ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Usus est magister optimus (η χρήση είναι ο καλύτερο δάσκαλο ) y M(,f()) C f A( 0,f( 0 )) M ε O 0 (α) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΠΑΠΠΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Ο ΓΕΛ ΥΜΗΤΤΟΥ Σελίδα 1 από 14 Παππάς Αθανάσιος/ ο ΓΕΛ Υµηττού/panellinies-1

ΘΕΜΑΤΑ 001 ΗΜΕΡΗΣΙΑ ΛΥΚΕΙΑ ΘΕΜΑ ο A. Να αποδείξετε ότι f f ( ) ( ) + 0. f ( ) συν+ ηµ. Β. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης της f στο σηµείο Α (0,1). Γ. Να βρείτε την τιµή λir για την οποία ισχύει η σχέση: ΕΣΠΕΡΙΝΑ ΛΥΚΕΙΑ π π λf f f ( ) + 5+ 6, R. α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f δεν έχει ακρότατα. β) Να βρείτε σε ποιο σηµείο της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f η εφαπτοµένη έχει τον ελάχιστο συντελεστή διεύθυνσης. γ) Να βρείτε το f ( ) lim 1 1 + ΗΜΕΡΗΣΙΑ ΛΥΚΕΙΑ ΘΕΜΑ ο f ( ) + 1 α. Να βρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f. β. Να υπολογίσετε το όριο lim f ( ). ΘΕΜΑΤΑ 00 Μονάδες 4 Μονάδες 4 γ. Να βρεθεί η πρώτη παράγωγος της f. δ. Να βρεθούν οι εφαπτόµενες της καµπύλης της συνάρτησης f που είναι παράλληλες στην ευθεία y + 5. ΕΣΠΕΡΙΝΑ ΛΥΚΕΙΑ ΘΕΜΑ ο f ( ) + 10 α) Να βρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f(). Σελίδα από 14 Παππάς Αθανάσιος/ ο ΓΕΛ Υµηττού/panellinies-1

β) Να βρείτε τα : lim f ( ) 1, lim f ( ) γ) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f() είναι γνησίως αύξουσα στο (,+ ). Μονάδες 1 ΗΜΕΡΗΣΙΑ ΛΥΚΕΙΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑΤΑ 00 f ( ) 1 Α. Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Το πεδίο ορισµού της συνάρτησης είναι το σύνολο: α.r β. (-1,1) γ. R - {-1,1} δ. (1, + ) Β. Να αποδείξετε ότι f ( ) 0 Γ. Να υπολογίσετε το ( + ) < για κάθε του πεδίου ορισµού της. lim 1 f ( ) 1. Να βρείτε τη γωνία που σχηµατίζει η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της f στο σηµείο ( 0, f (0)) µε τον άξονα. ΗΜΕΡΗΣΙΑ ΛΥΚΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο f ( ) 1 α. Να βρεθεί το πεδίο ορισµού της. β. Να δείξετε ότι ο ρυθµός µεταβολής της f, όταν, ισούται µε 4. f ( ) γ. Αν h( ) για, να υπολογίσετε το ΕΣΠΕΡΙΝΑ ΛΥΚΕΙΑ ΘΕΜΑ o Να βρείτε: f ( ) 4 + 5 όπου R. lim h( ) α) το σηµείο στο οποίο η γραφική παράσταση της συνάρτησης f τέµνει τον άξονα, β) το lim f ( ) 0 Σελίδα από 14 Παππάς Αθανάσιος/ ο ΓΕΛ Υµηττού/panellinies-1

