MAGNETNI PRETOK FLUKS

Σχετικά έγγραφα
Diferencialna enačba, v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci

MAGNETNI PRETOK FLUKS (7)

3. AMPEROV ZAKON. SLIKA: Zanka v magnetnem polju. Integral komponente magnetnega polja v smeri zanke je sorazmeren toku, ki ga zanka oklepa.

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 5. december Gregor Dolinar Matematika 1

Zaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 22. oktober Gregor Dolinar Matematika 1

Tretja vaja iz matematike 1

Funkcijske vrste. Matematika 2. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 2. april Gregor Dolinar Matematika 2

NAVOR NA (TOKO)VODNIK V MAGNETNEM POLJU

OSNOVE ELEKTROTEHNIKE II. Magnetostatika. Dejan Križaj

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 10. december Gregor Dolinar Matematika 1

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 21. november Gregor Dolinar Matematika 1

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 14. november Gregor Dolinar Matematika 1

1. Trikotniki hitrosti

matrike A = [a ij ] m,n αa 11 αa 12 αa 1n αa 21 αa 22 αa 2n αa m1 αa m2 αa mn se števanje po komponentah (matriki morata biti enakih dimenzij):

INDUCIRANA NAPETOST (11)

PONOVITEV SNOVI ZA 4. TEST

Booleova algebra. Izjave in Booleove spremenljivke

Zaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 15. oktober Gregor Dolinar Matematika 1

Integralni račun. Nedoločeni integral in integracijske metrode. 1. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: (a) dx. (b) x 3 +3+x 2 dx, (c) (d)

Delovna točka in napajalna vezja bipolarnih tranzistorjev

2. BIOT-SAVARTOV ZAKON

Numerično reševanje. diferencialnih enačb II

Električni potencial in električna napetost Ker deluje na električni naboj, ki se nahaja v električnem polju, sila, opravi električno

Gimnazija Krˇsko. vektorji - naloge

Transformator. Delovanje transformatorja I. Delovanje transformatorja II

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 12. november Gregor Dolinar Matematika 1

Iterativno reševanje sistemov linearnih enačb. Numerične metode, sistemi linearnih enačb. Numerične metode FE, 2. december 2013

Kotni funkciji sinus in kosinus

KODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK

IZPIT IZ ANALIZE II Maribor,

Na pregledni skici napišite/označite ustrezne točke in paraboli. A) 12 B) 8 C) 4 D) 4 E) 8 F) 12

Kotne in krožne funkcije

Podobnost matrik. Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Diagonalizacija matrik

Osnove elektrotehnike uvod

*M * Osnovna in višja raven MATEMATIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Sobota, 4. junij 2011 SPOMLADANSKI IZPITNI ROK. Državni izpitni center

Enačba, v kateri poleg neznane funkcije neodvisnih spremenljivk ter konstant nastopajo tudi njeni odvodi, se imenuje diferencialna enačba.

VEKTORJI. Operacije z vektorji

8. Diskretni LTI sistemi

GILBERT PRVI ZNANSTVEN PRISTOP

3. Uporaba Biot-Savartovega zakona. Tokovna daljica: Premica: Tokovna zanka:

MERITVE LABORATORIJSKE VAJE. Študij. leto: 2011/2012 UNIVERZA V MARIBORU. Skupina: 9

13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa

FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 4 Pisni izpit 22. junij Navodila

Matematika 2. Diferencialne enačbe drugega reda

Frekvenčna analiza neperiodičnih signalov. Analiza signalov prof. France Mihelič

DISKRETNA FOURIERJEVA TRANSFORMACIJA

17. Električni dipol

SKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK

Če je električni tok konstanten (se ne spreminja s časom), poenostavimo enačbo (1) in dobimo enačbo (2):

1. Enosmerna vezja. = 0, kar zaključena

Analiza 2 Rešitve 14. sklopa nalog

Kvadratne forme. Poglavje XI. 1 Definicija in osnovne lastnosti

Funkcije več spremenljivk

Snov v električnem polju. Električno polje dipola (prvi način) Prvi način: r + d 2

Transformator. Izmenični signali, transformator 22.

diferencialne enačbe - nadaljevanje

MATEMATIČNI IZRAZI V MAFIRA WIKIJU

Definicija. definiramo skalarni produkt. x i y i. in razdaljo. d(x, y) = x y = < x y, x y > = n (x i y i ) 2. i=1. i=1

1 Seštevanje vektorjev in množenje s skalarjem

V tem poglavju bomo vpeljali pojem determinante matrike, spoznali bomo njene lastnosti in nekaj metod za računanje determinant.

