Tranformata Laplace Tranformata Laplace generalizează ideea tranformatei Fourier in tot planul complex Pt un emnal x(t) pectrul au tranformata Fourier ete t ( ω) X = xte dt Pt acelaşi emnal x(t) e poate introduce tranformata Laplace t L x() t () = X = x t e dt; = σ + unde integrala e efectuează pe o curba σ = ct de la la Pentru σ = tranformata Laplace ete pectrul emnalului adică tranformata Fourier σ=ct σ Domeniul de convergenta = domeniul valorilor lui pt care integrala ete convergenta au X() - finita Proprietati DC format din benzi paralele cu axa imaginara nu conţine nici un pol al tranformatei Laplace 3 pt emnale cu întindere pre dreapta (o ubcategorie fiind emnalele cauzale), DC începe cu cel mai dreapta pol i e întinde tot pre dreapta Re{ } >σ p max 4 pt emnale cu întindere pre tânga (o ubcategorie fiind emnalele anticauzale), DC începe cu cel mai dreapta pol i e întinde tot pre tânga Re{ } <σ p min 5 pt emnale cu întindere de la la, DC ete o banda ce nu include poli 6 emnalele cu uport mărginit au tranformata Laplace definita in tot planul 7 itemul tabil <=> axa inclua in DC
Tranformata invera t x() t = X ( ) e d π j Integrala e efectuează pe dreapta paralela cu axa imaginara ( σ = ct ) Mai de e foloeşte metoda decompunerii in fracţii imple i inverarea cu ajutorul tabelelor Probleme + Tranformata Laplace X() a unui emnal x(t) ete X() = ( ) ( + 3) Sa e determine x(t) in următoarele condiţii a) Re()<-3; b) -3< Re()<; c) Re()> Rezolvare + A A B X() = = + + + ( ) ( 3) - +3 ( -) + => B= ( + 3) X( ) = = /6 3 ( ) + A = X = = 3 3/4 + 3 d + 3 A = ( ) X( ) = = /6 d ( + 3) + /6 3/ 4 /6 X() = = + ( ) ( + 3) - +3 ( -) t t 3t a) DC : Re()<-3 => x() t = eσ ( t) teσ ( t) + e σ ( t) ; 3 6 4 6 3 6 4 6 t t 3t b) DC: -3< Re() < => x() t = eσ ( t) teσ ( t) e σ () t 3 6 4 6 t t 3t c) DC: Re() > => x() t = eσ () t + teσ () t e σ () t Verificati expreia lui x(t) foloind mediul Matlab: >> L=(+)/((-)^*(+3)) >> ilaplace(l)
Funcţia de tranfer a unui item liniar invariant in timp i cauzal ete data de expreia + H() = Determinaţi i deenaţi răpunul itemului, daca la intrarea a e + + t aplica emnalul x() t = e Rezolvare t = x t t Y = X H () () () + + H() = = cu poli complecşi, = ± j σ p max = + + - DC pentru H() σ - - Sitemul ete cauzal: DC ete Re{ } > t t e, t t t x() t = e = = e σ () t + e σ ( t) t e, t < 4 => X() = = cu DC: -<Re()< + 4 4 + 4 Y( ) = X ( ) H( ) = = 4 + + + + Domeniul au de convergenta ete interectia DC pentru H( ) i DC pentru < Re{ } < Y 4 A B+ C = = + + + ( )( + + ) => A( ) ( B C)( ) + + + + = 4 =>, A = -/5, C = 8/5, B = /5 + 4 + 3 = + = + + ( ) ( ) () t t t t = e σ t + e cot+ 3e int σ t 5 5 => Y( ) 5 5 + + 5 5 + + + + => () X : 3