γ) την παράγωγο της συνάρτησης f, δ) τα διαστήµατα στα οποία η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και αυτά στα οποία είναι γνησίως φθίνουσα και ε) τα ακρότατα της συνάρτησης f. ΕΣΠΕΡΙΝΑ ΛΥΚΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΘΕΜΑ o Να βρείτε: α) το και το lim f ( ) 0 1 f ( ) + 19 και το lim f ( ) 1, όπου R. β) την πρώτη παράγωγο της συνάρτησης f, και γ) τα διαστήµατα στα οποία η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και αυτά στα οποία είναι γνησίως φθίνουσα. Ένα χελιδόνι πετάει και το ύψος του h (σε µέτρα), από το έδαφος, δίνεται σε συνάρτηση µε το χρόνο t (sec) από τον τύπο: h(t) t - 6t + 5, 0 t 5 Να βρείτε : α) το ύψος στο οποίο το χελιδόνι βρίσκεται τη χρoνική στιγµή t 0, β) το ρυθµό µεταβολής του ύψους h, ως προς t, τη χρονική στιγµή t, γ) σε ποια χρονική στιγµή t το ύψος του χελιδονιού από το έδαφος γίνεται ελάχιστο και ποιο είναι τότε το ύψος αυτό; ΘΕΜΑΤΑ 004 Μονάδες 1 ΗΜΕΡΗΣΙΑ ΛΥΚΕΙΑ ΘΕΜΑ ο f µε τύπο f ( ) 4+. Α. Να βρείτε το πεδίο ορισµού της f. B. Να υπολογίσετε το lim f ( ). Μονάδες 15 Σελίδα 4 από 14 Παππάς Αθανάσιος/ ο ΓΕΛ Υµηττού/panellinies-1

ΗΜΕΡΗΣΙΑ ΛΥΚΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο f µε τύπο + f ( ) e α. Να βρείτε τη µονοτονία και τα ακρότατα της συνάρτησης. β. Να αποδείξετε ότι 1 f ( ) + f ( ) e γ. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης της f στο σηµείο ( 0, f (0)) ΕΣΠΕΡΙΝΑ ΛΥΚΕΙΑ ΘΕΜΑ ο ίνονται οι συναρτήσεις α) Να βρείτε τα β) Να βρείτε το f ( ) 5+ 6 και g( ), όπου R. lim f ( ), lim g( ) f ( ) lim g ( ) γ) Αν f ( ) και g ( ) παράστασης: ΘΕΜΑ 4o Να βρείτε: α) το lim f ( ) 0 Α. είναι οι παράγωγοι των συναρτήσεων f() και g() αντίστοιχα, να υπολογίσετε την τιµή της ( ) + g ( ) Kf 00 819 1 f ( ) 1 +, όπου R Μονάδες β) το ρυθµό µεταβολής της συνάρτησης f ως προς, όταν 1, Μονάδες γ) τα διαστήµατα στα οποία η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και αυτά στα οποία είναι γνησίως φθίνουσα, δ) τα ακρότατα της συνάρτησης f, ε) την εξίσωση της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σηµείο Α(1, f(1)). ΕΣΠΕΡΙΝΑ ΛΥΚΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ α. Να βρείτε την πρώτη παράγωγο f (), της f().. β. Να αποδείξετε ότι: f ( ) f ( ) 4 Σελίδα 5 από 14 ( ) f ( ) 4, R Παππάς Αθανάσιος/ ο ΓΕΛ Υµηττού/panellinies-1

γ. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης της καµπύλης της συνάρτησης f στο σηµείο µε τετµηµένη 0 1. δ. Να µελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τα ακρότατα. ΤΕΕ ΗΜΕΡΗΣΙΑ ΘΕΜΑ ο f : R R µε α) Να υπολογίσετε την παράγωγο της συνάρτησης f. β) Αν f ( 1) 0 και f () 5, να βρείτε τα α και β. f + + R ( ) 9 α β, α,β γ) Για τις τιµές των α και β που βρήκατε στο ερώτηµα (β), να µελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη µονοτονία. Το άθροισµα του µήκους και του πλάτους ενός οικοπέδου, σχήµατος ορθογωνίου παραλληλογράµµου, είναι 00 µέτρα. Αν το µήκος του είναι µέτρα: α) Να αποδείξετε ότι το εµβαδόν του οικοπέδου ως συνάρτηση του δίνεται από τον τύπο E( ) 00 +. β) Για ποια τιµή του το εµβαδόν του οικοπέδου γίνεται µέγιστο; γ) Να υπολογίσετε τη µέγιστη τιµή του εµβαδού του οικοπέδου. ΤΕΕ ΕΣΠΕΡΙΝΑ ΘΕΜΑ ο µε τύπο f ( ) 1. α) Να εξετάσετε τη συνάρτηση ως προς τη µονοτονία. β) Να εξετάσετε για ποιες τιµές του η συνάρτηση έχει ακρότατα. γ) Για κάθε θέση ακρότατου, να υπολογίσετε την τιµή της συνάρτησης. ΗΜΕΡΗΣΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο f ( ) α ln β µε α,β R. ΘΕΜΑΤΑ 005 Μονάδες 1 α. Να βρείτε το πεδίο ορισµού της f. Μονάδες β. Να βρείτε την παράγωγο της f για κάθε, το οποίο ανήκει στο πεδίο ορισµού της. γ. Να βρείτε τα α και β, ώστε η εφαπτοµένη στο σηµείο Α(1,1) της γραφικής παράστασης της f να είναι y-. ( f ) δ. Να βρείτε το lim ( ). Σελίδα 6 από 14 Παππάς Αθανάσιος/ ο ΓΕΛ Υµηττού/panellinies-1

