1.- Moeento Ondulatorio. Clases de onda!.- Ondas Harónias. Función de onda unidiensional! 3 3.- Enerxía! 5 3.1.- Absorción!... 6 4.- Principio de HUYGENS! 6 4.1.- Reflexión!... 6 4..- Refracción!... 7 5.- Interferencias! 7 5.1.- Experiento de Young!... 8 5..- Ondas estacionarias!... 9 6.- Difracción! 11 7.- Polarización! 11 8.- Son! 1 8.1.- Calidades do son!... 1 8..- Eco e reerberación!... 13 8.3.- Ondas sonoras estacionarias en tubos!... 13 8.4.- Efecto DOPLER!... 13 8.5.- Onda de choque!... 14 1
Ondas 1.- Moeento Ondulatorio. Clases de onda! Que é unha onda? Para oita xente, a palabra onda trae á ente unha descrición dun océano, coas ondas procedentes do ar aberto arrendo as praias. Ao er as cristas cabalgando, adquírese un certo sentido de asalto asio da auga sobre a terra, e erdadeiraente as ondas poden facer un gran dano, o que equiale a dicir que son portadoras de enerxía. Pero a pesar de todo, cando as ondas xa roperon e olen atrás, a auga está praticaente no eso sítio no que estaba antes respeito da praia. A aalancha cara adiante non significa un oiento físico da auga. En realidade, o ar xogou un papel de axente ediante o cal transite un certo efecto. E aquí teos a característica esencial do que se denoina oiento ondulatório.! Unha onda é unha perturbación que se propaga no espazo, transite unha propiedade dun lugar a outro a traés dun edio, pero o edio en si eso non se transporta. Pode relacionarse un efecto local a unha causa distante e existe unha diferenza de tepo entre a causa e o efecto que depende das propiedades do edio e que atopa a súa expresión na elocidade da onda. Todos os edios ateriais (sólidos, líquidos e gases) poden transportar enerxia e inforación por edio de ondas.! As agnitudes físicas que definen a perturbación poden ser unha deforación elástica ou unha sobrepresión en acústica, capos eléctricos e agnéticos, unha probabilidade de presenza en ecánica cuántica, etc. Os fenóenos ondulatorios están descritos por unha función Ψ(r, t), que se denoina función de ondas, e pode ser escalar ou ectorial, e que satisfai unha ecuación en deriadas parciais denoinada ecuación de ondas.! Nun instante dado Ψ(r, t) é unha función da posición; nun punto dado Ψ(r, t) é unha función do tepo.! Un oeento ondulatorio é unha función dobreente periódica, no tepo e no espazo.! Se a función de ondas non necesita un edio para propagarse denoínase onda electroagnética. Se precisa un edio para propagarse, denoínase onda ecánica. As ondas ecánicas pasan a traés dun edio porque cada átoo está ligado a unha posición de equilibrio por forzas de orixe electroagnética. Cando son perturbadas actúan da esa fora que as asas unidas por resortes: unha perturbación nun deles pasa ao seguinte e así sucesiaente.! A elocidade de propagación depende da natureza do edio e da conexión entre as partículas. Clases de ondas: a) onda lonxitudinal: a ibración das partículas do edio realízase no sentido da propagación. Por exeplo, as ondas acústicas. b) onda transersal: a ibración da perturbación é perpendicular á dirección de propagación. Non precisa un edio para propagarse. Propagación E B Propagación Lonxitudinal Transersal
Considereos unha perturbación Ψ que se propaga cara á dereita segundo o eixe X, cunha elocidade constante, se o edio é hooxéneo e isótropo, sen aorteceento. t=t 1 t=t x 1 x Representación da perturbación Ψ en función de x nos instantes t=t 1 e t=t!! Se Ψ (x 1, t 1) = Ψ(x, t ), o punto x 1 no tepo t 1 ten a esa perturbación que o punto x no tepo t, e pódese escribir a seguinte relación x - x 1 = (t - t 1), t - x = t 1 - x 1, t - x / = t 1 - x 1 /,! A función de ondas é unha función de t - x/, tepo de ibración, que se denoina fase da onda.!!!! Ψ(x,t) = f(t - x/)! En x=0 Ψ(0,t) = f( t 0 ), se se coñece o alor da función na orixe, coñécese a perturbación en calquera punto e tepo..- Ondas Harónias. Función de onda unidiensional! No punto x = 0 prodúcese unha perturbación harónica, realiza un M.H.S. O alor da perturbación é: W(0,t) = f(t 0) = Asen(~t 0 + {) A perturbación nun punto P e nun tepo t é: W(x,t) = W(0,t) = f(t 0) = Asen(~t 0 + {) sendo t 0 o tepo que nos perite superpoñer a onda en P coa onda en x =0, o punto P e a orixe teñen a esa función de ondas. Elixios t o = t x!! W(x,t) = Asen 9 x ~(t - ) + { C Para siplificar calculos considerareos que { = 0 Esta función é periódica no tepo A sen~t 0 = Asen~ ^t 0 + T h ao introducir o período prodúcese no ángulo un auento de r! ~ ^t 0 + T h = ~t 0 + r 3
