Μεταβατική Ανάλυση - Φάσορες Πρόσθετες διαφάνειες διαλέξεων Αλέξανδρος Πίνο Δεκέμβριος 2017 Γενικό μοντέλο Απόκριση κυκλώματος πρώτης τάξης, δηλαδή με ένα μόνο στοιχείο C ή L 3 Μεταβατική απόκριση Ξαφνική εμφάνιση ενός δυναμικού (DC στο a και AC στο b) στα άκρα ενός φορτίου τη χρονική στιγμή t=0,2s. 3 περιοχές: Σταθερή κατάσταση για 0 t 0,2s Μετάβαση για 0,2s t 2s Νέα σταθερή κατάσταση για t 2s Κατάστρωση διαφορικών εξισώσεων () + 1 () = 1 () Ανεξάρτητη μεταβλητή το () () + 1 () = 1 () Ανεξάρτητη μεταβλητή το (),, () είναι γνωστές ποσότητες (σταθερές) 2 4
Παράδειγμα 4.1 Κατάστρωση της διαφορικής εξίσωσης ενός κυκλώματος RL Γνωστές ποσότητες: =10Ω, = 5Ω, = 0,4H Να βρεθεί: Η διαφορική εξίσωση ως προς το (). Υποθέσεις: Καμία. Λύση μόνιμης κατάστασης DC σε κυκλώματα με πηνία και πυκνωτές Σταθερές ή μόνιμες καταστάσεις ονομάζονται αυτές που ισχύουν πριν ή πολύ μετά από το άνοιγμα (ή κλείσιμο) του διακόπτη (ή από την αλλαγή της διέγερσης) Οι τιμές των ρευμάτων και των τάσεων στις σταθερές καταστάσεις ονομάζονται αρχικές (για το πριν) και τελικές (για το πολύ μετά) συνθήκες Στη μόνιμη-κατάσταση DC όλοι οι πυκνωτές συμπεριφέρονται ως ανοικτά κυκλώματα και όλα τα πηνία ως βραχυκυκλώματα. Δύο μόνιμες καταστάσεις: Αρχική συνθήκη 0 Τελική συνθήκη ( ) 5 7 Συνήθης γραμμική διαφορική εξίσωση πρώτης-τάξης + = + = b α + = = σταθερά χρόνου, = απολαβή DC Αρχή της συνέχειας του ρεύματος πηνίου και της τάσης πυκνωτή Η τιμή του ρεύματος ενός πηνίου ή της τάσης ενός πυκνωτή αμέσως πριν το κλείσιμο (ή το άνοιγμα) ενός διακόπτη είναι ίση με την αντίστοιχη τιμή αμέσως μετά το κλείσιμο (ή το άνοιγμα) του διακόπτη. 0 = 0 0 = 0 0 : αμέσως μετά το =0 0 : ακριβώς πριν το =0 6 8
Γενική λύση κυκλωμάτων πρώτης-τάξης + = Για μεταβάσεις DC η συνάρτηση εξαναγκασμού () έχει τη μορφή μιας συνάρτησης βήματος, δηλαδή ίση με 0 για <0 και ίση με μια σταθερή τιμή για 0: + = 0 με αρχική τιμή =0 =(0) Φυσική απόκριση Θέτουμε τη συνάρτηση εξαναγκασμού ίση με το 0 + = 0 = τ Λύση γνωστή: εκθετική μορφή = / 9 11 Θεωρία επίλυσης διαφορικών εξισώσεων Η λύση αποτελείται από 2 μέρη: Φυσική απόκριση ή λύση της ομογενούς Εξαναγκασμένη απόκριση ή ειδική λύση Η πλήρης απόκριση είναι είναι το άθροισμα της φυσικής και της εξαναγκασμένης απόκρισης Αφού βρεθεί η μορφή της πλήρους απόκρισης τότε μπορεί να εφαρμοστεί η αρχική συνθήκη για τον προσδιορισμό της τελικής λύσης Εξαναγκασμένη απόκριση Λύνουμε για την ειδική περίπτωση =0 (όπου είναι σταθερά) + = = είναι η λύση της μόνιμης κατάστασης DC που είχαμε ήδη βρει = = 10 12
Πλήρης απόκριση = + = / + = / + t 0 Για να προσδιορίσουμε την άγνωστη σταθερά, εφαρμόζουμε την αρχική συνθήκη =0 =(0): οπότε =0 = 0 = / + = 0 = [ ] / + Απόκριση μόνιμης κατάστασης = 12V Μεταβατική απόκριση = 5 12 /, 13 15 Παράδειγμα 4.7 Να βρεθεί μια έκφραση για την τάση του πυκνωτή στο σχήμα Γνωστές ποσότητες: =0 = 5V, = 1kΩ, = 470μF, = 12V Να βρεθεί: H τάση του πυκνωτή () ως συνάρτηση του χρόνου για όλες τις χρονικές στιγμές. Υποθέσεις: Καμία. Φυσική απόκριση (εκφόρτιση) = 5 /, Εξαναγκασμένη απόκριση (φόρτιση) = 12 1 /, 14 16
