ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Στοιχείο Χωρικού Πλαισίου (S) 5 6 4 x 8 9 ( ) 7 0
F 4 5 6 7 8 9 0 u F 4 5 6 7 8 9 0 u F 4 5 6 7 8 9 0 u M 4 4 4 44 45 46 47 48 49 40 4 4 θ M 5 5 5 54 55 56 57 58 59 50 5 5 θ M = 6 6 6 64 65 66 67 68 69 60 6 6 θ F 7 7 7 74 75 76 77 78 79 70 7 7 u F 8 8 8 84 85 86 87 88 89 80 8 8 u F 9 9 9 94 95 96 97 98 99 90 9 9 u M 0 0 0 04 05 06 07 08 09 00 0 0 θ M 4 5 6 7 8 9 0 θ M 4 5 6 7 8 9 0 θ ή {A } = K [ ] [ ] {D } {A } [ ] [ ] {D } ή Στοιχείο Χωρικού Πλαισίου 4
Στοιχείο Χωρικού Πλαισίου 5 Το μητρώο στιβαρότητας με τη θεώρηση μικρών μετατοπίσεων έχει τη δομή F 0 0 0 0 0 7 0 0 0 0 0 u F 0 0 0 0 6 0 8 0 0 0 u F 0 0 0 5 0 0 0 9 0 0 u M 0 0 0 44 0 0 0 0 0 40 0 0 θ M 0 0 5 0 55 0 0 0 59 0 5 0 θ M = 0 6 0 0 0 66 0 68 0 0 0 6 θ F 7 0 0 0 0 0 77 0 0 0 0 0 u F 0 8 0 0 0 86 0 88 0 0 0 8 u F 0 0 9 0 95 0 0 0 99 0 9 0 u M 0 0 0 04 0 0 0 0 0 00 0 0 θ M 0 0 0 5 0 0 0 9 0 0 θ M 0 0 0 0 6 0 8 0 0 0 θ 6
7 F 0 0 0 0 0 0 0 0 F 5 9, F 44 4,0 M 0 0 0 0 0 0 5 55 59 5, M M 0 0 0 0 0 0 0 0 F 7 77 F 0 0 0 0 0 0 0 0 F 9 95 99 9, M 0,4 0,0 M,,5,9, M 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 u 6 8, 0 0 0 0 0 0 0 0 u u 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 θ 0 0 θ 6 66 68 6, = θ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 u 8 86 88 8, u 0 0 0 0 0 0 0 0 u 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 θ 0 0 0 0 0 0 0 0 θ θ,,6,8, { } = [ ]{ } A D 7 77 0 0 0 0 0 77 0 0 0 0 0 0 88 0 0 0,8 88 0 88 0 0 0,8 0 0 99 0,9 99 0 0 0 99 0,9 0 0 0 0 0,0 0 0 0 0 0 0,0 0 0 0 0,9 99 0,,9 + 99 0 0 0,9 + 99 0, +,9 0 0,8 88 0 0 0, +,8 + 88 0,8 + 88 0 0 0,,8 77 0 0 0 0 0 77 0 0 0 0 0 0 88 0 0 0,8 8,8 0 88 0 0 0,8 0 0 99 0,9 + 99 0 0 0 99 0,9 0 0 0 0 0,0 0 0 0 0 0 0,0 0 0 0 0,9 0, +,9 0 0 0,9 0, 0 0,8 0 0 0,,8 0,8 0 0 0, 8
Μετά την εφαρμογή των συνθηκών συμμετρίας και ισορροπίας το μητρώο στιβαρότητας παρουσιάζει την παρακάτω μορφή, όπου όλοι οι δείκτες στιβαρότητας έχουν εκφραστεί συναρτήσει των δεικτών του άνω τριγωνικού υπομητρώου () : 77 0 0 0 0 0 (- 77 0 0 0 0 0 0 88 0 0 0,8 + 88 0 (- 88 0 0 0 (-,8 K 0 0 99 0,9-99 0 0 0 (- 99 0 (-,9 0 ]= 0 0 0 0,0 0 0 0 0 0 (- 0,0 0 0 0 0, - 9 - (- 0,9 + 0 0 0,9 + (- 0, 99 99 +,9 99 0 0,8 +, + 0 0 0,8 + 0 (-,8 - (- 0 0 0, - 88 88,8 88 (- 77 0 0 0 0 0 77 0 0 0 0 0 0 (- 88 0 0 0 (- 8-88 0 88 0 0 0,8 0 0 (- 99 0 (-,9 + 99 0 0 0 99 0,9 0 0 0 0 (- 0,0 0 0 0 0 0 0,0 0 0 0 0 (-,9 0 (-, +,9 0 0 0,9 0, 0 0 (-,8 0 0 0 (-, -,8 0,8 0 0 0, 9 Ισχύουν (για στοιχείο S με σταθερή διατομή) 77 = EA/, = 4EI /, = 4EI / 88 = EI / 99 = EI / 8, = -6EI / 0,0 = GK/ 9, = 6EI / Ο στρεπτικός δείκτης στιβαρότητας 0,0 στρέψεως: προκύπτει από τη σχέση της M = - M = [ (θ - θ ) K G ] / όπου θ, θ είναι οι επιβαλλόμενες ακραίες στροφές, με μετρο διατμήσεως G και στρεπτική σταθερά της διατομής K. 0
