ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραα Σπουδών: ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεατική Ενότητα: ΕΟ-3 Ποσοτικές Μέθοδοι Περίηψη της Ύης της Επιχειρησιακής Έρευνας Ακαδηαϊκό Έτος 003-004
Πρόογος Το φυάδιο που έχετε στα χέρια σας αποτεεί περίηψη της ύης της Επιχειρησιακής Έρευνας και φυσικά δεν στοχεύει στο να αντικαταστήσει ε κανένα τρόπο το επίσηο υικό που πρέπει να εετήσετε σχετικά ε αυτό το θεατικό αντικείενο στα παίσια των υποχρεώσεών σας στη ΕΟ3 Τα εγχειρίδια, για το ακαδηαϊκό έτος 003-004, είναι οι Σηειώσεις Γραικού Προγραατισού, τη νέα έκδοση των οποίων θα πρέπει να «κατεβάσετε» από την ιστοσείδα του ΕΑΠ και ο Τόος Γ του ΕΑΠ, ε τίτο «Επιχειρησιακή Έρευνα» Η περίηψη αυτή είναι χρήσιη για ία πρώτη ανάγνωση και γνωριία ε τα βασικά στοιχεία της ύης που πρέπει να καύψετε για το συγκεκριένο θεατικό αντικείενο και ως περίηψη, ενδείκνυται να τη διαβάσετε πρώτη Υπάρχουν και άα βοηθητικά κείενα για την Επιχειρησιακή Έρευνα, τα οποία έχουν ως σκοπό να σας βοηθήσουν στην πηρέστερη κατανόηση του αντικειένου Συνοικά, στην ιστοσείδα του ΕΑΠ θα βρείτε: Παροράατα Τυποόγιο Επιχειρησιακής Έρευνας (θεωρία ουρών αναονής, θα σας δοθεί και στις εξετάσεις) 3 Οδηγίες εέτης Επιχειρησιακής Έρευνας (ε ακριβή περιγραφή της ύης) 4 Απαντήσεις σε συχνές ερωτήσεις Επιχειρησιακής Έρευνας (για το Γραικό Προγραατισό) 5 Τις σηειώσεις του Γραικού Προγραατισού που αναφέρθηκαν παραπάνω Επίσης, ο Γ' τόος του ΕΑΠ σας έχει σταεί ταχυδροικά Επιπέον, ταχυδροικά σας έχει αποσταεί και ο οδηγός εέτης του βιβίου του επορίου (Οικονόου, Γ Σ και Α Κ Γεωργίου, "Ποσοτική Ανάυση για τη Λήψη ιοικητικών Αποφάσεων", τόος Α), ο οποίος όως δεν θα σας φανεί χρήσιος αφού το βιβίο αυτό δεν διδάσκεται κατά το τρέχον ακαδηαϊκό έτος Αντί του βιβίου αυτού, έχετε τις σηειώσεις του Γραικού Προγραατισού Τέος, υπογραίζουε ότι η προσεκτική εέτη των θεάτων των εργασιών και των εξετάσεων των προηγουένων ακαδηαϊκών ετών, η επίυσή τους, θεωρώντας τις ως επιπέον ασκήσεις αυτοαξιοόγησης και ακοούθως η σύγκριση των απαντήσεων σας ε τις απαντήσεις που παρέχονται στην ιστοσείδα του ΕΑΠ, αποτεεί ένα ακόη σηαντικό βοηθητικό στοιχείο για τη κατανόηση του θεατικού αντικειένου Νικόαος Μπάτης Καθηγητής Πηροφορικής ΤΕΙ Λάρισας Ιωάννης Γκανάς Καθηγητής Εφαρογών ΤΕΙ Ηπείρου Ανδρέας Κ Γεωργίου Αναπηρωτής Καθηγητής Επιχειρησιακής Έρευνας Πανεπιστήιο Μακεδονίας Φεβρουάριος 004
Επιχειρησιακή Έρευνα Εισαγωγή Επιχειρησιακή Έρευνα (Operatio Reearch) Η επιστήη που ασχοείται ε τη βετιστοποίηση (optimizatio) της απόδοσης ενός συστήατος Πρόκειται για ένα σύνοο από τεχνικές, οι οποίες χρησιοποιώντας (αθηατικά) οντέα, δηιουργούν ια ποσοτική και ορθοογιστική βάση για τη ήψη αποφάσεων ε σκοπό τη βετιστοποίηση της ειτουργίας του υπό εέτη συστήατος Για το όγο αυτό χαρακτηρίζεται συχνά και ε τους όρους Ποσοτική Ανάυση (Quatitative Aalyi) ή ιοικητική Επιστήη (Maagemet Sciece) Σύστηα Σύνοο οντοτήτων (ανθρώπινο δυναικό, ηχανές, κεφάαια κα) που αηοεπιδρούν (κανόνες) και συνεργάζονται εταξύ τους για την επίτευξη κάποιου στόχου (πχ επιχείρηση, οργανισός) Μοντέο (model) Αναπαράσταση ή απεικόνιση των πέον σηαντικών ειτουργικών σχέσεων και χαρακτηριστικών ενός συστήατος, ε την οποία καθίσταται δυνατή η ανάυσή του Μαθηατική Μοντεοποίηση Συστηάτων (mathematical modelig) Χρήση αθηατικών συβόων και σχέσεων για την αναπαράσταση περιγραφή του υπό εέτη συστήατος Συστατικά στοιχεία ενός αθηατικού οντέου: ) εταβητές απόφασης (εέγχου) (deciio variable): δοικά στοιχεία του προβήατος Καθορίζονται από τον αναυτή (ήπτη αποφάσεων) και αντιπροσωπεύουν τις αποφάσεις που πρέπει να ηφθούν ) αντικειενική συνάρτηση (objective fuctio): κριτήριο απόδοσης/επιογής (performace meaure) του υπό εέτη συστήατος, εκφρασένο ως ια αθηατική συνάρτηση των εταβητών απόφασης 3) παράετροι (parameter - συντεεστές, σταθερές): ετρήσια στοιχεία, γνωστά ή εκτιούενα εκ των προτέρων 4) περιορισοί (cotrait): αθηατικές σχέσεις (εξισώσεις ή ανισώσεις) που πρέπει να ικανοποιούν οι τιές των εταβητών ώστε να απεικονίζονται στο οντέο οι συνθήκες ειτουργίας του συστήατος Επιθυητές ιδιότητες ενός αθηατικού οντέου απότητα (imple) πηρότητα (complete) 3 ευκοία χρήσης (eay maipulatio) 4 προσαροστικότητα (adaptive) 5 ευκοία επικοινωνίας (eay commuicatio) 6 χρησιότητα (uefule), κατάηο ως προς το κόστος και το χρόνο (appropriate) και σχετικό ως προς τις πηροφορίες (relevat) 3
Παράδειγα Θεωρήστε ια βιοηχανία γάακτος που σχεδιάζει την ηερήσια γραή παραγωγής της Ποές είναι οι εταβητές που υπάρχουν σε ένα τέτοιο παραγωγικό σύστηα Μεταξύ αυτών εύκοα πορεί κάποιος να αναφέρει την ποσότητα των διαφόρων προϊόντων (είδη γάακτος, τυριού και γιαουρτιού) που παράγονται Συβοίζουε ε: x την ποσότητα (lit) πήρους γάακτος που θα παραχθεί, x την ποσότητα (lit) άπαχου γάακτος που θα παραχθεί, και x 3 την ποσότητα (kg) τυριού φέτας που θα παραχθεί, (το γράα x χρησιοποιείται συνήθως για την αναπαράσταση ιας εταβητής ενώ ε τη χρήση του δείκτη i,, επιτυγχάνεται η εταξύ τους διάκριση) Το αθηατικό πρόβηα αφορά τον εντοπισό τιής για την κάθε εταβητή απόφασης ώστε να επιτυγχάνεται κάποιος στόχος Απαιτείται δηαδή η ύπαρξη κάποιου στόχου προς επίτευξη Ο στόχος αυτός πορεί να αφορά τη εγιστοποίηση του κέρδους, την καύτερη αξιοποίηση του εργατικού δυναικού, ή την εαχιστοποίηση του κόστους, της υπερωριακής απασχόησης, κτ Στο παράδειγά ας, ως στόχος θα πορούσε να καθοριστεί η εγιστοποίηση του ηερήσιου περιθωρίου κέρδους Συνεπώς, αναζητούνται εκείνες οι τιές των εταβητών εέγχου οι οποίες θα βετιστοποιήσουν το κριτήριο απόδοσης στόχος που ορίζεται σε αυτό το στάδιο της οντεοποίησης Στη συνέχεια, θα πρέπει να προσδιοριστεί και να καταγραφεί ένας τρόπος έκφρασης του συνοικού κέρδους της γαακτοβιοηχανίας, ως συνάρτηση όων των εταβητών απόφασης (ποσότητες προϊόντων που παρασκευάζονται), εκτιώντας τη συνεισφορά του καθενός χωριστά Ο στόχος που ορίστηκε πρέπει να επιτευχθεί αβάνοντας υπόψη τις συνθήκες ειτουργίας του υπό εέτη συστήατος Η περιορισένη ανεπάρκεια των πόρων του συστήατος (πχ περιορισένες πρώτες ύες, διαθέσιες ώρες εργατικού δυναικού, διαθέσια κεφάαια κπ), η απορροφητικότητα της αγοράς, οι συφωνίες ε προηθευτές και αγοραστές, οι χρόνοι παράδοσης των παραγόενων προϊόντων, κτ δηιουργούν αυτές τις συνθήκες Εάν η γαακτοβιοηχανία ήταν σε θέση να εξασφαίσει απεριόριστη πρώτη ύη και παραγωγική δυναικότητα, καθώς επίσης και ονοπωιακή παρουσία στην αγορά, θα εκτόξευε τα κέρδη της στο άπειρο Στην πραγατικότητα όως, αυτό δεν πορεί να συβεί ποτέ! Στο στάδιο αυτό της οντεοποίησης, πρέπει να προσδιοριστούν και να καταγραφούν, ως συνάρτηση των εταβητών απόφασης, οι παράγοντες εκείνοι οι οποίοι επιβάουν όρια στις τιές τους και συνεπώς, και στην τιή του κριτηρίου επίδοσης του συστήατος (κέρδος) Οι (αθηατικές) σχέσεις που αντιπροσωπεύουν τους περιορισούς είναι συνήθως ανισότητες της ορφής «δεν πορεί να είναι εγαύτερο ( ) ή ικρότερο ( )» από κάποια συγκεκριένη τιή, ή «πρέπει να ισούται ε» κάποια συγκεκριένη τιή 4
