TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI SỞ GD& ĐT NGHỆ AN TRƯỜNG THPT ĐẶNG THÚC HỨ A MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỌN LỌC BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN VIẾT BỞI : PHẠM KIM CHUNG THÁNG NĂM 00 PHẦN MỤC LỤC Trag I II III IV V VI PHƯƠNG TRÌNH BPT HPT CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐẠO HÀM PHƯƠNG TRÌNH HÀM VÀ ĐA THỨC BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN ĐỀ TỰ LUYỆN VÀ LỜI GIẢI. DANH MỤC CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO Các diễ đà : www.dagthuchua.com, www.math.v, www.mathscope.org, www.maths.v,www.laisac.page.tl, www.diedatoahoc.et, www.kpi.violet.v, www.guyetatthu.violet.v,. Đề thi HSG Quốc Gia, Đề thi HSG các Tỉh Thàh Phố trog ước, Đề thi Olympic 0-. Bộ sách : Một số chuyê đề bồi dưỡg học sih giỏi ( Nguyễ Vă Mậu Nguyễ Vă Tiế ). Tạp chí Toá Học và Tuổi Trẻ 5. Bộ sách : CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI ( Trầ Phươg - Lê Hồg Đức ) 6. Bộ sách : 0.000 BÀI TOÁN SƠ CẤP (Pha Huy Khải ) 7. Bộ sách : Toá âg cao ( Pha Huy Khải ) 8. Giải TOÁN HÌNH HỌC ( Trầ Thàh Mih ) 9. Ság tạo Bất đẳg thức ( Phạm Kim Hùg ) 0. Bất đẳg thức Suy luậ và khám phá ( Phạm Vă Thuậ ). Nhữg viê kim cươg trog Bất đẳg thức Toá học ( Trầ Phươg ). 0 bài toá hìh học khôg gia ( I.F. Sharygi ). Tuyể tập 00 Bài thi Vô địch Toá ( Đào Tam ). và một số tài liệu tham khảo khác. 5. Chú ý : Nhữg dòg chữ màu ah chứa các đườg lik đế các chuyê mục hoặc các website. MATHVN.COM Phạm Kim Chug THPT ĐẶNG THÚC HỨA ĐT : 098..00 Mail : p.kimchug@gmail.com Tr.
Phầ I : PHƯƠNG TRÌNH BPT HPT CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Đ ẾN ĐẠO HÀM PHẦN I : PHƯƠNG TRÌNH BPT - HỆ PT VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐẠO HÀM. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số : y + + m + 5 có cực đại. ĐS : m < -. + si, / 0 Cho hàm số : f(). Tíh đạo hàm của hàm số tại 0 và chứg mih hàm số đạt cực tiểu 0, 0 tại 0. Tìm cực trị của hàm số :. ĐS : 0 ;. Xác địh các giá trị của tham số m để các phươg trìh sau có ghiệm thực : 7 9 a) ( m ) + + ( m ) + m 0. ĐS : m 9 7. y f() ( ) b) + m. ĐS : 0< m c) ( ) m + + + + 5. Xác địh số ghiệm của hệ phươg trìh : + y loglogy ĐS : 6. y + e Giải hệ phươg trìh : y +. ĐS : (,y)(7;7) log ( + y + 6) log ( + y + ) + 7. + y + + Giải hệ phươg trìh : + y y y + + 8. y y + y+ ( + ).5 + Giải hệ phươg trìh : y + + l( y + ) + 0 9. Giải phươg trìh : ( ) log ( 5) + log5( ) + 0. Giải bất phươg trì h : ( + ) ( ) + 6 ( + 6)( ) + +. ĐS : 7. Giải bất phươg trìh : + 5 6. Giải phươg trìh : ( + ) ( )( + + ) + 9 + + + 0. Giải phươg trìh : 5 + 6 7 + 9 + +. Tìm m để hệ phươg trì h sau có ghiệm : y y y 5. ĐS : m ; 5 5 + y m 5. Xác địh m để phươg trìh sau có ghiệm thực : ( + ) m + + ( ). + + y+ 6. Tìm m để hệ có ghiệm: y+ + y + + + + y+ m f '''() f ''() 7. Giả sử f() a + b + c + d (a 0) đạt cực đại tại ;. CMR: <,, f '() f '() 8. Cho hàm số : f() cos + (si + cos) si + m. Tìm m sao cho f () 6, m 9. Trog các ghiệm(;y) của BPT : ( ) log + y. Tìm ghiệm để P + y đạt GTLN + y 0. ( Đề thi HSG Tỉh Nghệ A ăm 009 ) Giải phươg trìh : 009 ( + - ). ĐS : 0. ( Đề thi HSG Tỉh Nghệ A ăm 009 ). Tìm m để hệ phươg trìh sau có ba ghiệm phâ biệt : + y m ( y + ) + y m( + ) ĐS : m MATHVN.COM Phạm Kim Chug THPT ĐẶNG THÚC HỨA ĐT : 098..00 Mail : p.kimchug@gmail.com Tr.
. Giải hệ PT : Phầ I : PHƯƠNG TRÌNH BPT HPT CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Đ ẾN ĐẠO HÀM y 0 y y 8y ( ) ( ) + y + 9y y + y + 9. Giải hệ phươg trìh :. ĐS : (,y)(;) ( y ) 7 + + y 5 y 0 + y + 7 ( ) ( ). Giải hệ phươg trìh : 5. Tìm m để hệ phươg trìh sau có ghiệm : y y + + y 5. ĐS : m ; 5 5 + y m 6. Xác đị h m để phươg trìh sau có ghiệm thực : ( + ) m + + ( ). ( + ) + y m 0 7. Tìm m để hệ phươg trìh : có ba cặp ghiệm phâ biệt. + y 8. Giải hệ PT : + + y + + + + y y y 9. ( Đề thi HSG Tỉh Nghệ A ăm 008 ).Giải hệ phươg trìh : 0. Giải phươg trìh : 6 + y y + y+ ( + ).5 +. Giải hệ phươg trìh : y + + l( y + ) + 0. Giải phươg trìh : + + log ( + ). Giải phươg trìh : + 0 7 + 8 5 ĐS. Giải hệ phươg trìh : 5 + 0 + 6 y y y + 5 + y + 8 6 + + y y + y + 5. Giải hệ phươg trìh : y + y + + + y si e siy si cosy si + cosy Π,y 0; + y 6. Giải hệ phươg trìh : y + y+ y 7. ( Đề thi HSG Tỉh Quảg Nih ăm 00 ). Giải phươg trìh : ( 5 6) 5 7 Lời giải : ĐK : > 7 5 6 Cách : PT 6( 6)( ) + 0 ( )(5 7). + 5 7 Cách : Viết lại phươg trìh dưới dạg : ( 5 6) (5 6) 5 Và ét hàm số : f(t) t, t > t 7 MATHVN.COM Phạm Kim Chug THPT ĐẶNG THÚC HỨA ĐT : 098..00 Mail : p.kimchug@gmail.com Tr.
Phầ I : PHƯƠNG TRÌNH BPT HPT CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Đ ẾN ĐẠO HÀM 8. ( Đề thi HSG Tỉh Quảg Nih ăm 00 ) Xác địh tất cả các giá trị của tham số m để BPT sau có ghiệm : + m( ) + ( + ) m 9. ( Đề thi HSG Tỉh Quảg Bìh ăm 00 ). Giải phươg trìh : HD : Nhâ liê hợp đưa về dạg : ( ) HD : PT + + ( + ) + + + ( + ) + ( ) ( + ) + +. Xét hàm số : f( t) t + t,t > 0 0. ( Đề thi HSG Tỉh Hải Phòg ăm 00 ). Giải phươg trìh : 7 7 + HD : PT ( ) + ( ) + ( ) f( ) f( ). ( Đề thi Khối A ăm 00 ) Giải hệ phươg trìh : ( + ) + (y ) 5 y 0 + y + 7 HD : Từ pt () cho ta : ( ) [() + ]. + 5 y 5 y f( ) f( 5 y ) 5 Hàm số : f(t) (t + ).t f '(t) t + > 0 5 y 5 y y 5 Thế vào () ta có : + + 7, với 0 ( Hàm ày ghịch biế trê khoảg ) và có ghiệm duy hất :.. ( Đề thi HSG Tỉh Nghệ A ăm 008 ). Cho hệ: + y + 7+ y+ 7 a (a là tham số). Tìm a để hệ có ghiệm (;y) thỏa mã điều kiệ 9. HD : Đứg trước bài toá chứa tham số cầ lưu ý điều kiệ chặt của biế khi muố quy về biế để khảo sát : y 0 6. Đặt t,t [ ;] và khảo s át tìm Mi. ĐS : a +. Giải hệ phươg trìh : y + + y y 5 + y + si si si. Xác địh m để bất phươg trìh sau ghiệm đúg với mọi : ( ) 5. ( Đề thi HSG Tỉh Thừa Thiê Huế ăm 00 ). Giải PT : e e + e e (e )si log ( ) log ( ) + 5 + 5 6. Địh giá trị của m để phươg trìh sau có ghiệm: ( m ) + + ( m ) + m 0 7. (Olympic 0- lầ thứ VIII ). Giải hệ phươg trì h sau: 8. Các bài toá liê qua đế địh ghĩa đạo hàm : ( + )e, > 0 Cho f(). Tìm a để tồ tại f (0). a +, 0 acos + bsi, 0 Cho F(). Tìm a,b để tồ tại f (0). a + b +, < 0 y + e y + log ( + y + 6) log ( + y + ) + l, > 0 l, > 0 F() và f() 0,, 0 0, 0. CMR : F'() f() Cho f() ác địh trê R thỏa mã điều kiệ : a> 0bất đẳg thức sau luô đúg R : f( + a) f() a < a. Chứg mih f() là hàm hằg. MATHVN.COM Phạm Kim Chug THPT ĐẶNG THÚC HỨA ĐT : 098..00 Mail : p.kimchug@gmail.com Tr.
