ΤΥΠΛΓΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Βασικά σύνολα Σύνολο φυσικών: Í {,,,L} Σύνολο ακεραίων: Æ { L,,,,,, L} Σύνολο ρητών: Q / Æ, ë Æ * ë Άρρητος λέγεται ένας αριθµός που δεν µπορεί να γραφτεί µε τη µορφή κλάσµατος ακεραίων. π.χ. e, π, 5, 7 Σύνολο πραγµατικών: είναι το σύνολο που περιέχει τους ρητούς και µη ρητούς αριθµούς και συµβολίζεται µε R. Ισχύει: Í Æ Q R Αναλογίες ã ä ä ã ä ã ä ã ã ã ä ± ± ä ä ã ã ä ± ä ± ã ã ± ëã ä ± ëä (ι παρονοµαστές διάφοροι του µηδενός) υνάµεις ρισµός: για κάθε R και ν φυσικό µε ορίζουµε ότι: L Αν τότε ãïôåò Αν και τότε Ιδιότητες: ë ë ( ) ë ë ì ( ) ë ì, ì Æ, Í Βασικές ταυτότητες ë *. ( ). ( ). ( )( ). ( ) 5. ( ) 6. ( ) 7. ( ) 8. ( )( ) 9. ( )( ). ( ) ( ). ( ) ( ). ( ã) ã ã ã. ( ã) ã ( )( ã)( ã ). ( )( L ), 5. ( )( L ), 6. ( )( L ), Í 7. 8., : 9., ã, : ã ã., ã, : ã ã., Í : ( )., > : Ταυτότητα Euler ã ã ã ã ã ã ã ã ã [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) Αν ã ή ã τότε ã ã Ανισότητες στο R. > >. > <. Για κάθε, R: > ή ή <. > z > z > 5. >, οµόσηµοι 6. <, ετερόσηµοι 7. > z > z 8. Αν ë > : > ë > ë 9. Αν ë < : > ë < ë. > > >. > > > > >. > >. Αν, > τότε > >. Αν, < τότε > < 5. >, > < 6. >, < > εν αφαιρούµε και δεν διαιρούµε ανισότητες κατά µέλη Απόλυτες τιµές,.., <.. 5. 6. *
7. 9... 8. ± ±. Þ.. ± Ρίζες πραγµατικών αριθµών., Í * :., : ( ) ( ),, Í ë ë, ë Í., : > > < < < > >. R :, Í : 5. > ± < δεν έχει λύσεις (αδύνατη) > < Η εξίσωση. Αν έχει µοναδική λύση την:. Αν είναι ταυτότητα (αληθεύει για κάθε R ). Αν και είναι αδύνατη Η ανίσωση >. Αν > τότε >. Αν < τότε <. Αν και > τότε αληθεύει για κάθε R Αν και αδύνατη Ανάλογα επιλύεται και η < Πρόσηµο τιµών της συνάρτησης Φ()αβ * * * Ö ( ) Ετερόσηµο του α µόσηµο του α Η εξίσωση ã µε έχει:. Αν Ä ã > έχει δύο ρίζες πραγµατικές και Ä άνισες, τις:, ±. Αν Ä έχει µία πραγµατική ρίζα διπλή την:. Αν Ä < δεν έχει ρίζες στο R. Μορφές του τριωνύµου f() ã, Το τριώνυµο f ( ) ã µε γράφεται: α) Αν Ä >, f ( ) ã ( - ) ( ) όπου, οι ρίζες του τριωνύµου β) Αν Ä, ã ( - ), f ( ), όπου η διπλή ρίζα του τριωνύµου γ) Αν Ä <, το τριώνυµο f ( ) ã δεν γράφεται σαν γινόµενο πρωτοβαθµίων παραγόντων Πρόσηµο τιµών της συνάρτησης f() ã, Αν Ä > το τριώνυµο έχει δύο ρίζες άνισες, έστω τις < και είναι οµόσηµο του α όταν το βρίσκεται εκτός των ριζών και ετερόσηµο του α όταν το βρίσκεται µεταξύ των ριζών f ( ), Ä > µόσηµο του α Ετερόσηµο του α µόσηµο του α f ( ), > - f ( ), < - - Αν Ä το τριώνυµο έχει µια διπλή ρίζα την και είναι οµόσηµο του α για κάθε f ( ), Ä µόσηµο του α µόσηµο του α f ( ), > f ( ), < - - Αν Ä < το τριώνυµο δεν έχει πραγµατικές ρίζες και είναι οµόσηµο του α για κάθε R f ( ), Ä < µόσηµο του α f ( ), > f ( ), < -