Όα τα υπόοιπα στοιχεία του οντέου που χρησιοποιούνται για να οοκηρωθούν οι σχέσεις εταξύ των εταβητών απόφασης ονοάζονται παράετροι Το κέρδος ή το κόστος ανά ονάδα προϊόντος, η (προβεπόενη) ζήτηση της αγοράς, η διαθεσιότητα των πρώτων υών, η απαιτούενη ποσότητα εκάστης εξ αυτών για την παραγωγή ιας ονάδας προϊόντος, είναι ερικά χαρακτηριστικά παραδείγατα παραέτρων ενός οντέου για συστήατα τα οποία οντεοποιούνται από το γραικό οντέο Οι τιές των παραέτρων θεωρούνται γνωστές και αετάβητες Γραικός Προγραατισός (Liear Programmig) Αποτεεί ία από τις πέον διαδεδοένες τεχνικές της Επιχειρησιακής Έρευνας που χρησιοποιείται ευρύτατα για την κατάρτιση βέτιστων σχεδίων κατανοής περιορισένων πόρων (πχ εργασία, πρώτες ύες, δυναικότητα, διαθέσια κεφάαια) ενός συστήατος, σε εναακτικές και ανταγωνιζόενες εταξύ τους δραστηριότητες (πχ παραγωγή διαφορετικών προϊόντων), συβάοντας έτσι αποτεεσατικά στη ήψη βέτιστων επιχειρηατικών αποφάσεων Είναι η αθηατική εθοδοογία (σύνοο των υποογιστικών τεχνικών - αθηατικές έθοδοι) που χρησιοποιείται για τη βετιστοποίηση (εγιστοποίηση ή εαχιστοποίηση) ιας γραικής συνάρτησης (παριστάνει το κριτήριο επίδοσης του συστήατος), της οποίας οι εταβητές απαιτείται να ικανοποιούν ένα σύστηα γραικών περιορισών (ανισότητες ή/και εξισώσεις) που αντιπροσωπεύουν τις συνθήκες κάτω από τις οποίες αυτή επιχειρείται Το υπόδειγα (οντέο) του Γραικού Προγραατισού Αφού διατυπωθούν όες οι σχέσεις και συνθήκες σε φυσική γώσσα (αυτό καείται εννοιοογικό ή προφορικό οντέο - verbal model), θα πρέπει να ετατραπούν σε αθηατικές σχέσεις που να είναι σε θέση να εκφράσουν τις συγκεκριένες πτυχές του συστήατος που προσεγγίζουε Υπενθυίζουε ότι κάθε οντέο αποτεεί ία προσπάθεια αποίησης της ειτουργίας ενός πραγατικού συστήατος, εποένως ε την επίυση του οντέου εφαρόζοντας κάποια συστηατική αθηατική εθοδοογία, πορεί κανείς να καταήξει σε προτάσεις προς την κατεύθυνση της βετιστοποίησης της ειτουργίας του συστήατος από τις οποίες προέκυψε και το αρχικό πρόβηα Στο γραικό προγραατισό, οι αθηατικές σχέσεις που συνδέουν εταξύ τους τις διάφορες εταβητές του προβήατος πρέπει να είναι γραικές Αυτό πρακτικά σηαίνει ότι όπου εφανίζεται ία εταβητή σε κάθε συνάρτηση του οντέου, δεν είναι υψωένη σε καία δύναη εκτός από την ονάδα, και ότι δεν υπάρχουν γινόενα εταξύ των εταβητών, ούτε άου είδους συναρτήσεις των εταβητών όπως εκθετική ογαριθική, ρίζες κπ 5
εδοένα και σύβοα θεωρητικού υποδείγατος Γραικού Προγραατισού ραστηριότητα j Πόρος i 3 εξιό 3 a a a 3 a a a 3 a 3 a 3 a 33 έος a b a b a 3 b 3 m Z επίπεδο a m a m a m3 m c c c 3 X X X 3 a b m c X Βετιστοποίηση (max ή mi) της αντικειενικής συνάρτησης (objective fuctio) Z (c x + c x + c 3 x 3 + + c x ) κάτω από περιορισούς: a x + a x + a 3 x 3 + + a x [,, ] b a x + a x + a 3 x 3 + + ax [,, ] b a m x + a m x + a m3 x 3 + + a m x [,, ] b m x, x, x 3,, x 0 όπου: m : πήθος περιορισών προβήατος (πόροι, ζήτηση, απαιτήσεις) : πήθος ανταγωνιζόενων δραστηριοτήτων (πχ οι ποσότητες παραγωγής τριών προϊόντων γάακτος) x j : επίπεδο δραστηριότητας (εταβητές απόφασης), j,,, (πχ x ποσότητα παραγόενου προϊόντος ) Z : το συνοικό έτρο απόδοσης (τιή της αντικειενικής συνάρτησης) c j : ο αντικειενικός συντεεστής της x j, (πχ οναδιαίο περιθώριο κέρδους της δραστηριότητας j), j,,, b i : το δεξιό έος του περιορισού i (πχ ποσότητα διαθέσιου πόρου), i,,, m a ij : τεχνοογικός συντεεστής (πχ η ποσότητα που καταναώνεται απαιτείται από τον πόρο i για να παραχθεί ία ονάδα του προϊόντος j), i,,, m και j,,, 6
Επίσης άα στοιχεία βασικής οροογίας είναι: Λύση (olutio): κάθε συνδυασός τιών των εταβητών απόφασης του προβήατος (εποένως ία ύση δεν είναι κατ ανάγκη ή άριστη ύση στο πρόβηα) Εφικτή ύση (feaible olutio): κάθε συνδυασός τιών των εταβητών απόφασης που ικανοποιεί όους τους περιορισούς του προβήατος Βέτιστη ύση (optimal olutio): η εφικτή ύση που βετιστοποιεί (εγιστοποιεί ή εαχιστοποιεί) την τιή της αντικειενικής συνάρτησης Για να χρησιοποιηθεί ένα οντέο (υπόδειγα) γραικού προγραατισού θα πρέπει αρχικά να εεγχθεί εάν πορεί να εκφραστεί ε τη ορφή γραικών σχέσεων (συναρτήσεων), που σηαίνει ότι ικανοποιούνται οι παρακάτω θεειώδεις παραδοχές - αρχές: Αρχή της αναογικότητας (proportioality) το γεγονός ότι η αντικειενική συνάρτηση είναι γραική σηαίνει ότι η συνεισφορά στη συνοική τιή του z από ία εταβητή απόφασης είναι ανάογη (γραικά) της τιής που παίρνει η εν όγω εταβητή Αρχή της αθροιστικότητας (additivity) a όσον αφορά την αντικειενική συνάρτηση αυτό σηαίνει ότι η συνεισφορά κάθε εταβητής απόφασης στην τιή του z είναι ανεξάρτητη από τις τιές που παίρνουν οι άες εταβητές απόφασης b όσον αφορά τους περιορισούς, η αθροιστικότητα σηαίνει ότι η κατανάωση από ία εταβητή απόφασης ενός πόρου στο αριστερό έος ενός περιορισού, είναι ανεξάρτητη από τις τιές που παίρνουν οι άες εταβητές (οι δύο προηγούενες παραδοχές διασφαίζουν ότι το οντέο θα είναι γραικό και ως προς την αντικειενική συνάρτηση και ως προς τους περιορισούς) 3 Η αρχή της διαιρετότητας (diviibility) όες οι εταβητές θεωρούνται συνεχείς, δηαδή πορούν να πάρουν κασατικές τιές (εξασφαίζει τη δυνατότητα επίυσης του προβήατος ε τη έθοδο implex) 4 Η αρχή της προσδιοριστικότητας (certaity) οι τιές των παραέτρων του προβήατος θεωρούνται γνωστές (για την εφαρογή της εθόδου implex είναι απαραίτητο όες οι παράετροι να είναι γνωστές) Γραφική Επίυση Προβηάτων (οντέων) Γραικού Προγραατισού (πγπ) Στο στάδιο αυτό πορείτε να προχωρήσετε εφόσον πρώτα οοκηρώσετε τη σαφή διατύπωση του προβήατος, τη συογή και ανάυση δεδοένων για την εκτίηση των σηαντικών παραέτρων που διέπουν τη ειτουργία του συστήατος και τη 7
