PROIECTAREA FILTRELOR DIGITALE CU RĂSPUNS INFINIT LA IMPULS

Transcript

1 CAPITOLUL 3 PROIECTAREA FILTRELOR DIGITALE CU RĂSPUS IFIIT LA IMPULS Filtrele digitale cu răun infinit la imul (RII), ce vor fi denumite în continuare filtre IIR (Infinite Imule Reone), contituie blocuri imortante în multe iteme de relucrare numerică a emnalelor. Ele unt recomandate în ituaţiile în care trebuie realizate benzi de tranziţie foarte îngute, recum şi atunci când unt neceare atenuări foarte mari în banda de orire. Deoarece rezintă reacţie, filtrele IIR neceită mai uţine celule de întârziere, reţul lătit fiind neliniaritatea fazei şi eventuale robleme de tabilitate. 3.. Introducere Un filtru IIR oate fi caracterizat în domeniul tim rin ecuaţia cu diferenţe y [] n a y[ n ] + b x[ n ] M Alicând tranformată Z ecuaţiei (3.), rezultă M + (3.) Y ( z) a z Y ( z) b z X ( z) (3.) Funcţia de tranfer a filtrului ete M H ( z) + b a z z B( z) A( z) (3.3) Imunând în relaţia (3.) intrarea x[ δ[, e obţine răunul la imul al filtrului IIR cauzal 7

2 bn a h[ n ], n [, M ] h[] n a h[ n ], n > M (3.4), n < În continuare filtrele vor fi coniderate tabile, adică răunul lor la imu ete abolut umabil [63] n h [ < (3.5) condiţie care, în lanul Z conduce la neceitatea ca cercul unitate ă fie inclu în domeniul de convergenţă. Dacă e imune şi condiţia de cauzalitate entru filtru, care, în domeniul Z conduce la neceitatea ca regiunea de convergenţă ă fie exteriorul unui cerc, rezultă că toţi olii filtrului cauzal şi tabil e ituează în interiorul cercului unitate. Răunul la imul al filtrului oate fi calculat şi ca tranformata Z inveră a funcţiei de item [63] n h[ Z { H ( z)} H ( z) z dz (3.6) πj C unde C ete un contur închi în lanul comlex, arcur în en orar, care conţine originea. Prin evaluarea funcţiei de tranfer H (z) e cercul unitate, e obţine răunul în frecvenţă al filtrului M jω be H ( ω) jω + a e H ( ω) e jθ ( ω) Răunul de modul al filtrului ete B( ω) H ( ω ), a (3.8) A( ω) Aşa cum a fot rezentat în Caitolul, olii funcţiei de tranfer vor determina maxime ale răunului în frecvenţă, cu atât mai ronunţate, cu cât e află mai aroae de cercul unitate, iar zerourile vor determina minime, eventual anulări ale răunului în frecvenţă, dacă e află e 8 (3.7)

3 cercul unitate. Ca urmare, filtrele IIR ermit realizarea unor maxime acuţite, benzi de trecere foarte îngute şi, la fel, benzi de tranziţie foarte îngute. Aemenea erformanţe -ar utea realiza şi cu filtre FIR, dar cu reţul unor lungimi foarte mari. Un dezavantaj al filtrelor IIR îl contituie fatul că acete filtre nu ot avea faza erfect liniară. Caracteritica de fază a filtrului oate fi criă ca θ ( ω) θ B ( ω) θ A ( ω) (3.9) unde θ A (ω) şi θ B (ω) rerezintă argumentele funcţiilor A (ω) şi B (ω). În caitolul recedent -a arătat că funcţia de item a unui filtru de fază liniară rezintă o formă de imetrie a zerourilor ale, în enul că aceata are zerourile în erechi reciroce, z i şi z i. Dacă zerourile numărătorului funcţiei de tranfer rezintă o atfel de imetrie, faza acetuia ete erfect liniară. Pentru ca filtrul ă aibă faza liniară, ar trebui ca şi faza numitorului ă fie liniară, dar acet lucru nu ete oibil, deoarece rezenţa rădăcinilor reciroce la numitor nu mai aigură tabilitatea filtrului cauzal. Metodele de roiectare ale filtrelor IIR unt de două feluri: - Metode indirecte, în care un filtru analogic rototi ete tranformat în echivalentul lui numeric; - Metode directe, în care coeficienţii filtrului e determină e baza minimizării unui criteriu de eroare. În Caitolul -a arătat neceitatea îndelinirii condiţiei M, unde M ete gradul numărătorului, iar, gradul numitorului. Dacă M>, filtrul oate fi coniderat ca fiind format rin conectarea în cacadă a unui filtru IIR de ordin cu un filtru FIR de ordin M. Toate tehnicile de roiectare a filtrelor IIR ornec de la remiza M, ordinul filtrului fiind, deci, egal cu numărul de oli ai funcţiei de item H(z). 3.. Proiectarea indirectă a filtrelor IIR 3... Secificarea erformanţelor Procedura cel mai frecvent utilizată entru roiectarea unui filtru digital IIR contă în tranformarea unui filtru analogic într-unul digital, cu erformanţe echivalente. Aceată abordare rezintă avantajul utilizării cunoştinţelor şi metodelor foloite în roiectarea filtrelor analogice. 9

4 Metoda indirectă e bazează e exitenţa unor tranformări care conervă rorietăţile elective ale modelului analogic, tranformând un filtru otimal analogic într-altul otimal digital. Pornind de la ecificaţiile referitoare la erformanţele filtrului digital, roiectarea acetuia neceită arcurgerea următoarelor etae:. Tranformarea ecificaţiilor dorite a fi realizate de către filtrul digital în ecificaţiile imue filtrului analogic rototi;. Obţinerea funcţiei de tranfer a filtrului analogic rototi atfel încât ă fie atifăcute ecificaţiile imue filtrului digital; 3. Tranformarea funcţiei de tranfer a filtrului analogic în funcţia de tranfer echivalentă a filtrului digital. La roiectarea filtrelor digitale de ti FIR au IIR ecificarea erformanţelor e referă la abaterile maxime ale caracteriticii de modul în benzile de trecere (B.T.) şi orire (B.O.), recum şi frecvenţele limită ale acetor benzi. La roiectarea claică a filtrelor analogice, unii dintre aceşti arametri de erformanţă unt definiţi uţin diferit. Atfel, în mod uzual, la filtrele analogice, rin convenţie, e conideră că în zona de trecere efectivă caracteritica de modul variază între valoarea maximă şi valoarea minimă, în tim ce în zona de orire, variază între şi, ca în figura 3.a. Figura 3.. Secificarea erformanţelor e caracteritica de modul a funcţiei de tranfer a filtrului trece jo (a) analogic şi (b) digital Pentru filtrele digitale FIR au IIR e notează cu δ, reectiv δ, abaterile caracteriticii de modul a funcţiei de tranfer de la valorile ale nominale ( în B.T., în B.O.) atfel că acet răun în frecvenţă ocilează între +δ şi δ, în B.T. reectiv între şi δ în B.O., ca în figura 3.b. Frecvenţele menţionate în figura 3.a au următoarele emnificaţii: Ω, Ω, Ω c rerezintă, în ordine, frecvenţa de trecere efectivă, frecvenţa de 3