ΤΡΙΓΩΝΜΕΤΡΙΑ Τριγωνοµετρικοί αριθµοί οξείας γωνίας çìù Ýôé Üåôç Γ õïôåßïõó α óõù ã ïóåßìåç Üåôç β õïôåßïõó ω åöù óöù ã ã Α γ Β Ôéãùïìåôéïß éìïß ãùßò ù, ù 6 M(,) çìù óõù ù åöù, óöù Ï, Τριγωνοµετρικός κύκλος - ηµω όπου ( ÏÌ) Πρόσηµο τριγωνοµετρικών αριθµών Το πρόσηµο των ôéãùïìåôéþ éìþ δίνεται από τον παρακάτω πίνακα: ο ο ο ο ηµω - - συνω - - εφω - - σφω - - Μνηµονικός κανόνας Ηµίτονο θετικό και όλα τα άλλα αρνητικά Εφαπτοµένη και συνεφαπτοµένη θετική και όλα τα άλλα αρνητικά Βασικές τριγωνοµετρικές ταυτότητες çì, R óõ çì óõ, R ω συνω - σφω άξονας ηµιτόνων Η εφω çì åö, k, k Z óõ Ε Σ άξονας συνεφαπτοµενων άξονας συνηµιτόνων άξονας εφαπτοµένων Όλα θετικά Συνιµήτονο θετικό και όλα τα άλλα αρνητικά óõ óö, k, k Z çì åö óö k,, k Z åö çì åö, k, k Z óõ, k k Z, åö Αναγωγή στο ο τεταρτηµόριο çì( ù) çìù óõ( ù) óõù åö( ù) åöù çì( ù) çìù óõ( ù) óõù åö( ù) óöù óö( ù) óöù óö ù åöù çì ù óõù óõ ù çìù åö ù óöù óö ù åöù ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) çì ù óõù óõ ù çìù åö ù óöù óö ù åöù çì ù çìù óõ ù óõù åö ù óöù óö ù åöù Μνηµονικός κανόνας των τόξων ( ù ), ( ±ù ) και ( ±ù) οι τριγωνοµετρικοί çì ± çìù óõ ± óõù ãéïôé αριθµοί αντίστοιχα åö ± åöù óö ± óöù των τόξων ± ù και ± ù οι τριγωνοµετρικοί çì ± óõù óõ ± çìù ãéïôé αριθµοί αντίστοιχα åö ± óöù óö ± åöù και το πρόσηµο ( ) ή ( ) είναι ίδιο µε το πρόσηµο του αρχικού τριγωνοµετρικού αριθµού στο αντίστοιχο από τα τόξα ( ù ), ( ±ù ), ( ±ù ), ± ù, ± ù Τριγωνοµετρικοί αριθµοί βασικών τόξων ηµω συνω εφω σφω π 6 π - -
Βασικές τριγωνοµετρικές εξισώσεις k çì çì Þ k ( ), k Z k óõ óõ Þ k, k Z åö åö k, k Z óö óö k, k Z Στα σηµεία,,, του παρακάτω k τριγωνοµετρικού k κύκλου αντιστοιχούν τα τόξα ( k ) k, k Z, k, k,,, k Χρήσιµες εξισώσεις çì k, k Z çì k, k Z çì k, k Z óõ k, k Z óõ k, k Z óõ ( k ), k Z åö k, k Z óö k, k Z Τριγωνοµετρικοί αριθµοί αθροίσµατος και διαφοράς óõ óõ óõçì çì ( ) óõ( ) óõ óõ çì çì çì( ) çì óõ óõ çì çì( ) çì óõóõ çì åö åö åö( ) åö åö óö óö óö( ) óö óö åö åö åö( ) åö åö óö óö óö( ) óö óö Τριγωνοµετρικοί αριθµοί διπλασίου τόξου çì çì óõ óõ óõ çì óõ çì åö óö åö óö åö óö Για µισό τόξο çì çì óõ óõ óõ çì óõ çì f() f(å ö ) åö åö çì óõ åö åö Τύποι αποτετραγωνισµού óõ óõ óõ çì óõ åö óõ Τριγωνοµετρικοί αριθµοί τριπλασίου τόξου çì çìçì óõ óõ óõ Μετασχηµατισµός γινοµένων σε αθροίσµατα çìóõ çì çì ( ) ( ) óõóõ óõ( ) óõ( ) çìçì óõ( ) óõ( ) Μετασχηµατισµός αθροισµάτων σε γινόµενα çìá çìâ çì Á Â óõ Á Â çìá çìâ çì Á Â óõ Á Â óõá óõâ óõ Á Â óõ Á Â óõá óõâ çì Á Â çì Á Â çì Á Â çì B A ΘΕΩΡΗΜΑ Αν,, τότε για κάθε R ισχύει: f ( ) çì óõ çì( ö) όπου και ö R µε óõ çì, οπότε fma και fmin Νόµος ηµιτόνων Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: ã R, όπου R η ακτίνα του çìá çìâ çìã περιγεγραµµένου κύκλου του τριγώνου.