Ondas ω = π T frecuencia angular, representa o cabio de fase co tepo. r x t x W(x,t) = A sen T (t - ) = A senr(t - T ) Definios lonxitude de onda coo o espazo percorrido pola onda durante un período = T Ψ(x,t) = A sen π( t T x λ ) Presenta periodicidade no espazo, para t = cte W(x,t) = W(x + a,t) x x + a A senr = A senr! Ao introducir o período espacial prodúcese un auento en r no ángulo. πx λ x + α + π = π λ!! O período espacial é a lonxitude de onda. πx + πλ πx + πα = λ = α λ λ t x rt rx W(x,t) = A senr( T - ) = A sen( T - ) Definios nº de onda coa expresión K = π λ! representa a elocidade de cabio de fase coa distancia. A edida que nos oeos no espazo nun tepo fixo, a fase cabia. É a parte iaxinaria da función De haber fase inicial Ψ(x,t ) = A sen(ω t - kx) i(ω t-k x) Ψ(x, t) = A e W(x,t) = Ae ^ i ~t-kx+{ h Os puntos do edio realizan un M.H.S de aplitude A e frecuencia anguar w.! Os puntos de igual fase eñen dados por wt - Kx = cte. Os puntos x correspondentes a instantes de tepo deterinados que erifican a relación dirase que son puntos con igual fase e adeais a función de onda toa o eso alor. Estes desprázanse cunha elocidade que se denoina elocidade de fase r dx ~ T ~t - kx = cte deriando = = dt k r =, f = T Denoínase fronte de ondas o lugar xeoétrico de puntos do espazo que teñen igual perturbación, é dicir, que están en fase. Poden ser 4
Planas: o lugar xeoétrico é un plano, son os frontes de onda das ondas unidiensionales. Esféricas: o lugar xeoétrico é unha esfera Dous puntos de frentes de onda distntos están en fase nun deterinado instante se a diferenza de fase é un últiplo par de pi c~t - r x1 - c~t - r x = rn r ] x - x 1 g= rn x - x 1 = n A diferenza das súas distancias ao foco é un nº enteiro de lonxitudes de onda. A ecuación de ondas unidiensional é: 3.- Enerxía W 1 - W x = 0 t! Unha das características das ondas é que transiten enerxía. A enerxía transitida polo foco distribúese por todo o espazo por onde se propaga o oeento ondulatorio.! Considereos que o foco realiza un MHS e que xera unha onda harónica que se propaga por un edio aterial, transitindo a enerxía ás partículas do edio. A enerxía total transitida én dada pola expresión E = 1 KA = 1 ~ A = 1 4 r f A A enerxía transitida é proporcional ao cadrado da aplitude e da frecuencia.! Canto aior se ai facendo a superficie de propagación da onda, enor é a enerxía que lle corresponde por unidade de superficie.! Definios intensidade de onda coo a enerxía que na unidade de tepo atraesa a unidade de superficie perpendicular á dirección de propagación da onda. TE I = TS $ Tt = Para unha superficie S 1 Potencia = cte f TS A TE I 1 = 1 TS1 $ Tt TE = 1 4rR1 Tt TE Para unha superficie S I = TE = TS $ Tt 4rR Tt Coo a enerxía nas dúas superficies é a esa I 1 R I = R1 F.O.1 Foco F.O. Para as ondas esféricas, a intensidade é inersaente proporcional ao cadrado da distancia ao foco. Tendo en conta a relación entre a intensidade e a aplitude, podeos escribir A 1 R = A R1 A aplitude dunha onda esférica é inersaente proporcional á distancia ao foco. Nunha onda bidiensional(ondas na auga) 5