5 orire efectivă şi frecvenţa de tăiere entru filtrul analogic, exrimate în radiani/. Frecvenţele unghiulare ω, ω, ω c din figura 3..b au aceleaşi emnificaţii entru filtrul digital (doar că unt normate în raort cu frecvenţa de eşantionare F ). Relaţia între frecvenţe din domeniul analogic şi digital ete dată de [63] F ω ΩT; f ; T (3.) F F ceea ce imlică F F F, [,5;,5] ω [ π, π ] f (3.) Parametrii din figura 3.a ot fi exrimaţi în funcţie de cei din figura 3.b, şi inver. Relaţia dintre frecvenţele analogice, Ω, şi dicrete, ω, deinde de coreondenţa dintre lanele şi Z, e când convertirea valorilor de e ordonată reuune normarea celor din fig.3.b cu +δ, şi aoi identificarea cu cele din figura 3.a (au multilicarea cu +δ, a celor din figura 3.a). Rezultă atfel δ δ ; (3.) + δ + δ reectiv δ ; δ (3.3) De obicei, acete erformanţe unt date în db, ub forma variaţiei maxime a atenuării în banda de trecere efectivă şi a atenuării minime în banda de orire efectivă, + δ A lg lg( ) δ (3.4) A lgδ lg lg Prezentarea e curt a filtrelor trece jo analogice de ti Butterworth, Beel, Cebîşev şi elitice ete dată în Anexa 3a. Funcţia de tranfer de ordinul a unui filtru analogic ete [] 3

6 i βi B () () i H a ; > M A() i α 3 M i i (3.5) în care α i, β i unt coeficienţii funcţiei de tranfer. Aceata ete legată de răunul la imul rin tranformata Lalace H a t () h() t e dt (3.6) Filtrul analogic oate fi decri şi de ecuaţia diferenţială cu coeficienţi contanţi M d y( t) d x( t) α i β i (3.7) i dt i dt Răunul în frecvenţă, H a (jω), e obţine rin evaluarea funcţiei de tranfer e axa imaginară a lanului. Proiectarea unui filtru analogic contă în determinarea coeficienţilor α i, β i care conduc la minimizarea unui criteriu de eroare dintre funcţia dorită şi cea realizată au, altfel u, între funcţia de aroximat şi funcţia dorită. De obicei, e lucrează cu H ( jω) a (şi nu cu H a ( jω) ) entru că rima are coeficienţi reali. B () ( ) () B( ) E ( ) ( ) H a H a H a jω (3.8) A() A( ) Ω G ( ) Din (3.8) e obervă că ingularităţile lui H a ( ) H a ( ) în lanul unt imetrice faţă de axa j Ω. Funcţia de tranfer a filtrului analogic, H a (), e determină atfel: -olii lui H a () unt zerourile lui G(- ), localizate în emilanul tâng, retricţie imuă de tabilitatea filtrului; -zerourile lui H a () e obţin din zerourile lui E(- ) rin ditribuirea acetora din urmă în mod egal între B() şi B(-), fără a eara erechile de zerouri comlex conjugate, entru a obţine H a () cu coeficienţi reali. Determinarea lui B() nu ete unică. Dacă entru zerourile lui B() e alică aceeaşi regulă de alocare ca şi în cazul olilor, funcţia de tranfer obţinută ete de fază minimă. Sre deoebire de oli, zerourile ot fi localizate şi e axa jω.

7 Fiecare din acete trei caracterizări echivalente ale unui filtru analogic conduce la metode diferite de converie a filtrului analogic în unul digital. Pentru ca tehnicile de converie ă fie eficiente, acetea trebuie ă îndelineacă următoarele cerinţe:. Axa jω a lanului ă fie tranformată în conturul cercului unitate în lanul Z, ceea ce va determina o relaţie directă între frecvenţele variabile în cele două domenii.. Semilanul tâng al lanului ă fie tranformat în interiorul cercului unitate al lanul Z, atfel încât filtrelor analogice tabile ă le coreundă filtre digitale tabile Metoda tranformării ecuaţiei diferenţiale Una din cele mai imle căi de tranformare a unui filtru analogic în unul digital contă în înlocuirea diferenţialelor din exreia (3.7) rin diferenţe finite [8], obţinând atfel ecuaţia cu diferenţe finite care aroximează ecuaţia diferenţială dată. y ( ) ( ) [] n + { y[] n } β { x[] n } M α (3.9) unde x [] n şi y [] n rerezintă ecvenţele de intrare şi ieşire ale filtrului ( ) ( ) digital, iar { x[] n }, { y[ } rerezintă diferenţele de ordinul [63] ale acetora, obţinute rin ubtituţiile următoare: ( ) d ya ( t) ( ) ya ( t) y[, { y[] n } (3.) t nt dt t nt unde y a (t) ete răunul filtrului analogic, T ete erioada de ( t) d ( ) ya eşantionare, iar dt ete derivata de ordinul () a răunului filtrului analogic în raort cu timul. Diferenţele înaoi de ordinul, reectiv, unt date de relaţiile: () y { []} [] n y[ n ] y n T (3.) ( ) ( ) ( ) () ( ) { []} { { [] } { y[] n } { y[ n ] } y n y n,, T Alicând tranformata Z relaţiilor (3.), e oate crie 33

8 Z Z () z { { y[] n } Y ( z) T ( ) z ( ) { { y[] n } Z { y[] n } z { } Y ( z) (3.) T T Alicând tranformata Z ambilor membri ai ecuaţiei cu diferenţe (3.9) şi utilizând tranformatele Z ale diferenţelor date de (3.), e obţine funcţia de tranfer a filtrului digital de forma M z β i i ( ) T H z (3.3) i z + α i i T Exreia (3.3) arată că obţinerea lui H ( z) din H a ( ) e face rin ubtituţia z (3.4) T dy t Diferenţiatorul analogic cu ieşirea a ( ) are funcţia de tranfer dt y [ y[ n ] H ( ), în tim ce itemul digital care roduce ieşirea T z are funcţia de item H ( z). Coreondenţa dintre cele două T domenii, şi Z, ete dată de relaţia (3.4). ( ) Diferenţele { y[ } evaluate cu relaţiile (3.) oartă ( ) denumirea de diferenţe înaoi. Dacă, în chimb, diferenţele { y[] n } e evaluează cu relaţiile () y { []} [ n + ] y[ y n T ( ) ( ) ( ) şi { []} { y[ n + ] } { y[ } y n, entru,, (3.5) T acetea oartă denumirea de diferenţe înainte. i 34

9 Reetând rocedura de trecere de la ecuaţiile cu diferenţe finite la funcţia H ( z) utilizând diferenţele înainte, rezultă că aceata e obţine din H a () rin ubtituţia z (3.6) T Pentru a examina modul în care e tranformă lanul Z în lanul, şi inver, rin tranformările (3.4) şi (3.6) şi dacă unt atifăcute cerinţele şi, e înlocuieşte în rima relaţie σ + jω. Pentru σ e obţine tranformarea axei { j Ω} z ΩT + j Re( z) j Im( z) T σ jωt + Ω T + Ω T + (3.7) Eliminând Ω T din Re(z) şi Im(z) e obţine relaţia Re ( z ) Re( z) + Im ( z) (Re( z) ) + Im ( z) ( ) (3.8) au, echivalent z (3.9) Atfel, axa { j Ω} a lanului e tranformă în cercul cu centrul în C(/,), de rază /, decri de (3.9) şi rerezentat în figura 3.. Figura 3.. Tranformarea lanului (a) în lanul Z rin utilizarea diferenţei înaoi (b), reectiv diferenţei înainte (c) în aroximarea ecuaţiei diferenţiale Pentru a tabili coreondenţa dintre lanul şi lanul Z, e înlocuieşte σ + jω în ecuaţia cercului (3.9), rezultând 35