Νόµος συνηµιτόνων Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: ã ãóõá óõá ã ã ã ãóõâ óõâ ã ã ã ã óõã óõã ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Η ευθεία α β α β α > ω β <εφω<9 β α β α < ω 9<εφω<8 Η παραβολή α α > αεφω> α α < ω β α Ä ω β α ( α β γ), >, < ã <, Ä Ä ã >, Ä > ã >, Ä <. στη σχέση που υπάρχει ανάµεσα στις ρίζες και τα σηµεία τοµής της γραφικής παράστασης µε τον άξονα. Η συνάρτηση, Η υπερβολή α, >, < άξονας των (η ευθεία ) λέγεται κατακόρυφη ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης. άξονας των (η ευθεία ) λέγεται οριζόντια ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης. Η συνάρτηση α,α Η ρ ρ, > - ρ,οπου, < συνάρτηση [ ρ ρ ],µε ρ > - ρ ρ Προσοχή:. στη σχέση που υπάρχει ανάµεσα στην διακρίνουσα, το συντελεστή του και τη γραφική παράσταση.
Τριγωνοµετρικές συναρτήσεις f()σ -π/ -π -π/ π/ π π/ - f()η -π/ -π -π/ π/ π π/ f()ε - -π/ -π -π/ π/ π π/ Το υπόλοιπο είναι õ ιαιρετ υπόλοι P() πότε ισχύει: Ä ( ) õ ( ) ( ) ä ( ) ä ( ) Γενικά στη διαίρεση P ( ):( ) το υπόλοιπο είναι õ P,. Θεώρηµα R ρίζα του P ( ) P () υπάρχει µοναδικό Ð ( ) ώστε P ( ) ( ) Ð ( ) ή παράγοντας του P ( ) διαιρέτης του P ( ). Σχήµα Horner -5 - () -6-6 υ() 7-5 δ() π() 5 5 διαιρέ πηλί βαθµ õ ( ) βαθµ δ() ή βαθµ υ() ή υ() ìçäåéo πολυώνυµο. βαθµ π() βαθµ () - βαθµ δ() Ταυτότητα διαίρεσης: Ä ( ) ä ( ) ( ) õ ( ) ρ υπόλοιπο υρ(ρ), Ρ()5 ΠΛΥΩΝΥΜΑ ΡΙΣΜΙ Μονώνυµο του ονοµάζουµε κάθε παράσταση της µορφής, όπου α είναι πραγµατικός αριθµός και ν ένας θετικός ακέραιος. Πολυώνυµο του ονοµάζουµε κάθε παράσταση της µορφής: L, όπου ν φυσικός αριθµός και,, L,, πραγµατικοί αριθµοί. Βαθµό του πολυωνύµου P ( )ονοµάζουµε τον µεγαλύτερο εκθέτη του µε συντελεστή διάφορο του µηδενός. Το σταθερό µη µηδενικό πολυώνυµο έχει βαθµό Στο µηδενικό πολυώνυµο δεν ορίζεται βαθµός. Αριθµητική τιµή - Ρίζα - Ισότητα πολυωνύµων Αριθµητική τιµή ή απλά τιµή του πολυωνύµου P ( ) για λέγεται ο πραγµατικός αριθµός P (). Ρίζα του πολυωνύµου P ( ) λέγεται ο πραγµατικός αριθµός ρ για τον οποίο η αριθµητική τιµή του P ( ) είναι µηδέν. ( P ) (). ύο πολυώνυµα θα λέµε ότι είναι ίσα αν και µόνον αν είναι του ιδίου βαθµού και τα µονώνυµα µε τους ίδιους εκθέτες έχουν ίσους συντελεστές. ιαίρεση πολυωνύµων ιαίρεση πολυωνύµου µε χ - ρ Σε κάθε διαίρεση πολυωνύµου P ( ) µε διαιρέτη [ P ( ):( ) ] έχουµε: P ( ) ( ) Ð ( ) õ, όπου Το υπόλοιπο είναι το σταθερό πολυώνυµο υ γιατί είναι µικρότερου βαθµού από το διαιρέτη που είναι ου βαθµού. 