Τοπικό Μητρώο Στιβαρότητας στοιχείου (S) σταθερής διατομής, από ισότροπο, γραμμικώς ελαστικό υλικό EA/ 0 0 0 0 0 -EA/ 0 0 0 0 0 0 EI / 0 0 0 6EI / 0 -EI / 0 0 0 6EI / 0 0 EI / 0-6EI / 0 0 0 -EI / 0-6EI / 0 0 0 0 GK/ 0 0 0 0 0 -GK/ 0 0 0 0-6EI / 0 4EI / 0 0 0 6EI / 0 EI / 0 []= 0 6EI / 0 0 0 4EI / 0-6EI / 0 0 0 EI / -EA/ 0 0 0 0 0 EA/ 0 0 0 0 0 0 -EI / 0 0 0-6EI / 0 EI / 0 0 0-6EI / 0 0 -EI / 0 6EI / 0 0 0 EI / 0 6EI / 0 0 0 0 -GK/ 0 0 0 0 0 GK/ 0 0 0 0-6EI / 0 EI / 0 0 0 6EI / 0 4EI / 0 0 6EI / 0 0 EI / 0-6EI / 0 0 0 4EI / Εσχάρες Φορέας: Eπίπεδος Φόρτιση: υνάμεις κάθετες στο επίπεδο του φορέα (F ) Ροπές επί του επιπέδου (M,Μ)
Εσχάρες Βαθμοί ελευθερίας στοιχείου Εσχάρας Επαυξητική αρίθμηση Αντίστοιχοι β.ε.στοιχείου S 6 Στοιχείο Επίπεδου Πλαισίου Στοιχείο Εσχάρας 5 4 (S) ( ) 8 9 7 0 x 6 x ( ) (P) x ( ) 8 7 (SG) x=x x=x 4
Στοιχεία Ραβδωτών Φορέων 5 4 5 6 7 8 9 0 EA EA 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 EI 6 EI EI 6 EI 0 0 0 0 0 0 0 0 EI 6EI EI 6EI 0 0 0 0 0 0 0 0 GK GK 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6EI 4EI 6EI EI 0 0 0 0 0 0 0 0 6EI 4EI 6EI EI 0 0 0 0 0 0 0 0 = EA EA 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 EI 6EI EI 6EI 0 0 0 0 0 0 0 0 EI 6EI EI 6EI 0 0 0 0 0 0 0 0 GK GK 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6EI EI 6EI 4EI 0 0 0 0 0 0 0 0 6EI EI 6EI 4EI 0 0 0 0 0 0 0 0 [ ] 4 5 6 7 8 9 0 6
έικτες Στιβαρότητας στοιχείου εσχάρας Επαυξητική αρίθμηση Αντίστοιχοι β.ε.στοιχείου S 7 Μετασχηματισμός διανυσμάτων {Α}, {D} από το τοπικό στο καθολικό σύστημα αξόνων Μητρώο Περιστροφής () F F () () φ φ F x 8/0 8
Μητρώο Περιστροφής στο επίπεδο φ () φ Στο επίπεδο έχουμε : x 9 Μητρώο Περιστροφής στον χώρο F F λ λ λ F F x 0
Χωρικό Πλαίσιο Μητρώο Μετασχηματισμού Μητρώο Περιστροφής {w} = {u} x {v} Επομένως έχουμε :
Χωρικό ικτύωμα Μητρώο Μετασχηματισμού u u u ( ) u u u u u x F F F F ( ) F F F F x F x Καθολικό Σύστημα x Τοπικό Σύστημα (6) (6x6) (6) () () () Χωρικό ικτύωμα Μητρώο Περιστροφής [Λ ST ] [Λ Τ ST ] [Λ SST ] [Λ SST ] Τ 4
u u ( ) x F F F u u u u F F F F Τοπικό Μητρώο Στιβαρότητας: - [ () ]= EA/ - Όμως θα είναι : Καθολικό Μητρώο Στιβαρότητας : [ () ] = x x x x (6x6) 6) (6) () ) (x6) 5