kintamųjų ra proporcingi, o laisvieji nariai neproporcingi:. I. Tiesės susikerta tada ir tik tada, kai jų bendrosiose lgtse (.7) koeficientai prie kintamųjų ir ra neproporcingi:. Pavds. Kokie turi būti α, β, kad tiesės ir αβ būtų: a) lgiagrečios; b) sutampančios; c) susikertančios. Sprendimas. a) Pagal antrąją išvadą. Iš čia α 6, β. α β b) Pritaikę sutapimo būtiną ir pakankamą sąlgą: c) Pagal tiesių susikirtimo būtiną ir pakankamą sąlgą ts.: a) α 6, β ; b) α 6, β ; c) α 6... Tiesių pluoštas, gauname, jog α 6, β. α β, α 6. α Susikertančiųjų tiesių pluoštu vadinama aibė visų plokštumos tiesių, einančių per vieną tašką M, kuris vadinamas to pluošto centru (.a pav.). Lgiagrečiųjų tiesių pluoštu vadinama aibė visų plokštumos tiesių, lgiagrečių su viena tiese l, kuri vadinama to pluošto ašimi (.b pav.). l M l.a pav..b pav. 5
Pluošto centras M ir pluošto ašis l apibrėžia atitinkamai susikertančiųjų ir lgiagrečiųjų tiesių pluoštą. Jei afiniojo reperio atžvilgiu taško M koordinatės ra,, o tiesės l lgtis, tuomet pluoštų lgts ra atitinkamai k( ) ir, kur k ir ra parametrai. Susikertančiųjų tiesių pluoštą galima apibrėžti dviem jo tiesėmis l ir l, kurių lgts ra ir, (.a pav.). Tada pluošto lgtis ra α( )β( ), α β, α, β parametrai. (.8) pavds. Lgiagrečiųjų tiesių pluošto ašis ra tiesė. Raskime pluošto tiesę, einančią per tašką (, ). Sprendimas. Pluošto lgtis. Parametro reikšmę rasime į lgtį įrašę taško koordinates: ( ), 7. ts.: 7. pavds. Tiesių pluoštas apibrėžtas tiesėmis ir. Raskime pluošto tiesę, lgiagrečią su tiese 5. Sprendimas. Parašome pluošto lgtį α( )β( ) arba (αβ)( αβ)α β. Pagal tiesių α β α β α β lgiagretumo būtiną sąlgą (III,..). 5 α β - β Iš lgbės gauname, jog αβ, todėl α, β ra vienas iš sprendinių. Įrašę šias 5 parametrų reikšmes į pluošto lgtį gauname, jog 9 55 arba 5 8. ts.: 5 8... Uždaviniai uždavins. Kokia tiesių tarpusavio padėtis? a),, ; b),, ; c),, 6. Sprendimas. a) Kadangi,,, tiesės poromis kertasi. r jos kertasi viename taške, nustatsime spęsdami lgčių sistemą,, 5, arba,, 5. 5 5 Matome, jog ši sistema turi vienintelį sprendinį,, todėl tiesės kertasi taške M (, ). b),,, todėl antroji ir trečioji tiesės ra lgiagrečios, pirmoji jas kerta. c),,. 6 6 Pirmoji ir trečioji tiesės sutampa, antroji su jomis lgiagreti. 5 ts.: a) tiesės priklauso tiesių pluoštui, kurio centras M (, ); b) antroji ir trečioji tiesės ra lgiagrečios, pirmoji jas kerta; c) tiesės priklauso lgiagrečiųjų tiesių pluoštui, kurios ašimi gali būti tiesė. uždavins. Per tiesių ir susikirtimo tašką nubrėžta tiesė, a) einanti per koordinačių pradžią; b) lgiagreti su ašimi. Parašsime jos lgtį. Sprendimas. Parašome pluošto lgtį α( )β( ) arba (αβ)(α β) αβ. a) Jei tiesė eina per koordinačių pradžią, tuomet laisvasis nars αβ. Šios lgties sprendinį α, β įrašę į pluošto lgtį gauname, jog. b) Jei tiesė lgiagreti su ašimi, αβ. Iš čia α, β.ieškomos tiesės lgtis ra: 7. ts.: a) ; b) 7. uždavins. Kokia pirmojo laipsnio nelgbių ir jų sistemų geometrinė prasmė? >,, a) >; b) >; c) d) > ;. 5
Sprendimas. a) Lgties geometrinė prasmė koordinačių plokštumoje ra tiesė l (.a pav.). Tiesė dalija plokštumą į dvi atviras pusplokštumes. Nelgbę > tenkins vienos pusplokštumės taškų koordinatės. Kadangi taško koordinatės netenkina nelgbės, tai nelgbės > geometrinė prasmė ta atvira pusplokštumė, kurioje nėra koordinačių pradžios. (.a paveiksle ši pusplokštumė užbrūkšniuota horiontaliais brūkšniais). b) nalogiškai lgtis apibrėžia tiesę l, lgiagrečią su tiese l. Nelgbę tenkina koordinačių pradžios koordinatės, todėl ji apibrėžia tą atvirą pusplokštumę, kurioje ra koordinačių pradžia (.a paveiksle ši pusplokštumė užbrūkšniuota vertikaliais brūkšniais). c) Sistemos geometrinė prasmė atvirų pusplokštumių sankirta (.a paveiksle užbrūkšniuota du kartus). Tai atvira pusplokštumė, kurios kraštas ra tiesė l ir kuri neina per koordinačių pradžią. d) Pirmosios nelgbės geometrinė prasmė pusplokštumė, kurios kraštas ra tiesė l ir kuri neina per koordinačių pradžią. ntrosios pusplokštumė, kurios kraštas ra tiesė l : ir kuri eina per tašką M(, ). Sistemos geometrinė prasmė tas kampas tarp tiesių l ir l, kuris turi tašką M(, ) (.b paveiksle užbrūkšniuotas du kartus). uždavins. ([5], p. 85). Paraškite lgtį tiesės, einančios per tašką (, 5) ir lgiagrečios su tiese. ts.: 9. 