Γραμμική Άλγεβρα Ι,

Γραμμική Άλγεβρα Ι, 207-8 Ασκήσεις2 και Ασκήσεις3: Γραμμοϊσοδύναμοι Πίνακες και Επίλυση Γραμμικών Συστημάτων Βασικά σημεία Γραμμοϊσοδυναμία πινάκων o Στοιχειώδεις πράξεις γραμμών o Ανηγμένη κλιμακωτή μορφή και απαλοιφή Gauss o Στοιχειώδεις πίνακες Ορισμοί Επίδραση πολλαπλασιασμού από αριστερά με στοιχειώδη πίνακα Σχέση με γραμμοϊσοδυναμία Επίλυση γραμμικών συστημάτων o Επίλυση με απαλοιφή Gauss o Βασικές ιδιότητες Πως από την ανηγμένη κλιμακωτή μορφή του απαυξημένου πίνακα γραμμικού συστήματος λαμβάνουμε πληροφορίες για την επιλυσιμότητα του συστήματος Κάθε mx ομογενές γραμμικό σύστημα με m< έχει άπειρες λύσεις o Τετραγωνικά συστήματα Κριτήριο αντιστρεψιμότητας Υπολογισμός αντίστροφου πίνακα με απαλοιφή Gauss Συμβολισμοί: Το σύνολο είναι το ή το To σύνολο των m πινάκων με στοιχεία από το συμβολίζεται με Ο ταυτοτικός I (ή απλά I αν δεν υπάρχει ασάφεια για το ) και ο μηδενικός m πίνακας συμβολίζεται ( ή απλά 0 αν δεν υπάρχει ασάφεια για τα, 0 m m ) Παραδοχή: Όταν γράφουμε AB για πίνακες A, B εννοούμε ότι το γινόμενο αυτό ορίζεται πίνακας με Βρείτε όλους τους 3 3 ανηγμένους κλιμακωτούς πίνακες που έχουν ακριβώς a ηγετικό στοιχείο b 2 ηγετικά στοιχεία, c 3 ηγετικά στοιχεία 2 Δείξτε ότι ο πίνακας 2 3 2 0 3 5 2 8 4 είναι γραμμοϊσοδύναμος με καθέναν από τους 2 3 2 0 0 87 0 3 5, 0 0 94 0 0 33 0 0 33 αλλά δεν είναι γραμμοϊσοδύναμος με τον 2 3 2 0 3 5 0 0 32 0 2 4 3 Έστω A 2 a Βρείτε ανηγμένο κλιμακωτό B και στοιχειώδεις πίνακες Ek,, E έτσι ώστε B Ek Ek E A 32 b Βρείτε μη μηδενικό C με AC 0

4 Έστω A, B γραμμοϊσοδύναμοι πίνακες Δείξτε ότι οι πίνακες A, Bείναι γραμμοϊσοδύναμοι, όπου οι A, B προκύπτουν από τους A, B αντίστοιχα με τη διαγραφή της πρώτης στήλης 5 Να λυθούν τα επόμενα συστήματα x y 2 x 2y 3z 0 x 2x x 3x x 2 a x y 0 b 2x 4y 2z 2 2x y 3x 6y 4z 3 x 2x2 x3 x4 3x5 4 6 Για ποιες τιμές της παραμέτρου a το σύστημα ax y z c 2 3 4 5 2x 4x 2x 6x 3x 6 x ay z 2 3 4 5 x y az είναι ασυμβίβαστο, έχει άπειρες λύσεις ή μοναδική λύση; Να βρεθούν οι λύσεις όταν υπάρχουν 7 Να λυθεί για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου a το παρακάτω σύστημα x y z w a 8 Έστω a, b, c Δείξτε ότι το σύστημα x y z w 2 2x y z aw a x y 2z a 2x 3y z b 3x y cz 3x 4y 3z a b έχει άπειρες λύσεις αν και μόνο αν c 2 7a 2b 0 Για ποιες τιμές των a, b, c το σύστημα έχει μοναδική λύση; 9 Έστω a και 0 2 A 3 2 a 0 Χρησιμοποιώντας απαλοιφή Gauss, a δείξτε ότι ο A είναι αντιστρέψιμος αν μόνο αν a 8, b υπολογίστε τον A όταν a 9, και c παραστήστε καθέναν από τους A, A ως γινόμενο στοιχειωδών πινάκων όταν a 9 0 Ξέρουμε ότι ένα γραμμικό σύστημα έχει ή καμιά λύση ή μοναδική λύση ή άπειρες λύσεις Δώστε μια απόδειξη του αποτελέσματος αυτού χωρίς χρήση απαλοιφής του Gauss Ακολουθούν δύο κομψές θεωρητικές εφαρμογές των εννοιών της ενότητας αυτής Έστω A, B Δείξτε ότι αν AB I, τότε BA I m m 2 Έστω A και B Δείξτε ότι αν ο AB είναι αντιστρέψιμος, τότε m 3 Χρησιμοποιώντας απαλοιφή Gauss: a Δείξτε ότι αν A ( a ij ) είναι άνω τριγωνικός με a 0 για κάθε i,,, τότε ο A είναι αντιστρέψιμος και ο A είναι άνω τριγωνικός a b b Υπολογίστε τον αντίστροφο του A 0 c 0 0 ii 2

