ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ

1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ 1.1 Απαρίθμηση και καταγραφή 1.2 Η αρχή του αθροίσματος 1.3 Η πολλαπλασιαστική αρχή 1.4 Άλλοι κανόνες απαρίθμησης 1.5 Πιθανότητες σε πεπερασμένους δειγματικούς χώρους 1.6 Γενικές ασκήσεις

Στην καθημερινή ζωή αρκετά συχνά εμφανίζεται η ανάγκη να βρούμε τα στοιχεία ενός συγκεκριμένου (πεπερασμένου) συνόλου ατόμων, πραγμάτων, ενεργειών κ.λπ.. Υπάρχουν όμως αρκετές περιπτώσεις όπου δε μας ενδιαφέρει η καταγραφή όλων των στοιχείων του συνόλου αλλά μόνο η εύρεση του πλήθους των στοιχείων αυτών. Οι τεχνικές υπολογισμού του πλήθους των στοιχείων πεπερασμένων συνόλων ή υποσυνόλων τους, τα οποία έχουν συγκεκριμένες ιδιότητες, αναφέρονται συνήθως ως μέθοδοι απαρίθμησης και αποτελούν το κύριο αντικείμενο της Συνδυαστικής. Η συστηματική ανάπτυξη τέτοιων τεχνικών οι οποίες δεν απαιτούν την πλήρη καταγραφή των στοιχείων των υπό μελέτη συνόλων, είναι ιδιαίτερα χρήσιμη στις περιπτώσεις κατά τις οποίες τα σύνολα αυτά έχουν μεγάλο πλήθος στοιχείων. 1.1 Απαρίθμηση και Καταγραφή Όταν το πλήθος των στοιχείων ενός συνόλου το οποίο θέλουμε να απαριθμήσουμε είναι σχετικά μικρό, μπορούμε να προχωρήσουμε στη συστηματική καταγραφή των στοιχείων του και στη συνέχεια να μετρήσουμε το πλήθος τους. Θα εξετάσουμε στη συνέχεια μερικά τέτοια παραδείγματα. Παράδειγμα 1.1.1 Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορούμε να τοποθετήσουμε ν = 3 άτομα σε μια σειρά; Απάντηση Ας συμβολίσουμε τα τρία άτομα με α 1, α 2, α 3 και τις τρεις θέσεις που θα καταλάβουν ως 1 2 3 Το πρώτο άτομο μπορεί να καταλάβει είτε την πρώτη θέση, οπότε θα έχουμε α 1 είτε τη δεύτερη, οπότε θα είναι α 1 15

1 KΕΦΑΛΑΙΟ είτε την τρίτη, οπότε προκύπτει Στην πρώτη περίπτωση οι δυνατές τοποθετήσεις των υπόλοιπων δύο ατόμων είναι οι εξής: α 1 α 1 α 2 α 3, α 1 α 3 α 2 Όμοια, στη δεύτερη περίπτωση θα έχουμε α 2 α 1 α 3, α 3 α 1 α 2 ενώ τέλος για την τρίτη α 2 α 3 α 1, α 3 α 2 α 1 Επομένως, οι δυνατές τοποθετήσεις των τριών ατόμων στις τρεις θέσεις είναι 6, και πιο συγκεκριμένα οι: α 1 α 2 α 3 α 1 α 3 α 2 α 2 α 1 α 3 α 3 α 1 α 2 α 2 α 3 α 1 α 3 α 2 α 1 Αξίζει να σημειωθεί ότι στο συγκεκριμένο παράδειγμα το σύνολο που απαριθμήσαμε αποτελείται από διατεταγμένες τριάδες, δηλαδή χρησιμοποιώντας συμβολισμούς της θεωρίας συνόλων, θα μπορούσαμε να το γράψουμε στη μορφή Α = {(α 1,α 2,α 3 ), (α 1,α 3,α 2 ), (α 2,α 1,α 3 ), (α 3,α 1,α 2 ), (α 2,α 3,α 1 ), (α 3,α 2,α 1 )}. Παρότι στο προηγούμενο παράδειγμα μπορέσαμε να υπολογίσουμε σχετικά εύκολα το ζητούμενο πλήθος στοιχείων μέσω πλήρους (και συστηματικής) καταγραφής του, δε θα πρέπει να σκεφτούμε ότι εξίσου εύκολα μπορεί να γενικευτεί η προσέγγιση αυτή για οποιοδήποτε ν. Όταν το ν μεγαλώσει, το αντίστοιχο πλήθος παίρνει υπερβολικά μεγάλες τιμές, οπότε είναι πρακτικά αδύνατη η πλήρης καταγραφή. Για παράδειγμα, όταν έχουμε ν = 6 άτομα, ο αριθμός των διαφορετικών τοποθετήσεων γίνεται 720, ενώ για ν = 10 γίνεται 3628800. Είναι προφανές ότι, στις περπτώσεις αυτές, πολύ 16

Βασικές Αρχές Απαρίθμησης 1 δύσκολα θα μπορούσε να προχωρήσει κανείς σε πλήρη καταγραφή όλων των στοιχείων που θέλει να απαριθμήσει. Παράδειγμα 1.1.2 Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορούμε να τοποθετήσουμε σε μια σειρά δύο αγόρια και δύο κορίτσια, έτσι ώστε τα δύο κορίτσια να μην κάθονται σε διαδοχικές θέσεις; Απάντηση Ας συμβολίσουμε με α 1, α 2 τα δύο αγόρια και με κ 1, κ 2 τα δύο κορίτσια. Εφόσον τα δύο κορίτσια δεν μπορούν να καθίσουν σε διαδοχικές θέσεις, οι μόνες δυνατές επιλογές γι αυτά είναι κ 1 κ 2 κ 2 κ 1 κ 1 κ 2 κ 2 κ 1 κ 1 κ 2 κ 2 κ 1 Στις δύο θέσεις που μένουν κενές μπορούν να τοποθετηθούν τα δύο αγόρια, είτε με τη σειρά α 1 α 2 είτε με τη σειρά α 2 α 1. Τελικά, θα έχουμε τις επόμενες 12 περιπτώσεις: κ 1 α 1 κ 2 α 2 κ 1 α 2 κ 2 α 1 κ 2 α 1 κ 1 α 2 κ 2 α 2 κ 1 α 1 κ 1 α 1 α 2 κ 2 κ 1 α 2 α 1 κ 2 κ 2 α 1 α 2 κ 1 κ 2 α 2 α 1 κ 1 α 1 κ 1 α 2 κ 2 α 2 κ 1 α 1 κ 2 α 1 κ 2 α 2 κ 1 α 2 κ 2 α 1 κ 1 Σε ορισμένες περιπτώσεις, παρότι το πλήθος των στοιχείων του απαριθμούμενου συνόλου είναι σχετικά μικρό, η συστηματική καταγραφή μπορεί να είναι δύσκολη και να απαιτεί ιδιαίτερη προσοχή, ώστε να συμπεριληφθούν όλα τα στοιχεία που μας ενδιαφέρουν. Σε αρκετές από αυτές τις περιπτώ- 17