διαόρφωση του οντέου που περιγράφει το σύστηα τουάχιστον σε σχέση ε τις πτυχές που ας ενδιαφέρει να αναύσουε περαιτέρω Συνήθως ακοουθεί η φάση εέγχου της εγκυρότητας του οντέου και εποένως εγκαθίδρυσης της αξιοπιστίας του πριν να επιυθεί, ώστε τα αποτεέσατα να χρησιοποιηθούν για τη βετιστοποίηση της ειτουργίας του πραγατικού συστήατος, δηαδή για τη ήψη της άριστης απόφασης Οποιοδήποτε πρόβηα γραικού προγραατισού ε δύο όνο εταβητές πορεί να υθεί γραφικά Το αρχικό στάδιο της γραφικής επίυσης του προβήατος περιαβάνει τον προσδιορισό του εφικτού χώρου (συνόου εφικτών ύσεων εφικτή περιοχή), δηαδή τον προσδιορισό των σηείων (x, x ) του επιπέδου που ικανοποιούν όους τους περιορισούς του προβήατος ταυτόχρονα Για τη δηιουργία του χώρου των εφικτών ύσεων ακοουθείται η παρακάτω διαδικασία: Αντιστοιχούε τις τιές των εταβητών x και x σε ένα σύστηα καρτεσιανών συντεταγένων: ο οριζόντιος άξονας παριστά τις τιές της x και ο κάθετος τις τιές της x Επειδή οι εταβητές παίρνουν τιές εγαύτερες ή ίσες του ηδενός χρησιοποιείται όνο το πρώτο τεταρτηόριο όπου η αρχή των αξόνων παριστά τη ύση (x, x) (0, 0) Η ύση αυτή σπανίως είναι η βέτιστη Για παράδειγα, για ένα πρόβηα παραγωγής δύο προϊόντων παριστάνει την περίπτωση να ην παράγεται τίποτε (!) Κάθε ύση του προβήατος η οποία ικανοποιεί τη συνθήκη η αρνητικότητας των εταβητών είναι σηείο του θετικού (πρώτου) τεταρτηορίου Η επόενη φάση της γραφικής επίυσης αφορά τη διαδοχική χάραξη των ευθειών των περιορισών (περιοριστικές ευθείες) ε παράηη σκιαγράφηση της εφικτής περιοχής (feaible regio - κοινή περιοχή όων των περιορισών) Πιο συγκεκριένα: i Υποθέστε, ότι το πρόβηα έχει m γραικούς περιορισούς Κάθε περιορισός i, όπου i,,m, έχει τη ορφή aix +a i x [,,] b i Χαράσσουε την αντίστοιχη (περιοριστική όπως ονοάζεται) ευθεία: a i x + a i x b i ii Το σύνοο των σηείων (x, x ) που ικανοποιούν τον τυχαίο γραικό περιορισό a i x +a i x [,,] b i, σχηατίζεται από τα σηεία της αντίστοιχης ευθείας a i x + a i x b i, αζί ε όα τα σηεία που βρίσκονται στη ια πευρά της iii Για να προσδιορίσετε τη συγκεκριένη πευρά, διαέγετε ένα τυχαίο σηείο Ρ(x, x ) το οποίο δεν βρίσκεται επάνω στην ευθεία a i x + a i x b i Αν ικανοποιεί τον περιορισό, τότε και όα τα σηεία της περιοχής που βρίσκεται από την πευρά της ευθείας που βρίσκεται και το Ρ(x, x ), ικανοποιούν τον περιορισό 3 Έχοντας κατασκευάσει την περιοχή των εφικτών ύσεων, πορείτε να προχωρήσετε στον υποογισό της βέτιστης ύσης χρησιοποιώντας εναακτικά δύο προσεγγίσεις: i χαράσσοντας την ευθεία της αντικειενικής συνάρτησης Z c x + c x για αυθαίρετη τιή Ζ (ευθεία ίσου κέρδους/κόστους ή ισοσταθική ευθεία) και 8
ετακινώντας την παράηα προς την κατεύθυνση βετίωσης της τιής (αύξησης σε προβήατα εγιστοποίησης, είωσης σε προβήατα εαχιστοποίησης) της αντικειενικής συνάρτησης Κάθε σηείο της εφικτής περιοχής στο οποίο τένονται δύο περιοριστικές ευθείες ονοάζεται κορυφή ή ακραίο σηείο (vertex, extreme poit), και ανήκει στην εφικτή περιοχή καθώς βρίσκεται πάνω στο σύνορό της Η κορυφή από την οποία διέρχεται η αντικειενική συνάρτηση πριν αποακρυνθεί από την εφικτή περιοχή είναι η βέτιστη ύση (optimal olutio) του προβήατος και είναι φυσικά ία εκ των εφικτών ύσεων Σηειώνεται ότι αποδεικνύεται αθηατικά, ότι η βέτιστη ύση ενός πγπ είναι ια από τις κορυφές της εφικτής περιοχής ii υποογίζοντας τις συντεταγένες όων των κορυφών της εφικτής περιοχής και επιέγοντας εκείνη που εγιστοποιεί ή εαχιστοποιεί την αντικειενική συνάρτηση αναόγως του κριτηρίου απόδοσης Ένα πρόβηα γραικού προγραατισού πορεί να έχει ία ή άπειρες βέτιστες ύσεις Μπορεί ακόη να ην έχει καία εφικτή ύση (γεωετρικά αυτό σηαίνει ότι η εφικτή περιοχή είναι το κενό σύνοο δηαδή οι περιορισοί δε συναηθεύουν πουθενά) Μία τεευταία περίπτωση αποτεεί ένα η φραγένο πρόβηα (δηαδή η τιή Ζ της αντικειενικής συνάρτησης πορεί να πάρει οποιαδήποτε εγάη ή ικρή τιή σε πρόβηα εγιστοποίησης ή εαχιστοποίησης αντίστοιχα) Στην περίπτωση αυτή το πιθανότερο είναι η ύπαρξη κάποιου σφάατος στην προσέγγιση του προβήατος κατά τη δηιουργία του γραικού οντέου που χρησιοποιείται για την αναπαράστασή του (στην πράξη δεν υπάρχουν η φραγένα προβήατα, καθώς επιδιώκεται πάντα, στα έτρα του εφικτού, η εύρεση ιας πεπερασένης ύσης) Επίυση Προβηάτων Γραικού Προγραατισού (πγπ) ε τη Mέθοδο Simplex Η έθοδος implex αποτεεί το σηαντικότερο εργαείο του γραικού προγραατισού και ία από τις εγαύτερες αθηατικές επινοήσεις του εικοστού αιώνα Πρόκειται για ια γρήγορη και αποτεεσατική αγεβρική έθοδο επίυσης (προσδιορισού της βέτιστης ύσης) προβηάτων γραικού προγραατισού ανεξαρτήτως πήθους εταβητών Η εξέιξη της τεχνοογίας των προσωπικών υποογιστών σε επίπεδο υικού και ογισικού, οδήγησε στην ευρεία χρήση της εθόδου και από η ειδικούς έτσι ώστε να αποτεεί την πιο γνωστή και διαδεδοένη ποσοτική έθοδο επίυσης διοικητικών προβηάτων Χρησιοποιώντας τη έθοδο implex το οντέο παριστάνεται από ένα πίνακα implex (implex tableau) Με στοιχειώδεις πράξεις εταξύ των γραών του πίνακα ο αγόριθος οδηγείται στη διαόρφωση νέων πινάκων implex, έχρι να φτάσει στον εντοπισό της βέτιστης ύσης Η implex βασίζεται στο γεγονός ότι η βέτιστη ύση είναι ία από τις κορυφές της εφικτής περιοχής Η τεχνική, ξεκινώντας από την αρχή 9
των αξόνων (δηαδή από το σηείο όπου όες οι εταβητές απόφασης έχουν ηδενική τιή), διερευνά τις κορυφές της εφικτής περιοχής (δηαδή κάθε ενδιάεσος πίνακας implex αντιστοιχεί σε ια κορυφή) και τεικά εντοπίζει την καύτερη κορυφή υϊκή Θεωρία (Duality Theory) υϊκό (dual) - Πρωτεύον (primal) πγπ Κάθε πρόβηα γραικού προγραατισού συνδέεται ε ένα νέο πρόβηα το οποίο ονοάζεται δυϊκό (dual), ενώ το αρχικό πρόβηα ονοάζεται πρωτεύον (primal) Το δυϊκό πρόβηα παρέχει σηαντικές πηροφορίες οικονοικού χαρακτήρα σχετικά ε τη βέτιστη ύση του πρωτεύοντος προβήατος, διευρύνοντας τον κύκο των αποτεεσάτων στην περιοχή της οριακής οικονοικής ανάυσης Ενώ το πρωτεύον πγπ διαπραγατεύεται το πρόβηα εντοπισού βέτιστου προγράατος που εγιστοποιεί το συνοικό κέρδος ή εαχιστοποιεί το συνοικό κόστος, το δυϊκό οντέο από την άη πευρά διαπραγατεύεται ακριβώς το ίδιο πρόβηα από την πευρά των πόρων Ποές φορές δυνατό αά και σηαντικότερο για την επιχείρηση να πορεί να εξασκήσει έεγχο στους διαθέσιους πόρους και στον τρόπο ε τον οποίο συνεισφέρουν στο κέρδος Το δυϊκό πγπ (και η ύση του) συνδράει στη θεώρηση το ιδίου προβήατος από την πευρά της αξίας των πόρων που χρησιοποιούνται στο βέτιστο πρόγραα και πορεί να βοηθήσει στη ήψη αποφάσεων σχετικά ε την απόκτηση ή η επιπέον πόρων Κατασκευή του δυϊκού πγπ Το δυϊκό πγπ πορεί να κατασκευαστεί από οποιοδήποτε αρχικό πγπ χρησιοποιώντας τους παρακάτω κανόνες: Το δυϊκό πγπ είναι ένα πρόβηα εαχιστοποίησης όταν το πρωτεύον είναι πρόβηα εγιστοποίησης (και αντίστροφα) Σε κάθε περιορισό του πρωτεύοντος πγπ αντιστοιχεί ια εταβητή του δυϊκού προβήατος Το δυϊκό πγπ έχει τόσες εταβητές απόφασης (πήθους m) όσοι και οι περιορισοί του πρωτεύοντος οι οποίες ονοάζονται δυϊκές εταβητές (dual variable) 3 Αν ένας περιορισός i (i,,, m) του αρχικού πγπ είναι της ορφής η w 0 αντίστοιχη δυϊκή εταβητή θα είναι η αρνητική δηαδή w i Εάν ένας περιορισός i του αρχικού είναι της ορφής η αντίστοιχη δυϊκή εταβητή w θα είναι η θετική δηαδή w 0 i Εάν ένας περιορισός i του αρχικού προβήατος είναι ισότητα, η αντίστοιχη δυϊκή w εταβητή δε θα περιορίζεται ως προς το πρόσηο δηαδή w R i 4 Σε κάθε εταβητή απόφασης του πρωτεύοντος πγπ αντιστοιχεί ένας δυϊκός περιορισός - το δυϊκό πγπ έχει τόσους περιορισούς (πήθους ) όσες και οι 0 i i i