5 Phầ I : PHƯƠNG TRÌNH BPT HPT CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Đ ẾN ĐẠO HÀM Tíh giới hạ : ta N lim si π e + Tíh gi ới hạ : N lim 0 l( + ) + + + si si e e Tíh giới hạ : N lim Tíh giới hạ : N 0 lim 0 si + 8 e + Tíh giới hạ : N5 lim Tíh giới hạ : N6 lim 0 si 0 0 l( + ) si si e e Tíh giới hạ : N7 lim Tíh giới hạ : N8 l im 0 si 0. cos Tíh giới hạ : N9 lim 0 + si si Cho P() là đa thức bậc có ghiệm phâ biệt ; ;.... Chứg mih các đẳg thức sau : P''( ) P''( ) P''( ) a) + +... + 0 P'( ) P'( ) P'() b) ) + ) +... + 0 P'( P'( P'( ) Tíh các tổg sau : a) T () cos + cos +... + cos b) T () ta + ta +... + ta c) CMR :..C +..C +... + ( )C ( ). d) S () si + si + 9si +... + si + + + ( ) e) S () + +... + ( + ) ( + ) ( + ) + ( ) ( + ) 9. Các bài toá liê qua đế cực trị của hàm số : a) Cho α R:a+ b 0. Chứg mih rằg : b) Chứg mih rằg với a >, ( + + + ( + ) ( + ) + a 0 c) Tìm tham số m để hàm số sau có duy hất một cực trị : α a+ b a + b N, chẵ ) thì phươg trìh sau vô ghiệm : y (m + ) m + m + + d) Cho, N ( lẻ ). CMR : / 0, ta có : + + + +... +... <!!!! e) Tìm cực trị của hàm số : y + + + + f) Tìm a để hàm số : y f() + a + có cực tiểu. g) Tìm m để hàm số : 50. Các bài toá chứg mih phươg trìh có ghiệm : msi cos y đạt cực trị tại điểm phâ biệt thuộc khoảg 9π 0; mcos a) Cho các số thực a,b,c,d,e. Chứg mih rằg ếu phươg trìh : ( ) a + b + c + d + e 0 có ghiệm thực thuộc ửa khoảg [; + ) thì phươg trìh : a + b + c + d + e 0 có ghiệm. 5 b) Cho phươg trìh : P( ) 5 + 5 + 7 0. Chứg mih rằg, phươg trìh có một ghiệm thực duy hất. MATHVN.COM Phạm Kim Chug THPT ĐẶNG THÚC HỨA ĐT : 098..00 Mail : p.kimchug@gmail.com Tr. 5
6 Phầ II : PHƯƠNG TRÌNH HÀM VÀ ĐA THỨC PHẦN II : PHƯƠNG TRÌNH HÀM-ĐA THỨC. Tìm hàm số : f :R R thoả mã đồg thời các điều kiệ sau : f() a) lim 0 f + y f + f y + + y + y,,y R. Tìm hàm số :. Tìm hàm số : b) ( ) ( ) ( ) f f(y) f + y + f f(y) + y +,,y R 008 008 f :R R thoả mã điều kiệ sau : ( ) ( ) ( ) f :R R thoả mã điều kiệ sau : ( ) ( ) ( ( )). Tìm hàm số : f :R R thoả mã đồg thời các điều kiệ sau : c) f( ) e 009 d) f( + y) f( ).f( y ),,y R f :R R thoả mã điều kiệ sau : ( ) f( y) f :R R thoả mã điều kiệ sau : ( ( )) ( ) 5. Tìm hàm số : f + cos(009y) f + 009cos f y,,y R f + y f().e,,y R 6. Tìm hàm số : f.f + y f(y.f ) + 7. ( Đề thi HSG Tỉh Hải Phòg ăm 00 ) Tìm hàm f: thỏa mã : ( ) f () + yf() + f(y) f y + f(),,,y R MATHVN.COM Phạm Kim Chug THPT ĐẶNG THÚC HỨA ĐT : 098..00 Mail : p.kimchug@gmail.com Tr. 6
7 Phầ III : BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ PHẦN III : BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ. Cho a,b,c R: a + b + c. Chứg mih rằg : ab+ bc+ ca. Cho các số thực khôg âm a,b,c. Chứg mih rằg : ( ) + ( ) + ( ) ( ) ( ) ( ) a b a b b c b c c a c a a b b c c a. Cho các số thực a,b,c. Chứg mih rằg : a b c 8 a b + + + + + a b c b c a ( a + b) ( ). Cho các số thực khôg âm a,b,c thoả mã : a + b + c + 6abc. Tìm Ma của : P abc 7 8 9 a b c 5. Cho số thực dươg tuỳ ý,y,z. CMR : + + a+ b b+ c c+ a ( a+ b+ c) 6. Cho a,b,c >0. Tìm GTNN của : P ab c 7. Cho các số thực dươg,y,z thõa mã : + y + z CMR : (y z) y (z ) z ( y) + + yz z y 6 + + 8. Cho các số thực dươg a,b,c. CMR : bc + ca + ab a b c a + b + c b + c + a c + a + b 6 9. Cho các số thực dươg a,b,c. CMR : + + a + b + abc b + c + abc c + a + abc abc 0. Cho các số thực thỏa mã điều kiệ : + +. CMR : ab + bc + ca a + b + c +. Cho các số thực dươg thỏa mã điều kiệ : a + b + c. CMR : + + a b c y z. Cho,y,z là số thực dươg tùy ý. CMR : + + + y y+ z z+ a b c (a b). Cho các số thực dươg a,b,c. CMR : + + a+ b+ c+ b c a a + b + c. Cho các số thực dươg a,b,c thỏa mã : abc. CMR : + + a (b + c) b (c + a) c (a + b) y z / 0. CMR : 5. Cho số thực,y,z thỏa mã : yz và ( )( )( ) y z + + y z (a b + c) (b c + a) (c a + b) 9 6. Cho a,b,c là các số thực dươg bất kỳ. CMR : + + a + (b + c) b + (c + a) c + (a + b) 7. Cho các số thực dươg a,b,c thỏa mã : a + b + c. CMR : + + 9 ab bc ca 8. Cho các số thực a,b,c thỏa mã : a + b + c 9. CMR : (a + b + c) 0 + abc a b c 9. Cho a,b,c là các số thực dươg : a+b+c. CMR : + + ( a) ( b) ( c) 0. (Chọ ĐTHS G QG Ng hệ A ăm 00 ) Cho các số thực dươg a,b,c thỏa mã : 9(a + b + c ) 5( a + b + c ) + 8 0. Tìm giá trị hỏ hất của biểu thức : a b c F + + b + c c + a a + b MATHVN.COM Phạm Kim Chug THPT ĐẶNG THÚC HỨA ĐT : 098..00 Mail : p.kimchug@gmail.com Tr. 7
8 Lời giải : Từ giả thiết : Phầ III : BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ 9(a + b + c ) 5(a + b + c ) + 8 0 5(a + b + c ) 8 + 9(a + b + c ) 8 + (a + b + c ) 6 (a + b+ c ) 5(a + b+ c ) + 8 0 a + b + c Ta lại có : a b c a b c (a + b + c ) F + + + + b + c c + a a + b a (b + c) b (c + a) c (a + b) (a b + b c + c a) + (a c + b a + c b) (a + b + c ) Lại có : a b + b c + c a a(ab) + b(bc) + c(ca) (a + b + c )[a b + b c + c a ] a + b+ c a + b + c Tươg tự : (a c + b a + c b) a + b + c. a + b + c Từ đó ta có : F. Dấu bằg ảy ra khi và chỉ khi : abc. ĐÁP ÁN CỦA SỞ GD&ĐT NGHỆ AN Áp dụg bất đẳg thức AM GM, ta có a (b+ c)a a (b+ c)a a + b+ c 9 b+ c 9. b (c + a)b b c (a + b)c c Tươg tự +, + c + a 9 a + b 9. a b c Suy ra: F + + b + c c + a a + b ( a + b + c ) a (b+ c) + b (c + a) + c (a + b) (*). 9 Lại áp dụg AM GM, ta có a + a + c b + b + a c + c + b a c+ b a+ c b + + a + b + c (**). Từ (*) và (**) suy ra: F ( a + b + c ) ( a + b+ c )(a + b + c ) a + b + c a + b + c a + b + c 9 ( ) ( ) ( ) 9 Đặt t a ( + b + c ), từ giả thiết ta có: 5( a + b + c ) 8 9( a + b + c ) ( a + b + c ) ( ) ( ) a + b + c 5 a + b + c + 8 0 a + b + c. 6 Do đó F t t f(t) với 9 7 t ; (***). Mà mi f(t) f() (* * **). Từ (***) và (****) suy ra F. t ; Vậy mif ảy ra khi a b c.. ( Đề thi HSG Tỉh Nghệ A ăm 009 ) Cho các số thực dươg,y,z. Chứg mih rằg : 6 + + + + + y z 9 y yz z Lời giải : BĐT đã cho tươg đươg với : ( ) Ta có : ( yz ) y + yz + z (y)(yz)(z) 9 + y + y z + z + + 6 y z MATHVN.COM Phạm Kim Chug THPT ĐẶNG THÚC HỨA ĐT : 098..00 Mail : p.kimchug@gmail.com Tr. 8.
9 Do đó : Phầ III : BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ ( + + ) y + yz + z 7 y yz z 7 + + y z yz (y + yz + z) y + yz + z Lại có : ( ) Nê : 9+ y + y z + z 6+ y + + (y z + ) + (z + ) + (y + yz + z) 7 9 VT + (y + yz + z). 08 + 6 + (y + yz + z) y + yz + z y + yz + z ( ) 9 08 6 + (y + yz + z) 96 VT 6 + + y yz z ĐÁP ÁN CỦA SỞ GD&ĐT NGHỆ AN : Bất đẳg thức cầ chứg mih tươg đươg (y + yz + z)(9 + y + z y + z ) 6yz Áp dụg bất đẳg thức Côsi ta có : y + yz + z yz () Và 9+ y + z y + z yz hay 9 + y + z y + z yz () Do các vế đều dươg, từ (), () suy ra: (y + yz + z)(9 + y + z y + z ) 6yz (đpcm). Dấu đẳg thức ảy ra khi và chỉ khi y z. ( Đề thi HSG Tỉh Quảg Nih ăm 00 ) Cho các số thực dươg,y thỏa mã đk : + y + y. Tìm giá trị y lớ hất của : M + y( + ) ( y + ) y Lời giải : Ta có : Ta có : y + y + y + y y (*) ( ) + y y( + y) ( + y) + y y y ( y) M + + y ( ) (y ) y y ( ) (y ) y 9y ( + y) + y. ( Đề thi HSG Tỉh Quảg Bìh ăm 00 ) Cho các số thực dươg a, b, c. CMR : a b HD : a a + + b b a b c + + b c a a b c a b c + + + a b c a MATHVN.COM Phạm Kim Chug THPT ĐẶNG THÚC HỨA ĐT : 098..00 Mail : p.kimchug@gmail.com Tr. 9 + b c. ( Đề thi HSG Tỉh Vĩh Phúc ăm 00 ). Cho, y, z 0 thỏa mã : + y + z. Tìm giá trị lớ hất của biểu thức : P 6(y + z ) + 7yz + HD : + y z + P 6 (y z ) 7. 6 ( ) + 7 ( PMa 0 ) 5. ( Đề thi HSG Tỉh Hải Phòg ăm 00 ). Cho a, b,c 0: a + b + c. Chứg mih rằg : a + b + c 7 HD : Có thể dùg câ bằg hệ số hoặc Svacơ 6. Cho,y,z là các số thực dươg thỏa mã : yz. Chứg mih rằg : 6 ( + y ) (y + z ) (z + ) + + 6 6 6 6 6 6 + y y + z z + y
