Ασκήσεις Αριθµητικής Ανάλυσης και Στοιχεία Θεωρίας

Ασκήσεις Αριθµητικής Ανάλυσης και Στοιχεία Θεωρίας Τµήµα Μηχ. Η/Υ και Πληροφορικής Πανε ιστήµιο Πατρών Χρήστος Α. Αλεξό ουλος Πάτρα Ιούνιος 7 Πανεπιστήμιο Πατρών -- 6//9

Το παρόν φυλλάδιο περιλαµβάνει λυµένες ασκήσεις και µερικά επιλεγµένα στοιχεία θεωρίας που αφορούν στην ύλη των κεφαλαίων Ι, ΙΙ, ΙΙΙ και VI του διδακτικού βιβλίου «Εισαγωγή στις Αριθµητική Ανάλυση και Περιβάλλοντα Υλοποίησης» του Χ. Αλεξόπουλου (διδάσκοντος), το οποίο διανέµεται στους Β ετείς φοιτητές του Τµήµατος Μηχ. Η/Υ και Πληροφορικής. Σκοπός του είναι να δώσει ένα συµπληρωµατικό εφόδιο και εργαλείο στους φοιτητές για την κατανόηση βασικών στοιχείων και εννοιών της Αριθµητικής Ανάλυσης,, να τους φέρει πιο κοντά σε πεδία εφαρµογών και να βοηθήσει στην εµβάθυνση στη σχετική ύλης. Με αυτή την έννοια µπορεί να θεωρηθεί ως συµπληρωµατικό βοήθηµα σε σχέση µε το εν λόγω διδακτικό βιβλίο. Οι περισσότερες ασκήσεις έχουν τεθεί σε διάφορες γραπτές εξετάσεις (εξεταστικών περίοδων ή πρόοδων) του µαθήµατος «Αριθµητική Ανάλυση και Περιβάλλοντα Υλοποίησης». Για καλύτερη εµπέδωση της ύλης,, οι ασκήσεις περιλαµβάνουν σε ορισµένα σηµεία πρόσθετες ερωτήσεις και εναλλακτικούς τρόπους απαντήσεων, στο πνεύµα πάντα των παραδόσεων και του διδακτικού βιβλίου, στο οποίο γίνονται κατ ευθείαν αναφορές, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο. Η συνδροµή της γλώσσας Mtlb (και του περιβάλλοντός της) κρίνεται χρήσιµη έως και αναγκαία σε πολλές περιπτώσεις, όπως άλλωστε απαιτεί και το µάθηµα. Συχνά, στα πλαίσια των υπολογισµών που περιλαµβάνονται στις απαντήσεις των ασκήσεων, ο αναγνώστης, ενθαρύνεται ή και παρακινείται να ανατρέξει για επαλήθευση και για περισσότερες ιδέες σε ενδογενή χαρακτηριστικά και εντολές που υλοποιούν στοιχειώδεις µαθηµατικούς υπολογισµούς της Γραµµικής Άλγεβρας και της Αριθµητικής Ανάλυσης ή ακόµα και σε πηγαίο κώδικα που περιλαµβάνεται στα αντίστοιχα κεφάλαια ή στο παράρτηµα Β (Εισαγωγή στο Mtlb) του βιβλίου. Τέλος, θα πρέπει να τονιστεί ότι, για την κατανόηση της µεθοδολογίας, προαπαιτείται ένα ικανό γνωστικό υπόβαθρο από την Γραµµική Άλγεβρα (πράξεις και ιδιότητες πινάκων, απαλοιφή Guss, διάσπαση LU, ιδιοτιµές και ιδιοδιανύσµατα κλπ.), όπως και από την Κλασσική Μαθηµατική Ανάλυση. Πανεπιστήμιο Πατρών -- 6//9

Περιεχόµενα Σελ. Ε αναλη τικές τεχνικές ε ίλυσης µη γραµµικών εξισώσεων Άσκηση.. Άσκηση.. Άσκηση 3.. Άσκηση 4.. Άσκηση 5.. Άσκηση 6.. Γραµµικά Συστήµατα- ιασ άσεις-ανάλυση Σφάλµατος-Νόρµες Άσκηση 7.. Άσκηση 8.. Άσκηση 9.. Άσκηση. Άσκηση. Άσκηση. Άσκηση 3. Άσκηση 4. Άσκηση 5. Άσκηση 6. Ε αναλη τικές Μέθοδοι για γραµµικά συστήµατα Άσκηση 7. Άσκηση 8. Άσκηση 9. Άσκηση. Άσκηση. Άσκηση. Άσκηση 3. Στοιχεία Θεωρίας Παρα οµ ές. Θετικά Ορισµένα Μητρώα.. Συµπληρωµατικά στοιχεία για τις επαναληπτικές µεθόδους Guss-Seidel και Jobi. 3. Νόρµες Μητρώων.. Ευρετήριο. Βιβλιογραφία-Αναφορές Πανεπιστήμιο Πατρών -3-6//9

Επαναληπτικές τεχνικές επίλυσης µη γραµµικών εξισώσεων Άσκηση Σε ποιο διάστημα βρίσκονται οι αριθμοί που προσεγγίζουν τον αριθμό 6 με ακρίβεια 5 σημαντικών ψηφίων; Απ: Από τον ορισµό της ακρίβειας λαµβάνουµε την ανισότητα: - 3 5*. 3-3 5*..5 -.5-3 <.5 3-.5 3.5 9.85 3.5 Άσκηση Έστω ότι για την εύρεση του (7) /3 χρησιμοποιούμε τη μέθοδο της διχοτόμησης. (Υπόδειξη: το όποια δεδομένα απαιτεί η μέθοδος επιλέγονται από εσάς) α) Βρείτε την 3η προσέγγιση (επανάληψη). β) Δώστε φράγμα για το απόλυτο σφάλμα μετά την ή επανάληψη. Απαντήσεις: α) Ο αριθµός 7 /3 είναι ρίζα της συνάρτησης f() 3-7 η οποία είναι συνεχής σε όλο το R. Επιλέγουµε τώρα ένα διάστηµα (,b) της ρίζας ξ τέτοιο ώστε να ισχύει f()f(b)<. Ας θεωρήσουµε το (.5, ), µε f(.5)f()-3.65<. Λαµβάνουµε τις διαδοχικές προσεγγίσεις:.5, b b: (.5)/.75 και f( )*f(b ) -.646 <, άρα ξ (, b )., b b : (.75)/.875 και f( )*f(b ) -.48<, άρα ξ (, b )., b b : 3 (.875)/.9375 β) Αν e είναι το σφάλµα στην προσέγγιση, γνωρίζουµε ότι ισχύει η ανισότητα e (b - )/ Για λαµβάνουµε: e.5*.384e-7 (µε α.κ.υ. 5 σ.ψ.) Άσκηση 3 Δίνεται η εξίσωση: - 3 3* - 5*. Στα παρακάτω ερωτήματα θεωρούμε ότι ισχύει α.κ.υ. 4 σ.ψ. Πανεπιστήμιο Πατρών -4-6//9

α) Με τη μέθοδο του «εγκλεισμού» των ριζών βρείτε ένα διάστημα [,b], αρκούντως μικρό, στο οποίο να ανήκει μια πραγματική ρίζα της. β) Στη συνέχεια, με εφαρμογή 4 βημάτων της μεθόδου της διχοτόμησης, βρείτε μια προσέγγιση * της παραπάνω ρίζας. γ) Πόσες επαναλήψεις θα χρειαστούν το πολύ για να βρεθεί μια προσέγγιση της ρίζας με απόλυτο σφάλμα e< -4? Δικαιολογείστε την απάντησή σας. δ) Ποιό συγκεκριμένο κριτήριο τερματισμού του αλγορίθμου θα προτείνατε στην περίπτωση σύγκλισης? Απαντήσεις Πανεπιστήμιο Πατρών -5-6//9

Άσκηση 4 α. Ποια είναι η ακολουθία Newto-Rphso για την προσέγγιση της τετραγωνικής ρίζας ε- νός θετικού αριθμού ; β. Βρείτε με την παραπάνω μέθοδο μια προσέγγιση της 7 με ακρίβεια 5 σημ. ψηφίων. Να γραφούν όλες οι ενδιάμεσες προσεγγίσεις και να δικαιολογηθεί το αποτέλεσμα. γ. Ποια είναι η τάξη σύγκλισης της παραπάνω μεθόδου; Και ποια η μαθηματική της σημασία στην περίπτωση αυτή; Απαντήσεις α) Βλ. παράδειγµα βιβλίου. β) Είναι 7, συνεπώς αναζητούµε µια από τις δύο λύσεις της f() -7 (έστω τη θετική) που είναι συνεχώς παραγωγίσιµος σε όλο το R. H ακολουθία N-R είναι: 7,,, Επιλέγουµε o (η αρχική προσέγγιση είναι ακριβής σε ένα σ.ψ.) Εφαρµόζοντας τώρα έλεγχο στο απόλυτο και στο σχετικό σφάλµα αντίστοιχα (βλ. κριτήρια σελίδας I-5 διδακτικού βιβλίου), λαµβάνουµε διαδοχικά: -( -7)/(* ).75 µε -.75.75e και ( - )/ 3.75e- -( -7)/(* ).6477 µε -.3.3e- και ( - )/ 3.7e- 3 -( -7)/(* ).6458 µε 3-.9.9e-3 και ( 3 - )/ 7.76e-4 4 3 -( 3-7)/(* 3 ).6458 µε 4-3 και ( 4-3 )/ Συνεπώς η ζητούµενη προσέγγιση είναι η 3. Χρειάστηκαν συνολικά 5 για την επίτευξη της ζητούµενης ακρίβειας. log 3 επαναλήψεις Γράφημα : Γράφημα της f() -7 στο διάστημα [,3] και επαναλήψεις της μεθόδου Ν-R Πανεπιστήμιο Πατρών -6-6//9