5 uždavins. ([5], p. 85). Kokia tiesių tarpusavio padėtis? a) ir 5 ; t, b) ir 9 t; c) ir 8. ts.: a) susikerta; b) lgiagrečios; c) sutampančios. 6 uždavins. ([5], p. 88). Tiesių pluošte ( )λ( ) raskite tiesę, a) lgiagrečią su ašimi; b) einančią per tašką M(, ). ts.: a) λ; b) λ. l l l j l.b pav. i.a pav..m.5. Savikontrolės klausimai ir užduots. Kokia tiesių l ir l, nusaktų bendrosiomis lgtimis, sutapimo būtina ir pakankama sąlga? Lgiagretumo būtina ir pakankama sąlga? Susikirtimo būtina ir pakankama sąlga?. Ką vadiname tiesių pluoštu? Kokios jo lgts?. Kokia tiesių tarpusavio padėtis? a), 5, ; b),, 55 5; c),, 6.. Metriniai plokštumos tiesių uždaviniai.. Kampas tarp tiesių Susikirsdamos tiesės sudaro keturis poromis lgius kampus. Du iš jų lgūs M kampui α tarp tų tiesių krpties vektorių (kiti du lgūs 8 α). l b Metriniams uždaviniams spręsti naudosime stačiakampę Dekarto koordinačių sistemą (, i r, r j ). Tarkime, jog tiesių l [M, a r ] ir l [M, b r α l ] (.5 pav.) krpties vektorių a r ir b r M atitinkamai koordinatės ra a, a ir atitinkamai b, b. Tada kampą α tarp tiesių galima rasti iš formulės (I, 5..) r r.5 pav. a b ab ab cosα r r. a b a a b b Jei tiesės apibrėžtos bendrosiomis lgtimis, ir,, tuomet jų krpties vektoriai ra a r {, } ir b r {, }. Pritaikę pateiktą formulę turime, jog ( ) cosα arba ( ) ( ) cosα. (.9) Kai tiesės lgiagrečios arba sutampančios, kampas tarp jų laikomas lgiu. 5
Pavds. Raskime kampą tarp tiesių ir. Sprendimas. cosα ts.: απ arcos.. 5.. Tiesių statmenumo būtina ir pakankama sąlga Kampas α tarp tiesių, ir,, apskaičiuojamas pagal formulę (.9). Tiesės vadinamos statmenomis, jei kampas α tarp jų lgus 9, t.. kai cosα. Trupmena lgi nuliui tada ir tik tada, kai vardiklis nelgus, o skaitiklis lgus nuliui. Taigi tiesių statmenumo būtina ir pakankama sąlga ra. (.) Pavds. Tiesės ir statmenos, nes ( ). Pastaba. Norint parašti tiesei l: statmenos tiesės lgtį, reikia koeficientus prie kintamųjų sukeisti vietomis ir vienam iš jų pakeisti ženklą. Tiesė D bus statmena tiesei l, nes ( )... Kampas nuo tiesės iki tiesės Jei plokštumoje turime ortonormuotąjį reperį R(, i r, j r ), tarkime, dešinįjį, l l tuomet plokštuma ra orientuota ir kampai nuo tiesės l iki tiesės l (nuo tiesės l krpties vektoriaus a r iki tiesės l krpties vektoriaus b r ) ra taip pat orientuoti. j Tarkime, jog tiesės l ir l nėra lgiagrečios su ašimi ir apibrėžtos i α α išreikštinėmis lgtimis (.6) : k b ir k b. Raskime orientuoto kampo α (arba α 8 α) nuo tiesės l iki tiesės l tangentą. Pastebime, jog k tgα, k tgα, kur α, α ra orientuoti kampai nuo ašies iki tiesių l, l (.6 pav.). tgα tgα.6 pav. Kadangi αα α, todėl tgα. Vadinasi, tgαtgα k k tgα. (.) kk Iš šios formulės randamas kampas α nuo tiesės l iki tiesės l. Kai abi tiesės ra lgiagrečios su ašimi, tuomet jos sudaro kampą α. Kai tiesė l l (l ) lgiagreti su ašimi, tuomet αα 9 (α9 α ). Pavds. Raskime kampą nuo tiesės iki tiesės. Sprendimas. Perrašome tiesių išreikštines lgtis:,. Iš jų randame j tiesių krpties koeficientus k, k. Pagal (.) formulę tgα 7. Iš čia α arctg7 (.7 pav.). ts.: α arctg7. i.7 pav. l.. Tiesių k b ir k b statmenumo ir lgiagretumo būtinos ir pakankamos sąlgos Tiesės b ir a ra lgiagrečios atitinkamai su ir ašimis, todėl ra statmenos. Tiesės k b ir k b, k k bus statmenos (α9, tgα neapibrėžtas) tada ir tik tada, kai k k. Tai išplaukia iš (.) formulės. Tiesės bus lgiagrečios arba sutaps (α, tgα) tada ir tik tada, kai k k. I. Nelgiagrečios su koordinačių ašimis tiesės ra statmenos tada ir tik tada, kai jų krpties koeficientai susiję formule k k. I. Nelgiagrečios su ašimi tiesės ra lgiagrečios arba sutampa tada ir tik tada, kai jų krpties koeficientai ra vienodi (k k ). Pastaba. Išvadas galima įrodti kitu būdu. Pasinaudokite (.) formule ir.. punkto išvadomis. 5
