ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-15: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς Εαρινό Εξάµηνο 016-17 ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού, Γ. Καφεντζής Τέταρτη Σειρά Ασκήσεων Ηµεροµηνία Ανάθεσης : 16/3/017 Ηµεροµηνία Παράδοσης : 8/3/017 Οι ασκήσεις µε [ ] είναι bonus, +10 µονάδες η καθεµία στο ϐαθµό αυτής της σειράς ασκήσεων (δηλ. µπορείτε να πάρετε µέχρι 90/70 σε αυτή τη σειρά.) Ασκηση 1 - Απλή Σειρά Fourier - Ι ίδονται τρια πραγµατικά, περιοδικά σήµατα τα οποία αναπτύσσονται σε σειρά Fourier. Οι µη µηδενικοί συντελεστές Fourier για k > 0 δίδονται ακολούθως, και σας Ϲητείται να ϐρείτε τις σειρές Fourier x i (t) σε τριγωνοµετρική µορφή. (αʹ) x 1 (t) : T 0 =, X 1 = 1, X 3 = 1 Απ.: x 1 (t) = cos(πt + π) + cos(3πt) (ϐʹ) x (t) : T 0 = 1, X 1 = 1/j, X = j 1, X 3 = j 1, X = j 1 Απ.: x (t) = cos(πt π/) + cos(πt π/) + cos(6πt + π/) + cos(8πt π/) (γʹ) x 3 (t) : T 0 = 1/, X = e jπ/3, X 3 = e jπ/ Απ.: x 3 (t) = cos(8πt + π/3) + cos(1πt + 3π/) Ασκηση - Απλή Σειρά Fourier - ΙΙ I. Σχεδιάστε το ϕάσµα πλάτους και το ϕάσµα ϕάσης του σήµατος x(t) = + cos(π100t + π/3) sin(π50t + π/) (1) δείχνοντας αναλυτικά τα ϐήµατά σας. II. Σας δίνονται τα παρακάτω ϕάσµατα πλάτους και ϕάσης. Σχήµα 1: Φάσµατα Άσκησης.
Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 016-17/Τέταρτη Σειρά Ασκήσεων Βρείτε το σήµα στο χρόνο x(t) στο οποίο αντιστοιχούν Απ.: x(t) = 8 cos(π50t π) + 3 cos(π150t π/) Ασκηση 3 - Σειρές Fourier - Ι Εστω το περιοδικό σήµα x(t) που περιγράφεται σε µια περίοδό του ως x(t) = T 0 t, 0 t < T 0 () Σας δίνεται ότι b a te at dt = eat ( t 1 ) ] b a a a i. Σχεδιάστε το σήµα στο χρόνο (-3 περιόδους του). ii. Αναπτύξτε αναλυτικά το περιοδικό σήµα σε εκθετική σειρά Fourier. Απ.: X 0 = 1, X k = 1 kπ ejπ/ iii. Σχεδιάστε το ϕάσµα πλάτους και το ϕάσµα ϕάσης του, γράφοντας πρώτα τους συντελεστές X k σε πολική µορφή (σχεδιάστε ως k = ±). iv. Γράψτε αναλυτικά το περιοδικό σήµα σε τριγωνοµετρική σειρά Fourier. Απ.: x(t) = 1 + kπ cos(πkf 0t + π/) v. Αναπτύξτε σε σειρά Fourier την παράγωγο του σήµατος της Σχέσης (), d dtx(t) µε χρήση ιδιοτήτων. Απ.: d dt x(t) = T 0 + k= T 0 e jπ e jπkf 0t vi. Επιβεβαιώστε το αποτέλεσµα των X k που ϐρήκατε στο ii. ερώτηµα, παραγωγίζοντας γραφικά το σήµα x(t), διασπώντας το σε δυο περιοδικά υπο -σήµατα, ϐρίσκοντας τους συντελεστές Fourier αυτών, και αξιοποιώντας τις ιδιότητες των σειρών Fourier. Ασκηση - Σειρές Fourier - ΙΙ Εστω το σήµα x(t) που σε µια περίοδό του γράφεται ως x(t) = ( t + T ) 0, T 0 T 0 t < T 0 (3) Αναπτύξτε το σε σειρά Fourier χωρίς να κάνετε αναλυτικά τις πράξεις, ϐασισµένοι/ες στο αποτέλεσµα της Άσκησης 3 και στον πίνακα ιδιοτήτων των Σειρών Fourier. [ ] Ασκηση 5 - Σειρές Fourier - ΙΙΙ Αναπτύξτε σε Σειρά Fourier το περιοδικό, µε περίοδο T 0 = π, σήµα που δίνεται ως x(t) = { 1 t, 0 t < T 0 0, αλλού ()
Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 016-17/Τέταρτη Σειρά Ασκήσεων 3 Απ: X 0 = π 3, X k = 1 k + π k ejπ/ [ ] Ασκηση 6 - Θεώρηµα Parseval - Ι ίνεται το περιοδικό σήµα που σε µια περίοδο T 0 = 1 εκφράζεται ως {, t 0.5 x T0 = 0, αλλού (5) Βρείτε µε δοκιµές τον αριθµό των συντελεστών της εκθετικής σειράς Fourier που περιέχει το 97% της συνολικής ισχύος του σήµατος. Αν ϑέλετε, χρησιµοποιήστε MATLAB ή αριθµοµηχανή, αλλά δείξτε όλα τα ϐήµατα της λύσης σας. Απ: k = 5. Ασκηση 7 - Θεώρηµα Parseval - ΙΙ ίνεται το περιοδικό σήµα x(t) που έχει αναπτυχθεί σε σειρά Fourier ως x(t) = 1 + k=0 1 k + 1 cos(π(k + 1)f 0t) (6) Υπολογίστε την ισχύ που συνεισφέρουν οι πρώτοι 5 όροι (συµπεριλαµβανοµένου του σταθερού όρου). Επίσης, υπολογίστε το ποσοστό της ισχύος του σταθερού όρου στο αποτέλεσµα που ϐρήκατε. Απ: P x = 1.59, p = 6.8%. Ασκηση 8 - Παραγωγή Ηχούς στο MATLAB Κατά την παραγωγή και καταγραφή ήχου σε ένα χώρο όπου υπάρχουν πολλές ανακλάσεις, εµπόδια, κλπ., το σήµα του ήχου καταγράφεται ως άθροισµα πολλών διαφορετικών εκδόσεων (καθυστερήσεων) του σήµατος που επιστρέφουν µαζί στο µικρόφωνο, ως ηχώ, κατά την καταγραφή. Μπορούµε να µοντελοποιήσουµε την ηχώ ως ένα ΓΧΑ σύστηµα, το οποίο περιγράφεται από τη σχέση y(t) = x(t) + ax(t t d ) (7) µε a το πλάτος της ηχούς και t d τη ϑέση της στο χρόνο, δηλ. τη χρονική στιγµή που εµφανίζεται στο σήµα. (αʹ) Βρείτε την κρουστική απόκριση, h(t), του ΓΧΑ συστήµατος. Απ.: h(t) = δ(t) + aδ(t t d ) (ϐʹ) Θα µπορούσαµε να προσθέσουµε κι άλλα αντίγραφα της ηχούς, σε διαφορετικές χρονικές στιγµές και µε διαφορετικούς συντελεστές. Οπως µπορείτε εύκολα να καταλάβετε, ένα τέτοιο σύστηµα ϑα είναι της µορφής y(t) = x(t) + Βρείτε την κρουστική απόκριση, h(t), του παραπάνω συστήµατος. N a i x(t t i ) (8) (γʹ) Θα υλοποιήσουµε το παραπάνω σύστηµα παραγωγής ηχούς επάνω σε ένα οποιοδήποτε ηχητικό σήµα εισόδου. Θα υλοποιήσετε µια συνάρτηση στο MATLAB η οποία ϑα έχει την παρακάτω σύνταξη : [y_echo, h] = echo_filter_tostudents(signal, times, attenuations, fs) Τα ορίσµατα εξηγούνται στα σχόλια στο echo_filter_tostudents.m αρχείο που ϑα ϐρείτε στο site µαζί µε αυτήν την εκφώνηση. i=1
Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 016-17/Τέταρτη Σειρά Ασκήσεων (δʹ) Μια µικρή επεξήγηση για τη γραµµή 5. Επειδή όλα τα σήµατα που επεξεργαζόµαστε στον υπολογιστή είναι διακριτού χρόνου, δηλ. ορισµένα για συγκεκριµένες χρονικές τιµές (και όχι για κάθε t), εσείς πρέπει αρχικά να ορίσετε τις τιµές του διανύσµατος times που ϑέλετε να ακούγεται η ηχώ (σε δευτερόλεπτα), και να µετατρέψετε στη γραµµή 5 κάθε τιµή του διανύσµατος αυτού σε ακέραιες τιµές, δηλ. σε δείγµατα. Αυτό γίνεται αν λάβετε υπόψη σας ότι η συχνότητα δειγµατοληψίας fs ενός σήµατος σας λέει ότι σε ένα δευτερόλεπτο έχουν παρθεί fs δείγµατα του σήµατος. Άρα, για παράδειγµα, η χρονική στιγµή t 0 = 0.5 s αντιστοιχεί στο δείγµα διακριτού χρόνου fs/. Σε ποιά δείγµατα αντιστοιχούν οι δικές σας χρονικές στιγµές της ηχούς που ορίσατε στο διάνυσµα times; Αυτή τη µετατροπή πρέπει να γράψετε στη γραµµή 5. (εʹ) Μπορείτε να χρησιµοποιήσετε ένα οποιοδήποτε σήµα ϕωνής/µουσικής σε µορφή.wav για να ελέγξετε τη λειτουργία του συστήµατός σας. Απλά ϕροντίστε να µην είναι πολύ µεγάλης διάρκειας για να µην κρασάρετε το MATLAB. Για δική σας ευκολία, σας δίνονται δυο αρχεία µαζί µε τον κώδικα. Οι εντολές για να ϕορτώσετε ένα.wav σήµα στο MATLAB είναι : [signal, fs] = audioread( onoma-arxeiou.wav ); Η µεταβλητή fs πρέπει να δωθεί ως όρισµα στη συνάρτηση που παράγει την ηχώ. Παραδώστε συµπληρωµένο τον κώδικα MATLAB που σας δίνεται. Ασκηση 9 - Σειρές Fourier στο MATLAB Στην Άσκηση 3, υπολογίσαµε στο χαρτί µια σειρά Fourier. Ας δούµε πώς ϑα µπορούσαµε να επιβεβαιώσουµε την απάντησή µας στο MATLAB, και µε χρήση αυτού του κώδικα, να µπορούµε να σχηµατίζουµε τη σειρά Fourier οποιουδήποτε περιοδικού σήµατος. Εστω λοιπόν η σειρά Fourier x(t) = A + + Ο κώδικας MATLAB που την υλοποιεί είναι ο παρακάτω : %%%%%%%%%%%%%%%% SEIRA FOURIER %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Orizoume mia timh gia to A A = 1; % Diamerizoume ton a3ona tou xronou ana dt dt = 0.01; % Orizoume mia timh gia thn periodo T0 - opoia 8eloume T0 = 1; % Orizoume ton a3ona tou xronou ( periodoi) t = 0:dt:*T0; % Posa hmitona 8eloume? Estw 0... N = 0; % pollaplasia tou k me bhma 1 k = 1:1:N; % H mesh timh C0 = A/; A kπ cos(πkf 0t + π/) (9)
Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 016-17/Τέταρτη Σειρά Ασκήσεων 5 % Oi syntelestes twn synhmitonwn Ck = A./(k*pi); % Pra3h! (prose3te pws apofeugoume th xrhsh for loop) x = C0 + Ck*cos(*pi*k /T0*t + pi/); % Apeikonish plot(t, x); xlabel( Time (s) ); title( It works!!! ); %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Προγραµµατίστε στο MATLAB περιόδους από κάθε µια από τις παρακάτω σειρές Fourier, µε f 0 = 1/T 0 της δικής σας επιλογής, και παραδώστε τον κώδικα : (αʹ) x(t) = (ϐʹ) x(t) = 1 5 + + (γʹ) x(t) = (πk) cos(πkf 0t) kπεριττός (δʹ) x(t) = 3 + + (εʹ) x(t) = T 0 + sin(kπ/5) kπ πk sin(πkf 0t) cos(πkf 0 t) 1 kπ sin(πkf 0t) π (k 1) cos(π(k 1)f 0t) T 0 cos(πkf 0 t + π) Σχεδιάστε στο χαρτί ποιά πραγµατικά περιοδικά σήµατα πιστεύετε ότι προσπαθούν να προσεγγίσουν.