γ) Η τάξη σύγκλισης είναι τετραγωνική, εφ όσον η ρίζα της f() -7 είναι απλή: f (r)r. Τετραγωνική σύγκλιση σηµαίνει ότι, αν e -r είναι το απόλυτο σφάλµα, τότε η ακολουθία e / e συγκλίνει σε ένα θετικό αριθµό. Τότε θα ισχύει και η πρσεγγιστική σχέση: e g () ( h) e όπου g η συνάρτηση επανάληψης (σταθερού σηµείου) στην περίπτωση της Ν-R, g()f()/f () και h ικανοποιητικά κοντά στη ρίζα r. Άσκηση 5 (α) Να υπολογισθεί η μικρότερη πραγματική λύση της εξίσωσης f()3 -e με εφαρμογή του αλγορίθμου Newto-Rphso και με ακρίβεια 4 σ.ψ. Να καθορισθεί αρχικά διάστημα της λύσης με τη βοήθεια γραφικής παράστασης. Για την αρχική προσέγγιση να εφαρμοσθεί η μέθοδος διχοτόμησης ( επαναλήψεις). Να γραφούν τέλος, τα ενδιάμεσα βήματα και να δικαιολογηθεί η τελική προσέγγιση. (β) Ποια είναι η τάξη σύγκλισης της µεθόδου Newto-Rphso, όπως εφαρµόστηκε στο ερώτηµα (α) και τι σηµαίνει αυτό για το σφάλµα; Απάντηση (α) H f είναι προφανώς συνεχής σε ολόκληρο το R. ίνουµε το γράφηµά της f στο διάστηµα [-4, 4], στο οποίο εµφαίνεται ότι υπάρχουν 3 ρίζες. Για τον εντοπισµό τους αναζητούµε τις ρίζες εντός του [,4] µε βήµα (προφανώς είναι f()f(4)<). Λαµβάνουµε διαδοχικά: f(-4)*f(-3).93e3> f(-3)*f(-) 39.755> f(-)*f(-) 3.9> f(-)*f() -.63< f()*f() -.87< f()*f().99> f()*f(3) 3.88> f(3)*f(4) -45.67< Εποµένως οι ρίζες ανήκουν στα διαστήµατα (-,), (,) και (3,4) (το παραπάνω συµπέρασµα µπορεί να εξαχθεί και κατόπιν µελέτης της f ως προς τη µονοτονία και τοπικά ακρότατα). Θεωρούµε τώρα το διάστηµα (-,) της µικρότερης λύσης. Εφαρµόζοντας τη µέθοδο της διχοτόµισης για τον καθορισµό µιας αρχικής προσέγγισης, έχουµε: (-)/ και f(-/)f() -.435 και εποµένως η ρίζα ανήκει στο (-/,). (-/)/-/4-.5 Πανεπιστήμιο Πατρών -7-6//9

Γράφημα. Γράφημα της 3 -e για τον εντοπισμό της μικρότερης ρίζας. Λαµβάνουµε τώρα σαν αρχική προσέγγιση u της µεθόδου Ν-R την, οπότε ο επαναληπτικός τύπος δίνεται: δηλαδή: f ( u ) u u,,,... µε u f '( u ) e u u,,,... µε u -.5 6 e 3 Λαµβάνουµε διαδοχικά τις επαναλήψεις: u -.595, µε u - u.595 u -.468, µε u - u.487 u 3 -.459, µε u 3 - u.8.8*e-4<.5 e-4 και αποµένως απαιτήθηκαν µόνον 3 επαναλήψεις για να επιτευχθεί η ζητούµενη ακρίβεια. (β) Η ρίζα που βρέθηκε είναι απλή. Εποµένως η τάξη σύγκλισης είναι τετραγωνική και η ακολουθία e / e συγκλίνει: e e g (h) /, όπου g()-f()/f () ή: e * f (ξ) f (ξ) e * 6 - e ξ 6ξ - e ξ e (ξ είναι η ρίζα) Αυτό σηµαίνει ότι το απόλυτο σφάλµα στο βήµα είναι ανάλογο του τετραγώνου του σφάλµατος στο βήµα -. Πανεπιστήμιο Πατρών -8-6//9

Άσκηση 6 (α) Να δοθεί η ακολουθία Newto-Rphso για την προσέγγιση της ρίζας 7 /3. (β) Βρείτε με την παραπάνω μέθοδο μια προσέγγιση της 7 /3 με ακρίβεια 4 σημ. ψηφίων. Για την αρχική προσέγγιση να χρησιμοποιηθεί η μέθοδος διχοτόμησης. Να γραφούν όλες οι ενδιάμεσες προσεγγίσεις και να δικαιολογηθεί το αποτέλεσμα. (γ) Ποια είναι η τάξη σύγκλισης της μεθόδου Newto-Rphso, όπως εφαρμόστηκε στο ερώτημα (α) και τι σημαίνει αυτό για το σφάλμα; Απαντήσεις: (α) Είναι f() 3-7 και f ()3. Προφανώς η f είναι συνεχώς παραγωγήσιµη µέχρι ης τάξης σε ολόκληρο το R. Η ακολουθία Ν-R είναι: - -f( - )/f ( - ),, από όπου: - - ( - 3-7)/3 -, Σαν αρχική προσέγγιση λαµβάνουµε µια τιµή στην «περιοχή της ρίζας», π.χ..6. (β) Επιλέγουµε το αρχικό «επαρκώς κοντά» στη ρίζα µε τη µεθοδο διχοτόµισης: Είναι f(.5) -.375 και f(.6).576 µε f(.5)*f(.6)<, οπότε η ρίζα ανήκει στο (.5,.6). ιχοτοµούµε: (.5.6)/.55 µε f(.55)-.486. Το νέο διαστηµα της ρίζας είναι το (.55,.6). Με νέα διχοτόµηση έχουµε (.55.6).58. Ακριβώς αυτή θα ληφθεί ως αρχική προσέγγιση για τη µέθοδο Newto-Rphso στη συνέχεια. Λόγω συνέχειας των παραγώγων µέχρι δευτέρας τάξης, αναµένουµε σύγκλιση αν ξεκινήσουµε στην περιοχή της ρίζας. Εφαρµόζοντας τώρα την επανανάληψη Newto-Rphso µε.58, λαµβάνουµε διαδοχικά: ο - ( 3-7)/3 fl(.573) 4.57 - ( 3-7)/3 fl(.573) 4.57 (!) δηλαδή η απαιτούµενη ακρίβεια επιτυγχάνεται µε µια µόνον επανάληψη και η ζητούµενη προσέγγιση είναι.57. Παρατήρηση : Το γεγονός ότι χρειάστηκε µόνον µια επανάληψη οφείλεται ακριβώς στο ότι λάβαµε την αρχική προσέγγιση πολύ κοντά στη ρίζα. (γ) Προφανώς η ρίζα ξ της f() 3-7 είναι απλή (τυπική δικαιολόγηση: είναι f ()3 για ). Συνεπώς η τάξη σύγκλισης είναι τετραγωνική, δηλ. ο λόγος e / e συγκλίνει και θα ισχύει: e e g (h) /. Αυτό σηµαiνει ότι το απόλυτο σφάλµα στο βήµα είναι ανάλογο του τετραγώνου του απολύτου σφάλµατος στο βήµα -. Συνεπώς αν µια προσέγγιση είναι ακριβής σε ένα σ.ψ. σε κάποιο βήµα της επανάληψης, µετά από βήµατα θα είναι ακριβής σε σ.ψ. Παρατήρηση : Με άλλα λόγια, στην περίπτωση της τετραγωνικής σύγκλισης, αν η αρχική προσέγγιση είναι ακριβής σε σηµαντικό ψηφίο, τότε για να επιτευχθεί ακρίβεια σε m σηµαντικά ψηφία, απαιτούνται το πολύ log m επαναλήψεις. Πανεπιστήμιο Πατρών -9-6//9

Γραµµικά Συστήµατα- ιασπάσεις-ανάλυση Σφάλµατος- Νόρµες Άσκηση 7 Δίνεται το μητρώο Α [ ; ; 3]. Για όλα τα ερωτήματα υποθέτουμε ότι οι πράξεις γίνονται με α.κ.υ. 4 σ.ψ. και ότι μας απασχολούν μόνον σφάλματα στρογγύλευσης. α. Βρείτε το δείκτη κατάστασης του Α με χρήση των φυσικών νορμών, και «άπειρο». β. Βρείτε με τη μέθοδο Guss μια λύση για το σύστημα Α(,-5,) Τ, δουλεύοντας με α.κ.υ. 4 σημαντικών ψηφίων και στρογγύλευση. γ. Θεωρώντας μόνον σφάλματα στρογγύλευσης κατά τους υπολογισμούς, βρείτε φράγματα για το σχετικό σφάλμα της λύσης του παραπάνω συστήματος. δ. Εξετάστε αν ο πίνακας Α είναι θετικά ορισμένος, χωρίς να γίνει χρήση του χαρακτηριστικού πολυωνύμου. Στη συνέχεια επαληθεύστε, υπολογίζοντας τις ιδιοτιμές. ε. Θεωρούμε συστήματα της μορφής Ab, όπου Α[ 6 ; 3 - ; 9 3 4 ; 7 ] και b τυχαίο διάνυσμα. Να διατυπωθεί τυπικά και να υπολογισθεί η πλέον αποδοτική διάσπαση για το μητρώο Α. Απαντήσεις α) Υπολογίζουµε τώρα τον Α - µε τη µέθοδο Guss-Jord: [Α Ι] [Ι Α - ]. Λόγω της ειδικής µορφής του Α, παρατηρούµε ότι τα µηδενικά στοιχεία των στηλών και 3 παραµένουν και στον α- ντίστροφο! (απλή εφαρµογή Γραµµικής Άλγεβρας). Λαµβάνουµε τελικά: A. -.5.5 -.667.3333 ουλεύοντας τώρα µε κάθε νόρµα ξεχωριστά έχουµε: Νόρµα : Α 4, Α -.667, (Α) Α Α - 4*.667 4.6667 Νόρµα «άπειρο»: Α 4, Α -.5, (A)6 Νόρµα : Α ρ ( A). Εδώ θα πρέπει να υπολογίσουµε τις ιδιοτιµές του Α Τ Α. Ο Α A Τ δεν είναι συµµετρικός, οπότε θα είχαµε Α ρ ( A) ρ ( A ) Πανεπιστήμιο Πατρών -- 6//9 A Τ ( ρ ( A)) ρ(α). Οδηγούµαστε λοιπόν υποχρεωτικά στην εύρεση των ριζών του χαρακτηριστικού πολυωνύµου φ(λ)det(α Τ Α-λI) που είναι ένα πλήρες πολυώνυµο τρίτου βαθµού, όχι εύκολα παραγοντοποιήσιµο. Θα υπολογίσουµε τις ιδιοτιµές µε τη βοήθεια του Mtlb (επαληθεύστε τα αποτελέσµατα!): eig(a'*a) [.759, 4.3586,.884] Τ Biv(Α); eig(b'*b) [.99,.94,.376] Τ

απ όπου: Α. 884 3. 988 και Α -.376.479 και εποµένως: (A) Α Α - 3.7866. Επιβεβαιώνουµε: od(a,)3.7866 Παρατηρούµε ότι ο δείκτης κατάστασης είναι µικρός, οπότε µπορούµε να δεχθούµε το σχετικό υπόλοιπο ως ενδεικτικό για την τάξη µεγέθους του σχετικού σφάλµατος. [ ιαβάστε εδώ την παραποµπή 3] β) Εφαρµόζουµε απαλοιφή στον επαυξηµένο [Α b], µε b(,-5,) Τ, κάνοντας τις πράξεις σε α.κ.υ. 4 σ.ψ. Λαµβάνουµε: [ A b] -5 3-5 3 5/ - 5 3 3.5 Εφαρµόζοντας απαλοιφή και πίσω αντικατάσταση, υπολογίζουµε τελικά µια προσεγγιστική λύση *: *[3.5, -.5,.67] Τ Παρατηρούµε ότι µε α.κ.υ. 4.σ.ψ. υπάρχει κατ αρχήν απώλεια σ.ψ. στη διαίρεση 3/3.5.66., οπότε η τρίτη συνιστώσα δεν είναι ακριβής! γ) Εφαρµογόζουµε τη διπλή ανισότητα για τον δείκτη κατάστασης. r σ / (A) ε σ r σ * (A) () Υπολογίζουµε τις εµπλεκόµενες ποσότητες, ενδεικτικά µε τη νόρµα «άπειρο»: r r σ b b A b * (σχετικό υπόλοιπο-residul) Είναι * b A [,, -.] ] Τ (αυτό το περιµέναµε!), b 5, b A., οπότε: * r σ.e-4 Η () γράφεται: 3.3333e-5 ε σ..e-3 Πανεπιστήμιο Πατρών -- 6//9

