ΥΠΑΙΘ / Ψηφικά Εκπιδευτικά Βηθήμτ / Βσικές ώσεις θεωρίς Μθημτικώ μέχρι τη Β Λυκείυ. Αριθμί Στιχεί άλερς Σύλ Φυσικώ ριθμώ:,,,,... Σύλ Ακέριω ριθμώ:...,,,,,,,,... Σύλ Ρητώ ριθμώ: /, κέριι με Άρρητι ριθμί: είι ι μη ρητί π.χ., 7,,... Τ σύλ Πρμτικώ ριθμώ πτελείτι πό τυς ρητύς κι τυς άρρητυς ριθμύς. * * * *,,, τ συμλίζυμε,,, τίστιχ. Τ σύλ. Ατίθετι Ατίστρφι (ιδιότητες στ ) Α τότε υπάρχει Α * τότε υπάρχει ές ές ριθμός,. πυ μάζετι τίθετς τυ κι ισχύει Επιμέλει: Χρ. Τριάτης Εσπεριό Γυμάσι / Λυκ. Τάξεις Αριίυ Σελίδ πό 8. * πυ μάζετι τίστρφς τυ κι ισχύει. Ελάχιστ κιό πλλπλάσι (ΕΚΠ) πρστάσεω Ότ έχυμε δύ ή περισσότερες πρστάσεις, μάζυμε ελάχιστ κιό πλλπλάσι (ΕΚΠ) υτώ τη ελάχιστη πράστση πυ διιρείτι πό κθεμί τω πρηυμέω. Τ ΕΚΠ σχημτίζετι πό τυς κιύς κι μη κιύς πράτες ρμμέυς μι φρά κθές με τ μελύτερ εκθέτη. 4. Διάτξη στη ευθεί τω πρμτικώ ριθμώ Ορίζυμε: Ιδιότητες: Α κι τότε, κι τότε Α κι τότε Α κι τότε Α κι δ τότε δ Α κι δ κι,,,δ θετικί τότε δ Α τότε, Α κι, μόσημι τότε Α κι τότε Α Α (μόσημι), Α (ετερόσημι), 5. Απόλυτη τιμή Η πόλυτη τιμή τυ πρμτικύ ριθμύ συμλίζετι κι ρίζετι ως εξής:
ΥΠΑΙΘ / Ψηφικά Εκπιδευτικά Βηθήμτ / Βσικές ώσεις θεωρίς Μθημτικώ μέχρι τη Β Λυκείυ,, Γεωμετρικά η πόλυτη τιμή πριστάει τη πόστση τυ ριθμύ πό τ μηδέ, πάω στ άξ '. Επίσης, η πόλυτη τιμή τυ πριστάει τη πόστση τω ριθμώ κι πάω στ άξ '. Ιδιότητες Απλύτω:.,,.. 4. 5. 6., * 7. 8. (τριωική ισότητ) 9. δ χ δ χ χ δ, δ. ) Α θ τότε θ χ θήχ θ ) χ χ ήχ ) Α θ τότε θ θ θ δ) Α θ τότε θ θή θ 6. Τυτότητες 7. Τριώυμ Κάθε πράστση της μρφής f,,,, μάζετι τριώυμ. Ορίζυμε τη δικρίυσ Ρίζες τριωύμυ Δ 4 Δ Δ Α Δ τότε τ τριώυμ έχει δύ άισες ρίζες ρ,ρ με ρ, ρ Α Δ τότε τ τριώυμ έχει μι διπλή ρίζ τη ρ ρ Α Δ τότε τ τριώυμ δε έχει ρίζες στ, δηλδή η εξίσωση είι δύτη στ Επιμέλει: Χρ. Τριάτης Εσπεριό Γυμάσι / Λυκ. Τάξεις Αριίυ Σελίδ πό 8
ΥΠΑΙΘ / Ψηφικά Εκπιδευτικά Βηθήμτ / Βσικές ώσεις θεωρίς Μθημτικώ μέχρι τη Β Λυκείυ Πρτπίηση τριωύμυ Α Δ τότε ρ ρ Α Δ τότε Α Δ τότε τ τριώυμ δε πρτπιείτι Τύπι τυ VIETA P ρ ρ S P S ρ ρ Πρόσημ τριωύμυ f Α Δ Α Δ Α Δ Γρφική πράστση τριωύμυ Επιμέλει: Χρ. Τριάτης Εσπεριό Γυμάσι / Λυκ. Τάξεις Αριίυ Σελίδ πό 8