c Δείξτε ότι αν A ( a ij ) είναι άνω τριγωνικός με aii 0 για κάθε i,,, τότε υπάρχουν στοιχειώδεις πίνακες,, ( ) E Ek έτσι ώστε k και A Ek Ek E 2 a 3 3 4 Έστω A b και B x y z με ax 0 Bρείτε ανηγμένο κλιμακωτό πίνακα που είναι c γραμμοϊσοδύναμος με τον AB 5 Εξετάστε ποιες από τις ακόλουθες προτάσεις αληθεύουν Δικαιολογείστε τις απαντήσεις με απόδειξη ή αντιπαράδειγμα m a Αν οι A, B είναι γραμμοϊσοδύναμοι, τότε τα συστήματα AX 0 και BX 0 είναι ισοδύναμα b Αν ο A έχει μηδενική γραμμή, τότε δεν είναι γραμμοϊσοδύναμος με τον I c Αν A, τότε το σύστημα AX 0 έχει μη μηδενική λύση αν και μόνο αν το σύστημα t A X 0 έχει μη μηδενική λύση 2 2 d Αν οι A, B είναι γραμμοϊσοδύναμοι, τότε οι A, B είναι γραμμοϊσοδύναμοι m p e Έστω A Αν m, τότε για κάθε p υπάρχει μη μηδενικός B με AB 0 f Κάθε m γραμμικό σύστημα με m είναι συμβιβαστό g Αν ο A είναι γραμμοϊσοδύναμος με τον I, τότε είναι γραμμοϊσοδύναμος με τον A h H απαλοιφή Gauss είναι χρήσιμη σε καθένα από τα εξής θέματα Επίλυση γραμμικού συστήματος Υπολογισμός της ανηγμένης κλιμακωτής μορφής πίνακα Εύρεση της παράστασης της ανηγμένης κλιμακωτής μορφής πίνακα Α ως γινόμενο στοιχειωδών πινάκων και του Α Απόφανση αν ένας τετραγωνικός πίνακας είναι αντιστρέψιμος Υπολογισμός του αντίστροφου αντιστρέψιμου πίνακα 3

Υποδείξεις-Απαντήσεις Παρακάτω δίνονται συνήθως σύντομες υποδείξεις ή τελικές απαντήσεις σε υπολογιστικές ασκήσεις * * 0 * 0 0 a 0 0 0, 0 0 0, 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 * * 0 0 0 b 0 *, 0 0, 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 c Υπάρχει μοναδικός, ο 0 0 I3 0 0 2 O πρώτος πίνακας δεν είναι γραμμοϊσοδύναμος με τον τελευταίο καθώς τα αντίστοιχα γραμμικά συστήματα με επαυξημένους πίνακες αυτούς, έχουν διαφορετικές λύσεις: Στο πρώτο σύστημα, η τρίτη συντεταγμένη της μοναδικής λύσης είναι z 33 και στο δεύτερο z 32 3 a Χρησιμοποιώντας απαλοιφή Gauss βρίσκουμε 0 4 0 0 B M (,2,) D(2, 2) E(,2) A 0 2 0 0 2 0 3 b Αρκεί να βρούμε μη μηδενική λύση του συστήματος AX 0 Τότε ορίζοντας το C να έχει κάθε στήλη τη, έπεται από τον πολλαπλασιασμό πινάκων ότι AC 0 Οι λύσεις του AX 0 είναι οι 4z 2 z, z z Άρα μια επιλογή για το είναι 4 2 και μια επιλογή για τον πίνακα C είναι 4 4 C 2 2 4 x 5 To πρώτο σύστημα έχει μοναδική λύση τη, το δεύτερο είναι ασυμβίβαστο και το τρίτο έχει y άπειρες λύσεις, τις 3 2x2 x3 x2 x 3, x2, x3 2 4