Državni izpitni center *M * JESENSKI IZPITNI ROK ELEKTROTEHNIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Četrtek, 27. avgust 2009 SPLOŠNA MATURA

PROCESIRANJE SIGNALOV

Elektrotehnika. Študijsko gradivo za študente Pedagoške fakultete UL. Študijsko leto 2009/2010. Slavko Kocijančič

Kontrolne karte uporabljamo za sprotno spremljanje kakovosti izdelka, ki ga izdelujemo v proizvodnem procesu.

Državni izpitni center SPOMLADANSKI IZPITNI ROK *M * NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Petek, 12. junij 2015 SPLOŠNA MATURA

1. kolokvij iz predmeta Fizika 2 (UNI)

BIOT-SAVARTOV ZAKON (2)

Linearna algebra. Bojan Orel Fakulteta za računalništvo in informatiko

p 1 ENTROPIJSKI ZAKON

NEPARAMETRIČNI TESTI. pregledovanje tabel hi-kvadrat test. as. dr. Nino RODE

Splošno o interpolaciji

Osnove matematične analize 2016/17

Linearne preslikave. Poglavje VII. 1 Definicija linearne preslikave in osnovne lastnosti

primer reševanja volumskega mehanskega problema z MKE

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Državni izpitni center *M * SPOMLADANSKI IZPITNI ROK ELEKTROTEHNIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Četrtek, 29. maj 2008 SPLOŠNA MATURA

Matematika 1. Gregor Dolinar. 2. januar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. Gregor Dolinar Matematika 1

Domače naloge za 2. kolokvij iz ANALIZE 2b VEKTORSKA ANALIZA

7. VAJA IZ MEHANIKE TRDNIH TELES. (tenzor deformacij II) (tenzor majhnih deformacij in rotacij, kompatibilitetni pogoji)

Reševanje sistema linearnih

Odvode odvisnih spremenljivk po neodvisni spremenljivki bomo označevali s piko: Sistem navadnih diferencialnih enačb prvega reda ima obliko:

3. VAJA IZ TRDNOSTI. Rešitev: Pomik v referenčnem opisu: u = e y 2 e Pomik v prostorskem opisu: u = ey e. e y,e z = e z.

Kvantni delec na potencialnem skoku

vezani ekstremi funkcij

) produkta toka z vektorjem diferen razdalje v smeri. d - Sila je pravokotna na tokovni element in mag.polje

Električno polje. Na principu električnega polja deluje npr. LCD zaslon, fotokopirni stroj, digitalna vezja, osciloskop, TV,...

4. Analiza vezij. Analiza vezij(4).docj 4. Vsebina poglavja: metoda Kirchoffovih zakonov, metoda zančnih tokov, metoda spojiščnih potencialov.

POROČILO 3.VAJA DOLOČANJE REZULTANTE SIL

Transformatorji in dušilke

Izpeljava Jensenove in Hölderjeve neenakosti ter neenakosti Minkowskega

Metoda končnih elementov III

Tema 1 Osnove navadnih diferencialnih enačb (NDE)

Pisni izpit iz predmeta Fizika 2 (UNI)

Matematika vaja. Matematika FE, Ljubljana, Slovenija Fakulteta za Elektrotehniko 1000 Ljubljana, Tržaška 25, Slovenija

1 Fibonaccijeva stevila

2 Matematični repetitorij Vektorji Tenzorji Štirivektorji Štiritenzorji... 20

Elektrotehnika in elektronika

Matematične metode v fiziki II. B. Golli, PeF

Matematika 1. Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta

Univerza v Novi Gorici Fakulteta za znanosti o okolju Okolje (I. stopnja) Meteorologija 2013/2014. Energijska bilanca pregled

Transcript:

