2. BIOT-SAVARTOV ZAKON

Transcript

1 iot-savartov akon.. IOT-SAVARTOV ZAKON Equation Section Vsebina poglavja: apis iot-savartovega akona, iračuni magnetnega polja v okolici osnovnih oblik tokovodnikov: premice, daljice, anke in solenoida. Polje, ki ga v okolici povroča neskončen raven vodnik smo že apisali, ko smo I obravnavali silo med dvema ravnima vodnikoma. To polje je =. To enačbo in πr druge, a poljubno obliko vodnika s tokom lahko iračunamo uporabo iot- Savartovega akona. Polje, ki ga tokovni element Id l povroča v točki T je: Idl sin( θ ) 4π r = (.) kjer je r radalja od tokovnega elementa do točke T, θ pa je kót med vektorjema dl in r. Ta enačba dá le velikost polja, ne pa tudi smeri. Smer polja je pravokotna na ravnino, ki jo določata vektorja dl in r, kar lahko apišemo vektorskim produktom Idl r Idl er = = 3 4π r 4π r (.) SLIKA: Tokovni element oddaljen od točke T a radaljo r povroča v točki T gostoto magnetnega pretoka, določeno iot-savartovim akonom. Da bi določili polje v točki T a celotni tokovodnik, je potrebno sešteti (integrirati) prispevke vseh tokovnih elementov: Idl r =. IOT-SAVARTOV ZAKON (.3) 3 4π r L /

2 iot-savartov akon. MAGNETNO POLJE OSNOVNIH STRUKTUR (TOKOVODNIKOV), IZRAČUNANO Z UPORAO IOT-SAVARTOVEGA ZAKONA. TOKOVNA PREMICA Raven, neskončen, tanek tokovodnik (tokovna premica) postavimo vdolž Z osi s tokom v smeri Z osi. Pri = postavimo na oddaljenosti R od ihodišča (od vodnika) točko T, v kateri računamo polje. Na poljubni točki na vodniku na Z osi onačimo tokovni element in narišemo vektor r od tokovnega elementa do točket.. Zapišemo Idl sin( θ ) iot-savartov akon v obliki =, smer polja pa ugotovimo i 4π r vektorskega produkta tokovnega elemeta in smeri vektorja r in kaže v smeri kóta fi. Velja dl = d, sinθ = R r, kjer je Id R IRd = = 3 4π r 4π R ( + ) r = + R. Vstavimo irae v -S akon in dobimo 3/. Sedaj je potrebno le še sešteti vplive vseh tokovnih elementov, ki se nahajajo vdolž Z osi, kar naredimo integracijo diferenciala polja: + + IRd IR d = = = 3/ 3/ 4π( R ) 4π. + ( + R ) po vseh tokovnih elementih Rešitev tega integrala poiščemo v tablicah integralov. Dobimo IR + I = = ( ( ) ) = I. R 4π R + R 4πR π Končni reultat je torej ϕ I. (.4) πr SLIKA: Tokovna premica postavljena vdolž Z osi. /

3 iot-savartov akon. SLIKA: Polje tokovnega elementa kaže v smeri vektorskega produkta med vektorjem tokovnega elementa in vektorjem, ki kaže od tokovnega elementa do točke T. Ugotovimo, da je smer polja v okolici tokovne premice v smeri kóta fi oiroma v smeri tangente na krožnico. Preprost način določanja smeri toka je tudi s pomočjo prstov desne roke, pri čemer palec desne roke usmerimo v smer toka, prsti, ki ovijajo tokovodnik pa ponaarjajo smer magnetnega polja. function poljepremice % polje tokovne premice mi=4*pi*e-7 I= r=:.: =mi*i./(*pi*r); plot(r,) xlabel('r / m') ylabel(' / T') SLIKA: Program v Matlabu a iračun polja v okolici tokovne premice po enačbi (.4).. TOKOVNA DALJICA Tokovna daljica je en od osnovnih elementov, s pomočjo katerih lahko sestavimo bolj kompleksne tokovodnike. Ipeljava sledi ipeljavi polja v okolici tokovne premice, le meje integracije je potrebno spremeniti od nekega do +. Dobimo 3/