εταβητές απόφασης του πρωτεύοντος 5 Εάν ία εταβητή απόφασης του αρχικού είναι η αρνητική δηαδή x 0 (j,,, ), τότε ο αντίστοιχος περιορισός του δυϊκού είναι της ορφής Εάν ία εταβητή απόφασης του αρχικού είναι η θετική δηαδή αντίστοιχος περιορισός του δυϊκού είναι της ορφής j x j 0, τότε ο Εάν ία εταβητή απόφασης του αρχικού δεν περιορίζεται ως προς το πρόσηο δηαδή x j R, τότε ο αντίστοιχος περιορισός του δυϊκού είναι ισότητα 6 Οι συντεεστές της αντικειενικής συνάρτησης του δυϊκού πγπ προκύπτουν από τα δεξιά έη των περιορισών του αρχικού πγπ, (b,b,, b m ) 7 Τα δεξιά έη των περιορισών του δυϊκού πγπ προκύπτουν από τους αντικειενικούς συντεεστές του πρωτεύοντος πγπ (c, c,, c ) Ο τρόπος αντιστοίχισης των εταβητών του ενός προβήατος ε τους περιορισούς του άου, καθώς και η σχέση εταξύ των δοών του πρωτεύοντος πγπ και του δυϊκού του, αποδίδονται παραστατικά στο παρακάτω σχήα: Παράδειγα οικονοική ερηνεία του δυϊκού πγπ Θεωρούε ια βιοηχανία Π, η οποία χρησιοποιεί τρεις πρώτες ύες R, R και R 3 για την παραγωγή τεσσάρων προϊόντων P, P, P 3 και P 4 Θεωρούε επίσης ότι υπάρχει ια άη βιοηχανία η οποία χρησιοποιεί τις ίδιες πρώτες ύες R, R και R 3 ε τη βιοηχανία Π και η οποία για όγους που σχετίζονται ε τις ανάγκες της παραγωγής της, επιθυεί να αυξήσει τα αποθέατα των τριών αυτών πρώτων υών Η βιοηχανία σχεδιάζει την αγορά των αποθεάτων πρώτων υών της βιοηχανίας Π, έναντι συφέροντος τιήατος και για τις δύο βιοηχανίες Προς την κατεύθυνση αυτή η βιοηχανία πρέπει να προσφέρει στη βιοηχανία Π τέτοιες τιές ώστε η βιοηχανία Π να προτιήσει να πωήσει τα αποθέατά της σε πρώτες ύες αντί να τα χρησιοποιήσει για την παραγωγή προϊόντων Η προσφορά της βιοηχανίας είναι συνοικά ανταγωνιστική στο βαθό που το εισόδηα y (τιή της αντικειενικής συνάρτησης του δυϊκού πγπ-yb w +b w + +b m w m ) της βιοηχανίας Π από την πώηση των πρώτων υών της στη βιοηχανία
είναι τουάχιστον ίσο ε το κέρδος z (τιή της αντικειενικής συνάρτησης του πρωτεύοντος πγπ - z c x +c x + +c x ) που θα είχε η βιοηχανία Π, αν χρησιοποιούσε τις πρώτες ύες της για την παραγωγή προϊόντων Ο συογισός αυτός οδηγεί στη ονόπευρη ανισότητα z y, η οποία είναι γνωστή ως ασθενής δυϊσός (weak duality) Άεση συνέπεια του ασθενούς δυϊσού είναι ότι οι τιές των αντικειενικών συναρτήσεων των δύο προβηάτων (πρωτεύον και δυϊκό) για τις βέτιστες ύσεις τους, πρέπει να είναι ίσες δηαδή, εαν συνάρτησης του πρωτεύοντος πγπ και συνάρτησης του δυϊκού πγπ, ισχύει * z * z * y είναι η έγιστη τιή της αντικειενικής είναι η εάχιστη τιή της αντικειενικής * y Η ισότητα αυτή αναφέρεται ως ισχυρός δυϊσός (trog duality) και ρυθίζει τη σχέση εταξύ του πρωτεύοντος προβήατος που είναι πρόβηα εγιστοποίησης και του δυϊκού του που είναι πρόβηα εαχιστοποίησης Η έγιστη τιή της αντικειενικής συνάρτησης του πρωτεύοντος προβήατος εγιστοποίησης είναι ίση ε την εάχιστη τιή της αντικειενικής συνάρτησης του δυϊκού του, το οποίο είναι ένα πρόβηα εαχιστοποίησης Συνεπώς, εταξύ των βέτιστων ύσεων των δύο προβηάτων, δηαδή εταξύ παραγωγής και πώησης των πρώτων υών, η βιοηχανία Π δεν έχει κανένα δίηα επιογής Εκτός από τη σχέση εταξύ των βέτιστων τιών των αντικειενικών συναρτήσεων των δύο προβηάτων, υπάρχει ια ακόη σχέση ε ιδιαίτερη οικονοική σηασία * * εταξύ των βέτιστων τιών των εταβητών του πρωτεύοντος (x x,, x * * δυϊκού ( w w,, w *, m ) πγπ *, ) και του Η σχέση αυτή η οποία εκφράζει την ισορροπία ή οικονοική ευστάθεια εταξύ των βέτιστων ύσεων των δύο προβηάτων αποτεεί το γνωστό θεώρηα ισορροπίας ή θεώρηα του συπηρωατικού περιθωρίου ή της συπηρωατικής χααρότητας Σύφωνα ε το θεώρηα αυτό, εάν στη βέτιστη ύση, ια εταβητή του ενός προβήατος είναι θετική, τότε ο αντίστοιχος περιορισός του άου είναι ενεργός (δεσευτικός ικανοποιείται ως ισότητα), ενώ εάν ένας περιορισός του ενός προβήατος είναι αδρανής (η δεσευτικός δεν ικανοποιείται ως ισότητα), τότε η αντίστοιχη εταβητή του άου έχει τιή ίση ε το ηδέν Είναι γνωστό ότι η βέτιστη τιή της αντικειενικής συνάρτησης του πρωτεύοντος είναι ίση ε τη βέτιστη τιή της αντικειενικής συνάρτησης του δυϊκού, δηαδή * * * * * * * z ( c x + c x + + c x ) y ( b w + b w + + b w Συνεπώς, εάν η διαθέσιη ποσότητα b της πρώτης ύης Ri αυξηθεί κατά, τότε το i εισόδηα της βιοηχανίας Π είτε από την παραγωγή των προϊόντων P, P, P 3 και P 4, είτε από την πώηση των πρώτων υών R, R και R 3 (διαθέσιοι πόροι), αυξάνεται * κατά b i w i m * m ) b i
Η δυϊκή τιή του πόρου (πρώτης ύης) i ( επιπέον ονάδας πρώτης ύης i ), εκφράζει την οριακή αξία ιας (το έγιστο τίηα, πέρα και πάνω από την τρέχουσα τιή της πρώτης αυτής ύης στην αγορά, το οποίο θα ήταν διατεθειένη να καταβάει η βιοηχανία Π για την αγορά ιας επιπέον ονάδας από την πρώτη ύη Ri), και υποδεικνύει τη βετίωση που θα προκύψει στο κέρδος που θα είχε η βιοηχανία Π όγω αύξησης της ποσότητας της πρώτης ύης i κατά ια ονάδα Υπό την έννοια αυτή, η αύξηση του κέρδους της βιοηχανίας Π όγω της αύξησης της διαθεσιότητας της πρώτης ύης R i κατά ια ονάδα ονοάζεται σκιώδης τιή (hadow / dual price) Εάν από τη βέτιστη ύση του πγπ προκύπτει ότι γίνεται ερική χρησιοποίηση της πρώτης ύης R i (ο αντίστοιχος περιορισός δεν ικανοποιείται ως ισότητα η δεσευτικός περιορισός), τότε ια ικρή εταβοή * w i bi στη διαθέσιη ποσότητα από τη συγκεκριένη πρώτη ύη δεν έχει επιπτώσεις στο εισόδηα της βιοηχανίας Π Στην περίπτωση αυτή η βέτιστη τιή της δυϊκής εταβητής * w 0 i w i ισούται ε ηδέν, δηαδή Θεωρία ικτύων Βασικά συστατικά στοιχεία ενός δικτύου Ένα δίκτυο αναπαρίσταται ε τη ορφή διαγράατος, το οποίο αποτεείται από ία συογή κόβων (ode) που παριστάνονται ε κύκους και οι οποίοι συνδέονται εταξύ τους ε γραές, οι οποίες ονοάζονται ακές (arc, brache) βασική υπόθεση είναι ότι υπάρχει ροή εταξύ των κόβων διαέσου των ακών Στο ακόουθο σχήα βέπετε ένα δίκτυο το οποίο αποτεείται από επτά κόβους και δέκα ακές 9 8 3 4 8 7 8 4 6 3 9 5 5 4 7 Tο διάγραα οιάζει ε ένα χάρτη στον οποίο οι ακές ενδεχοένως παριστάνουν πόεις και οι γραές δρόους ε τους οποίους συνδέονται Tο σχήα είναι ία αναπαράσταση, ένα οντέο δηαδή ενός πραγατικού δικτύου και εποένως δεν θα πρέπει να αναένετε πάντα ακριβή απεικόνιση των στοιχείων που αποτεούν το πραγατικό σύστηα σε κίακα 3