ΕΣΠΕΡΙΝΑ ΛΥΚΕΙΑ ΘΕΜΑ ο f ( ) 5+ 6 α) Να βρείτε το πεδίο ορισµού της f(). β) Να υπολογίσετε το γ) Να υπολογίσετε το lim f ( ) 4 lim f ( ) δ) Να βρείτε την πρώτη παράγωγο f (), της f(). ΕΣΠΕΡΙΝΑ ΛΥΚΕΙΑ-ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΘΕΜΑ ο + f ( ) 1 α) Να βρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f. β) Να βρείτε την πρώτη παράγωγο f () και να αποδείξετε ότι η εξίσωση f () 0 έχει ρίζες τους αριθµούς και 1. γ) Να βρείτε τα τοπικά ακρότατα της συνάρτησης f στο διάστηµα (1,+ ). TΕΕ ΗΜΕΡΗΣΙΑ Μια οµάδα βιολόγων προτείνει να ληφθούν µέτρα για τη διάσωση ενός είδους δελφινιών. Μετά την εφαρµογή των µέτρων εκτιµάται ότι ο αριθµός των δελφινιών εκφράζεται από τη συνάρτηση N(t) t t + 5t + 1000, 0 t 10, όπου t ο χρόνος σε έτη. α) Πόσα δελφίνια υπάρχουν κατά την έναρξη εφαρµογής των µέτρων (t 0); β) Να βρείτε το ρυθµό αύξησης του πληθυσµού των δελφινιών. γ) Να βρείτε το ρυθµό αύξησης του πληθυσµού των δελφινιών το δεύτερο έτος. δ) Πόσα δελφίνια θα υπάρχουν σε δέκα (10) έτη; ΤΕΕ ΕΣΠΕΡΙΝΑ ΘΕΜΑ ο f :R R µε τύπο f() + α + 5, όπου α πραγµατικός αριθµός. α) Να βρείτε την πρώτη παράγωγο της συνάρτησης f. Σελίδα 7 από 14 Παππάς Αθανάσιος/ ο ΓΕΛ Υµηττού/panellinies-1