10 z + Dacă σ < T T z < ( + σt ) + ( ΩT ) ( σt ) + ( ΩT ) ; (3.3) Relaţiile (3.3) evidenţiază fatul că emilanul tâng al lanului trece în interiorul cercului de rază / iar emilanul dret în exteriorul acetui cerc. Cum acet cerc ete localizat în interiorul cercului unitate, rezultă că tranformarea (3.4) conervă condiţia de tabilitate a filtrului analogic. Tranformarea rezentată nu aigură îndelinirea cerinţei de tranformare a axei imaginare a lanului în conturul cercului unitate, înă entru valori foarte mici ale lui T, o zonă a axei { j Ω} (entru care Ω T ete foarte mic) va fi tranformată în arcul de cerc ituat în jurul lui z, care coreunde, în domeniul frecvenţelor dicrete, lui ω ΩT. Atfel, răunul în frecvenţă al filtrului analogic e conervă la frecvenţe joae, e o zonă de frecvenţă cu atât mai întină cu cât erioada de eşantionare ete mai mică. Ca atare, tranformarea dă rezultate relativ bune la dicretizarea unui filtru analogic trece jo şi neatifăcătoare entru alte tiuri de filtre. Pentru tranformarea (3.6) e oate crie z + T; Re( z) + σ T; Im( z) ΩT ; z ( + σ T ) + ( Ω T ), (3.3) j e tranformă în dreata Re( z ) ce eară emilanele Re( z ) < şi Re( z ) > care rerezintă imaginile emilanelor tâng ( σ < ), reectiv dret ( σ > ) ale lanului, ca în figura 3.c. Din (3.3) e obervă că ete oibil ca filtre analogice tabile, cu olii σ + jω cu σ <, ă nu e tranforme în filtre digitale tabile, dacă + σ + Ω T > (3.3) Acete relaţii evidenţiază fatul că axa { Ω} ( ) ( ) T Prin urmare, tranformarea (3.6) nu atiface cerinţele şi, nefiind o metodă generală bună entru convertirea unui filtru analogic în unul digital. Ca şi în cazul tranformării (3.4), caracteriticile de electivitate unt conervate doar la Ω T foarte mic (orţiunea din dreata Re( z ) din vecinătatea unctului de tangenţă cu cercul unitate). 36

11 3..3. Metoda invarianţei răunului la imul În aceată metodă e urmăreşte a e roiecta un filtru digital IIR al cărui răun la imul h [, ete veriunea eşantionată, cu erioada T, a răunului la imul al filtrului analogic, h a (t). h[ ha ( nt ) (3.33) Se reaminteşte [63] că dacă un emnal continuu x a (t) cu ectrul X a (F) ete eşantionat eriodic cu frecvenţa F / T eşantioane e ecundă, ectrul emnalului eşantionat ete reetarea eriodică a ectrului calat F X a (F) cu erioada F, adică n ( f ) X ( f ) F X [ ] (3.34) a F unde f F / F ete frecvenţa normalizată. Eroarea alia aare dacă frecvenţa de eşantionare F ete mai mică decât dublul celei mai mari frecvenţe, F, din ectrul X a (F). B Figura 3.3 Comaraţie între răunul la imul al a) filtrul analogic şi b) filtrul digital echivalent Particularizând (3.34) entru eşantionarea răunului la imul al filtrului analogic cu răunul în frecvenţă H a ( F ), filtrul digital care îndelineşte relaţia (3.33) are răunul în frecvenţă au, echivalent ( f ) F H [( f ) F ] H (3.35) 37 a

12 cu ω ΩT, au ( ) F H [( ω π ) F ] H ω (3.36) ( ) π π H ΩT H a Ω cu Ω (3.37) T T T În figura 3.4 e arată chematic răunul în frecvenţă al unui filtru analogic trece jo şi răunul filtrului digital coreunzător. Se obervă că răunul filtrului digital e aroie de cel al filtrului analogic, dacă erioada de eşantionare T ete uficient de mică entru a evita au minimiza eroarea alia. Se obervă, de aemenea, că metoda invarianţei răunului la imu nu ete otrivită entru roiectarea de filtre trece u, din cauza erorii alia ce aare în ectru în urma eşantionării. a Figura 3.4 Răunul în frecvenţă ( Ω) Obervaţie. Dacă a ( Ω) ( Ω) H a al filtrului analogic şi cel al filtrului digital coreunzător cu eroare alia H ete de bandă limitată şi atiface condiţia H a entru Ω B Ω (3.38 ) atunci, rin alegerea unei frecvenţe de eşantionare F FB, în relaţia (3.37) nu exită urauneri ale reetărilor adiacente şi, ca atare, e oate crie ω TH ( ω ) H a j entru T ω π, (3.39) 38

13 adică, neuraunerea reetărilor eriodice (garantată de condiţia (3.38)) aigură că filtrul digital obţinut rin metoda invariaţiei răunului la imul va avea exact acelaşi răun în frecvenţă ca şi filtrul analogic rototi. În realitate funcţiile de tranfer ale filtrelor analogice nu atifac decât cu aroximaţie condiţia (3.38), relici ale ectrului din domeniul fundamental exitând e toată axa frecvenţelor, ceea ce conduce la fenomenul alia, atfel că relaţia (3.39) va fi adevărată cu o anumită aroximaţie. Unul din dezavantajele majore ale acetei metode de dicretizare a răunului la imul al filtrului analogic rototi contă în fatul că ea e alică numai entru filtrele al căror răun la imul atiface (chiar cu o anumită aroximaţie) condiţia de emnal de bandă limitată (3.38), utând fi alicată la roiectarea filtrelor trece jo şi trece bandă, nu şi la roiectarea celor trece u, oreşte bandă şi trece tot. În roiectarea filtrelor digitale rin metoda invarianţei răunului la imul cerinţele filtrului dicret unt tranformate în ecificaţii ale filtrului analogic din relaţia (3.39), în ioteza unei erori alia neglijabile, rin alicarea relaţiei Ω ω /T (3.4) Duă obţinerea unui filtru analogic otrivit ecificaţiilor, aceta ete tranformat în unul digital cu funcţia de item H(z), duă o rocedură care neceită arcurgerea următoarelor etae: H a în fracţii imle. Se decomune ( ) H a (). Se determină ( t) σ () t fiind emnalul treată unitate. 39 c (3.4) h a ca tranformata Lalace inveră a lui H a () t ha () t c L ce σ () t (3.4) 3. Se determină funcţia ondere a filtrului digital rin eşantionarea eriodică a lui (t) h a nt h[] n ha ( nt ) ce u[] n cu u[ σ (nt ) 4. Se calculează funcţia de tranfer ( z) ecvenţei h [] n. (3.43) H ca tranformata Z a

14 H ( z) h[] n n n n T n c c ( e z ). T n z c e e nt Efectuând calculele, e obţin coeficienţii { a }, { } digital. Comarând (3.4) cu (3.44) e oate une că ( z) H a () exrimată ca umă de fracţii elementare rin ubtituţia z z n (3.44) b ai filtrului H e obţine din c c (3.45) T e z Pentru H a () cu coeficienţi reali, olii comlecşi aar în erechi conjugate:, α ± jω. Comoditatea lucrului cu valori reale imlică decomunerea în fracţii elementare de ordinul (rin combinarea fracţiilor de ordinul care conţin oli conjugaţi) şi aoi ubtituirea acetora în H ( z). Între tranformata Z a ecvenţei h [ şi tranformata Lalace a emnalului eşantionat exită relaţia n nt ( z) h[] n z ha ( nt ) e L{ ha ( nt )} T H (3.46) T n n e z e z. Prin urmare, coreondenţa între lanele şi Z în cazul metodei invarianţei răunului la imul ete realizată de tranformarea T σt jωt z e e e (3.47) Figura 3.5. Tranformarea lanului în lanul Z rin metoda invariaţiei răunului la imul. 4