0 Phầ III : BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ Lời giải : Đặt a;y b;z c abc. Bất đẳg thức đã cho trở thàh : (a + b) (b + c) (c + a) + + a + b b + c c + a Áp dụg Bất đẳg thức AM-GM cho số ta có : (a + b) ( a 6 + a b + ab + ab ) + ( b 6 + a b + a b + a b ) ab 6 6 ( a + b ) 7. (Đề thi HSG Tỉh Đồg Nai ăm 00 ). Cho a,b,c > 0. Chứg mih rằg : (a + b + c) + + a+ b b+ c c+ a ( a + b + c ) HD : + + + + + + BĐT (a b ) (b c ) (c + a ) (a b c) + + a+ b b+ c c+ a (a + b) Và chú ý : a + b 8. ( Đề thi HSG Tỉh Phú Thọ ăm 00 ). Cho,y,z > 0: + y + z 9. Chứg mih rằg : + + + + + y y z z 9 y + 9 yz + 9 z + 9 9. ( Đề thi chọ ĐT Nih Bìh ăm 00 ). Cho a,b,c là độ dài ba cạh một tam giác có chu vi bằg. Chứg mih rằg : a + b + c + abc 7 7 HD : Bài ày thì chọ phầ tử lớ hất mà đạo hàm. a b c 0. (Đề thi HSG Tỉh Bìh Địh ăm 00 ). Cho a,b,c >0. CMR : + + a + b + c bc ca ab a + + + + HD : (a b c ) (a b c) VT a+ b+ c abc abc 7abc. ( Đề thi chọ HSG QG Tỉh Bìh Địh ăm 00). Cho,y,z >0 thỏa mã : y + z. Tìm giá trị hỏ yz z 5y hất của : S + + y z. ( Đề thi chọ HSG Thái Nguyê ăm 00 ). Cho các số thực,y,z thỏa mã điều kiệ : + +. + + y + z Tìm giá trị hỏ hất của : P yz. ( Đề thi chọ HSG QG tỉh Bế Tre ăm 00 ). Cho a,b, c > 0:a + b + c. Chứg mih bất đẳg thức : + + ab bc ca. ( Đề thi chọ ĐT trườg ĐHSP I Hà Nội 00 ). Cho các số thực dươg,y,z. Tìm giá trị hỏ hất của : y yz z yz P + + + z y (y + yz + z ) Lời giải : y z a b c Đặt : a; b; c abc. Lúc đó : P + + + y z b c a (a + b + c) (ab + bc + ca) Ta có : (a + b + c) abc(a + b + c) (ab)(ac) + (ab)(bc) + (ac)(bc) a + a b b b a b c Lại có : + + + + + ab + bc + ca b c c b c a a b c + c c a c Do đó : P (ab + bc + ca) + ( Với ab + bc + ca ) (ab + bc + ca) MATHVN.COM Phạm Kim Chug THPT ĐẶNG THÚC HỨA ĐT : 098..00 Mail : p.kimchug@gmail.com Tr. 0
Phầ III : BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ Lời giải : y z a b c abc Đặt : a; b; c abc. Lúc đó : P + + + (a + b + c) + z y b c a (ab + bc + ca) (a + b + c) y z 5. Bài toá tươg tự : Cho,y,z > 0 : yz. Chứg mih rằg : + + + y z + y+ z Lời giải : Đặt : a; b; c abc. y z a b c abc (a + b + c) 9 BĐT đã cho trở thàh : + + + +. Với : a + b+ c abc c a b ab + bc + ca a + b + c (a + b + c) 6. ( Đề thi chọ đổi tuyể ĐH Vih ăm 00 ). Cho a,b,c là các số thực thuộc đoạ [0;] và a+ b+ c. Tìm giá trị lớ hất và hỏ hất của : P + + + + a b c + HD : Dùg pp tiếp tuy ế và Bất đẳg thức : + +,,y 0; + y + y + ( + y) + 7. ( Đề thi chọ HSG QG tỉh Lâm Đồg ). Cho a,b,c là các số thực dươg. Chứg mih rằg : a b c + + a ab + b + b bc + c + c ca + a b c a Lời giải : C : ( THTT) Ta có : a b c a b c + b + + c + + a (a+ b+ c) + + a+ b+ c b c a b c a a b c a a ab + b Do đó :.VT + + + b a + b + b VP b c a b b C : Ta có : a ab + b a + b + c(micopki) a ab + b a ab + b Mà : VT a ab + b b Svaco a + b+ c 8. ( Đề thi chọ đội tuyể trườg Lươg Thế Vih Đồg Nai ăm 00 ). Cho a,b,c > 0 : abc. Chứg mih rằg : ab + bc + ca a+ b+ c a b c a b a HD : BĐT + + a+ b+ c. Chú ý là : + + a c a a c b c a b c b Lời giải : Ta có : ab + ab + bc (a b c )b b 9. ( Chọ ĐT HS G QG tỉh Phú Thọ ăm 00 ). Cho a,b,c > 0. Chứg mih bất đẳg thức : a + + + + b + c b c c a b a b+ c b+ c b+ c a a HD : + + a a + + + a (a b c) b c 0. ( Đề thi HSG Tỉh Nghệ A ăm 008 ). Cho số dươg a,b,c thay đổi. Tìm giá trị lớ hất của : a HD : Đặt b c ; y; z yz. Lúc đó : b c a z y P + + +. Lại có : + z y + z + y + z bc ca ab P + +. a+ bc b+ ca c+ ab + + + + ( y z) ( y z) + z + z ( + y + z) + (y + yz + z) ( + y + z) ( + y + z) + Do đó : P. Dấu ảy ra khi và chỉ khi : y z. MATHVN.COM Phạm Kim Chug THPT ĐẶNG THÚC HỨA ĐT : 098..00 Mail : p.kimchug@gmail.com Tr.
ĐÁP ÁN CỦA SỞ GD&ĐT : Đặt a,y b,z c;,y,z ( 0; + ). yz z y Khi đó: P + +. + yz y + z z + y Phầ III : BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ Ta có P yz z y + + + yz y + z z + y y z + + Q + yz y + z z + y áp dụg bđt BCS ta được y z + yz + y + z + z + y + yz y + z z + y ( ) Q. + y + z + y + yz + z Q ( + y+ z) ( ). Mặt khác + y + z + y + yz + z Suy ra Q 9, do đó P P. y + yz + z ( + y+ z) Dấu bằg ảy ra khi và chỉ khi a b c. Vậy giá trị hỏ hất của P bằg.. ( Đề dự bị HSG Tỉh Nghệ A 008 ). Cho ba số dươg a,b,c thoả mã : a + b + c. Tìm giá trị hỏ hất a b c của biểu thức : P + +. b+ c c+ a a+ b Lời giải : Giả sử : a b c. Áp dụg bất đẳg thức Chebysev ta có : b+ c c+ a a+ b a b c + + ( ) + + + + P. a + b + c b+ c c+ a a+ b b+ c c+ a a+ b b+ c c+ a a+ b (a + b+ c) (a + b + c ) Lời giải : Áp dụg BĐT Swcharz : a b c (a + b+ c ) P + +. a ( b + c) b ( c + a) c ( a + b) b( a + c ) + a(b + c ) + c(a + b ) Lại có : a b + c. b + c a + (b + c ) a(b + c ) a b c. ( Đề chọ đội tuyể QG dự thi IMO 005 ). Cho a,b,c >0. CMR : + + (a + b) (b + c) (c + a) 8 b c a Lời giải : ; y; z ; yz. Bất đẳg thức đã cho trở thàh : + + a b c ( + ) ( + y) ( + z) 8 Áp dụg AM-GM ta có : + + 6 ( + ) ( + ) 8 8( + ) ( + ) Ta cầ CM bất đẳg thức : + + ( + ) ( + y) ( + z) MATHVN.COM Phạm Kim Chug THPT ĐẶNG THÚC HỨA ĐT : 098..00 Mail : p.kimchug@gmail.com Tr.
Phầ III : BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ Bổ đề : + ( + ) ( + y ) + y (,y > 0) Bổ đề ày được CM bằg cách biế đổi tươg đươg đưa về BĐT hiể hiê : y( y) + ( y) 0 z z(z+ ) + z + z+ Do đó : VT + + + y ( + z) z + ( + z) ( + z) z + z + z + z+ z Giả sử : z Ma{, y,z} yz z z. Xét hàm số : f(z) ; f '(z) 0, z z + z+ (z+ ) Suy ra : f (z) f( ).. ( Đề thi HSG Tỉh Hà Tĩh ăm 008 ). Cho, y,z 0: + y + z. Tìm giá trị hỏ hất của : P + + + + y + z Lời giải : ( ) ( ) 0 + + 0 ( luô đúg ) Thiết lập các BĐT tươg tự ta có : P Chú ý : Để tìm Ma cầ sử dụg BĐT phụ : y y + +,+ y + + y + + y 5 và +. ( Đề thi HSG lớp tỉh Hà Tĩh ăm 008 ). Cho,y,z > 0: + y + z. Chứg mih bất đẳg thức : + + y + z y z + + + + y+ z z+ + y y z y z y z z y yz Giải : BĐT + + + + + + + y+ z z+ + y y z y(y+ z) z(z+ ) ( + y) z y yz (z) (y) (yz) ( z + yz + z) Ta lại có : VP + + + + y(y + z) z(z + ) ( + y) yz(y + z) yz(z + ) yz( + y) yz( + y + z) (y + yz + z) Mà : yz( + y + z) (y)(yz) + (z)(zy) + (z)(y) VP 5. ( Đề thi HSG Tỉh Quảg Bìh 00 ). Cho a, b,c 0:a + b + c. Chứg mih rằg : a b + + b c + + c a + 5 6. Cho a,b,c là độ dài cạh tam giác ABC. Tìm GTNN của : P a b c + + b + c a a + c b b + a c HD : a 6a 6a b + c a (a)(b + c a) (a + b + c) 7. Cho a, b,c 0:a+ b+ c. Tìm GTLN, GTNN của : P a + a+ + b + b+ + c + c + HD. Tìm GTNN : Áp dụg BĐT Micopki ta có : P a + a+ + b + b+ + c + c+ a+ + + + + + a b c Tìm GTLN : Bổ đề : CM bất đẳg thức : + a + a + + b + b + + (a + b) + (a + b) Bìh phươg vế ta có : (+ a+ a )( + b+ b) ab+ + a+ b + (a+ b) + a+ b + (a+ b) + ( a b) 0 8. ( Đề thi chọ HSG QG tỉh Hải Dươg ăm 008 ). Cho a,b,c > 0:a + b + c. Tìm giá trị hỏ hất của biểu a b c thức : P + + a + b b + c c + a HD : AM-GM gược dấu. Ta có : a ab ab a a a b a a b(a+ a+ ) a b ab a + b a + b 6 ab 9 9 9 MATHVN.COM Phạm Kim Chug THPT ĐẶNG THÚC HỨA ĐT : 098..00 Mail : p.kimchug@gmail.com Tr.