Πανεπιστήμιο Πατρών -- 6//9 δ) Από το θεώρηµα των κύκλων Gerhgori προκύπτει λ- λ, λ- λ (βρέθηκε η µια ιδιοτιµή) λ-3 λ 4, που συναληθεύουν στο [, 4]. Εξ άλλου o A είναι προφανώς αντιστρέψιµος και εποµένως το δεν είναι ιδιοτιµή. Εποµένως λ (,4] και άρα ο Α είναι θετικά ορισµένος. Οι ιδιοτιµές του Α υπολογίζονται άµεσα από την det(a-λι): 3) )( )( ( 3 ) ( λ - 3 λ - λ - ) det( λ λ λ λ λ λ A και συνεπώς λ, λ, λ 3 3, όλες θετικές και ρ(α)3. ε) O Α είναι ταινιακός. Μπορούµε να διαπιστώσουµε ότι είναι και αντιστρέψιµος (det(a)48 ), αν και αυτό µπορεί να ελεγχθεί κατά την εφαρµογή του αλγορίθµου διάσπασης! Εποµένως µπορεί να παραγοντοποιηθεί. Υποθέτοντας ότι δεν υπάρχουν εναλλαγές γραµµών (PI), επιχειρούµε λοιπόν τη διάσπαση. Αν δεν ισχύει η υπόθεση, θα προκύψει µη επιτρεπτή πράξη, διαίρεση δια, ή υπόριζα ποσότητα αρνητική: 4 43 3 43 3 3 3 4 3 43 3 4 4 6 6 4 6 7 4 3 9 3 6 u l u l u l u l u l l u u u l l l LU A από όπου παίρνουµε το σύστηµα: l 3 6l u u -6 l 3 u 9 l 3 9/(-6) -.565 -l 3 u 3 3 u 3 3* (-.565).875 l 43 u 3 7 l 43 7/.875 3.7333 4l 43 u 4 u 4-4*3.7333-3.933 Εποµένως ο Α είναι άµεσα διασπάσιµος. Σηµείωση: Επιβεβαιώνουµε στο Mtlb: >> L*U s

. 6. 3.. -. 9. 3. 4. 6.9999. Παρατήρηση: Το Mtlb στη διάσπαση LU εφαρµόζει µερική οδήγηση (και στους ταινιακούς πίνακες). Συνεπώς, όταν P I (εναλλαγή οδηγών), στην έξοδο οι L και U δεν έχoυν την παραπάνω µορφή. Αντ αυτού θα ισχύει PALU. οκιµάζουµε: >> [L, U, P]lu(A) L....3333.596 -.587. U 3.. -. 9. 3. 4. 7.. -.6 P Εύκολα επαληθεύουµε ότι PΑLU. Άσκηση 8 Στα παρακάτω ερωτήματα υποθέτουμε ότι δουλεύουμε με α.κ.υ. 5 σημαντικών ψηφίων. Δίνεται ο πίνακας : 4 A 5 3 α) Με βάση ιδιότητες του Α (βρείτε τις και αιτιολογείστε τις), υπολογίστε μια γρήγορη διάσπαση LU του Α, χωρίς να εφαρμοσθεί η κλασσική απαλοιφή (Guss). β) Είναι όλες οι ιδιοτιμές του Α πραγματικές και γιατί; γ) Εξετάστε αν ο Α είναι θετικά ορισμένος χωρίς να υπολογίσετε τις ιδιοτιμές του. Βρείτε διαστήματα στα οποία ανήκουν οι ιδιοτιμές Πανεπιστήμιο Πατρών -3-6//9

δ) Εξετάστε τώρα αν υπάρχει απλούστερη διάσπαση για τον Α. Εάν υπάρχει, δώστε την, υ- πολογίζοντας τον ή τους απαιτούμενους πίνακες. Απαντήσεις: α) Ο Α προφανώς έχει αυστηρή διαγώνια κυριαρχία και εποµένως είναι αντιστρέψιµος και άµεσα διασπάσιµος: ΑLU. Επειδή είναι και είναι τρισδιαγώνιος, οι τριγωνικοί πίνακες L και U έχουν τις γνωστές ειδικές µορφές: Ο L περιέχει στην η διαγώνιο, τα στοιχεία l i,i (i,,3) (κάτω διαγώνιος του L) στην κάτω διαγώνιο και στα υπόλοιπα στοιχεία. Ο U περιέχει τα u ii (i,,3) στη η διαγώνιο και τα i,i (i,,3) της πάνω διαγωνίου του Α στην πάνω διαγώνιό του: l A LU l 3 l 43 u l u l u l 3 u u u * 3 l 3 3 u 33 l 43 u 33 3 u 33 34 u 44 34 l 43 34 u 44 Από την ταυτότητα ALU καταλήγουµε συστηµατικά στις παρακάτω εξισώσεις ως προς l ij και u ii. 4L () U () u 4 L () U () l u l.5 5L () U l u u 4.75 3 -L (3) U () l 3 u l 3 -.5 33 3L (3) U (3) l 3 3 u 33 u 33.7895 43 L 3 U 3 l 43 u 33 l 43.3585 44 L 4 U 4 l 43 34 u 44 u 44.645 και εποµένως οι L και U έχουν καθοριστεί πλήρως. β) Παρατηρούµε ότι ο Α είναι συµµετρικός και συνεπώς έχει πραγµατικές ιδιοτιµές, σύµφωνα µε γνωστή πρόταση της Γραµµικής Άλγεβρας. γ) Βρήκαµε ότι οι ιδιοτιµές του Α είναι πραγµατικές. Εφαρµόζουµε τώρα το Θεώρηµα των κύκλων του Gershgori και λαµβάνουµε ότι οι ιδιοτιµές λ ανήκουν στην εξής ένωση κύκλων: Ε(Α) C[(4,), ] C[(5,), ] C[(3,), ] C[(,), ] ή ισοδύναµα κάθε ιδιοτιµή λ πληροί µια από τις ανισότητες: λ-4, λ-5, λ-3, λ- από όπου προκύπτουν οι ανισότητες - λ-4, - λ-5, - λ-3, - λ- Πανεπιστήμιο Πατρών -4-6//9

Πανεπιστήμιο Πατρών -5-6//9 ή: 3 λ 5, 3 λ 7, λ 5, λ 3 Παρατηρούµε ότι όλες οι ιδιοτιµές οριοθετούνται σε θετικά διαστήµατα, εποµένως είναι θετικές. Πιο συγκεκριµένα, οι παραπάνω ανισότητες συναληθεύουν στο διάστηµα Ε(Α)[3,7], άρα θα είναι λ 3>. Αφού ο πίνακας Α είναι συµµετρικός και έχει θετικές ιδιοτιµές, από σχετικό θεώρηµα (βλ. παραποµπή ) είναι θετικά ορισµένος. Παρατήρηση: Το ότι ο Α είναι θ.ο., µπορεί να εξαχθεί άµεσα: είναι συµµετρικός, παρουσιάζει α.δ.κ. και έχει θετικά διαγώνια στοιχεία (βλ. παραποµπή ). δ) Η απλούστερη διάσπαση είναι η διάσπαση Cholesi, η οποία ισχύει στην περίπτωσή µας, αφού ο Α είναι συµµετρικός και θ.ο.: Α L L T όπου L κάτω τριγωνικός πίνακας. Επειδή ο Α είναι τρισδιαγώνιος, ο L θα έχει διδιαγώνια µορφή: 4 3 3 α β α β α β α L Η Α L L T τώρα γράφεται: 4 3 3 * 4 3 3 T LL A β β β β β β 4 3 3 3 3 3 3 β β β β β β β β β Οι άγνωστοι α i και β j υπολογίζονται από το σύστηµα ij L (i) (L T ) (j) L (i) L (j) T, i,j,..,4, το οποίο προφανώς ανάγεται (λόγω συµµετρίας) σε σύστηµα 7 διαφορετικών εξισώσεων µε 7 αγνώστους, το οποίο αναµένουµε φυσικά να έχει πραγµατικές λύσεις: α 4 α α β β.5 β α 5 α 5 (.5) 4.75 α.794 α β - β -/.794 -.4588 β α 3 3 α 3 3 (-.4588).7895 α 3.67 α 3 β 3 β 3 /.67.5987 β 3 α 4 α 4 (.5987).646 α 4.8

Συνεπώς:. L.5.794.4588.67.5987, µε ΑLL T.8 Άσκηση 9 Δίνεται ο πίνακας A[ ; 8 5 ; 5 8 ; ]. Υποθέτουμε ότι δουλεύουμε σε α.κ.υ. 4 σημ. ψηφίων με εφαρμογή στρογγύλευσης και ότι μας απασχολούν μόνον σφάλματα οφειλόμενα σε απώλεια ακρίβειας κατά τους υπολογισμούς. α) Αφού εξετάσετε διεξοδικά και αναφέρετε όλες τις ιδιότητες του Α, να δικαιολογήσετε και να δώσετε την απλούστερη δυνατή (από πλευράς μνήμης-ταχύτητας) διάσπαση του Α, υπολογίζοντας τους εμπλεκόμενους πίνακες. β) Πόσο «καλός» υπολογιστικά είναι ο Α για την επίλυση ενός συστήματος Ab (b R 4 ) και γιατί; Παίζει ρόλο το b; γ) Για ποια πραγματικά συγκλίνει η επαναληπτική μέθοδος A- ( R 4, δοθέν) για κάθε αρχικό ; Απαντήσεις α) Ο Α είναι συµµετρικός τρισδιαγώνιος, έχει α.δ.κ. και θετικά διαγώνια στοιχεία. Οι δύο τελευταιες ιδιοότητες εξασφαλίζουν το ότι είναι θ.ο. Εποµένως ο Α επιδέχεται την απλούστερη και πλέον αποδοτική σε µνήµη και ταχύτητα διάσπαση, τη διάσπαση Cholesi: ALL T. O L θα είναι της µορφής: α L α β α3 α 4 Από την ταυτότητα: A L T L β β β 3 4 Λαµβάνουµε 5 εξισώσεις µε 5 αγνώστους. Βρίσκουµε τελικά: Πανεπιστήμιο Πατρών -6-6//9