15 Particularităţile acetei tranformări, evidenţiate în figura 3.5, unt următoarele: jϕ. Unui unct z r e din lanul Z îi coreunde în lanul o ϕ π infinitate de uncte ln r + j +, Z, ituate e aralela T T T la ordonată σ ( T ) ln r. Aceata îneamnă că fiecare fâşie a lanului, de lăţime π / T, acoeră în întregime lanul Z.. Partea din emilanul tâng a fiecărei fâşii e tranformă în interiorul cercului unitate din lanul Z, iar cea din emilanul dret în exteriorul acetuia. 3. Fiecare interval de e axa { j Ω} de forma π π ( ) Ω < ( + ), Z (3.48) T T jω e tranformă în conturul cercului unitate z e cu ω [ π, π ). Comarând ecuaţia (3.4) cu (3.44), e obervă că olul din lanul e tranformă în olul e T din lanul Z, iar coeficienţii dezvoltării în fracţii imle ai lui H a () şi H(z) unt egali. Dacă filtrul analogic ete tabil, adică Re{ } < atunci T e <, deci olul coreunzător din filtrul numeric ete în interiorul cercului unitate şi filtrul numeric va fi tabil. În tim ce olii din lanul e tranformă în alţi oli în lanul Z, T conform relaţiei z e, ete imortant de ubliniat că rocedeul invarianţei răunului la imul nu coreunde unei imle tranformări a lanului în lanul Z. În articular, zerourile funcţiei de tranfer a filtrului digital unt funcţie de olii şi coeficienţii c ai dezvoltării în fracţii imle şi, în general, ele nu e tranformă în acelaşi mod ca olii. Metoda invarianţei răunului la imul dă rezultate entru filtrele T.J. şi T.B. de ti Butterworth, Beel şi Cebîşev, rezentând avantajul că menţine caracteritica de atenuare şi fază ale filtrului analogic. Obervaţie. Uneori, entru a tranforma filtrul analogic ce urmează a fi roiectat într-un item de bandă limitată rin reducerea erorii alia, e utilizează un filtru de gardă în cacadă cu cel dorit (aceta fiind un F.T.J. cu atenuare foarte mare în zona de orire şi contantă în zona de trecere). 4

16 Metoda invariaţiei răunului la imul îndelineşte cerinţele şi, în măura în care eroarea alia oate fi neglijată. Exemlul 3.. Să e tranforme un filtru analogic cu funcţia de tranfer +, H a ( ) ( +,) + 9 într-unul digital IIR, rin metoda invarianţei răunului la imul. Soluţie. Filtrul are un zerou la -, şi o ereche de oli comlex conjugaţi, ± 3, oziţionaţi ca în figura 3.6., j Pentru roiectarea filtrului IIR nu trebuie determinat răunul la imul h a (t), ci e determină direct H(z) din decomunerea în fracţii imle a lui H a (). Figura 3.6. Localizarea olilor şi a zeroului H ( ) + +, j3 +, + j3 ; ( z) +,T j3t,t j3t H e e z e e z Cei doi oli comlex conjugaţi ot fi combinaţi entru a forma un filtru cu doi oli, cu funcţia de item,t ( ( e co3t ) z H z),t,t (e co3t ) z + e z Modulul caracteriticii de frecvenţă a acetui filtru ete dată în figura 3.7a entru T, şi T,5. Pentru comaraţie, în figura 3.7b e rezintă răunul în frecvenţă al filtrului analogic. 4

17 Figura 3.7 Răunul în frecvenţă entru a) filtrul digital b) filtrul analogic din exemlul 3. Se obervă că eroarea alia ete mai emnificativă la T,5 decât la T,. De aemenea, e obervă delaarea frecvenţei de rezonanţă cu chimbarea lui T şi micşorarea erorii alia entru valori mici ale lui T. Concluzii cu rivire la metoda invarianţei răunului la imul. Răunul la imul al filtrului numeric h[ ete identic cu cel al fitrului analogic, h(t), la momentele dicrete t nt, n,,..., conform figurii Eşantionarea în tim afectează răunul în frecvenţă al filtrului numeric obţinut rin aceată metodă. 3. Sectrul filtrului numeric, caracterizat de funcţia de item H(z), va fi acelaşi cu al filtrului analogic original, caracterizat de funcţia de tranfer H(), dar aceta e reetă la multili ai frecvenţei de eşantionare. Oricum, dacă e iau uficiente eşantioane din răunul la imul al filtrului original analogic şi dacă aceta ete de bandă limitată înainte de alicarea metodei invarianţei răunului la imul, eroarea de ti alia va fi mică. Metoda oate fi foloită entru F.T.J. cu tăiere foarte abrută, cu alia mic, dacă frecvenţa de eşantionare ete uficient de mare, dar nu ete otrivit entru F.T.S. au F.T.B., fără foloirea filtrului de gardă (anti alia) Metoda tranformării biliniare Metoda tranformării biliniare ete în rezent unul dintre cele mai eficiente rocedee de roiectare a filtrelor IIR în raort cu următoarele două criterii: răunul în frecvenţă ă aroximeze cât mai fidel filtrul analogic de referinţă şi ă e menţină imlitatea în roiectare. 43

18 Metoda e bazează e integrarea ecuaţiilor diferenţiale şi foloirea aroximării numerice. Se conideră, ub formă generală, funcţia de tranfer a itemului Ya ( ) H a ( ) (3.49) X a ( ) unde X a ( ), Ya ( ) unt tranformatele Lalace ale emnalelor de intrare, x a (t), şi, reectiv, de ieşire, y a (t). Funcţia de tranfer a filtrului analogic oate fi decomuă în fracţii imle, motiv entru care, în continuare, analiza e efectuează entru un filtru liniar analogic cu funcţia de tranfer b H a ( ) (3.5) + a Ecuaţia diferenţială care caracterizează filtrul liniar analogic ete atunci de forma dya ( t) + aya ( t) bxa ( t) (3.5) dt Răunul y a (t) e oate determina cu relaţia y t a ( a + a t y a (t ' t) y ( τ ) dτ y ( t ) (3.5) ' unde y a ( t) ete derivata răunului ). Din aroximarea integralei (3.5) rin metoda traezelor, rezultă entru tnt şi t nt-t T ' ' ya ( nt ) [ ya ( nt ) + y ( nt T )] + ya ( nt T ) (3.53) Relaţia (3.5), evaluată la tnt, ete ' ya ( nt ) aya ( nt ) + bxa ( nt ) (3.54) Din înlocuirea relaţiei (3.54) în (3.53) rezultă T ya ( nt ) [ aya ( nt ) + bxa ( nt ) aya ( nt T ) + (3.55) + bxa ( nt T )] + ya ( nt T ) cu notaţiile y[y a (nt), x[x a (nt), y[n-]y a (nt-t), x[n-]x a (nt-t), relaţia (3.55) devine at at bt + y[ y[ n ] ( x [ n ] + x [ n ] ) (3.56) Tranformata Z a acetei ecuaţii cu diferenţe ete 44

19 au adică at at bt + Y ( z) z Y ( z) ( + z ) X ( z) (3.57) Funcţia de tranfer a filtrului digital echivalent ete Y ( z) ( bt / )( + z ) H ( z) (3.58) X ( z) + at / ( at / ) z b H ( z) (3.59) z + a T z + Se obervă că H(z) e oate obţine din (), foloind ubtituţia H a z, (3.6) T + z H ( z) H ( ) (3.6) z T z+ Tranformarea inverabilă din relaţia (3.6) e numeşte tranformare biliniară. Deşi obţinerea tranformării biliniare -a efectuat entru o ecuaţie diferenţială de ordinul, relaţia (3.6) ete adevărată indiferent de ordinul al ecuaţiei diferenţiale au, echivalent, al itemului analogic, întrucât aceta ete echivalent cu conectarea în aralel a iteme de ordinul. Rezolvând (3.6) în raort cu z, rezultă T T ( + ) /( ) z (3.6) Când jω relaţia (3.6) devine z ( T + jω) /( T jω) (3.63) Din aceată ecuaţie rezultă că z. Pentru Ω, rezultă z, iar entru Ω, z-. Dacă în (3.6), e înlocuieşte σ+jω e obţine + σ + jω z T (3.64) σ jω T atfel încât, dacă σ< (emilanul tâng) e obţine z <, iar dacă σ > (emilanul dret), e obţine z >. 45