MGNETNI PRETOK FLUKS Equation Section 4 Vsebina poglavja: Določitev magnetnega pretoka, brezizvornost magnetnega polja, upodobitev polja z gostotnicami, induktivnost, lastna induktivnost, magnetni sklep. Veličina, ki jo v magnetiki napogosteje obravnavamo in pogosto imenujemo kar magnetno polje, je gostota magnetnega pretoka (B). Gotovo mora obstajati tudi veličina, ki ji rečemo magnetni pretok? Velja si predstavljati analogijo z gostoto električnega toka J in celotnim tokom I. Pri tokovnem polju smo uporabili zapis I = J d, kjer I predstavlja tok, ki gre skozi neko (nezaključeno!) ploskev. V magnetiki zapišemo na podoben način Φ = B d, (4.1) kjer Φ imenujemo magnetni pretok, pogosto pa tudi magnetni fluks ali kar samo fluks. Enota je T m, ali pa Wb (Weber),ali pa tudi V s. SLIK: Magnetni pretok je enak integralu normalne komponente gostote magnetnega pretoka po določeni površini. Predstavljamo si ga z analogijo med gostoto (električnega) toka in gostoto magnetnega pretoka (J in B) ter tokom in fluksom (I in Φ). Izračun fluksa. Za izračun magnetnega pretoka moramo torej poznati vektor gostote magnetnega pretoka povsod po površini, skozi katero nas zanima pretok. Pri izračunu pretoka preko določene površine je potrebno upoštevati le tisto komponento gostote pretoka, ki je pravokotna na površino, torej tisto, ki»prebada«površino. V enačbi to izrazimo z uporabo skalarnega produkta med vektorjema polja in diferenciala površine. Rezultat te operacije je skalar. Če je polje homogeno povsod po površini, lahko (4.1) zapišemo v preprostejši obliki: Φ = B d = B end = Bcosα (4.) kjer je alfa kot med smerjo Bja in normalo na površino (SKIC). Če je polje pravokotno na ravno površino, je fluks največji in enak kar Φ = B. (4.3) 1/7

Primer: Homogeno polje 5 mt je usmerjeno pod kotom 6 o na normalo na pravokotno zanko površine 4x5 cm. Določimo magnetni pretok skozi zanko. SLIK: Homogeno polje usmerjeno pod kotom na pravokotno zanko. Izračun: Zaradi homogenosti polja po površini zanke lahko uporabimo izraz 4 Φ = B d = Bcosα in Φ = 5mT 1 m cos 6 = 5 Vs=5 Wb. Primer: Določimo magnetni pretok skozi pravokotno zanko, ki je v ravnini ravnega vodnika s tokom 36 in od vodnika oddaljena za a = 5 cm. Dolžina zanke je l = 1 cm, širina pa b = 4 cm. Izračun: Skicirajmo zanko v ravnini XY in izračunajmo pretok skozi zanko v smeri osi Z. Vodnik naj leži na Y osi, s tokom, usmerjenim v smeri -Y osi. V tem primeru je polje vodnika I za x > enako B = ez, diferencial površine pa je d = ezdxdy. Velja πx a+ b l I I a + b Φ = B d ez ez = dx dy = l ln. πx π a a V dobljeno enačbo vstavimo vrednosti in dobimo 7 V s 4π1 36 m 9 cm Φ =,1 m ln = 43 nv s = 43 nwb. π 5 cm SLIK: Pravokotna zanka in vzporedno ležeči vodnik. Primer: Določimo fluks med ravnima vodnikoma (dvovodom) s polmeroma R =, 5 cm in medosno razdaljo d = m na dolžini 1 m. Tok v vodnikih je 15. /7