1 KΕΦΑΛΑΙΟ σεις μπορεί να αποδειχθεί ιδιαίτερα αποτελεσματική η χρησιμοποίηση ενός δενδροδιαγράμματος, όπως δείχνεται στο επόμενο παράδειγμα. Παράδειγμα 1.1.3 Ένας φοιτητής μπορεί να διαλέξει, σε ένα συγκεκριμένο εξάμηνο, μέχρι 3 μαθήματα επιλογής. Τα διαθέσιμα μαθήματα κατατάσσονται σε τρία διαφορετικά πεδία: Στατιστική (πεδίο Ι), Αναλογιστική Επιστήμη (πεδίο ΙΙ) και Οικονομικά (πεδίο ΙΙΙ). Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορεί ο φοιτητής να επιλέξει τον αριθμό μαθημάτων σε κάθε πεδίο; Απάντηση Αν ο φοιτητής δε θέλει να διαλέξει κανένα μάθημα, τότε προφανώς διαλέγει 0 μαθήματα από κάθε πεδίο. Αν αποφασίσει να διαλέξει ένα μάθημα, τότε οι επιλογές ανά πεδίο θα είναι 1, 0, 0 ή 0, 1, 0 ή 0, 0, 1. Στην περίπτωση επιλογής δύο μαθημάτων υπάρχουν φυσικά πολλές διαφορετικές δυνατότητες (π.χ. 1, 1, 0 ή 0, 1, 1 ή 2, 0, 0 κλπ.), και πολύ περισσότερες, όταν θελήσει να διαλέξει τρία μαθήματα (π.χ. 1, 1, 1 ή 2, 1, 0 ή 0, 3, 0 κτλ.). Αν προσπαθήσουμε να καταγράψουμε όλες τις δυνατές περιπτώσεις με την παραπάνω διαδικασία, είναι πολύ πιθανό κάποια αποτελέσματα να παραλειφθούν. Το πρόβλημα μπορεί να αντιμετωπιστεί πολύ πιο αποτελεσματικά, αν δημιουργήσουμε το δενδροδιάγραμμα του Σχήματος 1.1.1. Σύμφωνα με αυτό ο φοιτητής μπορεί να διαλέξει 0, 1, 2 ή 3 μαθήματα από το πεδίο Ι, πράγμα το οποίο παριστάνεται με τα 4 «κλαδιά» που ξεκινούν από τη «ρίζα» (αρχή) του δένδρου. Για το πεδίο ΙΙ υπάρχουν 4 κλαδιά που ξεκινούν από το κλαδί της κορυφής (στο οποίο αντιστοιχούν 0 επιλογές μαθημάτων του πεδίου ΙΙ), 3 κλαδιά που ξεκινούν από το δεύτερο (1 επιλογή μαθήματος του πεδίου Ι), 2 από το τρίτο (2 επιλογές μαθημάτων του πεδίου ΙΙ) και 1 από το τέταρτο (3 επιλογές μαθημάτων του πεδίου ΙΙ). Με παρόμοιο τρόπο συμπληρώνονται τα κλαδιά που αντιστοιχούν στις επιλογές μαθημάτων από το πεδίο ΙΙΙ. Έτσι, δημιουργούνται 20 διαφορετικές «διαδρομές» που η καθεμιά αντιστοιχεί σε διαφορετικό τρόπο επιλογής μαθημάτων από τα τρία διαθέσιμα πεδία (οι συγκεκριμένες επιλογές έχουν καταγραφεί στη στήλη «ΑΠΟΤΕ- ΛΕΣΜΑ» του Σχήματος 1.1.1) 18

Βασικές Αρχές Απαρίθμησης 1 Σχήμα 1.1.1 Στις επόμενες παραγράφους θα γνωρίσουμε τις δύο βασικές αρχές της συνδυαστικής με τις οποίες θα μπορούμε να υπολογίζουμε το πλήθος των σχηματισμών που μας ενδιαφέρουν, χωρίς να χρειάζεται να καταφύγουμε στην πλήρη καταγραφή των επί μέρους στοιχείων. Ασκήσεις 1. Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορούμε να τοποθετήσουμε σε μια σειρά τρία αγόρια και δύο κορίτσια, έτσι ώστε κανένα από τα τρία αγόρια να μην κάθεται δίπλα σε άλλο αγόρι; 2. Μια λέξη μήκους 3 του κώδικα Morse αποτελείται από μια σειρά τριών χαρακτήρων, καθένας από τους οποίους μπορεί να είναι τελεία ( ) ή 19