Phầ III : BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ ( a+ b+ c) 7 Do đó : P (a + b + c) (a + b + c) (ab + bc + ca) 9 9 9 9. ( Đề chọ ĐT trườg chuyê Bế Tre ). Cho,y,z 0. Tìm GTLN của : M + y + z + ( + )( + y)( + z) + y+ z+ 7 Giải : Đặt + y+ z t 0, ta có : ( + )( + y)( + z). Lúc đó : M t+ (t + ) Xét hàm số : 7 f( t),t 0 t+ (t + ) a + b + c + a + b + c 50. Cho a,b,c > 0. Chứg mih rằg : + + b+ c c+ a a+ b HD : Ta có : + + + + a a a a a a a a Do đó : VT... b + c ab + ac Svaco 9 5. Cho a,b,c > 0. Chứg mih rằg : + + + + + a b c a+ b+ c a+ b a+ c b+ c HD : 5. Cho a,b,c > 0: a + b + c. Chứg mih rằg : MATHVN.COM Phạm Kim Chug THPT ĐẶNG THÚC HỨA ĐT : 098..00 Mail : p.kimchug@gmail.com Tr. b c c a a b + + a c ab b a b c b ac ( + ) ( + c ) ( + ) a b c 5. Cho a,b,c > 0. CMR : + + + + a + b + c b + c + a c + a + b 6 a b c a b c 5. Cho a,b,c > 0 :ab + bc + ca. CMR : + + abc a + bc b + ca c + ab + a + b + c 55. Cho a,b,c > 0. CMR : + + + ac + cb + ba 56. Cho a,b,c> 0:abc 7. CMR : + + + a + b + c 7 57. Cho a,b,c > 0. CMR : + + b(a + b) c(c + b) a(a + c) (a + b + c) b+ c c+ a a+ b 58. Cho a,b,c > 0. CMR : + + a + b+ c + a b c b a a c c b 59. Cho a,b,c ( ;). CMR : + + b c c a a b b c c a a b 6 60. Cho a,b,c > 0 : abc.cmr : + a + b + c ab + bc + ca z y zy y z 6. Cho,y,z > 0. CMR : + + + + yz + y yz + z yz + y z 6. Cho a,b,c > 0: + + a b c. CMR : a b c a+ b+ c + + a + bc b + ac c + ba y z 6. Cho,y,z > 0. Tìm Mi của : P ( + y ) + (y + z ) + (z + ) + + + y z 6. Cho a,b,c > 0: a + b+ c. CMR : a + b + c ab + bc + ca 65. Cho a,b,c > 0 :abc. CMR: + + a+ b+ b+ c+ c+ a+ y z 66. Cho,y,z > 0. CMR : + + + ( + y)( + z) y + ( + y)(y + z) z + ( + z)(y + z) 67. ( Đề thi HSG Tỉh Bìh Phước ăm 008 ). Cho a,b,c > 0. CMR : a b c a+ b+ c + + a + b b + c c + a
5 Phầ III : BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ 68. ( Đề thi HSG Tỉh Thái Bìh ăm 009 ).Cho các số thực, y, z thỏa mã + y + z. Tìm giá trị lớ hất của biểu thức: F + 7y + 5y + 5z + 7z + 69. (Đề thi HSG TP Hồ Chí Mih ăm 006 ). Cho a,b,c là các số thực khôg âm thỏa: a+ b+ c. Chứg mih: a b c + +. b + c + a + a b c 70. Cho a,b,c > 0. Chứg mi h rằg : + + a+ b b+ c c+ a a b c HD : Đặt ;y ;z yz b c a 7. Chứg mih các Bất đẳg thức : a) logb + ca + logc+ ab + loga+ bc ( a,b,c > ) logbc logca loga 9 b) + + ( a,b,c > ) + y. Áp dụg Bổ đề : + ( y ) + + y b+ c c+ a a+ b a+ b+ c c) 7. Cho,y, z 0 : y + yz + z. Tìm giá trị hỏ hất của : + P y y z + z + ( ) + (y ) + (z ) Giải : 7. MATHVN.COM Phạm Kim Chug THPT ĐẶNG THÚC HỨA ĐT : 098..00 Mail : p.kimchug@gmail.com Tr. 5
6 Phầ IV : GIỚI HẠN DÃY SỐ. Cho dãy số : + 7 log + ( ) PHẦN IV : GIỚI HẠN DÃY SỐ. Chứg mih dãy số có giới hạ và tíh giới hạ đó. HD : Xét hàm số : f () 7 log ( + ), (0; 5), ta có : f '() < 0, (0;5) ( + ) l Do đó : 0< f(5) < f() < f(0) < 5. Mà + f (), do đó bằg quy ạp ta CM được rằg : 0< < 5, Lại ét hàm số : g( ) 7 log ( + ), (0;5). Ta có : g'() < 0, (0;5) ( + )l Suy ra phươg trìh f() có ghiệm duy hất. Theo địh lý Lagrage c ( ; ) sao cho : f( ) f() f '(c) l c c ( Vì f '(c) ). Do đó : + 0 (c + )l c l l l. Cho phươg trìh : + + với guyê dươg. Chứg mih phươg trìh đã cho có duy hất một ghiệm thực với mỗi guyê dươg cho trước. Gọi ghiệm đó là. Tìm lim Giải : Từ phươg trìh : Đặt f () +. +) Nếu <0 : Hàm y f ( ) + > + ( ) ( ) > 0 ( ) > 0 < 0 liê tục trê R và ghiệm trê khoảg (0; ). +) Nếu >, ta có : f '() ( + ). > 0. Hơ ữa có ghiệm (; + ) duy hất. Xét hiệu : ( ) ( ) f(0) ; lim f(), suy ra phươg trìh khôg có f() ; lim f() +, suy ra phươg trìh + f ( ) f ( ) ( ) > 0, > f ( ) > f ( ) + + + + + Hay : f + ( ) > f ( ) 0 f + ( + ) >. (Do hàm f() tăg ). + Vậy dãy { } là dãy giảm và bị chặ dưới bởi ê có giới hạ. Giả sử : lim a( a ) Ta sẽ chứg mih a. Thật vậy, giả sử a >.. ( Đề thi HSG Tỉh Quảg Bìh ăm 00 ) Cho dãy số Tìm : Ta có : lims Lời giải : u {u } : u u+ u+ 00 u u u u u u u u k k+ k k k+ k k k uk+ uk 00 (*) 00 uk 00 u k.uk+ 00.uk+ uk+ uk uk+ Từ hệ thức (*) cho k,, ta có : S 00 u + u Lại có : u + u+ u Dãy {u } tăg. 00 Giả sử {u} bị chặ trê. Suy ra tồ tại giới hạ hữu hạ : limu a(a > ). Do đó, từ : u u a u+ u + limu+ lim u a a a 0 00 + + 00 ( Vô lý ) 00 Suy ra dãy {u} tăg và khôg bị chặ trê, ê : limu + lim 0 lims 00 u + u u u. Đặt : S + +... +. u u u + MATHVN.COM Phạm Kim Chug THPT ĐẶNG THÚC HỨA ĐT : 098..00 Mail : p.kimchug@gmail.com Tr. 6
7 Phầ IV : GIỚI HẠN DÃY SỐ < <. ( Đề thi HSG Tỉh Bìh Địh ăm 00 ). Cho dãy số { }:. Chứg mih dãy số {} + +, có giới hạ và tìm giới hạ đó. Lời giải : Xét hàm số : f() +, (;). Ta có : f '() < 0, ( ; ). Do đó : f() < f() < f() <. Từ đó thay bởi : ;,..., ta có : <,,..., < Suy ra dãy { } bị chặ. Giả sử dãy số có giới hạ là a, lúc đó a thỏa mã pt : Ta sẽ CM giới hạ ày bằg địh lý kẹp : Xét hiệu : a a + a a MATHVN.COM Phạm Kim Chug THPT ĐẶNG THÚC HỨA ĐT : 098..00 Mail : p.kimchug@gmail.com Tr. 7 ( ) + + ( ) + + Lại có : < < < + + < + + < Do đó : + < ( ) (*). Từ (*) cho,, và hâ lại với hau ta có : < ( ). Mà ( ) + 5. ( Bài toá tươg tự ). Cho dãy số {u } : u + lim 0 lim u. Tìm limu. u, 6. ( Đề thi HSG Tỉh Bế Tre ăm 00 ). Cho dãy số { } : + + + +. Chứg mih rằg dãy số trê có giới hạ và tìm giới hạ đó. Lời giải : Ta có : + + + + + + Bằg quy ạp ta chứg mih được rằg : > 0,,,... Lại có : + + + + + + + + + Micopki Micopki + + + + + Từ đó suy ra : < + Vậy dãy { } giảm và bị chặ dưới bởi 0 ê tồ tại giới hạ hữu hạ. Giả sử lim a a a + + a a+ a 0 a 7. ( Đề thi HSG Tỉh Nghệ A ăm 009 ). Cho dãy số : Tíh limu với U ( + ). Lời giải : Ta có : { } : + +... + ( ),> ( )
8 +) Phầ IV : GIỚI HẠN DÃY SỐ +) Với ta có : + +... + ( ) + ( ) + + +... + ( ) + ( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) Từ đó suy ra : + ( ) + (*) Từ (*) cho, ta có :............. + ( + ) ( + ) ( + ) Do đó : limu lim. ( + ) 0 > 0 9. ( Đề thi HSG Tỉh Hà Tĩh ăm 00 ). Cho dãy { } : ( + ). Chứg mih dãy có giới hạ và +, 0 + tìm giới hạ đó. Lời giải : Bằg quy ạp ta chứg mih được > 0, > 0 +) TH : Nếu 0, quy ạp ta được, > 0. Hiể hiê lim +) TH : Nếu 0 >, ( + ) ( ) Xét hàm số : f() trê khoảg (; + ) ta có : f '() > 0, (; + ) f() > f( ) + ( + ) Do đó : f ( ) >,... quy ạp ta có : >, k(k + ) k(k ) Lại có : k+ < k < k > 0 đúg với k > k + k + Từ đó ta có : > >... > > + >. Dãy số giảm và bị chặ dưới ê tồ tại giới hạ hữu hạ. a( a + ) Giả sử : lim a > 0 a a a + ( + ) +) TH : Nếu 0 < 0 <, Xét hàm số : f() trê khoảg (0;) ta có : + ( ) f '() > 0, (0;) 0 f(0) < f( ) < f( ) ( + ) Do đó : f( ) (0;),... quy ạp ta có : (0; ), k(k + ) k(k ) ta có : k+ > k > k < 0 đúg với 0 < k < k + k + Do đó : 0 < < <... < < + <. Dãy số tăg và bị chặ trê ê tồ tại giới hạ hữu hạ. Giả sử : ( + ) a a lim a > 0 a a a + Kết luậ : lim 0. ( Bài toá tươg tự ). Cho α> 0; a > 0 là hai số tùy ý. Dãy có giới hạ và tìm giới hạ đó.. ( Chọ đội tuyể ĐH Vih ăm 00 ). Cho dãy số 0 + u {u }: u (u + a). Chứg mih dãy u, 0,,... + a MATHVN.COM Phạm Kim Chug THPT ĐẶNG THÚC HỨA ĐT : 098..00 Mail : p.kimchug@gmail.com Tr. 8 u α u0 > {u } : u + + (u + ). Tìm limu u +, 0,... u