5 7 5 ( ) ( 6 5) 5 Το σχήµα Horner είναι ένας απλός τρόπος για:. Να διαπιστώσουµε αν ο αριθµός ρ είναι ρίζα του P ( ).. Να διαπιστώσουµε αν το είναι παράγοντας του P ( ).. Να υπολογίσουµε την αριθµητική τιµή του P ( ) για.. Να υπολογίσουµε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύµου P ( ) µε το. Αριθµητική πρόοδος ù διαφορά Α.Π. ù ( ) ù α,β,γ διαδοχικοί όροι ã Α.Π. ο β είναι αριθµητικός µέσος των α,γ Άθροισµα ν όρων Α.Π. S ( ) S [ ù] ( ) ΠΡ Ι Γεωµετρική πρόοδος ë λόγος Γ.Π. ë ë α,β,γ διαδοχικοί όροι Γ.Π. ã ο θετικός ã είναι ο γεωµετρικός µέσος των α,γ Άθροισµα ν όρων Γ.Π. S, αν ë S ë ë, ë Άθροισµα απείρων όρων Γ.Π. S ë, ë <
Η ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Συνάρτηση «-» Μία συνάρτηση fa : Rλέγεται συνάρτηση «-» όταν για οποιαδήποτε, A ισχύει: αν τότε f ( ) f ( ) ή ισοδύναµα αν f ( ) f ( ) τότε (αποκλειστικά) Η εκθετική συνάρτηση f() α, < α. Ισχύουν οι ιδιότητες δυνάµεων, ( ), ( ),. Πεδίο ορισµού: A R. Σύνολο τιµών: fa ( ) (, ), δηλ f ( ) > για κάθε R.. Είναι συνάρτηση «-»: Χρειάζεται για τη λύση εξισώσεων π.χ. 5. Μονοτονία: Αν > Αν < < Είναι γνήσια αύξουσα Είναι γνήσια φθίνουσα < < < > Χρειάζεται για τη λύση ανισώσεων π.χ. < < L 6. Γραφική παράσταση Χρειάζεται για τη λύση ανισώσεων π.χ. < 5 > L 5 Αν > Αν < < k log k log log log log log log, log log Τύπος αλλαγής βάσης: log log εκαδικός λογάριθµος: log log, log Φυσικός λογάριθµος: loge ln, ln e Για κάθε > ισχύει: e ln ln Επίσης e Η λογαριθµική συνάρτηση f() log, <, >. Είναι η αντίστροφη συνάρτηση της εκθετικής δηλ. log. Πεδίο ορισµού: Á (, ). Σύνολο τιµών: fá ( ) R. Είναι συνάρτηση «-»: log log Χρειάζεται για τη λύση εξισώσεων π.χ. log ( 5) log 7 5 7L 5. Μονοτονία: Αν > Αν < < Είναι γνήσια αύξουσα Είναι γνήσια φθίνουσα < log < log < log > log Χρειάζεται για τη λύση ανισώσεων π.χ. Χρειάζεται για τη λύση ανισώσεων π.χ. log ( ) > log 5 > 5L log ( ) > log 5 < 5L 6. Γραφική παράσταση Αν > Αν < < X lim, lim X X lim, lim X Η γραφική παράσταση τέµνει τον άξονα στο (, ) και έχει ασύµπτωτη την ευθεία δηλ. τον άξονα. Λογάριθµοι ρισµός: Αν > και >, log είναι ο εκθέτης στον οποίο πρέπει να υψώσουµε τον α για να βρούµε τον θ, ή ισοδύναµα τη µοναδική λύση της εξίσωσης την συµβολίζουµε µε log και ονοµάζουµε λογάριθµο του θ µε βάση α. ηλαδή: log Ιδιότητες: log ( ) log log log log log ( ) ( ) lim log lim log, ( ) ( ) lim log lim log, Η γραφική παράσταση τέµνει τον άξονα στο (, ) και έχει ασύµπτωτη την ευθεία δηλ. τον άξονα. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Πολυωνυµικές εξισώσεις ου βαθµού (χωρίζουµε γνωστούς από αγνώστους) ου βαθµού (Με διακρίνουσα βλέπε ã, ) ου ή µεγαλυτέρου βαθµού (παραγοντοποίηση ή σχήµα Horner) Ειδικές µορφές: α) διτετράγωνη ã (θέτουµε ) β) διώνυµη (βλέπε µορφή )