1 KΕΦΑΛΑΙΟ παύλα ( ), π.χ. ή ή κ.λπ.. Πόσες διαφορετικές λέξεις μπορούν να σχηματιστούν; 3. Να υπολογιστεί, αφού πρώτα γίνει πλήρης καταγραφή, το πλήθος των ακέραιων λύσεων της εξίσωσης α. x 2 + y 2 = 4 β. x 2 + y 2 = 3 (Υπόδειξη: Για την περίπτωση (α) παρατηρήστε ότι θα πρέπει x 2 = 0, 1, 2, 3 ή 4 και βρείτε τις αντίστοιχες επιτρεπτές τιμές για το y. Εργαστείτε όμοια για την περίπτωση (β)). 4. Χρησιμοποιώντας δενδρογράμματα, να βρεθεί το πλήθος των στοιχείων του συνόλου α. Α = {(α, β, γ) : α, β, γ {1, 2, 3}, α β και α γ} β. Β = {(α, β, γ) : α, β, γ {0, 2, 3} και α + β + γ 5} 5. Σε μια ιατρική έρευνα οι ασθενείς έχουν ταξινομηθεί ανάλογα με την ομάδα αίματος (Α, Β, ΑΒ ή 0), καθώς επίσης και ανάλογα με το επίπεδο της πίεσής τους (χαμηλή, κανονική, υψηλή). Να βρεθεί, με χρήση δενδροδιαγράμματος, το πλήθος των διαφορετικών αποτελεσμάτων της ταξινόμησης των ασθενών. 6. Ένας φοιτητής διαβάζει κάθε ημέρα 0, 1 ή 2 ώρες ένα συγκεκριμένο μάθημα. α. Να κατασκευαστεί δενδροδιάγραμμα στο οποίο να καταγράφονται οι διαφορετικοί τρόποι ενασχόλησης του φοιτητή με το μάθημα σε τρεις διαδοχικές ημέρες. β. Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορεί να αφιερώσει ο φοιτητής για το μάθημα συνολικά 5 ώρες ακριβώς στις τρεις διαδοχικές ημέρες; γ. Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορεί να αφιερώσει ο φοιτητής συνολικά τουλάχιστον 5 ώρες για το μάθημα στις τρεις διαδοχικές ημέρες; 7. Η θέση του προέδρου του.σ. ενός συλλόγου διεκδικείται από τρία άτομα Α 1, Γ 1, Γ 2, ενώ για τη θέση του αντιπροέδρου υπάρχουν επίσης τρεις υποψήφιοι Α 2, Γ 3, Γ 4. α. Να κατασκευαστεί δενδροδιάγραμμα στο οποίο να φαίνονται οι διαφορετικοί τρόποι με τους οποίους μπορεί να εκλεγεί ο πρόεδρος και ο αντιπρόεδρος του.σ. β. Αν οι υποψήφιοι Α 1, Α 2 είναι άντρες, ενώ οι Γ 1, Γ 2, Γ 3, Γ 4 γυναίκες, με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορούν να εκλεγούν ο πρόεδρος και ο αντιπρόεδρος, έτσι ώστε να μην είναι του ίδιου φύλου; 20

Βασικές Αρχές Απαρίθμησης 1 1.2 Η Αρχή του Αθροίσματος Αρκετές φορές η επιλογή των στοιχείων του συνόλου που μας ενδιαφέρει μπορεί να διαμεριστεί (χωριστεί) σε ομάδες στοιχείων των οποίων η απαρίθμηση είναι πιο εύκολη. Στην περίπτωση αυτή η εύρεση του πλήθους των στοιχείων του συνόλου γίνεται με χρήση της επόμενης βασικής αρχής της συνδυαστικής. Πρόταση 1.2.1 (Αρχή του αθροίσματος) Αν το στοιχείο (αντικείμενο) α 1 μπορεί να επιλεγεί με ν 1 διαφορετικούς τρόπους, το α 2 με ν 2 διαφορετικούς τρόπους,..., το α k με ν k διαφορετικούς τρόπους και η επιλογή του στοιχείου α i αποκλείει την επιλογή του στοιχείου α j με j i, τότε η επιλογή του α 1 ή του α 2 ή... ή του α k μπορεί να γίνει με ν 1 + ν 2 +... + ν k διαφορετικούς τρόπους. Η αρχή του αθροίσματος μπορεί να διατυπωθεί ανάλογα, αν αντικαταστήσουμε τη λέξη «στοιχείο» ή «αντικείμενο» με τις λέξεις «ενέργεια», «γεγονός» κλπ.. Παράδειγμα 1.2.1 Από μία πόλη Α εκτελούνται καθημερινά 2 αεροπορικά, 3 οδικά και 2 ακτοπλοϊκά δρομολόγια προς την πόλη Β. Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορεί να ταξιδέψει κάποιος από την πόλη Α προς την πόλη Β μια συγκεκριμένη ημέρα; Απάντηση Το ταξίδι από την πόλη Α προς την πόλη Β μπορεί να γίνει αεροπορικά (α 1 ), οδικά (α 2 ) ή ακτοπλοϊκά (α 3 ). Η επιλογή του α 1 μπορεί να γίνει με ν 1 = 2 διαφορετικούς τρόπους, του α 2 με ν 2 = 3, ενώ του α 3 με ν 3 = 3 διαφορετικούς τρόπους. Επίσης, η επιλογή του α i αποκλείει την επιλογή οποιουδήποτε α j με j i. Επομένως, σύμφωνα με την αρχή του αθροίσματος θα υπάρχουν 2+ 3+2= 7 τρόποι για να ταξιδέψει κανείς από την πόλη Α προς την πόλη Β. 21

1 KΕΦΑΛΑΙΟ Σχήμα 1.2.1 Κατά την εφαρμογή της αρχής του αθροίσματος θα πρέπει να δίνεται ιδιαίτερη προσοχή κατά πόσον ισχύει η συνθήκη «η επιλογή του στοιχείου α i αποκλείει την επιλογή του στοιχείου α j με j i». Αν αυτή δεν έχει εξασφαλιστεί, η εφαρμογή της αρχής του αθροίσματος μπορεί να οδηγήσει σε λανθασμένα αποτελέσματα, όπως φαίνεται και στο επόμενο παράδειγμα. Παράδειγμα 1.2.2 Υπάρχουν 4 άρτιοι θετικοί ακέραιοι μικρότεροι του 10 και 5 πρώτοι θετικοί ακέραιοι μικρότεροι του 10. Πόσοι θετικοί ακέραιοι μικρότεροι του 10 υπάρχουν οι οποίοι είναι άρτιοι ή πρώτοι; Απάντηση Ας χρησιμοποιήσουμε το α 1, για να δηλώσουμε επιλογή άρτιου θετικού ακέραιου μικρότερου του 10, και το α 2, για να δηλώσουμε επιλογή πρώτου θετικού ακέραιου μικρότερου του 10. Σύμφωνα με την εκφώνηση το α 1 μπορεί να επιλεγεί με 4 τρόπους, ενώ το α 2 με 5. Όμως η επιλογή θετικού ή πρώτου ακεραίου μικρότερου του 10 μπορεί να γίνει με 8 διαφορετικούς τρόπους (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8) και όχι με 9 = 4 + 5, όπως θα προέκυπτε με 22