20 jω Analog, dacă e crie variabila z în formă olară, z re, şi aoi e înlocuieşte în (3.6), rezultă jω z re jω T z + T re + (3.65) r r inω + j σ + jω T + r + r coω + r + r coω Prin identificare, e obţine r σ (3.66) T + r + r co ω r inω Ω (3.67) T + r + r coω Pentru r<, rezultă σ< şi dacă r>, rezultă σ>, deci emilanul tâng e tranformă în interiorul cercului unitate, şi emilanul dret în exteriorul cercului unitate. Pentru r, rezultă σ şi inω ω Ω tg (3.68) T + coω T au, echivalent ΩT ω tg (3.69) În figura 3.8 e arată coreondenţa dintre lanul şi lanul Z rin tranformarea biliniară. Întreaga axă jω a lanului e tranformă în conturul cercului unitate; emilanul tâng al lanului e tranformă în interiorul cercului unitate iar emilanul dret în exteriorul cercului unitate. Figura 3.8. Coreondenţa dintre lanul şi lanul Z rin tranformarea biliniară 46

21 Se obervă că utilizarea tranformării biliniare oferă oibilitatea roiectării de filtre numerice tabile, lecând de la filtre analogice tabile. Alt avantaj ete acela că e înlătură uraunerea ectrală întâlnită la utilizarea metodei invarianţei răunului la imul, deoarece tranformă întreaga axă imaginară a lanului în conturul cercului unitate. Preţul lătit ete introducerea unor ditoriuni e axa frecvenţelor, datorită fatului că axa infinită jω e comrimă în conturul cercului unitate. Relaţia neliniară dintre frecvenţele variabile din cele două domenii, exrimată rin relaţia (3.69), ete rerezentată în figura 3.9. Aceată metodă e foloeşte numai în alicaţii care tolerează aemenea ditoriuni au atunci când ele ot fi comenate. Exită o largă claă de filtre entru care e oate comena neliniaritatea ronunţată dată de relaţia (3.69). Se obervă că relaţia între frecvenţa analogică Ω şi frecvenţa dicretă ω ete aroae liniară entru valori mici ale lui ω, dar devine neliniară entru valori mari ale lui ω, conducând la ditoriuni în răunul în frecvenţă al filtrului digital. Figura 3.9. Relaţia între frecvenţa analogică şi cea digitală în tranformarea biliniară De aemenea, ete intereant de obervat că, rin tranformarea biliniară, unctului îi coreunde z-. În conecinţă, un FTJ analogic cu un ingur zero la are ca rezultat un filtru digital care are un zero la z-. Paşi foloiţi în alicarea metodei tranformării biliniare. Se definec, conform alicaţiei, frecvenţele caracteritice ale filtrului numeric. 47

22 . Se calculează frecvenţa au frecvenţele coreunzătoare filtrului analogic, cu relaţia Ω ( / T ) tg( ωt / ). 3. Se roiectează filtrul analogic cu funcţia de tranfer H a () care îndelineşte ecificaţiile de frecvenţă { Ω }, de la unctul. 4. Se determină aoi funcţia de tranfer H(z) a filtrului numeric dorit. Exemlul 3.. Să e tranforme un filtru analogic cu funcţia de tranfer +, H a ( ) ( +,) + 6 într-un filtru digital IIR rin tranformarea biliniară. Filtrul digital trebuie ă aibă frecvenţa de rezonanţă la ω r π /. Soluţie. Frecvenţa de rezonanţă a filtrului analogic ete Ω r 4. Aceată frecvenţă trebuie ă fie tranformată în ω r π / rin electarea valorii arametrului T din relaţia (3.69). Rezultă T/ şi, deci, conform relaţiei (3.6), e oate crie z 4 + z Filtrul digital rezultat are funcţia de tranfer,8 +,6z,z H ( z) +,6z +,975z Ţinând cont că termenul,6 z e foarte mic în comaraţie cu ceilalţi termeni, aceta e neglijează şi rezultă că H(z) are olii ± jπ /,, 987e şi zerouri la z, z, 95. În acet exemlu arametrul T a fot ale atfel încât frecvenţa de rezonanţă a filtrului analogic ă coreundă cu frecvenţa de rezonanţă a filtrului digital. De obicei, roiectarea filtrului încee cu ecificaţiile în domeniul digital. Acete ecificaţii în frecvenţă unt tranformate în domeniul analogic, rin relaţia (3.68). Filtrul analogic ete roiectat entru acete ecificaţii şi convertit într-un filtru digital rin tranformarea biliniară (3.6). În aceată rocedură arametrul T diare din exreia lui H(z), atfel încât oate avea o valoare arbitrară (fie T). Următorul exemlu ilutrează acet lucru. 48

23 Exemlul 3.3. Să e roiecteze un FTJ cu un ingur ol, cu lăţimea de bandă de,π la 3dB, rin tranformarea biliniară alicată filtrului analogic H() Ω c /( + Ωc ), unde Ω c ete lăţimea de bandă a filtrului analogic la 3dB. Soluţie. Filtrul digital are câştigul de -3dB la ωc, π. În domeniul frecvenţelor filtrului analogic, ωc, π coreunde frecvenţei Ωc tg(,π ),65 / T, rezultând funcţia de tranfer a filtrului T,65 / T analogic H ( ) +,65 / T Alicând tranformarea biliniară entru a converti filtrul analogic în filtrul digital dorit, rezultă,45( + z ) H ( z),59z Răunul în frecvenţă al filtrului digital ete jω,45( + e ) H ( ω) jω,59e La ω, H() şi la ω,π, H(,π ),77, care ete răunul dorit Metoda tranformării în Z adatate Aceată metodă e bazează e exrimarea funcţiei de tranfer a filtrului analogic H a () în formă factorizată şi contă în tranformarea directă a olilor şi zerourilor din lanul în lanul Z. Metoda tranformării în Z adatate tranformă un ol din lanul în T olul z e în lanul z, adică tranformă factorul - în factorul T z zt e. Similar, un zerou z e tranformă în z z e. Preuunând funcţia de tranfer a filtrului analogic factorizată în forma M ( z ) H ( ) (3.7) ( ) 49

24 unde z şi unt zerourile şi, reectiv, olii filtrului analogic, funcţia de item a filtrului digital ete M zt ( e z ) H ( z) (3.7) T ( e z ) unde T ete erioada de eşantionare. Pentru o ereche de oli comlex conjugaţi tranformarea factorilor devine ( + α + jω )( + α jω ) ( + α ) αt αt z e co( Ω T ) + e z Polii funcţiei de tranfer ( z) 5 + Ω (3.7) H a filtrului digital atfel obţinut unt identici cu cei obţinuţi rin metoda invarianţei răunului la imul, în chimb zerourile unt diferite. Deşi foarte comodă, metoda nu ete foloită datorită fatului că erorile de ti alia unt mult mai uternice decât la metoda invarianţei răunului la imul Proiectarea FTS, FTB, FOB rin tranformări de frecvenţă Până acum -a initat în rincial aura roiectării FTJ, IIR. Dacă e doreşte roiectarea unui FTS, FTB, FOB, aceata e face cu un model de FTJ, căruia i e alică o tranformare de frecvenţă. O oibilitate ete de a realiza tranformarea de frecvenţă în domeniul analogic şi aoi ă e converteacă filtrul analogic într-un filtru digital, făcând coreondenţa dintre lanul şi lanul Z. O altă cale ete de a tranforma întâi filtrul TJ analogic într-un FTJ digital şi aoi de a tranforma FTJ digital în filtrul dorit rintr-o tranformare de frecvenţă direct în domeniul dicret. În general acete metode roduc rezultate diferite, cu exceţia tranformării biliniare, când roiectările unt identice Tranformări de frecvenţă în domeniul analogic Tranformările de frecvenţă în domeniul analogic unt tranformări generale care ermit obţinerea filtrelor trece u, trece bandă