Κάθε κόβος συβοίζεται ε έναν αριθό ή γράα ή έξη Οι αριθοί αυτοί πορούν να χρησιοποιηθούν για το συβοισό των ακών Για παράδειγα έε ότι: «ο κόβος συνδέεται άεσα ε τον κόβο 5 και η σύνδεση αυτή επιτυγχάνεται έσω της ακής -5» Κάθε ακή που συνδέει δύο κόβους συνοδεύεται από ένα αριθό, ο οποίος πορεί να παριστάνει το ήκος της διαδροής της ακής αυτής, το χρόνο που απαιτείται για τη διαδροή, το κόστος της ακής, τον παράγοντα του κινδύνου ή κάποια άη ποσότητα, η οποία προκύπτει όταν πραγατοποιηθεί η διαδροή από τον ένα κόβο στον άο Οι ακές του παραπάνω δικτύου ονοάζονται η προσανατοισένες (udirected arc), επειδή επιτρέπεται η ροή και προς τα δύο άκρα τους Στις περιπτώσεις που απαγορεύεται η ροή προς κάποια κατεύθυνση, χρησιοποιούνται προσανατοισένες ακές, στις οποίες επιτρέπεται η ροή όνο προς ία κατεύθυνση και αυτό διακρίνεται φαίνεται ε τη χρήση βεών προς κάποια συγκεκριένη κατεύθυνση Μία ακοουθία συνεχόενων ακών ορίζει ένα ονοπάτι (path) Ένα ονοπάτι πορεί να αποτεεί ένα κύκο (cycle), όταν πορεί να κανείς επιστρέψει στον κόβο από τον οποίο έγινε η εκκίνηση χωρίς να περάσει από την ίδια ακή Όταν υπάρχει τουάχιστον ένα ονοπάτι που πορεί να συνδέσει κάθε δυάδα κόβων ενός δικτύου τότε το δίκτυο ονοάζεται συνεκτικό (coected) δίκτυο Όταν το δίκτυο δεν περιέχει κύκους, τότε είναι ένα δέντρο (tree) Ένα δέντρο που συνδέει όους τους κόβους ενός δικτύου ονοάζεται ζευγνύον δέντρο (paig tree) Στον επόενο πίνακα βέπετε ερικά αντιπροσωπευτικά συστήατα, τα οποία θα πορούσαν να παρασταθούν ε τη ορφή δικτύων Σύστηα Κόβοι Ακές Τιή στις ακές Συγκοινωνιακό δίκτυο Γραή παραγωγής ίκτυο υποογιστών ίκτυο υδροδότησης ή άρδευσης Πόεις, ιασταυρώσεις Σταθοί επιβατών, Στάσεις Σταθοί επεξεργασίας Υποογιστές, Εκτυπωτές, Άοι πόροι Σηεία κατανάωσης νερού, Αντιοστάσια ρόοι, Αεροδιάδροοι, Γραές τραίνων, κπ Ταινίες εταφοράς Καώδια, Συνδέσεις ασύρατης επικοινωνίας Σωηνώσεις Απόσταση, Χρόνος ταξιδιού, Κόστος Χρόνος/κόστος εταφοράς Μήκος καωδίου, Ύπάρξη σύνδεσης (ασύρατη), Κόστος Μήκος, Κόστος Ροή Οχήατα, Μέσα εταφοράς Ηικατεργασένα προϊόντα, Εργασίες εδοένα Νερό Το πρόβηα της συντοότερης διαδροής Ο στόχος είναι να εντοπιστεί η συντοότερη διαδροή (hortet route - path), δηαδή εκείνη ε το ικρότερο συνοικό ήκος ακών (ή κόστος, χρονική διάρκεια, κίνδυνο κπ), από ία αφετηρία προς ένα κόβο τερατισού (προορισό) Η τεχνική της συντοότερης διαδροής (αγόριθος) στηρίζεται στο γεγονός ότι σε κάθε βήα πορεί να βρεθεί ένας τουάχιστον κόβος, για τον οποίο η διαδροή από την αφετηρία 4
έχρι αυτόν δεν πορεί να βετιωθεί περαιτέρω Τότε, ο κόβος αυτός ονοάζεται όνιος ή υένος (permaet) Στη συνέχεια, εξετάζεται αν πορεί να χρησιοποιηθεί ο κόβος αυτός ως ενδιάεσος, βετιώνοντας προσωρινές διαδροές που έχουν βρεθεί για τους υπόοιπους κόβους του δικτύου συπεριαβανόενου και του προορισού Η διαδικασία επανααβάνεται έχρι να γίνει όνιος ο προορισός ή, αν θέουε να βρούε τη συντοότερη διαδροή προς κάθε άο κόβο από την αφετηρία, τότε ο αγόριθος τερατίζει όταν όοι ο κόβοι γίνουν όνιοι Μέθοδος εντοπισού συντοότερης διαδροής Ξεκινάε από την αφετηρία εν υπάρχει προφανώς συντοότερη διαδροή από την αφετηρία στον εαυτό της, οπότε ο πρώτος κόβος γίνεται όνιος Εντοπίζουε όους τους κόβους που συνδέονται άεσα ε την αφετηρία (δηαδή έσω ίας ακής) Σηειώνουε το ήκος των διαδροών από την αφετηρία προς τους κόβους αυτούς (προσωρινό ήκος διαδροής) Επιέγουε έναν άεσα συνδεδεένο κόβο, τον πησιέστερο στην αφετηρία Ο κόβος αυτός ονοάζεται όνιος και παίνει σ ένα σύνοο όνιων κόβων αζί ε την αφετηρία 3 Εντοπίζουε όους τους κόβους που συνδέονται άεσα ε τουάχιστον ένα από τους κόβους του συνόου των όνιων κόβων Σηειώνουε το ήκος των διαδροών από την αφετηρία προς τους κόβους αυτούς (προσωρινό ήκος διαδροής) 4 Από τους παραπάνω κόβους επιέγεται εκείνος ε τη συντοότερη διαδροή και εισέρχεται στο σύνοο των όνιων κόβων Η διαδροή από την αφετηρία προς αυτόν δεν επιδέχεται περαιτέρω βετίωση Αν υπάρχει ισοβάθιση επιέγουε αυθαίρετα έναν από τους ισοβαθούντες 5 Επανααβάνουε τα βήατα 3 και 4 έχρι να γίνει όνιος ο προορισός ή έχρι να καταστούν όοι οι κόβοι όνιοι Το πρόβηα του εάχιστου ζευγνύοντος δέντρου Ενώ στο πρόβηα της συντοότερης διαδροής ο στόχος είναι να εντοπιστεί η διαδροή ικρότερης απόστασης (ή κόστους, χρόνου) από ία αφετηρία προς ένα τεικό κόβο προορισού, στο πρόβηα του εάχιστου ζευγνύοντος δέντρου (miimal paig tree) εξετάζεται ένα δίκτυο ως ένα σύνοο κόβων που πρέπει να επικοινωνούν όοι εταξύ τους Εδώ η απαίτηση είναι ότι όοι οι κόβοι πρέπει να επικοινωνούν άεσα ή έεσα εταξύ τους, δηαδή να συνδέονται έσω ενός συνόου ακών, των οποίων το συνοικό κόστος (απόσταση, χρονική διάρκεια, κπ) να είναι το εάχιστο δυνατό Μέθοδος εντοπισού του εάχιστου ζευγνύοντος δέντρου Επιέγουε αυθαίρετα ένα οποιοδήποτε κόβο του δικτύου για να ξεκινήσουε Ο κόβος αυτός εισέρχεται πρώτος στο σύνοο των συνδεδεένων κόβων 5
Συνδέουε τον προηγούενο κόβο ε αυτόν που βρίσκεται πιο κοντά του από τους άεσα συνδεδεένους Ο εν όγω κόβος εισέρχεται στο σύνοο των συνδεδεένων 3 Εντοπίζουε τον κόβο που είναι πιο κοντά σε κάποιον από τους συνδεδεένους κόβους και τον συνδέουε και αυτόν Σε περίπτωση ισοβάθισης επιέγουε αυθαίρετα ένα από τους ισοβαθούντες κόβους Τότε, πιθανώς υπάρχει εναακτική ύση 4 Επανααβάνουε το βήα 3 έχρι να συνδεθούν όοι οι κόβοι Το δίκτυο που θα προκύψει αν διατηρηθούν ενεργές όνο οι ακές που χρησιοποιήθηκαν από την παραπάνω διαδικασία, είναι ένα δέντρο και το πήθος των ακών του είναι όσο το πήθος των κόβων του δικτύου είον Προφανώς σε ένα δίκτυο πορούε να βρεθούν ποά υποδίκτυα που να είναι δέντρα, δηαδή να ην περιέχουν κύκους και να έχουν ακές όσο το πήθος των κόβων είον Το εάχιστο ζευγνύον δέντρο όως, είναι εκείνο που κατασκευάζεται ε την παραπάνω περιγραφείσα διαδικασία και συνδέει όους τους κόβους άεσα ή έεσα ε εάχιστο συνοικό κόστος ακών Το πρόβηα της έγιστης ροής Αφορά, το πρόβηα την της δυναικότητας ροής διαέσου των ακών, όταν η ροή