Βασικές Αρχές Απαρίθμησης 1 εφαρμογή της αρχής του αθροίσματος. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι η επιλογή του α 1 δεν αποκλείει την επιλογή του α 2, αφού ο αριθμός 2 είναι και πρώτος και άρτιος συγχρόνως. Μια ισοδύναμη διατύπωση της αρχής του αθροίσματος με χρήση ορολογίας της θεωρίας συνόλων είναι η παρακάτω. Πρόταση 1.2.2 (Αρχή του αθροίσματος) Έστω Α 1, Α 2,..., Α k οποιαδήποτε k 2 πεπερασμένα σύνολα τα οποία είναι ανά δύο ξένα μεταξύ τους, δηλαδή ισχύει για i, j = 1, 2,..., k με i j. Τότε ή ακόμη, με χρήση του συμβόλου της άθροισης Σημειώνουμε η ότι συνθήκη «η επιλογή του στοιχείου α i αποκλείει την επιλογή του στοιχείου α j με j i» που υπήρχε στην αρχική διατύπωση, έχει αντικατασταθεί στη νέα διατύπωση με τη συνθήκη για i j (ξένα μεταξύ τους υποσύνολα). Παράδειγμα 1.2.3 Να βρεθεί το πλήθος των ακέραιων λύσεων της εξίσωσης x 2 + y 2 4. Απάντηση Το σύνολο που μας ενδιαφέρει είναι το και μπορεί να διαμεριστεί σε 5 υποσύνολα Α 0, Α 1, Α 2, Α 3, Α 4 τα οποία ορίζονται ως εξής: 23

1 KΕΦΑΛΑΙΟ Είναι εύκολο να διαπιστωθεί ότι ενώ για κάθε i j ισχύει του αθροίσματος θα έχουμε:. Επομένως, σύμφωνα με την αρχή Ασκήσεις 1. Από μια πόλη μπορούμε να κατευθυνθούμε προς τα βόρεια μέσω τριών διαφορετικών δρόμων, νότια μέσων τεσσάρων, ανατολικά μέσω δύο και δυτικά μέσω δύο. Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορούμε να φύγουμε από την πόλη; 2. Οι ηλεκτρονικοί υπολογιστές χρησιμοποιούν, για την αναπαράσταση των πληροφοριών, «λέξεις» οι οποίες αποτελούνται από σειρές (strings) ψηφίων 0 ή 1, π.χ. 10011, 0101110 κ.λπ.. Μια λέξη μεγέθους ν αποτελείται από ν ψηφία. α. Χρησιμοποιώντας δενδροδιάγραμμα, να υπολογιστεί ο αριθμός των διαφορετικών λέξεων μεγέθους ακριβώς i = 1, 2, 3, 4 που μπορούν να σχηματιστούν. β. Να υπολογιστεί ο αριθμός των διαφορετικών λέξεων μεγέθους το πολύ 4 που μπορούν να σχηματιστούν. 3. ίνονται τα σύνολα α. Να υπολογιστεί το πλήθος των στοιχείων καθενός από τα σύνολα S i, αφού πρώτα γίνει πλήρης καταγραφή των στοιχείων τους. 24

Βασικές Αρχές Απαρίθμησης 1 β. Να βρεθεί το πλήθος των ακέραιων λύσεων της εξίσωσης x 2 + y 2 5 με χρήση της αρχής του αθροίσματος και των αποτελεσμάτων του ερωτήματος (α). 4. ίνονται τα σύνολα όπου k ένας συγκεκριμένος ακέραιος μεγαλύτερος της μονάδας. α. Να υπολογιστεί το πλήθος των στοιχείων του συνόλου Α με χρήση δενδροδιαγράμματος. β. Για κάθε i = 2, 3,..., k να υπολογιστεί ο πληθικός αριθμός του συνόλου A i. Αν i j, είναι τα σύνολα A i, A j ξένα μεταξύ τους; γ. Να υπολογιστεί το πλήθος των στοιχείων του συνόλου Β με εφαρμογή της αρχής του αθροίσματος. (Υπόδειξη: χρησιμοποιήστε το αποτέλεσμα της Άσκησης 5β του Παραρτήματος 1). 5. ίνονται τα σύνολα α. Να υπολογιστεί ο πληθικός αριθμός του συνόλου Α με χρήση δενδροδιαγράμματος. β. Για κάθε i = 2, 3,..., 6 να υπολογιστεί ο πληθικός αριθμός του συνόλου A i. Αν i j, είναι τα σύνολα A i, A j ξένα μεταξύ τους; γ. Με εφαρμογή της αρχής του αθροίσματος να υπολογιστεί ο πληθικός αριθμός του συνόλου Β. Εφαρμογή: Τρία άτομα ρίχνουν από ένα ζάρι το καθένα και εκείνο το οποίο θα φέρει τη μεγαλύτερη ένδειξη κερδίζει ένα ποσό (σε περίπτωση που δύο από τα τρία άτομα φέρουν ίδιο αποτέλεσμα και το τρίτο φέρει μικρότερο, δεν κερδίζει κανένα). Πόσα διαφορετικά αποτελέσματα μπορούν να προκύψουν σε μια επανάληψη του παιχνιδιού; Σε πόσα από αυτά τα αποτελέσματα κερδισμένος θα είναι ο πρώτος παίκτης; 25

1 KΕΦΑΛΑΙΟ 1.3 Η Πολλαπλασιαστική Αρχή Ας υποθέσουμε ότι κατά την απαρίθμηση των στοιχείων ενός συνόλου ισχύουν οι εξής προϋποθέσεις: α. η διαδικασία της απαρίθμησης μπορεί να χωριστεί σε ν διαφορετικές φάσεις (βήματα) οι οποίες εκτελούνται διαδοχικά η μία μετά την άλλη. β. το πλήθος των δυνατών επιλογών της κάθε φάσης είναι εντελώς καθορισμένο, όταν είναι γνωστά τα αποτελέσματα όλων των προηγούμενων φάσεων. Τότε η απαρίθμηση των στοιχείων του συνόλου μπορεί να γίνει με χρήση της δεύτερης βασικής αρχής της συνδυαστικής που είναι γνωστή με το όνομα πολλαπλασιαστική αρχή ή αρχή του γινομένου (multiplication principle) και διατυπώνεται ως εξής: Πρόταση 1.3.1 (Πολλαπλασιαστική αρχή) Αν το στοιχείο (αντικείμενο) α 1 μπορεί να επιλεγεί με ν 1 διαφορετικούς τρόπους και για κάθε επιλογή του α 1, το στοιχείο α 2 μπορεί να επιλεγεί με ν 2 διαφορετικούς τρόπους,..., και για κάθε επιλογή των α 1, α 2,..., α k 1, το στοιχείο α k μπορεί να επιλεγεί με ν k διαφορετικούς τρόπους, τότε όλα τα στοιχεία α 1, α 2,..., α ν μπορούν να επιλεγούν διαδοχικά και με αυτή τη συγκεκριμένη σειρά κατά ν 1 ν 2... ν k τρόπους Ανάλογη διατύπωση μπορεί να δοθεί για την πολλαπλασιαστική αρχή, αν αντικαταστήσουμε τη λέξη «στοιχείο» ή «αντικείμενο» με τις λέξεις «ενέργεια», «γεγονός» κ.λπ.. Παράδειγμα 1.3.1 Μια πόλη Α συνδέεται με την πόλη Β μέσω τριών διαφορετικών δρόμων, ενώ η πόλη Β συνδέεται με την πόλη Γ μέσω τεσσάρων δρόμων. Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορεί να ταξιδέψει κανείς από την πόλη Α στην πόλη Γ; 26