Ondas As ondas esfericas e as ondas circulares sofren unha disinución de aplitude coa distancia, dinse que as ondas sofren unha atenuación.! Nunha onda plana non hai ariación de intensidade no paso dun plano a outro.! 3.1.- Absorción! É a perda de enerxía por parte da onda na súa propagación. Considereos unha onda plana que se propaga por un edio absorbente e sexa I a intensidade da onda nun punto que se atopa a unha distancia x do foco. Cando a onda atraesa un espesor de aterial dx, a intensidade diinúe unha cantidade di.! Copróbase experientalente que a diinución de intensidade é proporcional á intensidade nese punto antes de atraesar o aterial e ao espesor atraesado. - di = b di dx b é o coeficiente de absorción Para deterinar a intensidade en cada punto integrareos a ecuación I x d I I # =- # b dx, Ln =-bx, I = I I0 I 0 I0 0e -bx A intensidade decrece exponencialente co espesor do edio. 4.- Principio de HUYGENS! En 1690 Christian Huygens publica o seu tratado sobre a luz. Nel expón un odelo de propagación de ondas que perite explicar os fenóenos ondulatorios.! Unha fronte de onda S 1, que se produce nun tepo t + Dt nun punto r + D r é consecuencia da fronte de onda S 0, que se produciu nun instante anterior t e no punto r. Cada punto da fronte de onda conértese nun foco, foco secundario, eisor de noas ondas, que son ondas secundarias. A enolente ás ondas secundarias xera a noa fronte de ondas. Con este principio xéranse dúas frontes de ondas, unha que ai na dirección (no sentido) de propagación, que é a onda progresia, e outra que se dirixe cara ao foco, que é a onda regresia. Coo a onda regresia non se obsera, houbo que realizar unha corrección da teoría introducindo o factor de oblicuidade, pola que esta non transporta nin enerxía nin oento. Onda plana Onda esférica! 4.1.- Reflexión Denoínase reflexión o fenóeno polo que parte dunha onda que se oe polo edio 1, ao incidir sobre a superficie de separación con outro edio, é deolta ao edio orixinal. 6
! Cando a fronte de ondas AB incide sobre a superficie de separación, os puntos deste transfóranse en focos secundarios, eitindo ondas secundarias. O radio destas ondas é decrecente, xa que os focos prodúcense progresiaente. B D A C DC = t = AC sent r AB = t = AC sen t 4 & AC sen tr = AC sen t i & tr = t i i 1ª Lei de Snell! 4..- Refracción Cando unha onda que se propaga por un edio pasa a outro edio no que a elocidade de propagación é diferente, a onda transitida cabia a dirección no que se propaga respecto á que tiña a onda incidente B A C A BC = 1 t = AC sen t i 1 3 AA = t = AC sen r t & ª Lei de Snell sen t i = senr t 5.- Interferencias! Cando nun punto e nun tepo deterinado coinciden dúas ou áis ondas, a perturbación resultante é a sua de cada unha das perturbacións. Este fenóeno denoínase interferencia. Para que isto sexa obserable, é dicir, ofreza un diagraa de interferencias, as ondas teñen que ser coherentes. Ondas coherentes son aquelas que teñen a esa frecuencia e a súa diferenza de fase inicial peranece constante. W 1 W W 1 ^x,th = A 1sen ^~t - kx 1 h ^x,th = A sen ^~t - kx + dh Si d = 0 ^x,th+ W ^x,th = A 1sen ^~t - kx 1 h+ A sen ^~t - kx h 7
Ondas W(x,t) = Asen(~t + {) O diagraa corresponde a un M.H.S A A = A 1 + A + A 1A cos kt tg { = 1senkx 1 + A senkx A1coskx 1 + A coskx onde D = x - x 1 e a diferenza de caiños A aplitude será áxia, interferencia construtia, A = A 1 + A se cos kt = 1 r (x - x 1) = nr x - x 1 = n a diferenza de caiños é un últiplo enteiro de lonxitudes de onda A aplitude será ínia, interferencia destructia, A = A 1 - A se cos kt =-1 r (x - x 1) = (n + 1)r x - x 1 = (n + 1) a diferenza de caiños é un últiplo ipar de seilonxitudes de onda Se as dúas ondas teñen a esa aplitude, os ínios de interferencia terán alor cero da aplitude e non haberá perturbación.! 5.1.- Experiento de Young D r 1 F d β r β x Consideraos que D (distancia das aberturas á pantalla) é oito aior que d (distancia entre as dúas aberturas). As dúas ondas proceden do eso foco, polo tanto son coherentes e identicas. A diferencia de caiños entre as dúas ondas é Tr = r - r 1 = dsenb tgb = D x si b 11 tgb - senb = D x A onda resultante no punto x é a sua das dúas ondas W(x,t) = W 1(x,t) + W (x,t) = Asen(~t - kr 1) + Asen(~t - kr ) = Acos k(r 1 - r ) k(r 1 + r ) sen(~t - ) A aplitude está odulada pola función coseno, e esta será áxia cando o coseno alga +/-1, é dicir ktr = nr r d senb = nr r d xáx D = nr 8