.44 L.884.7678.79.44 ) Υπολογίζουµε το δείκτη κατάστασης: Α 3.5 A.5 -.8 -.8.5.5 Α -.5 Άρα (A)6.5. Λόγω της µικρής τιµής του (A), o Α είναι υπολογιστικά καλός ανεξαρτήτως της τιµής του σταθερού διανύσµατος b. Μπορούµε λοιπόν να εµπιστευθούµε το σχετικό υπόλοιπο έναντι του σχετικού σφάλµατος. 3) Η επαναληπτική µέθοδος συγκλίνει εάν και µόνον εάν ρ(a)<, δηλαδή θα πρέπει ρ(α)< ή </ρ(α). Βρίσκουµε λοιπόν τις ιδιοτιµές του Α: λ λ 8 λ det(λι-α) ( )( ) ( 8) 5 ( )( )( 3)( 3) 5 5 λ 8 λ Συνεπώς ρ(α)3 και η ζητούµενη συνθήκη είναι: </3. λ λ λ λ λ λ Άσκηση Δίνεται ο πίνακας (μητρώο) A και το διάνυσμα b: A[ ; 8 4 ; 4 8 ; ], b[ -] Τ Έστω επίσης ότι ισχύει α.κ.υ. 4 σ.ψ. Με εφαρμογή της μεθόδου Guss-Jord (ή στο Mtlb ) βρίσκουμε τον Α - : Α - [. ;.667 -.833 ; -.833.667 ;.5] α) Κάνοντας τους κατάλληλους υπολογισμούς, πόσο «καλός» περιμένετε να είναι ο Α για την υπολογιστική επίλυση ενός συστήματος A και γιατί; Παίζει ρόλο σ αυτό και η τιμή του σταθερού διανύσματος ή όχι; Πανεπιστήμιο Πατρών -7-6//9

β) Θεωρούμε τώρα το συγκεκριμένο σύστημα Αb. Να δώσετε με συστηματικό τρόπο και με πλήρη δικαιολόγηση φράγματα για το σχετικό σφάλμα ε σ της λύσης. α) Χωρίς καν να υπολογίσετε τις ιδιοτιμές βρείτε διαστήματα στα οποία αυτές βρίσκονται. Υπάρχει κάποιο συμπέρασμα? β) Ποιες είναι τώρα οι ιδιοτιμές του Α και ποια η φασματική ακτίνα ρ(α); [Υπόδειξη:όλες οι ιδιοτιμές είναι ακέραιοι] γ) (α) Με βάση και τα παραπάνω, δώστε τώρα όλες τις μέχρι τώρα εμφανείς ιδιότητες του Α:,, κλπ. (β) Χωρίς να εφαρμοσθεί οποιοδήποτε σύνθετος υπολογισμός στον Α, πως μπορούμε να αποφανθούμε ότι ο Α μπορεί να παραγοντοποιηθεί χωρίς να απαιτούνται εναλλαγές γραμμών? δ) Ο αλγόριθμος του Grout, υπολογίζει συστηματικά και άμεσα τον L και U, από την απαίτηση ALU, χωρίς να εφαρμόζει τυπικά τη γνωστή μέθοδο LU. Εφαρμόστε τoν συστηματικά, για τον υπολογισμό των L και U, αφού λάβετε υπ όψη και άλλη ιδιότητα του Α (από το ερώτημα (γ)) για την εύρεση των τελικών μορφών των L και U. ε) Λαμβάνοντας τώρα υπ όψιν όλες τις ιδιότητες του Α, υπάρχει απλούστερη ακόμα παραγοντοποίηση για τον Α και ποια είναι αυτή; Προσαρμόστε τον αλγόριθμο Grout στην περίπτωση αυτή, υπολογίζοντας τον, ή τους, εμπλεκόμενους πίνακες. Απαντήσεις: α) Αρκεί να βρούµε το δείκτη κατάστασης (A) του Α. Με χρήση της νόρµας «άπειρο» βρίσκου- µε: Α, Α - και άρα (A) Α Α -. Παρατηρούµε ότι ο (A) είναι σχετικά µικρός και εποµένως ο Α θα είναι υπολογιστικά καλός (συµφωνία σφάλµατος και υπολοίπου). Το σταθερό διάνυσµα δεν παίζει ρόλο. β) Αν ε σ το σχετικό σφάλµα, ως γνωστόν ισχύει η ανισότητα r σ / (A) ε σ r σ * (A) όπου r σ b-a * / b το σχετικό υπόλοιπο. Λύνοντας το Αb µε Guss και ακρίβεια 4 σ.ψ., υπολογίζουµε την προσεγγιστική λύση * : * (.,.667, -.833, -.5) Τ Βρίσκουµε τώρα: rb-a *.e-5 *(,.,., -.) Τ b r σ r / b.4e-6 και τελικά:.854e-7 ε σ.6645e-5 Πανεπιστήμιο Πατρών -8-6//9

α) Σύµφωνα µε το Θ. των κύκλων του Gershgori οι ιδιοτιµές βρίσκονται στην ένωση κύκλων: C[(,), ] C[(8,), 4] C[(,),], δηλ. ικανοποιούν τις ανισότητες -λ, 8-λ 4, -λ, που συναληθεύουν στην λ. Συνεπώς λ> και άρα ο Α είναι θετικά ορισµένος. Σηµείωση: Το ότι ο πίνακας Α είναι συµµετρικός και θ.ο. συνάγεται άµεσα από το γεγονός ότι έχει α.δ.κ. και θετικά τα διαγώνια στοιχεία (βλ. Παραποµπή ). Εποµένως θα είναι και λ>. β) Οι ιδιοτιµές είναι ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύµου φ(λ)det(a-λι). Αναπτύσσοντας την ορίζουσα προκύπτει αµέσως: λ Det 8λ 4 4 8λ λ (-λ)(-λ)[(8-λ) -4 ] (-λ)(-λ)[(8-λ-4)(8-λ4) (-λ)(-λ)(4-λ)(-λ) Συνεπώς οι ιδιοτιµές είναι οι,,4 και. Η φασµατική ακτίνα είναι ρ(α). γ) (α) Ο Α είναι συµµετρικός, τρισδιαγώνιος και θετικά ορισµένος. Επιπλέον έχει α.δ.κ. και ως εκ τούτου αντιστρέψιµος. (β) Επειδή ο Α είναι α.δ.κ. (ή επειδή ο Α είναι θ.ο.), σύµφωνα µε σχετικό θεώρηµα, ισχύει η άµεση διάσπαση ΑLU (δεν υπάρχουν εναλλαγές γραµµών, ή PI). δ) Επειδή ο Α είναι τρισδιαγώνιος θα ισχύει η διάσπαση (οι L και U θα έχουν απαραίτητα διδιαγώνια µορφή): ΑLU l 3 u u u 3 33 34 u44 όπου οι προσδιοριστέοι άγνωστοι είναι µόνον 5: οι l 3 και u ii, i,,4. Εξισώνοντας συστηµατικά κατά στήλες, λαµβάνουµε τελικά (εδώ παραλείπονται οι ενδιάµεσες εξισώσεις):. L..5., U. 8 4 6 ε) Επειδή ο Α είναι συµµετρικός και θ.ο. ισχύει η διάσπαση Cholesi ALL T, όπου L κάτω τριγωνικός. Αφού ο Α είναι και τρισδιαγώνιος, το ίδιο θα είναι και ο L, δηλαδή θα ισχύει: L(3,)L(4,)L(4,). Επιπλέον, παρατηρούµε αµέσως ότι θα είναι και L(,)L(4,3). Επο- µένως οι προσδιοριστέοι άγνωστοι είναι µόνον 4. Θέτουµε: Πανεπιστήμιο Πατρών -9-6//9

l L l l 3 l 33 και l44 l Α l l 3 l 33 l 44 l l l l 3 33 l44 Εξισώνοντας συστηµατικά κατά στήλες, λαµβάνουµε τελικά (εδώ παραλείπονται οι ενδιάµεσες εξισώσεις):. L.884.44.4495.44 Άσκηση Δίνεται ο πίνακας A και το διάνυσμα b: A[ ; 8 5 ; 5 8 ; ], b[ -] Τ Υποθέτουμε ότι δουλεύουμε σε α.κ.υ. 4 σημ. ψηφίων με εφαρμογή στρογγύλευσης και ότι μας απασχολούν μόνον σφάλματα οφειλόμενα σε απώλεια ακρίβειας κατά τους υπολογισμούς. Υπόδειξη: O Α - υπολογίζεται εύκολα. Έχει την ίδια μορφή με τον Α με Α - (,)/α, Α - (4,4)/α44 και με κεντρικό μπλόκ ίσο με το αντίστροφο του αντίστοιχου μπλοκ του Α: Α - (:3, :3) [A(:3, :3)] - ) Εξετάζοντας προσεκτικά και διεξοδικά τις ιδιότητες του Α, δώστε και δικαιολογείστε την απλούστερη δυνατή παραγοντοποίηση LU του Α, υπολογίζοντας τους απαραίτητους πίνακες. ) Πόσο «καλός» υπολογιστικά είναι ο Α για την επίλυση ενός συστήματος A ( R 4 ) και γιατί; 3) Δώστε με συστηματικό τρόπο και με πλήρη δικαιολόγηση αριθμητικά φράγματα για το σχετικό σφάλμα ε σ της λύσης του συστήματος Αb. Να γίνει χρήση της νόρμας «άπειρο». Απαντήσεις ) ιαπιστώνουµε άµεσα ότι ο Α είναι τρισδιαγώνιος, συµµετρικός, µε αυστηρή διαγώνια κυριαρχία και µε θετικά διαγώνια στοιχεία. Εποµένως σύµφωνα µε το κριτήριο (iv) της της παραπο- µπής, είναι θετικά ορισµένος και συνεπώς επιδέχεται διάσπαση Cholesi ΑL T L όπου L κάτω Πανεπιστήμιο Πατρών -- 6//9

Πανεπιστήμιο Πατρών -- 6//9 τριγωνικός (εναλλακτικά µπορούµε να φθάσουµε στο ίδιο συµπέρασµα εφαρµόζοντας το Θεώρη- µα των κύκλων Gershgori). Όπως και στην άσκηση, συµπεραίνουµε ότι ο L θα έχει τη διδιαγώνια µορφή: 4 3 α α β α α L και συνεπώς θα είναι: 4 3 * 4 3 T LL A β β 4 3 β β β Έχουµε 5 εξισώσεις µε 5 αγνώστους. Επιλύοντας συστηµατικά τις προκύπτουσες εξισώσεις µε α.κ.υ. 4 σ.ψ., λαµβάνουµε τελικά:.44.8.768.88 L ) Θα υπολογίσουµε το δείκτη κατάστασης (A) µε χρήση της νόρµας. Ο Α - θα είναι παρο- µοίως τρισδιαγώνιος και συµµετρικός και υπολογίζεται εύκολα: Α 3.5.5 -.8 -.8.5 A Α - (A)*33 O δείκτης κατάστασης είναι της τάξης του και συνεπώς το µητρώο Α αναµένεται να έχει καλή υπολογιστική συµπεριφορά για την επίλυση ενός συστήµατος Α: δηλ. µπορούµε να εµπιστευτούµε το σχετικό υπόλοιπο για την τάξη µεγέθους του σχετικού σφάλµατος. 3) Το σχετικό σφάλµα ε σ ως γνωστόν φράσσεται: r σ / (A) ε σ r σ * (A)