Βασικές Αρχές Απαρίθμησης 1 Απάντηση Ας συμβολίσουμε δ 1, δ 2, δ 3 τους τρεις δρόμους που συνδέουν τις πόλεις Α, Β και με 1, 2, 3, 4 τους τέσσερις δρόμους που συνδέουν τις πόλεις Β και Γ (βλέπε Σχήμα 1.3.1). Σχήμα 1.3.1 Σχήμα 1.3.2 27

1 KΕΦΑΛΑΙΟ Η επιλογή του δρόμου που θα χρησιμοποιηθεί για τη μετάβαση από την πόλη Α στην πόλη Β (στοιχείο α 1 ) μπορεί να γίνει με ν 1 = 3 τρόπους. Επίσης για κάθε επιλογή του α 1 υπάρχουν ν 2 = 4 τρόποι επιλογής του δρόμου που θα χρησιμοποιηθεί για τη μετάβαση από την πόλη Β στην πόλη Γ (στοιχείο α 2 ). Επομένως, και τα δύο στοιχεία μαζί (και με τη σειρά α 1, α 2 ) μπορούν να επιλεγούν κατά ν 1 ν 2 = 3 4 = 12 διαφορετικούς τρόπους. Η διαδικασία που περιγράφηκε παραπάνω φαίνεται σχηματικά στο δενδροδιάγραμμα του Σχήματος 1.3.2. Παράδειγμα 1.3.2 Οι αριθμοί κυκλοφορίας των αυτοκινήτων αποτελούνται από τρία γράμματα και έναν τετραψήφιο αριθμό. Για το πρώτο τμήμα του αριθμού χρησιμοποιούνται μόνο τα 14 ελληνικά γράμματα τα οποία συμπίπτουν με αντίστοιχους λατινικούς χαρακτήρες (Α, Β, Ε, Ζ, Η, Ι, Κ, Μ, Ν, Ο, Ρ, Τ, Υ, Χ), ενώ στην πρώτη θέση του δεύτερου τμήματος δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί ο αριθμός 0 (ώστε να έχουμε τετραψήφιο αριθμό). α. Πόσοι διαφορετικοί αριθμοί κυκλοφορίας μπορούν να σχηματιστούν; β. Πόσοι από τους αριθμούς αυτούς έχουν και τα τρία γράμματα του πρώτου τμήματος διαφορετικά μεταξύ τους; Απάντηση Ας συμβολίσουμε με α 1 α 2 α 3 α 4 α 5 α 6 α 7 τα επτά σύμβολα που σχηματίζουν τον αριθμό κυκλοφορίας των αυτοκινήτων. α. Σύμφωνα με τη διατύπωση του προβλήματος, το στοιχείο α 1 μπορεί να επιλεγεί με ν 1 = 14 διαφορετικούς τρόπους (ένας από τους 14 επιτρεπτούς χαρακτήρες). Για κάθε επιλογή του α 1, το α 2 μπορεί να επιλεγεί με ν 2 =14 διαφορετικούς τρόπους, επίσης. Όμοια για το α 3 θα έχουμε ν 3 = 14. Για κάθε επιλογή των α 1, α 2, α 3 (οπότε έχουν καθοριστεί τα τρία γράμματος του αριθμού κυκλοφορίας), το α 4 μπορεί να επιλεγεί κατά ν 4 =9 διαφορετικούς τρόπους, πιο συγκεκριμένα α 4 {1, 2,..., 9}, αφού στη θέση αυτή δεν επιτρέπεται η επιλογή του 0. Συνεχίζοντας τη διαδικασία, διαπιστώνουμε ότι η επιλογή των α 5, α 6 και α 7 μπορεί να γίνει με ν 5 = 10, ν 6 = 10 και ν 7 = 10 διαφορετικούς τρόπους, αντίστοιχα. Άρα, τελικά το 28

Βασικές Αρχές Απαρίθμησης 1 πλήθος των διαφορετικών επιλογών για το σχηματισμό του αριθμού κυκλοφορίας είναι: 14 14 14 9 10 10 10 = 24696000. β. Μετά την επιλογή του α 1 (η οποία μπορεί να γίνει με ν 1 = 14 τρόπους) απομένουν μόνο ν 2 = 13 δυνατοί τρόποι επιλογής του α 2, αφού, σύμφωνα με την περιγραφή, το γράμμα που διαλέχτηκε για το α 1 δεν μπορεί να ξαναδιαλεχτεί. Έχοντας ολοκληρώσει την επιλογή των α 1 και α 2, απομένουν μόνο ν 3 = 12 επιλογές για το α 3, αφού και πάλι τα δύο γράμματα που διαλέχτηκαν για το α 1 και το α 2 δεν μπορούν να ξαναδιαλεχτούν. Από το σημείο αυτό η διαδικασία επιλογής συνεχίζεται ακριβώς όπως και στο ερώτημα (α), δηλαδή έχουμε: Επομένως, τελικά υπάρχουν ν 4 = 9, ν 5 = ν 6 = ν 7 = 10. 14 13 12 9 10 10 10 = 19656000 αριθμοί κυκλοφορίας στους οποίους τα τρία γράμματα είναι διαφορετικά μεταξύ τους. Μια ειδική περίπτωση εφαρμογής της πολλαπλασιαστικής αρχής έχουμε κατά τον υπολογισμό του πλήθους των στοιχείων (πληθικού αριθμού) του καρτεσιανού γινομένου k συνόλων Πιο συγκεκριμένα ισχύει η επόμενη πρόταση. Πρόταση 1.3.2 (Πολλαπλασιαστική αρχή) Έστω Α 1, Α 2,..., Α k οποιαδήποτε k 2 πεπερασμένα σύνολα και Α 1 Α 2... Α k το καρτεσιανό τους γινόμενο. Τότε 29