25 şi oreşte bandă ornind de la un filtru trece jo roiectat. Ele realizează chimbarea caracteriticilor de electivitate rintr-o imlă ubtituire a variabilei în exreia funcţiei de tranfer H a ( ). Se notează cu şi variabilele frecvenţă comlexă entru filtrul trece jo şi cel derivat din aceta. a) Se reuune că ete roiectat un FTJ cu frecvenţă tăiere Ω c şi e doreşte convertirea a în altul, tot trece jo, cu frecvenţa de tăiere ' Ω c.tranformarea care realizează acet lucru ete [48] Ωc (TJ în TJ) (3.73) ' Ωc Funcţia de tranfer a FTJ obţinut ete ' H l ( ) H [( Ωc / Ω c ) ], (3.74) unde H () ete funcţia de tranfer a filtrului rototi, cu frecvenţa de tăiere Ω c. b) Dacă e doreşte converia unui FTJ în unul TS cu frecvenţa de ' tăiere Ω tranformarea neceară ete [48] ' ΩcΩ (TJ în TS) (3.75) c ' Funcţia de tranfer a FTS ete H ( ) H ( Ω Ω ) h c c / c) Tranformarea unui FTJ analogic cu frecvenţa tăiere Ω c în banda de trecere a filtrului, în unul TB cu frecvenţa de tăiere inferioară Ω cl şi cea uerioară Ω cu, oate fi realizată întâi rin tranformarea FTJ ' în alt FTJ cu frecvenţa de tăiere Ω c şi aoi realizând tranformarea [48] + ΩclΩ cu (TJ în TB) (3.76) ( Ωcu Ωcl ) Echivalent, e oate obţine acelaşi rezultat într-un ingur a, rin tranformarea [48] + Ω clωcu Ω (TJ în TB) (3.77) c ( Ωcu Ωcl ) Se obţine atfel 5

26 + Ω clωcu H () b H Ωc ( Ω Ω ). cu cl (3.78) d) Tranformarea unui FTJ analogic cu frecvenţa de tăiere Ω c într-un FOB e face rin tranformarea inveră a relaţiei (3.76), cu factorul Ω c ervind la normalizarea frecvenţei de tăiere a FTJ. Atfel, tranformarea ete [48] ( Ωcu Ωcl ) Ω c + ΩcuΩcl (TJ în OB) (3.79) ceea ce conduce la ( Ω ) cu Ω cl H () b H Ωc + ΩcuΩ cl (3.8) Programele de roiectare a filtrelor analogice utilizează tranformarea biătratică generală [48] c + c + c d + d + d (3.8) care, rin articularizarea coeficienţilor c i, d i, ermite realizarea tuturor tranformărilor anterioare Tranformări de frecvenţă în domeniul digital Ca şi în domeniul analogic, tranformările de frecvenţă ot fi alicate şi unui FTJ digital entru a-l tranforma într-un FTB, FOB, FTS. Tranformarea imlică înlocuirea variabilei z cu o funcţie raţională g ( z ), care trebuie ă atifacă următoarele rorietăţi [48]:. Coreondenţa z g ( z ) trebuie ă tranună unctele din interiorul cercului unitate din lanul z, în el înuşi.. Cercului unitate trebuie ă-i coreundă tot cercul unitate. Condiţia () imlică fatul că entru r, jω jω j arg[ g ( ω )] e g( e ) g( ω ) g( ω) e (3.8) Rezultă, deci, că trebuie ca g(ω) entru toţi ω. Coreondenţa ete de tiul trece tot, adică de forma 5

27 n ( z ) ± z a g (3.83) a z unde a <, entru a aigura fatul că un filtru tabil ete tranformat în alt filtru tabil. Din relaţia generală (3.83) e obţine etul de tranformări digitale entru tranformarea unui FTJ digital, cu frecvenţa de tăiere ω c, în alt FTJ, în unul TB, OB au TS. Atfel, tranformarea TJ TJ ete dată de coreondenţa [48] z a z (3.84) az ' in[( ωc ωc ) / ] ' cu: a, Ω ' c - frecvenţa de tăiere a noului filtru. in[( ωc + ωc ) / ] z + a Tranformarea TJ TS [48] z (3.85) + az ' co[( ωc + ωc ) / ] ' cu: a, Ω ' c - frecvenţa de tăiere a noului filtru. co[( ωc ωc ) / ] z az + a Tranformarea TJ TB [48] z (3.86) a z az + co[( ωcu + ωcl ) / ] cu: a α K /( K + ); a ( K ) /( K + ), α, co[( ωcu ωcl ) / ] ( ωcu ωcl ) ωc K ctg tg, ωcl - frecvenţa inferioară de tăiere a filtrului dorit, ωcu - frecvenţa uerioară de tăiere a filtrului dorit. z az + a Tranformarea TJ OB [48] z (3.87) a z az + co[( ωcu + ωcl ) / ] Cu a α /( K + ); a ( K) /( K + ), α, co[( ω ω ) / ] ( ωcu ωcl ) ωc K tg tg, ωcl - frecvenţa inferioară de tăiere a filtrului dorit, ωcu - frecvenţa uerioară de tăiere a filtrului dorit. În realizarea tranformărilor de frecvenţă trebuie avut grijă de tiul filtrului care trebuie ă fie roiectat. 53 cu cl

28 S-a arătat că metoda invarianţei răunului la imul nu ete adecvată entru roiectarea FTS şi a multor FTB, datorită efectului de aliere ectrală. În conecinţă, nu e va efectua o tranformare de frecvenţă analogică, urmată de o converie a rezultatului în domeniul digital, foloind aceată coreondenţă. În chimb, ete mai bine ă a e realiza converia dintr-un FTJ analogic în unul digital rin metoda invarianţei răunului la imul şi abia aoi ă e realizeze tranformarea de frecvenţă în domeniul digital. Atfel e evită roblema erorii alia. În cazul tranformării biliniare, unde aliaingul nu ete o roblemă, nu contează când are loc tranformarea de frecvenţă, în domeniul analogic au în cel digital, în acet caz rezultatele fiind identice Tehnici directe de roiectare a filtrelor digitale IIR Ca o alternativă la tehnica tranformării unui filtru analogic în unul digital exită metoda roiectării filtrelor IIR digitale direct în domeniul tim au Z, fără a face referire la cele analogice. Metodele de roiectare din aceată categorie e bazează e otimizare numerică şi, în rinciiu, ermit obţinerea de filtre digitale ce aroximează orice ti de răun în domeniul tim au frecvenţă. Proiectarea directă a filtrelor IIR reuune următoarele etae: ) Coniderarea unei funcţii raţionale H ( z) de forma (3.3) cu ordinele M şi ale olinoamelor B ( z) şi A ( z) fixate; ) Alegerea unui criteriu de minimizare a erorii adecvat alicaţiei concrete. Eroarea e oate referi fie la modulul funcţiei de tranfer, fie la faza aceteia, fie imultan la cele doua caracteritici, în cazul aroximării în domeniul frecvenţă, au la răunul la imul h [, în cazul aroximării în domeniul tim. 3) Utilizarea unui algoritm, în general iterativ, entru determinarea coeficienţilor { a }{, b } ai lui H ( z) au a ecvenţei h [, atfel încât eroarea dintre răunul dorit şi cel realizat ă fie minimizată. În continuare vor fi rezentate câteva metode de roiectare directă a filtrelor IIR, în care ecificaţiile şi roiectarea unt în domeniul tim. 54