9 Phầ IV : GIỚI HẠN DÃY SỐ a. ( Đề thi chọ ĐT HSG QG KoTum ăm 00 ). Cho dãy số thực {a } ác địh hư sau :. a + a + ( ) a a Chứg mih rằg : lim +. ( Đề thi HSG Tỉh Hải Dươg ăm 006 ). Cho dãy số thực 006; + +. Tìm lim +. ( Đề thi HSG Tỉh Phú Thọ ăm 008 ). Cho dãy số { } thỏa mã :. Đặt y + ( + )( + )( + ) +, > 0 i i +. Tìm limy. HD : ( ) + ( + )( + )( + ) + + + + + + + + + Sau đó chứg mih dãy tăg và khôg bị chặ trê. a> 5. Cho dãy ( ):. Tìm : lim + +... + 00+ + 009 + + HD : Xét hàm số : được rằg : 009 f() +, >. Ta có : f () > 0, > f() > f(). Bằg quy ạp chứg mih 00 00 >,. Xét hiệu : Giả sử ( ) ( ) 0, 00 00 00 + > > + > lim a a > 00a a + 009a a 0;a ( Khôg thỏa mã ). Vậy lim + Lại có : + 00+ + 009 00( + ) ( ) 00 00 ( )( ) + + + 6. ( Bài tươg tự ). Cho dãy số : ( ):. Tìm giới hạ lim, + + N* + +... + + 7. ( Đề thi HSG Tỉh Bìh Phước ăm 008 ). Đặt ( ): f().f().f(5)...f( ). Tíh giới hạ của dãy số : f().f().f(6)...f() HD : Chú ý : f(k ) (k ) f(k) (k + ) + + f() ( + + ) + với là số guyê dươg. Xét dãy số u. a 008 8. Cho dãy số (a ) ác địh bởi :. Tíh lim a ai a, > + i HD : Ta có a ( ) ( + a +... + a a a ) a a a () + Trog () cho,,.và hâ ó lạ i để tìm : a 006 9. Cho dãy số ( ) thỏa :, + + ( ). Chứg mih dãy số ( ) có giới hạ và tìm giới hạ ấy + 0. ( Đề thi HSG QG ăm 009 ). Cho dãy số y i i ( ): + +, có giới hạ hữu hạ khi và tìm giới hạ đó. Giải :. Chứg mih rằg dãy (y ) với MATHVN.COM Phạm Kim Chug THPT ĐẶNG THÚC HỨA ĐT : 098..00 Mail : p.kimchug@gmail.com Tr. 9
0 Phầ IV : GIỚI HẠN DÃY SỐ + + + Xét hàm số : f(), ta có : f '() + > 0, >0 + Lại có : f( ) > 0,(do > 0)... bằg quy ạp ta chứg mih được > 0,. Xét hiệu : Suy ra dãy + + + 0,(do > 0, ) > + + { } tăg và > 0,. Giả sử tồ tại giới hạ hữu hạ a + a + a a a a + a a 0 (Vô lý ). Vậy dãy { } tăg và khôg bị chặ trê ê : lim + + Lại có : a lim ( a> ). Suy ra : + 0 + + ( ) ( ) + ( ).. + Do đó : y... lim y 6 i + + + i. + 0 009. Xét dãy số thực ( ), N ác địh bởi :. Chứg mih dãy có giới hạ hữu hạ 6 6si( ), và tìm giới hạ đó. HD : Sử dụg bất đẳg thức : si, 0 6 6( cos ) Xét hàm số : f() 6 6si, > 0. Ta có : f '() > 0, >0 (6 6si ) Do đó : f() > 0, > 0. Mà f( ) > 0(do > 0)... f( ) > 0, 6 Xét hiệu : 6si( ) 6 6si( ) < 0 6 6si( ) 6 6si( ) + (Sử dụg Bất đẳg thức : Do đó dãy i 6 < 6 s 6si 0, > 0) { } giảm và bị chặ dưới, ê tồ tại giới hạ hữu hạ. Giả sử : lim a(a 0), ta có pt : a 6a 6sia a 6a 6sia. Xét hàm số : g(t) t + 6sit 6t, ta có : g'(t) t + 6cost 6, g''(t) 6t 6sit 0, t 0 g'(t) g(0) 0 g(t) g(0) 0 hất a 0.. Do đó pt có ghiệm duy +. Cho dãy () được ác địh bởi: 5; + -,,. Tìm lim +..... Cho dãy + ( ):. Tìm lim + + 9 + + ;, N. HD : Chứg mih dãy ( ) tăg và khôg bị chặ : Dễ thấy 8 + + > 0,, ét : + 9 + + > 0, > 0 9 + + + a lim a a 0 a 9a a ( Khôg thỏa mã ) lim + + 8 Giả sử ( ) Do đó : > + + + a lim lim 9 + + + + + MATHVN.COM Phạm Kim Chug THPT ĐẶNG THÚC HỨA ĐT : 098..00 Mail : p.kimchug@gmail.com Tr. 0
Phầ IV : GIỚI HẠN DÃY SỐ. Cho dãy số (u ) ác địh bởi côg thức u 008 u + u - 0u + 007 ;, N. a) Chứg mih: u + 007;, N. b) Dãy số ( ) được ác địh hư sau: + +... + ;, N. u - 006 u - 006 u - 006 Tìm lim? U 5. ( Đề thi HSG Tỉh Trà Vih-009)Cho dãy số ( U ) ác địh bởi: Tìm limu U+ log U + +, + 0 6. Cho dãy số ( ): ( l ) +. Chứg mih dãy () có giới hạ và tìm giới hạ đó. + l HD : Chứg mih dãy giảm và bị chặ dưới. 7. Cho phươg trìh : + +... + 0. Chứg tỏ rằg với guyê dươg thì phươg trìh có ghiệm duy hất dươg và tìm lim. + u 8. Cho dãy số {u } ác địh bởi.. Tìm limu u C. 9. ( Đề thi HSG Tỉh Nghệ A ăm 008 ). Cho phươg trìh: + 0 (). Chứg mih rằg: với mỗi 008 N * phươg trìh () có ghiệm duy hất, gọi ghiệm đó là. Xét dãy (), tìm lim ( + - ). Đáp á : Với N *, ét f () 008 + ; R. f / l008 () - - < 0 R. 008 > f() ghịch biế trê R (). f() > 0 Ta có: 008 f( + ) < 0 008 + > f() 0 có ghiệm (; + ) (). Từ () và () > đpcm. Ta có: - > 0 > >. 008 > 0 < - <. 008 Mặt khác: lim 0 > lim( - ) 0. 008 Khi đó lim ( - - ) lim{[ + - ( + )] - ( - ) + } MỘT SỐ BÀI TOÁN TÌM GIỚI HẠN KHI BIẾT CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ. 0. Cho dãy số ( ) Giải : u u : 9u u, 5u +. Tìm limu? MATHVN.COM Phạm Kim Chug THPT ĐẶNG THÚC HỨA ĐT : 098..00 Mail : p.kimchug@gmail.com Tr.
Phầ IV : GIỚI HẠN DÃY SỐ. Cho dãy số ( ). Cho dãy số ( ) u u u :. Tìm lim + u u, HD : Tìm được : u : u u u u π u cos và chú ý : u 0 lim 0 +. Tìm lim.u +, π si π π. π HD : Tìm được u si suy ra : lim.u lim.6 + + π. u u : u u + + u π HD : Tìm được u ta.. Cho dãy số ( ). Tìm, lim.u + u. Cho dãy số ( u ) :. Tìm lim u ui + i u, ( )u + u u+ 5. Cho dãy số : u. Tìm lim + u u + u + u+, N * HD : Tìm được u ( + ) ( ). Suy ra : + + + ( ) ( ) u + + + lim + u + ( + ) ( ) + ( ) + u u 6. Cho dãy số ( u ) : + u. Tíh lim + u, u π HD : u ta + u.u...u 7. Cho dãy số (u ) ác địh hư sau : u + + +... + ( dấu că ). Tíh lim + π u π u.u...u si HD : Đặt : cos và chú ý : +.... π si + MATHVN.COM Phạm Kim Chug THPT ĐẶNG THÚC HỨA ĐT : 098..00 Mail : p.kimchug@gmail.com Tr.
Phầ IV : GIỚI HẠN DÃY SỐ b 8. Cho dãy số (b ):. Chứg mih dãy hội tụ và tìm lim b + b+ b+ b + ( ) π HD : Chứg mih : b.cot + MATHVN.COM Phạm Kim Chug THPT ĐẶNG THÚC HỨA ĐT : 098..00 Mail : p.kimchug@gmail.com Tr.
Phầ V : HÌNH HỌC KHÔNG GIAN PHẦN V : HÌNH HỌC KHÔNG GIAN. Cho hìh chóp tam giác đều có thể tích là. Tìm giá trị lớ hất của bá kíh mặt cầu ội tiếp hìh chóp.. Cho tứ diệ ABCD có : ABa; CDb ; góc giữa AB và CD bằg α. Khoảg cách giữa AB và CD bằg d. Tíh thể tích khối tứ diệ ABCD theo a,b,d và α.. Trog các tứ diệ OABC có OA, OB, OC đôi một vuôg góc với hau và thể tích bằg 6. Hãy ác địh tứ diệ sao cho diệ tích tam gi ác ABC hỏ hất. MA NB. Cho hìh hộp ABCD.A BCD. Các điểm M, N di độg trê các cạh AD và BB sao cho. Gọi I, J lầ MD NB lượt là trug điểm các cạh AB, CD. Chứg mih rằg đườg thẳg MN luô cắt đườg thẳg IJ. 5. Gọi O là tâm của một hìh tứ diệ đều. Từ một điểm M bất kì trê một mặt của tứ diệ, ta hạ các đườg vuôg góc tới ba mặt cò lại. Giả sử K, L và N là châ các đườg vuôg góc ói trê. Chứg mih rằg đườg thẳg OM đi qua trọg tâm tam giác KLN. 6. Cho hìh chóp S.ABC. Từ điểm O ằm trog tam giác ABC ta vẽ các đườg thẳg lầ lượ t sog sog với các cạh SA, SB, SC tươg ứg cắt các mặt (SBC), (SCA), (SAB) tại các điểm D,E,F. a) Chứg mih rằg : OD + DE + DF SA SB SC b) Tìm vị trí của điểm O trog tam giác ABC để thể tích của hìh chóp ODEF đạt giá trị lớ hất. 7. Cho hìh hộp ABCD.ABCD. Hãy ác địh M thuộc đườg chéo AC và điểm N thuộc đườg chéo BD của mặt phẳg A BCD sao cho MN sog sog với A D. 8. Các điểm M, N lầ lượt là trug điểm của các cạh AC, SB của tứ diệ đều S.ABC. Trê các AS và CN ta chọ các điểm P, Q sao cho PQ // BM. Tíh độ dài PQ biết rằg cạh của tứ diệ bằg. 9. Gọi O là tâm mặt cầu ội tiếp tứ diệ ABCD. Chứg mih rằg ếu 0 ODC 90 thì các mặt phẳg (OBD) và (OAD) vuôg góc với hau. 0. Trog hìh chóp tam giác đều S.ABC (đỉh S ) độ dài các cạh đáy bằg 6. Độ dài đườg cao SH 5. Qua B vẽ mặt phẳg vuôg góc với AS, mặt phẳg ày cắt SH tại O. Các điểm P, Q tươg ứg thuộc các cạh AS và BC sao cho PQ tiếp úc với mặt cầu tâm O bá kíh bằg. Hãy tíh độ dài bé hất của đoạ PQ. 5. Cho hìh lập phươg ABCD.A BCD cạh bằg a. Đườg thẳg (d) đi qua D và tâm O của mặt phẳg BCC B. Đoạ thẳg MN có trug điểm K thuộc đườg thẳg (d) ; M thuộc mặt phẳg (BCCB) ; N thuộc mặt đáy (ABCD). Tíh giá trị bé hất của độ dài đoạ thẳg MN.. Cho tứ diệ ABPM thoả mã các điều kiệ : 0 AM BP; MAB ABP 90 ; AM.BP AB. Chứg mih rằg mặt cầu đườg kíh AB tiếp úc với PM.. ( Đề thi HSG Tỉh Quảg Nih ăm 00 ) Cho điểm O cố đị h và một số thực a khôg đổi. Một hìh chóp S.ABC thay đổi thỏa mã : OA OB OC a; SA OA;SB OB;SC OC ; ASB 90 0 ; BSC 60 0 ; CSA 0 0. Chứg mih rằg : a. ABC vuôg. b. Khoảg cách SO khôg thay đổi. Giải : a) Đặt : SO. Ta có : Các tam giác OAS, OBS, OCS vuôg ê : SA SB SC a. 0 Do đó : AB SA + SB ( a ) ; AC SA + SC SA.SC. cos0 ( a ) ; 0 BC SB + SC SB.SC.cos60 ( a ) AC AB + BC hay tam giác ABC vuôg tại B. b) Gọi M là trug điểm AC, do các tam giác SAC, OAC là các tam giác câ ê : SM AC AC (SOM) AC OS OM AC Tươg tự, gọi N là trug điểm AB, ta CM được : AB SO Suy ra : SO (ABC). Do đó mọi điểm ằm trê đườg thẳg SO đều cách đều A, B, C. Suy ra SO đi qua tâm đườg trò goại tiếp M của tam giác ABC. Trog các tam giác vuôg ABC và SBO ta có hệ MATHVN.COM Phạm Kim Chug THPT ĐẶNG THÚC HỨA ĐT : 098..00 Mail : p.kimchug@gmail.com Tr.