Os áxios de interferencia se encontran na posición xáx = n d D A aplitude é ínia e farase cero cando o coseno alga cero, é dicir ktr r = (n + 1) r r d senb = (n + 1)r d xín D = (n + 1)r Os ínios de interferencia se encontran na posición D xín = (n + 1) d! 5..- Ondas estacionarias a)! Cando nun edio elástico interfiren entre si dúas ondas iguais que se propagan en sentidos opostos, dan lugar a unha onda estacionaria. W 1 W 1 ^x,th = Asen ] ~t - kxg W ^x,th = Asen ] ~t + kxg ^x,th+ W ^x,th = Asen ] ~t - kxg+ Asen ] ~t + kxg a - b a + b tendo en conta sen a + sen b = cos sen kx ~t W(x,t) = Acos sen = Acoskx sen~t non son ondas de propagación, cada punto ibra cunha frecuencia angular w e aplitude que aría coa posición A T = Acoskx Será áxia cuando kx = nr r x = nr & xáx = n Os puntos onde a aplitude é áxia, denoinados cristas ou ales, son aqueles nos que a distancia ao foco é un últiplo da seilonxitude de onda. Será ínio cuando kx = (n + 1) r r r x = (n + 1) & xín = (n + 1) 4 Os puntos onde a aplitude é nula, denoinados nodos, son aqueles nos que a distancia ao foco é un últiplo ipar da cuarta parte da lonxitude de onda. 9
Ondas b) Corda ibrante Considereos unha onda que iaxa cara á esquerda e reflictese producindo unha onda que iaxa cara á dereita na onda reflectida prodúcese un desfasaento de alor r, producindose unha interferencia cada punto ibra cunha frecuencia angular w e aplitude que aría coa posición Os puntos onde a aplitude é axia, denoinados entres, son aqueles nos que a distancia ao foco é un últiplo ipar da cuarta parte da lonxitude de onda. Os puntos onde a aplitude é nula, denoinados nodos, son aqueles nos que a distancia ao foco é un últiplo da seilonxitude de onda. Se os puntos estan fixos, os dous puntos corresponden a un nodo, e debe haber un núero enteiro de seilongitudes de onda 10
6.- Difracción Fenóeno que se produce cando unha onda atopa un obstáculo ou unha abertura ao propagarse e cuxo taaño é coparable á lonxitude de onda. O diagraa de difracción é seellante ao das interferencias, polo que se soe dicir que a interferencia prodúcese para un nº discreto de abertura e a difracción para un nº infinito. Cando se teñen N aberturas o patrón de difracción resultante é a superposición dun patrón debido á interferencia das N fontes áis o patrón de difracción debido a unha abertura. A difracción obsérase cando se fai pasar unha onda a traés dunha abertura cuxas diensións son coparables á lonxitude de onda de aquela. 7.- Polarización Nunha onda transersal as oscilacións produncense en todas ás direccións perpendiculares a dirección de propagación e pode ser ista coo superposición de arias ondas. Podeos considerala coo unha superposición de dúas ondas arónicas perpendiculares, de igual frecuencia (onocroáticas), desfasadas unha cantidade Oz Se di que a onda esta polarizada cando o desfase Oz e constante no tepo. As dúas copoñentes ectoriales transersais arían a súa aplitude co tepo, e a sua de abas ai trazando unha figura xeoétrica. Se deandita figura é unha recta, a polarización denoínase lineal; se é un círculo, a polarización é circular; e se é unha elipse, a polarización é elíptica Polarización lineal se a diferenza é 0 ou un últiplo enteiro (positio ou negatio) de Π. Polarización circular se a diferenza é un últiplo enteiro (positio o negatio) de Π/. Neste caso se cuple, adeais, que as aplitudes son iguais. 11
Ondas No resto de casos producirase polarización elíptica. 8.- Son! As ondas sonoras son ondas ecánicas lonxitudinais e prodúcense por unha ibración periódica de algo aterial. Se as ibracións non son periódicas, o efecto producido recibe o noe de ruído.! O son pode considerarse coo unha sucesión de ondas de copresión e rarefacción que se propaga polo aire. Sen ebargo se nos situaos nun punto do espacio ereos coo a presión atosférica auenta e disinue periódicaente a edida que teñen lugar nas sucesias perturbaciones. Velocidade das ondas sonoras:! Os sons propáganse a traés dos tres estados de agregación. sólido líquido gases Velocidade nos gases: = crt M c coeficiente adibático R T constante dos gases teperatura absoluta M asa olar do gas Velocidade do sonido no aire s=331,4 + 0,61 t Velocidade nun sólido Velocidade nun líquido As ondas graes (de longitude de onda grande) son capaces de eludir obxetos ordinarios e por exeplo dar a olta a unha esquina. Polo contrario os agudos tenden a propagarse en línea recta e foran sobras acústicas.! 