29 3.3.. Metoda de aroximare Padé În aceată metodă e reuune că răunul la imul dorit h d [ ete ecificat entru n. Filtrul ce urmează a fi roiectat are funcţia de item unde [ M b z n H ( z) h[ z (3.88) n + a z h ete răunul la imul. Filtrul are L M + + arametri, b, ce ot fi aleşi atfel încât ă şi anume, coeficienţii { } a şi { } minimizeze un criteriu de eroare. Criteriul celor mai mici ătrate ete adeea foloit în roblemele de otimizare. În acet caz e minimizează uma ătratelor erorilor în raort cu arametrii { } U E [ hd h[ ] n a şi { } 55 [ (3.89) b ai filtrului, unde U ete o limită uerioară retabilită entru umare, aleaă atfel încât eroarea de aroximare a a funcţiei de tranfer au a răunului la imu ă fie în limitele imue de datele de roiectare. În general, h [ ete o funcţie neliniară de arametrii filtrului şi minimizarea lui E imlică rezolvarea unui item de ecuaţii neliniare. Dacă limita uerioară e electează ca fiind U L, ete oibil a adata erfect răunul dorit h d [ entru n M +. Aceata e oate realiza în felul următor: filtrul ce urmează a fi roiectat ete decri de ecuaţia cu diferenţe y[ a y[ n ] a y[ n ] a y[ n ] + (3.9) + b x[ + b x[ n ] + + bm x[ n M ] Dacă intrarea în filtru ete imulul unitate, adică x[ δ[, rezultă că y [ h[, adică h[ ah[ n ] ah[ n ] a h[ n ] + (3.9) + bδ [ + bδ [ n ] + + bmδ[ n M ] Deoarece δ[ n ] entru n, relaţia (3.9) devine

30 h[ a h[ n ] ah[ n ] a h[ n ] + bn, n M (3.9) Pentru n > M, relaţia (3.9) devine h[ ah[ n ] ah[ n ] a h[ n ] (3.93) Ecuaţiile (3.9) şi (3.93) ot fi foloite în determinarea coeficienţilor b. Se imune h[ h [ entru n M + şi e filtrului { a } şi { } d foloeşte itemul de ecuaţii (3.93) entru a determina { a } e introduc în (3.9), entru a determina coeficienţii { b }. Aoi, aceştia. Atfel, e obţine o otrivire erfectă între h [ şi h d [ entru rimele L valori ale răunului la imul. Aceată tehnică e numeşte, de obicei, aroximarea Padé [49]. Măura în care aceată metodă ermite obţinerea de filtre accetabile deinde, în arte, de numărul de coeficienţi electaţi. Evident, cu cât aceta ete mai mare, cu atât va fi mai bună aroximarea. Aceta ete un dezavantaj imortant al metodei, şi anume, filtrul rezultat va avea mulţi oli şi multe zerouri, motiv entru care foloirea a în ractică ete limitată. Exemlul 3.4. n Se reuune că răunul la imul dorit ete hd [ u[. Să e determine arametrii filtrului cu funcţia de item b + b z H ( z), foloind aroximarea Padé. + az Soluţie. În acet exemlu imlu H(z) e oate otrivi erfect cu H d (z) electând b, b, a. Acelaşi lucru e oate obţine i cu aroximarea Padé, duă cum ete ilutrat în continuare. Cu intrarea δ[, e obţine h[ ah[ n ] + bδ [ + bδ [ n ] entru n>, h [ ah[ n ] au, imunând h[ hd [ n ], hd [ ahd [ n ]. Înlocuind h d [ în ultima relaţie, e obţine 56

31 n n u[ a u[ n ] a. Pentru a determina b şi b e foloeşte relaţia (3.9), de aemenea, cu condiţia h [ h d [. Se obţine hd [ hd [ n ] + bδ [ + bδ [ n ]. Pentru n b, n + b b, deci H(z) H d (z). Acet exemlu arată că aroximarea Padé are ca rezultat o otrivire erfectă cu H d (z), când funcţia de item dorită ete o funcţie raţională şi e cunoaşte numărul de oli şi zerouri din funcţia de item. Aceta nu ete, în general, cazul în ractică, deoarece h d [ e determină din ecificaţiile răunului dorit în frecvenţă, H (ω). O oluţie de a obţine o aroximare bună a filtrului dorit cu metoda Padé ete de a încerca divere valori entru M şi ână când răunul în frecvenţă al filtrului rezultat converge la răunul în frecvenţă dorit cu o eroare de aroximare accetabil de mică Proiectarea filtrelor digitale IIR foloind metoda celor mai mici ătrate În aceată metodă e adotă un model entru item şi e determină arametrii modelului care minimizează în enul celor mai mici ătrate eroarea dintre răunul itemului real şi răunul dorit. Se reuune din nou că h d [ ete ecificat entru n. Se încee cu cazul imlu, în care filtrul numeric ce urmează a fi roiectat conţine numai oli, adică b H ( z) (3.94) + a z Fie conectarea în cacadă a filtrului dorit H d (z) cu filtrul inver, care ete un filtru numai cu zerouri, ca în figura 3.. Se H ( z) 57 d

32 reuune că la intrarea cacadei din figura 3. e alică excitaţia δ [, atfel încât intrarea în itemul inver ete h d [ şi ieşirea y[. Ideal, ieşirea dorită ete [ δ[. Ieşirea reală, y [, e obţine atfel: y d + Y ( z) H d ( z) H d ( z) a z (3.95) H ( z) b au, în domeniul tim y[ hd [ + a hd [ n ] (3.96) b δ [ h d [ y [ δ [ H d (z) H ( z) + Minimizează uma erorilor ătratice Figura 3. Proiectarea filtrului inver rin metoda celor mai mici ătrate Condiţia y d [ ] y[] ete atifăcută rin alegerea b hd []. Pentru n >, y [ rerezintă eroarea dintre ieşirea dorită y d [ şi ieşirea reală. Parametrii { a } vor fi electaţi atfel încât ă minimizeze uma ătratelor ecvenţei de eroare: hd [ + a hd [ n ] n E y [ (3.97) h [] n Minimul acetei mărimi e obţine entru coeficienţii { } din egalarea cu zero a derivatei lui E în raort cu { a } un item de ecuaţii liniare. d a rezultaţi, de unde e obţine 58

33 E' h hd [ + hd [ a hd [ n ] + a hd [ n ] n l [ h [ n ] + [] [ n l] + d d l d d n l r [,] + a r h d a h [ n ] h [, l],,, dd l dd, l unde [, l] l a r [, l] r [ ], a [ ] lhd n l ' a hd [ n ] hd [ n l],, l dd dd, r dd ete ecvenţa de autocorelaţie a lui { [} unde [ ] dd dimeniune [ ] dd n h d, definită ca (3.98) r [, l] h [ n ] h [ n l] (3.99) dd Pentru ecvenţe taţionare r dd [, l] n r d h [ h d d d [ n + l] r dd [ l] (3.99 ) [,] h [ h [ n ] r [ ] (3.99 ) dd n d d Sitemul de ecuaţii (3.98) oate fi cri matriceal R a (3.) [ dd ][ ] [ r dd ] R ete matricea de corelaţie, cu elementele { [ l] }, [] a ete vectorul cu elementele { r dd []}. Dacă exită [ ] r ete un vector din (3.) rezultă dd r dd, de al coeficienţilor filtrului şi R, [ a] [ R dd ] [ r ] (3.) Metoda decriă e numeşte metoda celor mai mici ătrate de roiectare a filtrului inver. Pentru o roblemă de roiectare articulară, răunul la imul dorit h d [ ete ecificat entru un număr finit de uncte; fie aceta n L, cu L >>. Într-un atfel de caz, ecvenţa de corelaţie [] e oate calcula din ecvenţa finită h d [ cu relaţia dd dd r dd 59

34 rˆ dd [ l] L l d n h [ h [ n + l], d l acete valori utând fi foloite entru a forma e [ ] dd R şi [ r ] (3.) dd. Atfel, itemul de ecuaţii liniare (3.) devine [ Rˆ dd ][ a] [ rˆ dd ] (3.3) [ a] Rˆ [ dd ] [ rˆ dd ] (3.4) O metodă alternativă de rezolvare a roblemei de aroximare a filtrului numai cu oli e bazează e concetul de redicţie liniară e baza minimizării erorii în enul celor mai mici ătrate [49]. Duă cum e arată în Figura 3., ieşirea filtrului numai cu oli la un imul δ [ ete au, echivalent y[ a y[ n ] + bδ[ (3.5) h[ a h[ n ] + bδ [, n,,... (3.6) δ [ h[ a h[ n ] + bδ[ b H ( z) + a z (z) H d [ h d Figura 3.. Proiectarea filtrului rin metoda celor mai mici ătrate bazată e redicţia liniară Răunul dorit ete h d [. Dacă şi aceta ar fi furnizat de un filtru numai cu oli, atunci hd [ a hd [ n ] + bδ [, n,, (3.6 ) Deoarece h [ ] b, e imune b hd []. Pentru n, (3.6) devine 6