Εξισώσεις µε απόλυτες τιµές Αν βρίσκεται σε ένα είδος απολύτου, µε τους τύπους ± ή ± Αν βρίσκεται σε περισσότερα από ένα είδος απόλύτων µε πίνακα. Άρρητες εξισώσεις f ( ) g ( ) : Πρέπει f ( ), g ( ) και υψώνουµε στη νιοστή δύναµη. f ( ) ± g ( ) h ( ): Πρέπει f ( ), g ( ). Υψώνουµε στο τετράγωνο, αποµονώνουµε το ριζικό που προκύπτει και υψώνοντας ξανά στο τετράγωνο καταλήγουµε σε πολυωνυµική. Εκθετικές εξισώσεις f. α) Αν g ( ) f( ) g( ) τότε f( ) g( ) β) Αν g ( ) τότε λογαριθµίζουµε. f ( ) (µία βάση). Θέτουµε > και έχουµε f ( ). Βρίσκουµε το και µετά το από την.. f (, ) (δύο βάσεις). Την φέρνουµε στη µορφή ë ë οπότε ανάγεται στην περίπτωση ().. f (,, ) (δύο βάσεις και το γινόµενό τους). ιαιρούµε µε το οπότε παίρνουµε f (). 5. f ( ) g( ), οπότε ανάγεται στην περίπτωση f ( ) é g ( ) R f ( ) é g ( ) f ( ) é g ( ) Üôéïò Λογαριθµικές εξισώσεις (βλέπε λογαριθµική συνάτηση) Τριγωνοµετρικές εξισώσεις (βλέπε τριγωνοµετρία) ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Πολυωνυµικές ανισώσεις ου βαθµού: (βλέπε ανίσωση > ) ου βαθµού: ( βλέπε πρόσηµο τιµών συνάρτησης f ( ) ã, ) ου ή µεγαλυτέρου βαθµού: Παραγοντοποιούµε την παράσταση και τη φέρνουµε στη µορφή: < ( )( ) L ( ù ). Βάζουµε τις ρίζες σε > άξονα και εναλλάξ τα πρόσηµα ξεκινώντας µε από το ρ ρ ρ ρ ν- ρ ν- ρ ν ρ ν- κ.λ.π Στην περίπτωση που κάποια ρίζα είναι άρτιας πολαπλότητας δεξιά και αριστερά απ αυτή δεν αλλάζουµε το πρόσηµο. Κλαµατικές ανισώσεις P ( ) Q ( ) > P ( ) Q ( ) >, (όµοια για < ) P ( ) Q ( ) P ( ) Q ( ), (όµοια για ) é Q( ) Έτσι ανάγεται σε γινόµενο παραγόντων της προηγούµενης µορφής. Ανισώσεις µε απόλυτες τιµές Αν ο βρίσκεται σε ένα είδος απολύτου µε τους τύπους, Þ Αν ο βρίσκεται σε περισσότερα από ένα είδος απολύτων, µε πίνακα. Άρρητες ανισώσεις f ( ) f ( ) g ( ) g ( ) f ( ) g ( ) f ( ) g ( ) f ( ) [ g ( )] f ( ) g ( ) Þ f ( ) g ( ) < Εκθετικές ανισώσεις (βλέπε εκθετική συνάρτηση) Λογαριθµικές ανισώσεις (βλέπε λογαριθµική συνάρτηση) Τριγωνοµετρικές ανισώσεις Παραδείγµατα: çì> çì Þ / / < < k < < k, k Z / -/ / -/ åö <. Στο óõ óõ Þ π/ π/ k k, k Z,, åö και åö < < < Άρα k < < k,k Z