(.6): Pavds. Tiesė l eina per tašką (, ) ir statmena tiesei l :. Paraškime tiesės l lgtį. Sprendimas. Tiesės l krpties koeficientas k, o tiesės l krpties koeficientas k. Rašome tiesės lgtį ts.:..5. tstumas nuo taško iki tiesės () arba. tstumu tarp figūrų F ir G vadinamas mažiausias atstumas tarp taškų M F ir N G. Pavdžiui, atstumas tarp susikertančių tiesių lgus, atstumas nuo taško M iki tiesės l ra statmens M M, nuleisto iš taško į tiesę, ilgis (.8 pav.). Tarkime, jog taško M koordinatės reperio (, i r, r j ) atžvilgiu ra,, o tiesės M lgtis :,..8 pav. Raskime atstumą ρ nuo taško M iki tiesės l. Žinome, jog vektorius n r {, } ra tiesės l normalusis vektorius. Tarkime, kad taško M koordinatės ra,. Tada vektoriaus M M koordinatės ra,. Vektoriai M M ir nr ra kolinearūs, todėl kampas α tarp jų gali būti lgus arba 8, o cosα±. pskaičiuokime tų vektorių skaliarinę sandaugą: M M n r M M n r cosα±ρ. M M n r Iš čia ρ. Vektorių skaliarinę sandaugą galima išreikšti dauginamųjų vektorių koordinatėmis (I, 5..): M M n r ( )( ). Kadangi taškas M priklauso tiesei l, tai, iš čia. Taigi ρ. (.) I Norint apskaičiuoti atstumą nuo taško iki tiesės, reikia į tiesės lgties kairiąją pusę vietoj kintamųjų, įrašti taško koordinates, ir gauto ddžio modulį padalti iš kvadratinės šaknies iš koeficientų prie kintamųjų kvadratų sumos. Pavds. Raskime atstumą nuo taško (, ) iki tiesės l:. Sprendimas. ρ(, l). ts.: ρ..6. tstumas tarp lgiagrečių tiesių M Tiesės l : ir l :,, ra lgiagrečios arba sutampa, nes l M. Raskime atstumą ρ(l, l ) tarp tų tiesių. Jis lgus atstumui ρ(m, l ) nuo bet kurio l vienos tiesės taško M iki kitos tiesės (.9 pav.). M Taškas M (, ) priklauso tiesei l, todėl,. Iš čia ir (.).9 pav. formulės ρ(l, l )ρ(m, l ). Taigi ρ(l, l ). (.) I tstumas tarp lgiagrečių tiesių ir lgus laisvųjų narių skirtumo moduliui, padaltam iš kvadratinės šaknies iš koeficientų prie lgties kintamųjų kvadratų sumos. Pavds. Raskime atstumą tarp lgiagrečių tiesių ir. Sprendimas. Pirmąją lgtį padauginę iš gauname ekvivalenčią lgtį. Dabar galima taikti (.) formulę: ρ(l, l ). 6 5 55
ts.: ρ 5..7. Uždaviniai uždavins. Nustatkime tiesių tarpusavio padėtį. Raskime atstumą ir kampą tarp tiesių: a) ir 6 8 7; b) ir. 7 9 Sprendimas. a) Tiesės lgiagrečios, nes. Kampas tarp tiesių lgus, atstumas ρ. 6 8 7 6 6 b) Tiesės susikerta, nes. tstumas tarp tiesių lgus, o kampas randamas iš lgbės cosα : α5. ts.: a) α, ρ 9 ; b) α5, ρ. uždavins. Kokia apskritimo ( ) () 5 ir tiesės 6 tarpusavio padėtis? Sprendimas. pskritimo centras (, ), spinduls r 5. tstumas nuo taško iki tiesės lgus ( ) 6 ρ. Kadangi > 5 r, todėl tiesė ir apskritimas neturi bendrų taškų. 5 5 ts.: tiesė ra apskritimo praeitinė. uždavins. Raskime apskritimo 6 liestinę, a) lgiagrečią su tiese l : 59; b) statmeną tiesei l :. Sprendimas. Randame apskritimo centrą ir spindulį r. Tam tikslui sudarome pilną kvadratą: ( 69) 9 arba ( ) 9. Taigi centras ra (, ), spinduls r. a) Liestinės l, lgiagrečios su tiese l, lgtis ra 5. Laisvąjį narį rasime prilginę atstumą ρ(, l ) 6 6 spinduliui r. ρ(, l ) ;, 6 9,, 75. 5 b) Liestinės l, statmenos tiesei l, lgtis turi pavidalą D. tstumas nuo apskritimo centro iki liestinės D D D lgus spinduliui. Kadangi ρ(, l ) ; tai, D 5, D, D 7. 5 5 ts.: a) liestinės, lgiagrečios su tiese l, ra dvi: 5 ir 5 75. b) liestinės, statmenos tiesei l, taip pat ra dvi: ir 7. uždavins. Šviesos spinduls, išėjęs iš taško (, ) ir atsispindėjęs nuo tiesės l:, praėjo pro tašką (, ). Raskite tiesių, einančių per spindulio kelią, lgtis. Sprendimas. Tiesės l taško M, kuriame spinduls kerta tiesę, koordinates pažmėkime,. Randame vektorių M {, } ir tiesės M krpties koeficientą k. nalogiškai randame vektorių M {, } bei tiesės M krpties koeficientą k. Pastebime, jog tiesės l krpties koeficientas k, be to, spindulio kritimo kampas α lgus atspindžio kampui α (. pav.). k k Tuomet tgα ir tgα ra lgūs: k k. ( ) ( ) Pertvarkę lgtį gauname 7, iš kur, 5 5 5 5 Parašome tiesių M ir M kanonines lgtis. M: arba 9. 7 5 5 7. Taigi M(, ). 5 5 j i α M α. pav. 56