όπου r σ b-a * / b το σχετικό υπόλοιπο. Λύνοντας το Αb µε Guss και ακρίβεια 4 σ.ψ., υπολογίζουµε την προσεγγιστική λύση * : * (.,.5, -.8, -.5) Τ Εξ άλλου είναι (οι υπολογισµοί πάντα µε α.κ.υ. 4 σ.ψ.!): rb-a *.e-5 *(,., -., -.) Τ b 3 r σ r / b fl(.854e-6) 4.85e-6 και τελικά:.43e-7 ε σ.45e-5 Άσκηση Δίνεται ο πίνακας Α 4 Υποθέτουμε ότι δουλεύουμε με αριθμητική κινητής υποδιαστολής 3 σημαντικών ψηφίων. () Εξηγείστε, κάνοντας τους απαραίτητους υπολογισμούς, πως μπορεί να διαπιστωθεί ότι ο Α είναι μη ιδιάζων (αντιστρέψιμος). (α) Πoια ιδιότητα θα πρέπει να είχε ο Α, για να μπορούσε να διαπιστωθεί με το ελάχιστο υπολογιστικό κόστος (χωρίς να γίνει απαλοιφή) ότι είναι αντιστρέψιμος; (β) Πoια ιδιότητα θα πρέπει να είχε ο Α, για να μπορούσε να διαπιστωθεί με το ελάχιστο υπολογιστικό κόστος ότι είναι άμεσα παραγοντοποιήσιμος (δηλ. ALU); (3) Υποθέτουμε ότι εφαρμόζουμε εις το εξής απαλοιφή με μερική οδήγηση για την παραγοντοποίηση LU του Α. Τότε, παρατηρώντας προσεκτικά τη μορφή του Α και χωρίς καμία α- πολύτως αριθμητική πράξη, δώστε σε ένα βήμα μια οικονομική μορφή παραγοντοποίησης του Α, υποδεικνύοντας τους αγνώστους που πρέπει να υπολογισθούν. Δικαιολογείστε. (4) Υπολογίστε συστηματικά τους αγνώστους, όπως προκύπτουν από την μορφή παραγοντοποίησης της (.3), εφαρμόζοντας α.κ.υ. 3 σημαντικών ψηφίων. (5) Τι περιμένετε να σας επιστρέψει η κλήση [L, U, P]lu(Α) της συνάρτησης lu στη γλώσσα MATLAB; (6) Φράξτε τις ιδιοτιμές του Α σε διαστήματα, χωρίς να τις υπολογίσετε. (7α) Καλώντας τη συνάρτηση eig(b) της MATLAB για τον υπολογισμό των ιδιοτιμών του πίνακα Β[e ; e ; e3 ; e4]a, λαμβάνουμε: Πανεπιστήμιο Πατρών -- 6//9

s 4.444744754 3.68577473998 -.697747679.765659969 Είναι ο Β είναι θετικά ορισμένος και γιατί; (7β) Τι μπορείτε τότε να συμπεράνετε για την επιτυχία της διάσπασης Cholesi για τον πίνακα Β; Απαντήσεις () Εφαρµόζουµε απαλοιφή Guss (µε ή χωρίς οδήγηση). Καταλήγουµε τελικά στον αναγµένο κλιµακωτό πίνακα RΙ R 44, άρα ο Α είναι µη ιδιάζων (αντιστρέψιµος). (α) Αν είχε α.δ.κ., οπότε, όπως γνωρίζουµε, θα ήταν αντιστρέψιµος. (β) Αν και πάλι είχε α.δ.κ., οπότε, όπως γνωρίζουµε, θα ήταν ΑLU µε PI. (3) Εναλλάσσοντας τις γραµµές και (4>) έχουµε 4 Β PA, µε P[e ; e ; e 3 ; e 4 ] Παρατηρούµε όµως ότι ο Β είναι τρισδιαγώνιος. Tότε γνωρίζουµε ότι o Β παραγοντοποιείται ως εξής: Β LU l l 3 l 43 u * u u 33 u 44 (δεύτερη διαγώνιος του U δεύτερη διαγ. του B) και άρα µια οικονοµική µορφή διάσπασης είναι B PΑ LU l l 3 l 43 u * u u 33 u 44 Σηµ. Παρατηρούµε ότι η περαιτέρω απαλοιφή δεν εναλλάσσει γραµµές. Πανεπιστήμιο Πατρών -3-6//9

(4) Σύµφωνα µε τα παραπάνω, ξεκινάµε από την ανάπτυξη της ταυτότητας BPΑLU και υπολογίζουµε συστηµατικά τους αγνώστους l i,i- και u ii από τις εξισώσεις που προκύπτουν. Αναπτύσσοντας τις χρήσιµες εξισώσεις κατά στήλες του Α λαµβάνουµε: b 4 L U u b L U l u, άρα l.5 b - L U (l,,, ) (, u,, ) Τ l u, άρα u -.5 b 3 L 3 U (, l 3,, ) (, u,, ) Τ l 3 u, και άρα l 3 fl(-.666666666666667) 3 -.667 (α.κ.υ. 3 σ.ψ.).5 και παροµοίως: u 33.67 (α.κ.υ. 3 σ.ψ.), l 43.75 και u 44.5. (5) Ακριβώς τα αποτελέσµατα που πήραµε παραπάνω, µαζί µε τον πίνακα µετάθεσης: [L, U, P]lu(Α) L.5.667.75 4, U.5.67..5 P (6) Από το Θ. των κύκλων του Gershgori έχουµε ότι οι ιδιοτιµές βρίσκονται στην ένωση των κύκλων C(( ii, ), R i ) του µιγαδικού επιπέδου µε R i Σ ij, i j. Για την περίπτωση του Α έχουµε: R, R 4, R 3, R 4 και εποµένως για τις ιδιοτιµές λ ικανοποιούνται οι σχέσεις: λ- <, λ- <4, λ- <, λ- < δηλαδή οι λ βρίσκονται στην ένωση των κύκλων: C((, ), ) C((, ), 4)[, 6]. (7α) H τρίτη ιδιοτιµή είναι αρνητική. Συνεπώς ο Α δεν είναι θ.ο. αφού δεν ισχύει η ικανή και α- ναγκαία συνθήκη λ>. (7β) Αφού ο Β δεν είναι θ.ο., η διάσπαση δεν είναι εφικτή. Σηµείωση: Πράγµατι στο Μtlb θα είχαµε: R hol(a) %hol: προκαθορισµένη συνάρτηση του συστήµατος που υλοποιεί την µέθοδο Cholesi Πανεπιστήμιο Πατρών -4-6//9

??? Error usig > hol Mtri must be positive defiite. Άσκηση 3 Δίνεται το σύστημα Ab με A[3 -; --; -3] και b[..6-3.4] Με εφαρμογή της μεθόδου Guss-Jord (ή στο Mtlb ) βρίσκουμε τον Α - : Α - [.467.5.833 ;.5.75.5 ;.833.5.467] α) Χωρίς καν να υπολογίσετε τις ιδιοτιμές βρείτε διαστήματα στα οποία αυτές βρίσκονται. β) Να δοθούν τώρα οι νόρμες, και «άπειρο» του Α. Ποιες είναι οι ιδιοτιμές του Α και ποια η φασματική ακτίνα ρ(α); [Υπόδειξη: τουλάχιστον μια ιδιοτιμή που θα βρείτε είναι ακέραιος αριθμός] γ) Με βάση και τα παραπάνω, δώστε τώρα όλες τις μέχρι τώρα εμφανείς ιδιότητες του Α: αντιστρέψιμος,,, κλπ. δ) Ενδιαφερόμαστε για την παραγοντοποίηση LU του Α. Χωρίς να εφαρμοσθεί οποιοδήποτε σύνθετος υπολογισμός, πως μπορούμε να αποφανθούμε ότι ο Α μπορεί να παραγοντοποιηθεί χωρίς να απαιτούνται εναλλαγές γραμμών? ε) Ο αλγόριθμος του Grout που διδάχτηκε στο μάθημα, υπολογίζει συστηματικά τον L και U, από την απαίτηση ALU, χωρίς να εφαρμόζει τυπικά τη γνωστή μας από την Γραμμική Άλγεβρα μέθοδο LU. Λαμβάνοντας τώρα υπ όψιν και άλλη τυχόν ιδιότητα του Α (από το ερώτημα (γ)). εφαρμόστε τoν συστηματικά, δίνοντας τελικά τα L και U. ζ) Λαμβάνοντας τώρα υπ όψιν όλες τις ιδιότητες του Α, υπάρχει απλούστερη παραγοντοποίηση για τον Α? Προσαρμόστε τον αλγόριθμο Grout στην περίπτωση αυτή, υπολογίζοντας τον, ή τους, εμπλεκόμενους πίνακες. Απαντήσεις α) Οι ιδιοτιµές φράσσονται σε διαστήµατα που υπαγορεύονται από το Θ. κύκλων Guersgori. Εποµένως έχουµε ότι οι ιδιοτιµές ανήκουν στην εξής ένωση κύκλων κέντρων ( ii, ) και ακτίνων R i Σ ij, j,, µε j i: λ C[(3,), )] C[(,), )] C[(3,), )] δηλ. τελικά λ [, 4]. Επιπλέον, επειδή det(a-*i)det(a), το δεν είναι ιδιοτιµή (δηλ. ο Α είναι αντιστρέψιµος) και συνεπώς λ (, 4], δηλαδή όλες οι ιδιοτιµές είναι θετικές και άρα ο Α είναι θετικά ορισµένος (από σχ. θεώρηµα). β) Υπολογίζουµε έυκολα: Πανεπιστήμιο Πατρών -5-6//9