3 Fie un item liniar, invariant in timp i cauzal a cărui funcţie de item H() are contelaţia de poli i de zerouri din figura: -3 - σ a) Sa e indice toate regiunile de convergenta poibile; b) Indicaţi in fiecare caz daca itemul atiface au nu condiţiile de tabilitate i/au cauzalitate Rezolvare Re()<-3 -> item anticauzal i intabil, -3<Re()<- -> item intabil, -<Re() -> item cauzal i tabil 4 Sa e demontreze următoarele proprietăţi ale tranformatei Laplace: a) deplaarea in domeniul timp; b) deplaarea in domeniul ; c) calarea in timp x(at); d) convoluţia in domeniul timp; e) derivarea in domeniul 5 Fie un item obţinut prin conectarea in cacada a doua iteme liniare i invariante in timp ale căror funcţii de tranfer unt H () i H () Daca funcţia de tranfer a itemului echivalent H() ete unitara, itemul decri de H () e numeşte item inver itemului decri de H () a) Sa e determine relaţia de legătura intre H () i H () b) In figura ete prezentata contelaţia de poli i zerouri a lui H (), corepunzătoare unui item cauzal i tabil Sa e determine contelaţia de poli i zerouri pentru funcţia de tranfer a itemului inver aociat c) Sa e determine h (t), răpunul la impul al itemului inver in ipoteza ca ete tabil d) a e demontreze ca răpunul la impul al itemului echivalent h(t) ete identic cu δ(t) -3 - σ 6 Un SLIT cu intrarea x(t) i ieşirea (t) ete decri de ecuaţia diferenţiala: d d + 3 = x dt dt 4
a) Determinaţi H(), funcţia de tranfer a itemului Schiţaţi contelaţia de poli i zerouri b) Determinaţi h(t) daca itemul ete tabil; - itemul ete cauzal; - itemul nu ete nici tabil nici cauzal Rezolvare d d a) x() t X ( ) ; x () t X ( ) dt dt A B => Y+ Y 3Y= X => H( ) = = = + + 3 ( )( + 3) + 3 A= ( ) H( ) = = + 3 4 B = ( + 3) H( ) = = 3 4 H = 4 + 3 3-3 σ 4 4 ht t 3t = eσ t e σ t 4 4 (intabil) t 3t b) item tabil <=> DC: -3<Re()<, ht () = eσ ( t) e σ () t item cauzal <=> DC: Re()>, () () () Verificati expreia rapunului la impul foloind mediul Matlab: >> L=/4/(-)-/4/(+3) >> ilaplace(l) 4 4 t 3t item intabil,anticauzal <=> DC: Re()<-3, ht () = eσ ( t) + e σ ( t) 4 7 Un SLIT are răpunul: () ( t t t e e ) σ ( t) t 3t () σ () x t = e + e t a) determinaţi răpunul in frecventa al itemului, H ( ω ) = daca la intrare e aplica emnalul 5
b) determinaţi funcţia pondere a itemului, h(t) c) care ete ecuaţia diferenţiala care decrie itemul, d) daţi o implementare poibila a itemului Rezolvare a) Y( ) = X ( ) = + + + 4 + + 3 ; Y( ) 6 ( + )( + 3) 3( + 3) H( ) = = = X ( ) ( + )( + 4) ( + ) ( + )( + 4) 3( + 3) H( ω) = H( ) = ( + )( + 4) 3( + 3) A B b) H( ) = = + ( + )( + 4) + + 4 3( + 3) 3 A= ( + ) H( ) = = ; B ( 4 ) H( ) + 4 3 3 H h t e e t + + 4 t 4t = + () = ( + ) σ () ; DC: Re()>-, item cauzal ( + ) 3 3 3 = + = = 4 + Verificati expreia rapunului la impul foloind mediul Matlab: >> L=(3/)/(+)+(3/)/(+4) >> ilaplace(l) M k k k b N M k d d x Y( ) k = k = k k = = k N k= dt k= dt X ( ) k a k k = c) Ecuaţia diferenţiala a b H( ) => + 6 + 8 = 3x + 9x d) Se foloeşte una din cele forme canonice de implementare: a+ a + a = bx+ bx + bx a + a + a = b x+ bx+ b x a + a + a = b x+ b x+ b x b x b x b x a a => = + + a 4 6