M: arba 99. 7 5 5 ts.: 9, 99. 5 uždavins ([5], p. 7). Šviesos spinduls, ėjęs per tašką M(, ), atsispindėjo nuo tiesės ir praėjo pro tašką N(, ). Kuriame taške vko lūžis? 8 ts.: P(, ). 6 uždavins ([5], p. 87). Paraškite tiesės d, einančios per tiesių d : t, t. ir d : 5 susikirtimo tašką ir sudarančios 5 kampą su tiese d :, lgtį. ts.: 9 ir. 7 uždavins ([5], p. 86). Tiesėje d: 7t, t raskite taškus, nutolusius nuo tiesės d : atstumu ρ 5. ts.: M(, ), M (, ). 8 uždavins ([5], p. 9). Paraškite trikampio kraštinių lgtis, jei žinoma viršūnė (, ), pusiaukampinė L: ir pusiaukraštinė M:. ts.: : ; : ; : 6..8. Savikontrolės klausimai ir užduots. Kaip apskaičiuojamas kampas tarp plokštumos tiesių? Kokia tiesių ir statmenumo būtina ir pakankama sąlga? Pateikite pavdžių.. Kaip apskaičiuojamas kampas nuo vienos plokštumos tiesės iki kitos tiesės? Kokios tiesių k b ir k b statmenumo ir lgiagretumo būtinos ir pakankamos sąlgos? Pateikite pavdžių.. Kaip apskaičiuojamas atstumas nuo taško iki tiesės? Tarp lgiagrečių tiesių? Pateikite pavdžių.. Tiesė erdvėje.. Erdvės tiesių tarpusavio padėts... Tiesių prasilenkimo būtina ir pakankama sąlga Erdvės tiesės vadinamos prasilenkiančiomis, jei nėra plokštumos, einančios per tas tieses. Tarkime, jog turime dvi erdvės tieses l [M, a r ] ir l [M, b r ] (. pav.), nusaktas kanoninėmis lgtimis: ir. (.) a a a b b b Čia,, ra tiesės l taško M afiniosios koordinatės,,, tiesės l taško M koordinatės, a, a, a pirmosios tiesės krpties vektoriaus koordinatės, b, b, b antrosios tiesės krpties vektoriaus koordinatės. l Raskime tiesių l ir l prasilenkimo būtiną ir pakankamą sąlgą. Tiesės l ir l prasilenkia tada ir tik tada, kai vektoriai M M, a r, b r M ra M b nekomplanarūs. Pagal vektorių komplanarumo būtiną ir pakankamą sąlgą (I, 7.) vektoriai ra komplanarūs tada ir tik tada, kai jų mišrioji sandauga lgi. Kadangi vektoriaus M M l koordinatės ra,, (II,.), o mišrioji sandauga išreiškiama determinantu,. pav. sudartu iš vektorių koordinačių, tai tiesės l ir l prasilenkia tada ir tik tada, kai D a a a. (.5) Pavds. Kokia tiesių ir b b b 5 tarpusavio padėtis? Sprendimas. Randame taškus M (,, ), M ( 5,, ) ir vektorius M M { 6,, }, a r {,, }, b r {,, }. 6 Kadangi ts.: tiesės prasilenkiančios. 6, tai tiesės prasilenkiančios. 57
... Tiesių priklausmo vienai plokštumai būtina ir pakankama sąlga Tarkime, jog turime dvi tieses l ir l, nusaktas kanoninėmis lgtimis (.). Prasilenkiančios tiesės ir tiesės ra vienoje plokštumoje ra viena kitą paneigiančios sąvokos. nalogiškai samprotaudami kaip ir.. papunktje, įrodkite, kad tiesės ra vienoje plokštumoje tada ir tik tada, kai D a a a. (.6) 5 Pavds. Kokia tiesių t, t, 5 ir tarpusavio padėtis? b Sprendimas. Pirmoji tiesė eina per tašką M (,, 5), antroji per tašką M (,, 5). Randame vektorių M M {,, } ir tiesių l, l krpties vektorius atitinkamai a r {,, }, b r {,, }. Kadangi, vektoriai a r ir b r nekolinearūs. Taigi tiesės arba susikerta, arba prasilenkia. pskaičiuojame determinantą D b. Tiesės ra vienoje plokštumoje, bet nelgiagrečios, todėl jos susikerta. ts.: tiesės susikertančios. b... Erdvės tiesių sutapimo būtinos ir pakankamos sąlgos Tiesės l [M, a r ] ir l [M, b r ] sutampa tada ir tik tada, kai vektoriai M M, a r, b r ra kolinearūs (. pav.). M b Tarkime, jog tiesių l ir l kanoninės lgts ra (.). Vektoriai M M {,, }, a r {a, a, a }, b r M {b, b, b } ra kolinearūs tada ir tik tada, kai jų koordinatės ra. pav. proporcingos (I,.): b b b,. (.7) a a a a a a (.7) formulės ra tiesių l ir l (.) sutapimo būtinos ir pakankamos sąlgos. Pavds. Kokia tiesių 5 6 ir tarpusavio padėtis? 6 Sprendimas. Randame taškus M (,, ), M (, 5, 6) ir vektorius M M {,, 6}, a r {,, 6}, b r {,, }. Kadangi vektoriai ra kolinearūs, tai tiesės sutampa. ts.: tiesės sutampančios.... Erdvės tiesių lgiagretumo būtinos ir pakankamos sąlgos Tiesės l [M, a r ] ir l [M, b r ] lgiagrečios tada ir tik tada, kai vektoriai a r, b r ra kolinearūs, o vektorius M M su jais nekolinearus (. pav.). b M M Jei tiesių l ir l kanoninės lgts ra (.), tuomet vektoriaus M M turi koordinates,,, a r a, a, a, b r b, b, b. Pagal vektorių kolinearumo būtiną ir. pav. pakankamą sąlgą (I,.) tiesės l ir l (.) bus lgiagrečios tada ir tik tada, kai b b b, arba. (.8) a a a a a a a 5 Pavds. Nustatsime tiesių t, t, t ir tarpusavio padėtį. Sprendimas. Randame taškus M (,, ), M (, 5, ) ir vektorius M M {, 5, }, a r {,, } b r. 58