6 Για a το σύστημα έχει άπειρες λύσεις, για a 2 είναι ασυμβίβαστο και για a, 2 έχει μοναδική λύση 7 8 Το σύστημα έχει μοναδική λύση αν και μόνο αν c 2 (και a, b τυχαία) 9 Όταν a 9 έχουμε 7 2 4 A 3 3 M (2,3, ) M (,3, 2) M (3, 2, 2) E(2,3) M (2,, 3) 3 2 2 3 2 0 Aν, είναι διακεκριμένες λύσεις του συστήματος AX b, δείξτε ότι για κάθε t, το t( ) είναι λύση του συστήματος Το πλήθος των t( ) καθώς το t διατρέχει το είναι άπειρο ος τρόπος Ξέρουμε ότι υπάρχουν στοιχειώδεις πίνακες E,, E k και ανηγμένος κλιμακωτός A τέτοιοι ώστε A E k E A Από AB I έπεται, πολλαπλασιάζοντας από αριστερά με το E k E, ότι AB E k E Το δεξί μέλος είναι αντιστρέψιμος πίνακας ως γινόμενο αντιστρέψιμων και επομένως κάθε γραμμή του είναι μη μηδενική Συνεπώς κάθε γραμμή του Aείναι μη μηδενική Επειδή ο A είναι τετραγωνικός ανηγμένος κλιμακωτός, έπεται ότι A I Άρα B E k E και I BA 2 ος τρόπος Παρατηρούμε ότι το γραμμικό σύστημα BX 0 έχει μόνο τη μηδενική λύση, καθώς 0 A0 A( BX ) ( AB) X I X X Επειδή ο B είναι τετραγωνικός έπεται ότι είναι αντιστρέψιμος (βλ Θεώρημα 338) Πολλαπλασιάζοντας από δεξιά τη σχέση AB I με το B προκύπτει A B Άρα BA I από τον ορισμό του αντίστροφου πίνακα 2 ος τρόπος Δείξτε ότι στην ανηγμένη κλιμακωτή μορφή A του A, κάθε γραμμή είναι μη μηδενική Θεωρώντας τις θέσεις των ηγετικών στοιχείων στον A προκύπτει ότι m 2 ος τρόπος Αν m, τότε το γραμμικό σύστημα BX 0 έχει μη μηδενική λύση, οπότε και το ( AB) X 0 έχει μη μηδενική λύση Αυτό είναι άτοπο καθώς ο AB είναι αντιστρέψιμος a ac b 3 b A 0 c 0 0 4 Παρατηρήστε ότι κάθε γραμμή του AB είναι πολλαπλάσιο της πρώτης γραμμής του by ax cz ax Απάντηση: 0 0 0 0 0 0 5 a Σ Οι στοιχειώδεις πράξεις γραμμών στον πίνακα συντελεστών ομογενούς γραμμικού συστήματος διατηρούν τις λύσεις b Σ t c Σ Ξέρουμε ότι o A είναι αντιστρέψιμος αν και μόνο αν ο A είναι αντιστρέψιμος Επίσης ξέρουμε ότι το σύστημα AX 0 έχει μη μηδενική λύση αν και μόνο αν A μη αντιστρέψιμος 0 0 d Λ Ένα αντιπαράδειγμα είναι A, B 0 0 0 5

e Σ Το σύστημα AX 0 έχει μη μηδενική λύση αφού m Aν κάθε στήλη του B είναι λύση του AX 0, τότε AB 0 x y 0 f Λ Ένα αντιπαράδειγμα είναι το σύστημα x y g Σ h 6