Forma canonică Forma canonică /a x b x /a b b b -a -a -a b -a b x -6 3-8 9 8 Pentru itemul liniar i invariant in timp cauzal cu răpunul in frecventa 7 + H ( ω) = ( 4+ )( ω + ) a) determinaţi h(t), b) daţi o tructura de implementare contând din doua iteme conectate in cacada, c) daţi o tructura de implementare contând din doua iteme conectate in paralel Rezolvare + 7 A B+ C H( ) = H( ω ) = = = + + + + ( + 4)( + + ) + 7 3 A= ( + 4 ) H( ) = = 4 + + 4 3 => C=/3 => B=-3/3 4 7
H H H 3 3 3 = 3 = 3 + 4 + + 3 + 4 3 + + 4 + + 3 = + 3 3 + 4 3 3 + + + + 4 4 3 3 + 47 = + 3 + 4 3 6 3 3 + + + + 4 3 3 3 3 47 3 ht e t e t t e t t 3 3 3 3 3 () 4 t t () / t = σ co σ () + / in σ () Verificati expreia rapunului la impul foloind mediul Matlab: b) >> L=(+7)/(+4)/(^++) >> ilaplace(l) + 7 + 7 H = = = H () () a Hb + 4 + + ( + 4)( + + ) Pentru H a (): a + a = bx + bx au 4+ = x Pentru H b (): a + a + a = bx + bx + bx au + + = x + 7x x -4 u u - - 7 8
3 3 + + + c) H( ) = = H ( ) + H ( ) 3 4 α β x H α () H β () 9 Fie itemul din figura: I () R I 3 () R x X() C I () C Y() a) a e determine funcţia de tranfer a circuitului, daca R=k Ω, C=uF b) Ce tip de caracteritica realizează acet circuit? Sa e determine factorul de calitate Q, amplificarea i pulaţia de rezonanta naturala ω c) Sa e determine răpunul itemului la un impul unitate, repectiv la un emnal armonic x() t = Acoωt Rezolvare () Y( ) I3 = = CY( ) ; C I( ) = I3( ) R + I( ) = I3( )( + CR) = ( + CR) CY ( ) C C I( ) = I( ) + I3( ) = C( + CR) Y( ) X ( ) = I( ) R+ I( ) = ( CR) 3CR Y( ) C + + Y => H( ) = = =, pentru RC= (filtru trece-jo) X CR + 3 CR + + 3+ 9
A b) H ( ω) = = => A=, amplificare la joaa frecventa ω + 3 ω ω + jξωω Q = 33 ξ =, factorul de calitate, ω = pulaţia naturala c) H( ) = 3 = 3± 5,, =, + + H A B = + => A ( ) H( ) 5 = = = = = 3+ 5 ( 3 5) 5 5 => B ( ) H( ) 5 = = = = = 3 5 ( 3+ 5) 5 5 5 t t => ht () = e σ () t e σ () t 5 Răpunul itemului la impulul unitate, x( t) = δ ( t) => ( t) = h( t) Răpunul itemului la x() t = Acoωt => ( { }) () = ( ω ) co ω + arg ( ω ) t A H t H H ( ω) = H( ω ) = ω + 9ω ω + 9ω { H( ω) } = { ω + } arg arg 3 Daca ω < atunci H ( ω ) Daca ω > atunci 3ω arg{ } = arctg ω 3ω arg{ H ω } = π + arctg ω Pentru un SLIT răpunul in frecventa ete H ( ω) a) Sa e determine răpunul la impul al itemului h(t), b) Daţi o tructura de implementare a itemului a) H( ) 5+ 7 + = = + + + + ( + 4)( + + ) 4 = 5 + 7 + 4 + +
3 + 4 + 4 3 3 + + + + 4 4 = + + H 3 3 ht e t e t t e t t () 4 t t () t = σ + co σ () + in σ () Verificati expreia rapunului la impul foloind mediul Matlab: >> L=-/(+4)+(+)/(^++) >> ilaplace(l) b) H( ) 5+ 7 5+ 7 = = 3 + 5 + 5+ 4 ( + 4)( + + ) b =5, b =7 a 3 =, a =5, a =5, a =4 au: + 5 + 5 + 4 = 5x + 7x