ΥΠΑΙΘ / Ψηφικά Εκπιδευτικά Βηθήμτ / Βσικές ώσεις θεωρίς Μθημτικώ μέχρι τη Β Λυκείυ 8. Πλυώυμ Πρτπίηση πλυωύμυ Πλυώυμ ρ κι μό τ ρ είι ρίζ τυ P, δη- P...,,,...,, κι. Κάθε πλυώυμ έχει τ πλύ τόσες ρίζες όσς είι θμός τυ. Πιθές κέριες ρίζες της... με,,...,,, είι ι διιρέτες τυ στθερύ όρυ. P έχει πράτ τ λδή κι μό Έ πλυώυμ Pρ. Πρτπίηση πλυωύμυ ίετι πι ρήρ με τ σχήμ Hrner. 9. Εξισώσεις Αισώσεις πυ μεττρέπτι σε πλυωυμικές Αισώσεις της μρφής A B A B A B ή A B με B με B B B A B A B B με B με B B Στις ρητές κι στις άρρητες εξισώσεις ή ισώσεις πρσέχυμε τυς περιρισμύς. Δηλδή: A πρέπει B B A κ πρέπει A Επιμέλει: Χρ. Τριάτης Εσπεριό Γυμάσι / Λυκ. Τάξεις Αριίυ Σελίδ 4 πό 8
ΥΠΑΙΘ / Ψηφικά Εκπιδευτικά Βηθήμτ / Βσικές ώσεις θεωρίς Μθημτικώ μέχρι τη Β Λυκείυ A B λ πρέπει B. Δυάμεις Ρίζες πρμτικώ ριθμώ Ορίζυμε *... φρές, κι Ιδιότητες δυάμεω κ κλ λ κ λ κ λ κ κ κ κ κ κ, Α,, Α περιττός τότε Α άρτις τότε ή Ρίζες πρμτικώ ριθμώ κι μάζετι τετρ- Α, η πριστάει τη μη ρητική λύση της εξίσωσης ωική ρίζ τυ. Α, η πριστάει τη μη ρητική λύση της εξίσωσης ρίζ τυ. Ιδιότητες ριζώ με κι με κι Α τότε κι με κι μ με μ με ρ μρ μ κ κ κι μάζετι ιστή κι με, με, Α, μη ρητικί ριθμί τότε ισχύει Η εξίσωση Η εξίσωση * *,κ με κι,, κι περιττός, έχει κριώς μί λύση, τη, κι άρτις, έχει κριώς δύ λύσεις, τις κι. Μεττρπή κλάσμτς με άρρητ πρμστή σε ρητό πρμστή * με με Επιμέλει: Χρ. Τριάτης Εσπεριό Γυμάσι / Λυκ. Τάξεις Αριίυ Σελίδ 5 πό 8
ΥΠΑΙΘ / Ψηφικά Εκπιδευτικά Βηθήμτ / Βσικές ώσεις θεωρίς Μθημτικώ μέχρι τη Β Λυκείυ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ με με δ κι,δ δ κι,δ Τριωμετρί. Ορισμί τριωμετρικώ ριθμώ σε ρθώι τρίω κι σε τριωμετρικό κύκλ. συβ ημβ εφβ σφβ Ορισμί στ τριωμετρικό κύκλ συω τετμημέη τυ Μ ημω y τετμέη τυ Μ εφω ye τετμέη τυ Ε σφω E τετμημέη τυ Σ χχ ' άξς συημιτόω yy ' άξς ημιτόω ε ευθεί εφπτμέω δ ευθεί συεφπτμέω συω ημω Μίρες κτίι Ο τύπς πυ μεττρέπει τις μίρες μ σε κτίι (rad) κι τίστρφ είι εξής: μ π 8 Επιμέλει: Χρ. Τριάτης Εσπεριό Γυμάσι / Λυκ. Τάξεις Αριίυ Σελίδ 6 πό 8