35 h[ a h[ n ] (3.7) cu condiţia iniţială h [ entru n <. În ioteza că H d (z) ete un filtru numai cu oli, atunci hd [ ahd [ n ], n (3.8) dar aceata nu e întâmlă de obicei. Combinaţia liniară din membrul dret al relaţiei (3.8) oate fi coniderată ca un etimat al lui h d [, adică hˆ d [ ahd [ n ], n (3.9) hˆ d [ e numeşte valoarea redicţiei liniare a lui h d [. Suma ătratelor erorii de redicţie dintre h d [ şi hˆ d [ ete E ( h ˆ d [ hd [ ) hd [ + a hd [ n ] (3.) n n Exreia din relaţia (3.) ete chiar aceeaşi funcţie de eroare rezultată din etul de ecuaţii (3.98), ceea ce îneamnă că redicţia liniară e baza metodei celor mai mici ătrate conduce la acelaşi rezultat ca metoda celor mai mici ătrate de roiectare a filtrului inver Metoda Prony Metoda redicţiei e baza celor mai mici ătrate oate fi extină la o aroximare a lui H d (z) care conţine oli şi zerouri. Dacă filtrul H (z) care aroximează H d (z) are atât oli cât şi zerouri, atunci răunul ău la un imul δ [ devine M h[ a h[ n ] + b δ[ n ], n (3.) au, echivalent, şi h[ a h[ n ] + bn, 6 n M (3.)

36 h[ a h[ n ], n > M (3.3) Dacă H d (z) ete un filtru cu oli şi zerouri, răunul ău la δ [ ar trebui ă atifacă aceleaşi ecuaţii (3.) (3.3), lucru care în general nu e întâmlă. Pe baza relaţiei (3.3) e defineşte valoarea de redicţie liniară a lui [, ca fiind h d hˆ d [ ahd [ n ], n > M (3.4) Ca şi în cazul filtrului numai cu oli, uma ătratelor erorii de redicţie ete E ( h ˆ d [ hd [ ) hd [ + a hd [ n ] (3.5) n M + n M + Minimizarea lui E în raort cu coeficienţii { a } conduce la itemul de ecuaţii liniare unde l al rdd[, l] rdd[,],,,, hd n M + (3.6) r dd[, l] [ n ] hd [ n l] (3.7) Ecuaţiile (3.6), care dau etimaţii coeficienţilor{ a }, notaţi { â }, e reduc la aroximarea filtrului numai cu oli, când M e imune a fi zero. Parametrii { b } ce determină zerourile filtrului e obţin din relaţia (3.), unde h[ hd [, rin înlocuirea valorilor { â } obţinute din (3.6). b n hd [ + aˆ hd [ n ], n M În concluzie, arametrii { } metoda celor mai mici ătrate, în tim ce arametrii { b } (3.8) â ce determină olii e obţin rin, care determină zerourile, e obţin ca în metoda de aroximare Padé. Aceată tehnică entru determinarea olilor şi zerourilor lui H (z) e numeşte metoda Prony. 6

37 Metoda celor mai mici ătrate furnizează etimaţi buni entru arametrii olilor. Metoda Prony oate ă nu fie eficace entru etimarea arametrilor { b }, deoarece aceştia nu rezultă din alicarea unui criteriu de minimizare a erorii Metoda Shan, e determină e baza minimizării erorii de aroximare în enul celor mai mici ătrate a fot rouă de Shan (967) [6] Parametrii { a } unt calculaţi rin alicarea metodei celor mai mici ătrate, ca în relaţia (3.6), rezentată anterior. Aceata roduce etimaţii { â } ce ermit intetizarea filtrului numai cu oli H( z) (3.9) + aˆ z O altă metodă, în care ambele eturi de arametri, { a } şi { b } Răunul acetui filtru la δ [ ete Secvenţa { [} v[ aˆ v[ n ] + δ[, n (3.) v ete foloită entru a excita un filtru numai cu zerouri, cu funcţia de item H M ( z) b z (3.) Duă cum e arată în figura 3., răunul acetuia ete M h ˆ [ b v[ n ] (3.) d δ [ Filtru numai cu v [ Filtru numai cu hˆ d [ oli H (z) zerouri H (z) Figura 3.. Foloirea metodei celor mai mici ătrate entru determinarea olilor şi zerourilor unui filtru Se oate defini o ecvenţă de eroare e[ h [ hˆ [ h [ M b v[ n ] (3.3) d d 63 d

38 şi, în conecinţă, arametrii { b } ot fi, de aemenea, determinaţi cu ajutorul metodei celor mai mici ătrate, şi anume, rin minimizarea relaţiei în raort cu { b } arametrii { b } unde M E hd [ bv[ n ] (3.4) n. Atfel, e obţine un item de ecuaţii liniare entru, în forma M b rvv[, l] rhv[ l,], l,,, M n n (3.5) r [, l] v[ n ] v[ n l] (3.6) vv r [ l,] h [ v[ n l] (3.7) hv d Filtrul FIR inver obţinut rin metoda celor mai mici ătrate Până acum, criteriul de minimizare a erorii în enul celor mai mici ătrate -a foloit în roiectarea filtrelor cu oli i zerouri. O abordare imilară va fi foloită entru a determina filtrul inver FIR, e baza metodei celor mai mici ătrate entru un filtru dorit. Sitemul inver al unui SDLIT, caracterizat de răunul la imul h[ şi funcţia de item H(z), e defineşte ca fiind itemul al cărui răun la imul, h I [, şi funcţie de item, H I (z), atifac relaţiile h[ * hi [ δ[ (3.8) H ( z) H I ( z) (3.9) În general H I (z) ete cu răun infinit la imul, cu exceţia cazului când H(z) are numai oli, şi H I (z) ete cu răun finit la imul. În multe alicaţii ractice ete de dorit a retricţiona filtrul inver ă fie FIR şi o metodă imlă de a obţine acet lucru ete de a trunchia h I [, caz în care eroarea ătratică totală de aroximare devine hi n M + E [ (3.3) t 64

39 unde M + ete lungimea filtrului trunchiat şi E t ete energia cozii răunului la imul h I [. Criteriul de minimizare a erorii de aroximare în enul celor mai mici ătrate oate fi foloit la otimizarea celor M + coeficienţi ai filtrului FIR. Fie d[ ecvenţa de ieşire dorită a filtrului de lungime M + şi fie h[ ecvenţa de intrare. Atunci, dacă y[ ete ecvenţa de ieşire din filtrul inver, cum e arată în figura 3.3, ecvenţa de eroare dintre ecvenţa dorită i cea reală ete unde b unt coeficienţii filtrului. M e[ d[ b h[ n ] (3.3) Figura 3.3. Filtrul FIR inver obţinut rin metoda celor mai mici ătrate Suma ătratelor ecvenţei de eroare ete M E d[ b h[ n ] (3.3) n Prin minimizarea lui E în raort cu coeficienţii filtrului, rezultă itemul de ecuaţii liniare M b r hh [ l] r dh [ l], l,, M (3.33) unde r hh [l] ete funcţia de autocorelaţie a lui h[, reuu taţionar, definită ca n r [ l] h[ h[ n l] (3.34) hh şi r dh [l] ete ecvenţa de corelaţie dintre răunul dorit d[, de aemenea reuu taţionar, şi ecvenţa de intrare h[, definită ca 65