1 KΕΦΑΛΑΙΟ Ασκήσεις 1. Για το ιοικητικό Συμβούλιο (.Σ.) ενός συλλόγου έχουν θέσει υποψηφιότητα 5 άτομα για το αξίωμα του προέδρου, 3 άτομα για το αξίωμα του αντιπροέδρου και 7 άτομα για το αξίωμα του γενικού γραμματέα. Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορεί να σχηματιστεί το.σ.; 2. Μια ασφαλιστική εταιρεία έχει ταξινομήσει τους πελάτες της σε 5 ηλικιακές ομάδες. Για κάθε ομάδα υπάρχουν διαθέσιμα 10 διαφορετικά προγράμματα ασφάλειας ζωής, ενώ για τη σύναψη συμφωνίας με τους πελάτες απασχολούνται 4 υπάλληλοι. Αν με την ολοκλήρωση της διαδικασίας ασφάλισης καταχωρίζονται και τα τρία στοιχεία που αναφέρθηκαν παραπάνω (ηλικιακή ομάδα, πρόγραμμα, υπάλληλος) πόσοι διαφορετικοί τύποι ασφαλίσεων θα υπάρχουν; 3. Μια εταιρεία αυτοκινήτων προσφέρει τρεις διαφορετικές εκδόσεις ενός μοντέλου της: κανονική (Ν), πολυτελείας (L) και υπερπολυτελείας (XL). Κάθε έκδοση μπορεί να εφοδιαστεί με έναν από τους εξής τέσσερις κινητήρες: 1.3 lt, 1.5 lt, 1.8 lt και 2.0lt. Τέλος, ο υποψήφιος αγοραστής μπορεί να διαλέξει ανάμεσα σε 8 διαφορετικά χρώματα. Πόσες διαφορετικές επιλογές υπάρχουν για το μοντέλο αυτό; 4. Σε ένα διαγώνισμα δίνονται ν ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Για την πρώτη ερώτηση υπάρχουν k 1 διαφορετικές απαντήσεις, για τη δεύτερη k 2,..., για τη ν-στή ερώτηση k ν. Αν ο διαγωνιζόμενος διαλέγει μια μόνο απάντηση σε κάθε ερώτηση, με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορεί να απαντηθεί το διαγώνισμα; Πόσοι θα ήταν οι διαφορετικοί τρόποι απάντησης, αν ο διαγωνιζόμενος επιτρεπόταν να αφήνει και αναπάντητες ερωτήσεις; 5. Μια πόλη Α συνδέεται με την πόλη Β μέσω τριών δρόμων, η πόλη Β συνδέεται με την πόλη Γ μέσω πέντε δρόμων, ενώ τέλος η πόλη Γ συνδέεται με την πόλη μέσω οκτώ διαφορετικών δρόμων. Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορεί να ταξιδέψει κανείς α. από την πόλη Α προς την πόλη Γ. β. από την πόλη Β προς την πόλη. γ. από την πόλη Α προς την πόλη. δ. από την πόλη Α προς την πόλη και στη συνέχεια να επιστρέψει πίσω στην πόλη Β. 6. Οι αριθμοί κυκλοφορίας των αυτοκινήτων αποτελούνται από τρία γράμματα και ένα τετραψήφιο αριθμό. Για το πρώτο τμήμα του αριθμού χρησιμοποιούνται μόνο τα 14 ελληνικά γράμματα τα οποία συμπίπτουν με αντίστοιχους λατινικούς χαρακτήρες (Α, Β, Ε, Ζ, Η, Ι, Κ, Μ, 30

Βασικές Αρχές Απαρίθμησης 1 Ν, O, Ρ, Τ, Υ, Χ ), ενώ στην πρώτη θέση του δεύτερου τμήματος δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί ο αριθμός 0 (ώστε να έχουμε τετραψήφιο αριθμό). Όπως είδαμε στο Παράδειγμα 1.3.2 υπάρχουν 24696000 τέτοιοι αριθμοί. Πόσοι από τους αριθμούς αυτούς α. έχουν ως πρώτο γράμμα φωνήεν; β. έχουν μόνο φωνήεντα στην πρώτη και στην τρίτη θέση; γ. δεν περιέχουν στο δεύτερο τμήμα τους ίδια ψηφία; δ. περιέχουν στο δεύτερο τμήμα τους ακριβώς τρία ίδια ψηφία; 7. Κατά μήκος μιας σιδηροδρομικής γραμμής υπάρχουν ν σταθμοί. Πόσα διαφορετικά είδη εισιτηρίων θα πρέπει να τυπωθούν, ώστε να καλύπτονται όλες οι δυνατές διαδρομές μεταξύ των ν σταθμών; 8. Ένας ψυχολόγος θέλει να ετοιμάσει λέξεις αποτελούμενες από τρία γράμματα, ώστε να τις χρησιμοποιήσει σε ένα τεστ μνήμης (οι λέξεις που θα σχηματιστούν δεν είναι απαραίτητο να έχουν κάποιο νόημα). Ο ψυχολόγος διαλέγει το πρώτο γράμμα της λέξης ανάμεσα από τα σύμφωνα Β, Ν,, Σ, το τρίτο από τα σύμφωνα Ν, Σ, Θ, Κ, Λ, Μ, ενώ το μεσαίο γράμμα από τα φωνήεντα Α, Ο και Η. α. Πόσες διαφορετικές λέξεις μπορεί να σχηματίσει; β. Πόσες από τις λέξεις αυτές i. αρχίζουν με το γράμμα ; ii. τελειώνουν με το γράμμα Ν ή το γράμμα Σ; iii. αρχίζουν και τελειώνουν με το ίδιο γράμμα; iv. δεν περιέχουν καθόλου το γράμμα Ν; 9. Να βρεθεί το πλήθος των άρτιων τετραψήφιων αριθμών που μπορούν να σχηματιστούν χρησιμοποιώντας μόνο τα ψηφία 1, 2, 5, 6, 8, 9. Πόσοι από τους αριθμούς αυτούς έχουν όλα τα ψηφία τους διαφορετικά; 10.Ένα δελτίο προγνωστικών ποδοσφαίρου (ΠΡΟΠΟ) περιλαμβάνει 13 αγώνες δίπλα στους οποίους σημειώνεται 1, Χ ή 2 για να δηλωθεί η νίκη της γηπεδούχου ομάδας, ισοπαλία ή νίκη της φιλοξενούμενης ομάδας, αντίστοιχα. Μια στήλη προγνώσεων αποτελείται από 13 συνολικά σύμβολα, ένα για κάθε αγώνα, τοποθετημένα δίπλα στα αντίστοιχα ζευγάρια των ομάδων που αγωνίζονται. α. Ποιος είναι ο αριθμός των διαφορετικών στηλών που μπορούν να σχηματιστούν; β. Αν θέλουμε να παίξουμε ένα σύστημα στο οποίο να χρησιμοποιήσουμε 2 σύμβολα (διπλή παραλλαγή) για i συγκεκριμένους αγώνες και 3 σύμβολα (τριπλή παραλλαγή) για j άλλους συγκεκριμένους αγώνες, πόσες διαφορετικές στήλες θα προκύψουν; (0 i 13, 0 j 13, i + j 13). 31