A 4, και A 4 Αφού ο Α είναι συµµετρικός, αναµένουµε πραγµατικές ιδιοτιµές. Έχουµε: 3λ φ(λ)det(a-λι) λ 3λ φ(λ)(3-λ)[(-λ)(3-λ)-][-(3-λ)](3-λ)(λ -5λ5-)(3-λ)(λ -5λ4) απ όπου λ 3 και 5 ± 56 5± 3 λ,3, δηλαδή: λ και λ 4 4 Εποµένως η φασµατική ακτίνα ρ(α)4. Προφανώς ο Α είναι συµµετρικός. Η νόρµα για συµµετρικούς πίνακες προκύπτει άµεσα, συγκεκριµένα είναι ίση µε τη φασµατική ακτίνα (βλ. και παραποµπή 3): A Τ ρ(α Α) ρ(αα) ρ(α ) ( ρ(α) ) ρ(α) δηλαδή A 4 στην περίπτωσή µας. Σηµείωση: Εναλλακτικός υπολογισµός της ορίζουσας µε χρήση γραµµικότητας (δεν προτιµάται εδώ, αλλά καλόν είναι να εφαρµόζεται για legth(a)>3): 3λ 3λ λ λ 3λ (3λ) ( 3λ) λ 3λ 3λ ( 3λ) λ (-)(3-λ) [-(-λ)(3-λ)] (λ-3)[-λ 5λ-4] 3λ 3λ γ) Οι άµεσα ορατές ιδιότητες είναι: συµµετρικός και τρισδιαγώνιος (ταινιακός). Επίσης είναι θετικά ορισµένος, αφού όλες οι ιδιοτιµές είναι θετικές όπως βρέθηκε, και άρα αντιστρέψιµος (από σχετικό θεώρηµα). δ) Ο Α είναι θετικά ορισµένος και άρα από σχετικό θεώρηµα είναι ΑLU (δεν απαιτούνται εναλλαγές γραµµών, δηλ. PI) ε) Αφού ο Α είναι και τρισδιαγώνιος, το ίδιο θα ισχύει και για τους U και L. Άρα στην ταυτότητα Α( ij ) LU, θα είναι: L(l ij ) κάτω τριγωνικός µε L(i,i) και L(3,3) Πανεπιστήμιο Πατρών -6-6//9

U(u ij ) άνω τριγωνικός µε στοιχεία της ης διαγωνίου u(,)(,)- και u(,3) (,3)- και u((,3). Συνεπώς υπάρχουν συνολικά 35 άγνωστοι. Εξισώνοντας συστηµατικά λαµβάνουµε τελικά: L.33333 και.6 U 3.667.4 (παραλείπονται εδώ οι ενδιάµεσες εξισώσεις, ο αναγνώστης µπορεί να επαληθεύσει). ζ) Ναι. Αφού ο Α είναι θετικά ορισµένος (ιδιοτιµές θετικές) και συµµετρικός, επιδέχεται διάσπαση Cholesi: Α LL T ή ΑU T U () Αφού Α τρισδιαγώνιος, το ίδιο θα είναι και ο U. Συνεπώς, για την προσαρµογή του αλγορίθµου Grout, απαιτούµε να ισχύει η (), όπου U (u ij )άνω τριγωνικός και u(,3). Άρα υπάρχουν συνολικά 5 άγνωστα u ij. Εξισώνοντας συστηµατικά και µε ανάλογο τρόπο όπως πιο πάνω βρίσκουµε τελικά:.73 U L T.5773.9.775.549 Άσκηση 4 Δίνεται το σύστημα Ab με A[3 - ; - - ; - 3] και b[..6-3.4] Τ α) Πόσο «καλός» περιµένετε να είναι ο Α για την υπολογιστική επίλυση ενός συστήµατος A και γιατί; Παίζει ρόλο σ αυτό και η τιµή του σταθερού διανύσµατος ή όχι; β) Θεωρούµε τώρα το συγκεκριµένο σύστηµα Αb. Να δώσετε µε συστηµατικό τρόπο και µε πλήρη δικαιολόγηση φράγµατα για το σχετικό σφάλµα ε σ της λύσης. Απαντήσεις: α) Βρίσκουµε πρώτα τον αντίστροφο του Α µε εφαρµογή της µεθόδου Guss-Jord: [A I] [I A - ] Εύκολα βρίσκουµε:.467.5.833.5.75.5.833.5.467 A 4 και A -.5 Πανεπιστήμιο Πατρών -7-6//9

Κριτήριο για την υπολογιστική συµπεριφορά του Α είναι ο δείκτης κατάστασης (Α). Eίναι (A) A Α - 4 *.5 5 που βρίσκεται πολύ κοντά στο, δηλ. ο Α έχει καλή κατάσταση: το σχετικό σφάλµα συµβαδίζει µε το σχετικό υπόλοιπο, το οποίο είναι «αξιόπιστο» ως προς την ακρίβεια της υπολογιστικής επίλυσης του συστήµατος A ανεξάρτητα της τιµής του. β) Για το σχετικό σφάλµα ε σ ισχύει η ανισότητα: r σ / (A) < ε σ < r σ * (A) () Το σχετικό υπόλοιπο ορίζεται: r σ r / b b-a * / b Επιλύουµε πρώτα το Ab µε τη µέθοδο Guss βρίσκοντας µια προσέγγιση * του : * [.8667.4 -.6667] Όσον αφορά τα υπόλοιπα µεγέθη, είναι: rb-a * [-4.44e-6 4.44e-6] r 8.88e-6 b 7., και άρα r σ.34e-6 Αντικαθιστώντας στην () βρίσκουµε τα συγκεκριµένα φράγµατα:.467e-7 < ε σ < 6.68Ε-6 Σηµ. Το πόσο καλός είναι ο Α ((A)5) επαληθεύεται ακριβώς από τη «στενότητα» του παραπάνω διαστήµατος. Άσκηση 5 Δίνεται ο πίνακας A και το διάνυσμα b: A[. -. ; -. ;. ], b[ ] T Υποθέτουμε ότι εργαζόμαστε με αριθμητική κ. υ. 4 σ.ψ. α) Μπορεί να διασπασθεί ο Α στη μορφή ΑPLU με PI και γιατί; (εξηγείστε χωρίς να εφαρμόσετε μέθοδο Guss) β) Να βρεθούν οι L και U και P (με ή χωρίς οδήγηση) της διάσπασης LU, χωρίς να εφαρμοσθεί απαλοιφή Guss. Τι παρατηρείτε αν εφαρμόζατε μερική οδήγηση; γ) Να βρεθεί ο δείκτης κατάστασης του Α. (νόρμα ). δ) Να βρεθούν φράγματα για το σχετικό σφάλμα ε σ του συστήματος Ab. Διατυπώστε και εξηγείτε με σαφήνεια τα απαιτούμενα βήματα Πανεπιστήμιο Πατρών -8-6//9

Απαντήσεις: α) O A έχει προφανώς α.δ.κ. και ως εκ τούτου (όπως γνωρίζουµε από σχετικό θεωρητικό αποτέλεσµα), διασπάται άµεσα : ΑLU (δεν υπάρχουν ανταλλαγές γραµµών ή ισοδύναµα PI) β) Γράφουµε την ταυτότητα ALU απαιτώντας l(i,i), Lκάτω τριγ. και Uάνω τριγ. Α l * l3 l3 u u u u u u 3 3 33 που δίνει ένα γραµµικό σύστηµα µε 9 αγνώστους (l ij και u ij ). Εξισώνοντας συστηµατικά τα Α(i,j) µε τα στοιχεία του Α κατά στήλες, λαµβάνουµε: Στοιχεία ης στήλης: A(,) L U u(,) A(,) L U l(,) u(,) l(,) A(3,). L 3 U l(3,) u(,) l(3,). Στοιχεία ης στήλης: A(,). L U u(,) A(,)-3 L U l(,) u(,)u(,) u(,) -3 *. -3. A(3,) L 3 U l(3,) u(,)l(3,)u(,) l(3,) -.*./(-3.) fl(.65) 4.63 Στοιχεία 3 ης στήλης: A(,3)-. L U 3 u(,3) A(,3). L U 3 l(,) u(,3)u(,3) u(,3). *(-.).3 A(3,3) L 3 U 3 l(3,) u(,3)l(3,)u(,3)u(3,3) u(3,3) (.)*(-.)-.65*(.3) fl(.85) 4.8 Εποµένως οι L και U έχουν καθορισθεί πλήρως. γ) Είναι A.3 Υπολογίζουµε τώρα τον Α µε τη µέθοδο Guss-Jord. Τελικά λαµβάνουµε κάνοντας πράξεις σε α.κ.υ. 4 σ.ψ.:.958 A -.4484 -.453.96 -.455 -.45.36.679.498 οπότε: A - fl(.3995) 4.4 Τελικά έχουµε (A) A A - 3. r δ) Αν e r το σχετικό σφάλµα και r r το σχετικό υπόλοιπο, τότε ισχύει η ανισότητα: b Πανεπιστήμιο Πατρών -9-6//9

r r /(A) e r r r * (A) () Υπολογίζουµε τώρα το r rel : r r r b b A b * όπου * είναι η υπολογιζόµενη λύση του Α * b. Λύνουµε τώρα το Α * b εφαρµόζοντας απαλοιφή Guss και µε α.κ.υ. 4 σ.ψ. Τελικά λαµβάνουµε: * [.884,.33,.958 ] τ Στη συνέχεια βρίσκουµε τις απαιτούµενες υπόλοιπες ποσότητες: b 4, και: b-a * [, -.333, -.444] τ b-a * 7.77e-6 οπότε τελικά λαµβάνουµε: r rel 7.77e-6/4.943e-6 Άρα η () γίνεται:.943e-6/3. e r 3.*.943e-6 6.34e-7 e r 6.56e-6 Το σχετικό σφάλµα εποµένως φράσσεται (όπως αναµενόταν) σε πολύ στενό διάστηµα. Ερώτηση: σε πόσα τουλάχιστον σ.ψ. θα είναι ακριβής η προσεγγιστική λύση? (βλ. Κεφ. Ι, ο- ρισµός ακρίβειας) Άσκηση 6 Δίνεται ο πίνακας A[-3 ; 3 ; 6] και θεωρούμε τον ΒΑ Τ Α. Υποθέτουμε επίσης ότι δουλεύουμε με αριθμητική κινητής υποδιαστολής 5 σ.ψ. και ότι ισχύουν μόνον σφάλματα οφειλόμενα σε στρογγύλευση κατά τους υπολογισμούς. α) Χωρίς σύνθετους υπολογισμούς, να ελέγξετε αν ο Β είναι θετικά ορισμένος. Δικαιολογείστε πλήρως την απάντησή σας. β) Βρείτε τη νόρμα του Β ( B ). γ) Υπολογίστε το δείκτη κατάστασης του Β (με χρήση της νόρμας ). Σχολιάστε σχετικά. δ) Να υπολογισθούν επακριβώς όλες οι ιδιοτιμές του Β. Ποιο το συμπέρασμά σας? Πανεπιστήμιο Πατρών -3-6//9

ε) Αναφέρατε ποιές μορφές διάσπασης επιδέχεται ο Β και γιατί. Στη συνέχεια δικαιολογείστε και υπολογίστε επακριβώς την απλούστερη δυνατή μορφή διάσπασής του. ζ) Δίνεται τώρα το διάνυσμα b[ 3] T. Πως μπορεί να λυθεί κατόπιν της (ε), το σύστημα Bb? Βρείτε τις λύσεις του. Απαντήσεις: Πανεπιστήμιο Πατρών -3-6//9