Izračun: Način izračuna je podoben, kot v prejšnjem primeru. Ugotovimo, da se polji med vodnikoma seštevata, zaradi enakih dimenzij vodnikov pa se seštevata tudi fluksa. Zato je Il d R π R Φ = ln 35,9 mwb. SLIK: Ravna vodnika (dvovod). Brezizvornost magnetnega polja. Koliko pa je fluks skozi zaključeno površino? Ker je polje vrtinčno, enak del pretoka, ki v določen prostor vstopa, tudi izstopa. Integral polja po zaključeni površini bo torej enak nič ali z enačbo B d =. (4.4) SLIK: Enaka količina fluksa, kot v določen zaključen prostor vstopa, na drugem delu prostora tudi izstopa. Zaključeno površino razdelimo na štiri površine. Vsota štirih fluksov iz te površine je enaka Φ Φ Φ Φ + + + =. 1 3 4 To je pomemben rezultat, saj govori o brezizvornosti magnetnega polja. Da torej ne obstaja magnetni izvor in ponor v podobnem smislu, kot to poznamo pri električnem naboju. Temu zapisu lahko rečemo tudi Gaussov zakon za magnetiko, in predstavlja eno od Maxwellovih enačb (3.) zopet le v integralni obliki. Primerjava z Gaussovim zakonom iz elektrostatike. Tam je bil integral Eja po zaključeni površini sorazmeren zaobjetemu naboju. Iz tega je sledil zaključek, da je električno polje izvorno (izvira na pozitivni nabojih in ponira na negativnih). nalogno električnim nabojem ne moremo najti magnetnega naboja. Torej magnetno polje ni izvorno. Včasih rečemo tudi, 3/7

da je solenoidno.vsak trajni magnet je tako izvor kot ponor magnetnega polja. Se pa kljub neobstoju magnetnega naboja v smislu analogije in lažjega računanja polj trajnih magnetov včasih uporablja tudi pojem magnetnega naboja, oziroma bolj natančno magnetnega površinskega naboja. Upodobitev magnetnega polja z gostotnicami. Gostoto pretoka smo lahko prikazali z množico puščic (vektorjev) v prostoru. Če te puščice med seboj povežemo v krivulje, dobimo gostotnice (včasih se jih imenuje tudi silnice). Prostor med gostotnicami si lahko zamislimo kot cevke z določeno velikostjo pretoka. Pretok torej lahko vizualiziramo (predstavljamo) z gostotnimi cevkami. Ker običajno rišemo polje v dveh dimenzijah, gostotne cevke zapolnjujejo prostor med dvema gostotnicama. Običajno jih rišemo tako, da je fluks med sosednjimi gostotnicami konstanten Φ i = konst. Gostotne cevke ravnega vodnika ponazorimo s koncentričnimi krogi s polmeri, ki se gostijo v smeri manjšanja razdalje od vodnika. Da bo fluks med dvema vodnikoma konstanten, mora veljati I r + Φ π r i 1 i 1 k Φ = ln = konst, oziroma e i ekvipotencialne ploskve pri elektrostatiki. r + =. Na podoben način smo risali tudi r i SLIK: Upodobitev magnetnega polja z gostotnimi cevkami. 4/7

INDUKTIVNOST (prvič) Kot vidimo v izrazih za fluks, je le-ta linearno odvisen od toka. Večji je tok, večji je fluks: Φ = nekaj I. To»nekaj«definiramo kot induktivnost (simbol L), torej velja Φ = LI. Sledi, da je induktivnost strukture definirana kot kvocient fluksa in toka: Enota za induktivnost je V s/ ali H (Henry). L Φ = (4.5) I Primer: Določimo induktivnost dvovoda iz primera, če upoštevamo le fluks med žicama (ne tudi v žicah). Φ l d R L = = ln 4H. I π R Če bi želeli eksaktno določiti induktivnost dvovoda, bi morali upoštevati tudi tisti del fluksa, ki gre skozi vodnika. Izpeljana enačba l d R L = ln torej ni eksaktna enačba induktivnosti π R dvovoda. Ker pa ta fluks ne zajame celotnega toka vodnika, je izpeljava končnega izraza nekoliko bolj zapletena (R Sinigoj: Osnove elektrotehnike, str. 354). Če bi upoštevali še to, l 1 d bi kljub vsej zahtevnosti izračuna dobili preprost izraz : L = + ln. Če bi v ta izraz π 4 R vstavili vrednosti iz primera, bi dobili rezultat približno 5 H. Očitno je, da je osnovni izraz dovolj natančen, če je le razdalja med vodnikoma mnogo večja od polmera vodnikov. Magnetni sklep. Kadar je vodnik izdelan v taki obliki, da gre fluks skozi velč vodnikov, je smiselno definirati novo veličino, ki jo imenujemo magnetni sklep in ga označimo z veliko grško črko Ψ (psi). Magnetni sklep je enak vsoti fluksov skozi vse zanke, ki jih tvori vodnik. V primeru, da gre enak fluks skozi N zank, velja kar Ψ = ΝΦ. V primeru, da ima struktura več zank, velja L = Ψ. (4.6) Ι V primeru, ko tok I skozi vodnik (strukturo) ustvarja magnetni sklep Ψ v isti (lastni) strukturi, govorimo o lastni induktivnosti. Če gre isti fluks skozi N zank velja: 5/7