4 iot-savartov akon. IR = 4π + d in 3/ ( + R ) + IR I = = 4π R + R 4πR + R + R. Ta reultat lahko napišemo tudi nekoliko bolj preprosto, saj je + R = cosθ in + R = cosθ. Sledi: I 4π R ( cos( θ) cos ( θ )) = eϕ. (.5) Preverimo še, če dobimo enak reultat a tokovno premico, če upoštevati θ = in θ = π. SLIKA: Tokovna daljica (določitev radalje R in kótov). Primer: Narišimo polje v oddaljenosti od dveh premih vodnikov s programom MATLA. I slike določite smer, poicijo in velikost tokov function poljepremic % polje dveh premic a=4; mi=4*pi*e-7; I=; x=-:.:; =mi*i./(*pi*(x-)); =mi*i./(*pi*(x--a)); =- 4/ plot(x,,[- ],[ ]) xlabel('x / m') ylabel(' / T')

5 iot-savartov akon. 3. TOKOVNA ZANKA (OROČ) Tokovna anka navideno deluje kot nepomemben element. V resnici pa je vsaj tako pomemben kot tokovna premica. I nia tokovnih obročev lahko sestavimo tuljavo (solenoid ali toroid), ki je v magnetiki osnoven element. V kratkem bomo vpeljali tudi koncept magnetnega dipola oiroma magnetnega dipolnega momenta. Ta koncept nam bo med drugim pomagal raložiti polje trajnih magnetov. Gradnik magnetnega dipolnega momenta je tokovna anka. Polje v splošni točki v okolici tokovne anke ni enostavno iračunati, dokaj hitro pa lahko ipeljemo tudi pomembne irae a polje v središču in osi tokovne anke. Polje v središču tokovne anke. Zanko polmera R postavimo tako, da ima center v središču valjnega koordinatnega sistema. Onačimo tokovni element in radaljo od tokovnega elementa do središča. π Velja dl = Rdϕ, r = R in sinθ =. Vstavimo v -S akon in dobimo Idl sin( θ ) IRdϕ Idϕ = = =. Sedaj le še seštejemo (integriramo) 4π r 4π R 4π R π Idϕ I π I prispevke vseh tokovnih elementov in dobimo = = =. 4π R 4π R R V primeru, da je smer toka v smeri kóta fi, je polje usmerjeno v smeri +Z osi in je I. (.6) R SLIKA: Tokovna anka postavljena v središče valjnega koordinatnega sistema. 5/

6 iot-savartov akon. Polje dela tokovne anke. Hitro lahko ugotovimo, da lahko določimo polje dela tokovne anke tako, da integriramo prispevke le med določenima kótoma, recimo ϕ in ϕ. Potem je enačba ϕ Idϕ I. Če iraimo raliko kótov β ϕ ϕ 4π R 4πR ϕ oblike = = ( ϕ ϕ ) I 4πR = velja = β (.7) SLIKA: Polje dela tokovne anke, omejen s kótom beta. Polje v osi tokovne anke Tudi polje v osi tokovne anke je dokaj enostavno določiti. Če onačimo R polmer obroča in se točka T nahaja na radalji od središča anke, velja π Idl sin( θ ) IRdϕ dl = Rdϕ, r = + R in sinθ =. Sledi = =. Tega 4π r 4π + R iraa še ne smemo integrirati po tokovnih elementih, preprosto ato, ker vektor polja ne kaže v isto smer a vse tokovne elemente. Ugotovimo lahko, da se bo aradi simetrije ohranila le tista komponenta polja, ki je v smeri osi Z. Zato pišemo IRdϕ R IR dϕ = sinα = = 4π + R + R 4π + R Integracija je preprosta. Dobimo 3/ ( ). IR = = = 4π 4π π IR dϕ IR π 3/ 3/ 3/ ( + R ) ( + R ) ( + R ). Če upoštevamo še smer polja, dobimo IR ( + R ) 3/. (.8) 6/

7 iot-savartov akon. SLIKA: Polje v osi tokovne anke. unction poljevosianke(r); set(,'defaultlinelinewidth',.5) % DEFINICIJA KONSTANT mi=4*pi*e-7; I=; % TOK % Z os min=;max=3*r; d=max/; =min:d:max; =.5*mi*I*R^./(R^+.^).^(.5); plot(,) SLIKA: Primer uporabe programa Matlab a iračun polja v osi anke. Funkcija je uporabljena x, radijem m in,5 m. Vmes smo uporabili uka hold on (poljevosianke(); hold on; poljevosianke(.5)) Polje iven osi tokovne anke Polje iven osi tokovne anke ni enostavno ipeljati in tudi reultat ni preprost. Je pa pomemben, ato ga vseeno apišimo - vsaj v poenostavljeni obliki, ki velja a večje radalje od anke (recimo a radalje R dosti večje od polmera anke a) in je v sferičnih koordinatah: Ia e r r e θ θ e e ( r θ θ θ ) = + = cos( ) + sin( ). (.9) 3 4R Dobimo tako komponento v smeri radija kot kóta. Pomembno je, da polje pada radaljo s tretjo potenco, tako kot električno polje v oddaljenosti od električnega dipola. 7/