ΥΠΑΙΘ / Ψηφικά Εκπιδευτικά Βηθήμτ / Βσικές ώσεις θεωρίς Μθημτικώ μέχρι τη Β Λυκείυ. Τριωμετρικί ριθμί σικώ τόξω κι ωιώ Γωί ω Τριωμετρικί ριθμί σε μίρες σε rad ημω συω εφω σφω - π 6 45 6 9 π 4 π π -. Βσικές τριωμετρικές τυτότητες ημω εφω συω συω σφω ημω εφω σφω ημ ω συ ω 4. Σημτικί τριωμετρικί τύπι συ ω εφ ω ημ ω εφ ω εφ ω συ συ συ ημ ημ συ συ συ ημ ημ ημ ημ συ ημ συ ημ ημ συ ημ συ συ συ ημ ημ συ εφ εφ εφ εφ εφ εφ εφ εφ εφ εφ σφ σφ σφ σφ σφ σφ σφ σφ σφ σφ ημ ημ συ συ συ ημ ημ συ εφ εφ εφ σφ σφ σφ συ συ συ ημ συ εφ συ εφ ημ εφ εφ συ εφ Επιμέλει: Χρ. Τριάτης Εσπεριό Γυμάσι / Λυκ. Τάξεις Αριίυ Σελίδ 7 πό 8
ΥΠΑΙΘ / Ψηφικά Εκπιδευτικά Βηθήμτ / Βσικές ώσεις θεωρίς Μθημτικώ μέχρι τη Β Λυκείυ 5. Αωή στ πρώτ τετρτημόρι Τριωμετρικί ριθμί ύρω πό τις θέσεις π κι π συ 8 θ συθ ημ 8 θ ημθ εφ 8 θ εφθ σφ 8 θ σφθ συ θ συθ ημ θ ημθ εφθ εφθ σφθ σφθ συ 8 θ συθ ημ 8 θ ημθ εφ 8 θ εφθ σφ 8 θ σφθ συ 9 θ ημθ ημ 9 θ συθ εφ 9 θ σφθ σφ 9 θ εφθ συ 9 θ ημθ ημ 9 θ συθ εφ 9 θ σφθ σφ 9 θ εφθ συ 7 θ ημθ ημ 7 θ συθ εφ 7 θ σφθ σφ 7 θ εφθ συ 7 θ ημθ ημ 7 θ συθ εφ 7 θ σφθ σφ 7 θ εφθ 6. Επίλυση πλώ τριωμετρικώ εξισώσεω Α συ συθ τότε κπ θ ή κπ θ, κ Α ημ ημθ τότε κπ θ ή κππ θ, κ Α εφ εφθ τότε κπ θ, κ Α σφ σφθ τότε κπ θ, κ 7. Βσικές τριωμετρικές συρτήσεις (περιδική-άρτι-περιττή συάρτηση, μτίκρόττ συάρτησης) Μι συάρτηση f με πεδί ρισμύ Α λέετι περιδική, ότ υπάρχει πρμτικός ριθμός T τέτις ώστε ι κάθε A ισχύει: TA,T A ft ft f Ο πρμτικός ριθμός Τ μάζετι περίδς της f π.χ. Περιδικές συρτήσεις είι ι τριωμετρικές συρτήσεις: f ημ, f εφ, f σφ Επιμέλει: Χρ. Τριάτης Εσπεριό Γυμάσι / Λυκ. Τάξεις Αριίυ Σελίδ 8 πό 8 f συ, Μι συάρτηση f:a λέετι άρτι : Γι κάθε A ισχύει A f f ι κάθε A Πρτήρηση: Η ρφική πράστση μις άρτις συάρτησης έχει άξ συμμετρίς τ άξ yy '. Μι συάρτηση f:a λέετι περιττή : Γι κάθε A ισχύει A
ΥΠΑΙΘ / Ψηφικά Εκπιδευτικά Βηθήμτ / Βσικές ώσεις θεωρίς Μθημτικώ μέχρι τη Β Λυκείυ f f ι κάθε A Πρτήρηση: Η ρφική πράστση μις περιττής συάρτησης έχει κέτρ συμμετρίς τη ρχή τω ξόω O,. Μτί συάρτησης: Μι συάρτηση f λέετι ησίως ύξυσ σε έ διάστημ Δ τυ πεδίυ ρισμύ της, ότ ι πιδήπτε, Δισχύει: f f Α τότε Μι συάρτηση f λέετι ησίως φθίυσ σε έ διάστημ Δ τυ πεδίυ ρισμύ της, ότ ι πιδήπτε, Δισχύει: f f Α