Αποθήκευση ενέργειας σε πυκνωτή () = 1 2 () Εκθετική απομείωση της τάσης του πυκνωτή = / 17 Τάση του πυκνωτή, V Χρόνος (s) Αποθήκευση ενέργειας σε πηνίο = 1 2 () Εκθετική απομείωση του ρεύματος του πηνίου = / 18 Ρεύμα του πηνίου, Α Εξαναγκασμένη απόκριση κυκλωμάτων που διεγείρονται από ημιτονοειδείς πηγές () + 1 () = 1 () = cos Σε γραμμικό κύκλωμα που διεγείρεται από ημιτονοειδές σήμα όλες οι τάσεις και τα ρεύματα στους κλάδους έχουν ημιτονοειδή μορφή με την ίδια συχνότητα όπως και το σήμα διέγερσης 19 Χρόνος (s) Λύση κυκλωμάτων με ημιτονοειδή διέγερση με τη μέθοδο των παραστατικών μιγαδικών αριθμών (φασόρων) Οποιοδήποτε ημιτονοειδές σήμα παριστάνεται στα μαθηματικά με έναν από τους δύο τρόπους: στη μορφή της περιοχής-χρόνου: = cos( + ) και στη μορφή περιοχής-συχνοτήτων ή φασόρων = = Το στο συμβολισμό του εκφράζει την εξάρτηση του φάσορα από το 20
Φάσορες Ο φάσορας είναι ένας μιγαδικός αριθμός γραμμένος σε πολική μορφή που έχει μέγεθος ίσο με το πλάτος κορυφής του ημιτονοειδούς σήματος και γωνία φάσης ίση με τη μετατόπιση φάσης του σήματος που αναφέρεται σε σήμα συνημίτονου Όταν χρησιμοποιούμε συμβολισμό φασόρων είναι σημαντικό να θυμόμαστε τη συγκεκριμένη κυκλική συχνότητα του ημιτονοειδούς σήματος, καθόσον δεν εμφανίζεται σαφώς στην έκφραση του φάσορα Φάσορας cos + = Re e Εκφράζουμε ένα ημιτονοειδές σήμα ως το πραγματικό μέρος ενός μιγαδικού διανύσματος που το όρισμά του, ή η γωνία, δίνεται από την + και το μήκος του, ή μέγεθος, ισούται με το πλάτος κορυφής του σήματος Ο μιγαδικός φάσορας που αντιστοιχεί στο σήμα cos + ορίζεται ως ο μιγαδικός αριθμός = + = Re e =Re( ) Πρόκειται περί ορισμού. Η αρχική έκφραση απλουστεύεται με την αφαίρεση του τελεστή Re και την παραγοντοποίηση και διαγραφή του όρου 21 23 Ταυτότητα του Euler Ορίζει το μιγαδικό εκθετικό σαν ένα σημείο του μιγαδικού επιπέδου, διαχωρίζοντάς το σε πραγματικές και φανταστικές συνιστώσες: = + =1 γιατί cos + sin = cos +sin =1 = cos + sin = Εμπέδηση (σύνθετη/μιγαδική αντίσταση) Έστω = cos ή = = 0 22 24
Εμπέδηση του αντιστάτη Νόμος του Ohm: = = = cos = 0 = 0 = () = Εμπέδηση του πυκνωτή = = = cos = sin = cos( + 2 ) = 1 = = cos = 0 = 2 = () = 1 2 = = 1 25 27 Εμπέδηση του πηνίου = = = cos = 1 ( ) = = 1 cos = sin = cos( 2 ) = 0 = 2 = () = 2 = Σύνθετες αντιστάσεις R, L, C στο μιγαδικό επίπεδο Γενική μορφή: = + AC αντίσταση Άεργη αντίσταση Επαγωγική άεργη αντίσταση: πάντα θετική Χωρητική άεργη αντίσταση: πάντα αρνητική 26 28
Φίλτρο διέλευσης χαμηλών συχνοτήτων RC Συνάρτηση μεταφοράς τάσης ή Απόκριση Συχνότητας του φίλτρου: = = Από την αρχή του διαιρέτη τάσης: = 1/ +1/ = 1 1 + = = 1 1 + Φίλτρο διέλευσης υψηλών συχνοτήτων RC 29 31 Χαρακτηριστικές μεταφοράς πλάτους και φάσης φίλτρου διέλευσης χαμηλών συχνοτήτων RC e 1 = = 1+ 1 = 1+ / = arctan = arctan συχνότητα αποκοπής = Η τιμή της στη συχνότητα αποκοπής είναι = 0,707 30