8 iot-savartov akon. SLIKA: Skica polja v okolici tokovne anke. function poljedvehank; I=; R=; d=; set(,'defaultlinelinewidth',.5) % DEFINICIJA KONSTANT mi=4*pi*e-7; xmin=-*d;xmax=*d; dx=xmax/; x=xmin:dx:xmax; =.5*mi*I*R^./(R^+x.^).^(.5); =.5*mi*I*R^./(R^+(x-d).^).^(.5); =+ plot(x,) Slika: Primer iračuna polja para v osi vporednih tokovnih ank oddaljenih a m. Polmeri ank so m, m in,5 m. Tok je A. Dokaj homogeno polje se utvari v sredini tuljave, ki ima tako polmer kot radaljo med ankama enako m. Takima ankama rečemo Helmholtov par in se pogosto (v obliki dveh navitij) uporablja v praksi. 4. POLJE V OSI RAVNE TULJAVE - SOLENOIDA Solenoid predstavimo kot N ank s tokom I na doložini l. Da bi iračunali polje v poljubni točki na osi, postavimo točko T na radaljo od središča k.s.. Nato apišemo polje, ki ga v tej točki povroča le ena anka, ki se nahaja na radalji ' od ihodišča. Uporabimo že ipeljan ira a polje v osi tokovne anke = IR ( + R ) 3/, ki jo moramo ustreno preoblikovati v dir = ' (( ) + R ) 3/, kjer di določimo kot NI di = d '. Če omejimo tuljavo med ' = in ' =, pri čemer le l =, dobimo l 8/

9 iot-savartov akon. polje v osi tuljave na radalji centra rešitvijo integrala = NIR d '. 3/ Rešitev je (( ) + ) l ' R ' NIR NI ( ) = =. l R ( ') R l ( ) R ( ) R Ta manj pregleden apis lahko poenostavimo ugotovitvijo, da lahko uporabimo kóta cos β = ( ) + R NI l in cos β = Dobimo ( cos( β ) + cos( β )) ( ) + R.. (.) SLIKA: Polje v osi ravne tuljave - solenoida. Poenostavljeni irai a dolge tuljave: Ira a polje v sredini dolge tuljave dobimo, če upoštevamo β = β = : NI. (.) l Polje na robu dolge tuljave pa dobimo upoštevanjem β = π/ in β = : NI. (.) l SLIKA: Polje v osi solenoida s tokom NI = A, polmera ovojev m in dolžine 5 m in m. Začetek tuljave je pri = m. 9/

10 iot-savartov akon. POVZETEK:. I enačbe a silo med dvema tokovnima elementoma ugotovimo, da nastopa Idl sin( θ ) člen, ki ga poimenujemo gostota magnetnega pretoka. Popolni 4π r ira a gostoto magnetnega pretoka predstavlja iot-savartovega akon in vsebuje vektorski produkt tokovnega elementa in vektorja r in integracijo po I dl r tokovnih elementih: =. 4π r L I. Polje v okolici tokovne premice je ϕ. Polje v okolici tokovne πr premice je rotacijsko, smer polja določimo i vektorskega produkta dl r ali ovijanjem prstov desne roke, če tok kaže v smeri palca. I 4πR 3. Polje tokovne daljice je ϕ ( cos( θ) cos( θ )) theta. Skica.). (Raloži R in kót I 4. Polje v središču tokovne anke je. (Kaj je R in kam kaže polje R glede na smer toka v anki in ibiro koordinatnega sistema?) 5. Polje v osi tokovne anke je smer kaže? Skiciraj potek. ) IR ( + R ) 3/ NI l. (Kje je največje? V katero 6. Polje v osi ravne tuljave solenoida je ( cos( β ) + cos( β )). (Kaj je l, kako določimo kóte, poenostavitev enačbe v primeru elo dolgega solenoida.) Primeri ipitnih in kolokvijskih nalog: ipit, 7. septembra ipit, 6. aprila ipit, 4.. ipit,. september 6 ipit, 3. avgust 6 ipit, 9. september 5 ipit, 3.. ipit, 3. avgust 5 Ipit Ipit kolokvij, kolokvij, 9. maj 5 ipit,. september 4 Ipit, 7.. Prvi kolokvij, 9. maj /