8.1.- Calidades do son! Sonoridade: é a calidade pola que se perciben os sons con aior ou enor forza. I b = 10log I0 niel de intensidade do son, se ide en db I 0 intensidade ubral! Ton: calidade do son que depende da frecuencia. Se esta é alta, o son é agudo; se é baixa, o son é grae.! Tibre: calidade pola que se distinguen dous sons de igual sonoridade e do eso ton. Ten que er coa fora da onda (harónicos). 1
! 8..- Eco e reerberación! O ser huano distingue dous sons se chegan ao seu oído cunha diferenza de 0,1 s. Coo a elocidade do son no aire é de 340 /s, podeos distinguir entre dous sons siultáneos se están separados 34. Se eitios un son e este se reflicte, percibireos dous sons diferentes (eco) se a distancia ínia á superficie reflectinte é de 17.! A reerberación ocurre cando o tepo que tarda en chegar o son refleitido é inor que 0,1 s, non percibios eco, pero se un peculiar efecto sonoro: coo se o son relexado se superpusera e alargase. Iste fenóeno deterina as cualidades acústicas ou sonoras dos locais.! 8.3.- Ondas sonoras estacionarias en tubos a)tubo fechado nun extreo e aberto no outro.!no extreo fechado haberá un nodo e no aberto un entre, e estableceranse ondas estacionarias no interior do tubo cando: l = (n + 1) 4 f = (n + 1) 4l b)tubo aberto nos extreos Foraranse entres nos extreos e estableceranse ondas estacionarias cando l = n f = n l! 8.4.- Efecto DOPLER O cabio na frecuencia do son cando existe oeento relatio entre a fonte e o obserador recibe o noe de efecto doppler. a) Fonte en repouso e obserador en oeento A elocidade do obserador é o e s a elocidade do son. Si o obserador se aproxia a fonte, recibe por unidade de tepo ais frontes de onda que si estibera en repouso A elocidade relatia das ondas rispeto o obserbador é: so = o + s Coo a lonxitude de onda non aría, o obserador ten que oir o son con frecuencia distinta a si estiese en repouso Tendo en conta que f l = 0 + s 13
Ondas f = s a frecuencia noa sera: l f = 0 + s s = f f 0 + s s l f f O obserador percibe un son ais agudo Si o obserador se alexa a elocidade relatia é so= o - s e recibe enos frontes de onda, a frecuencia noa é: O s f l = f 0 - s s l f 1 f O obserador percibirá un son ais grae. b) Obserador en repouso e fonte en oeento Considereos unha fonte que se despraza cara a direita cunha elocidade F achegando se a un obserador que esta en repouso. A fonte eite ondas esfericas pero coo esta en oeento, os frontes de onda no son concéntricas, sin non que a separación entre ondas é enor no lado dereito que no esquerdo. Para o obserador a lonxitude de onda é enor, polo o que a frecuéncia é aior, percebé un son agudo.!! s - F elocidade do son obserado pola fonte. = ( s - f)t = s - f f isto polo o obserador f = s = f( s s - f) & f > f s Se a fonte se alexa F f = f( s s + f) & f < f c) Se o obserador e a fonte estan en oeento! 8.5.- Onda de choque É unha onda de presión abrupta producida por un obxecto que iaxa áis rápido que a elocidade do son en deandito edio. Se a fonte que eite as ondas sonoras iaxa a elocidades superiores á do son, un aión por exeplo, prodúcese un cono (a figura en tres diensións correspondente ao ángulo debuxado no ilustración) en cuxas generatrices acuúlanse as cristas de onda. En consecuencia, cando esta acuulación de aire copriido alcanza a un obserador (hoe con sueter erde na figura), este percibirá un son oi intenso (estapido sónico).unha ez que a onda de 14
choque pasa (uller con estido erello) o son do aión percíbese con noralidade. Curiosaente a parella que ten o aión encia das súas cabezas non percibe son algún. Un aión produce duas ondas de choque, orro e cola superpoñendose abas 15