5 Kadangi, tiesės ra lgiagrečios. ts.: tiesės lgiagrečios...5. Erdvės tiesių susikirtimo būtinos ir pakankamos sąlgos Tiesės l [M, a r ] ir l [M, b r ], nusaktos (.) lgtimis, susikerta tada ir tik tada, kai vektoriai a r ir b r ra nekolinearūs, o vektoriai M M, a r, b r ra komplanarūs. Pagal vektorių kolinearumo (I,.) ir komplanarumo (I, 7.) būtinas ir pakankamas sąlgas tiesės susikirs tada ir tik tada, kai b b b arba b, a a a. (.9) a a a a b b b Čia,, tiesės l taško M afiniosios koordinatės,,, tiesės l taško M koordinatės, a, a, a pirmosios tiesės krpties vektoriaus a r koordinatės, b, b, b antrosios tiesės krpties vektoriaus b r koordinatės. 5 Pavds. Kokia tiesių t, t, 5t ir tarpusavio padėtis? Sprendimas. Randame taškus M (,, ), M (,, 5) bei vektorius M M {,, 5}, a r {,, 5}, b r {,, }. Kadangi 5, vektoriai a r ir b r ra nekolinearūs, tiesės arba susikerta, arba prasilenkia. pskaičiuojame 5 determinantą D 5. ts.: tiesės susikertančios... Metriniai erdvės tiesių uždaviniai... Kampas tarp erdvės tiesių. Tiesių statmenumo būtina ir pakankama sąlga Panagrinėkime tieses l [M, a r ] ir l [M, b r ], kurių kanoninės lgts ra (.). Vienas kampas α tarp tiesių lgus kampui tarp tų tiesių krpties vektorių a r {a, a, a }, b r {b, b, b }. Tas kampas r r a b randamas iš lgbės (I, 5..) cosα r r arba a b cosα ab ab ab. (.) a a a b b b Iš čia išplaukia tiesių statmenumo būtina ir pakankama sąlga: a b a b a b. (.) Pavds. Tiesės ir t, 5 6t, t ra statmenos, nes vektorių a r {,, 5}, b r {, 6, } skaliarinė sandauga lgi : ( 6)( ).... tstumas nuo taško iki tiesės erdvėje Ieškosime atstumo nuo taško M (,, ) iki tiesės l:. a a a r M rėžiame lgiagretainį M M N N taip, kad krptinė atkarpa M N a (. pav.). Iš S N lgiagretainio ploto formulės Sah gauname, kad ρ(m, l)m M. M N r M M Kadangi lgiagretainio plotas S M M a (I, 6.), tai. pav. r M M a ρ(m, l) r. (.) a N 59
Čia formulės skaitiklje ra vektorių M M {,, } ir a r {a, a, a } vektorinės sandaugos modulis. Pavds. Raskime trikampio aukštinę H, jei žinomi taškai (,, ), (,, ), (,, ). Sprendimas. Randame vektorius {,, } ir {,, } bei jų vektorinę sandaugą ( ),, arba ( ){,, }. 6 9 69 9 Hρ(, ). 5 9 ts.: H. 5... tstumas tarp prasilenkiančių tiesių Jei tiesės l [M, a r ] ir l [M, b r ], nusaktos kanoninėmis lgtimis (.), ra prasilenkiančios, t.. jei D a a a, b b b atstumas tarp jų apskaičiuojamas pagal formulę r r ( M M, a, b) ρ(l, l ) r r. (.) a b Čia skaitiklje ra vektorių M M, ar, b r mišriosios sandaugos modulis (determinanto D modulis), vardiklje vektorių a r ir b r vektorinės sandaugos ilgis. Įrodmą galima rasti kngelėje []. Pavds. Raskime atstumą tarp tiesių l : t,, t ir l :. Sprendimas. Randame taškus M (,, ), M (,, ) ir vektorius M M {,, }, ar {,, }, b r {,, }, ( a r b r ){,, }. ρ(l, l ). ts.:... Uždaviniai uždavins. Raskime atstumą tarp tiesių l : ir l : t,, t. Sprendimas. Randame taškus M (,, ), M (,, ) ir vektorius M M {,, }, a r {,, } b r. Kadangi, tiesės ra lgiagrečios. tstumas tarp lgiagrečių tiesių lgus atstumui nuo vieno bet kurio vienos tiesės taško, pv., M, iki kitos tiesės (l ). Taikome (.) formulę: r M M a ρ(l, l )ρ(m, l ) r. a pskaičiuojame vektoriaus M M a r koordinates: ( M M a r ),, arba ( M M a r ){,, 8}. To vektoriaus ilgis M M a r 6 9. Taigi ρ(l, l ) 9 9 9. ts.: 9. 6
uždavins. r tiesės ir D kertasi, jei žinomi taškai (,, ), (,, ), (, 5, ), D(,, )? Raskime atstumą ir kampą tarp tiesių. Sprendimas. Kadangi vektoriai {,, }, D {,, } ra nekolinearūs, tiesės arba susikerta, arba 5 prasilenkia. Randame vektorių { 5,, } ir determinantą D 9. Vadinasi, tiesės prasilenkiančios. Kampą tarp jų raskime iš formulės cosα. cosα 6 6, todėl 66 αarccos. 66 tstumas tarp prasilenkiančių tiesių apskaičiuojamas pagal (.) formulę. Randame vektorių ( D ),, arba ( D ){5,, } ir jo ilgį D 5 6 6 57. Iš čia 9 9 ρ(l, l ). 57 57 9 ts.: ne; ρ(l, l ) ; αarccos. 