5 + + AB BC OB BS Phầ V : HÌNH HỌC KHÔNG GIAN + thức : BM AB BC + BM OB BS + + ( a ) a a a a a. ( Đề thi HSG Tỉh Vĩh Phúc ăm 00 ). Cho hìh chóp S.ABCD có đáy ABCD là hì h chữ hật, AB a ; BC a. Cạh bê SA vuôg góc với đáy và SAb. Gọi M là trug điểm SD, N là trug điểm AD. a) Chứg mih AC vuôg góc với mặt phẳg (BMN) b) Gọi (P) là mặt phẳg đi qua B, M và cắt mặt phẳg (SAC) theo một đườg thẳg vuôg góc với BM. Tíh theo a, b khoảg cách từ S đế mặt phẳg (P). Lời giải : Đặt AS ;AB y;ad z.y y.z z. 0; b; y a; z a Ta có : AC AD + AB y + z và BN AN AB z y (a Do đó : AC. BN z y ) a 0 AC BN Lại do : MN SA MN AC Hay : AC (BMN) AC BM Giả sử (P) cắt (SAC) theo giao tuyế (d) BM Mà do (d) và AC đồg phẳg (d)/ /(AC) Gọi O (AC) (BD) Trog mặt phẳ g (SDB) : SO cắt BM tại I. Qua I kẻ đườg thẳg (d) // (AC) cắt SA, SC lầ lượt tại H, K. Mặt phẳg (MHBK) là mặt phẳg (P) cầ dựg. Lại vì : I là trọg tâm tam giác SDC và HK//AC ê : SH SK SI () SC SA SO Theo côg thức tíh tỷ số thể tích ta có : VSMBK SM SB SK VSMHB SM SH SB.. ;.. V SD SB SA V SD SC SB SDBA SDCB VSABCD a b VSKMHB VSKMB + VSMHB VSDBA () 9 Ta lại có : SKMHB SMKH + S BKH MI.HK BI.HK BM.HK + ().a Mà : HK AC a + (a ) ; BM AM AB ( AS + AD) AB ( + z) y b + 6a ( BM) ( + z ) + y b + a BM () b + 6a a a (b + 6a ) Từ (), () suy ra : S KMHB. (5) 6 VSKMHB 8a b ab Từ (), (5) suy ra : d(s,(p)) S KMHB 9a. ( b + 6a ) (b + 6a ) 5. ( Đề thi HSG Tỉh Bìh Phước ăm 00 ). Cho hìh lập phươg ABCD.A B C D có cạh bằg a. Trê AB lấy điểm M, trê CC lấy điểm N, trê D A lấy điểm P sao cho : AM CN D'P (0 a). a) CMR tam giác MNP là tam giác đều, tìm để diệ tích tam giác ày hỏ hất. a b) Khi hãy tí h thể tích khối tứ diệ B MNP và bá kíh mặt cầu goại tiếp tứ diệ. MATHVN.COM Phạm Kim Chug THPT ĐẶNG THÚC HỨA ĐT : 098..00 Mail : p.kimchug@gmail.com Tr. 5
6 Phầ V : HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 6. ( Đề thi HSG Tỉh Bà Rịa Vũg Tàu ăm 008 ). Cho tứ diệ ABCD có các cạ h ABBCCDD Aa, AC ; BD y. Giả sử a khôg đổi, ác địh tứ diệ có thể tích lớ hất. 7. ( Đề thi HSG Tỉh Bà Rịa Vũg Tàu ăm 009 ) Cho khối tứ diệ ABCD có thể tích V. Điểm M thuộc miề trog tam giác ABC. Các đườg thẳg qua M so g sog với DA, DB, DC theo thứ tự cắt các mặt phẳg (DBC), (DCA), (DAB) tươg ứg tại A ; B ; C. MA MB MC a) Chứg mih rằg : + + DA DB DC b) Tíh giá trị lớ hất của khối tứ diệ MABC khi M thay đổi. 8. ( Đề thi HSG Tỉh Hải Phòg ăm 00 ). Cho tứ diệ OABC có OA, OB, OC đôi một vuôg góc. Gọi αβγ ; ; lầ lượt là góc tạo bởi các mặt phẳg OBC, OAC, OAB với mặt phẳg (ABC ). a) Chứg mih rằg : ta α+ ta β+ ta γ+ ta α.ta β.ta γ b) Giả sử OCOA+OB. Chứg mih rằg : 0 OCA + OCB + ACB 90 9. ( Đề thi HSG Tỉh Nghệ A ăm 008 ). Cho tứ diệ ABCD có AB CD, AC BD, AD BC và mặt phẳg (CAB) vuôg góc với mặt phẳg (DAB). Chứg mih rằg: CotBCD.CotBDC. Lời giải : Đặt : BCD α ; BDC β Ta có : BAC BDC β ABC DCB ABC BCD α BAD BCD α CBD ADB ABD CDB β Gọi H là hìh chiếu của C lê AB. Đặt HC. CBA DAB Do CH DH (CBA) (BDA) HC HC Trog tam giác vuôg BHC : si α BC AD BC siα siα HC taα BH BH BH taα. HC HC Trog tam giác vuôg AHC : si β AC BD AC siβ siβ. HC taβ AH AH AH taβ Trog tam giác BCD : CD BC + BD BC.BD.cos( π α β ) + +. cos( α+β) Lại có : HD AH + AD AH. AD.cosα () si α si β siα siβ HD..cos ta β + si α taβ siα α () Mà tam giác CHD vuôg ê : () + ( ) CD CH + HD. cos ( )..cos si + si + si si α+β + α β α β ta β + si α taβ siα α ( + cot α ) + ( + cot β ) + (cot α.cotβ ) + cot β+ ( + cot α) cot α.cotβ cot α.cotβ ĐÁP ÁN CỦA SỞ GD&ĐT : MATHVN.COM Phạm Kim Chug THPT ĐẶNG THÚC HỨA ĐT : 098..00 Mail : p.kimchug@gmail.com Tr. 6
7 Phầ V : HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Đặt AD BC a,ac BD b,ab CD c,bac A,ABC B,ACB C. Ta có ABC họ và ABC D CB CDA BAD. Suy ra BCD ABC B;ABD BDC CAB A, ( ) Hạ CM AB, vì ( CAB) ( DAB) ê ( ) + ( ) CM DAB CM MD CM DM CD,. áp dụg địh lí cosi cho tam giác BMD ta được MD BM + BD BM.BD.cosMBD, ( ) Từ (), (), () ta được CM + BM + BD BM.BD.cos A CD BC + BD BM.BD.cos A CD a + b abcos A.cosB c cosc cos A.cosB si A.siB cos A.cosB cot A.cot B. 0. ( Đề thi HSG Tỉh Nghệ A ăm 008 ).Cho khối chóp S. ABCD có đáy ABCD là hìh bìh hàh. Gọi M, N, P lầ lượt là trug điểm của các cạh AB, AD, SC. Chứg mih rằg mặt phẳg (MNP) chia khối chóp S.ABCD thàh hai phầ có thể tích bằg hau.. ( Đề thi HSG Tỉh Nghệ A ăm 009 ). Cho tam giác ABC, M là một điểm trog tam giác ABC. Các đườg thẳg qua M sog sog với AD, BD, CD tươg ứg cắt các mặt phẳg (BCD), (ACD), (ABD) lầ lượt tại A, B, C. Tìm M sao cho MA'.MB'.MC' đạt giá trị lớ hất. Lời giải : Đặt V DABC V; VMABD VC; VMA DC VB; VMBC VA VA + VB + VC V và : DA a; BD b; DC c; MA' ;MB' y;mc' z Ta có : VC d(c,(adb)) MC' z VA VB y y z ; tươg tự : ; + + V d(m,(adb)) CD c V a V b a b c y z yz abc Áp dụg bất đẳg thức AM-GM : + + yz. Dấu ảy ra a b c abc 7 y z a b c Do đó : MA'.MB'.MC' đạt giá trị lớ hất khi và chỉ khi M là trọg Tâm tam giác ABC. Lời giải : Đặt : DA a; BD b; DC c; MA' ;MB' y;mc' z A'M BM y Ta có : A M.DA DA ; B M.DB.DB ; DA a DB b ĐÁP ÁN SỞ GD& ĐT : MATHVN.COM Phạm Kim Chug THPT ĐẶNG THÚC HỨA ĐT : 098..00 Mail : p.kimchug@gmail.com Tr. 7
8 Phầ V : HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Trog mặt phẳg (ABC) : AM BC {A}; BM AC {B}, CM AB {C} Trog (DAA) : Kẻ đườg thẳg qua M sog sog với AD cắt DA tại A Xét tam giác DAA có MA // AD ê Tươg tự ta có MB' MB S DB BB S MA' MB' MC' DA DB DC MA' MA S DA AA S MBC ABC MC' MC S MAC MAB, DC CC ABC S ABC Suy ra + + ( dos + S + S S ) MBC MAC MAB ABC MA' MB' MC' MA' MB' MC' Ta có + +.. DA DB DC DA DB DC Suy ra MA.MB.MC DA.DB.DC (khôg đổi) 7 Vậy giá trị lớ hất MA.MB.MC là DA.DB.DC, đạt được khi 7 MA' MB' MC' MA MB MC DA DB DC AA BB CC Hay M là trọg tâm tam giác ABC. ( Tạp chí THTT : T0/78 ; T0/88 ). Cho tứ diệ S.ABC với SAa; SB b ; SC c. Một mặt phẳg ( α ) thay đổi đi qua trọg tâm của tứ diệ cắt các cạh SA, SB, SC tại các điểm SA, SB, SC tại các điểm D, E, F tươg ứg. a) Tìm giá trị hỏ hất của các biểu thức : + + SD SE SF b) Với đk : abc, tìm giá trị lớ hất của : + + SD.SE SE.SF SF.SD Lời giải : Đặt : SD ; SE y ; SF z SA a G là trọg tâm tứ di ệ ê : SG ( SA + SB + SC ).SD.SD SD a b c Do D,E,F, G đồg phẳg ê : + +. Từ đó ta có : y z a b c 6 a + b + c + + () + + 6 + + y z y z y z a + b + c ( ) a + b + c a a + b + c Dấu bằg ảy ra y b a + b + c z c. ( Đề thi HSG Tỉh Nghệ A ăm 009 ). Cho tứ diệ ABCD có độ dài các cạh bằg. Gọi M, N lầ lượt là trug điểm của BD, AC. Trê đườg thẳg AB lấy điểm P, trê DN lấy điểm Q sao cho PQ sog sog với CM. Tíh độ dài PQ và thể tích kh ối AMNP. Lời giải : AP Giả sử : AB ;AC y;ad z và : m;aq.ac ( )AD AB + Ta có :.y y.z z. Lúc đó : MATHVN.COM Phạm Kim Chug THPT ĐẶNG THÚC HỨA ĐT : 098..00 Mail : p.kimchug@gmail.com Tr. 8