τότε Μι συάρτηση πυ είι ησίως ύξυσ ή ησίως φθίυσ λέετι ησίως μότη. Ακρόττ: Μι συάρτηση f με πεδί ρισμύ Α πρυσιάζει ελάχιστ στ ι κάθε A f λέετι ελάχιστ της συάρτησης f.. Η τιμή Μι συάρτηση f με πεδί ρισμύ Α πρυσιάζει μέιστ στ κάθε A f λέετι μέιστ της συάρτησης f.. Η τιμή Μελέτη τριωμετρικώ συρτήσεω A ότ f f, A ότ f f, ι f ημ,, ημ Η f είι περιδική με περίδ π κι ι υτό τη μελετάμε σε διάστημ πλάτυς π π.χ.,π Επιμέλει: Χρ. Τριάτης Εσπεριό Γυμάσι / Λυκ. Τάξεις Αριίυ Σελίδ 9 πό 8
ΥΠΑΙΘ / Ψηφικά Εκπιδευτικά Βηθήμτ / Βσικές ώσεις θεωρίς Μθημτικώ μέχρι τη Β Λυκείυ Η συάρτηση f ημ είι περιττή ιτί f ημ ημ f κι έτσι η ρφική πράστση έχει κέτρ συμμετρίς τη ρχή O, τω ξόω. Ακόμ έχει μέιστ στ π με π π π f κι ελάχιστ στ με f. f συ,, συ Η f είι περιδική με περίδ π κι ι υτό τη μελετάμε σε διάστημ πλάτυς π π.χ.,π Η συάρτηση f συ είι άρτι ιτί f συ συ f κι έτσι η ρφική πράστση έχει άξ συμμετρίς τ άξ yy '. Ακόμ έχει μέιστ στ, π με f, fπ κι ελάχιστ στ π με fπ. f εφ, π κπ όπυκ Η f είι περιδική με περίδ π κι ι υτό τη μελετάμε σε διάστημ πλάτυς π π.χ. π π, Επιμέλει: Χρ. Τριάτης Εσπεριό Γυμάσι / Λυκ. Τάξεις Αριίυ Σελίδ πό 8
ΥΠΑΙΘ / Ψηφικά Εκπιδευτικά Βηθήμτ / Βσικές ώσεις θεωρίς Μθημτικώ μέχρι τη Β Λυκείυ Η συάρτηση f είι περιττή ιτί f εφ εφ f κι έτσι η ρφική πράστση έχει κέτρ συμμετρίς τη ρχή O, τω ξόω. Η f είι ησίως ύξυσ στ ευθείες π, π είι κτκόρυφι σύμπτωτι της ρφικής πράστσης της f. π π,. Οι f σφ, κπόπυκ Η f είι περιδική με περίδ π κι ι υτό τη μελετάμε σε διάστημ πλάτυς π π.χ.,π Η συάρτηση είι περιττή ιτί f σφ σφ f κι έτσι η ρφική πράστση έχει κέτρ συμμετρίς τη ρχή O,τω ξόω. Η ευθεί π κι άξς yy ' είι κτκόρυφι σύμπτωτι της ρφικής πράστσης της f. Η f είι ησίως ύξυσ στ,π. Εκθετική κι λριθμική συάρτηση. Εκθετική συάρτηση (Μελέτη κι μτί) Επίλυση εκθετικώ εξισώσεω ισώσεω χ Εκθετική συάρτηση ρίζυμε τη συάρτηση f:, με f,, Α f τότε ι τη ισχύυ: έχει πεδί ρισμύ τ έχει σύλ τιμώ τ διάστημ, είι ησίως ύξυσ στ δηλδή ι κάθε,, τότε η ρφική της πράστση τέμει τ Α, κι έχει άξ yy ' στ σημεί σύμπτωτη τ ρητικό ημιάξ τω., κι, δηλδή Επιμέλει: Χρ. Τριάτης Εσπεριό Γυμάσι / Λυκ. Τάξεις Αριίυ Σελίδ πό 8