57 66 uždavins. r kertasi atkarpos MN ir PQ, jei M(,, ), N(,, 5), P(,, ), Q(,, )? Sprendimas. Vektoriai MN {,, } ir PQ {,, } ra nekolinearūs, o vektoriai MN, PQ ir MP {,, } ra komplanarūs, nes D. Tiesės MN ir PQ susikerta. Jų sankirtos tašką rasime išsprendę lgčių sistemą:,. N Ši sistema turi vienintelį sprendinį,,. Taigi tiesės MN ir PQ susikerta taške Q (, M, ) (.5 pav.). Vektoriams MQ {,, } ir QN {,, } galioja lgbė MQ QN, todėl Q P taškas Q nėra tarp taškų M ir N. ts.: ne. uždavins. Kokia sferos () ( ).5 pav. 6 ir tiesės l: t, t, tarpusavio padėtis? Sprendimas. Ieškokime sferos centro (,, ) atstumo iki tiesės l, kuri eina per tašką M (,, ) ir kurios krpties vektorius a r r M a r {,, }: ρ(, l) r. Randame vektorius M {,, } ir ( M a ){,, }. Iš čia a ρ. Kadangi < 6, tiesė kerta sferą. 5 5 ts.: tiesė ra sferos kirstinė. 5 uždavins ([5], p. 67). Kokia tiesių tarpusavio padėtis? Raskite kampą ir atstumą tarp tiesių. a) ir 8t, t, t; b) ir. 5 ts.: a) tiesės lgiagrečios, α, ρ ; b) tiesės prasilenkiančios, αarccos, ρ. 6 uždavins ([5], p. 69). Trikampje atkarpa M ra pusiaukraštinė, L pusiaukampinė, H aukštinė. Paraškite tiesių M, L, H lgtis, jei žinomi taškai (,, ), (,, ), (,, ). 6
ts.: M: ; L: ; H: 8. 5.. Savikontrolės klausimai ir užduots. Kokia tiesių prasilenkimo būtina ir pakankama sąlga?. Kokia tiesių priklausmo vienai plokštumai būtina ir pakankama sąlga?. Kokios erdvės tiesių sutapimo, lgiagretumo, susikirtimo būtinos ir pakankamos sąlgos?. Kaip apskaičiuojamas kampas tarp erdvės tiesių? Kokia tiesių statmenumo būtina ir pakankama sąlga? Pateikite pavdžių. 5. Kaip apskaičiuojamas atstumas nuo taško iki erdvės tiesės? Tarp prasilenkiančių tiesių? 6. Kokia tiesių tarpusavio padėtis? Raskite kampą ir atstumą tarp tiesių. a) t, 6t, 8t ir 6t, 9t, t; b) ir ; c) ir t, t, t. 5. Plokštumos lgtis Geometriškai plokštuma apibrėžiama trimis būdais: ) trimis taškais,,, nepriklausančiais vienai tiesei. Tokiu atveju plokštumą žmėsime (.6a pav.); π π n M.6a pav..6b pav..6c pav. ) tašku M ir vektoriumi n r, statmenu plokštumai, kuris vadinamas plokštumos normaliuoju vektoriumi. Tokią plokštumą žmėsime [M, n r ] (.6b pav.); ) tašku M ir dviem nekolineariais vektoriais a r ir b r, lgiagrečiais su plokštuma. Tokią plokštumą žmėsime simboliu [M, a r, b r ] (.6c pav.). Plokštumos lgtis priklauso ne tik nuo koordinačių sistemos parinkimo. Jos forma priklauso nuo plokštumos apibrėžimo būdo. 5.. Plokštumos [M, a r, b r ] vektorinės lgts Panagrinėkime plokštumą π[m, a r, b r ], apibrėžtą tašku M ir dviem nekolineariais vektoriais a r ir b r, lgiagrečiais su plokštuma (.6c pav.). Taškas M priklauso plokštumai π tada ir tik tada, kai vektoriai sandauga lgi (I, 7.): M M M b π a M, a r, b r ra komplanarūs, t.. kai jų mišrioji ( M M, a r, b r ). (.) (.) lgtis vadinama plokštumos π vektorine lgtimi. Vektoriai a r ir b r nekolinearūs, todėl sudaro plokštumos π linealo (I,..) baę. Kiekvieną plokštumos π vektorių M M ir tik tokį vektorių galima vienareikšmiškai išreikšti baės vektoriais: M M u a r v b r, u R, v R. (.5) Lgtis (.5) vadinama plokštumos vektorine parametrine lgtimi, kintamieji u, v parametrais. 5.. Plokštumos [M, a r, b r ] parametrinės lgts Plokštumos [M, a r, b r ], apibrėžtos tašku M ir dviem nekolineariais vektoriais a r ir b r, lgiagrečiais su plokštuma, vektorinė parametrinė lgtis ra (.5) formulė. Jei erdvėje apibrėžta afinioji koordinačių sistema, taškai ir vektoriai įgja koordinates. Tarkime, jog plokštumos taško M koordinatės ra,,, fiksuoto plokštumos taško M koordinatės,,, vektorių a r ir b r koordinatės atitinkamai ra a, a, a ir b, b, b. Tada pagal II skriaus. punkto išvadą M 6