9 Phầ V : HÌNH HỌC KHÔNG GIAN AC y;am ( + z );AP m.;aq.an + ( )zad.y + ( )z Suy ra : CM AM AC ( y + z) PQ AQ AP m + y + ( )z k m Do CM // PQ ê : PQ kcm k k k Vậy : PQ ( y z ) PQ ( ) y z PQ 9 ĐÁP ÁN CỦA SỞ GD&ĐT : Trog mặt phẳg (ACM) kẻ NI // CM (I AM) Trog mặt phẳg (BCD) kẻ BK // CM (K CD) Trog (ABD) DI cắt AB tại P Trog (AKD) DN cắt AK tại Q PQ là giao tuyế của (DNI) và (ABK), do NI // CM, BK // CM ê PQ // CM Gọi E là trug điểm PB, ME là đườg trug bìh tam giác BPD ê ME // PD hay ME // PI Mặt khác từ cách dựg ta có I là trug điểm AM ê P là trug điểm AE. Vậy AP PE EB Suy ra AP AB MC là đườg trug bìh tam giác DBK ê BK CM Suy ra AMCB PQ AP PQ BK AB BK VAMNP AM AN AP... V AM AC AB 6 V AMCB V ABCD (Do M là trug điểm BD) ABCD là tứ diệ đều có độ dài cạh bằg ê V ABCD (đvtt) Suy ra V AMCB.. Vậy V AMNP V AMCB (đvtt) 6. ( Đề dự bị khối D 008 ). Cho tứ diệ ABCD và các điểm M, N, P lầ lượt thuộc các cạh BC, BD, AC sao cho BC BM; AC AP; BD BN. Mặt phẳg (MNP) cắt AD tại Q. Tíh tỷ số AQ và tỷ số thể tích hai phầ của khối AD tứ diệ ABCD được phâ chia bởi (MNP). Lời giải : Đặt : AB b;ac c; AD d Ta có : MATHVN.COM Phạm Kim Chug THPT ĐẶNG THÚC HỨA ĐT : 098..00 Mail : p.kimchug@gmail.com Tr. 9
0 Phầ V : HÌNH HỌC KHÔNG GIAN BC BM ( AC AB) ( AM AB) AM b + c () AN ( b + d ) () AC AP AP c () Do C,D,I và M, N, I thẳg hàg ê : AI mac + ( m)ad mc + ( m)d b + c + ( ) b + d AI AM ( )AN + m AI AD AC ID DI CD m IC AI AM AN m + NI MN IN c AI 0 d + + IM Giả sử : AQ kad. Do P, Q, I thẳg hàg ê : p p p p 5 AQ pap + ( p)ai kd c + ( p) c + d 5AQ AP + AI PQ QI ( p) k k 5 Suy ra : QI PI 5 VIQND IQ IN ID VQPMCDN Ta lại có :.... () V IP IM IC 5 5 V 5 Mà : IPMC ( ) ( ) IPMC V d A,(BCD).S AC CB.CD.siC V PC MC.CI.siC ABCD BCD... (5) PMCI d P,(MIC).SMIC VPQDNMC VPQDNMC Từ () và (5) suy ra : VABCD 5 0 VABMPQN 7 5. ( Đề thi HSG Tỉh Hà Tĩh ăm 008). Cho hìh chóp tứ giác đều S.ABCD có góc giữa mặt bê và đáy là α. Vẽ đườg cao SH của hìh chóp, gọi E là điểm thuộc SH và có khoảg cách tới hai mặt phẳg (ABCD) và (SCD) bằg hau. Mặt phẳg (P) đi qua E, C, D cắt SA, SB tại M, N. a) Thiết diệ là hìh gì? b) Gọi thể tích các khối tứ diệ S.NMCD và ABCDNM lầ lượt là V, V. Tìm α để V 5V. 6. ( Đề thi chọ ĐT HSG QG tỉh Quảg Bìh ăm 00 ). Cho tứ diệ ABCD. Gọi trug điểm của AB, CD lầ lượt là K, L. Chứg mih rằg bất kỳ mặt phẳg ào đi qua KL đều chia khối tứ diệ ày thàh phầ có thể tích bằg hau. 7. ( Đề thi HSG Thàh Phố Cầ Thơ ăm 008 ). Trog khôg gia cho hìh chóp S.ABC, trọg tâm ABC là G. Trug điểm của SG là I. Mặt phẳg ( α ) đi qua I cắt các tia SA, SB, SC lầ lượt tại M, N, P ( Khôg trùg với S ). Xác địh vị trí của mặt phẳg ( α ) để thể tích khối chóp S.PMN là hỏ hất. 8. ( Đề thi HSG Tỉh Hải Dươg ăm 008 ). Cho hì h lập phươg AB C D.ABC D cạh bằg. Lấy các điểm M, N, P, Q, R, S lầ lượt thuộc các cạh AD, AB, BB, BC, CD, DD. Tìm giá trị hỏ hất của độ dài đườg gấp khúc khép kí MNPQRSM. 9. Cho hìh chóp tứ giác S.ABCD, có đáy ABCD là một hìh bìh hàh. Gọi G là trọg tâm của tam giác SAC. M là một điểm thay đổi trog miề hìh bìh hàh ABCD.Tia MG cắt mặt bê của hìh chóp S.ABCD tại điểm N. Đặt: Q MG + NG NG MG a) Tìm tất cả các vị trí của điểm M sao cho Q đạt giá trị hỏ hất. b) Tìm giá trị lớ hất của Q. 0. Trog mặt phẳg (P) cho tam giác ABC. Lấy điểm S khôg thuộc (P). Nối SA, SB, SC. I là một điểm bất kỳ trog tam giác, gọi AI cắt BC tại A, CI cắt AB tại C, BI cắt AC tại B. Kẻ IA //SA, IB //SB, IC//SC SA SB SC ( A (SBC);B (SAC); C (SAB) ). CMR : + + 6 AA BB CC MATHVN.COM Phạm Kim Chug THPT ĐẶNG THÚC HỨA ĐT : 098..00 Mail : p.kimchug@gmail.com Tr. 0
Phầ V : HÌNH HỌC KHÔNG GIAN. ( Đề thi HSG Tỉh Đồg Tháp ăm 009 ).Cho hìh chóp S. ABCD có đáy ABCD là ửa lục giác đều ội tiếp đườg trò đườg kíh AD a. SA vuôg góc với mp ( ABCD ) và SA a 6. a) Tíh khoảg cách từ A và B đế mp ( SCD ). b) Tíh diệ tích của thiết diệ của hìh chóp S.ABCD với mp ( α ) sog sog với mp ( SAD) và cách a mp (SAD) một khoảg bằg.. Cho tứ diệ OABC với OA a, OB b, OC c và OA, OB, OC đôi một vuôg góc với hau. Tíh diệ tích tam giác ABC theo a, b, c. Gọi αβγ,, là góc giữa OA, OB, OC với mặt phẳg ( ABC). Chứg mih rằg: si α+ si β+ si γ.. Cho hai ửa đườg thẳg A, By chéo hau và hậ AB làm đoạ vuôg góc chug. Các điểm M, N lầ lượt chuyể độg trê A, By sao cho AM+BN MN. Gọi O là trug điểm AB, H là hìh chiếu của O uốg MN. a) Chứg mih rằg H ằm trê một đườg trò cố địh. 5. Khi M khác A, N khác B 6. Cho hìh lập phươg ABCD.A B C D có các cạh bằg a. Với M là một điểm thuộc cạh AB, chọ điểm N thuôc cạh D C sao cho AM+D Na a). Chứg mih đườg thẳg MN luô đi qua điểm cố địh khi M thay đổi. b). Tíh thể tích của khối chóp B.A MCN theo a. Xác địh vị trí của M để khoảg cách từ B tới (A MCN) đạt giá trị lớ hất. Tíh khoảg cách lớ hất đó theo a. 7. Cho hìh tứ diệ OABC a) Gọi M là một điểm bất kỳ thuộc miề trog của hìh tứ diệ OABC và ; ; ; ; lầ lượt là khoảg cách từ M đế bố mặt (ABC), (OBC), (OAC) và (OAB). Gọi h ; h ; h ; h lầ lượt là chiều cao của các hìh chóp tam giác O.ABC; A.OBC; B.OAC và C.OAB. Chứg mih tổg + + + là một hằg số. h h h h V b) Các tia OA, OB, OC đôi một hợp với hau m V ột góc 600. OA a. Góc BAC bằg 90 0. Đặt OB+OC m. (m >0, a > 0). Chứg mih m > a. Tíh thể tích khối tứ diệ OABC theo m và a 5. Cho tứ diệ ABCD có độ dài các cạh AB, CD lớ hơ và độ dài các cạh cò lại hỏ hơ hoặc bằg. Gọi H là hìh chiếu của A trê mặt phẳg (BCD); F, K lầ lượt là hìh chiếu của A, B trê đườg thẳg CD. CD a) Chứg mih: AF -. b) Tíh độ dài các cạh của tứ diệ ABCD khi tích P AH.BK.CD đạt giá trị lớ hất. 6. a) Cho hìh chóp S.ABC có đáy ABC vuôg tại A, biết AB a, AC a ; Đườg cao hìh chóp là SA a ; M là điểm trê đoạ BC sao cho BM BC. Tíh khoảg cách giữa hai đườg thẳg AM và BS b) Cho hai ửa đườg thẳg A, By chéo hau. Hai điểm C, D thay đổi lầ lượt ở trê A và By sao cho: +.Chứg mih rằg: mặt phẳg (P) chứa CD và sog sog với AB luô luô đi qua một điểm cố địh I AC BD AB trog mặt phẳg (Q) chứa A và (Q) sog sog By. 7. ( Đề thi HSG Tỉh Trà Vih ăm 009 ).Cho hìh chóp tam giác đều S.ABC có cạh đáy ABa, cạh bê SAb. Gọi M,N lầ lượt là trug điểm AB và SC. Một mặt phẳg ( α ) thay đổi quay ug quah MN cắt các cạh SA và BC theo thứ tự ở P và Q khôg trùg với S. AP b ) Chứg mih rằg BQ a ) Xác địh tỉ số AP sao cho diệ tích MPNQ hỏ hất AS 8. Cho tứ diệ ABCD có bá kíh đườg trò goại tiếp các mặt đều bằg hau. Chứg mih rằg các cạh đối diệ của tứ diệ đều bằg hau. 9. Cho tứ diệ ABCD có các đườg cao AA' ;BB';CC';DD' đồg quy tại một điểm thuộc miề trog của tứ diệ. Các đườg thẳg AA' ;BB';CC';DD' lại cắt mặt cầu goại tiếp tứ diệ ABCD theo thứ tự là A ;B ;C ;D. AA' BB' C ' C DD' 8 + + +. AA BB CC DD MATHVN.COM Phạm Kim Chug THPT ĐẶNG THÚC HỨA ĐT : 098..00 Mail : p.kimchug@gmail.com Tr.