ΥΠΑΙΘ / Ψηφικά Εκπιδευτικά Βηθήμτ / Βσικές ώσεις θεωρίς Μθημτικώ μέχρι τη Β Λυκείυ Α f τότε ι τη ισχύυ: έχει πεδί ρισμύ τ έχει σύλ τιμώ τ διάστημ, είι ησίως φθίυσ στ δηλδή ι κάθε,, τότε η ρφική της πράστση τέμει τ Α, κι έχει άξ yy ' στ σημεί σύμπτωτη τ θετικό ημιάξ τω. Σχόλι χρήσιμ ι σκήσεις με εκθετικές εξισώσεις χ Α τότε (λόω μτίς της f ) πότε με πωή σε άτπ έ- χυμε Γι τη επίλυση εκθετικώ ισώσεω εφρμόζυμε τη μτί της f, πρσέχτς ή Στη διδικσί επίλυσης εκθετικώ εξισώσεω ή ισώσεω μπρύμε εφρμόζυμε τις ι- διότητες τω δυάμεω.. Έι λρίθμυ (Ορισμός Ιδιότητες) Λριθμική συάρτηση κι μελέτη υτής Λριθμική συάρτηση ρίζυμε τη συάρτηση f:, με f. θ Ισχύει: lg θ Ότ e ράφυμε ln κι έχυμε φυσικό λάριθμ τυ Ότ ράφυμε lg f lg ισχύυ: Γι τη συάρτηση, lg, κι, y Α, η f είι ησίως φθίυσ δηλδή τότε lg lg Α, η f είι ησίω ύξυσ δηλδή τότε lg lg ln, όπυ e, είι ησίως ύξυσ. Έτσι η f Επιμέλει: Χρ. Τριάτης Εσπεριό Γυμάσι / Λυκ. Τάξεις Αριίυ Σελίδ πό 8
ΥΠΑΙΘ / Ψηφικά Εκπιδευτικά Βηθήμτ / Βσικές ώσεις θεωρίς Μθημτικώ μέχρι τη Β Λυκείυ Ιδιότητες λρίθμω lg lg lg κ lg κ lg lg lg lg lg κι lg lg lg κι Α: τότε lg lg τότε lg lg ln e ln, φύ e lg θ lg θ, θ lg,, κι, lnθ lg θ ln lg θ lg θ lg Α: κι τότε lg κι τότε lg Α: κι τότε lg κι τότε lg. Επίλυση λριθμικώ εξισώσεω ισώσεω Από τη μτί της λριθμικής συάρτησης πρκύπτει: Α, τότε lg lg, έτσι με πωή σε άτπ έχυμε ότι ισχύει: lg lg Εφρμόζυμε τ ρισμό τυ λρίθμυ κι τις ιδιότητες. Γι τη επίλυση τω λριθμικώ ισώσεω εφρμόζυμε: τ ρισμό τυ λρίθμυ κι τις ιδιότητες τη μτί της λριθμικής συάρτησης 4. Λάριθμι στη επίλυση εκθετικώ εξισώσεω ισώσεω Εφρμόζτς τυς ρισμύς κι τις ιδιότητες της εκθετικής κι λριθμικής συάρτησης πρσπθύμε μεττρέψυμε τη εκθετική εξίσωση ίσωση σε λριθμική ή τ τίστρφ άλ με τ πι είι πι εύκλ. Επιμέλει: Χρ. Τριάτης Εσπεριό Γυμάσι / Λυκ. Τάξεις Αριίυ Σελίδ πό 8