β) Αν f ( 1) 0, να αποδείξετε ότι: α. γ) Για α, να εξετάσετε τη συνάρτηση f ως προς τη µονοτονία. ο ΘΕΜΑ 4 Ένα µικρό ναυπηγείο έχει τη δυνατότητα να κατασκευάζει κατ έτος µέχρι και είκοσι (0) σκάφη ενός συγκεκριµένου τύπου. Το κόστος κατασκευής (σε χιλιάδες ) σκαφών εκφράζεται µε τη συνάρτηση Κ() 4 από τις πωλήσεις τους (σε χιλιάδες ) µε τη συνάρτηση Ε() α) Να βρεθεί το κόστος κατασκευής πέντε (5) σκαφών. + 0. β) Να βρεθεί ο τύπος P() της συνάρτησης του κέρδους του ναυπηγείου. γ) Να βρεθεί ο ρυθµός µεταβολής του κέρδους. δ) Πόσα σκάφη πρέπει να κατασκευάζει το ναυπηγείο κατ έτος για να έχει το µέγιστο κέρδος; + 0 και τα έσοδα Μονάδες 4 ΗΜΕΡΗΣΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ 006 ΘΕΜΑ ο f ( ) e ( α β 9) συνάρτησης f στο σηµείο της Α (, e ) είναι + + µε α,β R. Αν η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της y e e +, τότε: α. Να αποδείξετε ότι α1 και β 6. Μονάδες 1 β. Να βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης f. Μονάδες 1 ΕΣΠΕΡΙΝΑ ΛΥΚΕΙΑ ΘΕΜΑ o Έστω α R. f ( ) α 8 µε πεδίο ορισµού το σύνολο των πραγµατικών αριθµών R. Ι. Να βρεθεί το α R αν γνωρίζουµε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης διέρχεται από το σηµείο Α(1, ). ΙΙ. Αν α 4, α) να βρεθεί η παράγωγος f (). β) να βρεθεί το 0 R στο οποίο η συνάρτηση f() παρουσιάζει ακρότατο. Να βρεθεί αν το ακρότατο είναι µέγιστο ή ελάχιστο. Σελίδα 8 από 14 Παππάς Αθανάσιος/ ο ΓΕΛ Υµηττού/panellinies-1

γ) να βρεθεί ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f() στο σηµείο Α(1, ). ΤΕΕ ΗΜΕΡΗΣΙΑ ΘΕΜΑ ο f µε τύπο: α) Να βρεθεί η παράγουσα της f. β) Να βρεθεί ο ρυθµός µεταβολής της f για κάθε R. γ) Να εξεταστεί η συνάρτηση f ως προς τη µονοτονία. f() 4 1+006, R. Μια βιοτεχνία, µεταξύ άλλων, κατασκευάζει κεραµικά πλακίδια σε σχήµα τριγώνου. Σε κάθε πλακίδιο το άθροισµα της βάσης και του ύψους που αντιστοιχεί στη βάση αυτή είναι σταθερό και ισούται µε 50cm. α) Να δείξετε ότι το εµβαδό Ε της επιφάνειας κάθε τριγωνικού πλακιδίου δίνεται συναρτήσει του από τον τύπο β) Για ποια τιµή του το εµβαδό Ε() γίνεται µέγιστο. γ) Να υπολογίσετε τη µέγιστη τιµή του Ε(). 1 E( ) ( 50 ), 0<<50. Μονάδες 1 ΤΕΕ ΕΣΠΕΡΙΝΑ Ένα σώµα αφήνεται να πέσει από την κορυφή ενός κτιρίου ύψους 45m, τη χρονική στιγµή t 0 sec. Αν θεωρήσουµε την αντίσταση του αέρα αµελητέα, το διάστηµα που διανύει το σώµα µετά από t sec πτώσης δίνεται από τη συνάρτηση: S(t) 5t (µέτρα m). α) Να υπολογίσετε το διάστηµα που θα διανύσει το σώµα σε χρόνο t sec. β) Να αποδείξετε ότι ο χρόνος που χρειάζεται το σώµα για να φτάσει στο έδαφος, είναι t sec. γ) Να υπολογίσετε: (i) τον τύπο της ταχύτητας υ(t) του σώµατος κάθε χρονική στιγµή t. (ii) την ταχύτητα του σώµατος τη χρονική στιγµή της πρόσκρουσης στο έδαφος. ΗΜΕΡΗΣΙΑ ΛΥΚΕΙΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑΤΑ 007 µε τύπο f ( ) e +, όπου πραγµατικός αριθµός. α. Να αποδείξετε ότι f ()f()+e β. Να βρεθεί το lim 0 ( ) f e Μονάδες 4 Μονάδες 15 Σελίδα 9 από 14 Παππάς Αθανάσιος/ ο ΓΕΛ Υµηττού/panellinies-1

ΗΜΕΡΗΣΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο f ( ) µε τύπο + 1 α. Να βρεθεί το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f(). β. Να βρεθεί το όριο lim f ( ) 1 γ. Να εξετασθεί η συνάρτηση f() ως προς τη µονοτονία και να βρεθούν τα ακρότατά της. ΕΣΠΕΡΙΝΑ ΛΥΚΕΙΑ Μονάδες 1 ΘΕΜΑ ο f µε f ( ) 1 +, όπου R. Να βρείτε: α) Το ρυθµό µεταβολής της συνάρτησης f ως προς, όταν. β) Τα ακρότατα της συνάρτησης f. γ) Το σηµείο (, f ( )) στην ευθεία y. 0 0 Α της γραφικής παράστασης της συνάρτησης, στο οποίο η εφαπτοµένη της είναι παράλληλη ΕΣΠΕΡΙΝΑ ΛΥΚΕΙΑ-ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΘΕΜΑ ο µε τύπο f ( ) + 1. α) Να βρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f και την παράγωγό της. β) Να βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης f. γ) Να υπολογίσετε το όριο: f lim 1 f ( ) ( ) ΤΕΕ ΗΜΕΡΗΣΙΑ ΘΕΜΑ ο f : R R µε f ( ) + k+ λ, όπου k,λ R. Αν f ( 1) 0 και το σηµείο Α (1,0) ανήκει στη γραφική της παράσταση, α. να δείξετε ότι k και λ1. Μονάδες 1 Σελίδα 10 από 14 Παππάς Αθανάσιος/ ο ΓΕΛ Υµηττού/panellinies-1

β. να υπολογίσετε τη δεύτερη παράγωγο της f. γ. να δείξετε ότι για κάθε R ισχύει: ( ) ( ) f ( ) + f + f > 0. f µε τύπο f ( ) 10ln 5, >0. α. Να βρείτε την παράγωγο f της f. β. Να µελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη µονοτονία. γ. Για ποια τιµή του η f παρουσιάζει ακρότατο. Να προσδιορίσετε το είδος του ακροτάτου και να το υπολογίσετε. δ. Να δείξετε ότι f() 5, για κάθε >0. ΤΕΕ ΕΣΠΕΡΙΝΑ ΘΕΜΑ ο f: Α ΙR µε τύπο α. Να βρείτε το πεδίο ορισµού Α της f. + 1 f ( ). 1 β. Να υπολογίσετε την πρώτη παράγωγο της συνάρτησης f. γ. Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστηµα (1, + ). δ. Να δείξετε ότι f f f ( ) (0) () 0 Μονάδες 4 Μονάδες 4 Σε µια άδεια δεξαµενή σχήµατος κύβου ακµής m προσθέτουµε πετρέλαιο. Αν το ύψος h (σε m) της στάθµης του πετρελαίου, ως συνάρτηση του χρόνου t (σε min), είναι α. να βρείτε το ύψος της στάθµης σε χρόνο t min, t h( t ), 18 β. να δείξετε ότι ο όγκος του πετρελαίου της δεξαµενής µετά από χρόνο t min δίνεται από τον τύπο γ. να βρείτε το ρυθµό µεταβολής του όγκου του πετρελαίου τη χρονική στιγµή t5 min. δ. να βρείτε σε πόσο χρόνο θα γεµίσει η δεξαµενή. V ( t) t 9 m, Σελίδα 11 από 14 Παππάς Αθανάσιος/ ο ΓΕΛ Υµηττού/panellinies-1