randame vektorių M M {,, }. Remdamiesi vektorių koordinačių savbėmis (I,.) randame vektorius u a r {ua, ua, ua }, v b r {vb, vb, vb }, (u a r v b r ){ua vb, ua vb, ua vb }. Vektoriai ra lgūs tada ir tik tada, kai jų koordinatės ra lgios, todėl (.5) lgbę galima perrašti pavidalu: ua vb, ua vb, ua vb, arba ua vb, (.6) ua vb, ua vb. Šios lgts vadinamos plokštumos [M, a r, b r ] parametrinėmis lgtimis. Pavds. Lgts u 5v, u v, v ra plokštumos, einančios per tašką M (,, ) ir lgiagrečios su vektoriais a r {,, }, b r { 5,, }, parametrinės lgts, u, v parametrai. 5.. Plokštumos bendroji lgtis Tarkime, jog turime plokštumą [M, a r, b r ], kurios vektorinė lgtis ra (.). Plokštumos taško M koordinates afiniojo reperio atžvilgiu pažmėkime,,, kintamo plokštumos taško M koordinates pažmėkime,,. Tarkime, jog vektorių a r ir b r koordinatės ra atitinkamai ra a, a, a ir b, b, b. pskaičiuokime vektoriaus M M koordinates (II,.): M M {,, }. Žinome (I, 7..), jog vektorių mišrioji sandauga išreiškiama determinantu, sudartu iš vektorių koordinačių. Vadinasi, (.) lgtį galima perrašti pavidalu: Šią lgtį vadinsime plokštumos [M, a r, b r ] lgtimi, išreikšta determinantu. Išskleidę determinantą pagal pirmąją eilutę, gausime lgtį a b a b a b. (.7) ( )( )( ) arba D. (.8) a a a a a a Čia,, b b b b b b, D. (.8) lgtis vadinama bendrąja plokštumos lgtimi. Kadangi vektoriai a r ir b r nekolinearūs, tai. Vadinasi, bendroji plokštumos lgtis ra pirmojo laipsnio lgtis. Tokiu būdu plokštuma ra algebrinis pirmojo laipsnio paviršius. tvirkščiai, bet kuri pirmojo laipsnio lgtis D,, ra tam tikros plokštumos lgtis. Įrodmą galima rasti kngelėje []. Dėl šios priežasties, užuot sakę: plokštuma, kurios lgtis ra D, saksime plokštuma D. Pavds. Plokštuma eina per tašką M (,, ) ir lgiagreti su vektoriais a r {,, }, b r {,, }. Paraškime plokštumos bendrąją lgtį. Sprendimas. Parašome plokštumos lgtį, išreikštą determinantu:. Išskleidę determinantą gauname bendrąją lgtį. ts.:. 5.. Plokštumos lgts Panagrinėkime plokštumą, apibrėžtą trimis taškais,,, nepriklausančiais vienai tiesei (.6a pav.). Kadangi vektoriai ir ra nekolinearūs ir lgiagretūs su plokštuma, tai plokštuma [,, ]. Lgtse (.) (.7) vietoj M įrašę, o vietoj a r, b r įrašę atitinkamai ir, gausime plokštumos lgtis.. Vektorinė plokštumos lgtis: ( M,, ). (.). Vektorinė parametrinė lgtis: M u v. (.5) u( ) v( ),. Parametrinės lgts: u( ) v( ), (.6) u( ) v( ). 6
Čia,, taško afiniosios koordinatės,,, taško koordinatės,,, taško koordinatės,,, bet kurio plokštumos taško M koordinatės, u R, v R parametrai.. Plokštumos lgtis, išreikšta determinantu:. (.7) Išskleidę determinantą gauname bendrąją plokštumos lgtį. Pavds. Paraškime plokštumos lgtį, jei žinomi taškai (,, ), (,, ), (,, ). Sprendimas. Rašome lgtį (.7) : Išskleidę determinantą gauname lgtį. ts.:.. 5.5. šinė plokštumos lgtis e (,, c) Tarkime, jog plokštuma π kerta koordinačių ašis taškuose (a,, ), (, b, ), (,, c) (.7 pav.). Paraškime jos lgtį (.7), išreikštą determinantu: a a a b. Išskleidę determinantą gauname lgtį ( a)bcacab, kurią padaliję iš abc gauname: a b c c. (.9) Ši lgtis vadinama ašine plokštumos lgtimi. Jos vardikliai ra plokštumos ir koordinačių ašių sankirtos taškų koordinatės. Žinant plokštumos ašinę lgtį, lengva pavaiduoti plokštumą, kai nubrėžtas afiniojo reperio brėžins. Pavds. Pavaiduokime plokštumą 5. Sprendimas. Pertvarkome lgtį į ašinę lgtį: 5 arba. Taigi a, b, c. 5 5 tidedame taškus (,, ), (,, ), (,, ), brėžiame trikampį, kuris vaiduoja plokštumą 5 (.7 pav.). 5.6. Plokštumos [M, n r ] lgtis Panagrinėkime plokštumą π[m, n r ], apibrėžtą tašku M ir normaliuoju vektoriumi n r (.6b pav.). Tarkime, jog taško M koordinatės ra,,, vektoriaus n r koordinatės,, stačiakampės koordinačių sistemos atžvilgiu, o M(,, ) ra bet kuris taškas. Tada (žr. II,.) vektoriaus (, b, ) M M koordinatės ra,,. Taškas M priklauso plokštumai π tada ir tik tada, kai vektoriai M M ir n r ra statmeni, t.. kai jų skaliarinė sandauga lgi (žr. I, 5..). Vektorių skaliarinė sandauga lgi dauginamųjų atitinkamų koordinačių sandaugų sumai (I, 5..), todėl taškas M priklauso plokštumai tada ir tik tada, kai ( )( )( ) arba D, kur D, o, nes n r r. Gavome bendrąją plokštumos [M, n r ] lgtį stačiakampės koordinačių sistemos atžvilgiu: D,. (.8) I endrosios plokštumos lgties koeficientų prie kintamųjų geometrinė prasmė plokštumos normaliojo vektoriaus n r koordinatės. Pavds. Plokštumos, einančios per tašką P(,, ) ir statmenos vektoriui n r {,, }, lgtis ra D, D. ts.:. Pastaba. Jei koordinačių sistema afinioji, plokštumos lgties D koeficientai,, gali nebūti normaliojo vektoriaus koordinatės. e a (,, ).7 pav. e 6