διαέσου των ακών περιορίζεται ως προς το πήθος (ή τον όγκο ή άη ονάδα έτρησης) των αντικειένων, που πορούν να περάσουν από αυτές στη ονάδα του χρόνου, ή γενικότερα σε ένα ορίζοντα προγραατισού Ο αντικειενικός ας στόχος είναι να εγιστοποιηθεί η ροή από έναν κόβο, ο οποίος θεωρείται η πηγή (origi, ource), σε έναν άο κόβο, ο οποίος θεωρείται ο δέκτης (ik, detiatio), όταν οι ενδιάεσες ακές περιορίζουν τη συνοική ροή του συστήατος, χαρακτηριζόενες από τη δυναικότητα ροής τους Η έθοδος εντοπισού της έγιστης ροής Παραθέτουε συνοπτικά τα βήατα του αγορίθου, ο οποίος χρησιοποιείται για να εντοπίσει εκείνες τις ακές που πρέπει να χρησιοποιηθούν, ώστε να εγιστοποιείται η ροή από ία πηγή σε ένα δέκτη Επιέγουε αυθαίρετα ένα ονοπάτι από την πηγή προς το δέκτη ε θετική (η ηδενική) δυναικότητα ροής Αναπροσαρόζουε τις δυναικότητες ροής των ακών του ονοπατιού, αφαιρώντας τη δυναικότητα ροής του απ όες τις δυναικότητες των ακών του προς την κατεύθυνση του δέκτη 3 Αναπροσαρόζουε τις δυναικότητες ροής των ακών του ονοπατιού, προσθέτοντας τη δυναικότητα ροής του σε όες τις δυναικότητες των ακών του προς την κατεύθυνση της πηγής 4 Εέγχουε αν υπάρχει ονοπάτι ε θετική δυναικότητα ροής προς το δέκτη Αν ναι, επανααβάνουε από το βήα, διαφορετικά έχουε εντοπίσει την άριστη ύση 6
Θεωρία Παιγνίων Βασικές Έννοιες Παιγνίων Η εθοδοογία της θεωρίας παιγνίων χρησιοποιείται στη ήψη των αποφάσεων για να περιγράψει καταστάσεις ανταγωνιστικής αηεξάρτησης και να δώσει απάντηση στα αντίστοιχα προβήατα όπου επέκονται περισσότεροι από ένας ήπτες αποφάσεων ταυτόχρονα Ως παίγνιο (game) θεωρείται εκείνη η κατάσταση ήψης απόφασης, κατά την οποία δύο ή περισσότεροι ορθοογικοί παίκτες ε αντικρουόενα ενδιαφέροντα επιέγουν τρόπους ενέργειας, που δηιουργούν συνθήκες ανταγωνιστικής αηεξάρτησης Τα στοιχεία του παιγνίου είναι οι παίκτες, οι κανόνες που διέπουν το παίγνιο, οι πηροφορίες που υπάρχουν κατά τη διάρκεια του παιγνίου, η αξιοόγηση των διάφορων αποτεεσάτων από τους παίκτες και οι εταβητές (απόφασης) που εέγχονται από αυτούς Τα στοιχεία αυτά είναι κοινά σε όες τις ανταγωνιστικές καταστάσεις και αποτεούν το θεέιο ίθο της θεωρίας παιγνίων Ο παίκτης θεωρείται ως αυτόνοη ονάδα ήψης της απόφασης, παρά το γεγονός ότι δεν εέγχει όους τους παράγοντες που επηρεάζουν το αποτέεσα του παιγνίου Στρατηγική ενός παίκτη είναι το σύνοο των κανόνων που ορίζουν τις εφικτές επιογές που οφείει να ακοουθεί σε κάθε κίνησή του έχρι το τέος του παιγνίου, γνωρίζοντας όες τις πηροφορίες που αφορούν τις κινήσεις του αντίπαου παίκτη Στενά συνδεδεένο ε τη στρατηγική είναι το αποτέεσα του παιγνίου, το οποίο για κάθε παίκτη εξαρτάται από τη δική του στρατηγική και από τις στρατηγικές των ανταγωνιστών του Όταν βρείτε την άριστη στρατηγική όων των παικτών, τότε έχετε βρει και τη ύση του παιγνίου Η θεωρία παιγνίων διέπεται από την παραδοχή ότι ο αριθός των παικτών () είναι πεπερασένος, Παίγνιο ηδενικού αθροίσατος (zero-um game) είναι εκείνο, στο οποίο το κέρδος του ενός παίκτη είναι ίσο ε τη ζηιά του άου παίκτη ή των άων παικτών Αντίθετα, αν αυτό δεν συβαίνει, επειδή κάποιο τρίτο έρος αβάνει ορισένες πηρωές, τότε πρόκειται για παίγνιο η-ηδενικού αθροίσατος (ozero-um game) Ένα παίγνιο δύο-παικτών ηδενικού-αθροίσατος περιγράφεται συνήθως ε έναν πίνακα αποτεεσάτων ή πηρωών (payoff matrix), δηαδή έναν πίνακα που δείχνει ποιες πηρωές πρέπει να γίνουν ετά την εύρεση της ύσης του παιγνίου Αιγείς Στρατηγικές - Κριτήριο Miimax Έστω ότι τα αποτεέσατα ενός παιγνίου δύο-παικτών ηδενικού-αθροίσατος, δίνονται στον παρακάτω πίνακα που παριστάνει τις πηρωές για τον παίκτη Α Ο παίκτης Α των σειρών έχει m στρατηγικές και ο παίκτης Β των στηών έχει στρατηγικές 7
Στρατηγικές Στρατηγικές Β Α Β Β Β - Β Εάχιστο σειράς Α α α α α - α * α j Α α α α α - α Α m- α m- α m- α m- α m-- α m- Α m α m α m α m α m- α m * α mj Μέγιστο στήης * a j α * α * j j Οι τιές του πίνακα αντιπροσωπεύουν το κέρδος (ή ζηιά αν είναι αρνητικό) του παίκτη Α και εποένως τη ζηιά (κέρδος αν είναι αρνητικό για τον παίκτη Α) του παίκτη Β, ια και στο παίγνιο δύο-παικτών ηδενικού-αθροίσατος το κέρδος του ενός παίκτη είναι ίσο ε τη ζηιά του άου Κατά τη διάρκεια του παιγνίου οι παίκτες γνωρίζουν τόσο τις δικές τους στρατηγικές, όσο και τις στρατηγικές του αντιπάου τους Επίσης, κάθε παίκτης γνωρίζει ότι ο αντίπαος γνωρίζει τις πηρωές του πίνακα Επιπέον κάθε παίκτης γνωρίζει ότι ο αντίπαος του ξέρει ότι αυτός γνωρίζει τις πηρωές του πίνακα, κοκ (Commo Kowledge -κοινή γνώση) Ο αντικειενικός σκοπός του παίκτη Α είναι η εγιστοποίηση του κέρδους του ενώ του Β η εαχιστοποίηση της ζηιάς του Επειδή ο Α ενδιαφέρεται για το έγιστο δυνατό κέρδος και ο Β για την εάχιστη ζηιά, γνωρίζοντας ο καθένας τους τον αντικειενικό σκοπό του αντιπάου, προκύπτει ότι ο Α θα ακοουθεί τη εγόενη στρατηγική maximi δηαδή επιέγει από κάθε στρατηγική την ικρότερη τιή και κατόπιν επιέγει την έγιστη τιή από αυτές τις εάχιστες τιές Αντίστοιχα ο Β ακοουθεί τη εγόενη στρατηγική miimax ηαδή επιέγει το εάχιστο των έγιστων που προκύπτουν από κάθε στρατηγική Με άα όγια κάθε παίκτης προσπαθεί να εαχιστοποιήσει το χειρότερο που πορεί να πάθει! Αυτό για τον παίκτη Α ερηνεύεται ως εντοπισός του εγαύτερου από τα εάχιστα (από κάθε στρατηγική) δηαδή maximi, ενώ για τον παίκτη Β ερηνεύεται ως επιογή του ικρότερου από τα έγιστα (κάθε στήης-στρατηγικής) δηαδή miimax Το κριτήριο διαδικασία εντοπισού αυτών των στρατηγικών ονοάζεται εφαρογή του κριτηρίου miimax Εάν ισχύει η σχέση miα max mi maxα V, i j ij j i όπου [α ij ] ο πίνακας πηρωών, τότε το V αντιπροσωπεύει την τιή του παιγνίου και το στοιχείο του πίνακα που είναι ίσο ε το V ονοάζεται σηείο ισορροπίας ή σαγατικό σηείο (addle poit) Η τιή του παιγνίου, αν υπάρχει ισορροπία, είναι το έγιστο από τα εάχιστα των σειρών και το εάχιστο από τα έγιστα των στηών και είναι το κέρδος 8 ij