Επαναληπτικές Μέθοδοι για γραµµικά συστήµατα Άσκηση 7 Δίνεται ο πίνακας A[ ; 8 5 ; 5 8 ; ]. Υποθέτουμε ότι δουλεύουμε σε α.κ.υ. 4 σημ. ψηφίων με εφαρμογή στρογγύλευσης και ότι μας απασχολούν μόνον σφάλματα οφειλόμενα σε απώλεια ακρίβειας κατά τους υπολογισμούς Θεωρούμε την επαναληπτική μέθοδο Gus-Seidel για την υπολογιστική επίλυση του Ab με b[ ] Τ. (α) Για τα δεδομένα που δίνονται, δώστε τον επαναληπτικό τύπο της υπό τη μορφή πινάκων. Πως υπολογίζεται στην πράξη η προσέγγιση στο βήμα ; (β) Συγκλίνει ο αλγόριθμος αυτός για κάθε αρχικό διάνυσμα και γιατί; (γ) Να υπολογίσετε αριθμητικό φράγμα για το απόλυτο σφάλμα στη η επανάληψη. Να τεθεί αρχικά (.5,,,.5) T και να γίνει χρήση της νόρμας «άπειρο». Να δοθούν όλα τα απαιτούμενα βήματα. (δ) Ποιές συγκεκριμένες εντολές θα δίνατε στο Mtlb για να υπολογίσετε το αποτέλεσμα που βρήκατε στο ερώτημα (γ)? Απαντήσεις: α) Είναι B - µε BQ - (Q-A) και Q - b, όπου Q 8 5 8, P Q-A 5 Ο αντίστροφος του διδιαγώνιου Q υπολογίζεται εύκολα: έχει ακριβώς την ίδια µορφή µε τον Q, µε αντίστροφα διαγώνια στοιχεία (γνωστή ιδιότητα στη γραµµική άλγεβρα, που αποδεικνύεται µε πράξεις υποµητρώων σε µορφή µπλόκ): / Q, / Q - ( ( : 3, : 3) ) 8 όπου Q(:3,:3) είναι το κεντρικό µπλοκ του Q 5 και τελικά: ( Q( : 3, : 3) ) 8 5 * 8*8-8 T 8. Υπολογίζουµε εύκολα:.5 -.78.5 Πανεπιστήμιο Πατρών -3-6//9

.5 Q -.5.78.5.5 Εποµένως: B Q - P.65,.396 και Q - b (.5,.5, -.78,.5) Τ [ ιαβάστε εδώ την παραποµπή ] β) Ο Α έχει προφανώς αδκ και εποµένως, από σχετικό θεώρηµα, η ακουλουθία Gus-Seidel συγκλίνει. γ) Για (.5,,,.5) T υπολογίζουµε: B* (.5,.5, -.78,.5) Τ B.65 -.5 Αν e - είναι το απόλυτο σφάλµα στην η επανάληψη, τότε ως γνωστόν (σελ. ΙV5-5, τύπος (ΙV..9)) ισχύει η ανισότητα: e B B Αντικαθιστώντας βρίσκουµε: e.3 Σχόλιο : Μπορούµε να επαληθεύσουµε στο Mtlb µε την εντολή: frgmorm(-, if)*orm(b, if)^ / (-orm(b, if)) δ) Οι στοιχειώδεις υπολογισµοί του ερωτήµατος (γ) υλοποιούνται από τις παρακάτω εντολές της Mtlb: A[ ; 8 5 ; 5 8 ; ] b[ ] QA /*υπολογισµός Q*/ Q(,3) PQ-A Biv(Q)*P /*πίνακας επανάληψης*/ Πανεπιστήμιο Πατρών -33-6//9

iv(q)*b [.5.5] /*αρχική προσέγγιση*/ B* frgmorm(-, if)*orm(b, if)^ / (-orm(b, if)) /*υπολογισµός άνω φράγµατος*/ Σχόλιο : Ένας κώδικας Mtlb για την Guss-Seidel δίνεται στην ΙV.3. Άσκηση 8 Δίνεται ο πίνακας (μητρώο) A και το διάνυσμα b: A[ ; 8 4 ; 4 8 ; ], b[ -] Τ Υποθέτουμε ότι όλες οι πράξεις γίνονται με α.κ.υ. 4 σ.ψ. α) Θεωρούμε την επαναληπτική μέθοδο Guss-Seidel για την υπολογιστική επίλυση του Ab. (α) Δώστε τον επαναληπτικό τύπο της, υπό τη μορφή πινάκων και τον πίνακα επανάληψης B. (α) Συγκλίνει ο αλγόριθμος αυτός για κάθε αρχικό διάνυσμα ή όχι και γιατί; β) Δώστε τώρα μια αριθμητική εκτίμηση του απολύτου σφάλματος στη η επανάληψη, αφού θέσετε αρχικά [,,, ]. γ) Ποια βήματα θα ακολουθούσατε (αναφέρατε συγκεκριμένα) για να επαληθεύσετε στη Mtlb τα αποτελέσματα των (3α) και (3β)? δ) Αναφέρατε πως θα μπορούσατε να υπολογίσετε (χωρίς εφαρμογή μαθηματικής μεθόδου) την φασματική ακτίνα του Α. Απαντήσεις: α) Ο επαναληπτικός τύπος θα είναι B -,,,, όπου: Β Q - P, Q - b µε Q PQ-A 4 8 4 8 και Ο Q είναι κάτω τριγωνικός οπότε εύκολα προκύπτει (π.χ. απλή εφαρµογή µεθ. Guss-Jord). Q -.5.65.5.5 Πανεπιστήμιο Πατρών -34-6//9

Υπολογίζουµε τέλος το γινόµενο: Β Q - P.5.5 α) Ο Α έχει α.δ.κ., οπότε από σχετικό θεώρηµα ο παραπάνω αλγόριθµος συγκλίνει για κάθε αρχικό διάνυσµα. Άλλη δικαιολόγηση: προφανώς είναι Β.75 < και από σχετικό θεώρηµα ο αλγόριθµος συγκλίνει. β) Υπολογίζουµε πρώτα την πρώτη προσέγγιση B. Είναι: Q - b (.,.5, -.65, -.5) T B (, -.5,.5, ) T (.,.5, -.65, -.5) T (., -.375,.875, -.5) T Παρατήρηση: Εναλλακτικά (βλ. και παραποµπή ) υπολογίζουµε µε εµπρός αντικατάσταση τη λύση του κάτω τριγωνικού συστήµατος Q P b. Βρίσκουµε το ίδιο αποτέλεσµα. Για τις επαν. µεθόδους ισχύει ως γνωστόν η παρακάτω εκτίµηση σφάλµατος: ε - - B /(- B ) Εδώ είναι και Β.75-3.6875 οπότε: - 3.6875*(.75) /.5 ε 8.969 Παρατήρηση: Ασφαλώς και δεν περιµέναµε καλύτερο φράγµα, αφού αφ ενός περιοριστήκαµε στο σφάλµα στη δεύτερη επανάληψη, και αφ ετέρου, το δεν επιλέχτηκε επαρκώς κοντά στη λύση ( * (.,.667, -.833, -.5) T ). Αν συµβολίσουµε ε -, τότε: Για την η επανάληψη, παίρνουµε: ε.468. Αν επιλέξουµε «καλύτερο», π.χ. (.,,, -.5) T, (µε τις δύο συνιστώσες απολύτως ακριβείς), βρίσκουµε: ε.49 και ε.4, που αποτελούν σαφώς καλύτερες εκτιµήσεις. γ) ίνουµε κατά σειρά τις εντολές: A[ ; 8 4 ; 4 8 ; ]; b[ -]; QA; /*καθορισµός του Q*/ Q(,3); PQ-A; Πανεπιστήμιο Πατρών -35-6//9

Biv(Q)*P /υπολογισµός του Β*/ iv(q)*b; [ ] ; /*αρχική προσέγγιση*/ B* ; /*πρώτη προσέγγιση*/ frgmorm(-, )*orm(b, )^/(-orm(b, )) /*υπολογισµός άνω φράγµατος*/ Εναλλακτικά: ίνουµε: A[ ; 8 4 ; 4 8 ; ] b[ -]; QA /*καθορισµός του Q*/ Q(,3) PQ-A iv(q)*b [ ] /*αρχική προσέγγιση*/ Q\(P*b) /*υπολογισµός πρώτης προσέγγισης από το σύστηµα τριγωνικό Q P */ frgmorm(-, )*orm(b, )^/(-orm(b, )) /*υπολογισµός άνω φράγµατος*/ δ) Όπως είδαµε πιο πάνω, ο Α έχει διακεκριµένες πραγµατικές ιδιοτιµές (άρα έχει 4 γ.α. ιδιοδιανύσµατα). Συνεπώς, για τον υπολογισµό της φασµατικής ακτίνας ρ(α)m( λ i ), πληρούνται οι προϋποθέσεις εφαρµογής της µεθόδου των δυνάµεων: A -, αυθαίρετο. Για αποφυγή ενδεχοµένου διαίρεσης µε και σφαλµάτων στρογγύλευσης, εφαρµόζουµε κανονικοποίηση (νόρ- µα ), οπότε προκύπτει η επανάληψη: (,,,) Τ u A, u / u,,,, () Για την ακολουθία αυτή θα ισχύει lim v ρ(a) ιδιοδιοδιάνυσµα για την ρ(a), µε v ρ(a) και ρ(a) lim u. Τώρα εφαρµόζοντας την (), λαµβάνουµε: A* (,,, ) Τ *(.833,.,.,.667) Τ A*(.833,.,.,.667) Τ (.833,.,.,.3333) T * (.69,.,.,.78) Τ A*(.69,.,.,.78) Τ (.69,.,.,.556) * (.6,.,.,.46) Τ 3 3 Είναι φανερό πως η ακολουθία { } συγκλίνει στη φασµατική ακτίνα ρ(α), ενώ η { } στο αντίστοιχο ιδιοδιάνυσµα v ρ(a) (,.,., ) Τ. Β τρόπος: Εναλλακτικά θα µπορούσαµε να θεωρήσουµε την επανάληψη µε κανονικοποίηση µε τη νόρµα : (,,,) Τ u A -, u / u,,, Πανεπιστήμιο Πατρών -36-6//9