Phầ V : HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 50. Cho tứ diệ ABCD có AB vuôg góc với AC và châ đườg vuôg góc hạ từ A đế mặt phẳg (BCD) là trực tâm tam giác BCD. Chứg mih rằg : ( BC + CD + DB) 6( AB + AD + AC ) 5. ( Đề thi HSG TP Hà Nội ăm 00 ). Cho tứ diệ ABCD DAa, DBb, DCc đôi một vuôg góc với hau.một điểm M tuỳ ý thuộc khối tứ diệ. a).gọi các góc tạo bởi tia DM với DA, DB, DC là αβ,., γ.cmr : si α+ si β+ si γ b).gọi S A,S B,S C,S lầ lượt là diệ tích các mặt đối diệ với đỉh A, B, C, D của khối tư diệ. Tìm giá trị D hỏ hất của biểu thức: Q MA.SA + MB.SB + MC.SC + MD.SD 5. ( Đề thi HSG TP Hà Nội ăm 005 ).Hìh chóp S.ABC có các cạh bê đôi một vuôg góc và SA a, SBb, SCc. Gọi A, B, C là các điểm di độg lầ lượt thuộc các cạh SA, SB, SC hưg luô thỏa mã SA.SA SB.SB SC.SC. Gọi H là trực tâm của tam giác A B C và I là giao điểm của SH với mặt phẳg (ABC). a) Chứg mih mặt phẳg (A B C ) sog sog với một mặt phẳg cố địh và H thuộc một đườg thẳg cố địh. b) Tíh IA +IB +IC theo a, b, c. 5. ( Đề thi HSG TP Hà Nội ăm 006 ).Cho tứ diệ đều ABCD có cạh bằg. Các điể M, N lầ lượt chuyể độg trê các đoạ AB, AC sao cho mặt phẳg (DMN) luô vuôg góc với m ặt phẳg (ABC). Đặt AM, ANy. a). Cmr: mặt phẳg (DMN) luô chứa một đườg phẳg cố địh và : + y y. b). Xác địh vị trí của M, N để diệ tích toà phầ tứ diệ ADMN đạt giá trị hỏ hất và lớ hất.tíh các giá trị đó. 5. ( Đề thi HSG TP Hà Nội ăm 008 ). Cho hìh chóp S.ABCD có SA là đườg cao và đáy là hìh chữ hật ABCD, biết SA a, AB b, AD c. a) Trog mặt phẳg (SBD), vẽ qua trọg tâm G của tam giác SBD một đườg thẳg cắt cạh SB tại M và cắt cạh SD tại N. Mặt phẳg (AMN) cắt cạh SC của hìh chóp S.ABCD tại K. Xác địh vị trí của M trê cạh SB sao cho thể tích của hìh chóp S.AMKN đạt giá trị lớ hất, hỏ hất. Tíh các giá trị đó theo a, b, c. b) Trog mặt phẳg (ABD), trê tia At là phâ giác trog của góc BAD ta chọ một điểm E sao cho góc BED b ( + c ) + b ( + c) bằg 5 0. Cmr: AE 55. Cho hì h chóp S.ABCD, đáy là hìh bìh hàh tâm O. Hai mặt bê SAB và SCD vuôg góc tại A và C cùg hợp với đáy góc α. Biết ABC ϕ. Chứg mih SBC và SAD cùg hợp với đáy ABCD một góc β thỏa mã hệ thức : cotβ cot α.cosϕ. 56. Cho hìh chóp S.ABC, đáy ABC là tam giác vuôg tại B với ABa, SA vuôg góc với mặt phẳg (ABC) ; mặt (SAC) hợp với mặt phẳg (SAB) một góc α và hợp với mặt phẳg (SBC) một góc β. Chứg mih rằg : acosβ SA cos[ π ( α+ β)]. cos( α β) 57. Cho hìh chóp S.ABCD có đáy ABCD là hìh chữ hật ; SA vuôg góc với mặt phẳg MATHVN.COM Phạm Kim Chug THPT ĐẶNG THÚC HỨA ĐT : 098..00 Mail : p.kimchug@gmail.com Tr.
Phầ VI : MỘT SỐ ĐỀ KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN PHẦN VI : MỘT SỐ ĐỀ KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN SỞ GD&ĐT NGHỆ AN TRƯỜNG THPT ĐẶNG THÚC HỨA Giáo viê ra đề : Phạm Kim Chug BÀI KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG ĐỘI TUYỂN THAM GIA KỲ THI HSG TỈNH NĂM HỌC 00 0 ( Lầ thứ ) Thời gia làm bài : 80 phút ( ) ( + ) + Câu. Giải phươg trìh : l + Câu. Xác địh tất cả các giá trị của tham số m để hệ phươg trìh sau có ghiệm duy hất : m y + y m y + Câu. Cho a,b,c > 0. Tìm giá trị hỏ hất của biểu thức : a b + c 8c P + a + b + c a + b + c a + b + c ( ) Câu. Cho dãy số, N*, được ác địh hư sau : y + +... +. Tìm lim y. + và, ( + ) + + N*. Đặt Câu 5. Cho hìh chóp S.ABCD có SA là đư ờg cao và đáy là hìh chữ hật ABCD, biết SA a, AB b, AD c. Trog mặt phẳg (SBD), vẽ qua trọg tâm G của tam giác SBD một đườg thẳg cắt cạh SB tại M và cắt cạh SD tại N. Mặt phẳg (AMN) cắt cạh SC của hìh chóp S.ABCD tại K. Xác địh vị trí của M trê cạh SB sao cho thể tích của hìh chóp S.AMKN đạt giá trị lớ hất, hỏ hất. Tíh các giá trị đó theo a, b, c. Câu 6. Cho hìh lập phươg AB CD.ABC D có độ dài bằg. Lấy điểm E AA sao cho AE. Lấy điểm F BC sao cho BF. Tìm khoảg cách từ B đế mặt phẳg FEO ( O là tâm của hìh lập phươg ). ( + ) ( 0 + ) ( ) ( ) Câu 7. Tìm hàm số f : 0; ; thoả mã : f f(y) f f(y),, y ( 0; + ) Hết Thah Chươg,gày 0 thág ăm 00 MATHVN.COM Phạm Kim Chug THPT ĐẶNG THÚC HỨA ĐT : 098..00 Mail : p.kimchug@gmail.com Tr.
Phầ VI : MỘT SỐ ĐỀ KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ ĐÁP SỐ ( ) ( + ) + Câu. Giải phươg trìh : l + () Lời giải : Điều kiệ : > Lúc đó : PT ( + )l( + ) + ( + )l( + ) 0 ( ) ) Xét hàm số : f() + l( +, > Ta có : f'() l( + ) ; f ''() + + ; f '''() < 0, > ( ) Lại có : f ''(0) 0, f '''(0) < 0 ê hàm số g() f'() đạt cực đại tại 0 Do đó : f '() f (0) 0, > Vậy hàm số f() ( + ) l( + ) ghịch biế trê khoảg ( ; ) phươg trìh (), suy ra phươg trìh có ghiệm duy hất 0. +. Nhậ thấy 0 là một ghiệm của Câu. Xác địh tất cả các giá trị của tham số m để hệ phươg trìh sau : y m y + y m + có ghiệm duy hất. Lời giải : Điều kiệ : / 0;y / 0 y y + m Hệ đã cho tươg đươg với : (*) y + m Từ hệ (*) hậ thấy vế trái của các phươg trìh khôg âm, ê ếu hệ có ghiệm (,y) thì : > 0,y > 0 y > 0 Do đó : (*) y y m m () ( y)(y y) 0 + + Do đó bài toá trở thàh tìm tham số m để phươg trìh () có ghiệm dươg duy hất. Xét hàm số : Ta có : f(), > 0 0 f '() 6 ; f '() 0 > 0;y > 0 MATHVN.COM Phạm Kim Chug THPT ĐẶNG THÚC HỨA ĐT : 098..00 Mail : p.kimchug@gmail.com Tr.
5 Phầ VI : MỘT SỐ ĐỀ KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN Nhì vào bảg biế thiê ta thấy, phươg trìh () có ghiệm dươg duy hất khi và chỉ khi : m R hệ phươg trìh đã cho có ghiệm duy hất. m 0. Vậy với mọi Câu. Cho a,b,c > 0. Tìm giá trị hỏ hất của biểu thức : a b + c 8c P + a + b + c a + b + c a + b + c Lời giải : a + b + c a y + z Đặt : y a + b + c b 5 y z(, y,z > 0) z a b c + + c z Lúc đó : ( y + z ) y 8(z ) y z 8 P + + + + 7 y z y z Dấu ảy ra khi và chỉ khi : ( ), N* + a t y 0 7 b t t z c ( ) t Câu. Cho dãy số được ác địh hư sau : y + +... +. Tìm lim y + ( R,t > 0) 8 + 7 7 và, ( + ) + + N*. Đặt Lời giải : v Từ : + ( + ) +. Đặt : v, ta có : ( + ) + + u v+ ( + ) + v ( + )( + ) Dễ dàg tìm được côg thức tổg quát của dãy : v+ Do đó : + suy ra : v + + + (+ ) + + y + +... + +.... +.. + + + + + + + ( ) + + + Do đó : lim y lim + + + Câu 5. Cho hìh chóp S.ABCD có SA là đườg cao và đáy là hìh chữ hật ABCD biết SA a, AB b, AD c. Trog mặt phẳg (SBD) vẽ qua trọg tâm G của tam giác SBD một đườg thẳg cắt cạh SB tại M và cắt cạh SD tại N. Mặt phẳg (AMN) cắt cạh SC của hìh chóp S.ABCD tại K. Xác địh vị trí của M trê cạh SB sao cho thể tích của hìh chóp S.AMKN đạt giá trị lớ hất hỏ hất. Tíh các giá trị đó theo a, b, c. Lời giải : Do G là trọg tâm tam giác SDB, suy ra G cũg là trọg tâm tam giác SAC. Do đó AG cắt SC tại trug điểm K của SC. MATHVN.COM Phạm Kim Chug THPT ĐẶNG THÚC HỨA ĐT : 098..00 Mail : p.kimchug@gmail.com Tr. 5
6 Phầ VI : MỘT SỐ ĐỀ KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN Đặt : SM SN, y ; y SB SD Theo côg thức tíh tỷ số thể tích ta có : VSADC V SACD VSABC abc và : V SANK + VSAKM V. Nê ta có : SANKM 6 VSANK VSAKM VSANKM + y abc(+ y) + V (*) SANKM V V V SADC SACB SABCD VSANK SA SN SK y VSAKM SA SK SM.. ;.. Lại có V SA SD SC V SA SC SB Ta lại có : SN SM SN SD ysd; SM SB SB; SG SO SD SB SO SD + SB SG SN SM y + Vì O là trug điểm của BD ê : () Mà : M, N, G thẳg hàg ê từ () ta có : y + y y y Thay vào (*) suy ra : V SANKM y f(y) y y Xét hàm số : y y Ta có : f '(y) ; f '(y) 0 y. Bảg biế thi ê : ( y ) SADC y abc + y y abc y 8 y SACB y Nhì vào bảg biế thiê ta thấy : Mif(y) y ; Maf(y) 9 y Từ đó ta có : abc Ma( VSANKM ) MN / /BD 9 Mi V ( ) SANKM abc M là trug điểm SB, hoặc N là trug điểm SD. 8 Câu 6. Cho hì h lập phươg AB CD.A B C D có độ dài bằg. Lấy điểm E AA sao cho F BC sao cho AE. Lấy điểm BF. Tìm khoảg cách từ B đế mặt phẳg FEO ( O là tâm của hì h lập phươg ). Lời giải : Chọ hệ trục tọa độ Iyz sao cho I A(0;0;0);A (0;0;);D(;0;0);B(0;;0) MATHVN.COM Phạm Kim Chug THPT ĐẶNG THÚC HỨA ĐT : 098..00 Mail : p.kimchug@gmail.com Tr. 6