1 KΕΦΑΛΑΙΟ 1.4 Άλλοι Κανόνες Απαρίθμησης Σε πολλές περιπτώσεις τα σύνολα που θέλουμε να απαριθμήσουμε εκφράζονται μέσω άλλων συνόλων με χρήση των βασικών πράξεων της ένωσης, της τομής και του συμπληρώματος. Τότε η επόμενη πρόταση μπορεί αποδειχτεί ιδιαίτερα χρήσιμη. Πρόταση 1.4.1 Αν Α, Β είναι (πεπερασμένα) υποσύνολα ενός πεπερασμένου βασικού συνόλου Ω, τότε: Απόδειξη Υπενθυμίζουμε αρχικά ότι, σύμφωνα με την αρχή του αθροίσματος, όπως αυτή διατυπώθηκε με χρήση συμβολισμών από τη θεωρία συνόλων (βλέπε Παράγραφο 1.2), αν A 1, A 2 είναι δυο ξένα μεταξύ τους σύνολα, θα ισχύει α. Εφαρμόζοντας την παραπάνω ισότητα για A 1 = A και Α 2 = Α (οπότε θα ισχύει Α 1 Α 2 = ), βρίσκουμε Α Α = Α + Α. Όμως Α Α = Ω, οπότε τελικά θα έχουμε ή ισοδύναμα Ω = Α + Α Α = Ω Α β. Αν Α 1 = Α Β, Α 2 = Α Β, θα έχουμε 32

Βασικές Αρχές Απαρίθμησης 1 Α 1 Α 2 = (Α Β) (Α Β ) = Α (Β Β ) = Α =, οπότε και πάλι θα ισχύει (Α Β) (Α Β ) = Α Β + Α Β. Η απόδειξη συμπληρώνεται, αν παρατηρήσουμε ότι (βλέπε και Σχήμα 1.4.1). (Α Β) (Α Β ) = Α. Σχήμα 1.4.1 γ. Η ένωση Α Β των συνόλων Α, Β μπορεί να γραφεί ως ένωση δύο ξένων συνόλων Α 1, Α 2 ως εξής (βλέπε Σχήμα 1.4.2): Α Β = (Α Β ) Β = Α 1 Α 2. Σχήμα 1.4.2 33

1 KΕΦΑΛΑΙΟ Επομένως, Α Β = Α 1 Α 2 = Α 1 + Α 2 = Α Β + Β και κάνοντας χρήση του (β) μπορούμε να γράψουμε Είναι φανερό ότι, αν Β Α, η ισότητα 1.4.1β παίρνει τη μορφή Α Β = Α Β, αφού τότε θα ισχύει Α Β =Β (βλέπε Σχήμα 1.4.3). Σχήμα 1.4.3 Επίσης, στην περίπτωση που τα Α, Β είναι ξένα μεταξύ τους, δηλαδή Α Β=, θα έχουμε Α Β =0 και η ισότητα 1.4.1γ δίνει ξανά την ισότητα που αναφέρθηκε στην αρχή της απόδειξης της Πρότασης 1.4.1. Παράδειγμα 1.4.1 Στο Παράδειγμα 1.3.2 που αναφέρεται στους αριθμούς κυκλοφορίας των αυτοκινήτων, πόσοι διαφορετικοί αριθμοί κυκλοφορίας υπάρχουν οι οποίοι έχουν τουλάχιστον δύο ίδια γράμματα στο πρώτο τους τμήμα (π.χ. ΑΒΒ 1357, ΕΖΕ 4152 κ.λπ.); Απάντηση Αν συμβολίσουμε με Ω το σύνολο όλων των δυνατών αριθμών (βασικό σύνολο) και με Α Ω το σύνολο των αριθμών στους οποίους και τα τρία 34

Βασικές Αρχές Απαρίθμησης 1 γράμματα είναι διαφορετικά μεταξύ τους, το πλήθος που ζητάμε είναι ο πληθικός αριθμός του συνόλου Α. Επομένως, σύμφωνα με την Πρόταση 1.4.1α και τα αποτελέσματα που βρέθηκαν στο Παράδειγμα 1.3.2 θα έχουμε Α = Ω Α =24969000 19656000 = 5040000. Παράδειγμα 1.4.2 Από τους 200 φοιτητές που συμμετείχαν στις εξετάσεις των μαθημάτων μιας εξεταστικής περιόδου, 120 πέρασαν το μάθημα της Συνδυαστικής, 110 πέρασαν το μάθημα της Περιγραφικής Στατιστικής, ενώ 50 φοιτητές πέρασαν και στα δυο μαθήματα. Πόσοι φοιτητές α. πέρασαν το μάθημα της Συνδυαστικής, χωρίς να περάσουν συγχρόνως και το μάθημα της Περιγραφικής Στατιστικής; β. πέρασαν το μάθημα της Περιγραφικής Στατιστικής, χωρίς να περάσουν συγχρόνως και το μάθημα της Συνδυαστικής; γ. πέρασαν τουλάχιστον σε ένα από τα δύο μαθήματα; δ. δεν πέρασαν σε κανένα από τα δύο μαθήματα; Απάντηση Ας συμβολίσουμε με Ω το σύνολο των φοιτητών που προσήλθαν στις εξετάσεις, με Α το σύνολο των φοιτητών που πέρασαν το μάθημα της Συνδυαστικής και με Β το σύνολο των φοιτητών που πέρασαν το μάθημα της Περιγραφικής Στατιστικής. Τότε θα έχουμε Ω =200, Α =120, Β =110, Α Β = 50 και χρησιμοποιώντας την Πρόταση 1.4.1. παίρνουμε: α. Α Β = Α Α Β = 120 50 = 70 β. Α Β = Β Α Β = 110 50 = 60 γ. Α Β = Α + Β Α Β =120 +110 50 = 180 δ. (Α Β) = Ω Α Β = 200 180 = 20. 35