για την οποία ισχύει lim v ρ(a) ιδιοδιοδιάνυσµα για την ρ(a), µε v ρ(a), και ρ(a) lim u. Οι υπολογισµοί είναι ανάλογοι µε πριν, αν θεωρήσουµε ότι δουλεύουµε σε υπολογιστικό περιβάλλον το οποίο υποστηρίζει την νόρµα [π.χ. Mtlb, Βλ. παράρτηµα Β διδακτικού βιβλίου] Σηµείωση: το ερώτηµα δεν απαιτούσε τους συγκεκριµένους υπολογισµούς, παρά µόνον την υ- πόδειξη της µεθοδολογίας. Άσκηση 9 Δίνεται το σύστημα Ab με A[3 - ;- -; -3] και b[..6-3.4] α) Αποδείξτε ότι, αν Β < για κάποια φυσική νόρμα (Β είναι ο πίνακας επανάληψης), τότε μια εκτίμηση για το απόλυτο σφάλμα μιας επαναληπτικής μεθόδου δίνεται από τη σχέση: - < B (- B ) - -. β) Θεωρούμε τώρα μια επαναληπτική μέθοδο Guss-Seidel σαν μοντέλο υπολογιστικής επίλυσης του Ab. Δώστε τον επαναληπτικό τύπο της, υπό τη μορφή πινάκων. Ποιος ο πίνακας επανάληψης B; γ) Συγκλίνει ο αλγόριθμος αυτός για κάθε αρχικό διάνυσμα ή όχι και γιατί; δ) Δώστε τώρα μια εκτίμηση του απολύτου σφάλματος στη η επανάληψη Απαντήσεις: α) Η απόδειξη βρίσκεται στο βιβλίο (κεφ. ΙV, Ανάλυση σφάµατος Επαναληπτικών Μεθόδων). β) Η µέθοδος G-S δίνεται από την επανάληψη: B -,,,. δοθέν (καλόν είναι να επιλεγεί «κοντά» στη ρίζα από πλευράς νόρµας!) µε ΒQ - P και Q - P, όπου 3 Q 3 και PQ-A Για τον υπολογισµό του BQ - P αντιστρέφουµε τον άνω τριγωνικό Q: (διαγώνια στοιχεία /ii, και υπολογίζουµε τα υπόλοιπα 3):.333 Q -.667.5556.5.667.3333 και τελικά Πανεπιστήμιο Πατρών -37-6//9

B Q - P.3333.667.556.5.667 γ) Ο Α δεν έχει αδκ. Ικανή και αναγκαία συνθήκη για να συγκλίνει είναι η ρ(β)<, ενώ µια ικανή είναι η Β <. Εξετάζουµε τη δεύτερη προκειµένου για τη νόρµα. Είναι: Β.5.667.6667< και εποµένως η επαναληπτική ακολουθία K B -,,, συγκλίνει για κάθε. δ) Για την εκτίµηση του απολύτου σφάλµατος e, φυσικά θα κάνουµε χρήση της ανισότητας e - B (- B ) - - () για. Αρχικά βρίσκουµε τις επαναλήψεις,. Θέτουµε αρχικά, αυθαίρετα µεν, αλλά «κοντά» στη λύση: [, ] Ο υπολογισµός κάθε νέας επανάληψης Q - P - Q - b, µπορεί βέβαια να υπολογισθεί βάσει των αποτελεσµάτων της (β) (υπολογισµός Q - και γινοµένων, όπως έχει απαντηθεί και σε άλλες ασκήσεις). Υπάρχει όµως προσφορότερος και πιο άµεσος τρόπος που δεν υπολογίζει αντίστροφο!. (βλ. Παραποµπή ). Απλά η εύρεση της επανάληψης (-προσέγγισης) ισοδυναµεί µε την επίλυση του κάτω τριγωνικού συστήµατος: Q P - b ως προς τον άγνωστο, το οποίο λύνεται µε εµπρός αντικατάσταση Με άλλα λόγια η Guss-Seidel για τον υπολογισµό µιας προσέγγισης χρησιµοποιεί προηγουµένως υπολογισθείσες συνιστώσες του διανύσµατος. Ο τύπος (IV.3.) της παραγράφου IV.3 του διδακτικού βιβλίου περιγράφει ακριβώς αυτό το γεγονός, χωρίς να χρειάζεται να αποµνηµονευθεί (απλά πρέπει να τον κατανοήσετε!). Έτσι, για να υπολογίζουµε το από την Β b, λύνουµε ισοδύναµα το σύστηµα Q P b και εδώ το: Q [. 3.6-3.4] Τ που γράφεται και: 3 * 3 3. 3.6 3. 4 Με εµπρός αντ/ση παίρνουµε:./3.7333 (3.6 )/(3.6.7333)/.667 3 (-3.4 )/3(-3.4.667)/3-.4 δηλαδή: [.7333.667 -.4] Τ [Επαλήθευση στο mtlb: Q\(P*b)] Τ Πανεπιστήμιο Πατρών -38-6//9

Υπολογίζουµε τώρα την νόρµα του Β: B Q - P.6667 Οπότε αντικαθιστώντας στην (), λαµβάνουµε τελικά: -.88 Σχόλιο: Το φράγµα είναι προφανώς «κακό». Αυτό είναι απόλυτα εξηγήσιµο, αφού για τέτοιο πίνακα δεν µπορούµε φυσικά να περιµένουµε καλύτερο φράγµα και µάλιστα στη η επανάληψη! ος τρόπος: Για τον υπολογισµό του φράγµατος θα µπορούσαµε εναλλακτικά να κάνουµε χρήση της δεύτερης γνωστής ανισότητας - B (- B ) - - - η οποία εµπλέκει τις δύο τελευταίες επαναλήψεις (εδώ τις και ). Ο σχετικός υπολογισµός είναι φυσικά πιο χρονοβόρος, αφού απαιτεί και τον υπολογισµό του από την Β b, ή ισοδύνα- µα από το κάτω τριγωνικό σύστηµα Q P b [.36667.89-3.4 ] Τ Η λύση του παραπάνω µε εµπρός αντ/ση είναι: [..655 -.584] Τ [Επαλήθευση στη mtlb: Q\(P*b)] Τώρα, για τον υπολογισµό του φράγµατος, προχωράµε όπως πιο πάνω. Άσκηση Δίνεται ο πίνακας A και το διάνυσμα b: A[ ; 8 5 ; 5 8 ; ], b[ -] Τ Υποθέτουμε ότι (α) δουλεύουμε σε α.κ.υ. 4 σημ. ψηφίων με εφαρμογή στρογγύλευσης και ότι (β) μας απασχολούν μόνον σφάλματα οφειλόμενα σε απώλεια ακρίβειας κατά τους υπολογισμούς. Θεωρούμε την επαναληπτική μέθοδο Jobi για την υπολογιστική επίλυση του Ab. (α) Δώστε τον επαναληπτικό τύπο της, υπό τη μορφή πινάκων. (β) Συγκλίνει ο αλγόριθμος αυτός για κάθε αρχικό διάνυσμα και γιατί; (γ) Δώστε αριθμητικό φράγμα για το απόλυτο σφάλμα στη η επανάληψη, αφού δοθούν όλα τα απαραίτητα ενδιάμεσα βήματα. Να τεθεί αρχικά (,,, -.5) T και να γίνει χρήση της νόρμας «άπειρο». (δ) Ποιές εντολές του Mtlb θα δίνατε κατά σειρά (αναφέρατε συγκεκριμένα) για να επαληθεύσετε το αποτέλεσμα που πήρατε στο ερ. (γ)? Πανεπιστήμιο Πατρών -39-6//9

Απαντήσεις: α) Είναι ()B(-) µε B Q - (Q-A).65.65 Q - b (.,.5,, -.5) Αναλυτικά: Q -..5.5.5 PQ-A 4 4 β) Ο Α έχει αδκ, άρα, σύµφωνα µε γνωστή πρόταση, συγκλίνει. γ) Είναι: B* (.,.5,, -.5) Τ B.65 -.5 Για το απόλυτο σφάλµα e στην επανάληψη ισχύει e < - *( B ) /(- B ), και µετά από αντικατάσταση: e <.7573e-5 δ) ίνουµε κατά σειρά τις εντολές: A[ ; 8 5 ; 5 8 ; ] b[ - -.5] QA Πανεπιστήμιο Πατρών -4-6//9

Q(,3) PQ-A Biv(Q)*P iv(q)*b [ ] B* frgmorm(-, if)*orm(b, if)^ / (-orm(b, if)) Άσκηση Δίνεται ο πίνακας A και το διάνυσμα b: A[. -. ; -. ;. ], b[ ] T Θεωρούμε τον σύστημα Αb και υποθέτουμε ότι εργαζόμαστε με αριθμητική κ. υ. 4 σ.ψ. α) Συγκλίνει η επαναληπτική μέθοδος Jobi για οποιοδήποτε αρχικό διάνυσμα και γιατί; β) Διατυπώστε με σαφήνεια την επαναληπτική αυτή μέθοδο υπό τη μορφή πινάκων. γ) Βρείτε την πρώτη επανάληψη της μεθόδου για το παραπάνω σύστημα d) Έστω ότι επιθυμούμε να κάνουμε μια εκτίμηση του απολύτου σφάλματος στην πρώτη επανάληψη. Χρησιμοποιώντας κατάλληλη ανισότητα, βρείτε φράγμα για το απόλυτο σφάλμα με χρήση της νόρμας «άπειρον». Απαντήσεις: α) O A έχει προφανώς α.δ.κ. Εποµένως, όπως γνωρίζουµε από σχετικό θεωρητικό αποτέλεσµα, η µέθοδος Jobi συγκλίνει για κάθε αρχικό διάνυσµα. β) Για το δοθέν Ab, η µέθοδος Jobi περιγράφεται ως εξής: Q - P - Q - b, () αρχικό διάνυσµα όπου Q τριγωνικός µε και Q PQ-A 3 33 3 3 3.... Πανεπιστήμιο Πατρών -4-6//9

H (), µετά τις πράξεις, γράφεται τελικά: / B Q - P / 3 / 33 3 / / / 33 / 3 33 / / 3 3 3 3 Αντικαθιστώντας παίρνουµε: Β.5.5... Το υπολογίζεται εξ ίσου εύκολα: Q - b [b /, b /, b 3 / 33 ] T [,, ] T γ) Μπορούµε να επιλέξουµε το αρχικό διάνυσµα να βρίσκεται «κοντά» (από πλευράς νόρµας) στην προσεγγιστική λύση του Ab, έτσι όπως αυτή υπολογίσθηκε στο ερ. (δ) της Άσκησης. Έστω λοιπόν [,,], οπότε λαµβάνουµε Β και µετά από πράξεις: [.9..9] T δ) Από τη θεωρία γνωρίζουµε ότι, αν είναι γνωστές οι δύο τελευταίες επαναλήψεις, µια εκτίµηση του απολύτου σφάλµατος στις επαναληπτικές µεθόδους δίνεται από την ανισότητα: Β (- B ) - - () Στην περίπτωσή µας έχουµε και Β όπως υπολογίστηκε στο ερώτηµα (β). Με χρήση της νόρ- µας «άπειρο» υπολογίζουµε επίσης: Β.6 και:.. Εποµένως η () γίνεται:.5 Ασφαλώς δεν περιµέναµε καλύτερο σφάλµα στην πρώτη κιόλας επανάληψη! Άσκηση Για τα τριγωνικά μητρώα Β, με Β(i,i)/(i), i, (και τα υπόλοιπα στοιχεία τυχαία), εξετάστε αν η επαναληπτική μέθοδος Β-, ( R, δοθέν) συγκλίνει ή όχι. Πανεπιστήμιο Πατρών -4-6//9