5.7. Uždaviniai uždavins. Paraškime bendrąją lgtį plokštumos, kurios parametrinės lgts ra: u v, u v, uv. Sprendimas. Randame plokštumos tašką M (,, ) bei vektorius a r {,, } ir b r {,, }, lgiagrečius su plokštuma. Parašome (.7) lgtį:. - Išskleidę determinantą gauname bendrąją plokštumos lgtį (.8 pav.). ts.:. uždavins. Plokštumos lgtis stačiakampės koordinačių sistemos atžvilgiu ra. Raskime plokštumos normalųjį vektorių ir keletą plokštumos taškų. ts.: n r {,, }, P(,, ), Q(,, 6), N(,, ). uždavins ([5], p. 8). Paraškite plokštumos parametrines, bendrąją ir ašinę lgtis, jei žinomi taškai (,, ), (,, ), (,, ). u v, ts.: u, 5;. 5 5 5 u v ; uždavins ([5], p. 9). Paraškite lgtį plokštumos, einančios per tetraedro D briauną ir lgiagrečios briaunai D, jei (,, ), (,, ), (,, ), D(,, ). ts.: 6. 5 uždavins. Kokias figūras apibrėžia lgts ar jų sistemos?,, ) ; ) ( )(); ) ( )()(); ) 5), ;. ts.: ) plokštumą; ) dvi plokštumas; ) tris plokštumas; ) tiesę; 5) tašką..8 pav. e e e 5.8. Savikontrolės klausimai ir užduots. Užraškite plokštumos [M, a r, b r ] vektorinę, parametrines, ašinę, bendrąją lgtis, išaiškinkite jose esančių simbolių geometrinę prasmę.. Užraškite plokštumos įvairias lgtis, išaiškinkite simbolių geometrinę prasmę.. Kokia lgties D koeficientų,, geometrinė prasmė? Koordinačių sistema stačiakampė.. Paraškite plokštumos u v, u, v bendrąją ir ašinę lgtis. Pavaiduokite plokštumą. 6. Plokštumų tarpusavio padėts 6.. endrosios plokštumos lgties trimas 6... Lema apie vektoriaus ir plokštumos lgiagretumą Tarkime, jog turime plokštumą α, kurios lgtis afiniojo reperio atžvilgiu ra D,, ir vektorių p r {p, p, p }. L Vektorius p r ra lgiagretus su plokštuma α tada ir tik tada, kai p p p. Įrodoma dviem etapais. I. Duota: p r {p, p, p } α: D. Įrodti: p p p. Įrodmą galite rasti kngelėje []. Pabandkite įrodti savarankiškai. II. Duota: p p p. Įrodti: p r {p, p, p } α: D. Įrodkite savarankiškai. Pavdžiai.. Vektorius m r {,, } lgiagretus su plokštuma 5 9, nes 5 ( ).. Vektorius n r {,, } nėra lgiagretus su plokštuma, nes ( ).. Paraškime plokštumos parametrines lgtis. Sprendimas. Randame vieną plokštumos tašką, pv., (,, ), ir du vektorius a r {,, }, b r {,, }, lgiagrečius su plokštuma. 65
ts.: u, uv, v. 6... Plokštumos ir koordinačių ašių arba koordinačių plokštumų lgiagretumo būtinos ir pakankamos sąlgos T Plokštuma α lgiagreti su ašimi tada ir tik tada, kai jos bendrojoje lgtje D koeficientas. Trumpai teoremą užrašsime taip: α. Teoremos įrodmas susideda iš dviejų dalių. I. Duota: α. Įrodti:. Kadangi plokštuma lgiagreti su ašimi, tai ašies krpties vektorius e r {,, } ra lgiagretus su plokštuma. Pagal lemą (III, 6..), todėl. II. Duota: (plokštumos lgtis ra D, ). (,, D N ) Įrodti: α. Pagal lemą vektorius e r {,, } ra lgiagretus su plokštuma D, nes. Vadinasi, ašis taip pat lgiagreti su e plokštuma. Pastaba. Plokštuma D kerta plokštumą tiese l (.9 pav.). D Savarankiškai įrodkite tokias teoremas, užraštas sutrumpintai: N (,,) ) α ; e ) α ; e ) α ;.9 pav. ) α ; 5) α. 6... Koordinačių pradžios priklausmo plokštumai būtina ir pakankama sąlga T Plokštuma eina per koordinačių pradžią tada ir tik tada, kai jos bendrojoje lgtje laisvasis nars lgus. Tarkime, jog plokštumos α bendroji lgtis ra D. Trumpai teoremą užrašome taip: α D. I. Duota: α. Įrodti: D. Pagal sąlgą (,, ) α, todėl D. Iš čia D. II. Duota: D (plokštumos α lgtis: ). Įrodti: α. Taško koordinatės tenkina duotą lgtį:, todėl taškas priklauso plokštumai. Plokštuma, einanti per koordinačių pradžią, vaiduojama dviem iš trijų tiesių, kuriomis plokštuma kertasi su koordinačių plokštumomis. Pavds. Pavaiduokime plokštumą. Plokštuma eina per koordinačių pradžią ir per tieses M, M, M, einančias per taškus M (,, ), M (,, ), M (,, ) (. pav.). 6... Koordinačių ašių priklausmo plokštumai būtinos ir pakankamos sąlgos Savarankiškai įrodkite tokias teoremas: T. Plokštuma α: D,, eina per ašį tada ir tik tada, kai D. Trumpai teoremą užraškime taip: α D. Ši plokštuma plokštumoje iškerta tiesę, einančią per koordinačių pradžią ir tašką M (,, ) (.a pav.). T. α D (.b pav.). T. α D (.c pav.). M M i k. pav. M j 66