Ψ NΦ L = =, (4.7) I I Lastna induktivnost solenoida in toroida. Induktivnost je osnovni podatek za vsako tuljavo. Pogledali si bomo poenostavljena (vendar pogosto v praksi uporabljana) primera izračuna induktivnosti solenoida in toroida, pri čemer bomo predpostavili, da je polje znotraj solenoida (toroida) homogeno. Primer: Določimo poenostavljen izraz za lastno induktivnost dolgega solenoida in jo izračunamo za primer: polmer tuljave 1 cm, dolžina 5 cm, 1 ovojev. Izračun: NI NI N B, Φ, Ψ = ΝΦ I l l l NΦ N L = Ι l 79H. SLIK: Dolga ravna tuljava = solenoid. Poenostavljen izraz za induktivnost tuljave je torej L = N. Hitro lahko opazimo l podobnost z izrazom za kapacitivnost ploščnega kondenzatorja C = ε, kjer je l dolžina d tuljave, d pa razdalja med ploščama, površina preseka tuljave oz. plošče kondezatorja. Ugotovimo lahko, da induktivnost tuljave zelo povečamo z večjim številom ovojev. Primer: Zapišimo poenostavljen izraz za lastno induktivnost toroida krožnega preseka z notranjim polmerom 4 cm in zunanjim 5 cm. Toroid ima ovojev. (Računamo s srednjim polmerom in homogenim poljem znotraj preseka toroida) SLIK: Toroid krožnega preseka. Izračun: NI NI N I N B =,, r, L r 55,85H π π π Φ Ψ π rsr rsr rsr rsr 6/7

Induktivnost je geometrijska lastnost. V elektrostatiki smo definirirali kapacitivnost iz zveze med nabojem in napetostjo Q = CU. Izračunali smo jo tako, da smo med dve prevodni telesi priključili napetost U, pri čemer se je na telesoma nakopičilo naboja ± Q. Izkazalo se je, da je kapacitivnost odvisna le od geometrijskih lastnosti. Podobno velja za induktivnost, kjer velja zveza Ψ = LI. Torej, skozi vodnik (zanko)»pošljemo tok I, določimo fluks oziroma magnetni sklep in iz kvocienta določimo induktivnost: L POVZETEK: = Ψ. Ι 1) Magnetni pretok ali fluks skozi poljubno površino smo definirali na enak način kot pri tokovnem polju kot Φ = B d. V preprostem primeru, ko je polje homogeno in konstantno po površini, se izraz poenostavi v Φ = Bcosα, kjer je alfa kot med normalo na površino in smerjo Bja. Pretok je največji, ko je polje usmerjeno pravokotno na površino. Magnetni pretok skozi zaključeno površino je enak nič, kar matematično zapišemo kot B d =. To je Gaussov zakon za magnetno polje ali tudi zakon o brezizvornosti magnetnega polja. 3) Lastno induktivnost smo zapisali kot 4) Izračuni: NΦ L =, enota je H(enry) I I r a. fluks skozi pravokotno zanko ob vodniku: Φ = l ln π r b. proksimativni izrazi za induktivnost: 1 i. ravna tuljava: L l N ii. toroid: N L r sr r l 1 d iii. dvovod (brez izpeljave): L = + ln π 4 R Naloge: izpit, 17. septembra izpit, 3. septembra izpit, 17. 4. 3 izpit, 5. septembra izpit, 31. avgust, 4 Izpit 4. 9. 3 1. kolokvij,. april 3 Prvi kolokvij, 9. maj 7/7