1 KΕΦΑΛΑΙΟ Ασκήσεις 1. Αν Α, Β είναι υποσύνολα ενός πεπερασμένου βασικού συνόλου Ω, να δειχτεί ότι (Υπόδειξη: Χρησιμοποιήστε τους τύπους De Morgan (βλέπε Παράρτημα 2)). 2. Αν Α, Β, Γ είναι υποσύνολα ενός πεπερασμένου βασικού συνόλου Ω, να δειχτεί ότι Α Β Γ = S 1 S 2 + S 3 όπου S 1 = Α + Β + Γ S 2 = Α Β + Β Γ + Γ Α S 3 = Α Β Γ. (Υπόδειξη: Γράψτε την ένωση Α Β Γ στη μορφή (Α Β) Γ και εφαρμόστε την Πρόταση 1.4.1 δυο φορές). 3. Αν Α, Β είναι υποσύνολα ενός πεπερασμένου βασικού συνόλου Ω, να δειχτεί ότι οι παραστάσεις α. Α Β Ω Α Β β. Α Β Ω Α Β γ. Α Β Ω Α Β δ. Α Β Ω Α Β είναι ίσες μεταξύ τους. 4. Ένας παίκτης του παιχνιδιού Scramble χωρίζει τα 24 γράμματα του ελληνικού αλφαβήτου σε τρεις ομάδες. Η πρώτη περιλαμβάνει τα 10 πρώτα γράμματα του αλφαβήτου (Α, Β,..., Κ), η δεύτερη τα 8 επόμενα (Λ,..., Σ), ενώ η τρίτη τα 6 τελευταία (Τ,..., Ω). α. Πόσες λέξεις τριών γραμμάτων μπορούν να σχηματιστούν χρησιμοποιώντας στην πρώτη θέση ένα γράμμα από την πρώτη ομάδα, στη δεύτερη ένα από τη δεύτερη και στην τρίτη ένα από την τρίτη; β. Πόσες από τις λέξεις αυτές περιέχουν τουλάχιστον ένα φωνήεν; γ. Πόσες από τις λέξεις αυτές περιέχουν τουλάχιστον ένα σύμφωνο; 36

Βασικές Αρχές Απαρίθμησης 1 5. Σε μια δειγματοληπτική έρευνα μεταξύ των φοιτητών για την εξέταση των συνηθειών τους ως προς το ποτό και το κάπνισμα συγκεντρώθηκαν τα εξής στοιχεία: 500 φοιτητές δήλωσαν ότι πίνουν ποτά αλλά δεν καπνίζουν, 400 δήλωσαν ότι καπνίζουν αλλά δεν πίνουν, ενώ οι 100 δήλωσαν ότι καπνίζουν και πίνουν. Πόσοι από τους φοιτητές που ρωτήθηκαν, είχαν τουλάχιστον τη μία από τις δυο «κακές» συνήθειες (να καπνίζουν ή να πίνουν); 1.5 Πιθανότητες σε Πεπερασμένους ειγματικούς Χώρους Ο όρος πιθανότητα είναι άμεσα συνυφασμένος με τη μελέτη φαινομένων όπου υπάρχει τυχαιότητα ή αβεβαιότητα. Κάθε φαινόμενο όπου μπορούν να εμφανισθούν πολλά διαφορετικά αποτελέσματα, χωρίς να υπάρχει τρόπος να καθορισθεί ποιο αποτέλεσμα θα εμφανισθεί κάθε φορά, αποτελεί αντικείμενο μελέτης της θεωρίας πιθανοτήτων. Η απαρχή της μαθηματικής ανάπτυξης της θεωρίας πιθανοτήτων θα πρέπει να αναζητηθεί τουλάχιστον 350 χρόνια πριν. Παρότι στα πρώτα στάδια της ανάπτυξής της συνδέθηκε με τη μελέτη τυχερών παιχνιδιών, η σημερινή της μορφή και στόχοι είναι πολύ ευρύτεροι και μόνο για διδακτικούς λόγους χρησιμοποιείται η «ορολογία» των τυχερών παιχνιδιών στη διατύπωση διάφορων προβλημάτων πιθανοτήτων. Ένα από τα παλιότερα προβλήματα των πιθανοτήτων του οποίου η λύση έχει ακόμη εξαιρετικό διδακτικό ενδιαφέρον είναι εκείνο που ο Γάλλος κόμης Chevalier de Mere, επαγγελματίας παίκτης τυχερών παιχνιδιών του 16 ου αιώνα, έθεσε υπόψη διάσημου Μαθηματικού και Φιλοσόφου της εποχής: είναι προτιμότερο να στοιχηματίσει κανείς ότι ρίχνοντας ένα ζάρι 4 φορές θα φέρει ένα τουλάχιστον 6 ή ότι ρίχνοντας δυο ζάρια 24 φορές θα φέρει τουλάχιστον μια φορά εξάρες; Υπάρχουν πολλά βιβλία τα οποία ασχολούνται αποκλειστικά με τον τομέα της θεωρίας Πιθανοτήτων. Στην παρούσα παράγραφο θα γίνει μια σύντομη εισαγωγή στις βασικές έννοιες της θεωρίας πιθανοτήτων με κύριο στόχο να γίνει φανερή η σχέση και η αλληλεπίδραση της Συνδυαστικής με την περιοχή αυτή. Στη θεωρία πιθανοτήτων ο όρος πείραμα χρησιμοποιείται για να δηλώσει μια διαδικασία που παράγει παρατηρήσεις. Για παράδειγμα 37