του παίκτη Α και η ζηία του παίκτη Β στο οποίο οι δύο παίκτες θα ισορροπήσουν γιατί κάθε άος συνδυασός στρατηγικών οδηγεί, για κάποιον από τους δύο παίκτες, σε χειρότερη απόδοση Όταν κάθε παίκτης πορεί να εντοπίσει ία στρατηγική για να ισορροπήσει, τότε η στρατηγική του αυτή ονοάζεται αιγής στρατηγική Σηειώνεται, ότι είναι δυνατόν σε ένα παίγνιο να υπάρχουν περισσότερα του ενός σαγατικά σηεία (ε ίδια φυσικά τιή) και εποένως περισσότερες από ία αιγείς στρατηγικές Υπάρχουν και παίγνια δύο-παικτών ηδενικού-αθροίσατος χωρίς σηείο ισορροπίας τα οποία θα εξεταστούν παρακάτω Στο επόενο παράδειγα, βέπετε ένα πίνακα πηρωών για τον παίκτη Α, στον οποίο το σηείο ισορροπίας βρέθηκε ε το κριτήριο miimax και είναι η τιή V3 που είναι η maximi των σειρών και η miimax των στηών Προσέξτε ότι αυτό επιτυγχάνεται ε τους συνδυασούς των αιγών στρατηγικών (Α, Β) ή (Α, Β3) Κυρίαρχες στρατηγικές - υποδεέστερες στρατηγικές Στη θεωρία παιγνίων εγάη σηασία έχει η έννοια της κυρίαρχης ή υπερέχουσας στρατηγικής, ε την οποία είναι δυνατή η είωση των διαστάσεων ενός πίνακα πηρωών Αυτό γίνεται ε απαοιφή των υποδεέστερων στρατηγικών, δηαδή των στρατηγικών εκείνων τις οποίες ο παίκτης δεν θα επιέξει ποτέ, επειδή κυριαρχούνται από κάποια άη Μια στρατηγική ενός παίκτη είναι υποδεέστερη και πορεί να αποακρυνθεί από το παίγνιο, αν κάθε στοιχείο της είναι χειρότερο ή ίδιο (ίσο) από το αντίστοιχο στοιχείο κάποιας άης στρατηγικής του ίδιου παίκτη Στο προηγούενο παράδειγα, θα πορούσαε να είχαε διαγράψει τις στρατηγικές Α και Α3 του παίκτη Α διότι είναι υποδεέστερες της Α, αφού τα στοιχεία τους είναι ικρότερα ένα προς ένα από αυτά της Α Επίσης, θα πορούσαε να είχαε διαγράψει τη στρατηγική Β γιατί τα στοιχεία της εν όγω στήης είναι εγαύτερα από της Β (και από της Β3, πάντως αρκεί να υπάρχει ία υπερέχουσα) Παρατηρήστε, ότι σε ένα πίνακα πηρωών για τον παίκτη Α, ο οποίος βρίσκεται στις σειρές, υποδεέστερη στρατηγική για τον παίκτη Α είναι εκείνη που τα στοιχεία της σειράς της είναι ικρότερα ή ίσα από κάποιας άης σειράς, ενώ υποδεέστερη στρατηγική για τον παίκτη Β είναι εκείνη που η στήη της έχει 9
τα στοιχεία της εγαύτερα ή ίσα από κάποιας άης στήης Στο παράδειγα, ο αρχικός πίνακας στο τέος θα ειωθεί στον ακόουθο: ο οποίος καταδεικνύει την ύπαρξη ισορροπίας στους συνδυασούς στρατηγικών που αναφέραε παραπάνω Έχετε υπόψη, ότι η διαγραφή υποδεέστερων στρατηγικών δεν είναι απαραίτητο να γίνεται εξ αρχής, δηαδή ία στρατηγική που αρχικά δε φαίνεται να είναι υποδεέστερη κάποιας άης, πορεί να καταστεί υποδεέστερη και να δύναται να διαγραφεί, ετά από την απάειψη κάποιων άων υποδεέστερων στρατηγικών Κοιτάξτε το ακόουθο παράδειγα: Στον παραπάνω πίνακα, ε εφαρογή του κριτηρίου miimax, αποδεικνύεται εύκοα ότι το σηείο ισορροπίας είναι η τιή 5 στην τοή των στρατηγικών (Α, Β) Αυτή είναι και η ύση του παιγνίου ε αιγείς στρατηγικές Αν θα θέατε να διαγράψετε τις υποδεέστερες στρατηγικές πριν την εφαρογή του κριτηρίου miimax, τότε παρατηρείστε ότι αρχικά για τον παίκτη B δεν υπάρχει υποδεέστερη στρατηγική αφού καία στήη δεν έχει όα της τα στοιχεία εγαύτερα ή ίσα από κάποιας άης Από την άη πευρά όως, η σειρά της στρατηγικής Α είναι υπερέχουσα της Α, οπότε η Α πορεί να διαγραφεί και έτσι εταβαίνουε στον επόενο πίνακα Παρατηρείστε, ότι οι στρατηγικές Β και Β3 πορούν τώρα να διαγραφούν, αφού το στοιχείο που τους απέεινε (0 και 8 αντιστοίχως) είναι εγαύτερο από το 5 Αν τις διαγράψουε, αποένει ένας πίνακας διάστασης που δίνει τις άριστες αιγείς 0
στρατηγικές (Α - Β) και την τιή του παιγνίου (V5), που βρέθηκαν προηγουένως ε απευθείας εφαρογή του κριτηρίου miimax Παίγνια δύο-παικτών σταθερού-αθροίσατος Ονοάζονται τα παίγνια δύο-παικτών, στα οποία για οποιοδήποτε συνδυασό επιογών των δυο παικτών το άθροισα των ανταοιβών τους είναι ια σταθερά c (θετική ή αρνητική) Ένα παίγνιο δύο-παικτών ηδενικού-αθροίσατος είναι ένα παίγνιο δύο-παικτών σταθερού-αθροίσατος ε c0 Μικτές Στρατηγικές Ακοουθείται σε παίγνια που δεν έχουν σηείο ισορροπίας, οπότε οι παίκτες δεν πορούν να ακοουθήσουν αιγείς στρατηγικές Σ αυτή την περίπτωση συνιστάται όπως κάθε παίκτης ορίσει ία πιθανότητα για κάθε στρατηγική του ε στόχο να εγιστοποιήσει το προσδοκώενο κέρδος Οι πιθανότητες ε τις οποίες κάθε παίκτης εφαρόζει τις στρατηγικές του ονοάζονται ικτή στρατηγική Για να προσδιοριστεί η βέτιστη ικτή στρατηγική για κάθε παίκτη, υπάρχουν διάφοροι τρόποι ανάογα ε τον αριθό των στρατηγικών του κάθε παίκτη Εάν από τα δεδοένα του παιγνίου πορείτε να απαείψετε τις υποδεέστερες στρατηγικές ώστε κάποιος παίκτης να έχει το πού δύο στρατηγικές, τότε η βέτιστη στρατηγική πορεί να βρεθεί ε την γραφική έθοδο όπου ένα παίγνιο x ή x πορεί να ετασχηατισθεί σε ένα παίγνιο x Εάν αυτό δεν είναι εφικτό, τότε έχετε υπόψη ότι κάθε πρόβηα πορεί να επιυθεί ως πρόβηα γραικού προγραατισού ε τη έθοδο implex Στην συνέχεια παρατίθεται ένα παράδειγα εύρεσης ικτής στρατηγικής ε τη χρήση της γραφικής εθόδου Παράδειγα Παιγνίου (Γραφική έθοδος) Υποθέστε ότι δίνεται ο πίνακας πηρωών ενός παιγνίου, στον οποίο ο παίκτης Α έχει τέσσερις στρατηγικές και ο Β δύο και ότι κάθε παίκτης χρησιοποιεί τις στρατηγικές του ε τις αντίστοιχες πιθανότητες που δίνονται στον πίνακα αυτό Κατ αρχήν, ε εφαρογή του κριτηρίου miimax βέπετε ότι δεν υπάρχει σαγατικό σηείο (να το επιβεβαιώσετε) οπότε η βέτιστη στρατηγική για κάθε παίκτη θα πρέπει
να είναι ία ικτή στρατηγική Γραφική επίυση του παιγνίου Στο παραπάνω σχήα, οι κάθετοι άξονες, που απέχουν εταξύ τους ια ονάδα, αντιπροσωπεύουν τις δύο στρατηγικές του παίκτη Β Οι τέσσερις στρατηγικές του παίκτη Α απεικονίζονται στο σχήα αυτό από τα τέσσερα αντίστοιχα ευθύγραα τήατα Η στρατηγική Α 4 κυριαρχείται από τη στρατηγική Α 3 και πορεί φυσικά να διαγραφεί, ια και ο παίκτης Α δεν θα την ακοουθήσει ποτέ Επειδή ο παίκτης Α ενδιαφέρεται για το έγιστο δυνατό κέρδος, θα κινηθεί στο επάνω τεθασένο ευθύγραο τήα του σχήατος Ο παίκτης Β που έχει ως σκοπό του την εάχιστη δυνατή ζηιά θα επιέξει το Ν, δηαδή τις τιές των πιθανοτήτων y και y, κατά τρόπο, ώστε το σηείο Κ (σηείο miimax) να είναι το χαηότερο σηείο του υψηότερου τεθασένου ευθύγραου τήατος Όως, το σηείο Κ είναι το σηείο τοής των δύο ευθύγραων τηάτων που αντιστοιχούν στις στρατηγικές Α και Α 3, οπότε το 4 παίγνιο ειώνεται στο παίγνιο του παρακάτω πίνακα Έστω V(A,B i ) η προσδοκώενη πηρωή στον παίκτη Α όταν ο Β εφαρόζει τη στρατηγική B i Τότε, όπως είναι γνωστό, για την άριστη ικτή στρατηγική του παίκτη Α, θα πρέπει να ισχύει V(A,B ) V(A,B ) διότι το προσδοκώενο κέρδος του πρέπει να