ΗΜΕΡΗΣΙΑ ΛΥΚΕΙΑ ΘΕΜΑΤΑ 008 ΘΕΜΑ ο µε τύπο α. Να υπολογίσετε το όριο β. Να αποδείξετε ότι ( ) 1 f ( ) e e f ( ) lim 1 1 e f. γ. Να βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης f(). ΕΣΠΕΡΙΝΑ ΛΥΚΕΙΑ ΘΕΜΑ ο, όπου πραγµατικός αριθµός. 1 f ( ) + κ+, µε πεδίο ορισµού το R και κ R. Α) Αν η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σηµείο Μ(,8), να βρείτε τον k. Β) Για k 1 α) Να αποδείξετε ότι: ( ) ( ) ( ) β) Να βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης f. ΤΕΕ ΗΜΕΡΗΣΙΑ ΘΕΜΑ ο f µε f + f + + 1, για κάθε R f ( ) α. Να βρεθούν οι f () και f (). λ e, όπου λ πραγµατικός αριθµός. β. Να προσδιορισθούν οι τιµές του λ, ώστε για κάθε πραγµατικό αριθµό να ισχύει: γ. Να µελετηθεί η συνάρτηση f ως προς τη µονοτονία όταν i) λ, ii) λ 1. ΤΕΕ ΕΣΠΕΡΙΝΑ f µε τύπο α. Να βρεθεί η πρώτη παράγωγος f της f. f () f () f() 0 1 f ( ) + + 008. β. Να εξεταστεί η συνάρτηση f ως προς τη µονοτονία και τα ακρότατα. Σελίδα 1 από 14 Παππάς Αθανάσιος/ ο ΓΕΛ Υµηττού/panellinies-1

γ. Να δειχθεί ότι f() 008 για κάθε πραγµατικό αριθµό, όπου [ 1, + ). Μονάδες 1 ΗΜΕΡΗΣΙΑ ΛΥΚΕΙΑ ΘΕΜΑ o ΘΕΜΑΤΑ 009 f ( ) 6 + α 7,, όπου α πραγµατικός αριθµός, για την οποία ισχύει α. Να δείξετε ότι α9 β. Να υπολογίσετε το όριο ( ) f lim 1 1 ( ) ( ) f + f + 15, R γ. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης της f, η οποία είναι παράλληλη στην ευθεία y ΗΜΕΡΗΣΙΑ ΛΥΚΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο f ( ) α 8, όπου α ένας πραγµατικός αριθµός. α. Αν lim f ( ) 7 1 β. Έστω α1, να βρεθεί η τιµή του α i. Να βρεθεί το όριο f ( ) lim ii. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης της f στο σηµείο µε τετµηµένη 0 EΣΠΕΡΙΝΑ ΛΥΚΕΙΑ ΘΕΜΑ o f ( ) + 1, R. α. Να βρείτε την πρώτη παράγωγο f ( ) β. Να προσδιορίσετε το διάστηµα στο οποίο η f είναι γνησίως φθίνουσα και το διάστηµα στο οποίο η f είναι γνησίως αύξουσα. γ. Να βρείτε τα ακρότατα της f. δ. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης της f στο σηµείο της ( 1, f ( 1) ) Σελίδα 1 από 14. Παππάς Αθανάσιος/ ο ΓΕΛ Υµηττού/panellinies-1

ΤΕΕ ΗΜΕΡΗΣΙΑ ΘΕΜΑ ο f µε τύπο: f ( ), R e α. Να βρείτε την πρώτη παράγωγο της συνάρτησης f. β. Να µελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη µονοτονία. γ. Να αποδείξετε ότι για η f παρουσιάζει ολικό µέγιστο ίσο µε e. 1 1 f ( ) κ + λ λ, όπου κ,λ R. Αν η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σηµείο M(0, 5) και f ( 1) 0 α. Να βρείτε τις τιµές των k και λ β. Για k και λ, i. να µελετήσετε την f ως προς την µονοτονία. ii. να βρείτε την τιµή και το είδος των ακροτάτων της f. ΤΕΕ ΕΣΠΕΡΙΝΑ Μονάδες 1 ΘΕΜΑ ο f ( ) + α. Να βρείτε την πρώτη παράγωγο της συνάρτησης f β. Να βρείτε την δεύτερη παράγωγο της συνάρτησης f γ. Να βρείτε την τιµή του πραγµατικού αριθµού α για την οποία ισχύει ( ) f ( ) f ( ) f µε τύπο f ( ) ln 1. α. Να βρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f β. Να βρείτε την πρώτη παράγωγο της συνάρτησης f γ. Να µελετήσετε την συνάρτηση f ως προς την µονοτονία. δ. Να αποδείξετε ότι: ln 008 009> ln 009 010 α 1 0 + 4 1 7. Μονάδες 4 Σελίδα 14 από 14 Παππάς Αθανάσιος/ ο ΓΕΛ Υµηττού/panellinies-1