ΥΠΑΙΘ / Ψηφικά Εκπιδευτικά Βηθήμτ / Βσικές ώσεις θεωρίς Μθημτικώ μέχρι τη Β Λυκείυ. Διύσμτ Α. Βσικές ώσεις στ διύσμτ Έστω διάυσμ ΑΒ Στιχεί λυτικής εωμετρίς με άκρ Α,y, Β,y ΟΑ ΑΒ ΟΒ ΑΒ, y y (συτετμέες τυ ΑΒ ) Οι συτετμέες τυ μέσυ Μ τυ ΑΒ είι y y Μ, Έστω τ διάυσμ,y,. Τότε κλύμε συτελεστή διεύθυσης λ εφω όπυ ω είι η ωί τυ y. Είι λ,. Δηλδή ι τ ΑΒ ισχύει y y λ, ΑΒ Μέτρ τυ διύσμτς,y : y Έτσι ι τ ΑΒ είι ΑΒ y y δηλδή η ευκλείδει πόστση μετξύ τω σημείω Α, Β.,y κι,y είι πράλληλ δηλδή, εά κι μό εά η ρίζυσ det τω συτετμέω τυς είι μηδέ δηλδή: Δύ διύσμτ y y y y Α. Εσωτερικό ιόμε διυσμάτω Έστω,y,,y Κλύμε εσωτερικό ιόμε τω δύ διυσμάτω τ ριθμό συω. Άρ συω ή yy Επιμέλει: Χρ. Τριάτης Εσπεριό Γυμάσι / Λυκ. Τάξεις Αριίυ Σελίδ 4 πό 8
ΥΠΑΙΘ / Ψηφικά Εκπιδευτικά Βηθήμτ / Βσικές ώσεις θεωρίς Μθημτικώ μέχρι τη Β Λυκείυ yy Ισχύει συω y y. Ευθεί Β. Συτελεστής διεύθυσης ευθείς, εξίσωση ευθείς, πράλληλες κι κάθετες ευθείες, ωί τεμόμεω ευθειώ Μι ευθεί δ κθρίζετι πό τη διεύθυση της. Ομάζυμε συτελεστή διεύθυσης υτής λ εφω όπυ ω η ωί της δ με τ άξ Ο. Ισχύει: ω π Εξίσωση ευθεί: ε: yy λ, συτελεστής διεύθυσης της λ κι η ευθεί περάει πό τ π σημεί Α,y. Α ω δε υπάρχει λ κι τότε. Α δίετι σημεί Α με πρμετρική έκφρση ι ρίσυμε τη ευθεί πάω στη πί κιείτι τ Α ερζόμστε ως εξής: Έστω Aλ,λ. Θέτυμε λ κι y λ κι πλείφυμε τη πράμετρ λ δηλδή λ y y y4 y5. άρ ε:αbyγ με A B B τότε λε Α δ δ τότε λ λ Α δ δ τότε λλ Γι ρύμε τη ωί δύ ευθειώ Λμάυμε διάυσμ δ κι δ Βρίσκυμε τη ωί τω διυσμάτω,. Β. Απόστση σημείυ πό ευθεί Α Β δ, δ ερζόμστε ως εξής: Απόστση d σημείυ A,y πό τη ευθεί Β. Εμδό τριώυ (ΑΒΓ) ε :ΑχΒyΓ : d A By Γ Α Β Εμδό τριώυ (ΑΒΓ) όπυ A,y, B,y, det AB, AΓ είι η ρίζυσ τω συτετμέω ΑΒ, ΑΓ. Γ,y : E det AB, AΓ, όπυ Επιμέλει: Χρ. Τριάτης Εσπεριό Γυμάσι / Λυκ. Τάξεις Αριίυ Σελίδ 5 πό 8
ΥΠΑΙΘ / Ψηφικά Εκπιδευτικά Βηθήμτ / Βσικές ώσεις θεωρίς Μθημτικώ μέχρι τη Β Λυκείυ. Κωικές τμές Γ. Κύκλς Εξισώσεις κύκλυ yy ρ, όπυ K,y είι τ κέτρ τυ κι ρ κτί τυ Ότ τ κέτρ είι η ρχή τω ξόω η εξίσωση ίετι: y ρ ε σε έ κι η εξίσωση της εφπτμέης σημεί τυ Α,y είι ε: yy ρ y AByΓ ότ Ο κύκλς τότε έχει κέτρ ρ Α Β 4Γ Α Β 4Γ Α Β Κ, κι κτί Γ. Μέιστη Ελάχιστη πόστση σημείυ τυ κύκλυ πό τη ρχή τω ξόω ΟΑ ελάχιστη πόστση πό τ Ο, ΟΜ μέιστη πόστση πό τ Ο, Γ. Πρλή Η εξίσωση πρλής C με εστί Η εφπτμέη της πρλής y p Ε, κι διευθετύσ p δ: είι p y p στ σημεί Μ,y έχει εξίσωση: yy p p Εξίσωση πρλής C με εστί Ε, κι διευθετύσ p δ:y είι py Η εφπτμέη της πρλής py Μ,y έχει εξίσωση: p y y Γ4. Έλλειψη στ σημεί της Η εξίσωση της έλλειψης C με εστίες τ σημεί Ε',, Ε, κι στθερό άθρισμ είι: y όπυ Η εφπτμέη της έλλειψης C στ σημεί της yy Μ,y έχει εξίσωση Επιμέλει: Χρ. Τριάτης Εσπεριό Γυμάσι / Λυκ. Τάξεις Αριίυ Σελίδ 6 πό 8