είναι το ίδιο ανεξάρτητα της στρατηγικής του άου παίκτη (κριτήριο miimax για τις εικτές στρατηγικές) Οπότε: -x + 4x 3 4x + x 3 ή 3x x 3 και x + x 3 Επιύνοντας το σύστηα αυτό θα βρείτε ότι x 05 και x 3 075, οπότε το έγιστο προσδοκώενο κέρδος του Α είναι V(A) - 05 + 4 075 5 Για την άριστη ικτή στρατηγική του παίκτη Β θα πρέπει οοίως να είναι V(Β,Α ) V(Β,Α 3 ) δηαδή, -y + 4y 4y + y ή 3y y και y + y Η ύση του συστήατος αυτού δίνει y 05 και y 075, οπότε η εάχιστη προσδοκώενη ζηιά του Β είναι V(Β) - 05 + 4 075 5 που φυσικά είναι ίδια ε το V(A) Από τα παραπάνω προκύπτει ότι ακροπρόθεσα, στις τέσσερις φορές που παίζουν το παίγνιο οι δύο παίκτες, ο Α θα παίζει ια φορά τη στρατηγική Α και τρεις φορές τη στρατηγική Α 3, ενώ ο Β θα παίζει ια φορά τη Β και τρεις φορές τη Β, Αν έτσι είναι τα πράγατα, το έσο κέρδος του Α είναι η προσδοκώενη τιή του παιγνίου V V(A) V(B) 5 Θεωρία Ουρών Αναονής Οι ουρές αναονής αποτεούν καθηερινό και συνηθισένο φαινόενο και εφανίζονται σε συστήατα εξυπηρέτησης, στα οποία η ζήτηση για κάποια υπηρεσία δεν πορεί να ικανοποιηθεί ερικές φορές άεσα από τη δυναικότητα του συστήατος που παρέχει την εξυπηρέτηση, όγω των τυχαίων διακυάνσεων που παρατηρούνται τόσο στον ρυθό προσέευσης όσο και στον χρόνο εξυπηρέτησης κάθε πεάτη από το σύστηα Η γνώση των ειτουργικών χαρακτηριστικών των συστηάτων εξυπηρέτησης και των ουρών αναονής πορεί να οδηγήσει σε θεαατικές βετιώσεις της απόδοσής τους Η απόδοση του συστήατος αξιοογείται ε βάση τις τιές ορισένων βασικών δεικτών (δείκτες απόδοσης έτρα ειτουργικότητας), όπως για παράδειγα ο έσος χρόνος αναονής ενός πεάτη στην ουρά, ο συνοικός έσος χρόνος παραονής ενός πεάτη στο σύστηα, το έσο πήθος πεατών στην ουρά, το έσο πήθος πεατών στο σύστηα, το ποσοστό απασχόησης της θέσης εξυπηρέτησης ή των θέσεων εξυπηρέτησης κπ Στόχος της εέτης ενός συστήατος εξυπηρέτησης είναι η εαχιστοποίηση του κόστους ειτουργίας του υπό τον όρο ότι οι τιές των δεικτών απόδοσης του συστήατος ικανοποιούν κάποιες εάχιστες προδιαγραφές Χαρακτηριστικά Συστηάτων Ουρών Αναονής 3
Πηγή Πεατών: Ο πηθυσός από τον οποίο προέρχονται οι αφίξεις των πεατών θεωρείται είτε άπειρος (πρακτικά πού εγάου εγέθους) όπως πχ πεάτες τραπεζών, αυτοκίνητα σε σταθούς διοδίων κπ, ή πεπερασένος όπως για παράδειγα στην περίπτωση των ηχανών ενός εργοστασίου πού αναένουν επισκευή Στα πιο ποά προβήατα ουρών αναονής, εκτός αν ειδικά αναφερθούε σε πεπερασένο πηθυσό, θα θεωρούε ότι ο πηθυσός από τον οποίο προέρχονται οι πεάτες του συστήατος είναι άπειρος Αφίξεις στο Σύστηα: Σε κάθε σύστηα ουράς αναονής υπάρχουν "πεάτες" οι οποίοι προσέρχονται για εξυπηρέτηση Με τον γενικό όρο "πεάτης" εννοούε τα πρόσωπα, αντικείενα ή συβάντα που εισέρχονται στο σύστηα για εξυπηρέτηση Οι αφίξεις σε ένα σύστηα ουράς αναονής χαρακτηρίζονται από τα εξής βασικά χαρακτηριστικά: Κατανοή Αφίξεων: Οι "πεάτες" καταφθάνουν στο σύστηα είτε σύφωνα ε κάποια γνωστό και σταθερό ρυθό (πχ ένα ηικατεργασένο προϊόν σε ένα σταθό εργασίας ακριβώς κάθε 5 επτά) ή αιώς, όπως στις περισσότερες περιπτώσεις, σε «τυχαίες» χρονικές στιγές (πχ ασθενείς σε εφηερίες) Οι αφίξεις θεωρούνται τυχαίες όταν είναι ανεξάρτητες η ία από την άη (δεν επηρεάζεται ία άφιξη από κάποια προηγούενη) και η χρονική στιγή πραγατοποίησης τους δεν πορεί να προβεφθεί ακριβώς Στην περίπτωση αυτή ο έσος ρυθός των αφίξεων χαρακτηρίζεται από το έσο αριθό αφίξεων ανά ονάδα του χρόνου (πχ πεάτες ανά ώρα) Στην θεωρία ουρών αναονής, η τυχαία εταβητή «αριθός των αφίξεων ανά ονάδα χρόνου», πορεί ποές φορές να προσεγγισθεί από την κατανοή Poio Αν γίνει αυτό, τότε η έση τιή της Poio αντιστοιχεί στη έση τιή των αφίξεων ανά ονάδα χρόνου, συβοίζεται ε και αποτεεί το έσο ρυθό αφίξεων στη ονάδα του χρόνου Για παράδειγα, αν σε ένα σύστηα εξυπηρέτησης η διαδικασία αφίξεων ακοουθεί την κατανοή Poio και καταφθάνουν κατά έσο όρο 0 πεάτες ανά ώρα, τότε 0 και αυτό αποτεεί τη έση τιής της κατανοής Poio που χαρακτηρίζει τη διαδικασία αφίξεων Αν παρασταθεί ε X το πήθος των αφίξεων που πιθανόν να πραγατοποιηθούν σε ία ώρα (δηαδή στη ονάδα του χρόνου), τότε όπως αναφέρθηκε, το Χ είναι τυχαία εταβητή και η πιθανότητα να πάρει αυτή κάποια συγκεκριένη, τιή έστω x (το x είναι δεδοένος αριθός), δίνεται από την σχέση: P e x x! { X x }, x 0,,,3, Σηειώστε, ότι όταν ο έσος ρυθός αφίξεων είναι (0 άτοα/ώρα όπως αναφέρθηκε παραπάνω), τότε είναι ογικό να υποτεθεί ότι ανάεσα σε δύο διαδοχικές αφίξεις, παρεβάεται χρόνος που κατά έσο όρο είναι ίσος ε / ( /0 ώρες δηαδή 6 επτά στο παράδειγα) 4
Χρόνος Εξυπηρέτησης: Ο χρόνος που απαιτείται για την εξυπηρέτηση του πεάτη πορεί να είναι σταθερός (πχ σε ένα αυτόατο πυντήριο αυτοκινήτων όπου απαιτούνται ακριβώς 0 επτά για κάθε όχηα, σε ένα σταθό επεξεργασίας σε ία βιοηχανία όπου απαιτούνται ακριβώς τρία δευτερόεπτα για να τοποθετηθεί ένα εξάρτηα), ή όπως συβαίνει και στα περισσότερα συστήατα ουρών αναονής, να παρουσιάζει εταβητότητα που οφείεται σε διάφορους παράγοντες Για ποές περιπτώσεις συστηάτων ουράς αναονής, πορεί να θεωρηθεί ότι ο χρόνος εξυπηρέτησης ακοουθεί την εκθετική κατανοή, ε έση τιή / Για παράδειγα, αν σε ένα ταείο ίας τράπεζας ο ταίας είναι σε θέση να εξυπηρετήσει κατά έσο όρο 5 άτοα ανά ώρα, τότε έε ότι ο έσος ρυθός εξυπηρέτησης είναι το 5 άτοα / ώρα και ογικά / /5 ώρες αποτεεί το έσο χρόνο εξυπηρέτησης ( δηαδή στην προκείένη περίπτωση είναι //5 ώρες 4 επτά) Αν ε παραστήσετε ε Τ το χρόνο που απαιτείται για ία εξυπηρέτηση, τότε το Τ είναι τυχαία εταβητή και η πιθανότητα ο χρόνος αυτός να είναι ικρότερος ή ίσος από ία δεδοένη τιή έστω t, δίνεται από τη σχέση: P( T t) e t όπου ε όπως αναφέρθηκε συβοίζεται ο έσος αριθός πεατών που εξυπηρετούνται στη χρονική ονάδα Θέσεις εξυπηρέτησης:για τον πεάτη που αναένει στην ουρά πορεί να υπάρχουν περισσότερες από ία παράηες θέσεις εξυπηρέτησης (πχ ταεία στην τράπεζα, διάδροοι διοδίων, ταεία σε υπεραγορές κπ) Στην περίπτωση αυτή ο πεάτης εξυπηρετείται από την πρώτη διαθέσιη θέση εξυπηρέτησης Επίσης, άες φορές για την πήρη εξυπηρέτηση του πεάτη απαιτείται η διαδοχική προσέευσή του σε περισσότερες από ία θέσεις εξυπηρέτησης, δηαδή εξυπηρετείται σε διαδοχικές φάσεις (πχ η διεκπεραίωση κάποιας εργασίας που απαιτεί εγκρίσεις σε ποά στάδια) Λειτουργία της Ουράς Αναονής: Η ουρά σχηατίζεται από «πεάτες» που αναένουν τη σειρά τους να εξυπηρετηθούν Ο τρόπος ε τον οποίο επιέγεται ένας πεάτης που αναένει στην ουρά για να εξυπηρετηθεί είναι ένα από τα κύρια χαρακτηριστικά των συστηάτων ουρών αναονής και ονοάζεται πειθαρχία Οι έθοδοι που εφαρόζονται είναι κυρίως οι εξής: FIFO (Firt I Firt Out): Οι πεάτες εξυπηρετούνται ε βάση τη σειρά προσέευσης LIFO (Lat I Firt Out): Οι πεάτες εξυπηρετούνται αντίστροφα ε την σειρά προσέευσης Τυχαία Επιογή: Οι πεάτες επιέγονται τυχαία από τους αναένοντες στην ουρά Προτεραιότητες: Οι πεάτες χωρίζονται σε κατηγορίες ε διαφορετικές προτεραιότητες Επιέγονται πρώτα οι πεάτες ε την πιο υψηή προτεραιότητα 5