ΥΠΑΙΘ / Ψηφικά Εκπιδευτικά Βηθήμτ / Βσικές ώσεις θεωρίς Μθημτικώ μέχρι τη Β Λυκείυ Η εκκετρότητ της έλλειψης ρίζετι ως ε ή ε, άρ ε Α Μ, Μ είι δύ πιδήπτε σημεί της έλλειψης συμμετρικά ως πρς Ο τότε τ ευθύρμμ τμήμ ΜΜ λέετι διάμετρς της έλλειψης κι ισχύει ΜΜ μήκς μεάλυ άξ μήκς μικρύ άξ Γ5. Υπερλή Η εξίσωση της υπερλής C με εστίες τ σημεί Ε',, Ε, κι στθερή διφρά είι: y όπυ Η εφπτμέη της έλλειψης C στ σημεί της yy Μ,y έχει εξίσωση Η εξίσωση της υπερλής C με εστίες τ σημεί Ε',, Ε, κι στθερή διφρά είι: y όπυ Α τότε έχυμε y πυ λέετι ισσκελής υπερλή y Οι σύμπτωτες της υπερλής είι y, y y Οι σύμπτωτες της υπερλής είι y, y Η εκκετρότητ της υπερλής ρίζετι ως ε ή ε yy Η εφπτμέη της υπερλής C στ σημεί της Μ,y έχει εξίσωση Επιμέλει: Χρ. Τριάτης Εσπεριό Γυμάσι / Λυκ. Τάξεις Αριίυ Σελίδ 7 πό 8
ΥΠΑΙΘ / Ψηφικά Εκπιδευτικά Βηθήμτ / Βσικές ώσεις θεωρίς Μθημτικώ μέχρι τη Β Λυκείυ Αριθμητική Γεωμετρική πρόδς. Αριθμητική πρόδς Αριθμητική πρόδς (Α.Π.) λέετι μι κλυθί, κάθε όρς της πρκύπτει πό τ πρηύμε τυ με πρόσθεση τυ ίδιυ πάττε ριθμύ, τ πί μάζυμε διφρά της πρόδυ κι συμλίζυμε με ω. Δηλδή ω ω Οι όρι της Α.Π. είι, ω, ω,..., ω * ω, Άρ Τρεις ριθμί,, είι διδχικί όρι Α.Π. κι μό ισχύει λέετι ριθμητικός μέσς τω κι Τ άθρισμ τω πρώτω όρω της ριθμητικής πρόδυ S ή S ω, με διφρά ω είι:. Γεωμετρική πρόδς Γεωμετρική πρόδς (Γ.Π.) λέετι μι κλυθί, κάθε όρς της πρκύπτει πό τ πρηύμε τυ με πλλπλσισμό επί τ ίδι πάττε μη μηδεικό ριθμό, τ πί μάζυμε λό της πρόδυ κι τ συμλίζυμε με λ. Α λ ισχύει λ ή λ Οι όρι της Γ.Π. είι:,λ, λ,..., λ Έτσι λ *, Τρεις μη μηδεικί ριθμί,, είι διδχικί όρι Γ.Π., κι μό ισχύει Ο λέετι εωμετρικός μέσς τω κι Τ άθρισμ τω πρώτω όρω μις εωμετρικής πρόδυ με λό λ είι λ S λ Α λ τότε τ άθρισμ τω άπειρω όρω της εωμετρικής πρόδυ είι: S λ Επιμέλει: Χρ. Τριάτης Εσπεριό Γυμάσι / Λυκ. Τάξεις Αριίυ Σελίδ 8 πό 8